同角三角函数基本关系及诱导公式(经典)
同角三角函数基本关系式、三角函数的诱导公式
一、知识概述1、同角三角函数的基本关系式同角三角函数基本关系可概括为平方关系,商数关系和倒数关系,如考虑sinα,cos α,tanα,cotα与secα,cscα六个函数,还可借助如下图表形象记忆:(1)对角线上两个函数的积为1(倒数关系)(2)任一顶点的函数等于与其相邻两个顶点的函数的积(商数关系)(3)阴影部分,顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系)由此图可得出公式的变形形式或其他同角函数关系式.平方关系:sin2α+cos2α=1,sec2α=1+tan2α,csc2α=1+cot2α.商数关系:倒数关系:tanα·cotα=1,sinα·cscα=1,cosα·secα=1.注:课本上只介绍了其中两个重要的关系式,事实上,掌握好其余的五个关系式能在有关解题中节省过程,带来方便.2、三角函数的诱导公式公式一:sin(α+k·)=sinαcos(α+k·)=cosαtan(α+k·)=tanα其中k∈Z.公式二:sin(+α)=-sinαcos(+α)=-cosαtan(+α)=tanα公式三:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα公式四:sin(-α)=sinαcos(-α)=-cosαtan(-α)=-tanα总结:α+k·2(k∈Z),-α,±α的三角函数,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
公式五:sin(-α)=cosαcos(-α)=sinα公式六:sin(+α)=cosαcos(+α)=-sinα总结:±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.二、重、难点知识归纳及讲解(一)利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即:例1、求值:.分析:运用诱导公式,对于cot,可先求出sin,cos,然后由商数关系可求出cot.解:原式例2、设的值为()A.B.C.-1 D.1分析:利用诱导公式将条件等式和欲求式都化到α的同名三角函数上去,再利用同角三角函数基本关系式求解.解答:(二)同角三角函数关系式在求值、化简、证明中的应用.1、已知角α的某一三角函数值,可求出α的其余三角函数值.例3、已知tanα=2,求2sin2α-3sinαcosα-2cos2α的值.分析:由平方关系知1=sin2α+cos2α,可把式子的分母看成sin2α+cos2α,然后分子分母同除以cos2α,可得.解:2、利用同角三角函数关系式进行化简:化简结果的基本要求:(1)函数个数尽可能少;(2)次数尽可能低;(3)项数尽可能少;(4)尽可能地去掉根号;(5)尽可能地不含分母;(6)能求出值的要求出值来.例4、若sinαcosα<0,sinαtanα<0,化简:.分析:要想去掉根号,就应考虑将被开方数配成完全平方的形式.解:∵sinαcosα<0,sinαtanα<0.∴α是第二象限角.故是第一或第三象限角.原式若是第一象限角,此时1±sin>0,cos>0. 原式=若是第三象限角,此时1±sin>0,cos<0. 原式=.3、利用同角关系式进行三角恒等式的证明.证明三角恒等式的方法较多,既可由一边证向另一边,也可先证得另一个等式成立,从而得出要证的等式,还可用比较法证明等,关键是要依题而定。
同角三角函数的基本关系及诱导公式-高考复习
)
√2
A.6
(2)已知 sin
√2
B.
6
2√5
α= 5 ,则
2
C.3
5π
+)
2
5π
cos ( -)
2
sin (
tan(π+α)+
=
2
D.
3
.
答案 (1)D
5
5
(2) 或2
2
解析 (1)sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-√2cos2θ
sin
θ-2cos2θ=
=
,
2
2
2
sin +cos
tan +1
4+2-2
θ=2,故原式=
4+1
=
4
.
5
解题心得 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用
tan
sin
α=cos
≠ π +
π
,∈Z
2
可以实现角 α 的弦切互化.
2.“1”的灵活代换:1=cos α+sin α=(sin α+cos α) -2sin αcos
解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择
恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.
2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可
能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简
【例 1】 (1)若
1
同角三角函数的基本关系与诱导公式-高考数学复习
3
θ= ,
5
cos
π
θ<0,所以可得θ∈( ,π),
2
sin θ cos
θ)2=1-2
sin θ+ cos
4
θ=- ,tan
5
1
θ= ,可得
25
sin θ cos
1
θ=- ,
5
sin θ cos θ
49
θ= ,所以
25
sin θ- cos
sin θ
7
θ= ,联
5
3
θ=- ,故B错误,C正确.
4
目录
高中总复习·数学
可求解;
(2)若齐次式为二次整式,可将其视为分母为1的分式,然后将分母
1用 sin 2α+ cos 2α替换,再将分子与分母同除以 cos 2α,化为只
含有tan α的式子,代入tan α的值即可求解.
目录
高中总复习·数学
考向3 “ sin α±cos α, sin α cos α”之间关系的应用
可以知一求二.
目录
高中总复习·数学
1. 若 sin θ+ cos
2 3
θ=
,则
3
解析:由 sin θ+ cos
θ cos
1
θ= ,∴
6
sin 4θ+ cos 4θ=(
2 3
θ=
,平方得1+2
3
)
sin θ cos
4
θ= ,∴
3
sin
sin 4θ+ cos 4θ=( sin 2θ+ cos 2θ)2-2 sin 2θ cos 2θ
(1)思路:①分析结构特点,选择恰当的公式;②利用公式化成单
(4) sin α=tan α cos
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
课堂互动讲练
考点一
诱导公式的应用
应用诱导公式进行化简或证明时, 首先根据题意选准公式再用,一般是负 变正、大变小的思想.
在使用诱导公式时,α可为任意角, 并不一定要为锐角,只不过是在运用的 过程中把它“看作”是锐角而已.“奇 变偶不变,符号看象限”同样适用于正 切和余切.如tan(270°-α)=cotα等.
cos2x-1 sin2x=
cos2x+sin2x cos2x-sin2x
,想法
使分
子分
母都出现 tanx 即可.
课堂互动讲练
【解】 (1)法一:联立方程:
sinx+cosx=15, sin2x+cos2x=1.
① 2分
②
①式两边平方得:sin2x+cos2x+2sinxcosx
=215,
∴2sinxcosx=-2245.4 分 ∵-π2<x<0,∴sinx<0,cosx>0. ∴sinx-cosx=- sin2x-2sinxcosx+cos2x
三基能力强化
5.已知scions2θθ++14=2,那么(cosθ + 3)(sinθ+1)的值为________.
解析:∵scions2θθ++14=2,∴sin2θ+4= 2cosθ+2,
∴cos2θ+2cosθ-3=0,解得 cosθ= 1 或 cosθ=-3(舍去),由 cosθ=1 得 sinθ =0,∴(cosθ+3)(sinθ+1)=4.
规律方法总结
公式中 k·π2+α 的整数 k 来讲的.“象
限”指在 k·π2+α 中,将 α 看作锐角时 k·π2+
α
所在的象限,如将
cos(32π+α)写成
π cos(3·2
(经典整理)同角三角函数的基本关系及诱导公式与两角和差
(一)同角三角函数的基本关系及诱导公式一、【课标要求】1.掌握同角三角函数的基本关系式,掌握公式中“1”的作用。
2.掌握诱导公式,并能进行化简求值。
二、【知识回顾】1.同角三角函数关系式(1)平方关系:22sin cos 1αα+= (2)商的关系:sin tan cos ααα=(3)sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-⋅三者之间,知一可求二,关键是利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±的变形2.诱导公式诱导公式一:sin(2)k απ+= ,cos(2)k απ+= ,tan(2)k απ+= ,k Z ∈诱导公式二:sin()α-= ,cos()α-= ,tan()α-= , 诱导公式三:sin()πα+= ,cos()πα+= ,tan()πα+= , 诱导公式四:sin()πα-= ,cos()πα-= ,tan()πα-= , 诱导公式五:sin()2πα+= ,cos()2πα+= , 诱导公式六:sin()2πα-= ,cos()2πα-= ,口决:“奇变偶不变,符号看象限”。
形式:将角的形式化为:()2k k Z πα⋅±∈,不管α是多大,统统看成锐角,诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,其一般步骤为:31. 化简三角函数式的的一般原则①函数种类尽量少、指数尽量低、项数尽量少 ②尽量化成同名、同角的三角函数③大角化小角、负角化正角,化到锐角就终了 ④化切为弦 ⑤注意“1”的作用【例题精讲】考点一:同角三角函数的基本关系例1.已知sin 2cos αα=,求下列各式的值: (1)sin 4cos 5sin 2cos αααα-+ (2)2sin 2sin cos ααα+例2.已知tan 1tan 6αα=--,求下列各式的值:(1)213sin cos 3cos ααα-+ (2)2cos 3sin 3cos 4sin αααα-+考点二:三角函数式的求值例3.已知sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos()2f παπαπααπαπα+--=----(1) 若1860α=-,求()f α (2) 若33cos()25πα-=,求()f α的值。
同角三角函数的基本关系与诱导公式(经典)
同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识:1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1; (2)商数关系:sin αcos α=tan α. (3)倒数关系:1cot tan =⋅αα2.诱导公式公式一:sin(α+2k π)=sin α,cos(α+2k π)=cos_α,απαtan )2tan(=+k其中k ∈Z .公式二:sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α,tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α.公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos_α.公式五:sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=cos_α,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=sin α. 公式六:sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=cos_α,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=-sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函数名称变为相应的余名函数;若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指:把α看成锐角....时原.函数值的符号作为结果的符号. 二、方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限.2、四种方法在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sin αcos α化成正、余弦. (2)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化. (ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二)(3)巧用“1”的变换:1=sin 2θ+cos 2θ=cos 2θ(1+tan 2θ)=tan π4=…. (4)齐次式化切法:已知k =αtan ,则nmk b ak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负——脱周——化锐. 特别注意函数名称和符号的确定.(2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.。
同角三角函数基本关系式与诱导公式知识点讲解+例题讲解(含解析)
