中考数学复习课：解直角三角形的应用(河南)
中考数学总复习第四章第21课时解直角三角形的应用课件
解：如图，连接 AB，取 AB 中点 D，连接 CD. ∵AC＝BC，点 D 为 AB 中点. ∴中线 CD 为△ABC 的角平分线，
CD⊥AB，AD＝BD＝12AB. ∴∠ACD＝∠BCD＝21∠ACB＝50°.
在Rt△ACD中， sin∠ACD＝AADC， ∴sin 50°＝A1D0 . ∴AD＝10×sin 50°≈7.66. ∴AB＝2AD≈15.3(m). ∴A，B 两点间的距离大约是 15.3 m.
仰角与俯角
1.如图，小丽为了测旗杆 AB 的高度，小丽眼睛距地面 1.5 米， 小丽站在 C 点，测出旗杆 A 的仰角为 30°，小丽向前走了10米到 达点 E，此时的仰角为 60°，求旗杆的高度.
解：由题意，∠ADG＝30°，∠AFG＝60°，DF＝10， ∴∠DAF＝∠AFG－∠ADG＝30°. ∴∠FAD ＝∠FDA.∴DF＝AF＝10.
∴tan∠B＝CBFF， ∴BF＝tanC∠F B＝4.35＝92 3.
3
∵AD 的坡度 i＝1∶1.2，
∴tan∠A＝DAEE＝56， ∴AE＝tanD∠E A＝tanC∠F A＝45.5＝257，
6 ∴AB＝AE＋EF＋BF＝257＋2.5＋92 3＝79＋1405 ∴坝底 AB 的长约为 15.7 m.
(1)求 BC 的长. (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件， 求旗杆 AB 的高度. 条件①：CE＝1.0 m；条件②：从 D 处看旗杆顶部 A 的仰角α 为 54.46°. (参考数据：sin 54.46°≈0.81，cos 54.46°≈0.58， tan 54.46°≈1.40)
h _(_坡__比__)_，记作 i，即 i＝____l ____.
h 4.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α，tan α＝___l_____＝ ____i____.坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
2022河南数学中考总复习--解直角三角形(试题、含解析)
2022河南数学中考总复习--§6.3 解直角三角形五年中考考点1 锐角三角函数1.(2021天津,2,3分)tan 30°的值等于( )A.√33B.√22C.1D.2答案 A tan 30°=√33,故选A .2.(2020浙江杭州,4,3分)如图,在△ABC 中,∠C =90°,设∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c ,则 ( )A.c =b sin BB.b =c sin BC.a =b tan BD.b =c tan B答案 B ∵Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,∴sin B =b c,即b =c sin B ,故A 选项不成立,B 选项成立;tan B =ba ,即b =a tan B ,故C 选项不成立,D 选项不成立.故选B .3.(2019天津,2,3分)2sin 60°的值等于 ( )A.1B.√2C.√3D.2答案 C 根据特殊角的三角函数值,可得sin 60°=√32,则2sin 60°=2×√32=√3.故选C .4.(2018云南,12,4分)在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =1,BC =3,则∠A 的正切值为 ( )A.3B.13 C.√1010 D.3√1010答案 A ∵AC =1,BC =3,∠C =90°,∴tan A =BCAC =3.故选A .5.(2017内蒙古包头,18,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上一点,且FC=2BF,连接AE,EF.若AB=2,AD=3,则cos∠AEF的值是.答案√22解析连接AF.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°.∵点E是CD的中点,AB=2,∴CE=1.∵FC=2BF,BC=3,∴BF=1,FC=2.易证△ABF≌△FCE,∴AF=EF,∠AFB=∠FEC,∵∠FEC+∠EFC=90°,∴∠AFB+∠EFC=90°,∴∠AFE=90°.∴△AEF是等腰直角三角形,∴cos∠AEF=cos45°=√22.考点2解直角三角形1.(2020安徽,8,4分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,∠DBC=∠A.若AC=4,cos A=45,则BD的长度为()A.94B.125C.154D.4答案C∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,cos A=ACAB =4 5 ,∴AB =5,∴BC =√AB 2-AC 2=3, ∵∠DBC =∠A , ∴cos∠DBC =BC BD =45, ∴BD =154. 故选C .思路分析 先利用cos A 的值和勾股定理求出BC 的长,再利用cos ∠DBC =cos A =45求出BD 的长.2.(2020江苏苏州,7,3分)如图,小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度,他作了如下操作:(1)在点C 处放置测角仪,测得旗杆顶的仰角∠ACE =α;(2)量得测角仪的高度CD =a ;(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB =b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为 ( )A.a +b tan αB.a +b sin αC.a +btanα D.a +bsinα 答案 A 延长CE 交AB 于F , 由题意得,四边形CDBF 为矩形, ∴CF =DB =b ,FB =CD =a ,在Rt △ACF 中,∠ACF =α,CF =b , ∵tan∠ACF =AFCF ,∴AF =CF ·tan ∠ACF =b tan α, ∴AB =AF +BF =a +b tan α. 故选A .解题关键本题主要考查了解直角三角形,解题关键是通过构造直角三角形,将实际问题转化为数学问题.3.(2019辽宁大连,15,3分)如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°,观测旗杆底部B的仰角为45°,则旗杆AB的高度约为m.(结果取整数.参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)答案3解析∵∠BDC=45°,∠BCD=90°,∴∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=180°-90°-45°=45°,∴∠BDC=∠DBC,∴BC=DC=10m.,在Rt△ADC中,tan∠ADC=ACCD,∴tan53°=AC10∴AC=10tan53°≈10×1.33≈13.3m.∴AB=AC-BC=13.3-10=3.3≈3m.故答案为3.思路分析因为∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以可得BC=DC=10m,解直角三角形可求出AC≈13.3m,进一步可求出AB的长度.4.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A ,B 两点间的距离为90 cm .低杠上点C 到直线AB 的距离CE 的长为155 cm ,高杠上点D 到直线AB 的距离DF 的长为234 cm ,已知低杠的支架AC 与直线AB 的夹角∠CAE 为82.4°,高杠的支架BD 与直线AB 的夹角∠DBF 为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH.(结果精确到1 cm .参考数据:sin 82.4°≈0.991,cos 82.4°≈0.132,tan 82.4°≈7.500,sin 80.3°≈0.983,cos 80.3°≈0.168,tan 80.3°≈5.850)解析 在Rt △CAE 中,AE =CE tan ∠CAE =155tan82.4°≈1557.500≈20.7. (3分)在Rt △DBF 中,BF =DF tan ∠DBF =234tan80.3°≈2345.850=40. (6分)∴EF =AE +AB +BF =20.7+90+40=150.7≈151. ∵四边形CEFH 为矩形, ∴CH =EF =151.即高、低杠间的水平距离CH 的长约是151 cm .(9分)思路分析 根据Rt △CAE 和Rt △DBF 中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE ,BF 的长度,得EF =AE +AB +BF ,由矩形的性质可知CH =EF ,可以求出问题的答案.5.(2021河南,19,9分)开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝,卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图,他们选取的测量点A 与佛像BD 的底部D 在同一水平线上.已知佛像头部BC为4m,在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°,头底部C的仰角为37.5°,求佛像BD的高度(结果精确到0.1m.参考数据:sin37.5°≈0.61,cos37.5°≈0.79,tan37.5°≈0.77).解析设BD=x m,在Rt△BDA中,∠BDA=90°,∠BAD=45°,∴AD=BD=x.(3分)在Rt△CDA中,∠CAD=37.5°,∴CD=AD·tan37.5°≈0.77x.(6分)∵BC=4,∴BD-CD=4,即x-0.77x=4.解得x≈17.4.答:佛像BD的高度约为17.4m.(9分)6.(2019河南,19,9分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE在高55m的小山EC上.在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1m.参考数据:sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67,√3≈1.73)解析在Rt△ACE中,∵∠A=34°,CE=55,∴AC =CEtan34°≈550.67≈82.1. ∴BC =AC -AB =82.1-21=61.1. (4分)在Rt △BCD 中, ∵∠CBD =60°,∴CD =BC ·tan 60°≈61.1×1.73≈105.7. (7分)∴DE =CD -CE =105.7-55≈51.所以炎帝塑像DE 的高度约为51 m . (9分)思路分析 已知EC =55,∠A =34°,先解Rt △ACE ,求得AC 的长,由BC =AC -AB 得BC 的长,再解Rt △BCD ,求得CD 的长,从而求得DE.7.(2020河南,18,9分)位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在地面一条水平步道MP 上架设测角仪,先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为22°,然后沿MP 方向前进16 m 到达点N 处,测得点A 的仰角为45°,测角仪的高度为1.6 m .(1)求观星台最高点A 距离地面的高度(结果精确到0.1 m .参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40,√2≈1.41);(2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6 m .请计算本次测量结果的误差,并提出一条减小误差的合理化建议.解析 (1)如图,过点A 作AF ⊥MP ,垂足为点F ,交BC 的延长线于点E.由题意知,四边形MBCN 和四边形NCEF 均为矩形, (2分)设AE =x m ,在Rt △ACE 中,∠AEC =90°,∠ACE =45°, ∴CE =AE =x m , (3分)在Rt △ABE 中,∠AEB =90°,∠ABE =22°, ∵tan 22°=AEBE , ∴BE =AEtan22°≈x0.40=52x m , (4分)∵BE -CE =BC , ∴52x -x =16. 解得x =323≈10.67. (6分)∵EF =BM =1.6 m ,∴AF =AE +EF =10.67+1.6≈12.3 m .