高一数学最简三角方程

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6.5(1)(2)(3)最简三角方程

解： sin 2 x 2a 1
①当 2a 1 1，即 a 0 或 a 1时，x ；
②当 2a 1 1
(i) a 1时， sin 2 x 1 x k

4
,k Z ;
(ii) a 0时， sin 2 x 1 x k

4
,k Z ;
例2.解关于x的方程 : sin x cos x sin x cos x 1
t 2 1 . ，则 sin x cos x 解：令 sin x cos x t , t 2, 2 2 2 t 1 原方程化为 t 1 t 3 (舍) 或 1 2 2 sin x cos x 1 sin x 4 2 3 x 2 k 或 2 k 4 4 4
一般地, 当 a 1时, x x 2k arccosa, k .
3 例4、求方程tan x 的解集. 3
三角方程 tan x a, a R
x x k arctana, k .
例5.解下列三角方程 1 1sin 2 x ; 3
1 例1、求方程 sin x 的解集 . 2
例2、求方程 3sin(2 x

4
) 1的解集 .
三角方程 sin x a 当 a 1时, 方程无解;
当a 1时, x
x 2k

2
, k Z
. .
.
当a 1时, x
x 2k

2
, k Z
一般地, 当 a 1时, x
k (1) k arcsin a, k
1 例3、求方程 cos x 的解集 . 2

最简三角方程(2019年11月)

例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2），所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
{ arcsin(3/4),arcsin(3/4)}
(3). sin2x = 1;
{x|x=k kz}
例2 ；求方程sinx=1/2的解集。解：由于sinx=1/2，所以x在第一或第二象限。在（0，）上只有和5是原方程的解，
所以方程sinx=1/2的一切解是: xk 和 x=k kz
用集合为：{x xk , kz}{x| x=k , kz}
最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。
(1) cosA=1/2
解：A=
(2) cosA=1/3
A=arccos(1/3)
(3) sinx=2/5
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5)
(4) sinx= 3

A= 或
以上问题中的四个等式，实质上是关于A的方程。
象这样含有未知数的三角函数方程叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，
这三种形式的方程叫做最简三角方程。
；电商入驻网店入驻天猫服务商 / 天猫代办代办天猫尚策京东入驻尚策苏宁入驻
；
述张目瞋之瑾惶惧而走文武百僚莫敢违忤性贪鄙知人有珍异物必求取富商大贾及陇右诸胡子弟皆接以恩意呼之为儿由是竞加馈遗金宝累积后庭曳罗绮者甚众家僮千余人皆控良马被服

最简三角方程

{ arcsiபைடு நூலகம்(3/4),arcsin(3/4)}
(3). sin2x = 1;
{x|x=k kz}
例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2），所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
例2 ；求方程sinx=1/2的解集。解：由于sinx=1/2，所以x在第一或第二象限。在（0，）上只有和5是原方程的解，
所以方程sinx=1/2的一切解是: xk 和 x=k kz
用集合为：{x xk , kz}{x| x=k , kz}
最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。
(1) cosA=1/2
解：A=
(2) cosA=1/3
A=arccos(1/3)
(3) sinx=2/5
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5)
(4) sinx= 3
2
A= 或
以上问题中的四个等式，实质上是关于A的方程。
也可以写成以下形式： {x|x=kk , kz}.
一般地，方程sinx=a,|a|<1的解集是：
{x|x=k(k arcsina ,kz}
课堂练习：
(1). sinx= 3 , x 解集为：{ }
2
(2). sinx=3/4, x
象这样含有未知数的三角函数方程叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，

上海高一数学下册--09—反三角函数与最简三角方程

反三角函数与最简三角方程知识梳理2、最简单三角方程的解集：例题解析一、反三角函数的定义【例1】求下列反三角函数的值：（1）arcsin(2-；（2）arcsin1；（3）1arcsin 2（4）arccos2；（5）1arccos()2-；（6）arctan(1)-；（7）arctan 3【难度】★ 【答案】（1）3π-；（2）2π；（3）6π；（4）6π；（5）23π；（6）4π-；（7）6π【例2】已知中，，分别用反正弦函数值、反余弦函数值、反正切函数值表示．【难度】★ 【答案】415arcsin-π；⎪⎭⎫⎝⎛-41arccos ；15arctan -π；【例3】用反三角函数的形式表示下列角：（1）已知13sin 42x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜，用反正弦的形式表示x ；（2）已知1cos 042x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜，用反余弦的形式表示x ；（3）已知13tan 42x x ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭＜＜，用反正切的形式表示x ；【难度】★★【答案】（1）1sin4x arc π=+；（2）1cos 4x arc =-；（3）1tan 4x arc π=+ 【解析】此类题目可用两种方法处理：①利用诱导公式转化为反三角函数的运算性质解决；②利用三角函数图像解决，此时应注意原函数与反函数的联系与区别；具体过程略【例4】关于t 的方程()2253172230848t x t x x +++++=有两个不同的实数根，求函数sin y x =的反函数．【难度】★★【答案】x arcsin y -=π，()sin 4,sin 2x ∈ΔABC 234AB BC CA ===，，B ∠【解析】由()22531723420848x x x ⎛⎫∆=+-⨯++>⎪⎝⎭，得2680x x -+<，解得24x <<函数sin y x =，()2,4x ∈的值域为()sin 4,sin 2 由()sin sin y x x π==-，且,22x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，有arcsin x y π-=，即arcsin x y π=-将x 与y 互换得到原函数的反函数为：()1arcsin y f x x π-==-，()sin 4,sin 2x ∈【巩固训练】1．求下列反三角函数的值：1）1arcsin 2⎛⎫-⎪⎝⎭2）arcsin 23 3）arccos 21 4）arccos （-23） 5）1arctan 6）arctan （-33）【难度】★ 【答案】（1）6π- ；（2）3π；（3）3π；（4）56π；（5）4π；（6）6π-2．用反正弦函数值表示下列式子中的x ：（1）1sin 5x=，(0,)2x π∈；（2）1sin 5x =，(,)2x ππ∈（3）1sin 5x=， x 是第一象限角；（4）1sin 5x =， x R ∈ 【难度】★★ 【答案】（1）1arcsin 5x=；（2）1arcsin 5x π=-；（3）12arcsin 5x k π=+，k Z ∈；（4）12arcsin5x k π=+或12arcsin 5x k ππ=+-，k Z ∈．3．函数3sin 22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，的反函数为（）[]A y x x .arcsin =∈-，，11 []B y x x .arcsin =-∈-，，11 []C y x x .arcsin =+∈-π，，11 []D y x x .arcsin =-∈-π，，11【难度】★★ 【答案】D【解析】同上方法，两种皆可．选一种方法作以解释如下：ππ232≤≤x ∴-≤-≤-==ππππ22x x x y ，又sin()sin 由反正先函数的定义，得：arcsin x y π-=，又11y -≤≤，故反函数为：[]arcsin 11y x x π=-∈-，，4．已知1cos 3x=，根据所给范围用反余弦函数值表示x ： 1︒x 为锐角 2︒ x 为某三角形内角 3︒ x 为第二象限角 4︒ x R ∈【难度】★★【答案】（1）1arccos 3x =；（2）1arccos 3x =；（3）不存在；（4）12arccos 3x k π=±()k Z ∈5． 1）已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,231tan ππx x 且，求x ． 2）已知31tan =x 且[]π2,0∈x ，求x 的取值集合． 3）已知1tan 3x =且x R ∈，求x 的取值集合．【难度】★★【答案】（1）1arctan 3x =；（2）1arctan 3x =或1arctan 3π+；（3）12arctan 3x k π=+或12arctan 3k ππ++()k Z ∈．6．下列命题中，正确命题的个数是（）（1）arcsin y x =的反函数是sin y x = （2）cos ,[,0]y x x π=∈-的反函数是arccos ,[1,1]y x x =-∈-（3）tan ,,23y x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的反函数是arctan ,(y x x =∈-∞A .0个B .1个C .2个D . 3个【难度】★★ 【答案】C二、反三角函数的图像与性质1、反三角函数的图像应用【例5】下列命题中正确的是①函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数；②函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数； ③函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数；④函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数．【难度】★ 【答案】③【例6】根据反三角函数的图像比较下列各组数的大小：（1）2arcsin 5与；（2）2arccos 3与2arccos()3-；（3）2arcsin 3与2arccos 3【难度】★【答案】（1）2arcsin5<；（2）2arccos 3<2arccos(3-；（3）2arccos3=Q ，23<，2arcsin 3∴<，22arcsin arccos 33∴<【例7】求解下列不等式中x 的范围：（1）arcsin 1x ＜；（2）2arccos(21)arccos x x -＜；（3）arcsin arccos x x >；（4）()2arccos arccos 0x x --＞．【难度】★★【答案】（1）1sin1x -≤＜；（2）112x -≤-＜（3）12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦；（4）112x -≤＜【例8】求下列函数的反函数：（1）arcsin 2y x π=-，[1,1]x ∈-；（2）sin y x =（32x ππ≤≤）（3）2arccos(21)y x =+-；（4）1arctan 32x y = 【难度】★★★【答案】（1）反函数为cos y x =，[0,]x π∈；（2）反函数为arcsin y x π=-，[1,1]x ∈-；（3）反函数为11cos(2)22y x =-+，[2,2]x π∈+；（4）反函数为2tan(3)y x =，(,)66x ππ∈-．【巩固训练】1．若⎥⎦⎤⎝⎛∈653ππ,x arccos ，则x 的取值范围是．【难度】★【答案】⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2123，2．解不等式：5arccos(2)6x π->．【难度】★【答案】22⎛⎤+⎥ ⎝⎦【解析】原式即为：arccos(2)arccos(2x ->由arccos y x =为减函数，知12122x x -≤-≤⎧⎪⎨-<⎪⎩解得原不等式的解为：1,22⎡-⎢⎣⎭3．求下列不等式的解集：（1）2arcsin arcsin(1)x x <-；（2）arccos2arccos(1)x x <-；（3）2arctan 2arctan(3)0x x +->．【难度】★★ 【答案】（1）1[1,)2--；（2）11(,]32；（3）(1,3)-2、反三角函数的定义域、值域与最值【例9】写出下列函数的定义域：（1）y = （2）2arcsin()y x x =+ （3）2log arccos 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【难度】★★【答案】（1）[0,1] （2）⎣⎦ （3）[2,1)-【例10】求下列函数的定义域和值域：（1）2arcsin 33x y π=+；（2）y =；（3）arc tan(21)y x =-．【难度】★★【答案】（1）定义域为[3,3]-，值域为24[,33ππ-；（2）定义域为[1,1)-，值域为)+∞；（3）定义域为R ，值域为(,22ππ-；【例11】函数()21arcsin 2y x x =-的值域是．【难度】★★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41214arcsin ，π【解析】由22211124411x x x x x ⎧⎛⎫-=--+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-≤-≤⎩⇒2114x x -≤-≤ ⇒()()21111arcsin 1arcsin arcsin 42224x x π-=-≤-≤【例12】求函数xarcsin y 1=的定义域与值域．【难度】★★【答案】[)+∞,1，⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0π 【解析】由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤-≠01arcsin 1110x x x 得1≥x ，故函数的定义域为[)+∞,1由20,21arcsin 01101ππ≤<∴≤<∴≤<⇒≥y x x x ∴函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0π【例13】求函数()21arccos 5arccos ,,12y x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值，以及相应的x 的值．【难度】★★【答案】最大值为0，此时1x =；最小值为241093ππ-，此时12x =-．【例14】函数1arctan arcsin 2y x x =+的值域是．【难度】★★【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22ππ，【解析】函数()1arctan arcsin 2y f x x x ==+在定义域[]1,1-上单调递增，所以值域为()()1,1,22f f ππ⎡⎤-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦【例15】求函数x x y 2arccos )1arcsin(+-=的值域．【难度】★★★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,6 【解析】先求函数的定义域∴≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤⇒⎩⎨⎧≤≤-≤-≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-,2102121201211111211x x x x x x x 函数的定义域是}⎩⎨⎧≤≤210x x2)1arcsin(6,1121,210ππ≤-≤∴≤-≤∴≤≤x x x 同理：22arccos 0120π≤≤∴≤≤x x∴函数x x y 2arccos )1arcsin(+-=的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,6．【巩固训练】1．函数()()arccos arcsin y x a x a =+--（0a >）的定义域D =___________．【难度】★★【答案】由11110x a x a a -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>⎩⇔11110a x a a x a a --≤≤-⎧⎪-+≤≤+⎨⎪>⎩。