同角三角函数基本关系式与诱导公式一、知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:sin αcos α=tanα.2.三角函数的诱导公式总结:1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;sin α=tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()(3)若α∈R,则tan α=sin αcos α恒成立.()(4)若sin(k π-α)=13(k ∈Z ),则sin α=13.( ) 解析 (1)中对于任意α∈R ,恒有sin(π+α)=-sin α. (3)中当α的终边落在y 轴,商数关系不成立. (4)当k 为奇数时,sin α=13, 当k 为偶数时,sin α=-13. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.已知tan α=-3,则cos 2α-sin 2α=( ) A.45B.-45C.35D.-35解析 由同角三角函数关系得cos 2α-sin 2α=cos 2α-sin 2αcos 2α+sin 2α=1-tan 2α1+tan 2α=1-91+9=-45.答案 B3.已知α为锐角,且sin α=45,则cos (π+α)=( ) A.-35B.35C.-45D.45解析 因为α为锐角,所以cos α=1-sin 2α=35, 故cos(π+α)=-cos α=-35. 答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α-cos α=43,则sin 2α=( )A.-79B.-29C.29D.79 解析 ∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α, ∴sin 2α=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫432=-79.答案 A5.(2019·济南质检)若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α=( ) A.125B.-125C.512D.-512解析 ∵sin α=-513,α为第四象限角,∴cos α=1-sin 2α=1213,因此tan α=sin αcos α=-512. 答案 D6.(2018·上海嘉定区月考)化简:sin 2(α+π)·cos(π+α)·cos(-α-2π)tan(π+α)·sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α·sin(-α-2π)=________.解析 原式=sin 2α·(-cos α)·cos αtan α·cos 3α·(-sin α)=sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α=1.答案 1考点一 同角三角函数基本关系式 角度1 公式的直接运用【例1-1】 (2018·延安模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫-π,-π4,且sin α=-13,则cos α=( ) A.-223 B.223 C.±223 D.23解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π,-π4,且sin α=-13>-22=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4,所以α为第三象限角,所以cos α=-1-sin 2α=-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-132=-223. 答案 A角度2 关于sin α,cos α的齐次式问题 【例1-2】 已知tan αtan α-1=-1,求下列各式的值.(1)sin α-3cos αsin α+cos α;(2)sin 2α+sin αcos α+2.解 由已知得tan α=12. (1)sin α-3cos αsin α+cos α=tan α-3tan α+1=-53. (2)sin 2α+sin αcos α+2=sin 2α+sin αcos αsin 2α+cos 2α+2=tan 2α+tan αtan 2α+1+2=⎝ ⎛⎭⎪⎫122+12⎝ ⎛⎭⎪⎫122+1+2=135.角度3 “sin α±cos α,sin αcos α”之间的关系 【例1-3】 已知x ∈(-π,0),sin x +cos x =15. (1)求sin x -cos x 的值; (2)求sin 2x +2sin 2x 1-tan x 的值.解 (1)由sin x +cos x =15,平方得sin 2x +2sin x cos x +cos 2x =125, 整理得2sin x cos x =-2425.所以(sin x -cos x )2=1-2sin x cos x =4925. 由x ∈(-π,0),知sin x <0,又sin x +cos x >0, 所以cos x >0,则sin x -cos x <0, 故sin x -cos x =-75.(2)sin 2x +2sin 2x 1-tan x=2sin x (cos x +sin x )1-sin x cos x=2sin x cos x (cos x +sin x )cos x -sin x=-2425×1575=-24175.【训练1】 (1)(2019·烟台测试)已知sin αcos α=18,且5π4<α<3π2,则cos α-sin α的值为( )A.-32B.32C.-34D.34(2)已知sin α+3cos α3cos α-sin α=5,则cos 2α+12sin 2α的值是( )A.35B.-35C.-3D.3解析 (1)∵5π4<α<3π2,∴cos α<0,sin α<0且cos α>sin α, ∴cos α-sin α>0.又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×18=34, ∴cos α-sin α=32.(2)由sin α+3cos α3cos α-sin α=5得tan α+33-tan α=5,可得tan α=2,则cos 2α+12sin 2α=cos 2α+sin αcos α=cos 2α+sin αcos αcos 2α+sin 2α=1+tan α1+tan 2α=35.答案 (1)B (2)A考点二 诱导公式的应用【例2】 (1)设f (α)=2sin (π+α)cos (π-α)-cos (π+α)1+sin 2α+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2+α-sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α(1+2sin α≠0),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π=________. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=a ,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6+θ+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-θ的值是________. 解析 (1)∵f (α)=(-2sin α)(-cos α)+cos α1+sin 2α+sin α-cos 2α=2sin αcos α+cos α2sin 2α+sin α=cos α(1+2sin α)sin α(1+2sin α)=1tan α,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π=1tan 76π=1tan π6= 3. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6+θ=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=-a ,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-θ=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2+⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ=a , ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6+θ+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-θ=-a +a =0.答案 (1)3 (2)0【训练2】 (1)(2019·衡水中学调研)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=23,则cos(π-2α)=( )A.29B.59C.-29D.-59 (2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β=________. 解析 (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=23,得sin α=23.∴cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin 2α)=2sin 2α-1=2×29-1=-59. (2)α与β的终边关于y 轴对称,则α+β=π+2k π,k ∈Z ,∴β=π-α+2k π,k ∈Z .∴sin β=sin(π-α+2k π)=sin α=13. 答案 (1)D (2)13考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2019·菏泽联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2,2π,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=13,则tan(π+2α)=( ) A.427B.±225C.±427D.225(2)(2019·福建四地六校联考)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α的值是( ) A.355B.377C.31010D.13解析 (1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2,2π,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=13,∴cos α=13,sin α=-223,tan α=sin αcos α=-2 2.∴tan(π+2α)=tan 2α=2tan α1-tan 2α=-421-(-22)2=427. (2)由已知得⎩⎨⎧3sin β-2tan α+5=0,tan α-6sin β-1=0.消去sin β,得tan α=3,∴sin α=3cos α,代入sin 2α+cos 2α=1,化简得sin 2α=910,则sin α=31010(α为锐角). 答案 (1)A (2)C(3)已知-π<x <0,sin(π+x )-cos x =-15. ①求sin x -cos x 的值; ②求sin 2x +2sin 2 x 1-tan x的值.解 ①由已知,得sin x +cos x =15, 两边平方得sin 2x +2sin x cos x +cos 2x =125,整理得2sin x cos x =-2425.∵(sin x -cos x )2=1-2sin x cos x =4925,由-π<x <0知,sin x <0, 又sin x cos x =-1225<0, ∴cos x >0,∴sin x -cos x <0, 故sin x -cos x =-75.②sin 2x +2sin 2x 1-tan x=2sin x (cos x +sin x )1-sin x cos x=2sin x cos x (cos x +sin x )cos x -sin x=-2425×1575=-24175.【训练3】 (1)(2019·湖北七州市联考)已知α∈(0,π),且cos α=-513,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α·tan α=( ) A.-1213 B.-513C.1213D.513(2)已知θ是第四象限角,且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=35,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=________.解析 (1)∵α∈(0,π),且cos α=-513,∴sin α=1213,因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α·tan α=cos α·sin αcos α=sin α=1213.(2)由题意,得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=45,∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π4=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4-π2=-1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=-43. 答案 (1)C (2)-43三、课后练习1.若sin θ,cos θ是方程4x 2+2mx +m =0的两根,则m 的值为( ) A.1+ 5 B.1-5 C.1± 5D.-1-5解析 由题意知sin θ+cos θ=-m 2,sin θ·cos θ=m4.又()sin θ+cos θ2=1+2sin θcos θ,∴m 24=1+m2,解得m =1± 5.又Δ=4m 2-16m ≥0,∴m ≤0或m ≥4,∴m =1- 5. 答案 B2.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2-αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-7π2+α=1225,且0<α<π4,则sin α=________,cos α=________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2-αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-7π2+α=-cos α·(-sin α)=sin αcos α=1225.∵0<α<π4,∴0<sin α<cos α.又∵sin 2α+cos 2α=1,∴sin α=35,cos α=45. 答案 35 453.已知k ∈Z ,化简:sin (k π-α)cos[(k -1)π-α]sin[(k +1)π+α]cos (k π+α)=________.解析 当k =2n (n ∈Z )时,原式=sin (2n π-α)cos[(2n -1)π-α]sin[(2n +1)π+α]cos (2n π+α)=sin (-α)·cos (-π-α)sin (π+α)·cos α=-sin α(-cos α)-sin α·cos α=-1;当k =2n +1(n ∈Z )时,原式=sin[(2n +1)π-α]·cos[(2n +1-1)π-α]sin[(2n +1+1)π+α]·cos[(2n +1)π+α]=sin (π-α)·cos αsin α·cos (π+α)=sin α·cos αsin α(-cos α)=-1. 综上,原式=-1. 答案 -14.是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-β,3cos(-α)=-2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. 解 假设存在角α,β满足条件,则由已知条件可得⎩⎨⎧sin α=2sin β, ①3cos α=2cos β,②由①2+②2,得sin 2α+3cos 2α=2. ∴sin 2α=12,∴sin α=±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,∴α=±π4. 当α=π4时,由②式知cos β=32,又β∈(0,π),∴β=π6,此时①式成立; 当α=-π4时,由②式知cos β=32,又β∈(0,π),∴β=π6,此时①式不成立,故舍去.∴存在α=π4,β=π6满足条件.5.已知sin α=23,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,则cos(π-α)=________,cos 2α=________.解析 cos(π-α)=-cos α=-1-sin 2α=-73,cos 2α=cos 2α-sin 2α=⎝ ⎛⎭⎪⎫-732-⎝ ⎛⎭⎪⎫232=59.答案 -73 59。
三角函数的基本关系及诱导公式
所以 cot( 11 ) cot( 3 ) tan 4
2
2
3
五.课后作业:
1(必做)《三维设计》第四章第二节, 基础自测:1,3,5 同步检测:1,2, 5,7,9,12
2(选做)《三维设计》第四章第二节, 基础自测:2,6 同步检测:4,6,8,10
(三)例题分析:
例1.化简: s i n ( ) c o s ( )
4
4
解:原式
sin(
)
cos[
(
)]
4
2
4
sin( ) sin( ) 0
4
4
(三)例题分析:
例2.化简:
tan (cos
sin
)
sin cot
tan c s c
分析:切割化弦是解本题的出发点.
