运用顶点式求二次函数的解析式
二次函数解析式的求法
二次函数解析式的求法二次函数是一种形如y=ax+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
要求二次函数的解析式，需要掌握以下几个步骤：1. 求出a、b、c的值，这可以通过函数的已知点、导数或根的信息来确定。
2. 根据一般式y=ax+bx+c或顶点式y=a(x-h)+k，选择其中一种形式。
3. 将a、b、c的值代入选择的形式中，得到最终的解析式。
具体求法如下：1. 已知点求解析式如果已知二次函数通过两个点(x1,y1)和(x2,y2)，可以利用这两个点的坐标和函数的一般式来求解析式。
我们可以将两个点的坐标带入一般式中，得到以下两个方程：y1=ax1+bx1+cy2=ax2+bx2+c将两个方程联立，消去c，得到：a=(y2-y1)/(x2-x1)b=(y1x2-y2x1)/(x2-x1)将a、b的值带入一般式y=ax+bx+c中，得到最终的解析式。
2. 已知导数求解析式二次函数的导数为y'=2ax+b，如果已知导数，可以通过求导数反推出a和b的值，然后代入一般式或顶点式中求解析式。
例如，当已知函数f(x)=2x+4x+1的导数为f'(x)=4x+4时，可以根据导数的定义得到a=2，b=4，然后代入一般式y=2x+4x+c中，用已知点的坐标求解c，得到最终的解析式。
3. 已知根求解析式如果已知二次函数的两个根x1和x2，可以根据根的定义得到(x-x1)(x-x2)=0，将它展开得到x-(x1+x2)x+x1x2=0，然后用已知点的坐标求解a、b、c，最后代入一般式或顶点式中求解析式。
例如，当已知函数f(x)=x+2x-3的两个根为-3和1时，可以利用(x+3)(x-1)=0得到x+2x-3=0，根据二次函数的一般式得到a=1，b=2，c=-3，然后代入一般式y=x+2x-3中即可得到最终的解析式。
总之，求二次函数解析式需要根据不同的已知信息选择合适的求解方法，掌握这些方法可以更加轻松地解决二次函数的相关问题。
求二次函数解析式的常用方法
求二次函数解析式的常用方法四川省仪陇县实验学校 李洪泉求二次函数解析式是初中数学的重点和难点，同时也是初中、高中数学知识的一个衔接点。
它所涉及的知识面广，解题技巧高，因此要求学生必须熟练掌握以下几种求二次函数解析式的常用方法。
1、根据二次函数的一般式求解析式当直接或间接知道二次函数图象上任意三点坐标时，通常可设函数解析式为一般式y=ax 2+bx+c 求解。
例1、(2008年广东梅州市)如图，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ，AD =DC =CB ，AB =4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ．（3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使∆PDB 为等腰三角形的点P 有几个?（不必求点P 的坐标，只需说明理由）分析：根据等腰梯形和直角三角形的性质不难求出60,(1,0),DAB A D C ∠=︒-，A 、D 、C 为抛物线上的任意三点，因此可令抛物线的解析式为一般式：2y ax bx c =++，则042a b c c a bc -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：3ab c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩故：过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式为：2y x x =；对称轴为直线x=1.（第三问解略） 点评：根据二次函数的一般式求解析式，必须知道抛物线上三点的坐标，目的是列一个三元一次方程组求解出解析式的待定系数的值。
2、根据二次函数的顶点式求解析式已知二次函数顶点坐标(h ，k)或对称轴x=h 时，通常可设函数解析式为y=a(x-h)2+k 求解。
例2、（四川省南充高中2011邀请赛题）如图，已知点(2,0),(4,0)B C --，过点,B C 的M 与直线1x =-相切于点A （A 在第二象限）,点A 关于x 轴的对称点是1A ，直线1AA 与x 轴相交点P 。
待定系数法求二次函数解析式
待定系数法求二次函数的解析式求二次函数解析式的问题，由于其类型繁多，灵活性较大，同学们感到难以掌握，现将二次函数解析式的求法归纳为五种类型，便于大家掌握。
一、三点型（一般式）若已知二次函数图像上任意三点的坐标，则可以用标准式y= ax2+bx+c.例1 已知二次函数图像经过（1，0）、（-1，-4）和（0，-3）三点，求这个二次函数解析式.解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,由已知可得，解之得故所求二次函数解析式为y= .二、顶点型（顶点式）若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程和函数的最大（小）值，则可以用顶点形式y=a(x-h)2+k.例2 已知抛物线的顶点坐标为（2，3），且经过点（3，1），求其解析式.解：设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k,由条件得1=a(3-2)2+3.解得a=-2.所以，抛物线的解析式为y=-2(x-2)2+3,即：y=-2x2+8x-5.三、交点型（两点式）若已知二次函数图像与x轴的两交点坐标或两交点间的距离及对称轴，则可以用交点形式y=a(x-x1)·(x-x2).例3 已知二次函数图像与x轴交于（-1，0）、（3，0）两点，且经过点（1，-5），求其解析式.解：设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3),由条件得-5=a(1+1)(1-3).解得a= .故所求二次函数解析式为y= .即y= .四、平移型将二次函数图像平移，形状和开口方向、大小没有改变，发生变化的是顶点坐标.故可先将原函数解析式化成顶点形式，再按照“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求的抛物线的解析式.例4 将抛物线y=x2+2x-3向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求所得到的抛物线的解析式.解：函数解析式可变为y=(x+1)2-4.因向左平移4个单位，向下平移 3 个单位，所求函数解析式为y=( x+1+4)2-4-3,即y=x 2+10x+18.五、综合型综合运用几何性质求二次解析式.例5 如下图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，若AC=20，BC=15，∠ABC=90°，求这个二次函数解析式.解：易求 A 、B 、C 三点坐标分别为（-16，0）、（9，0）、（0，12）. 于是，利用三点型可求得函数解析式为：的切入点，使思路清晰，更容易解决问题作业1、已知二次函数的图象经过(0，0)，(1，2)，(-1，-4)三点，那么这个二次函数的解析式是_______________。
用顶点式确定二次函数表达式
(2,5) (0,1)
知识迁移
抛物线 y 2 x bx c（a≠0），经过向左平移 3个单位，向下平移2个单位，得到新的顶点为 （-2，3）；求抛物线原解析式。
2
知识迁移
已知抛物线C1的解析式为 y 2 x 4 x 5
2
抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解 析式为：_________________ _； 若抛物线C3关于抛物线C1 y轴对称，则抛2 9 8
知识迁移
1.已知二次函数的对称轴为直线x=2,函数的最小值 是-3，且过（0，1），求二次函数解析式？
知识迁移
2.已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1) 和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
知识迁移
3.抛物线如图所示，请求出抛物线的解析式。
综合应用
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安 装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的 水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱 落地处离池中心3m,水管应多长?