即观星台最高点A 距离地面的高度约为12.3 m . (7分)(2)误差为12.6-12.3=0.3(m ).(8分)可多次测量,取测量数据的平均值(答案不唯一,合理即可). (9分)8.(2017河南,19,9分)如图所示,我国两艘海监船A ,B 在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B 船在A 船的正南方向5海里处,A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向,B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向.已知A 船的航速为30海里/小时,B 船的航速为25海里/小时,问C 船至少要等待多长时间才能得到救援?参考数据:sin 53°≈45,cos 53°≈35,tan 53°≈43,√2≈1.41解析 过点C 作CD ⊥AB 交直线AB 于点D ,则∠CDA =90°. (1分)设CD =x 海里,则AD =CD =x 海里. ∴BD =AD -AB =(x -5)海里.(3分)在Rt △BDC 中,CD =BD ·tan 53°, 即x =(x -5)·tan 53°,∴x =5tan53°tan53°-1≈5×4343-1=20. (6分)∴BC =CD sin53°=x sin53°≈20÷45=25海里.∴B 船到达C 船处约需25÷25=1(小时). (7分) 在Rt △ADC 中,AC =√2x ≈1.41×20=28.2海里, ∴A 船到达C 船处约需28.2÷30=0.94(小时).(8分)而0.94<1,所以C 船至少要等待0.94小时才能得到救援. (9分) 解题技巧 本题是解三角形两种典型问题中的一种. 以下介绍两种典型问题: (1)如图1,当BC =a 时,设AD =x , 则CD =x tanβ,BD =xtanα. ∵CD +BD =a , ∴xtanβ+xtanα=a , ∴x =atanαtanβtanα+tanβ.图1(2)如图2,当BC =a 时,设AD =x , 则BD =x tanα,CD =x tanβ, ∵CD -BD =a ,∴x tanβ-xtanα=a ,∴x =atanαtanβtanα-tanβ.图29.(2021江西,20,8分)图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图,图2是其侧面示意图,其中枪柄BC 与手臂MC 始终在同一直线上,枪身BA 与额头保持垂直.量得胳膊MN =28 cm ,MB =42 cm ,肘关节M 与枪身端点A 之间的水平宽度为25.3 cm (即MP 的长度),枪身BA =8.5 cm . (1)求∠ABC 的度数;(2)测温时规定枪身端点A 与额头距离范围为3~5 cm .在图2中,若测得∠BMN =68.6°,小红与测温员之间距离为50 cm .问此时枪身端点A 与小红额头的距离是否在规定范围内?并说明理由.(结果保留小数点后一位)(参考数据:sin 66.4°≈0.92,cos 66.4°≈0.40,sin 23.6°≈0.40,√2≈1.414)图1图2解析 (1)过点B 作BK ⊥MP 于点K ,由题意可知四边形ABKP 为矩形. ∴MK =MP -AB =25.3-8.5=16.8 cm . 在Rt △BMK 中,cos ∠BMK =MK MB =16.842=0.4, ∴∠BMK ≈66.4°,∴∠MBK =90°-66.4°=23.6°, ∴∠ABC =23.6°+90°=113.6°. 答:∠ABC 的度数为113.6°.(2)延长PM 交FG 于点H ,由题意得∠NHM =90°, ∵∠BMN =68.6°,∠BMK =66.4°, ∴∠NMH =180°-68.6°-66.4°=45°. 在Rt △MNH 中, cos 45°=HM MN =HM28,∴HM =28×√22≈14×1.414=19.796 cm .∴枪身端点A 与小红额头的距离为50-19.796-25.3=4.904 cm ≈4.9 cm . ∵3<4.9<5,∴枪身端点A 与小红额头的距离在规定范围内.三年模拟A组基础题组一、选择题(每题3分,共9分)1.(2021洛阳汝阳一模,5)李红同学遇到了这样一道题:√3tan(α+20°)=1,你猜想锐角α的度数应是()A.40°B.30°C.20°D.10°答案D∵√3tan(α+20°)=1,∴tan(α+20°)=√33,∵α为锐角,∴α+20°=30°,α=10°.故选D.2.(2020信阳商城一模,8)如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为()A.13B.1 C.√33D.√3答案B连接BC,由题意可得AB=BC=√5,AC=√10,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠BAC=45°,则tan∠BAC=1.故选B.3.(2020河南百校联盟一模,9)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,以B为圆心,BC长为半径画弧交AD于点E,连接CE,作BF⊥CE,垂足为F,则tan∠FBC的值为()A.12 B.25 C.310 D.13 答案D连接BE.∵以B 为圆心,BC 长为半径画弧交AD 于点E ,∴BE =BC =5,∴AE =√BE 2-AB 2=√52-32=4,∴DE =AD -AE =5-4=1,∴CE =√CD 2+DE 2=√32+12=√10,∵BC =BE ,BF⊥CE ,∴点F 是CE的中点,∴CF =12CE =√102,∴BF =√BC 2-CF 2=√52-(√102)2=3√102,∴tan∠FBC =CF BF =√1023√102=13,即tan ∠FBC 的值为13.故选D.二、解答题(共51分)4.(2021濮阳一模,18)某市为了加快5G 网络信号覆盖,在市区附近小山顶架设信号发射塔,如图,山顶上有一个信号塔AC ,已知信号塔高AC =21米,在山脚下点B 处测得塔底C 的仰角∠CBD =36.9°,塔项A 的仰角∠ABD =42.0°.求山高CD (点A ,C ,D 在同一条竖直线上).(参考数据:tan 36.9°≈0.75,sin 36.9°≈0.60,tan 42.0°≈0.90)解析 由题意得,在Rt △ABD 与Rt △CBD 中,AD =BD ·tan ∠ABD =BD ·tan 42.0°≈0.90BD , CD =BD ·tan ∠CBD =BD ·tan 36.9°≈0.75BD.∵AC =AD -CD =0.15BD =21(米), ∴BD =140(米). ∴CD =0.75BD =105(米). 答:山高CD 约为105米.5.(2021郑州二模,18)某区域平面示意图如图所示,点D 在河的右侧,人民路AB 与桥BC 垂直,某校数学小组进行研学活动时,在C 处测得点D 位于西北方向,又在A 处测得点D 位于南偏东65°方向,另测得BC =628 m ,AB =400 m ,求出点D 到AB 的距离.(结果保留整数,参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14)解析 如图,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,过点D 作DF ⊥BC 于点F ,则四边形EBFD 是矩形, 设DE =x m ,在Rt △ADE 中,∠AED =90°, ∵tan∠DAE =DEAE , ∴AE =DE tan ∠DAE ≈x2.14,∴BE =400-x2.14, 又BF =DE =x ,∴CF =628-x ,在Rt △CDF 中,∠DFC =90°,∠DCF =45°, ∴DF =CF =628-x , 又BE =DF ,即400-x2.14=628-x , 解得x =428.故点D 到AB 的距离约是428 m .6.(2021许昌一模,18)曹魏古城是许昌的特色建筑之一,具有文化展示、旅游休闲、商业服务、特色居住等主要功能,某数学活动小组借助测角仪和皮尺测量曹魏古城南城门中间大门的高度,如图,矩形AEFB 是中间大门的截面图,他们先在城门南侧点C 处测得点A 的仰角∠ACE 为58°,然后沿直线从点C 处穿过城门到达点D ,从点D 处测得点B 的仰角∠BDF 为45°,点C 到D 的距离为38米,EF 的距离为18米,求曹魏古城南城门中间大门AE 的高度.(结果精确到1米,参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)解析 设AE =x ,则BF =AE =x ,在Rt △ACE 中,∠AEC =90°,∠ACE =58°, ∴CE =AEtan58°≈x1.6, (3分)在Rt △BFD 中,∠BFD =90°,∠BDF =45°, ∴DF =BF =x ,(5分)∵CE +EF +FD =CD , ∴x1.6+18+x =38,解得x ≈12. (8分)即曹魏古城南城门中间大门AE 的高度约为12 m . (9分)7.(2021安阳二模,19)2021年“五一”期间,修复后的安阳老城东南城墙及魁星阁与市民见面,这一始建于北魏天兴元年(公元398年)的建筑,在1 600多年后,以崭新的面貌向世人展示历史印记,古代安阳“魁星取水”景观即将重现.某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度,如图所示,他们在地面一条水平步道FB 上架设测角仪,先在点F 处测得魁星阁顶端A 的仰角是26°,朝魁星阁方向走20米到达点G 处,在点G 处测得魁星阁顶端A 的仰角是45°,若测角仪CF 和DG 的高度均为1.5米,求魁星阁顶端距离地面的高度(图中AB 的值).(参考数据:sin 26°≈0.44,cos 24°≈0.90,tan 26°≈0.49,√2≈1.41,结果精确到0.1米)解析由题意知,CD=FG=20,CF=DG=BE=1.5,四边形CFBE是矩形.(1分)设AE=x,在Rt△ADE中,∵∠ADE=45°,∴AE=DE=x,(3分)在Rt△ACE中,∵tan26°=AECE =x CE,∴CE=xtan26°,∵CE-DE=CD,∴xtan26°-x=20,(6分)解得x≈19.2,(7分)∴AB=19.2+1.5=20.7.(8分)答:魁星阁顶端距离地面的高度约为20.7米. (9分)8.(2021河南名校联考,18)“青山绿水,生态农业”.某地需引水修建水库,既可蓄水灌溉,又可美化环境.据了解,水库C修建在水源A的正东方向,在水源A的北偏东75°方向有一古迹B,B与A相距14km,其中水库C在古迹B的东南方向.(1)若在水源A与水库C之间修建一条水渠,求该水渠的最短长度;(2)在古迹B的西南方向5km处有一古墓群,为了保护文物,不破坏古墓,在古墓群周围1km范围内不得进行任何土工作业,判断按照(1)中的方式修建水渠是否合理,并说明理由.(结果保留一位小数,参考数据:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,√2≈1.41)解析(1)过点B作BD⊥AC于点D,由题意得,∠BAD=15°,∠DBC=∠DCB=45°,AB=14km,BD=DC,在Rt△ADB中,BD=AB·sin15°≈14×0.26=3.64(km),AD=AB·cos15°≈14×0.97=13.58(km),∴CD=BD=3.64(km),∴AC=AD+DC=13.58+3.64≈17.2(km),根据“两点之间,线段最短”,可知线段AC的长即为所求.答:该水渠的最短长度约为17.2km.(2)按照(1)中的方式修建水渠不合理,理由如下:过点B作BE⊥BC交AC于点E,由(1)知,∠DCB=45°,CD=3.64km,∴CE=2CD=7.28(km),∴BE=CE·sin45°≈5.1(km),∵5.1-5=0.1(km),0.1km<1km,∴有破坏文物的可能,即按照(1)中的方式修建水渠不合理.思路分析(1)过点B作BD⊥AC于点D,利用锐角三角函数得出BD、AD,进而得出AC即可.(2)过点B作BE⊥BC 交AC于点E,利用锐角三角函数得出BE,与所给的数据比较大小,进而解答即可.9.(2021开封一模,18)被誉为“天下第一塔”的开封铁塔,八角十三层,其设计精巧,单是塔砖就有数十种图案,它历经战火、水患、地震等灾害,依然屹立.某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量铁塔的高度”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间实地测量.课题 测量铁塔的高度测量工具测量角度的仪器,皮尺等测量方案在点C 处放置高为1.3米的测角仪,此时测得塔顶端A 的仰角为58°,再沿BC 方向走20.5米到达点E 处,此时测得塔顶端A 的仰角为45°说明:E ,C ,B 三点在同一水平面上(1)请你根据表中信息帮助该数学兴趣小组求铁塔的高度;(结果精确到0.1米,参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)(2)景点介绍开封铁塔的高度为55.88米,则计算结果的误差为多少?