第6章 水力压裂力学

2 2 15
（6.8）
6.2.2
PKN模型
水力压裂二维模拟


假设每一垂向截面独立作用，即假设截面的压力是由 高度控制的而非由缝长控制的。
在缝长远大于缝高的条件下成立

没有考虑断裂力学和缝端的影响，而主要考虑了缝内 流体的流动以及相应的压力梯度的影响
图6.1 PKN裂缝
KGD模型


假设每一水平截面独立作用，即假设裂缝面任一点处裂 缝宽度沿垂向变化远比水平方向的变化慢。 在缝高远大于缝长或者储积层边界产生完全滑移的条件 下成立
• 断裂韧性可忽略（裂缝延伸所需的能量远比流体沿 缝长方向流动所需的能量最小）
• 缝中流体滤失和存储或者体积变化可以忽略的假设 • 固定缝高的假设 • 没有直接给出作为解的一部分
6.2.2.2 模型中考虑流体滤失
Cater（1957）
裂缝任一点处的滤失速度：
CL uL t texp
CL——滤失系数 texp——该点滤失速率 （6.13） t——当前时间 uL——持续的时间 （6.14）

0
L
pnet x dx
1 x L
2
0
（6.23）
裂缝宽度方程：
4 ww Lpnet E
（6.24） 图6.3 Barenblatt 的缝端状况
通过解方程（6.22）至方程（6.24）三个方程，得 到Perkins和Kern（1961）给出的表达形式。
pnet ,w 21qi 3 E 2 64h L f
泵注排量qi保持不变，裂缝中的流体摩擦阻 力不计，没有滤失时：
161 R 2 F E （6.7） qi 2 31 2 q t 3E i
2 3 3 3 2 15
整理得到R：
9 Eqi t R 2 2 1281 qi t
开发和利用水力压裂施工的重要原因
进行经济优化
（确定多大施工规模得到最高回报率）
泵注程序优化
模拟特定的泵注程序得到相应
的裂缝几何形状和支撑剂铺置
施工评估
6.2 早期水力压裂模拟
6.2.1 基本的压裂模拟
Sneddon 和 Elliot（1946）
半径为R的静态扁平裂缝的宽度：
8 pR(1 2 ) w( r ) 1 (r R) 2 E
模型用于研究裂缝的主体在裂缝起裂地层以 外或者压裂液垂向流动比水平流动更强烈的 情况 这种模型在6.3.1节介绍


拟三维模型

主要类型有块体和单元体两种 块体（椭圆）模型中，假设垂向剖面由中心相连 的两个半椭圆组成，每一时间步长计算出水平裂 缝和井筒中裂缝缝端的垂向延伸，假设的裂缝形 态也要拟合到这些位臵；采用固有的假设条件， 分析得到：流体沿射孔到椭圆边缘的流线流动， 而且流线有专门的形状。 单元体模型将裂缝视为一系列相连的单元对待， 不需要对裂缝形态进行假设，但一般假设为平面 应变，流体垂向流动计算与裂缝几何形状之间没 有做完全耦合。 这种模型在 6.3.2 和 6.3.3 节介绍
14
（6.25）
井壁裂缝宽度：
84 qi L ww E h f
2

14
（6.26）
在没有滤失的情况下，解得缝长和缝宽:
E qi 2 3 t Lt 0.38 3 h f
3 16
（6.27）
qi 1 3 t ww 1.48 3 E h f
（6.4）
裂缝的形状为椭圆，平均缝宽w 4w。 定义平面应变模量E‘更为方便：
E E 1 2
（6.5）
Perkin 和 Kern （1961）
径向裂缝扩展的压力：
pnet 2 F E 31 2 2V
3 3 2