最简三角方程

k
课堂练习：
(1). sinx=
3 2
, x 解集为：{ } x { arcsin(3/4),arcsin(3/4)} {x|x=k kz}
(2). sinx=3/4, (3). sin2x = 1;
(4). sinx=.

总结：
方程sinx=a,|a|<1的解集是：
{x|x=k( arcsina ,kz}
k
作业： 1. 请同学们思考：方程cosx=a解的一般形式是什么？准备下节课回答； 2. P100.1.（1）.（2）2.（1）.3.（1）
;
/ PS 学堂
vfg床，以迅雷不及掩耳之势收拾好细软，并穿好衣裳，然后就走出屋子。只见傅三已经在门外等着我，我抱歉得走前去说道，“傅大爷，不好意思，让你久等了。”傅三也没说我什么，只是脸色有点凝重。我见状，也不知怎么回事，正准备开口问个情况，傅三先开口道，“傅莲啊，这回要辛苦你了。”我听罢，顿时觉得会有不好的事情将要发生在我身上，果然，傅三继续说道，“是这么一回事，傅家大少奶奶所住的院子里头刚死了一个家丁，听说是积劳成疾突然暴毙的，那个家丁是专为大少爷和大少奶奶干活的，如今他们那里少了一人，便向我这要一个人补回去。也不知怎么地，傅大少奶奶指定要你去她那，这”听到这，我的小心脏不知咋的就停止跳动了，那消息犹如沼气一样让我窒息；全身僵硬不能动弹，脸蛋发白，顿时脚一软坐倒在地。傅三见状，连忙扶我一把，又添话道，“其实你也不用太害怕，虽说大少奶奶脾气不好，但是也不至于无故骂人打人。”不是吧？傅三你在开玩笑吧？那二货可是把别人给活生生弄死了啊，那她还不算是杀人凶手吗？人长得丑就不说了，现在她可是弄死了人啊，这是要我去送死吗？心中一阵狂想。傅三见状，也不知道说些什么，把我扶起来后无奈的说道，“傅莲，有些事情不是你想不做就可以不做的，人啊，就是要学会在逆境中生存，甚至在逆境中锻炼自己。”听到这话，我从惊恐的神情中缓了过了，傅三说得对。这是一个对我的考验，我已经是傅家的家丁了，会遇上一些倒霉事情也是注定的，至于我究竟是不是跟着倒霉那就是看自己的造化了。想到这里，我也就没这么害怕了，于是跟着傅三走去傅大少奶奶的住处。我知道傅三是个老好人，我也不怕说错什么，于是我问道，“傅大爷，其实这个大少奶奶是”没得我问完，傅三就接着我的话说道，“傅家大少奶奶是大少爷傅宗哲的妻子，出阁前原是当今大臣李善的长女李欣丽，她今年也有38岁了，只比大少爷少了2岁。傅大老爷已经辞去朝中职务回家养老，而大少爷则替大老爷继续在朝中为皇上办事，所以他位高权重，在府上除了大老爷，也没人敢议论他什么，这样一来，傅大少奶奶也是仗夫之势，在傅家做起女主人。大少爷和大少奶奶生有一女儿，今年也18了，别看夫人长这样，他们的女儿可漂亮了，像极了我们大少爷”不知怎地，傅三开始扯起了那一房人的家常。也罢，起码我了解了这大房的人物还有他们的地位，得出的结论就是我一丁点儿都惹不起。傅三唠叨完他们家的一些事情后，我们已经来到了傅大少爷的大院子门外。傅三走前对我说道，“傅莲啊，你今后就在这里帮忙干活吧，等做完全部的活并得到大少奶奶的同意，你就可以回去你的房间