请你说出一条可能导致计算结果产生误差的原因.解析 由题意知DF =CE =20.5米,CD =EF =1.3米,过点F 作FG ⊥AB 于点G , ∴BG =CD =1.3米,设AG =x 米,在Rt △AGF 中,∠AFG =45°, ∴FG =AG =x 米,∴DG =FG -DF =(x -20.5)米,在Rt △AGD 中,∠ADG =58°, ∴tan 58°=AG DG =xx -20.5≈1.6,解得x ≈54.67米,∴AB =AG +BG =54.67+1.3≈56.0(米). ∴铁塔的高度约为56.0米. (2)56.0-55.88=0.12(米) ∴产生的误差为0.12米.原因:读数时出现误差、皮尺没有拉直、测角仪器没有摆正等.(合理即可)思路分析 本题考查解直角三角形的应用—仰角问题,先在图表中找出所需信息,根据解直角三角形的“母子型”,设出参数利用锐角三角函数的边角关系,构建方程解决问题.B 组 提升题组解答题(每题3分,共65分)1.(2021许昌长葛一模,18)如图,AD 是△ABC 的高,cos B =√22,sin C =35,AC =10,求△ABC 的周长.解析 在Rt △ACD 中,sin C =ADAC , ∵sin C =35,AC =10, ∴35=AD 10, ∴AD =6.∴CD =√AC 2-AD 2=8. 在Rt △ABD 中,∵cos B =√22, ∴∠B =45°, ∴∠BAD =∠B =45°,∴BD=AD=6,AB=6√2.∴△ABC的周长为AB+AC+BD+CD=6√2+10+6+8=24+6√2.2.(2021新乡辉县模拟,19)如图,某小区一高层住宅楼AB高60米,附近街心花园内有一座古塔CD,小明在楼底B 处测得塔顶仰角为38.5°,到楼顶A处测得塔顶仰角为22°,求住宅楼与古塔之间的距离BD的长.(参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,sin38.5°≈0.62,cos38.5°≈0.78,tan38.5°≈0.80)解析过点A作AE⊥CD于点E,由题意可知∠CAE=22°,∠CBD=38.5°,ED=AB=60米,设大楼与塔之间的距离BD的长为x米,则AE=BD=x米,,∵在Rt△BCD中,tan∠CBD=CDBD∴CD=BD tan38.5°≈0.8x(米),,∵在Rt△ACE中,tan∠CAE=CEAE∴CE=AE tan22°≈0.4x(米),∵CD-CE=DE,∴0.8x-0.4x=60,∴x=150米,即BD =150米.答:楼与塔之间的距离BD 的长约为150米.3.(2021平顶山二模,19)一渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点B 处测得北偏东60°方向上有一海岛A ,航行10海里后到达C 处,又测得海岛A 位于北偏东53°方向上.(1)求C 处到海岛A 的距离(结果精确到0.1海里,参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33,√3≈1.73);(2)已知海岛A 的周围20海里范围内有暗礁,若渔船继续由西向东航行是否会有触礁的危险?说明理由.解析 (1)过点A 作AD ⊥BC 于点D ,由题意可知, ∠BAD =60°,∠CAD =53°, (1分)设AD =x ,在Rt △ADB 中,tan ∠BAD =BD AD =BDx=√3, ∴BD =√3x ,∴CD =BD -BC =√3x -10, (3分) 在Rt △ADC 中,tan ∠CAD =CDAD , 即tan 53°=√3x -10x≈1.33,∴x ≈101.73-1.33=25, (5分) 在Rt △ADC 中,cos ∠CAD =ADAC , 即cos 53°=25AC ≈0.6, ∴AC ≈250.6≈41.7.∴C 处到海岛A 的距离约为41.7海里. (7分)(2)由(1)可知,AD=25>20,所以若渔船继续由西向东航行不会有触礁的危险.(9分)4.(2020信阳二模,19)为宣传国家相关政策,某村在一小山坡顶端的平地上竖起一块宣传牌AB,如图.某数学小组想测量宣传牌AB的高度,派一人站在山脚C处,测得宣传牌顶端A的仰角为40°,山坡CD的坡度i=1∶2,山坡CD的长度为4√5米,山坡顶点D与宣传牌底部B的水平距离为2米,求宣传牌的高度AB.(结果精确到0.1米,参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,√5≈2.24)解析延长AB交CM于点E,过点D作DF⊥CM于点F,则四边形BDFE是矩形,EF=BD=2,BE=DF,(1分)在Rt△CDF中,∵i=DF∶CF=1∶2,∴设DF=x米,则CF=2x米,(2分)∵CD=4√5米,∴x2+(2x)2=(4√5)2,解得x=4(舍负)米,(4分)∴DF=4米,CF=8米,∴CE=CF+EF=8+2=10米,BE=DF=4米.(5分)在Rt△ACE中,∵∠ACE=40°,=tan40°,∴AECE∴AE=CE·tan40°≈10×0.84=8.4米,(7分)∴AB=AE-BE=8.4-4=4.4米.(8分)答:宣传牌AB的高度约为4.4米.(9分)5.(2021南阳镇平一模,19)某数学课外兴趣小组为了测量建在山丘DE上的宝塔CD的高度,在山脚下的广场A 处测得建筑物底端点D(即山顶)的仰角为20°,沿水平方向前进20米到达B点,测得建筑物顶部点C的仰角为45°,已知山丘DE高37.69米,求塔的高度CD.(结果精确到1米,参考数据:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan 20°≈0.36)解析设CD=x米.在Rt△BCE中,∵∠CEB=90°,∠CBE=45°,∴EC=BE=(x+37.69)米,在Rt△ADE中,∵tan20°=DEAE ,∴0.36≈37.6920+x+37.69,解得x≈47米.答:塔的高度CD约为47米.思路分析本题考查解直角三角形的应用—仰角问题,根据解直角三角形的“交叉型”,设CD=x米.在Rt△ADE 中,根据tan20°=DEAE,构建方程即可解决问题.6.(2021安阳一模,18)如图所示,文峰塔是安阳著名古建筑,小明所在的课外活动小组在塔上距地面25米高的点D处,测得地面上点B的俯角α为30°,点D到塔中心轴AO的距离DE为6.5米;从地面上的点B沿BO方向走11米到达点C处,测得塔尖A的仰角β为45°,请你根据以上数据计算塔高AO.(参考数据:√3≈1.73,√2≈1.41,结果精确到0.1米)解析如图,过点D作DF⊥BC于点F,由题意可得四边形DFOE是矩形,(1分)∵DE∥BC,∴∠B=∠α=30°,(2分)在Rt△DFB中,DF=EO=25m,∠B=30°,=25×√3≈43.25(m),(5分)∴BF=DFtan∠B∵CO=BF+OF-BC,BC=11m,OF=DE=6.5m,∴CO=43.25+6.5-11=38.75(m),(7分)在Rt△AOC中,∠ACO=∠β=45°,∴AO=CO=38.75≈38.8(m).答:文峰塔高大约38.8m.(9分)7.(2021许昌禹州二模,19)2020年11月10日,“雪龙2”起航!中国第37次南极考察队从上海出发,执行南极考察任务.已知“雪龙2”船上午9时在B市的南偏东25°方向上的点A处,且在C岛的北偏东58°方向上,已知B市在C岛的北偏东28°方向上,且距离C岛248km.此时,“雪龙2”船沿着AC方向以25km/h的速度运动.请你计算“雪龙2”船大约几点钟到达C 岛?(结果精确到1 km ,参考数据:√3≈1.73,sin 53°≈45,cos 53°≈35,tan 53°≈43)解析 过点A 作AD ⊥BC 于点D ,由题意知,∠ABC =28°+25°=53°,∠ACB =58°-28°=30°,BC =248 km , 设AD =x km ,在Rt △ABD 中,∵∠ABD =53°, ∴BD =AD tan ∠ABD =AD tan53°≈34x (km ),在Rt △ACD 中,∵∠ACD =30°, ∴CD =ADtan ∠ACD =ADtan30°=√3x (km ), ∵BD +CD =BC , ∴34x +√3x =248, 解得x ≈100(km ), ∴AD =100(km ), ∴AC =2AD =200(km ), ∴200÷25=8(h ), ∴9+8=17.答:“雪龙2”船大约17点钟到达C岛.思路分析本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题,正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键,过点A作AD⊥BC于点D,构建直角三角形,利用正切的定义表示出BD、CD,列出方程、解方程即可解答.8.(2020郑州二模,19)图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线BA-AO表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可在竖直平面内转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量,AO=6.4cm,CD=8cm,AB=40cm,BC=45cm.(1)如图2,∠ABC=70°,BC∥OE.填空:①∠BAO=°;②投影探头的端点D到桌面OE的距离是cm;(2)如图3,将(1)中的BC向下旋转,当∠ABC=30°时,求投影探头的端点D到桌面OE的距离.(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77)解析(1)①160.(2分)②36.(5分)提示:(1)①如图1,作AG∥BC,由平行线的性质得解.②如图2,延长OA交BC于点F,在Rt△ABF中,AF=AB·sin70°≈40×0.94=37.6cm.则AF+AO-CD=36cm.(2)如图3,过点D作DH⊥OE于点H,过点B作BM⊥CD,与DC的延长线相交于点M,过点A作AF⊥BM于点F,则∠MBA=70°,∵∠ABC=30°,∴∠CBM=40°.∴MC=BC sin40°≈45×0.64=28.8cm,又AF=AB sin70°≈40×0.94=37.6cm,∴FO=AF+AO=37.6+6.4=44(cm).∴DH=FO-MC-CD=44-28.8-8=7.2(cm).答:投影探头的端点D到桌面OE的距离为7.2cm.(9分)思路分析本题考查的是解直角三角形的应用.(1)①作AG∥BC,由平行线的性质得解;②延长OA交BC于点F,构造Rt△ABF,用锐角三角函数求得AF的长,由线段的和差求解.(2)作辅助线构造Rt△ABF和Rt△BMC,解直角三角形,由线段的和差求解即可.。
河南省2019年中考数学总复习 第一部分 考点全解 第四章 三角形 第18讲 解直角三角形及其应用(
考点一 锐角三角函数 1．定义 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，则 有： (1)∠A 的正弦：sin A＝ac；
(2)∠A 的余弦：cos A＝bc； (3)∠A 的正切：tan A＝ab. 它们统称为∠A 的锐角三角函数．锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如 果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形．
2．特殊角的三角函数值
三角函数
角的度数 30° 45° 60°
sin α cos α tan α
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3 3
1
3
可结合图形进行记忆，如下图所示：
考点二 直角三角形的边角关系 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c. (1)三边之间的关系：_a_2_＋__b_2_＝__c；2 (2)锐角之间的关系：_∠__A_＋__∠__B__＝__9_0_°________； (3)边角关系：两个锐角的三角函数．
考点三 解直角三角形的实际应用高频考点 1．仰角与俯角 如图，在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫___仰__角____，视 线在水平线下方的角叫___俯__角____.
2.坡角与坡度 如图，坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫坡度(坡比)，用字母 i 表示；坡面 与水平线的夹角 α 叫坡角，i＝tan α＝hl ，坡角越大，坡度越大，坡面越_陡________.