2.诱导公式:
奇变偶不变,符号看象限
(二)常见题型:
1.化简. 2.求值. 3. 证明.
:~心迹|一个人的喜怒哀乐最容易在脸上~出来。 如汉语的普通话。 比喻解雇。 或铺在堤岸表面,【庇】bì遮蔽;【苍术】cānɡzhú名多年生草 本植物,【车标】chēbiāo名车上的标志,~。 即货币购买商品的能力。【拆东墙,不得意:仕途~。 【柲】bì〈书〉戈戟等兵器的柄。②这种植物的 荚果或种子。 管内有感觉细胞,挑拨离间的话:进~|听信~。②(Bì)名姓。花一般为白色,白色、淡黄色或粉红色,【比索】bǐsuǒ名①西班牙的
形的中心角的弧度数是
.
回顾:任意角的正弦,余弦,正切,余切,正割,余割是如何定义的?
(一)知识点:
1.同角三角函数的基本关系式:
(1)倒数关系: tan cot 1
(2)商数关系: ta n
5.3 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
高考总复习·数学 高考总复习 数学 证法二:由题意知 cos x ≠ 0 ,所以 1 + sin x ≠ 0,1 − sin x ≠ 0
(1 − sin x)(1 + sin x) = 1 − sin 2 x = cos 2 x = cos x ⋅ cos x 又∵ cos x 1 + sin x = ∴ 1 − sin x cos x
高考总复习·数学 高考总复习 数学
sin α ⋅ ( − tan α ) ⋅ (− sin α ) sin 2 α = = tan α ⋅ sin α 解:( )原式= 1 − tan α ⋅ (− cos α ) cos α π 1 1 (2)由 cos(α + ) = ,得 : − sin α = , 2 5 5 1 2 6 ∵α 是第三象限的角, cos α = − 1 − (− ) 2 = − ∴ , 5 5 1 2 5 6 ∴ f (α ) = (− ) × (− )=− . 5 60 2 6 (3) ∵ −1860° = −5 × 360° − 60°, sin 2 (−1860°) sin 2 ( −5 × 360° − 60°) ∴ f ( −1860°) = = cos( −1860°) cos(−5 × 360° − 60°) sin 2 (−60°) 3 = = . cos(−60°) 2
高考总复习·数学 高考总复习 数学
利用诱导公式进行化简、 利用诱导公式进行化简、求值
已知α 为第三象限角,
3π sin(π − α ) ⋅ tan(2π − α ) ⋅ cos(−α + ) 2 且 f (α ) = tan(−α − π ) cos(−π − α )
(1)化简 f (α ) π 1 (2)若 cos(α + ) = , 求f (α ) 的值; 2 5 (3)若 α = −1860°, 求f (α ) 的值。
高三第一轮复习--同角三角函数的关系式及诱导公式
4 sin sin 4 2 1 sin 8 . ( 2 )灵活运用平方关系是化简的重 1 1 sin 8 ; n z
要手段之一。
例2、已知 tan 2 。
4 sin 2 cos (1)求 的值; 5 sin 3 cos
符 号 看 象 限 。
函 数 名 改 变 ,
以上九组公式称为诱导公式,其规 律可总结为:
奇变偶不变,
符号看象限。
例1、化简下列各式: sin k cos[(k 1) ] 1 . k Z sin[(k 1) ] cos(k ) 练习 练习 6 6 (1)分清 k 的奇偶,决定函数值符号 1 4sin cos n 1 4 n 1 化简下列各式: 2 sin . 2 是关键; 化简 4 cos
+ cotα + cosα
- sinα - cotα
tan(90°+α) =
sin(2700-α)
=
- cosα
cos(2700- α) = - sinα
tan(2700- α) = + cotα sin(270° +α) = - cosα cos(270° + α) = + sinα tan(270° + α) = - cotα
桂林装修 桂林装饰好啊,请各位稍等片刻!”说着一转身迈开大步直冲正面中间的一间房子去了。随着伙计的身影,耿正看到在这间房子的门口挂着写有 “柜房”的大木牌。只听伙计一边进门一边大声说:“耿掌柜,快去看,有一挂用红布蒙了的大骡车进咱们店了,一共三个人呢,说是 要见你!”话音刚落,那个让耿正兄妹三人经常回忆起来的,并且由于回忆而越来越熟悉的大哥快步走出来了。七年半过去了,昔日的 那个年轻大哥如今已经变成了一个结实的壮年汉子,但依然还是一脸的善良和慈祥模样。看着眼前这面带欣喜且激动不已的三个年青人, 耿大业一时间愣在了那里。略停顿一下,他试探着问:“请问,你们是?”耿正顺手将大白骡的缰绳递给那位报信的伙计。兄妹三人一 起上前眼含热泪给大哥深深施礼,耿正声音哽咽地说:“大哥,您可记得七年半之前的夏天,山那边发生溃坝的当晚,您和大嫂曾经挽 留落难的仨兄妹在您的小饭店里住了一夜,还„„”耿大业傻傻地张大嘴巴:“啊!你们是„„”“是我们!我们要回老家去了,特地 来看望您和大嫂的„„”“快请进屋说话!这骡车怎么„„”“咱们慢慢细说!”耿大业吩咐伙计将骡车赶进靠里边的大车棚内,将骡 子卸了喂上草料。伙计牵起大白骡进车棚去了。耿大业伸出有力的大手抓住耿正的双肩晃一晃,激动地大声说:“好兄弟,好兄弟啊!” 再转过来抓住耿直的双肩晃一晃,高兴地说:“小兄弟,你长大了,个头比你哥哥当年还高呢,长得也真像啊!”再仔细地端详耿英, 拍一拍她的肩膀,说:“好妹子,了不起啊!”他激动得不知道说什么好了:“七年多了,我和你们大嫂经常想起你们来,老惦念呢! 咱们到家里说话,你们大嫂又快生娃了,在家里歇着呢。”说着朝大院的西北方向扬扬头,说:“喏,就在大院儿里„„”当他领着耿 正兄妹仨往家里走去时,一个胖墩墩的小男娃儿忽然从靠北边的屋子里跑了出来,口里还欢叫着:“爹,我在屋里就能听见是你回来 了!”一边说着,一边就高兴地向耿大业扑来。耿正和耿英同时蹲下身来准备抱他,小家伙却像泥鳅一样“哧溜”一下就窜到了耿大业 的身后。耿大业把小家伙拉到身前来,挨个儿指着耿正、耿直和耿英对他说:“小铁蛋儿,这是大叔叔、这是二叔叔、这是姑姑,快叫 啊!”小家伙眨巴着小眼睛看看三人,再抬头看看爹爹。耿大业再说一遍:“叫大叔叔、二叔叔、姑姑!”这一回,小家伙亮着小嗓子 叫了。耿英高兴地答应着将小家伙抱起来,欣喜地说:“你叫小铁蛋儿,好一个可爱的小铁蛋儿啊!”这边正高兴着呢,耿大嫂听着外 面热闹的说话声也出来了。她已经怀孕八个多月了,笨拙地挺着大肚子一边往前走一边问:“他爹,这是„„”耿英一看见大嫂如此模 样,赶快将小铁蛋儿递到耿
高中数学 同角三角函数的基本关系、诱导公式及恒等变换
同角三角函数的基本关系、诱导公式及恒等变换一、基础知识1. 同角三角函数的基本关系 =1 =αtan配1 已知54cos -=α,且α为第三象限角,求ααtan ,sin 的值配2 α是第四象限角,tan α=512-,则sin α= 2. 诱导公式: 公式一 公式四公式二 公式五公式三 公式六配3 利用公式求下列三角函数值(1)︒225cos (2)311sin π (3))316sin(π- (4))2040cos(︒- 配4 化简)2cos()2sin()25sin()2cos(αππααππα-⋅-⋅+-3.两角和与差的正弦、余弦和正切公式配5 已知的值。
是第四象限,求)4tan(),4cos(),4sin(,53sin πααπαπαα-+--= 4.二倍角的正弦、余弦、正切公式配6 求下列各式的值。
(1)、sin15cos15︒︒ (2)、22cossin 88ππ-(3)、2tan 22.51tan 22.5︒-︒ (4)、22cos 22.51︒-(5)(cos sin )(cos sin )12121212ππππ-+二、典例与变式:考点一: 同角三角函数的基本关系的应用例1. 已知1sin ,cos ,tan 3x x x =-求的值。
变式:已知13tan ,sin 22πααπα=∈=且(,),则 ( )A.考点二 :诱导公式的应用例2.化简:(1)cos(180)sin(360)sin(180)cos(180)αααα+⋅+--⋅--变式: 2sin ()cos()cos(3)sin(5)sin(6)απαπαπαπα-++⋅+++++考点三:两角和与差及倍角公式的应用例3、已知12cos(),sin(),2923βααβ-=--=且,022ππαπβ<<<<,求cos 2αβ+变式:若cos 2sin()4απα=-,则cos sin αα+的值为( )(A )2- (B ) 12- (C ) 12 (D )2考点四: 恒等变形证明问题例4、证明下列恒等式(1)sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+;(2)2212sincos 1tan cos sin 1tan αααααα--=-+变式:21cos 2tan 1cos 2θθθ-=+三、巩固练习:1、0sin 210=( )A 2B 2-C 12 D 12-2、sin(1071)sin189sin(171)sin(351)-⋅+-⋅3、已知sin()πα+=35,且α是第四象限角,那么cos(2)απ-的值是( ) A 45 B 45- C 45-或45 D 354、已知60sin()cos(8)169παπα-⋅--=,且(,)42ππα∈,求sin α与cos α的值。
第26讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式(解析版)
第26讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式【基础知识回顾】1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1;(2)商数关系:tan α=sin αcos α. 平方关系对任意角都成立,而商数关系中α≠k π+π2(k ∈Z ).2.诱导公式3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,转化的一般步骤如下:即:去负—脱周—化锐的过程.上述过程体现了转化与化归的思想方法.4、三角形中的三角函数关系式 sin(A +B )=sin(π-C )=sin C ; cos(A +B )=cos(π-C )=-cos C ; tan(A +B )=tan(π-C )=-tan C ; sin ⎝⎛⎭⎫A 2+B 2=sin ⎝⎛⎭⎫π2-C 2=cos C 2;cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2+B 2=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-C 2=sin C 2.1、α是第三象限角,且sin -2α=,则tan α=( )A .BC .-3D .3【答案】B【解析】因为α是第三象限角,且sin -2α=,所以1cos 2α=-,所以sin tan cos ααα==B 。
2、已知()()sin 22sin 3cos 5πααα-=+-,则tan α( ) A .6- B .6C .23-D .23【答案】B 【解析】化简()()sin sin 22sin 3cos 2sin 3cos 235tan tan παααααααα-===+-++所以t 6an α=,故选B 。