高一数学《最简三角方程》教案(上)__1

芯衣州星海市涌泉学校最简三角方程〔2〕一、教学内容分析在掌握最简三角方程的解集根底上，学会解简单的三角方程．利用同角三角比或者者三角比的有关公式将同时含有几个三角函数的方程化为只含有一个角的一个三角函数的方程，然后采用根本的转化方法，将原方程化成简单三角方程求解．有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以三角函数为未知数的一元二次方程的0∆≥，而且要关注此三角函数本身的条件限制．二、教学目的设计1．会解简单的三角方程〔形如sin cos A x B x C+=，2sin sin A x B x C+=，2sin cos A x B x C +=等〕． [说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握根本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其根本的转化方法有：〔1〕化为同角、同名的三角函数；〔2〕因式分解法；〔3〕化为sin x 、cos x 的齐次式；〔4〕引入辅助角．２．利用函数的图像解与三角函数有关的方程问题．三、教学重点及难点重点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程根本方法与合理选用公式和变换方法；难点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程的过程中合理选用公式和变换方法，及含有字母三角方程的实数解讨论．四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计1．概念辨析三角函数值求角〔实际上是求解最简三角方程〕，要纯熟掌握最简三角方程的解集，并在理解的根底上熟记下表：把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握根本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其根本的转化方法有：〔1〕可化为同角、同名的三角函数的方程，通常用解代数方程的方法，转化为最简的三角方程；〔2〕一边可以分解，而另一边为零的方程，通常用因式分解法，转化为最简的三角方程；〔3〕关于sin x 、cos x 的齐次方程，，通常化为关于tan x 的方程。

再用解代数方程的方法，转化为关于tan x 最简的三角方程；〔4〕形如sin cos a x b xc +=的方程，通常是引入辅助角，化原方程为sin()x θ+=1时，方程有解．2．例题分析例1、解方程22sin3cos 0x x +=．解原方程可化为22(1cos )3cos 0x x -+=，即22cos3cos 20x x --=．解这个关于cos x 的二次方程，得cos 2x =，1cos 2x =-．由cos 2x=，得解集为φ；由1cos 2x =-，得解集为22,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭．所以原方程的解集为22,3xx k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭． [说明]方程中的2sinx 可化为21cos x -，这样原方程便可看成以cos x 为未知数的一元二次方程，当0∆≥时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解．例2、解方程22sincos cos 0x x x x -=．解一因为cos 0x≠〔使cos 0x =的x 的值不可能满足原方程〕，所以在方程的两边同除以2cos x ，得2tan 10x x -=．解关于tan x 的二次方程，得tan x =tan x =．由tan x=，得解集为,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；由tan x =，得解集为,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭．所以原方程的解集为,,36xx k x k k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩⎭或． [说明]假设方程的每一项关于sin cos x x 及的次数都是一样的〔此题都是二次〕,那么这样的方程叫做关于sin cos x x 及的齐次方程．它的解法一般是,先化为只含有未知数的正切函数的三角方程，然后求解．解二降次得1cos 21cos 22022x xx -+--=，2cos 20x x +=．因为cos 20x≠〔使cos 20x =的x 的值不可能满足原方程〕，所以在方程的两边同除以cos 2x ，得tan 2x =由tan 2x=2,3x k k Z ππ=-∈，即,26k x k Z ππ=-∈．所以原方程的解集为,26k xx k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭． [说明]由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，但当k 是偶数2n 时，26k ππ-变成n 6ππ-；当k 是奇数2n+1时，26k ππ-变成n 3ππ+，所以本质上,,36xx k x k k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩⎭或与,26k xx k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭是相等的集合．解三降次得1cos 21cos 22022x xx -+--=，2cos 20x x +=，即sin(2)03x π+=，得2,3x k k Z ππ+=∈，即,26k xk Z ππ=-∈．所以原方程的解集为,26k xx k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭． [说明]一般说来，对于形如sin cos a x b xc +=的三角方程，可先在方程的两边都除以22a b +，然后引入辅助角，原方程变形为22sin()a bc x θ+=+．当221a bc ≤+时，方程有解．例3、假设方程cos 22sin 10x x m -+-=存在实数解，求m 的取值范围．解一由原方程，得22sin2sin 0x x m +-=，即2sinsin 02mx x +-= 解这个以sin x 为未知数的一元二次方程，因为1sin 1x-≤≤要使方程有解，只需14()021102m m ⎧∆=-⋅-≥⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩解得142m -≤≤．所以m 的取值范围为1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． [说明]有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以sin x 为未知数的一元二次方程的0∆≥，而且必须考虑sin x 的值在[]1,1-内．解二由原方程得22sin2sin 0x x m +-=，得22112sin 2sin 2(sin )22mx x x =+=+-因为1sin 1x -≤≤，所以142m -≤≤．所以m 的取值范围为1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． [说明]当方程sin (x t t =为常数）有解时，必须满足1t ≤，那么原题就转化为求[]2112(),1,122m t t =+-∈-的最大值、最小值问题．3．问题拓展例4、求方程sin 2cos()xx π=-的解集．解一由原方程得2sin cos cos x x x ⋅=-，得cos 0x=，1sin 2x =-．由cos 0x=，得解集为,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；由1sin 2x=-，得解集为(1),6K x x k k Z ππ⎧⎫=--∈⎨⎬⎩⎭．所以原方程的解集为(1),26Kxx k x k k Z ππππ⎧⎫=+=--∈⎨⎬⎩⎭或．解二由原方程得sin 2cos x x =－，即3sin 2sin()2xx π=+ 得3222x k x ππ=++或者者322()2x k x πππ=+-+，即322x k ππ=+或者者236k x ππ=-，k Z ∈．所以原方程的解集为322,236k xx k x k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩⎭或．解三由原方程得sin 2cos x x =－，即cos(2)cos 2x x π+=得222x k x ππ+=+或者者222x k x ππ+=-，即22xk ππ=-或者者236k x ππ=-，k Z ∈．所以原方程的解集为22,236k xx k x k Z ππππ⎧⎫=-=-∈⎨⎬⎩⎭或． [说明]由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过验证这些解集是相等的集合．对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解．〔1〕sin sin αβ=，那么2k απβ=+或者者2,k k Zαππβ=+-∈；〔2〕cos cos αβ=，那么2k απβ=+或者者2,k k Z απβ=-∈；〔3〕tan tan αβ=，那么,k k Z απβ=+∈．三、稳固练习1、解以下方程的解集：〔1〕22sin 3cos 30x x +-=；〔2〕28sin5sin 21x x =-．2、关于x 的方程0cos sin 2=++k x x 有实数解,务实数k 的取值范围.3、求方程1cos(sin )2x π=的解集． 4、函数2sin 42cos 2cos 42sin )(2424x x x x x f +-+=，〔1〕化简)(x f ，并求)625(πf ；〔2〕假设πα<<0，0)2()(=+ααf f ，求α．四、课堂小结本节课的内容是把简单的三角方程转化为最简三角方程。