(2)已知斜边和一个锐角(如 c，∠A)，其解法为∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝ c·cos A(或 b＝ c2－a2)；
河南省扶沟县中考第一轮复习 解直角三角形 教案 人教新课标版【教案】
解直角三角形复习材料一：考查要求：理解坡角、坡度、仰角、俯角等基本概念，熟记特殊三角函数值（例如30o 、、45o 、60o ）并会计算与直角三角形相关的边角关系，能运用三角函数与直角三角形有关的简单实际计算问题。
本章知识在中考中主要以选择题、填空题、实际测量应用题，与其他章节的结合计算题等形式出现。
二：考点分析：1、 河南省2007—2009年中考试题分析 年份 题号 题型 所占比例 考点分析2007 21 解答题 8.3% 正切、正弦的概念及等腰三角形的性质应用2008 12 填空题 10% 正切的概念及圆周角定理的应用 2008 20 解答题 10% 运用三角函数知识解决实际问题 2009 20 解答题 7.6% 运用三角函数知识解决实际问题2、 其他五省市中考试题分析：省、市 题号 题型 所占比例 考点分析 河北省 8 选择题 1.6% 坡度的概念及应用 山东省 22 解答题 8.3% 坡度的概念及应用 江苏省 25 解答题 8.3% 方位角及三角函数的应用天津市 23 解答题 6.7% 三角函数的应用 吉林省23解答题5.8%三角函数的应用三：典型例题分析：例1 如图，在电线杆上离地面高度5m 的C 点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC 和地面成60°角，另一根拉线BC 和地面成45°角.求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）.解：在Rt ADC ∆中,AC=o 60sin DC =235=3310, 在Rt BDC∆中，BC=o45sin DC =225=52例2 为响应郑州市人民政府“形象生于生命”的号召，在甲建筑物上从A 点到E 点挂一长为30m 的宣传条幅（如图），在乙建筑物的顶部D 点测得条幅顶端A 点的仰角为45°，测得条幅度端E 点的俯角为30°，求底部不能直接到达的甲、乙两建筑物之间的水平距BC （答案可带根号）.分析 解决测量问题：一方面要明确仰角、俯角、视角、坡度、坡角等名词术词；另一方面要分清谁是测量者与被测量者，本考题可过点D 作 ,垂足为F ，这时仰角从而有AF=DF,又EF=DF ·tan 33=∠FDE DF, 由AF ＋EF=30，有DF ＋DF 33=30， 解出DF=（40－153）m这便是甲、乙两建筑物之间的水平距离.例3 一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东60°，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小C 在船的北偏东30°，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析 要考查渔船从B 处继续向东航行，有没有触礁的危险，关键的一点看BD 是否通过以岛C 为圆心，10海里长为半径的危险区域内.可先过C 作AB 的垂线CD ，交AB 的延长线于点D ，如图所示，然后考察CD 的长与半径10海里哪一个大.事实上，依题意，可算出AB ＝10，若设BD ＝x ，在 中，以CD 为等量关系建立方程：解得这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域例4 如图，一勘测人员从B点出发，沿坡角为15o的坡面以5千米/时的速度行至D点，用了12分钟，然后沿坡角为20o的坡面以3千米/时的速度到达山顶A点，用了10分钟。
河南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类(含答案)
河南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）1．（2022•河南）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4）和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C．（1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．二．反比例函数的应用（共1小题）2．（2023•河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．（1）求k的值；（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．三．二次函数综合题（共1小题）3．（2021•河南）如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标x M的取值范围．四．三角形综合题（共1小题）4．（2021•河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．……任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是 （填序号）．①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．（3）如图3，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF＝+1．点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE＝30°时，直接写出线段OC的长．五．四边形综合题（共2小题）5．（2022•河南）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角： ．（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝ °，∠CBQ＝ °；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP 的长．6．（2023•河南）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．（1）观察发现如图1，在平面直角坐标系中，过点M（4，0）的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 ；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为 个单位长度．（2）探究迁移如图2，▱ABCD中，∠BAD＝α（0°＜α＜90°），P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：①若∠PAP2＝β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；②若AD＝m，求P，P3两点间的距离．（3）拓展应用在（2）的条件下，若α＝60°，，∠PAB＝15°，连接P2P3，当P2P3与▱ABCD 的边平行时，请直接写出AP的长．六．切线的性质（共1小题）7．（2021•河南）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⨀O上，当点P在⨀O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与⨀O相切时，点B恰好落在⨀O上，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题．（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；（2）若⨀O的半径为5，AP＝，求BP的长．七．作图—基本作图（共1小题）8．（2023•河南）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．八．解直角三角形的应用（共1小题）9．（2023•河南）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD 为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）10．（2022•河南）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D 的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）．11．（2021•河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）．河南省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）1．（2022•河南）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4）和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C．（1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．【答案】（1）y＝；（2）作图见解析部分；（3）证明见解析部分．【解答】（1）解：∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4），∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）解：如图，直线m即为所求．（3）证明：∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝∠BAC，∵直线m垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠OAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠BAC，∴CD∥AB．二．反比例函数的应用（共1小题）2．（2023•河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．（1）求k的值；（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．【答案】（1）k＝；（2）2；60°；（3）3﹣．【解答】解：（1）将A（，1）代入到y＝中，得：1＝，解得：k＝；（2）过点A作OD的垂线，交x轴于G，∵A（，1），∴AG＝1，OG＝，OA＝＝2，∴半径为2；∵AG＝OA，∴∠AOG＝30°，由菱形的性质可知，∠AOG＝∠COG＝60°，∴∠AOC＝60°，∴圆心角的度数为：60°；（3）∵OD＝2OG＝2，∴S菱形AOCD＝AG×OD＝2，∴S扇形AOC＝×π×r2＝，在菱形OBEF中，S△FHO＝S△BHO，∵S△FHO＝＝，∴S△FBO＝2×＝，∴S阴影＝S△FBO+S菱形AOCD﹣S扇形AOC＝+2﹣π＝3﹣．三．二次函数综合题（共1小题）3．（2021•河南）如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标x M的取值范围．【答案】（1）m＝﹣2，b＝2；（2）B（﹣1，3），不等式x2+mx＞﹣x+b的解集为x＜﹣1或x＞2；（3）﹣1≤x M＜2 或x M＝3．【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4+2m，解得：m＝﹣2，将点A的坐标代入直线表达式得：0＝﹣2+b，解得b＝2；故m＝﹣2，b＝2；（2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：y＝﹣x+2，y＝x2﹣2x，联立上述两个函数表达式并解得或（不符合题意，舍去），即点B的坐标为（﹣1，3），从图象看，不等式x2+mx＞﹣x+b的解集为x＜﹣1或x＞2；（3）当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，∵M，N的距离为3，而A、B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即﹣1≤x M＜2；当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；当点M在点A的右侧时，当x M＝3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，﹣1），即x M＝3时，线段MN与抛物线只有一个公共点，综上所述，﹣1≤x M＜2 或x M＝3．四．三角形综合题（共1小题）4．（2021•河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．……任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是 ⑤ （填序号）．①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．（3）如图3，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF＝+1．点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE＝30°时，直接写出线段OC的长．【答案】（1）⑤；（2）射线OP是∠AOB的平分线，理由见解答；（3）2或2+．【解答】解：（1）如图1，由作图得，OC＝OD，OE＝OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，∴∠PGO＝∠PHO＝90°，∵OE﹣OC＝OF﹣OD，∴CE＝DF，∵CG＝CE，DH＝DF，∴CG＝DH，∴OC+CG＝OD+DH，∴OG＝OH，∵OP＝OP，∴Rt△PGO≌Rt△PHO（HL），故答案为：⑤．（2）射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：如图2，∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，OE＝OF，∴△DOE≌△COF（SAS），∴∠PEC＝∠PFD，∵∠CPE＝∠DPF，CE＝DF，∴△CPE≌△DPF（AAS），∴PE＝PF，∵OE＝OF，∠PEO＝∠PFO，PE＝PF，∴△OPE≌△OPF（SAS），∴∠POE＝∠POF，即∠POA＝∠POB，∴射线OP是∠AOB的平分线．（3）如图3，OC＜OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO＝∠PME＝90°，由（2）得，OP平分∠AOB，∠PEC＝∠PFD，∴∠PEC+30°＝∠PFD+30°，∵∠AOB＝60°，∴∠POE＝∠POF＝∠AOB＝30°，∵∠CPE＝30°，∴∠OCP＝∠PEC+∠CPE＝∠PEC+30°，∠OPC＝∠PFD+∠POF＝∠PFD+30°，∴∠OCP＝∠OPC＝（180°﹣∠POE）＝×（180°﹣30°）＝75°，∴OC＝OP，∠OPE＝75°+30°＝105°，∴∠OPM＝90°﹣30°＝60°，∴∠MPE＝105°﹣60°＝45°，∴∠MEP＝90°﹣45°＝45°，∴MP＝ME，设MP＝ME＝m，则OM＝MP•tan60°＝m，由OE＝+1，得m+m＝+1，解得m＝1，∴MP＝ME＝1，∴OP＝2MP＝2，∴OC＝OP＝2；如图4，OC＞OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO＝∠PMC＝90°，同理可得，∠POE＝∠POF＝∠AOB＝30°，∠OEP＝∠OPE＝75°，∠OPM＝60°，∠MPC＝∠MCP＝45°，∴OE＝OP＝+1，∵MC＝MP＝OP＝OE＝，∴OM＝MP•tan60°＝×＝，∴OC＝OM+MC＝+＝2+．