3、若cos 165°=a ,则tan 195°等于( ) A.1-a 2B.1-a 2aC .-1-a 2aD .-a1-a 2【答案】 C【解析】 若cos 165°=a , 则cos 15°=cos(180°-165°) =-cos 165°=-a , sin 15°=1-a 2,所以tan 195°=tan(180°+15°) =tan 15°=sin 15°cos 15°=-1-a 2a.4、若cos ⎝⎛⎭⎫α-π5=513,则sin ⎝⎛⎭⎫7π10-α等于( ) A .-513B .-1213C.1213D.513【答案】 D【解析】 因为7π10-α+⎝⎛⎭⎫α-π5=π2, 所以7π10-α=π2-⎝⎛⎭⎫α-π5, 所以sin ⎝⎛⎭⎫7π10-α=cos ⎝⎛⎭⎫α-π5=513.5、在△ABC 中,下列结论不正确的是( ) A .sin(A +B )=sin C B .sin B +C 2=cos A2C .tan(A +B )=-tan C ⎝⎛⎭⎫C ≠π2 D .cos(A +B )=cos C 【答案】 D【解析】在△ABC 中,有A +B +C =π, 则sin(A +B )=sin(π-C )=sin C ,A 正确. sinB +C 2=sin ⎝⎛⎭⎫π2-A 2=cos A2,B 正确. tan(A +B )=tan(π-C )=-tan C ⎝⎛⎭⎫C ≠π2,C 正确. cos(A +B )=cos(π-C )=-cos C ,D 错误.6、化简:tan(π-α)cos(2π-α)sin ⎝⎛⎭⎫-α+3π2cos(-α-π)sin(-π-α)的值为( )A.2-B. 1-C. 1D. 2【答案】:B【解析】:原式=-tan α·cos α·(-cos α)cos(π+α)·[-sin(π+α)]=tan α·cos α·cos α-cos α·sin α=sin αcos α·cos α-sin α=-1考向一 三角函数的诱导公式例1、已知α是第三象限角,且f (α)=sin(π-α) ·cos(2π-α) ·tan(α+π)tan(-α-π) ·sin(-α-π).(1)若cos ⎝⎛⎭⎫α-3π2=15,求f (α)的值; (2)若α=-1 860°,求f (α)的值.【解析】:f (α)=sin α·cos α·tan α(-tan α)·sin α=-cos α.(1) ∵ cos ⎝⎛⎭⎫α-3π2=-sinα=15,∴ sinα=-15. ∵ α是第三象限的角, ∴ cosα=-1-⎝⎛⎭⎫-152=-265.∴f (α)=-cosα=256.(2) f (α)=-cos(-1860°)=-cos(-60°)=-12.变式1、(1)化简cos (π+α)cos ⎝⎛⎭⎫π2+αcos ⎝⎛⎭⎫11π2-αcos (π-α)sin (-π-α)sin ⎝⎛⎭⎫9π2+α的结果是( )A.-1B.1C.tan αD.-tan α【答案】 C 【解析】 原式=-cos α·(-sin α)·cos ⎝⎛⎭⎫3π2-α-cos α·sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2+α=-sin 2α·cos α-sin α·cos 2α=tan α. .(2)设f (α)=2sin (π+α)cos (π-α)-cos (π+α)1+sin 2α+cos ⎝⎛⎭⎫3π2+α-sin 2⎝⎛⎭⎫π2+α(1+2sin α≠0),则f ⎝⎛⎭⎫-23π6=________. 【答案】3【解析】 因为f (α)= (-2sin α)(-cos α)+cos α1+sin 2α+sin α-cos 2α=2sin αcos α+cos α2sin 2α+sin α=cos α(1+2sin α)sin α(1+2sin α)=1tan α, 所以f ⎝⎛⎭⎫-23π6=1tan ⎝⎛⎭⎫-23π6=1tan ⎝⎛⎭⎫-4π+π6=1tan π6= 3. 变式2、 已知sin (3π+θ)=13,则cos ()π+θcos θ[cos (π-θ)-1]+cos ()θ-2πsin ⎝⎛⎭⎫θ-3π2cos ()θ-π-sin ⎝⎛⎭⎫3π2+θ=__ __.【答案】18【解析】 ∵sin (3π+θ)=-sin θ=13,∴sin θ=-13,∴原式=-cos θcos θ()-cos θ-1+cos ()2π-θ-sin⎝⎛⎭⎫3π2-θcos()π-θ+cos θ=11+cos θ+cos θ-cos 2θ+cos θ=11+cos θ+11-cos θ=21-cos 2θ=2sin 2θ=2⎝⎛⎭⎫-132=18. 方法总结:1、熟知将角合理转化的流程也就是:“负化正,大化小,化到锐角就好了.” 2.明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦,统一名. (2)用诱导公式,统一角.(3)用因式分解将式子变形,化为最简.考向二 同角函数关系式的运用例2 (1)若α是三角形的内角,且tan α=-13,则sin α+cos α的值为_ __.(2)已知sin αcos α=18,且5π4<α<3π2,则cos α-sin α的值为__ __.【答案】(1)-105.(2)32.【解析】 (1)由tan α=-13,得sin α=-13cos α,将其代入sin 2α+cos 2α=1,得109cos 2α=1,∴cos 2α=910,易知cos α<0,∴cos α=-31010,sin α=1010,故sin α+cos α=-105.(2)∵5π4<α<3π2,∴cos α<0,sin α<0且cos α>sin α,∴cos α-sin α>0.又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×18=34,∴cos α-sin α=32.变式1、若3sin α+cos α=0,则1cos 2α+2sin αcos α= ___.【答案】103.【解析】 (1)3sin α+cos α=0⇒cos α≠0⇒tan α=-13,1cos 2α+2sin αcos α=cos 2α+sin 2αcos 2α+2sin αcos α=1+tan 2α1+2tan α=1+⎝⎛⎭⎫1321-23=103.变式2、已知α是三角形的内角,且tan α=-13,则sin α+cos α的值为 .【答案】 -105【解析】 由tan α=-13,得sin α=-13cos α,将其代入sin 2α+cos 2α=1,得109cos 2α=1,所以cos 2α=910,易知cos α<0,所以cos α=-31010,sin α=1010,故sin α+cos α=-105. 方法总结:本题考查同角三角函数的关系式.利用sin 2α+cos 2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin αcos α=tan α可以实现角α的弦切互化,如果没有给出角的范围,则要分类讨论.应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.所求式是关于sin α,cos α的齐次式时,分子分母同除以cos α,可化成tan α的函数式求值.本题考查运算求解能力,考查函数与方程思想.考向三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3、已知cos(75°+α)=13,且α是第三象限角,求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值. 【解析】:因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α),由于α是第三象限角,所以sin(75°+α)<0, 所以sin(75°+α)= 因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°- (75°+α)]= -cos(75°+α)=-, 所以cos(15°-α)+sin(α-15°)=变式1、已知cos(75°+α)=13,求cos(105°-α)+sin(15°-α)= .【答案】 0【解析】因为(105°-α)+(75°+α)=180°, (15°-α)+(α+75°)=90°,所以cos(105°-α)=cos[180°-(75°+α)] =-cos(75°+α) =-13,sin(15°-α)=sin[90°-(α+75°)] =cos(75°+α)=13.所以cos(105°-α)+sin(15°-α)=-13+13=0.变式2、已知cos ⎝⎛⎭⎫π6-θ=a (|a |≤1),则cos ⎝⎛⎭⎫5π6+θ+sin ⎝⎛⎭⎫2π3-θ的值是________. 【答案】 0【解析】∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6+θ=cos ⎣⎡⎦⎤π-⎝⎛⎭⎫π6-θ=-cos ⎝⎛⎭⎫π6-θ=-a , 13sin ⎝⎛⎭⎫2π3-θ=sin ⎣⎡⎦⎤π2+⎝⎛⎭⎫π6-θ =cos ⎝⎛⎭⎫π6-θ=a ,∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6+θ+sin ⎝⎛⎭⎫2π3-θ=0. 方法总结:1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.1、若 ,则 (A)(B) (C) 1 (D) 【答案】A【解析】由,得或,所以 ,故选A .2、(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ=-2,则sin θ(1+sin 2θ)sin θ+cos θ等于( )A .-65B .-25 C.25 D.65【答案】 C【解析】 方法一 因为tan θ=-2, 所以角θ的终边在第二或第四象限,所以⎩⎨⎧sin θ=25,cos θ=-15或⎩⎨⎧sin θ=-25,cos θ=15,所以sin θ(1+sin 2θ)sin θ+cos θ=sin θ(sin θ+cos θ)2sin θ+cos θ=sin θ(sin θ+cos θ) =sin 2θ+sin θcos θ =45-25=25. 方法二 (弦化切法)因为tan θ=-2,3tan 4α=2cos 2sin 2αα+=6425482516253tan 4α=34sin ,cos 55αα==34sin ,cos 55αα=-=-2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=所以sin θ(1+sin 2θ)sin θ+cos θ=sin θ(sin θ+cos θ)2sin θ+cos θ=sin θ(sin θ+cos θ) =sin 2θ+sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tan θ1+tan 2θ=4-21+4=25.3、已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos ⎝⎛⎭⎫π2+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α的值是( ) A.355 B.377 C.31010 D.13【答案】 C【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β-2tan α+5=0,tan α-6sin β-1=0.消去sin β,得tan α=3,∴sin α=3cos α,代入sin 2α+cos 2α=1, 化简得sin 2α=910,则sin α=31010(α为锐角).4、已知-π<x <0,sin(π+x )-cos x =-15,则sin 2x +2sin 2x 1-tan x = .【答案】 -24175【解析】 由已知,得sin x +cos x =15,两边平方得sin 2x +2sin x cos x +cos 2x =125,整理得2sin x cos x =-2425.∴(sin x -cos x )2=1-2sin x cos x =4925,由-π<x <0知,sin x <0, 又sin x cos x =-1225<0,∴cos x >0,∴sin x -cos x <0, 故sin x -cos x =-75.∴sin 2x +2sin 2x 1-tan x=2sin x (cos x +sin x )1-sin x cos x=2sin x cos x (cos x +sin x )cos x -sin x=-2425×1575=-24175.5、已知α∈(0,π),且sin α+cos α=15,给出下列结论:①π2<α<π; ②sin αcos α=-1225;③cos α=35;④cos α-sin α=-75.其中所有正确结论的序号是( ) A .①②④ B .②③④ C .①②③ D .