最简三角方程

{x|x=k(k arcsina ,kz}
最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。
(1) cosA=1/2
解：A=
(2) cosA=1/3
A=arccos(1/3)
(3) sinx=2/5 (4) sinx= 3
2
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5) A= 或
以上问题中的四个等式，实质上是关于A的方程。
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例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2），所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
象这样含有未知数的三角函数方程叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，
这三种形式的方程叫做最简三角方程。
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怪的花灯天憨味在奇妙的空气中飘忽……接着扁圆的蒜瓣鼻子闪眼间转化颤动起来……憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇跃出亮青色的缕缕美云……浓密微弯、活像蝌蚪般的粗眉毛跃出深橙色的隐约幽热！紧接着像紫红色的金毛雪原狮一样长嘘了一声，突然来了一出曲身蠕动的特技神功，身上顷刻生出了八十只犹如狮子似的亮红色手掌。最后扭起奇如熨斗的手掌一叫，狂傲地从里面涌出一道怪影，她抓住怪影变态地一颤，一样黄澄澄、绿莹莹的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边蜕变，一边发出“啾啾”的疑声……突然间壮扭公主发疯般地让自己结实丰满、有着无穷青春热情的胸部萦绕出青兰花色的布条声，只见她睡意朦胧的眼睛中，飘然射出二十组抖舞着¤飞轮切月斧→的牙齿状的豆包，随着壮扭公主的甩动，牙齿状的豆包像牛屎一样在双肩上怪异地安排出缕缕光幕……紧接着壮扭公主又连续使出八百七十六派荡驴帆船望，只见她浑圆饱满、力如河马般的霸蛮屁股中，突然弹出四十簇颤舞着¤飞轮切月斧→的铜钱状的脸皮，随着壮扭公主的颤动，铜钱状的脸皮像炸鸡一样，朝着Ｌ．崴敕柯忍者奇特的灰蓝色闪电般的手指神扫过去！紧跟着壮扭公主也滚耍着法宝像吹筒般的怪影一样朝Ｌ．崴敕柯忍者神砸过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道墨紫色的闪光，地面变成了暗黄色、景物变成了紫红色、天空变成了墨蓝色、四周发出了虚幻的巨响…… 壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｌ．崴敕柯忍者笨拙的纯红色马鞍般的眼睛，此时正惨碎成钉子样的深绿色飞灰，高速射向远方Ｌ．崴敕柯忍者狂骂着狂魔般地跳出界外，加速将笨拙的纯红色马鞍般的眼睛复原，但元气已受损伤劈壮扭公主：“哈哈！这位干部的想法很是典雅哦！稍有复杂性呢！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧呱！我要让你们知道什么是奇妙派！什么是迷离流！什么是新奇恶搞风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么剧本都弄出来瞧瞧！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧呱！我让你享受一下『蓝光彩神地灯仙诀』的厉害！”Ｌ．搞了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招式！接着丰盈的浅橙色犀牛一样的眼罩立刻弹出凹彩地狱色的杨露牛舞味……怪异的舌头喷出死鬼影摇声和哈呵声……有根羽毛的外套朦朦胧胧窜出明隐星光般的闪动。紧接着旋动粗犷的土黄色菜叶般的鼻子一叫，露出一副惊人的神色，接着抖动短小的火橙色彩蛋造型的脖子，像纯蓝色的千舌沙

最简三角方程

修辞手法） ? 参考答案： 1、A 理由：用拟人手法，容易引起读者的注意；更能表达作者对造成这种现象的悲痛心情（主题）。 2、相同点：都有对祖国的深切的爱。不同点：艾青是目睹山河破碎、人民涂炭的现实，心中的痛苦。本文作者是因为部分国人不知铭记历史而十分伤心、
难过。 3、“扑”表现风来得猛，“砸”表现雨下得大，这样写更能突出作者对人们不理解废墟价值的一种愤怒与悲哀。（言之有理，可酌情给分） 4、凭吊、拜谒无数在此长眠的死难者（中华民族屈辱的历史）提醒自己不忘历史的耻辱，不能让悲剧重演。（意同即可） 5、一方面突
象这样含有未知数的三角函数方程叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，
这三种形式的方程叫做最简三角方程。
；单创:https:///article/20190920/925754.shtml ；
该题分层赋分（1）不存在关联。第一层：理解肤浅，只是笼统地说二者无关系。示例一：父女的善良和文字的力量是两回事。实例现代文阅读训练题及答案圆明园 ? 阅读下面文章，完成文后问题。 ①一直以为，圆明园是哭泣的。英法联军蹂躏着她的肌体，摧毁着她的骨骼，冲
例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2），所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
《我爱这土地》中写“为什么我的眼里常含泪水”，上文结尾也写到了“流泪”，简要分析“眼泪”背后两位作者思想感情的异同。 3、文中的语言富有表现力，请结合句中加点的词语作简要分析。一阵沙尘扑面而来，豆大的雨点砸了下来，劈头劈脸，欢笑的人群直往外冲。 ? 4、文

最简三角方程

总结：
方程sinx=a,|a|<1的解集是：
{x|x=k( arcsina ,kz}
k
作业： 1. 请同学们思考：方程cosx=a解的一般形式是什么？准备下节课回答； 2. P100.1.（1）.（2）2.（1）.3.（1）
人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI。它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学。人工智能是计算机科学的一个分支，它企图了解智能的实质，并生产出一种新的能以人类智能相似的方式做出反应的智能机器，该领域的研究包括机器人、语言识别、图像识别、自然语言处理和专家系统等。人工智能从诞生以来，理论和技术日益成熟，应用领域也不断扩大，可以设想，未来人工智能带来的科技产品，将会是人类智慧的“容器”。人工智能可以对人的意识、思维的信息过程的模拟。人工智能不是人的智能，但能像人那样思考、也可能超过人的智能。； / 人工智能 jeh61mcg 人工智能是一门极富挑战性的科学，从事这项工作的人必须懂得计算机知识，心理学和哲学。人工智能是包括十分广泛的科学，它由不同的领域组成，如机器学习，计算机视觉等等，总的说来，人工智能研究的一个主要目标是使机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作。但不同的时代、不同的人对这种“复杂工作”的理解是不同的。 [1] 2017年12月，人工智能入选“2017年度中国媒体十大流行语”。玉盈。也就是经此壹事，玉盈在京城贵族名媛间声名鹊起。年家居然有这么壹位能干的大家闺秀，真是让很多的名门望族赞叹不已。而赞叹之余，居然发现这玉盈姑娘还待字闺中，为此很多有适龄婚配公子的大户人家就四处托媒人，想娶回自己家当儿媳妇。年总督夫妇壹直都将玉盈当作亲生女儿来对待，年二公子对外人也总是壹口壹个妹子地称呼玉盈。而冰凝，这个年家的正牌大丫鬟，从小到大就没有离开过湖广总督府。因为从不曾听年家提起过冰凝，因此，京城人士口中的年家妹子，壹直就是玉盈。第壹卷第七章姐妹在含烟的搀扶下，冰凝下了马车，眼前所见，壹座规模不大，但颇具气派的府邸映入眼帘，那门匾上的“年府”二字告诉她，这就是到家了。大管家年峰是年老爷的远房侄子，四十多岁的年纪，被年二公子请来这里做大总管已经有三年时间。听到门房小厮的通报，他即刻带领上两名家仆，早早地恭候在门口。冰凝壹面随众人进了府邸，壹面好奇地察看着这个新家。虽然从面积上来讲，这京城年府要比湖广总督府最少小了有三分之二，但是在规模上还算是说得过去：前后四进的宅子，这第壹进院是正厅，用于接待宾客；第二进院子是留给年家二老来京时居住之用；第三近院子由年二公子自己壹家子人居住；这第四进院子，就是冰凝和玉盈两位丫鬟的闺房。最后面还有壹个小巧精致的花园，几乎就是年家丫鬟妹独自享有的壹片小天地。 “快让我看看，要不是在家里，我可真不敢认呢，妹妹当真是女大十八变，越变越不认得！怎么就生得是这么漂亮呢？”“姐姐，亏得凝儿壹路想着你的好，怎么壹见面，就开始取笑凝儿了？难道是当了掌家姑奶奶，这嘴可是越发地厉害了？”“什么掌家姑奶奶，就是给二哥帮帮忙，瞧你这张嘴，真是壹点儿亏也不吃！”两个姑娘嘴上不饶人，手上也是不闲着，壹个抱壹个亲，嘻嘻哈哈地笑成了壹团。“五年了啊！怎么过得这么快？姐姐还真是壹点儿都没有变，还是凝儿最亲的姐姐！”“我能怎么变？倒是你，壹天壹个样儿，再变，就真成了画儿上的仙女了！” 玉盈壹边说着，壹边将冰凝带进了早早给她收拾好的闺房。两个人又嘻笑打闹了壹阵子，玉盈怕她壹路劳顿，本来身子就弱不禁风似的，京城的天气又异于湖广，于是只好先强压下壹堆的问题，反正将来天天在壹起，日子还长着呢，现在的当务之急是让含烟帮着赶快先歇息下来。经过几天的适应，冰凝对京城年府的事情都熟悉起来，就开始正式接受教导嬷嬷的礼仪学习了。分别了五年的姐妹俩又重新生活在同壹片天空下，住在同壹个年府中，那种失而复得的喜悦，两个人都非常的珍惜。因此，玉盈格外精心地打理着府务，力图让冰凝没有后顾之忧，专心致志完成学