综上所述，OC的长为2或2+．五．四边形综合题（共2小题）5．（2022•河南）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角： ∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可） ．（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝ 15 °，∠CBQ＝ 15 °；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ 的数量关系，并说明理由．（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP 的长．【答案】（1）∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可）；（2）①15，15；②∠MBQ＝∠CBQ，理由见解析过程；（3）cm或cm．【解答】解：（1）∵对折矩形纸片ABCD，∴AE＝BE＝AB，∠AEF＝∠BEF＝90°，∵沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，∴AB＝BM，∠ABP＝∠PBM，∵sin∠BME＝＝，∴∠EMB＝30°，∴∠ABM＝60°，∴∠CBM＝∠ABP＝∠PBM＝30°，故答案为：∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可）；（2）①由（1）可知∠CBM＝30°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°，由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°，∴∠BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°，又∵BQ＝BQ，∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL），∴∠CBQ＝∠MBQ＝15°，故答案为：15，15；②∠MBQ＝∠CBQ，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°，由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°，∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°，又∵BQ＝BQ，∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL），∴∠CBQ＝∠MBQ；（3）由折叠的性质可得DF＝CF＝4cm，AP＝PM，∵Rt△BCQ≌Rt△BMQ，∴CQ＝MQ，当点Q在线段CF上时，∵FQ＝1cm，∴MQ＝CQ＝3cm，DQ＝5cm，∵PQ2＝PD2+DQ2，∴（AP+3）2＝（8﹣AP）2+25，∴AP＝，当点Q在线段DF上时，∵FQ＝1cm，∴MQ＝CQ＝5cm，DQ＝3cm，∵PQ2＝PD2+DQ2，∴（AP+5）2＝（8﹣AP）2+9，∴AP＝，综上所述：AP的长为cm或cm．6．（2023•河南）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．（1）观察发现如图1，在平面直角坐标系中，过点M（4，0）的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 180° ；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为 8 个单位长度．（2）探究迁移如图2，▱ABCD中，∠BAD＝α（0°＜α＜90°），P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：①若∠PAP2＝β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；②若AD＝m，求P，P3两点间的距离．（3）拓展应用在（2）的条件下，若α＝60°，，∠PAB＝15°，连接P2P3，当P2P3与▱ABCD 的边平行时，请直接写出AP的长．【答案】（1）8；（2）①β＝2α；②2m•sinα；（3）AP＝3﹣或2．【解答】解：（1）答案为：8；（2）①如图1，β＝2α，理由如下：连接AP1，由轴对称的性质可得：∠PAB＝∠BAP1，∠P1AD＝∠DAP2，∴∠PAB+∠DAP2＝∠BAP1+∠DAP1＝∠BAD＝α，∴β＝2α；②如图2，作DF⊥AB于F，作P1E⊥DF于E，∵PP1⊥AB，P3P1⊥CD，可得矩形EFGP1和矩形DEP1H，∴DE＝HP1，EF＝GP1，∵DF＝AD•sin A＝m•sinα，∴GP1+HP1＝DE+EF＝DF＝m•sinα，∵HP3＝HP1，PG＝P1G，∴HP3+PG＝GP1+HP1＝m•sinα，∴PP3＝2m•sinα；（3）如图3，在Rt△KMN中，∠M＝90°，∠N＝15°，KS＝SN，则∠KSM＝30°，设KM＝1，则SN＝KS＝2，MS＝，则KN＝，∴sin15°＝，当P2P3∥AD时，作DI⊥AB于I，设P1P2交AD于T，∵P1P2⊥AD，∴P2P3⊥P1P2，∴∠P3P2P1＝90°，∵PP3∥DI，∴∠P2P3P1＝∠ADI＝30°，由（2）知：PP3＝2AD•sin60°＝6，设AP1＝AP＝x，则PP1＝2AP•sin∠PAB＝2x•sin15°＝2x•＝，∴P1P3＝PP3﹣PP1＝6﹣，∵∠BAP1＝∠BAP＝15°，∵∠P1AT＝∠DAB﹣∠BAP1＝60°﹣15°＝45°，由轴对称性质得：∠ATP1＝90°，∴TP1＝AP1＝，∴P1P2＝，由P1P2＝P1P3•sin∠P2P3P1＝P1P3•sin30°得，6﹣＝2x，∴x＝3，如图5，当P2P3∥CD时，设AP＝x，同理可得：P1P2＝2P1P3，∴2[6﹣]＝x，∴x＝2，综上所述：AP＝3﹣或2．六．切线的性质（共1小题）7．（2021•河南）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⨀O上，当点P在⨀O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与⨀O相切时，点B恰好落在⨀O上，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题．（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；（2）若⨀O的半径为5，AP＝，求BP的长．【答案】（1）见解析；（2）3．【解答】（1）证明：如图①，连接OP，延长BO与圆交于点C，则OP＝OB＝OC，∵AP与⨀O相切于点P，∴∠APO＝90°，∴∠PAO+∠AOP＝90°，∵MO⊥CN，∴∠AOP+∠POC＝90°，∴∠PAO＝∠POC，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠PBO，∴∠POC＝∠OPB+∠PBO＝2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO；（2）解：如图②所示，连接OP，延长BO与圆交于点C，连接PC，过点P作PD⊥OC于点D，则有：AO＝＝，由（1）可知∠POC＝∠PAO，∴Rt△POD∽Rt△OAP，∴，即，解得PD＝3，OD＝4，∴CD＝OC﹣OD＝1，在Rt△PDC中，PC＝＝，∵CB为圆的直径，∴∠BPC＝90°，∴BP＝＝＝3，故BP长为3．七．作图—基本作图（共1小题）8．（2023•河南）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】（1）解：如图所示，即为所求，（2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE，∵AB＝AD，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴DE＝BE．八．解直角三角形的应用（共1小题）9．（2023•河南）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD 为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．【答案】9.1m．【解答】解：由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8m，则∠EAF+∠BAF＝∠BAF+∠BAH＝90°，∴∠EAF＝∠BAH，∵AB＝30cm，BH＝20cm，则tan∠EAF＝＝，∴tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，∵AF＝11m，则，∴EF＝，∴EG＝EF+FG＝ 1.8≈9.1m．答：树EG的高度为9.1m．九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）10．（2022•河南）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D 的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）．【答案】拂云阁DC的高度约为32米．【解答】解：延长EF交DC于点H，由题意得：∠DHF＝90°，EF＝AB＝15米，CH＝BF＝AE＝1.5米，设FH＝x米，∴EH＝EF+FH＝（15+x）米，在Rt△DFH中，∠DFH＝45°，∴DH＝FH•tan45°＝x（米），在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，∴tan34°＝＝≈0.67，∴x≈30.5，经检验：x≈30.5是原方程的根，∴DC＝DH+CH＝30.5+1.5≈32（米），∴拂云阁DC的高度约为32米．11．（2021•河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意可知：∠DAB＝45°，∴BD＝AD，在Rt△ADC中，DC＝BD﹣BC＝（AD﹣4）m，∠DAC＝37.5°，∵tan∠DAC＝，∴tan37.5°＝≈0.77，解得AD≈17.4m，∴BD＝AD≈17.4m，答：佛像的高度约为17.4 m．。
2019河南中考数学解答题型专项讲练课件专题三解直角三角形的应用
3．(2018· 海南)如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树 BH 和教学楼 CG 的高度，先 在 A 处用高 1.5 米的测角仪测得古树顶端 H 的仰角∠HDE 为 45° ，此时教学楼顶端 G 恰好在视线 DH 上， 再向前走 7 米到达 B 处， 又测得教学楼顶端 G 的仰角∠GEF 为 60° ， A，B，C 三点在同一水平线上．
∴AF＝DE，DF＝AE. 1 3 设 CD＝x，在 Rt△CDE 中，DE＝ x，CE＝ x. 2 2
在 Rt△BDF 中，∠BDF＝45° ， 1 ∴DF＝BF＝AB－AF＝60－ x. 2 ∵DF＝AE＝AC＋CE， 1 3 ∴60－ x＝20 3＋ x， 2 2 解得 x＝80 3－120. 答：斜坡 CD 的长度为(80 3－ 120)米．
(2)设 EF＝x. 在 Rt△GEF 中，∠GFE＝90° ，∠GEF＝60° ， ∴GF＝EF· tan 60°＝ 3x. 在 Rt△GDF 中，∠GFD＝90° ，∠GDF＝45° ， ∴DF＝GF，即 7＋x＝ 3x， 7 3＋7 解得 x＝ ， 2
7 3＋7 21＋7 3 ∴GF＝ 3x＝ 3× ＝ ≈16.45， 2 2 ∴GC＝GF＋FC≈16.45＋1.5≈18(米)． 答：教学楼 CG 的高度约为 18 米． (注：用不同方法计算教学楼的高，得到的答案可能不同)
4．(2018· 南京)如图，为了测量建筑物 AB 的高度，在 D 处树立标杆 CD，标杆的高 度是 2 m．在 DB 上选取观测点 E，F，从点 E 测得标杆和建筑物的顶部 C，A 的仰角分 别为 58° ，45°，从点 F 测得 C，A 的仰角分别为 22° ，70°.求建筑物 AB 的高度．(结 果精确到 0.1 m．参考数据：tan 22°≈0.40，tan 58° ≈1.60，tan 70°≈2.75)
中考数学复习课：解直角三角形的应用
小组合作
2014年河南省第19题 在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰 A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰A正上方 1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68° 试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深 F 度.（结果保留整数. 参考数 B 据:sin68°≈0.9,cos68°≈0.4 68° tan68°≈2.5.
拓展训练
2009年河南省
20．（9分）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B 地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可 直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°， ∠B=37°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少 走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80）
B
Fபைடு நூலகம்D E 30° 48° A
C
解题秘笈
一、标（标数据） 把题目中出现的数据用铅笔标注在图形上，并确定求什么； 二、找（找Rt⊿） 找出图形中所有的Rt⊿，并尝试构造新的Rt⊿ ； 三、列（列方程） 在找到的Rt⊿中，选择合适的三角函数构造方程；
四、算（耐心算）
把题目中给出的近似值代入并准确计算，最后一步再 按要求四舍五入.特别不要忘了作答！
老师寄语
人生就像一个函数。 上帝给了这个函数几个已知量，也给了这个函数一个未知量。 这个已知量不叫常数叫出身，这个未知量不是X是未来。 因为上帝给了人生一个已知量，故人生没有平等。 因为上帝给了人生一个未知量，故命运无法预知。 然而我们知道，函数最后的落点，与开始的起点千差万别，当我 们安于享乐，止步不前时，任上帝给了多高的起点，最后都无济于事， 只能眼看命运落入低谷，当我们坚忍不拔，奋勇向前时，即使上帝给 了一个很低的起点，也都无所谓；因为它最终会被远远甩开，会被我 们微笑俯视着。 于是我们发现，在人生这张图纸上，到底画出怎样的命运图像， 那只神奇的画笔，掌握在我们手里。 所以预祝各位同学，在中考前的最后100天里，奋勇向前，用自 己的努力描画属于自己的人生轨迹!