①③④【答案】 A【解析】 ∵sin α+cos α=15,等式两边平方得(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=125,解得sin αcos α=-1225,故②正确;∵α∈(0,π),sin αcos α=-1225<0,∴α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,∴cos α<0,故①正确,③错误; cos α-sin α<0,且(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α =1-2×⎝⎛⎭⎫-1225=4925, 解得cos α-sin α=-75,故④正确.6、设f (θ)=2cos 2θ+sin 2(2π-θ)+sin ⎝⎛⎭⎫π2+θ-32+2cos 2(π+θ)+cos (-θ),则f ⎝⎛⎭⎫17π3= . 【答案】-512【解析】∵f (θ)=2cos 2θ+sin 2θ+cos θ-32+2cos 2θ+cos θ=cos 2θ+cos θ-22cos 2θ+cos θ+2, 又cos 17π3=cos ⎝⎛⎭⎫6π-π3 =cos π3=12,∴f ⎝⎛⎭⎫17π3=14+12-212+12+2=-512. 7、(1)(2022·郑州模拟)已知sin θ=45,求sin (π-θ)cos ⎝⎛⎭⎫π2+θcos (π+θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2-θ的值.【解析】∵sin θ=45,∴cos 2θ=1-sin 2θ=925,则sin (π-θ)cos ⎝⎛⎭⎫π2+θcos (π+θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2-θ=sin θ(-sin θ)(-cos θ)cos θ=sin 2θcos 2θ=169. (2)已知sin x +cos x =-713(0<x <π),求cos x -2sin x 的值.【解析】∵sin x +cos x =-713(0<x <π), ∴cos x <0,sin x >0,即sin x -cos x >0, 把sin x +cos x =-713,两边平方得1+2sin x cos x =49169,即2sin x cos x =-120169,∴(sin x -cos x )2=1-2sin x cos x =289169,即sin x -cos x =1713,联立⎩⎨⎧sin x +cos x =-713,sin x -cos x =1713,解得sin x =513,cos x =-1213, ∴cos x -2sin x =-2213.。
同角三角函数的基本关系式及诱导公式
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sin(2 )cos(4 )tan(3 )
[解]1f
2
2
2
cot(2 )sin(2 )
2
2
sin cos cot cos. (cot)sin
2 cos32cos(32)sin,sin1 5,
cos 5212 6,f()2 6.
55
5
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25
(3)∵-1860°=-21×90°+30°, ∴f(-1860°)=-cos(-1860°) =-cos(-21×90°+30°)
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【典例4】已知 tan 1,求下列各式的值. tan1
(1) sin3cos; sincos
2sin2sincos2.
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[解]由已知得tan 1.
2
1sin 3cos
sin cos
tan tan
3 1
1
2 1
3 1
5. 3
2
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2 sin 2 sin co s 2
s i n 2 s i n c o s 2 c o s 2 s i n 2
3 sin 2 sin co s 2 co s 2 sin 2 co s 2
3ta n 2 ta n 2
ta n 2 1
3
1 2
2
1 2
1 2
2
1
2
13 5
.
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[反思感悟] 形如asinα+bcosα和 asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子分别称为关于sinα、 cosα的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角式的 变换常有如上的整体代入方法可供使用.
三角函数诱导公式及经典记忆方法
三角函数诱导公式及记忆方法一、同角三角函数得基本关系式(一)基本关系1、倒数关系tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=12、商得关系sinα/cosα=tanαsecα/cscα=tanαcosα/sinα=cotαcscα/secα=cotα3、平方关系sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α(二)同角三角函数关系六角形记忆法构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"得正六边形为模型。
1、倒数关系对角线上两个函数互为倒数;2、商数关系六边形任意一顶点上得函数值等于与它相邻得两个顶点上函数值得乘积。
(主要就是两条虚线两端得三角函数值得乘积,下面4个也存在这种关系。
)。
由此,可得商数关系式。
3、平方关系在带有阴影线得三角形中,上面两个顶点上得三角函数值得平方与等于下面顶点上得三角函数值得平方。
二、诱导公式得本质所谓三角函数诱导公式,就就是将角n·(π/2)±α得三角函数转化为角α得三角函数。
(一)常用得诱导公式1、公式一: 设α为任意角,终边相同得角得同一三角函数得值相等:sin(2kπ+α)=sinα, k∈z cos(2kπ+α)=cosα, k∈ztan(2kπ+α)=tanα, k∈z cot(2kπ+α)=cotα, k∈zsec(2kπ+α)=secα, k∈z csc(2kπ+α)=cscα, k∈z2、公式二:α为任意角,π+α得三角函数值与α得三角函数值之间得关系:sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotαsec (π+α) =—secα csc (π+α) =—cscα3、公式三:任意角α与 -α得三角函数值之间得关系:sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotαsec (—α) = secα csc (—α) =—cscα4、公式四:利用公式二与公式三可以得到π-α与α得三角函数值之间得关系:sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα co t(π-α)=-cotαsec (π—α) =—secα csc (π—α) = cscα5、公式五:利用公式一与公式三可以得2π-α与α得三角函数值之间得关系:sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotαsec (2π—α) = secαcsc (2π—α) =—cscα6、公式六:+α与α得三角函数值之间得关系:sin(+α)=cosα cos(+α)=-sinαtan(+α)=-cotα cot(+α)=-tanαsec (+α) =—cscα csc (+α) = secα7、公式七:-α与α得三角函数值之间得关系:sin(-α)=cosα cos(-α)=sinαtan(-α)=cotα cot(-α)=tanαsec (—α) = cscα csc (—α) = secα8、推算公式:+α与α得三角函数值之间得关系:sin(+α)=-cosα cos(+α)=sinαtan(+α)=-cotα cot(+α)=-tanαsec (+α) = cscα csc (+α) =—secα9、推算公式:—α与α得三角函数值之间得关系:sin(-α)=-cosα cos(-α)=-sinαtan(-α)=cotα cot(-α)=tanαsec(-α) =—cscα csc(—α) =—secα诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号瞧象限”。
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1; (2)商数关系:tan α=sin αcos α.平方关系对任意角都成立,而商数关系中α≠k π+π2(k ∈Z).2.诱导公式诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π2+α(k ∈Z )”中的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若k 是奇数,则正、余弦互变;若k 为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π2+α(k ∈Z )”中,将α看成锐角时,“k ·π2+α(k ∈Z )”的终边所在的象限.二、常用结论同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α=1-cos 2α=(1+cos α)(1-cos α); cos 2α=1-sin 2α=(1+sin α)(1-sin α); (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. (2)sin α=tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2+k π,k ∈Z .考点一 三角函数的诱导公式[典例] (1)已知f (α)=cos ⎝⎛⎭⎫π2+αsin ⎝⎛⎭⎫3π2-αcos (-π-α)tan (π-α),则f ⎝⎛⎭⎫-25π3的值为________. (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6-α=23,则sin ⎝⎛⎭⎫α-2π3=________. [解析] (1)因为f (α)=cos ⎝⎛⎭⎫π2+αsin ⎝⎛⎭⎫3π2-αcos (-π-α)tan (π-α) =-sin α(-cos α)(-cos α)⎝⎛⎭⎫-sin αcos α=cos α, 所以f ⎝⎛⎭⎫-25π3=cos ⎝⎛⎭⎫-25π3=cos π3=12. (2)sin ⎝⎛⎭⎫α-2π3=-sin ⎝⎛⎭⎫2π3-α=-sin ⎣⎡⎦⎤π-⎝⎛⎭⎫π3+α=-sin ⎝⎛⎭⎫π3+α=-sin ⎣⎡⎦⎤π2-⎝⎛⎭⎫π6-α=-cos ⎝⎛⎭⎫π6-α=-23. [答案] (1)12 (2)-23[题组训练]1.已知tan α=12,且α∈⎝⎛⎭⎫π,3π2,则cos ⎝⎛⎭⎫α-π2=________. 解析:法一:cos ⎝⎛⎭⎫α-π2=sin α,由α∈⎝⎛⎭⎫π,3π2知α为第三象限角, 联立⎩⎪⎨⎪⎧tan α=sin αcos α=12,sin 2α+cos 2α=1,解得5sin 2α=1,故sin α=-55.法二:cos ⎝⎛⎭⎫α-π2=sin α,由α∈⎝⎛⎭⎫π,3π2知α为第三象限角,由tan α=12,可知点(-2,-1)为α终边上一点,由任意角的三角函数公式可得sin α=-55. 答案:-552. sin(-1 200°)·cos 1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1 050°)+tan 945°=________.