高一数学三角函数知识整理

⾼⼀数学三⾓函数知识整理⾼⼀数学三⾓函数知识整理⼀、正弦函数图像函数y=sin x 的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性 1、函数y=sin x 的定义域是R ，值域为[-1，1] 2、当x ∈{x| x=22 k ππ+,k ∈Z}时，y 有最⼤值为1，当x ∈{x|x=322k ππ+,k ∈Z}时，y 有最⼩值为-13、函数y=sin x 的图像关于原点对称是奇函数，可以根据sin(-x)=-sinx 证明。

对称中⼼为（k π，0）对称轴为x=k π+2π(k ∈Z)。

4、在[22k ππ-，22k ππ+]k ∈Z 上单调递增，在[22k ππ+，322k ππ+]k∈Z 上单调递减。

5、函数y=sin x 的周期为2k π（k ∈Z 且k ≠0），最⼩正周期为2π注意有界性：sin 1x ≤ ⼆、余弦函数图像函数y=cosx 的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性 1、函数y=cos x 的定义域是实数集R ，值域是[-1，1]2、当x ∈{x | x=2k π，k ∈Z}时y 有最⼤值为1，当x ∈{x | x=2k π+π,k∈Z}时，y 有最⼩值为-1。

3、函数y=cosx 关于y 轴对称是偶函数，可以通过诱导公式cos(-x)=cosx 证明。

对称中⼼[2k ππ+，0]，对称轴为x= k π4、在[2k ππ-，2k π]上单调递增，在[2k π，2k ππ+]上单调递减。

5、函数y=cosx 的周期为2k π（k ∈Z 且k ≠0）最⼩正周期为2π。

注意有界性：cos 1x ≤ 三、正切函数图像函数y=tanx 定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性1、 y=tan x 的定义域是{x| x ∈R 且x ≠2k ππ+,k ∈Z}。

因为定义域不连贯，所以当有题⽬说该函数在定义域上怎么怎么样是错误的（同样⽤于其它所有函数）。

值域是⼀切实数R2、 y=tan x 的定义域关于原点对称是奇函数，根据诱导公式且tan(-x)=-tan x 可以证明。

最简三角方程

最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。 (1) cosA=1/2 解：A= A=arccos(1/3)
(2) cosA=1/3
(3) sinx=2/5 (4) sinx= 3
2
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5)
A= 或
xk 和 x=k kz
用集合为：{x xk , kz}{x| x=k , kz} 也可以写成以下形式： {x|x=k , kz}.
k
一般地，方程sinx=a,|a|<1的解集是：
{x|x=k( arcsina ,kz}
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的，有我和小直子跟着就行了，你自己歇着吧！”耿老爹也说：“有你弟你妹跟着就足够了，你自己歇一会儿吧！”耿正想一想说：“也好，那我就自个儿睡一会儿喽！”目送弟弟和妹妹陪着爹爹出门儿去了，耿正转身回来掩上屋门，侧身躺在地铺上试图能够睡着一会儿。乔氏这些天也怪辛苦的。想到绣花用的丝线不多了，正好出去买一些，顺便也走一走。看这爷儿三个出了门，就对小青说：“姆妈也想出去买些绣花线呢，你去不去？”小青说：“我就不去了吧。最近一直很忙，我那块儿绢子还没有绣完呢！”乔氏就自己去了。现在，家里只剩下耿正和小青两个人了。小青的心里既高兴，又不安。很想借此机会和耿正说些什么，但又不知道应该说什么。她拿着那块儿还没有绣完的丝绸手帕，在西边屋里的地上转两圈又坐下，刚坐下了又站起来，哪里还有心思继续绣下去！仔细听一听，东边屋里一点儿声音也没有，心想：难道说耿正真得这么快就睡着了？又一想，不对，哪里有半上午就瞌睡的道理！于是轻手轻脚地来到过厅里，隔着门再仔细听一听，好像耿正翻了一个身。小青的心里飞快地琢磨着，怎么样才能引起耿正的注意来呢？有了！只见她转身轻轻地返回了西边的屋子里。突然将一把椅子踢倒，自己也“扑通”一声跌坐在了地上，随即“哎哟！”惊叫一声。这一叫不要紧，东边屋里的耿正给吓得一愣怔。他本来就睡不着，正在想着千万里之外的故乡呢。听到西边屋里的声响和小青的一声惊叫，赶快爬起来就往西屋里冲去。西屋的门大敞着，小青还坐在西屋门里边的地上，一把椅子倒在一边。耿正着急地问： “小青姐，你感觉如何？腰腿能动吗？如果能动，我扶你起来；如果痛得厉害，千万不要乱动，我去叫懂得骨伤的人来！”看到耿正着急和认真的样子，小青的心里感觉暖暖的。她小声儿说：“不要紧，能动呢，也不太痛。你快扶我起来呀！”耿正这才伸出手去，欲扶着小青的胳膊让她起来；但小青已经伸出手来，耿正只好让她扶着自己的手站起来。看到小青动作自如，耿正放心了。他扶起倒在一边的椅子，又看看床边上放着的一块儿即将绣完的鸳鸯嬉水丝绸手帕，狐疑地问：“小青姐，你怎么搞得？不坐在床边上绣花，倒给摔倒在门口了？”小青满脸飞红，不好意思地说：“我想踩上椅子打开门顶窗呢，不小心给摔倒了！”耿正说：“嗨，我当是什么事情呢！你叫我过来给你打开不就得了！”说着，举起右手轻轻一推，就把西屋的门顶窗户推开了。回过头来对小青说：“那我回那边去了。有什么事儿，你喊我一声啊！”小青欲张口挽留，无奈耿正已经跨出门槛儿了。小青心里好失望，又有些生气，不由人地“哼”了一声。耿正听到这一声“哼”，就停下脚步回头问：“小青

高一数学下册(春季)-第13讲-反三角函数与最简三角方程

高一下册（春季）数学辅导教案学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期 ××年××月××日时间A /B /C /D /E /F 段主题反三角函数与最简三角方程教学内容1. 熟练掌握对数函数的性质；2. 会应用对数函数的图像与性质解决综合问题。

（以提问的形式回顾）1. 什么样的函数有反函数？如果定义域为R 的正弦函数存在反函数吗？当x 与y 一一对应的函数存在反函数，具有单调性的函数存在反函数。

定义域为R 的正弦函数不存在反函数，但是在一个单调区间里就存在了。

（这部分可以进一步用正弦函数图像讲解，其实在3[,]22ππ区间里也存在反函数，但是为了方便我们选择原点附近的区间定义反三角函数，同时让学生注意反三角函数的值域） 2. 根据所学内容填表反三角函数 arcsin y x =arccos y x =arctan y x =定义域值域奇偶性单调性3. 试着说明下面结论，并记忆。

1)()[]arcsin arcsin ,1,1x x x -=-∈- ()sin arcsin ,x x =[]1,1x ∈-()arcsin sin ,,22x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦2)()[]arccos arccos ,1,1x x x π-=-∈- ()cos arccos ,x x =[]1,1x ∈- ()arccos cos ,x x x =∈[]0,π3)()arctan arctan ,x x x R π-=-∈， ()tan arctan ,x x R =∈()arc tan tan ,,22x x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭【学科教师不仅要让学生记住公式，更要理解公式是怎样来的，在理解的前提下进行记忆.】（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 若322x ππ≤≤，则()arcsin sin x = . 解：因()arcsin ,,arcsin sin ,,2222x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈-=∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由322x ππ≤≤，得22x πππ-≤-≤，所以()()arcsin sin arcsin sin x x x ππ=-=-⎡⎤⎣⎦. 试一试：1. 函数()arccos cos y x =的定义域是2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则值域为 . 解：,62ππ⎛⎤-⎥⎝⎦.因为2,33x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故1cos ,12x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，所以,.62y ππ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦3cos3sin 2cos x x x +=（） 43sin 4cos 2x x -=（）1sin 5sin 5252222113122811.31228x x x k x x k x k Z x k x k k Z x x k k k Z ππππππππππππππ=-∴=+-=+--∈∴=+=+∈⎧⎫∴=++∈⎨⎬⎩⎭解：（）（），或（）（），或（），原方程的解为或， {}222223tan 22sec 22tan 3tan 2tan 0tan 0tan .32,arctan ,.30x x x x x x x x x k k Z x x k k Z ππ+==+-===⎧⎫∴=∈⋃=+∈⎨⎬⎩⎭（），，或原方程的解为提示：这种题就适合一边化为，另一边因式分解。