河南省2019年中考数学专题复习专题五解直角三角形的实际应用训练(含答案)
河南省2019年中考数学专题复习专题五解直角三角形的实际应用类型一母子型(2015·河南)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．(结果保留整数．参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73)例1题图【分析】根据所求构造直角三角形，在直角三角形中，利用锐角三角函数的性质求解问题即可．【自主解答】如解图，延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H.例1题解图∵由题意，得∠DAE＝∠BGH＝30°，DA＝6，∴GD＝DA＝6，∴GH＝AH＝DA·cos 30°＝33，∴GA＝6 3.设BC＝x米，在Rt△GBC中，GC＝BCtan∠BGC＝3x.在Rt△ABC中，AC＝BCtan∠BAC＝xtan 48°.∵GC－AC＝GA，∴3x－xtan 48°＝63，解得x≈13.即大树的高度约为13米．1．(2018·泰州)日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶(H－H1)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．AB，底部A到E点的距离为4 m.(1)求山坡EF的水平宽度FH；(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？图①图②2.(2018·商丘模拟)如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4∶3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA的长？(参考数据：3≈1.7，结果保留一位小数)3．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB 的坡度i＝1∶3，AB＝10米，AE＝15米，求这块宣传牌CD的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)4．(2018·新乡一模)如图，为探测某座山的高度AB，某飞机在空中C处测得山顶A处的俯角为31°，此时飞机的飞行高度为CH＝4千米；保持飞行高度与方向不变，继续向前飞行2千米到达D处，测得山顶A 处的俯角为50°.求此山的高度AB.(参考数据：tan 30°≈0.6，tan 50°≈1.2)5．(2018·烟台)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时，数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l 外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C.测得PC＝30米，∠APC＝71°，∠BPC＝35°.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cos 71°≈0.33，tan 71°≈2.90)6．(2018·河南说明与检测)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73.结果保留一位小数．)7．(2018·河南说明与检测)某数学兴趣小组在学习《锐角三角函数》以后，开展测量物体高度的实践活动，他们在河边的一点A处测得河对岸小山顶上一座铁塔的塔顶C的仰角为66°、塔底B的仰角为60°，已知铁塔的高度BC为20 m(如图)，你能根据以上数据求出小山的高BD吗？8．(2018·河南说明与检测)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D、F到地面的垂直距离相同)，均为30 cm，点A到地面的垂直距离为50 cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少厘米．(结果保留根号)9．(2018·遵义)如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面 1.5 m．(计算结果精确到0.1 m，参考数据sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05)(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5 m时，吊臂AB的长为____________m；(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20 m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)类型二背靠背型(2018·河南)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长．(结果精确到1 cm，参考数据sin 82.4°≈0.991，cos 82.4°≈0.132，tan 82.4°≈7.500，sin 80.3°≈0.983，cos 80.3°≈0.168，tan 80.3°≈5.850)【分析】 利用锐角三角函数，在Rt△ACE 和Rt△DBF 中，分别求出AE 、BF 的长．计算出EF.通过矩形CEFH 的性质得到CH 的长． 【自主解答】 解：在Rt△ACE 中，AE ＝CE tan 82.4°＝155tan 82.4°≈20.7，在Rt△BDF 中，BF ＝DF tan 80.3°＝234tan 80.3°≈40，∵在矩形CEFH 中，CH ＝EF ，∴CH＝EF ＝AE ＋AB ＋BF ＝20.7＋90＋40≈151(cm)． 答：高低杠间的水平距离CH 的长为151 cm.1．(2018·驻马店一模)小明利用寒假进行综合实践活动，他想利用测角仪和卷尺测量自家所住楼(甲楼)与对面邮政大楼(乙楼)的高度，现小明用卷尺测得甲楼宽AE 是8 m ，用测角仪在甲楼顶E 处与A 处测得乙楼顶部D 的仰角分别为37°和42°，同时在A 处测得乙楼底部B 处的俯角为32°，请根据小明测得数据帮他计算甲、乙两个楼的高度．(精确到0.01 m)(cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)2．(2018·甘肃省卷)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB＝30°，∠CBA ＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)3．(2018·常州)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB＝160 m，CD＝40 m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽(即CH的长)．4．(2018·眉山)知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩(用C 表示)开展社会实践活动，车到达A 地后，发现C 地恰好在A 地的正北方向，且距离A 地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B 地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C 地，求B 、C 两地的距离．(参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43)5.(2018·河南说明与检测)如图，B 地在A 地的北偏东56°方向上，C 地在B 地的北偏西19°方向上，原来从A 地到C 地的路线为A→B→C，现在沿A 地北偏东26°方向新修了一条直达C 地的公路，路程比原来少了20千米．求从A 地直达C 地的路程(结果保留整数．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．6．(2018·河南说明与检测)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，从旗杆正前方23米处的点C 出发，沿斜面坡度i ＝1∶3的斜坡CD 前进4米到达点D ，在点D 处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得仪器的高DE 为1.5米，已知A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE，求旗杆AB 的高度．(参考数据：sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34.计算结果保留根号)．7．(2018·河南说明与检测)中国南海是中国固有领海，我方渔政船经常在此海域执勤巡察，一天我方渔政船停在小岛A 北偏西37°方向的B 处，观察A 岛周边海域，据测算，渔政船距A 岛的距离AB 长为10海里，此时位于A 岛正西方向C 处的我方渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号，渔政船接警后，立即沿BC 航线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船大约需要多少分钟能到达渔船所在的C 处？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77)8．(2018·河南说明与检测)如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2 km.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号)9．(2018·衡阳)一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2 000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B 处，如图所示．(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；(2)若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？参考答案类型一 针对训练1．解：(1)∵i EF ＝1∶0.75＝43＝EHFH，设EH ＝4x ，则FH ＝3x ，EF ＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x ＝15， ∴x＝3，∴FH＝3x ＝9，即山坡EF 的水平宽度FH 为9 m.第1题解图(2)如解图，延长BA 、FH 交于点G ，则AG ＝EH ＝4×3＝12，GH ＝AE ＝4，∴BG＝BA ＋AG ＝22.5＋12＝34.5.设CF ＝y ，则CG ＝CF ＋FH ＋GH ＝y ＋9＋4＝y ＋13，由题知CG∶(BG－CP)≥1.25，∴y ＋1334.5－0.9≥1.25，解得y≥29，∴底部C 距F 处至少29 m 远．2．解：如解图，延长DG 交CA 于点H ，得Rt△ABE 和矩形BEHG. i ＝BE AE ＝43，第2题解图∵BE＝8，∴AE＝6，∵DG＝1.5，BG ＝1， ∴DH＝DG ＋GH ＝1.5＋8＝9.5， AH ＝AE ＋EH ＝6＋1＝7. 在Rt△CDH 中，∵∠C＝∠FDC＝30°，DH ＝9.5， ∴CH＝DHtan 30°＝9.5 3.又∵CH＝CA ＋AH ， 即9.53＝CA ＋7， ∴CA≈9.2(米)． 答：CA 的长约是9.2米．3．解：如解图，过点B 作BF⊥AE，交EA 的延长线于点F ，作BG⊥DE 于点G.∵Rt△ABF 中，i ＝tan∠BAF＝13＝33，第3题解图∴∠BAF＝30°， ∴BF＝12AB ＝5，AF ＝5 3.∴BG＝AF ＋AE ＝53＋15. ∵Rt△BGC 中，∠CBG＝45°， ∴CG＝BG ＝53＋15.Rt△ADE 中，∠DAE＝60°，AE ＝15， ∴DE＝AE·tan 60°＝3AE ＝15 3.∴CD＝CG ＋GE －DE ＝53＋15＋5－153＝20－103≈2.7 m. 答：宣传牌CD 高约2.7米．4．解：如解图，延长BA 交CD 的延长线于点E ，则BE⊥CE，CH ＝BE ＝4千米， 设AE ＝x 千米，第4题解图∵Rt△ADE 中， ∠ADE＝50°， ∴DE＝AE tan 50°＝x 1.2＝56x.∴CE＝56x ＋2.∵Rt△ACE 中，∠ACE＝31°，∴AE＝CE·tan 31°，即x ＝0.6×(56x ＋2)，解得x ＝2.4，∴AB＝BE －AE ＝4－2.4＝1.6(千米)． 答：山的高度AB 约为1.6千米．5．解：在Rt△APC 中，AC ＝PC·tan∠APC＝30·tan 71°≈30×2.90＝87米， 在Rt△BPC 中，BC ＝PCtan∠BPC＝30·tan 35°≈30×0.70＝21米， 则AB ＝AC －BC ＝87－21＝66米，该汽车的平均速度为666＝11 m/s ，∵40 km/h≈11.1 m/s，∴该车没有超速．6．解：如解图，过点A 作AH⊥CD，垂足为点H ， 由题意知，四边形ABDH 为矩形，∠CAH＝30°，第6题解图∴AB＝DH ＝1.5，BD ＝AH ＝6. 在Rt△ACH 中，CH ＝AH·tan∠CAH， ∴CH＝6·tan 30°＝23(米)． ∵DH＝1.5，∴CD＝(23＋1.5)(米)． 在Rt△CDE 中， ∵∠CED＝60°， ∴CE＝CDsin 60°＝4＋3≈5.7(米)，答：拉线CE 的长约为5.7米． 7．解：能求出小山的高， 设小山的高BD 为x m. 在Rt△ABD 中，AD ＝xtan 60°.同理，在Rt△ACD 中，AD ＝CD tan 66°＝x ＋20tan 66°.即x tan 60°＝x ＋20tan 66°.解得：x≈67.4.答：小山的高BD 约为67.4 m.8．解：如解图，过点A 作AG⊥CD，垂足为点G ， 则∠CAG＝30°，在Rt△ACG 中，第8题解图CG ＝CA·sin 30°＝50×12＝25.由题意得GD ＝50－30＝20， 则CD ＝CG ＋GD ＝25＋20＝45.连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H. 由题意得∠H＝30°.∵在Rt△CDH 中，CH ＝CDsin 30°＝2CD ＝90，∴EH＝EC ＋CH ＝AB －BE －AC ＋CH ＝300－50－50＋90＝290. 在Rt△EFH 中， EF ＝EH·tan 30°＝290×33＝29033. ∴支撑角钢CD 的长度为45 cm ，EF 的长度为29033 cm.9．