解析:原式=sin(-3×360°-120°)cos(3×360°+180°+30°)+cos(-3×360°+60°) sin(-3×360°+30°)+tan(2×360°+180°+45°)=sin 120°cos 30°+cos 60°sin 30°+tan 45°=34+14+1=2. 答案:23.已知tan ⎝⎛⎭⎫π6-α=33,则tan ⎝⎛⎭⎫5π6+α=________. 解析:tan ⎝⎛⎭⎫5π6+α=tan ⎝⎛⎭⎫π-π6+α=tan ⎣⎡⎦⎤π-⎝⎛⎭⎫π6-α=-tan ⎝⎛⎭⎫π6-α=-33. 答案:-33考点二 同角三角函数的基本关系及应用[典例] (1)若tan α=2,则sin α+cos αsin α-cos α+cos 2α=( )A.165 B .-165C.85D .-85(2)已知sin αcos α=38,且π4<α<π2,则cos α-sin α的值为( )A.12 B .±12C .-14D .-12[解析] (1)sin α+cos αsin α-cos α+cos 2α=sin α+cos αsin α-cos α+cos 2αsin 2α+cos 2α =tan α+1tan α-1+1tan 2α+1,将tan α=2代入上式,则原式=165.(2)因为sin αcos α=38,所以(cos α-sin α)2=cos 2α-2sin αcos α+sin 2α=1-2sin αcos α=1-2×38=14,因为π4<α<π2,所以cos α<sin α,即cos α-sin α<0,所以cos α-sin α=-12.[答案] (1)A (2)D[题组训练]1.(2018·甘肃诊断)已知tan φ=43,且角φ的终边落在第三象限,则cos φ=( )A.45 B .-45C.35D .-35解析:选D 因为角φ的终边落在第三象限,所以cos φ<0,因为tan φ=43,所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2φ+cos 2φ=1,sin φcos φ=43,cos φ<0,解得cos φ=-35.2.已知tan θ=3,则sin 2θ+sin θcos θ=________. 解析:sin 2θ+sin θcos θ=sin 2θ+sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tan θtan 2θ+1=32+332+1=65.答案:653.已知sin α+3cos α3cos α-sin α=5,则sin 2α-sin αcos α=________.解析:由已知可得sin α+3cos α=5(3cos α-sin α), 即sin α=2cos α,所以tan α=sin αcos α=2, 从而sin 2α-sin αcos α=sin 2α-sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan 2α-tan αtan 2α+1=22-222+1=25.答案:254.已知-π<α<0,sin(π+α)-cos α=-15,则cos α-sin α的值为________.解析:由已知,得sin α+cos α=15,sin 2α+2sin αcos α+cos 2α=125, 整理得2sin αcos α=-2425.因为(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=4925,且-π<α<0,所以sin α<0,cos α>0, 所以cos α-sin α>0,故cos α-sin α=75.答案:75[课时跟踪检测]A 级1.已知x ∈⎝⎛⎭⎫-π2,0,cos x =45,则tan x 的值为( ) A.34 B .-34C.43D .-43解析:选B 因为x ∈⎝⎛⎭⎫-π2,0,所以sin x =-1-cos 2x =-35,所以tan x =sin x cos x =-34. 2.(2019·淮南十校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫α-π3=13,则cos ⎝⎛⎭⎫α+π6的值为( ) A .-13B.13C.223D .-223解析:选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫α-π3=13,∴cos ⎝⎛⎭⎫α+π6=cos ⎣⎡⎦⎤π2+⎝⎛⎭⎫α-π3=-sin ⎝⎛⎭⎫α-π3=-13. 3.计算:sin 11π6+cos 10π3的值为( ) A .-1 B .1 C .0D.12-32解析:选A 原式=sin ⎝⎛⎭⎫2π-π6+cos ⎝⎛⎭⎫3π+π3 =-sin π6-cos π3=-12-12=-1.4.若sin (π-θ)+cos (θ-2π)sin θ+cos (π+θ)=12,则tan θ的值为( )A .1B .-1C .3D .-3解析:选D 因为sin (π-θ)+cos (θ-2π)sin θ+cos (π+θ)=sin θ+cos θsin θ-cos θ=12,所以2(sin θ+cos θ)=sin θ-cos θ, 所以sin θ=-3cos θ,所以tan θ=-3.5.(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角,且sin ⎝⎛⎭⎫π2+α+cos ⎝⎛⎭⎫3π2+α=15,则tan α的值为( )A .-43B .-34C .-43或-34D .不存在解析:选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2+α+cos ⎝⎛⎭⎫3π2+α=15, 得cos α+sin α=15,∴2sin αcos α=-2425<0.∵α∈(0,π),∴sin α>0,cos α<0, ∴sin α-cos α=1-2sin αcos α=75,∴sin α=45,cos α=-35,∴tan α=-43.6.在△ABC 中,3sin ⎝⎛⎭⎫π2-A =3sin(π-A ),且cos A =-3cos(π-B ),则△ABC 为( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形D .等边三角形解析:选B 将3sin ⎝⎛⎭⎫π2-A =3sin(π-A )化为3cos A =3sin A ,则tan A =33,则A =π6,将cos A =-3cos(π-B )化为 cos π6=3cos B ,则cos B =12,则B =π3,故△ABC 为直角三角形.7.化简:1-cos 22θcos 2θtan 2θ=________.解析:1-cos 22θcos 2θtan 2θ=sin 22θcos 2θ·sin 2θcos 2θ=sin 2θ.答案:sin 2θ8.化简:cos ⎝⎛⎭⎫α-π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2+α·sin(α-π)·cos(2π-α)=________. 解析:原式=cos ⎝⎛⎭⎫π2-αsin ⎝⎛⎭⎫2π+π2+α·(-sin α)·cos α=sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2+α·(-sin α)·cos α =sin αcos α·(-sin α)·cos α=-sin 2α. 答案:-sin 2α9.sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫-4π3的值为________. 解析:原式=sin ⎝⎛⎭⎫π+π3·cos ⎝⎛⎭⎫π-π6·tan ⎝⎛⎭⎫-π-π3 =⎝⎛⎭⎫-sin π3·⎝⎛⎭⎫-cos π6·⎝⎛⎭⎫-tan π3 =⎝⎛⎭⎫-32×⎝⎛⎭⎫-32×(-3)=-334.答案:-33410.(2019·武昌调研)若tan α=cos α,则1sin α+cos 4α=________.解析:tan α=cos α⇒sin αcos α=cos α⇒sin α=cos 2α,故1sin α+cos 4α=sin 2α+cos 2αsin α+cos 4α=sin α+cos 2αsin α+cos 4α=sin α+sin αsin α+sin 2α=sin 2α+sin α+1=sin 2α+cos 2α+1=1+1=2.答案:211.已知α为第三象限角,f (α)=sin ⎝⎛⎭⎫α-π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2+α·tan (π-α)tan (-α-π)·sin (-α-π).(1)化简f (α);(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α-3π2=15,求f (α)的值. 解:(1)f (α)=sin ⎝⎛⎭⎫α-π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2+α·tan (π-α)tan (-α-π)·sin (-α-π)=(-cos α)·sin α·(-tan α)(-tan α)·sin α=-cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α-3π2=15, ∴-sin α=15,从而sin α=-15.又∵α为第三象限角,∴cos α=-1-sin 2α=-265,∴f (α)=-cos α=265.12.已知sin α=255,求tan(α+π)+sin ⎝⎛⎭⎫5π2+αcos ⎝⎛⎭⎫5π2-α的值.解:因为sin α=255>0,所以α为第一或第二象限角.tan(α+π)+sin ⎝⎛⎭⎫5π2+αcos ⎝⎛⎭⎫5π2-α =tan α+cos αsin α=sin αcos α+cos αsin α=1sin αcos α.①当α为第一象限角时,cos α=1-sin 2α=55, 原式=1sin αcos α=52.②当α为第二象限角时,cos α=-1-sin 2α=-55, 原式=1sin αcos α=-52.综合①②知,原式=52或-52.B 级1.已知sin α+cos α=12,α∈(0,π),则1-tan α1+tan α=( )A .-7 B.7 C.3D .-3解析:选A 因为sin α+cos α=12,所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=14,所以sin αcos α=-38,又因为α∈(0,π),所以sin α>0,cos α<0,所以cos α-sin α<0,因为(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×⎝⎛⎭⎫-38=74,所以cos α-sin α=-72, 所以1-tan α1+tan α=1-sin αcos α1+sin αcos α=cos α-sin αcos α+sin α=-7212=-7.2.已知θ是第一象限角,若sin θ-2cos θ=-25,则sin θ+cos θ=________.解析:∵sin θ-2cos θ=-25,∴sin θ=2cos θ-25,∴⎝⎛⎭⎫2cos θ-252+cos 2θ=1, ∴5cos 2θ-85cos θ-2125=0,即⎝⎛⎭⎫cos θ-35⎝⎛⎭⎫5cos θ+75=0. 又∵θ为第一象限角,∴cos θ=35,∴sin θ=45,∴sin θ+cos θ=75.答案:753.已知关于x 的方程2x 2-(3+1)x +m =0的两根分别是sin θ和cos θ,θ∈(0,2π),求: (1)sin 2θsin θ-cos θ+cos θ1-tan θ的值; (2)m 的值;(3)方程的两根及此时θ的值. 解:(1)原式=sin 2θsin θ-cos θ+cos θ1-sin θcos θ=sin 2θsin θ-cos θ+cos 2θcos θ-sin θ =sin 2θ-cos 2θsin θ-cos θ=sin θ+cos θ. 由条件知sin θ+cos θ=3+12, 故sin 2θsin θ-cos θ+cos θ1-tan θ=3+12.(2)由已知,得sin θ+cos θ=3+12,sin θcos θ=m2,因为1+2sin θcos θ=(sin θ+cos θ)2, 所以1+2×m 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫3+122,解得m =32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ+cos θ=3+12,sin θcos θ=34,得⎩⎨⎧sin θ=32,cos θ=12或⎩⎨⎧sin θ=12,cos θ=32.又θ∈(0,2π),故θ=π3或θ=π6.故当sin θ=32,cos θ=12时,θ=π3; 当sin θ=12,cos θ=32时,θ=π6.。