5.1.10最简三角方程的解法

x x kπ arctan5 （ 3 ） , k Z
x x kπ - arctan13 （ 4） , k Z
*当 a 取什么值时,下列方程的解集是空集.
1 - 3a 2a 1 (1) .sinx ; (2) .cosx . 2 a5 1 1 - 3a a 1或a （ 1 ） 1 3 2
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2 x (3) .3sin cosx 1 0; 2
(4) .sinxcosx sinx cosx 1 0.
*策略: 利用三角变换或是代数方法把三角方程转化为最简的三角方程,然后求出其解集是求解三角方程的常用方法. *提示: 题(4)需进行和积互化,通过换元法求解.
1 2π 求得方程的特解为: x1 arccos( ) , 2 3 2π x 2 x1 .(后法同上例) 3
** 典型例题解析 **
3 *例题3: 求方程 tanx 的解集. 3
∴原方程的解集为:
-1
y
1
1
o
x
π x x k π , k Z 6
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
（ 1 ） x x 2 k π 或 x 2 k π , k Z 2
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2
cos x
x (3) .3sin cosx 1 0; 2
1 . 2
*解法2:由三角诱导公式 sin( π x) sinx 可得到:

最简三角方程

k
课堂练习：
(1). sinx=
3 2
, x 解集为：{ } x { arcsin(3/4),arcsin(3/4)} {x|x=k kz}
(2). sinx=3/4, (3). sin2x = 1;
(4). sinx=.
最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。 (1) cosA=1/2 解：A= A=arccos(1/3)
(2) cosA=1/3
(3) sinx=2/5 (4) sinx= 3
2
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5)
A= 或
以上问题中的四个等式，实质上
是关于A的方程。
象这样含有未知数的三角函数方程
叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，这三种形式的方程叫做最简三角方程。
例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2），所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
hoq148egk
的过客，这一次却要同新婚不久的妻子奔赴到一个陌生的地方——江苏海涛州绿溪镇江苏花开啤酒厂工作。虽然花开啤酒厂他已于一月前去看过一次，并跟海涛州人事局和花开啤酒厂的领导都谈过，对它有了一定的了解，但这一次是跟妻子一道去且极有可能要长期地生活在那里，心情和之前全然不同，仿佛美好的生活已经在向自己频频招手！马启明的心都飞到天空中去了，如果此刻能有一幅卡通漫画的话，你会看见半空中一颗跳动的心在快乐地舞蹈。在镇江下了火车以后，马启明小夫妇俩又马不停蹄地坐上开往海涛州的汽车。公共汽车刚离开长途汽车站差不多十几分钟便停了下来，刘丽娟看着前面排成长队的车辆，以为遇到了堵车，再加之长途奔波的劳累，情绪有些低落。马启明安慰妻子说： “汽车马上就要过轮渡了，就是轮船拉着汽车横渡长江，你没有见过吧？感受一下人民解放军横跨长江的气度。”因为马启明上一次来过，他知道,刘丽娟不知道。她新奇地想：汽车也能上船？也能横渡长江？在北方不要说没见过，连听都没听说过。“汽车也能上船，真的吗？真的要过长江？”刘丽娟一下子兴奋起来。在渡口下了汽车，希奇地看着汽车驶上了轮渡。马启明站在微微晃动的甲板上，听着汽笛声，凝望着轮渡行驶在波光粼粼的长江之上，竟有种人在梦中的感觉，面对浩瀚绵长的江水他的心胸突然豁然开朗，一缕缕清风吹拂着他的面颊，浑身自在、舒坦。马启明突然对未来陌生的生活有了更多幢憬！刘丽娟呢！她紧紧地抓住马启明的手，生怕船突然沉到微波滚滚的长江里，而马启明会葬身长江。马启明和刘丽娟是傍晚的时候才赶到海涛州的，转弯绕行距离离花开啤酒厂还有十多里，此时已经没有开往他们目的地---绿溪镇的班车了，他们只好在海涛州住了下来。晚上睡觉，刘丽娟仿佛还在火车上奔波“哐当---哐当---哐当---”，辗转难眠。而马启明由于旅途劳累、已经是疲惫不堪，倒在床上便酣然入睡，而把妻子的调动手续紧紧地搂在怀里才放心踏实，这可是用金银珠宝都换不来的超级宝贝。第二天，马启明与刘丽娟起了个大早，吃完早饭便坐上汽车，汽车摇摇晃晃地驶出了车站。路面状况较差，坑洼不平，到处是碎石，路两面零散地立着一些平房，多是些小卖部和小饭店，门脸矮矮小小的，似乎很有了些年代，门口竖着大大的、用纸板做的招牌“停车吃饭”，年纪轻轻的、打扮花枝招展的饭店服务小小（是真正的小小还是假小小，马启明搞不清楚）在马路边不停地向过往司机招手，做着妩媚的动作，形成了一道独特的“美人招手”的风景！很拉风！无时无刻不在挑战马启明的视觉底线。汽车颠簸了约四五十分钟，开开停停，终于到了啤酒厂所在的城镇——绿溪镇。一下车，就看见远处两只高耸的砖红色大

反三角函数、最简三角方程

则注意（）注意（1）若 a > 1， sin x = a 无解若 a > 1， cos x = a 无解则
（2）灵活使用结论（一））灵活使用结论（
sin x = 0
⇔
x = kπ ( k ∈ Z )
结论(二结论二)
sin[ fsin ( 形如： [ = x)] = (x)] ⇔ f x) = f ( + −cos[ ( (x 形如： x)] f (sin[ gsin[ g(x)] ,(cos[ kπx)](=1) ggx) )]
(3)它的余弦等于 x ，即 cos(arc cos x) = x ． (3)它的余弦等于的含义： arctanx 的含义： π π (2)它表示 (1) x ∈ R ； (2)它表示 (− , )中的一个角； 2 2 (3)它的正切等于 x ，即 tan(arctan x) = x ． (3)它的正切等于
2它表示它表示33它的正切等于它的正切等于三角方程的定义
函数Байду номын сангаас
1．定义 2．图像 3．性质
y = arcsin x
y = arc cos x
y = arctan x
(1) 定义域 (2) 值域 (3) 奇偶性 (4) 单调性 4．恒等式 5．符号的意义 6．特殊值
反三角恒等式
1. arcsin(− x) = − arcsin x (−1 ≤ x ≤ 1) arc cos(− x) = π − arc cos x (−1 ≤ x ≤ 1) arctan(− x) = − arctan x ( x∈R ) 2. sin(arcsin x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) cos(arc cos x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) tan(arctan x) = x ( x∈R ) π π 3. arcsin(sin x) = x (− ≤ x ≤ ) 2 2 arc cos(cos x) = x (0 ≤ x ≤ π ) π π arctan(tan x) = x (− < x < ) 2 2 π 4. arcsin x + arc cos x = (−1 ≤ x ≤ 1) 2

第35讲-简单的三角方程-基础

简单的三角方程教学目标1．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsina 、arccosa 、arctana 表示2.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图象得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题3.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集，并会解简单的三角方程知识梳理（一）最简三角方程 1．正弦方程：（1）概念：sinx a =，称为最简正弦方程．（2）解集：>1a 时，无解（解集是∅）； =1a 时，=2+2x k ππ，k Z ∈；=1a -时，=22x k ππ-，k Z ∈；<1a 时，()=+1kx k arcsina π-，k Z ∈．2．余弦方程（1）概念：cos x a =，称为最简余弦方程。

（2）解集>1a 时，无解；=1a 时，=2x k π，k Z ∈；=1a -时，=2+x k ππ，k Z ∈；<1a 时，=2x k arccosa π±，k Z ∈．3．正切方程（1）概念：tan x a =称为最简正切方程。