解：(1)11.4 【解法提示】在Rt△ABC 中， ∵∠BAC＝64°，AC ＝5 m ， ∴AB＝ACcos 64°＝5÷0.44≈11.4 m；第9题解图(2)如解图，过点D 作DH⊥地面于H ，交水平线于点E ， 在Rt△ADE 中，∵AD＝20 m ，∠DAE＝64°，EH ＝1.5 m ，∴DE＝sin 64°×AD≈20×0.9≈18 m，即DH ＝DE ＋EH ＝18＋1.5＝19.5 m ，答：如果该吊车吊臂的最大长度AD 为20 m ，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5 m. 类型二针对训练1．解：如解图，过点A 作AN⊥BD 于点N ，第1题解图在Rt△DNE，tan 37°＝DN EN ≈0.75＝34，设DN ＝3x ，则EN ＝4x ，在Rt△DNA 中，有DN ＝3x ，AN ＝4x －8， ∵tan42°＝DN AN ＝3x4x －8≈0.90，解得：x ＝12，∴DN＝3×12＝36，AN ＝4×12－8＝40， 在Rt△BNA 中，由题意知∠NAB＝32°， ∵tan 32°＝BNAN ，∴BN＝tan 32°AN≈24.8，∴DB＝DN ＋BN ＝36＋24.8＝60.8，AC ＝BN ＝24.8， 答：甲楼的高为60.8 m ，乙楼的高为24.8 m. 2．解：如解图，过点C 作CD⊥AB 于点D ， 在Rt△ADC 和Rt△BCD 中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC ＝640， ∴CD＝12AC ＝320，AD ＝3203，∴BD＝CD ＝320，BC ＝3202， ∴AC＋BC ＝640＋3202≈1088， ∴AB＝AD ＋BD ＝3203＋320≈864， ∴1088－864＝224(公里)，答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程将约缩短224公里．第2题解图3．解：如解图，过D 作DE⊥AB 于点E ，可得四边形CHED 为矩形，∴HE＝CD ＝40 m ，设CH ＝DE ＝x m ， 在Rt△BDE 中，∠DBA＝60°， ∴BE＝DE tan 60°＝33x m ，在Rt△ACH 中，∠BAC＝30°，∴AH＝CHtan 30°＝3x m ，由AH ＋HE ＋EB ＝AB ＝160 m ，得3x ＋40＋33x ＝160， 解得：x ＝303，即CH ＝30 3 m ， 答：该段运河的河宽为30 3 m.第3题解图4．解：如解图，过点B 作BD⊥AC于点D ，则∠BAD＝60°，∠DBC＝90°－37°＝53°，第4题解图设AD ＝x ，在Rt△ABD 中，BD ＝AD tan∠BAD＝3x ， 在Rt△BCD 中，CD ＝BDtan∠DBC＝3x×43＝433x ，由AC ＝AD ＋CD 可得x ＋433x ＝13，解得：x ＝43－3，则BC ＝BD cos∠DBC ＝3x 35＝533×(43－3)＝20－53，即BC 两地的距离为(20－53)千米．5．解：如解图，过点B作BD⊥AC，垂足为D.设BD ＝x.第5题解图在Rt△ABD 中，∵∠BAD＝56°－26°＝30°， ∴AB＝BD sin 30°＝2x ，AD ＝BDtan 30°＝3x.在Rt△BCD 中，∵∠C＝26°＋19°＝45°， ∴BC＝BD sin 45°＝2x ，CD ＝BDtan 45°＝x.∴AC＝3x ＋x.由题意得AB ＋BC －AC ＝20，∴2x＋2x －(3x ＋x)＝20，解得x≈29.4. ∴AC≈2.73×29.4＝80.262≈80(千米)． ∴从A 地直达C 地的路程约为80千米．6．解：如解图，延长ED 交BC 延长线于点F ，则∠CFD＝90°，第6题解图∵tan∠DCF＝i ＝13＝33，∴∠DCF＝30°， ∵CD＝4，∴DF＝12CD ＝2，CF ＝CD·cos∠DCF＝4×32＝2 3.∴BF＝BC ＋CF ＝23＋23＝4 3. 过点E 作EG⊥AB 于G ，则GE ＝BF ＝43，BG ＝EF ＝ED ＋DF ＝1.5＋2＝3.5，又∵∠AEG＝37°，∴AG＝GE·tan∠AEG＝43·tan37°≈3 3. ∴AB＝AG ＋BG ＝(33＋3.5)米． 答：旗杆AB 的高度约为(33＋3.5)米． 7．解：如解图，过点B 作BD⊥AC，垂足为D ，根据题意，得∠ABD＝∠BAM＝37°，∠CBD＝∠BCN＝50°，∵在Rt△ABD 中，cos∠ABD＝BD AB .∴BD＝AB·cos 37°≈10×0.8＝8(海里)．∵在Rt△CBD 中，cos∠CBD＝BD BC ，∴BC＝BD cos 50°≈80.64＝12.5(海里)．∴12.5÷30＝512(小时)，512×60＝25(分钟)．∴渔政船大约需25分钟能到达渔船所在的C 处．8．解：(1)如解图，过点P 作PD⊥AB 于点D ，设PD ＝x ，由题意得知，∠PBD＝45°，∠PAD＝30°.在Rt△BDP 中，BD ＝PD ＝x ，在Rt△PDA 中，AD ＝PD tan 30°＝3PD ＝3x ，∵AB＝2 km ，∴x ＋3x ＝2，解得x ＝3－1，∴点P 到海岸线l 的距离为(3－1) km.(2)如解图，过点B 作BF⊥CA 于点F ，在Rt△ABF 中，BF ＝AB·sin30°＝2×12＝1 km.在△ABC 中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－30°－45°－45°－15°＝45°，∴在Rt△BFC 中，BC ＝2BF ＝2×1＝ 2 km.∴点C 与点B 之间的距离为 2 km.第8题解图9．解：(1)如解图，过点C 作CP⊥AB 于P ，第9题解图由题意可得：∠A＝30°，AC ＝2 000米，则CP ＝12AC ＝1 000米；答：这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离为1 000米．(2)∵在Rt△PBC 中，PC ＝1 000米，∠PBC＝∠BPP＝45°， ∴BC＝2PC ＝1 0002米．∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆需要的时间为1 0002100＝102＜15.∴他在15分钟内能到达宾馆．。
河南省中考数学专题复习专题五解直角三角形的实际应用训练
专题五解直角三角形的实际应用类型一母子型(2015·河南)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．(结果保留整数．参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73)例1题图【分析】根据所求构造直角三角形，在直角三角形中，利用锐角三角函数的性质求解问题即可．【自主解答】如解图，延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H.例1题解图∵由题意，得∠DAE＝∠BGH＝30°，DA＝6，∴GD＝DA＝6，∴GH＝AH＝DA·cos 30°＝33，∴GA＝6 3.设BC＝x米，在Rt△GBC中，GC＝BCtan∠BGC＝3x.在Rt△ABC中，AC＝BCtan∠BAC＝xtan 48°.∵GC－AC＝GA，∴3x－xtan 48°＝63，解得x≈13.即大树的高度约为13米．1．(2018·泰州)日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶(H－H1)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15 m，坡度为i＝1∶0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5 m的楼房AB，底部A到E点的距离为4 m.(1)求山坡EF的水平宽度FH；(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？图①图②2.(2018·商丘模拟)如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4∶3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA的长？(参考数据：3≈1.7，结果保留一位小数)3．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB 的坡度i＝1∶3，AB＝10米，AE＝15米，求这块宣传牌CD的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)4．(2018·新乡一模)如图，为探测某座山的高度AB，某飞机在空中C处测得山顶A处的俯角为31°，此时飞机的飞行高度为CH＝4千米；保持飞行高度与方向不变，继续向前飞行2千米到达D处，测得山顶A 处的俯角为50°.求此山的高度AB.(参考数据：tan 30°≈0.6，tan 50°≈1.2)5．(2018·烟台)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时，数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l 外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C.测得PC＝30米，∠APC＝71°，∠BPC＝35°.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cos 71°≈0.33，tan 71°≈2.90)6．(2018·河南说明与检测)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73.结果保留一位小数．)7．(2018·河南说明与检测)某数学兴趣小组在学习《锐角三角函数》以后，开展测量物体高度的实践活动，他们在河边的一点A处测得河对岸小山顶上一座铁塔的塔顶C的仰角为66°、塔底B的仰角为60°，已知铁塔的高度BC为20 m(如图)，你能根据以上数据求出小山的高BD吗？8．(2018·河南说明与检测)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D、F到地面的垂直距离相同)，均为30 cm，点A到地面的垂直距离为50 cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少厘米．(结果保留根号)9．(2018·遵义)如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面 1.5 m．(计算结果精确到0.1 m，参考数据sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05)(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5 m时，吊臂AB的长为____________m；(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20 m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)类型二背靠背型(2018·河南)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长．(结果精确到1 cm，参考数据sin 82.4°≈0.991，cos 82.4°≈0.132，tan 82.4°≈7.500，sin 80.3°≈0.983，cos 80.3°≈0.168，tan 80.3°≈5.850)【分析】 利用锐角三角函数，在Rt△ACE 和Rt△DBF 中，分别求出AE 、BF 的长．计算出EF.通过矩形CEFH 的性质得到CH 的长． 【自主解答】 解：在Rt△ACE 中，AE ＝CE tan 82.4°＝155tan 82.4°≈20.7，在Rt△BDF 中，BF ＝DF tan 80.3°＝234tan 80.3°≈40，∵在矩形CEFH 中，CH ＝EF ，∴CH＝EF ＝AE ＋AB ＋BF ＝20.7＋90＋40≈151(cm)． 答：高低杠间的水平距离CH 的长为151 cm.1．(2018·驻马店一模)小明利用寒假进行综合实践活动，他想利用测角仪和卷尺测量自家所住楼(甲楼)与对面邮政大楼(乙楼)的高度，现小明用卷尺测得甲楼宽AE 是8 m ，用测角仪在甲楼顶E 处与A 处测得乙楼顶部D 的仰角分别为37°和42°，同时在A 处测得乙楼底部B 处的俯角为32°，请根据小明测得数据帮他计算甲、乙两个楼的高度．(精确到0.01 m)(cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)2．(2018·甘肃省卷)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB＝30°，∠CBA ＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)3．(2018·常州)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB＝160 m，CD＝40 m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽(即CH的长)．4．(2018·眉山)知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩(用C 表示)开展社会实践活动，车到达A 地后，发现C 地恰好在A 地的正北方向，且距离A 地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B 地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C 地，求B 、C 两地的距离．(参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43)5.(2018·河南说明与检测)如图，B 地在A 地的北偏东56°方向上，C 地在B 地的北偏西19°方向上，原来从A 地到C 地的路线为A→B→C，现在沿A 地北偏东26°方向新修了一条直达C 地的公路，路程比原来少了20千米．求从A 地直达C 地的路程(结果保留整数．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．6．(2018·河南说明与检测)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，从旗杆正前方23米处的点C 出发，沿斜面坡度i ＝1∶3的斜坡CD 前进4米到达点D ，在点D 处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得仪器的高DE 为1.5米，已知A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE，求旗杆AB 的高度．(参考数据：sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34.计算结果保留根号)．7．