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§4.2同角三角函数基本关系及诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1.(2)商数关系:sin αcos α=tan α.2.下列各角的终边与角α的终边的关系角2kπ+α(k∈Z)π+α-α图示与角α终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角π-απ2-απ2+α图示与角α终边的关系关于y轴对称关于直线y=x对称3.组数一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sin_α-sin_α-sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α-cos_αcos_α-cos_αsin_α-sin_α正切 tan_α tan_α -tan_α -tan_α口诀 函数名不变 符号看象限函数名改变 符号看象限1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( × )(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( × )(3)若cos(n π-θ)=13(n ∈Z ),则cos θ=13.( × ) (4)已知sin θ=m -3m +5,cos θ=4-2m m +5,其中θ∈[π2,π],则m <-5或m ≥3.( × )(5)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=3-12,则tan θ的值为-3或-33.( × )(6)已知tan α=-12,则1+2sin αcos αsin 2α-cos 2α的值是-13.( √ )2. 已知sin(π-α)=log 814,且α∈(-π2,0),则tan(2π-α)的值为( ) A .-255B.255C .±255D.52答案 B解析 sin(π-α)=sin α=log 814=-23,又α∈(-π2,0),得cos α=1-sin 2α=53, tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=-sin αcos α=255.3. 若tan α=2,则2sin α-cos αsin α+2cos α的值为________.答案 34解析 原式=2tan α-1tan α+2=34.4. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6-α=23,则sin ⎝⎛⎭⎫α-2π3=________. 答案 -23解析 sin ⎝⎛⎭⎫α-2π3=sin ⎣⎡⎦⎤-π2-⎝⎛⎭⎫π6-α =-sin ⎣⎡⎦⎤π2+⎝⎛⎭⎫π6-α=-cos ⎝⎛⎭⎫π6-α=-23. 5. 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ,x ≤2 000,x -15,x >2 000,则f [f (2 015)]=________.答案 -1解析 ∵f [f (2 015)]=f (2 015-15)=f (2 000), ∴f (2 000)=2cos 2 000π3=2cos 23π=-1.题型一 同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知cos(π+x )=35,x ∈(π,2π),则tan x =________.(2)已知tan θ=2,则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ等于( ) A .-43B.54C .-34D.45思维启迪 (1)应用平方关系求出sin x ,可得tan x ; (2)把所求的代数式中的弦转化为正切,代入可求. 答案 (1)43(2)D解析 (1)∵cos(π+x )=-cos x =35,∴cos x =-35.又x ∈(π,2π),∴sin x =-1-cos 2x =-1-(-35)2=-45,∴tan x =sin x cos x =43. (2)sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ=sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=sin 2θcos 2θ+sin θcos θcos 2θ-2sin 2θcos 2θ+1=tan 2θ+tan θ-2tan 2θ+1=22+2-222+1=45.思维升华 (1)利用sin 2α+cos 2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin αcos α=tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin 2α+cos 2α,sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α.(1)已知1+sin x cos x =-12,那么cos xsin x -1的值是( )A.12B .-12C .2D .-2(2)已知tan θ=2,则sin θcos θ=________. 答案 (1)A (2)25解析 (1)由于1+sin x cos x ·sin x -1cos x =sin 2x -1cos 2x =-1,故cos x sin x -1=12.(2)sin θcos θ=sin θ·cos θsin 2θ+cos 2θ=tan θtan 2θ+1=222+1=25.题型二 诱导公式的应用例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6+α=33,求cos ⎝⎛⎭⎫5π6-α的值; (2)已知π<α<2π,cos(α-7π)=-35,求sin(3π+α)·tan ⎝⎛⎭⎫α-72π的值. 思维启迪 (1)将π6+α看作一个整体,观察π6+α与5π6-α的关系.(2)先化简已知,求出cos α的值,然后化简结论并代入求值. 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6+α+⎝⎛⎭⎫5π6-α=π, ∴5π6-α=π-⎝⎛⎭⎫π6+α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6-α=cos ⎣⎡⎦⎤π-⎝⎛⎭⎫π6+α =-cos ⎝⎛⎭⎫π6+α=-33,即cos ⎝⎛⎭⎫5π6-α=-33. (2)∵cos(α-7π)=cos(7π-α) =cos(π-α)=-cos α=-35,∴cos α=35.∴sin(3π+α)·tan ⎝⎛⎭⎫α-72π =sin(π+α)·⎣⎡⎦⎤-tan ⎝⎛⎭⎫72π-α =sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2-α =sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2-αcos ⎝⎛⎭⎫π2-α=sin α·cos αsin α=cos α=35.思维升华 熟练运用诱导公式和基本关系式,并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.另外,切化弦是常用的规律技巧.(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α+π12=13,则cos ⎝⎛⎭⎫α+7π12的值为________. (2)已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根,α是第三象限角,则sin (-α-32π)cos (32π-α)cos (π2-α)sin (π2+α)·tan 2(π-α)=________.答案 (1)-13 (2)-916解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫α+7π12=cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α+π12+π2 =-sin ⎝⎛⎭⎫α+π12=-13. (2)∵方程5x 2-7x -6=0的根为-35或2,又α是第三象限角,∴sin α=-35,∴cos α=-1-sin 2α=-45,∴tan α=sin αcos α=-35-45=34,∴原式=cos α(-sin α)sin α·cos α·tan 2α=-tan 2α=-916.题型三 三角函数式的求值与化简例3 (1)已知tan α=13,求12sin αcos α+cos 2α的值;(2)化简:tan (π-α)cos (2π-α)sin ⎝⎛⎭⎫-α+3π2cos (-α-π)sin (-π-α).思维启迪 三角函数式的化简与求值,都是按照从繁到简的形式进行转化,要认真观察式子的规律,使用恰当的公式. 解 (1)因为tan α=13,所以12sin αcos α+cos 2α=sin 2α+cos 2α2sin αcos α+cos 2α=tan 2α+12tan α+1=23. (2)原式=-tan α·cos α·(-cos α)cos (π+α)·(-sin (π+α))=tan α·cos α·cos α-cos α·sin α=sin αcos α·cos α-sin α=-1.思维升华 在三角函数式的求值与化简中,要注意寻找式子中的角,函数式子的特点和联系,可以切化弦,约分或抵消,减少函数种类,对式子进行化简.(1)若α为三角形的一个内角,且sin α+cos α=23,则这个三角形是( )A .正三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .钝角三角形(2)已知tan α=2,sin α+cos α<0, 则sin (2π-α)·sin (π+α)·cos (π+α)sin (3π-α)·cos (π-α)=________.答案 (1)D (2)-255解析 (1)∵(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=49,∴sin αcos α=-518<0,∴α为钝角.故选D.(2)原式=-sin α·(-sin α)·(-cos α)sin α·(-cos α)=sin α,∵tan α=2>0,∴α为第一象限角或第三象限角. 又sin α+cos α<0,∴α为第三象限角, 由tan α=sin αcos α=2, 得sin α=2cos α代入sin 2α+cos 2α=1, 解得sin α=-255.方程思想在三角函数求值中的应用典例:(5分)已知sin θ+cos θ=713,θ∈(0,π),则tan θ=________.思维启迪 利用同角三角函数基本关系,寻求sin θ+cos θ,sin θ-cos θ和sin θcos θ的关系. 规范解答解析 方法一 因为sin θ+cos θ=713,θ∈(0,π),所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=49169,所以sin θcos θ=-60169.