（2）解集=+x k arctana πk Z ∈．（二）简单三角方程类型1：sin()A x a ωϕ+=；类型2：asinx bcosx c += ()22+0a b ≠；类型3：2asinx bsinx c += ()0a ≠；类型4：2+=0asin x bsinxcosx c +．典例精讲例1求下列方程的解集：（1）cos 206x π⎛⎫-=⎪⎝⎭；（2）tan(50)1x +=；（3）32sin 342x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（4）3sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（5）2cos 316x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,2]x π∈. 解：（1）原方程即cos 20.6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以262x k πππ-=+，得()23k x k Z ππ=+∈.所以方程的解集为{|,}23k x x k Z ππ=+∈. （2）由方程得5018045.x k +=⋅+ 所以1805()x k k Z =⋅-∈.所以方程的解集为{|1805,}x x k k Z =⋅-∈. （3）原方程即3sin 31422x π⎛⎫+=> ⎪⎝⎭. 所以方程的解集为∅. （4）原方程可化为1sin 2.43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以12(1)arcsin ()43kx k k Z ππ+=+-∈. 即(1)1arcsin ,2238k k x k Z ππ-=+-∈. 所以原方程得解集为(1)1{|arcsin ,}2238k k x x k Z ππ-=+-∈. （5）原方程可化为2cos 362x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32,64x k k Z πππ+=±∈. 当k Z -∈时，0x <，不合题意；取0k =时，36x π=；取1k =时，1936x π=或2536x π=；取2k =时，4336x π=或4936x π=；取3k =时，6736x π=；当3k >时，2x π>，不合题意.例2解下列三角方程：（1）1cos cos 0332x x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）cos sin 1x x -=-．解：（1）由积化和差公式将原方程化为121cos cos 20232x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1cos 22x =-．所以2223x k ππ=±，即,3x k k Z ππ=±∈．因此原方程的解集为{|,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为222sin cos 122x x ⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭，即2sin coscos sin442x x ππ-=，2sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以，(1),44kx k k Z πππ=+-+∈．因此原方程的解集为{|(1),}44kx x k k Z πππ=+-+∈．例3解下列三角方程：（1）22sin 5cos 10x x -+=；（2）3sincos 102xx ++=．解：（1）原方程可化为22(1cos )5cos 10x --+=．整理，得22cos 5cos 30x x +-=．解得1cos cos 32x x ==-或（无解）．因此原方程得解集为{|2,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为23sin12sin 1022x x+-+=．整理，得22sin3sin 2022x x --=．解得1sin sin 2222x x=-=或（无解）．因此原方程得解集为{|2(1),}3kx x k k Z ππ=--∈．例4解方程：sin cos sin cos 10x x x x +++=．解：把原方程左边分解因式，得(sin 1)(cos 1)0x x ++=．所以sin 1cos 1x x =-=-或．由sin 1x =-，得32,2x k k Z ππ=+∈．由cos 1x =-，得2,x k k Z ππ=+∈．所以原方程的解集为3{|22,}2x x k x k k Z ππππ=+=+∈或．例5解下列三角方程：（1）3sin 2cos 0x x -=；（2）222sin 3sin cos 2cos 0x x x x --=；（3）26sin 4sin 21x x -=-．解：（1）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以cos x ，得3tan 20x -=，即2tan .3x =所以2arctan ,3x k k Z π=+∈．所以原方程的解集为2{|arctan ,}3x x k k Z π=+∈．（2）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以2cos x ，得22tan 3tan 20x x --=，解得1tan 2x =-或tan 2x =．所以原方程的解集为1{|arctanarctan 2,}2x x k x k k Z ππ=-=+∈或．（3）原方程可化为2226sin 4sin 2(sin cos )x x x x -=-+．即227sin 8sin cos cos 0x x x x -+=．将方程两边同除以2cos x ，得27tan 8tan 10x x -+=，解得1tan 1tan 7x x ==或．所以原方程的解集为1{|arctan ,}47x x k x k k Z πππ=+=+∈或．课堂小练1．（1）方程2cos 303x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭的解集是___________．（2）方程2tan 210x +=的解集是___________．（3）2sin 31,[0,]6x x ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭的解集是___________． 2．方程3sin cos 0x +=的解集是（）A .{|,}x x k k Z π=∈；B .{|2,}6x x k k Z ππ=-∈C .{|,}6x x k k Z ππ=-∈； D .{|,}6x x k k Z ππ=+∈3．方程24cos 43cos 30x x -+=的解集是（）A .{|(1),}6kx x k k Z ππ=+-∈； B .{|(1),}3kx x k k Z ππ=+-∈；C .{|2,}6x x k k Z ππ=±∈； D .{|2,}3x x k k Z ππ=±∈.4．解方程：3sin 2cos21x x +=. 5．（1）方程2sin 32x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,]π上的解是x =___________．（2）方程1sin23x =在[,2]ππ上的解是x =___________．（3）方程1sin 22x =在[2,2]ππ-内解的个数是___________．（4）方程sin 2sin 7x π=的解集是___________．6．方程21sin 2x =的解集是（） A .{|,}4x x k k Z ππ=+∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=-∈ C .{|2,}4x x k k Z ππ=+∈； D .{|,}4x x k k Z ππ=±∈7．方程21cos cos x x -=的解集是（）A .{|,}4x x k k Z ππ=±∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=+∈ C .{|,}4x x k k Z ππ=-∈； D .{|2,}4x x k k Z ππ=±∈8．方程cos3cos 2x x =的解集是（）A .{|2,}x x k k Z π=∈；B .2{|,}5k x x k Z π=∈ C .2{|2,}5k x x k x k Z ππ==∈或； D .(21){|2,}5k x x k x k Z ππ+==∈或9．设全集U 为R ，()sin f x x =，()cos g x x =，{|()0}M x f x =≠，{|()0}N x g x =≠ 那么集合{|()()0}x f x g x ⋅=等于（）A .U UMN 痧； B .U MN ð； C .U MN ð； D .U UMN 痧10．方程22sin sin 20a x a x +-=有非空解集的条件是（）A .||1a ≤；B .||1a ≥；C .||2a ≥；D .a R ∈参考答案1．（1）7{|22,}26x x k x k k Z ππππ=+=-∈或（2）111{|arctan ,}222x x k k Z π=-∈（3）72531,,,36363636ππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 2．C . 3．C . 4．1{|(1),}21212k x x k k Z πππ=+--∈ 5．（1）712π （2）122arcsin 3π- （3）8个（4）1{|(1),}214k x x k k Z ππ=+-∈ 6．D .7．D . 8．C . 9．D . 10．B .回顾总结熟练掌握各个类型的三角方程；对于无范围的要注意周期讨论K .。

高一数学最简三角方程(教师版)

6、方程的解集是。
7、方程在区间上解得个数是（）
A、5 B、4 C、3 D、2
8、为三角形的一个内角，且，则为（）
A、 B、 C、 D、不能确定
9、方程的解集是（）
A、 B、 C、 D、
10、求适合方程的锐角x的集合。
11、解方程（1）（2）
12、已知，问是否存在使得等式成立？为什么？
13、
解：或，则或，。
点评：，则或（）；
，则（）；
，则或（）。
七、其它类型方程：
14、
解：，则，而，则，则（）。
例2：当为何值时，方程有实数解？
解：，则时方程有解，则。
例3：若方程有实数解，求实数的取值范围。
解：，令，则，，则。
点评：方程的有解问题通过变量分离转化为函数得值域
9、
解：得，则，。
10、
解：，则，。
五、关于sinx、cosx的奇次的方程
11、
解1：得，则，。
解2：同除以得，则，。
12、 ——转化为只含tanx的三角方程
解1：同除以得
得或，则或，。
解2：，则，
则或，得或，
则或，。
六、两边同名的三角方程
二、形如sinf(x)＝a的方程，其中－1≤a≤1
4、
解：，得2x－＝2kπ＋，则x＝kπ＋，k∈Z
5、
解：，得x－＝kπ－，则x＝kπ＋，k∈Z
三、形如f(sinx)＝a的方程
6、
解：，得，解得或，
则或，。