(2018·河南说明与检测)中国南海是中国固有领海，我方渔政船经常在此海域执勤巡察，一天我方渔政船停在小岛A 北偏西37°方向的B 处，观察A 岛周边海域，据测算，渔政船距A 岛的距离AB 长为10海里，此时位于A 岛正西方向C 处的我方渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号，渔政船接警后，立即沿BC 航线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船大约需要多少分钟能到达渔船所在的C 处？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77)8．(2018·河南说明与检测)如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2 km.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号)9．(2018·衡阳)一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2 000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B 处，如图所示．(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；(2)若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？参考答案类型一 针对训练1．解：(1)∵i EF ＝1∶0.75＝43＝EHFH，设EH ＝4x ，则FH ＝3x ，EF ＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x ＝15， ∴x＝3，∴FH＝3x ＝9，即山坡EF 的水平宽度FH 为9 m.第1题解图(2)如解图，延长BA 、FH 交于点G ，则AG ＝EH ＝4×3＝12，GH ＝AE ＝4，∴BG＝BA ＋AG ＝22.5＋12＝34.5.设CF ＝y ，则CG ＝CF ＋FH ＋GH ＝y ＋9＋4＝y ＋13，由题知CG∶(BG－CP)≥1.25，∴y ＋1334.5－0.9≥1.25，解得y≥29，∴底部C 距F 处至少29 m 远．2．解：如解图，延长DG 交CA 于点H ，得Rt△ABE 和矩形BEHG. i ＝BE AE ＝43，第2题解图∵BE＝8，∴AE＝6，∵DG＝1.5，BG ＝1， ∴DH＝DG ＋GH ＝1.5＋8＝9.5， AH ＝AE ＋EH ＝6＋1＝7. 在Rt△CDH 中，∵∠C＝∠FDC＝30°，DH ＝9.5， ∴CH＝DHtan 30°＝9.5 3.又∵CH＝CA ＋AH ， 即9.53＝CA ＋7， ∴CA≈9.2(米)． 答：CA 的长约是9.2米．3．解：如解图，过点B 作BF⊥AE，交EA 的延长线于点F ，作BG⊥DE 于点G.∵Rt△ABF 中，i ＝tan∠BAF＝13＝33，第3题解图∴∠BAF＝30°， ∴BF＝12AB ＝5，AF ＝5 3.∴BG＝AF ＋AE ＝53＋15. ∵Rt△BGC 中，∠CBG＝45°， ∴CG＝BG ＝53＋15.Rt△ADE 中，∠DAE＝60°，AE ＝15， ∴DE＝AE·tan 60°＝3AE ＝15 3.∴CD＝CG ＋GE －DE ＝53＋15＋5－153＝20－103≈2.7 m. 答：宣传牌CD 高约2.7米．4．解：如解图，延长BA 交CD 的延长线于点E ，则BE⊥CE，CH ＝BE ＝4千米， 设AE ＝x 千米，第4题解图∵Rt△ADE 中， ∠ADE＝50°， ∴DE＝AE tan 50°＝x 1.2＝56x.∴C E ＝56x ＋2.∵Rt△ACE 中，∠ACE＝31°，∴AE＝CE·tan 31°，即x ＝0.6×(56x ＋2)，解得x ＝2.4，∴AB＝BE －AE ＝4－2.4＝1.6(千米)． 答：山的高度AB 约为1.6千米．5．解：在Rt△APC 中，AC ＝PC·tan∠APC＝30·tan 71°≈30×2.90＝87米， 在Rt△BPC 中，BC ＝PCtan∠BPC＝30·tan 35°≈30×0.70＝21米， 则AB ＝AC －BC ＝87－21＝66米，该汽车的平均速度为666＝11 m/s ，∵40 km/h≈11.1 m/s，∴该车没有超速．6．解：如解图，过点A 作AH⊥CD，垂足为点H ， 由题意知，四边形ABDH 为矩形，∠CAH＝30°，第6题解图∴AB＝DH ＝1.5，BD ＝AH ＝6. 在Rt△ACH 中，CH ＝AH·tan∠CAH， ∴CH＝6·tan 30°＝23(米)． ∵DH＝1.5，∴CD＝(23＋1.5)(米)． 在Rt△CDE 中， ∵∠CED＝60°， ∴CE＝CDsin 60°＝4＋3≈5.7(米)，答：拉线CE 的长约为5.7米． 7．解：能求出小山的高， 设小山的高BD 为x m. 在Rt△ABD 中，AD ＝xtan 60°.同理，在Rt△ACD 中，AD ＝CD tan 66°＝x ＋20tan 66°.即x tan 60°＝x ＋20tan 66°.解得：x≈67.4.答：小山的高BD 约为67.4 m.8．解：如解图，过点A 作AG⊥CD，垂足为点G ， 则∠CAG＝30°，在Rt△ACG 中，第8题解图CG ＝CA·sin 30°＝50×12＝25.由题意得GD ＝50－30＝20， 则CD ＝CG ＋GD ＝25＋20＝45.连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H. 由题意得∠H＝30°.∵在R t△CDH 中，CH ＝CDsin 30°＝2CD ＝90，∴EH＝EC ＋CH ＝AB －BE －AC ＋CH ＝300－50－50＋90＝290. 在Rt△EFH 中， EF ＝EH·tan 30°＝290×33＝29033. ∴支撑角钢CD 的长度为45 cm ，EF 的长度为29033 cm.9．解：(1)11.4 【解法提示】在Rt△ABC 中， ∵∠BAC＝64°，AC ＝5 m ， ∴AB＝ACc os 64°＝5÷0.44≈11.4 m ；第9题解图(2)如解图，过点D 作DH⊥地面于H ，交水平线于点E ， 在Rt△ADE 中，∵AD＝20 m ，∠DAE＝64°，EH ＝1.5 m ，∴DE＝sin 64°×AD≈20×0.9≈18 m，即DH ＝DE ＋EH ＝18＋1.5＝19.5 m ，答：如果该吊车吊臂的最大长度AD 为20 m ，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5 m. 类型二针对训练1．解：如解图，过点A 作AN⊥BD 于点N ，第1题解图在Rt△DNE，tan 37°＝DN EN ≈0.75＝34，设DN ＝3x ，则EN ＝4x ，在Rt△DNA 中，有DN ＝3x ，AN ＝4x －8， ∵tan42°＝DN AN ＝3x4x －8≈0.90，解得：x ＝12，∴DN＝3×12＝36，AN ＝4×12－8＝40， 在Rt△BNA 中，由题意知∠NAB＝32°， ∵tan 32°＝BNAN ，∴BN＝tan 32°AN≈24.8，∴DB＝DN ＋BN ＝36＋24.8＝60.8，AC ＝BN ＝24.8， 答：甲楼的高为60.8 m ，乙楼的高为24.8 m. 2．解：如解图，过点C 作CD⊥AB 于点D ， 在Rt△ADC 和Rt△BCD 中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC ＝640， ∴CD＝12AC ＝320，AD ＝3203，∴BD＝CD ＝320，BC ＝3202， ∴AC＋BC ＝640＋3202≈1088， ∴AB＝AD ＋BD ＝3203＋320≈864， ∴1088－864＝224(公里)，答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程将约缩短224公里．第2题解图3．解：如解图，过D 作DE⊥AB 于点E ，可得四边形CHED 为矩形，∴HE＝CD ＝40 m ，设CH ＝DE ＝x m ， 在Rt△BDE 中，∠DBA＝60°， ∴BE＝DE tan 60°＝33x m ，在Rt△ACH 中，∠BAC＝30°，∴AH＝CHtan 30°＝3x m ，由AH ＋HE ＋EB ＝AB ＝160 m ，得3x ＋40＋33x ＝160， 解得：x ＝303，即CH ＝30 3 m ， 答：该段运河的河宽为30 3 m.第3题解图4．解：如解图，过点B 作BD⊥AC于点D ，则∠BAD＝60°，∠DBC＝90°－37°＝53°，第4题解图设AD ＝x ，在Rt△ABD 中，BD ＝ADtan∠BAD＝3x ， 在Rt△BCD 中，CD ＝BDtan∠DBC＝3x×43＝433x ，由AC ＝AD ＋CD 可得x ＋433x ＝13，解得：x ＝43－3，则BC ＝BD cos∠DBC ＝3x 35＝533×(43－3)＝20－53，即BC 两地的距离为(20－53)千米．5．解：如解图，过点B作BD⊥AC，垂足为D.设BD ＝x.第5题解图在Rt△ABD 中，∵∠BAD＝56°－26°＝30°， ∴AB＝BD sin 30°＝2x ，AD ＝BDtan 30°＝3x.在Rt△BCD 中，∵∠C＝26°＋19°＝45°， ∴BC＝BD sin 45°＝2x ，CD ＝BDtan 45°＝x.∴AC＝3x ＋x.由题意得AB ＋BC －AC ＝20，∴2x＋2x －(3x ＋x)＝20，解得x≈29.4. ∴AC≈2.73×29.4＝80.262≈80(千米)． ∴从A 地直达C 地的路程约为80千米．6．解：如解图，延长ED 交BC 延长线于点F ，则∠CFD＝90°，第6题解图∵tan∠DCF＝i ＝13＝33，∴∠DCF＝30°， ∵CD＝4，∴DF＝12CD ＝2，CF ＝CD·cos∠DCF＝4×32＝2 3.∴BF＝BC ＋CF ＝23＋23＝4 3. 过点E 作EG⊥AB 于G ，则GE ＝BF ＝43，BG ＝EF ＝ED ＋DF ＝1.5＋2＝3.5，又∵∠AEG＝37°，∴AG＝GE·tan∠AEG＝43·tan37°≈3 3. ∴AB＝AG ＋BG ＝(33＋3.5)米． 答：旗杆AB 的高度约为(33＋3.5)米． 7．解：如解图，过点B 作BD⊥AC，垂足为D ，根据题意，得∠ABD＝∠BAM＝37°，∠CBD＝∠BCN＝50°，∵在Rt△ABD 中，cos∠ABD＝BD AB .∴BD＝AB·cos 37°≈10×0.8＝8(海里)．∵在Rt△CB D 中，cos∠CBD＝BD BC ，∴BC＝BD cos 50°≈80.64＝12.5(海里)．∴12.5÷30＝512(小时)，512×60＝25(分钟)．∴渔政船大约需25分钟能到达渔船所在的C 处．8．解：(1)如解图，过点P 作PD⊥AB 于点D ，设PD ＝x ，由题意得知，∠PBD＝45°，∠PAD＝30°.在Rt△BDP 中，BD ＝PD ＝x ，在Rt△PDA 中，AD ＝PDtan 30°＝3PD ＝3x ，∵AB＝2 km ，∴x ＋3x ＝2，解得x ＝3－1，∴点P 到海岸线l 的距离为(3－1) km.(2)如解图，过点B 作BF⊥CA 于点F ，在Rt△ABF 中，BF ＝AB·sin30°＝2×12＝1 km.在△ABC 中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－30°－45°－45°－15°＝45°，∴在Rt△BFC 中，BC ＝2BF ＝2×1＝ 2 km.∴点C 与点B 之间的距离为 2 km.第8题解图9．解：(1)如解图，过点C 作CP⊥AB 于P ，第9题解图由题意可得：∠A＝30°，AC ＝2 000米，则CP ＝12AC ＝1 000米；答：这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离为1 000米．(2)∵在Rt△PBC 中，PC ＝1 000米，∠PBC＝∠BPP＝45°， ∴BC＝2PC ＝1 0002米．∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆需要的时间为1 0002100＝102＜15.∴他在15分钟内能到达宾馆．。
秋华师大河南九级数学上册专题六解直角三角形的应用
解：延长 OA 交 BC 于点 D，∵AO 的倾斜角是 60°，∴∠ODB＝60°， ∵∠ACD＝30°，∴∠CAD＝180°－∠ODB－∠ACD＝90°，
在 Rt△ACD 中，AD＝AC·tan∠ACD＝323· 33＝1.5(米)， ∴CD＝2AD＝3 米，又∵∠O＝60°，∴△BOD 是等边三角形， ∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋1.5＝4.5(米)， ∴BC＝BD－CD＝4.5－3＝1.5(米)． 答：浮漂 B 与河堤下端 C 之间的距离为 1.5 米
3．如图，轮船从点 A 处出发，先航行至位于点 A 的南偏西 15° 且与点 A 相距 100 km 的点 B 处，再航行至位于点 B 的北偏东 75° 且与点 B 相距 200 km 的点 C 处． (1)求点 C 与点 A 的距离(精确到 1 km)； (2)确定点 C 相对于点 A 的方向． (参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
(2)在△ABC 中，∵AB2＋AC2＝1002＋(100 3)2＝40000， BC2＝2002＝40000，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°， ∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝90°－15°＝75°. 答：点 C 位于点 A 的南偏东 75°方向
的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高．(AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号) 4．如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上 的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高．(AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号) 4．如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上 的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高．(AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号) 6．(资阳中考)小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的 仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，