15
（6.6）
6.3 三维和拟三维模型
前面简单模型的局限性：

需要给定缝高或假设产生的是径向缝
原因：

不能断定裂缝是否被限制在某一特定的地层中
由井筒（压力最高处）至缝端的过程中缝高是 变化的
解决办法：

利用平面三维3D和拟三维（P3D）模型来弥补
包括缝高增长的三种主要水力压裂模型
普通三维模型

wu w 2 uL 0 t
（6.33）
动量守恒方程：
Du p g Dt
式中：τ——剪应力 g —— 重力加速度 （6.34）
方程（6.34）的左边为动量改变速率；右边分 别为压力、粘滞力和重力，它可解释为小的流体 单元在力的作用下而加速。该方程可以扩展并根 据压裂地层的不同形状而简化（见旁注6F）。
q A qL 0 x t
（6.18）
q —— 流体通过某一横截面的体积流速 A—— 裂缝的横截面积（对于PKN模型为πwhf/4） qL——单位长度上滤失体积流速
qL 2h f uL
其中：uL由方程（6.13）得到，横截面面积不是 裂缝面的面积Af
压力用缝宽表示代替，方程（6.18）写为：
裂缝的形态随时间不断演化，假设该过程用线 弹性断裂力学描述。 • 简单的裂缝形态和缝内压力分布如定压下的 椭圆形裂缝，破裂准则：方程（6.3）
• 复杂的裂缝形态和压力分布，破裂准则用缝端 附近的缝宽和临界应力集中系数或断裂韧性 KIC表示：
4 2 K IC w x E x
（6.32）
（6.30）
其中：
8CL t S ww
为了包括瞬时滤失Sp的影响，应该以 ww+(8/π)Sp代替ww 。
6.2.2.4 PKN 和 KGD 模型的假设

平面裂缝（裂缝沿最小主应力垂直方向扩展） 流动沿缝长一维流动 流体为牛顿流体 滤失特性由滤失理论（6.13）得到的简单表达式所控制 地层岩石为连续、均匀、各向同性的线弹性体 裂缝被认为缝高不变，完全在某一给定的地层中扩展 PKN模型假设缝长远大于缝高，忽略了有关断裂力学 的影响 KGD模型假设缝高远大于缝长，包括了缝端动态过程 控制裂缝延伸的假设
pnet dpnet
3
（6.10）
沿裂缝半长L对上式积分，并利用边界条件pnet=0 得到：
pnet 16qi E L 4 h f
3
（6.11）
实际的裂缝宽度：
w( x ) 3 qi L x E
1/ 4
（6.12）
重要发现： • 垂向平面应变特性的假设
6.1 引
言
水力压裂力学是对压裂工艺和压裂机理的简单描述。
水力压裂力学
流体力学
描述单相、两相 或三相流体在裂 缝中的流动
固体力学
描述由于流体压 力变化引起的 岩石变形或张开
断裂力学
描述与水力裂缝 端部附近发生的 破坏和裂开的 各种内容
热力学
描述压裂流体 与地层之间的 热交换
所有的响应是耦合的，相互影响
E 2 w4 8CL w 2 128h f x t texp x t
（6.19）
以无量纲形式对该方程数值求解，得到与时间有 关的缝宽和缝长。方程解中的无量纲时间定义如 下：
64CL E h f tD 3 q 2 f
5
t
23
（6.20）
6.2.2.3 Khristianovich-geerssma-de Klerk 模型的导出
Khristianovich 和 Zheltov（1995）导出了缝高远大于
缝长，即离开井筒任意距离时缝宽与垂向位臵无关 这种水力裂缝延伸的解。
通过假设缝内流速恒定；除缝端没有流体穿 透（即没有压力）外，缝中的压力大部分处的压 力以定压近似。可用解析法解该问题。 流体滞后的概念一直是缝端力学的中的重要组 成部分，已经在现场得到证明（Warpinski，1985）。 如果缝端无流体穿透区很小（约为总缝长的百分之 几），他们发现裂缝主体中沿整个缝的压力几乎等 于井中的压力，只是在靠近缝端剧减。
3
16
（6.28）
假设流体滤失对裂缝形态或压力分布没有影响， 将模型推广到包括流体滤失的情况下： 一个两翼KGD裂缝的体积为：
Vf

2
h f Lww
（6.29）
运用体积平衡和与Carter相似的解法，得到：
qw L i w 64CLh f 2 s2 e erfc S 1
Hirth 和Lother（1968）以及Bui（1977）
裂缝中压力和缝宽的关系式：
wx, y f x x, y y px, y x, ydxdy
（6.31）
式中：σ——应力 f —— 弹性影响函数，一般情况下只有 对于均质线弹性材料，才可以导出该方程的可 用的形式（见旁注6E）。在实际应用中，一般 假设岩石为各向同性。

缝端区域起着很重要的作用，而缝内压力可以估算
图6.2 KGD 裂缝
6.2.2.1 垂向裂缝的Perkins 和 Ken模型的推导
流动的基本方程：
dp 64q dx h f w3
（6.9）
将缝宽方程 （6.4） 代入上式
4 qi E 3 dx 4 hf
14
并用注入速度的一半代替q，并假设流速沿缝不变得到：
Geertsma 和 de Klerk（1969）对于缝端区域很小这
个问题给出了解。
对于矩形横截面，流动的基本方程为：
dp 12q dx h f w3
（6.21）
可以积分形式写为：
pnet 6qi hf dx 3 w 0
L