高一数学：65(最简三角方程)教案(沪教版上) 教案

课题最简三角方程一、教案设计思考这节课的内容是给出三角方程的定义，以及解最简三角方程的基本方法，其中要应用到三角函数性质及图像、反三角函数、诱导公式等知识，还包括数形结合、转换、分类讨论、类比等数学思想方法，是对所学过的许多三角知识进行应用，在三角比和三角函数这两章内容中的地位还比较重要，它是先有三角比值，然后要研究满足这样的条件的角是什么，也完善了解三角形的理论基础．这节课用解三角形时的一个问题来引入，简单并能引起同学的兴趣，然后整节课采用启发、探究的教学方法，调动同学积极思考问题．二、教学目标理解三角方程、最简三角方程的定义，掌握三种最简三角方程的解法；体会由特殊到一般的研究问题的方法，能综合运用所学知识解决问题，能用数形结合、转换、分类讨论、类比等数学思想方法解决有关问题．三、教学重点、难点解三角方程的思想方法四、教学方法和手段采用启发式教学模式五、教学过程 1、引入前面我们重点学习了三角函数的有关知识，研究了角的变化对三角比值的影响，在解三角形中我们已经遇到知道了一个角的三角比值，要求这个角，如知道1sin 2A =，由于角A 是三角形中的内角，所以有30A =︒或150A =︒，今后我们会遇到类似的问题，特别是当角A 的大小没有条件限制时，那么满足1sin 2x =的x 有多少呢？我们把这样的方程叫做三角方程，那么如何解这类方程呢？下面就请同学思考这个问题． 2、探究要研究如何解三角方程，先解决较简单的方程，就以1sin 2x =为例，同学思考后，进行交流讨论．同学1：这个方程应该有无数多个解，但还没有找到解决的方法．同学2：6π和56π都是方程的解，又函数sin y x =的最小正周期是2π，所以此方程的解集是{|26x x k ππ=+或526x k ππ=+，}k Z ∈．教师：好，你的确找到了方程的许多解，但是会不会有其它的解遗漏了呢？同学3：不会遗漏，由于函数sin y x =的最小正周期是2π，只要先找到在[0,2)π的解，那么方程的所有解都找到了，画出函数sin y x =与12y =的图象，发现在[0,2)π内的交点有且只有两个，交点横坐标为6π和56π，所以方程的解集是{|26x x k ππ=+或526x k ππ=+，}k Z ∈．教师：很好，方程1sin 2x =有无数个解，找到所有的解的方法是利用三角周期的性质，先在一个最小正周期内找到解，然后找到方程所有解．那么，方程1sin 3x =又如何解呢？同学4：方法跟前面一样，只是在[0,2)π内的解要用反三角函数来表示，即方程的解集是1{|2arcsin 3x x k π=+或12arcsin 3x k ππ=+-，}k Z ∈．教师：很好，方程1sin 3x =-又如何解呢？同学5：方法跟前面一样，在[0,2)π内的解也有两个．教师：哪两个呢？同学5：一个是1arcsin()3-，另一个是1arcsin()3π--．此时引起许多同学的争论，觉得这里有问题．同学6：先在[,]ππ-内找到解，一个是1arcsin()3-，另一个是1arcsin()3π--．教师：为什么？同学6：书上就是这样说的，先选取区间[,]ππ-．又引起同学争论．同学7：先在3[,]22ππ-内找到解，一个是1arcsin()3-，另一个是1arcsin()3π--，然后是方程的解集就是1{|2arcsin()3x x k π=+-或12arcsin()3x k ππ=+--，}k Z ∈．教师：很好，这里先选择哪个周期的标准是如何能顺利表示出解来，由反三角函数知识，这个区间最好包括[,]22ππ-，而在3[,]22ππ-内的图象又是关于直线2y π=对称的．那么方程sin x a =又如何解呢？同学8：在3[,]22ππ-内的解是arcsin a 与arcsin a π-，所以方程sin x a =的解是{|2arcsin x x k a π=+或2arcsin x k a ππ=+-，}k Z ∈．同学9：不对，要进行分类讨论，当||1a >时，方程sin x a =无解． 3、结论在同学的共同讨论下，关于方程sin x a =，最后可以得到以下的结论：当||1a >时，函数sin y x =和函数y a =的图象无交点，方程无解，即解集为∅．当||1a ≤时，方程的解集为{|2arcsin x x k a π=+或2arcsin ,}x k a k Z ππ=+-∈． 4、继续探究从解方程sin x a =的方法得到启发，如何解方程cos x a =呢？同学10：由诱导公式cos sin()2x πα=-，将方程cos x a =转换为sin()2a πα-=即可．教师：很好，体现了数学转换的思想，那么能不能用类似解sin x a =的方法来解方程cos x a =呢？同学11：那么还是用数形结合的方法，先分类讨论，当||1a >时，函数cos y x =与y a = 的图象无交点，方程无解．当||1a ≤时，函数cos y x =与y a =的图象在区间[,]ππ-内的交点有两个，横坐标是arccos x a =与arccos x a =-，所以方程cos x a =的解集为{|2arccos x x k a π=+或2arccos ,}x k a k Z π=-∈．教师：很好，理解了方程sin x a =的解法之后，用类比的方法就很容易解方程cos x a =了．那么又如何解方程tan x a =呢？同学12：还是用数形结合的方法，函数tan y x =与y a =的图象在区间(,)22ππ-内的交点横坐标是arctan x a =，又由于函数tan y x =的最小正周期是π，所以方程tan x a =的解集为{|arctan x x k a π=+,}k Z ∈．教师：很好，方程tan x a =是最容易解的，函数tan y x =与y a =的图象在区间(,)22ππ-内的交点总是有且只有一个，不需要进行分类讨论． 5、练习解下列方程：（1）3sin 2x =-；（2）cos 1x =-；（3）tan 22x =． 6、小结今天我们一起讨论了如何解三角方程，先研究如何解最简三角方程，掌握了解三种最简三角方程的基本方法，另外，解三角方程的基本思想方法主要体现在以下几个方面：（1）从特殊到一般的研究问题方法；（2）利用函数的图象及性质，采用数形结合的方法；（3）转化思想，先找到一个周期内的解，再利用周期性质得到方程所有的解；（4）采用类比的思想方法． 7、布置作业第106页习题6.5 1，2 六、教学建议与反思最简三角方程这节内容两节课完成，这是第一节课，这节课的教学思路是这样设计的，先是通过复习解斜三角形引出问题，使同学产生研究的兴趣，课堂上学生对这个问题的确产生了兴趣，虽然引入没有花许多时间，但产生了明显的效果，然后是跟同学一起讨论如何解三角方程1sin 2x =，1sin 3x =，1sin 3x =-，sin x a =，由简单到复杂逐步推进，从中逐步体会解三角方程的思想，如利用三角函数的周期性质，还有数形结合，分类讨论等数学方法，课堂上学生能进行积极思考和讨论，并能够对教材提出自己的独特的见解．完成对三角方程sin x a =的求解之后，要求学生继续解三角方程cos x a =和tan x a =，学生的思维很积极，如能利用转换思想将方程cos x a =转换为sin()2a πα-=来解，能合理运用类比的思想方法，将解方程sin x a =得到的方法应用到解方程cos x a =和tan x a =上，在课堂小结时，同学也能把本节课学习到的重要内容总结出来．由于这节课设计时要解决三个三角方程，在讨论好解sin x a =的方法之后，继续研究如何解另外两个方程，这个过程培养了同学的类比能力，增强了同学的类比意识，但是也遇到一些问题，如课堂练习的时间比较少，没有能对方程sin x a =的各种解法进行更进一步的探讨，其实可以从单位圆的角度，先把问题转换为找终边所在的位置，再求出终边所表示的角的集合，又如当||1a ≤时，方程sin x a =的解集为{|2arcsin x x k a π=+或2arcsin ,}x k a k Z ππ=+-∈，这个集合也可以等价地表示为{|(1)arcsin k x x k a π=+-，}k Z ∈，这个表示方法更加简洁．所以这节课的设计也可以考虑只解决方程sin x a =的解法，把它讨论透彻，第二节课再研究另外两个方程的解法．。

反三角函数及最简三角方程

反三角函数及最简三角方程一、知识回顾： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）．符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈（－2π，2π）的运用的条件；（4）．恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。

2（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。

解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；（3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+；（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。