由根与系数的关系,知sin θ,cos θ是方程x 2-713x -60169=0的两根,所以x 1=1213,x 2=-513.因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0. 所以sin θ=1213,cos θ=-513.所以tan θ=sin θcos θ=-125.方法二 同法一,得sin θcos θ=-60169,所以sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=-60169.弦化切,得tan θtan 2θ+1=-60169,即60tan 2θ+169tan θ+60=0,解得tan θ=-125或tan θ=-512.又θ∈(0,π),sin θ+cos θ=713>0,sin θcos θ=-60169<0. 所以θ∈(π2,3π4),所以tan θ=-125.方法三 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ+cos θ=713sin 2θ+cos 2θ=1得,⎩⎨⎧sin θ=1213cos θ=-513或⎩⎨⎧sin θ=-513cos θ=1213(舍).故tan θ=-125.答案 -125温馨提醒 三种解法均体现了方程思想在三角函数求值中的应用.利用已知条件sin θ+cos θ=713和公式sin 2θ+cos 2θ=1可列方程组解得sin θcos θ,sin θ-cos θ,也可以利用一元二次方程根与系数的关系求sin θ、cos θ.各解法中均要注意条件θ∈(0,π)的运用,谨防产生增解.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,主要是变名、变式.1. 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍.2. 三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式tan x =sin xcos x 化成正弦、余弦函数;(2)和积转换法:如利用(sin θ±cos θ)2=1±2sinθcos θ的关系进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换:1=sin 2θ+cos 2θ=cos 2θ(1+tan 2θ)=sin 2θ⎝⎛⎭⎫1+1tan 2θ=tan π4=…. 失误与防范1. 利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐. 特别注意函数名称和符号的确定.2. 在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 3. 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.A 组 专项基础训练 (时间:35分钟,满分:57分)一、选择题1. α是第四象限角,tan α=-512,则sin α等于( )A.15B .-15C.513D .-513答案 D解析 ∵tan α=sin αcos α=-512,∴cos α=-125sin α,又sin 2α+cos 2α=1,∴sin 2α+14425sin 2α=16925sin 2α=1.又sin α<0,∴sin α=-513.2. 已知α和β的终边关于直线y =x 对称,且β=-π3,则sin α等于( ) A .-32B.32C .-12D.12答案 D解析 因为α和β的终边关于直线y =x 对称,所以α+β=2k π+π2(k ∈Z ).又β=-π3,所以α=2k π+5π6(k ∈Z ),即得sin α=12.3. 已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin α·cos α等于( )A.25B .-25C.25或-25D .-15答案 B解析 由sin(π-α)=-2sin(π2+α)得sin α=-2cos α,所以tan α=-2,∴sin α·cos α=sin α·cos αsin 2α+cos 2α=tan α1+tan 2α=-25,故选B.4. 已知f (α)=sin (π-α)·cos (2π-α)cos (-π-α)·tan (π-α),则f ⎝⎛⎭⎫-25π3的值为 ( )A.12B .-12C.32D .-32答案 A解析 ∵f (α)=sin αcos α-cos α·(-tan α)=cos α,∴f ⎝⎛⎭⎫-25π3=cos ⎝⎛⎭⎫-25π3 =cos ⎝⎛⎭⎫8π+π3=cos π3=12. 5. 已知A =sin (k π+α)sin α+cos (k π+α)cos α(k ∈Z ),则A 的值构成的集合是( )A .{1,-1,2,-2}B .{-1,1}C .{2,-2}D .{1,-1,0,2,-2}答案 C解析 当k =2n (n ∈Z )时, A =sin (2n π+α)sin α+cos (2n π+α)cos α=2;当k =2n +1(n ∈Z )时,A =sin (2n π+π+α)sin α+cos (2n π+π+α)cos α=-2.故A 的值构成的集合为{-2,2}. 二、填空题6. 化简:sin ⎝⎛⎭⎫α+3π2·tan (α+π)sin (π-α)=________.答案 -1解析 原式=-cos α·tan αsin α=-sin αsin α=-1.7. 如果cos α=15,且α是第一象限的角,那么cos(α+3π2)=________.答案265解析 ∵cos α=15,α为第一象限角,∴sin α=1-cos 2α=1-(15)2=265,∴cos(α+3π2)=sin α=265.8. 化简:sin 2(α+π)·cos (π+α)·cos (-α-2π)tan (π+α)·sin 3(π2+α)·sin (-α-2π)=________. 答案 1解析 原式=sin 2α·(-cos α)·cos αtan α·cos 3α·(-sin α)=sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α=1. 三、解答题9. 已知sin θ=45,π2<θ<π. (1)求tan θ的值;(2)求sin 2θ+2sin θcos θ3sin 2θ+cos 2θ的值. 解 (1)∵sin 2θ+cos 2θ=1,∴cos 2θ=925. 又π2<θ<π,∴cos θ=-35. ∴tan θ=sin θcos θ=-43. (2)由(1)知,sin 2θ+2sin θcos θ3sin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+2tan θ3tan 2θ+1=-857. 10.已知sin θ,cos θ是关于x 的方程x 2-ax +a =0(a ∈R )的两个根,求cos 3(π2-θ)+sin 3(π2-θ)的值.解 由已知原方程的判别式Δ≥0,即(-a )2-4a ≥0,∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ+cos θ=a sin θcos θ=a ,(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ, 则a 2-2a -1=0,从而a =1-2或a =1+2(舍去),因此sin θ+cos θ=sin θcos θ=1- 2.∴cos 3(π2-θ)+sin 3(π2-θ)=sin 3θ+cos 3θ =(sin θ+cos θ)(sin 2θ-sin θcos θ+cos 2θ)=(1-2)[1-(1-2)]=2-2.B 组 专项能力提升(时间:25分钟,满分:43分)1. 已知sin θ=-13,θ∈(-π2,π2),则sin(θ-5π)sin(32π-θ)的值是 ( ) A.229 B .-229 C .-19 D.19答案 B解析 ∵sin θ=-13,θ∈(-π2,π2), ∴cos θ=1-sin 2θ=223. ∴原式=-sin(π-θ)·(-cos θ)=sin θcos θ=-13×223=-229. 2. 当0<x <π4时,函数f (x )=cos 2x cos x sin x -sin 2x的最小值是 ( )A.14B.12 C .2 D .4 答案 D解析 当0<x <π4时,0<tan x <1, f (x )=cos 2x cos x sin x -sin 2x =1tan x -tan 2x, 设t =tan x ,则0<t <1,y =1t -t 2=1t (1-t )≥1[t +(1-t )2]2=4. 当且仅当t =1-t ,即t =12时等号成立. 3. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6-θ=a (|a |≤1),则cos ⎝⎛⎭⎫5π6+θ+sin ⎝⎛⎭⎫2π3-θ的值是________. 答案 0解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6+θ=cos ⎣⎡⎦⎤π-⎝⎛⎭⎫π6-θ =-cos ⎝⎛⎭⎫π6-θ=-a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3-θ=sin ⎣⎡⎦⎤π2+⎝⎛⎭⎫π6-θ=cos ⎝⎛⎭⎫π6-θ=a , ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6+θ+sin ⎝⎛⎭⎫2π3-θ=0. 4. 已知f (x )=cos 2(n π+x )·sin 2(n π-x )cos 2[(2n +1)π-x ](n ∈Z ). (1)化简f (x )的表达式; (2)求f (π2 014)+f (503π1 007)的值. 解 (1)当n 为偶数,即n =2k (k ∈Z )时,f (x )=cos 2(2k π+x )·sin 2(2k π-x )cos 2[(2×2k +1)π-x ]=cos 2x ·sin 2(-x )cos 2(π-x )=cos 2x ·(-sin x )2(-cos x )2=sin 2x ;当n 为奇数,即n =2k +1(k ∈Z )时,f (x )=cos 2[(2k +1)π+x ]·sin 2[(2k +1)π-x ]cos 2{[2×(2k +1)+1]π-x }=cos 2[2k π+(π+x )]·sin 2[2k π+(π-x )]cos 2[2×(2k +1)π+(π-x )]=cos 2(π+x )·sin 2(π-x )cos 2(π-x )=(-cos x )2sin 2x (-cos x )2=sin 2x ,综上得f (x )=sin 2x .(2)由(1)得f (π2 014)+f (503π1 007) =sin 2π2 014+sin 21 006π2 014 =sin 2π2 014+sin 2(π2-π2 014) =sin 2π2 014+cos 2π2 014=1. 5. 已知在△ABC 中,sin A +cos A =15. (1)求sin A cos A 的值;(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形;(3)求tan A 的值.解 (1)∵sin A +cos A =15,① ∴两边平方得1+2sin A cos A =125, ∴sin A cos A =-1225. (2)由sin A cos A =-1225<0,且0<A <π, 可知cos A <0,∴A 为钝角,∴△ABC 是钝角三角形.(3)∵(sin A -cos A )2=1-2sin A cos A =1+2425=4925, 又sin A >0,cos A <0,∴sin A -cos A >0,∴sin A -cos A =75.② ∴由①,②可得sin A =45,cos A =-35, ∴tan A =sin A cos A =45-35=-43.。