同角三角函数基本关系及诱导公式(经典)

§4.2同角三角函数基本关系及诱导公式

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.

(2)商数关系：sin α

cos α＝tan α.

2．下列各角的终边与角α的终边的关系

角2kπ＋α

(k∈Z)

π＋α－α

图示

与角α

终边的

关系

相同关于原点对称关于x轴对称

角π－απ

2－α

π

2＋α

图示

与角α终边的关系关于y轴

对称

关于直线y＝x

对称

3.

组数一二三四五六

角2kπ＋α

(k∈Z)

π＋α－απ－α

π

2－α

π

2＋α

正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α

正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α

口诀 函数名不变 符号看象限

函数名改变 符号看象限

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．

( × )

(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．

( × )

(3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝1

3

.

( × ) (4)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈[π

2，π]，则m <－5或m ≥3.

( × )

(5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为－3或－3

3

.

( × )

(6)已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α

的值是－1

3.

( √ )

2． 已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π

2，0)，则tan(2π－α)的值为

( ) A ．－25

5

B.255

C ．±25

5

D.

52

答案 B

解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－2

3，

又α∈(－π

2，0)，

得cos α＝1－sin 2α＝

53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝25

5.

3． 若tan α＝2，则2sin α－cos α

sin α＋2cos α

的值为________．

答案 34

解析 原式＝2tan α－1tan α＋2＝3

4

.

4． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝

⎛⎭⎫α－2π

3＝________. 答案 －2

3

解析 sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦

⎤－π2－⎝

⎛⎭⎫π

6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23

. 5． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2cos π3x ，x ≤2 000，

x －15，x >2 000，

则f [f (2 015)]＝________.

答案 －1

解析 ∵f [f (2 015)]＝f (2 015－15)＝f (2 000)， ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 2

3

π＝－1.

题型一 同角三角函数关系式的应用

例1 (1)已知cos(π＋x )＝3

5

，x ∈(π，2π)，则tan x ＝________.

(2)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于

( ) A ．－43

B.54

C ．－34

D.45

思维启迪 (1)应用平方关系求出sin x ，可得tan x ； (2)把所求的代数式中的弦转化为正切，代入可求． 答案 (1)4

3

(2)D

解析 (1)∵cos(π＋x )＝－cos x ＝35，∴cos x ＝－3

5.

又x ∈(π，2π)，

∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－1－(－35)2＝－45

，

∴tan x ＝

sin x cos x ＝4

3

. (2)sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝

sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ

sin 2θ＋cos 2θ

＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θ

cos 2θ－2sin 2θcos 2θ

＋1＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.

思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin α

cos α＝tan α

可以实现角α的弦切互化．

(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．

(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.

(1)已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x

sin x －1

的值是

( )

A.1

2

B ．－12

C ．2

D ．－2

(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________. 答案 (1)A (2)2

5

解析 (1)由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1

cos 2x ＝－1，

故

cos x sin x －1＝12

.

(2)sin θcos θ＝sin θ·cos θ

sin 2θ＋cos 2θ

＝

tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝2

5

.

题型二 诱导公式的应用

例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝3

3，求cos ⎝⎛⎭

⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－3

5，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． 思维启迪 (1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π

6－α的关系．

(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值． 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π

6－α＝π， ∴5π

6

－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π

6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33

，