解:由题可得, 点(1,3)是图中这段抛 y B(1，3) 物线的顶点.因此可设这段抛物线 3 对应的函数是 A 2 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 3 1 2 a= － ∴ 0=a(3－1) ＋3 解得: 4 因此抛物线的解析式为: 2 1 3 O y=－4(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
数形结合 双壁辉映
曾鹏志
顶点式确定二次函数
知识回顾
用待定系数法求二次函数的解析式 常见类型
本节重点 运用
1.顶点式：y a( x h) k (a 0)
用顶点式求二次函数解析式
一、 用顶点式求二次函数解析式。
例题：已知抛物线的顶点为（1,3）经过点（3,0） 解：设抛物线的解析式为k h x a y +-=2)(把顶点（1,3）代入得：3)1(2+-=x a y把点（3,0）代入得：03)13(2=+-a 解得：43-=a ∴抛物线解析式为：3)1(432+--=x y练习1：已知抛物线的顶点为（-1,4）经过点（2，-5）2．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式；3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．4．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．7．把抛物线y ＝(x －1)2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式．8．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．9．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝53 ，求这条抛物线的解析式； 10． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。
二、 用三个点求二次函数解析式 例题：二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7） 解：设二次函数的解析式为：c bx ax y ++=2 把点（-1,10），（1,4），（2,7）代入得： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==532c b a ∴抛物线解析式为：5322+-=x x y 练习11：二次函数的图象经过（0,0），（-1,-1），（1,9） 12.已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式。
求二次函数解析式
回头看了一眼，朝独自跪在那里的人最后投去悲哀的一瞥。因为挨了四鞭，那人的背还在火辣辣的痛，他的膝盖也跪疼了。不过，这个老人会带着尊严死去，或至少是抱着这样的想法死去。 （节选自《偷书贼》第七章P265～267，略有删改） 致中国读者的信 亲爱的中国读者： ? 谢谢您阅读了这
本《偷书贼》。 ? 我小时候长听故事。我的爸爸妈妈经常在厨房里，把他们小时候的故事告诉我的哥哥、两个姐姐和我，我听了非常着迷，坐在椅子上动都不动。他们提到整个城市被大火笼罩，炸弹掉在他们家附近，还有童年时期建立的坚强友谊，连战火、时间都无法摧毁的坚强友谊。 ? 其中有
个故事，一直留在我心里…… ? 我妈妈小时候住在慕尼黑近郊。她说她六岁的时候，有一天听见大街上传来一阵嘈杂的声音。她跑到外面一看，发现有一群犹太人正被押解到附近的达豪集中营。队伍的最后是一位精疲力竭的老人，他已经快跟不上队伍的脚步了。有个男孩子看到老人的惨状后，飞
奔回家拿了一片面包给这位老人。老人感激地跪下来亲吻这位少年的脚踝。结果有个士兵发现了，走过来抢走了老人手上的面包，并用力鞭打了老人。随后士兵转身追赶那个男孩，把男孩也打了一顿。在同一时刻里，伟大的人性尊贵与残酷的人类暴力并存。我认为这恰好可以阐释人性的本质。 ?
听了这些故事之后，我一直想把它们写成一本小书。结果就是《偷书贼》的诞生。而《偷书贼》这本书对我的意义，远远超过我当初的想象。对我来讲，《偷书贼》就是我生命的全部。不管别人怎么看这本书，不管评价是好是坏，我内心明白，这是我最好的一次创作。身为作者，当然会为自己“最
好的一次创作”深感满意。再次感谢您，并致以诚挚的祝福！? ?马克斯/苏萨克 2007年7月27日 ? 【背景概览】 5．《致中国读者的信》放在《偷书贼》（孙张静/译，代谢联合出版公司2014年版）正文之前。你认为作者写这封信有哪些用意？（3分） 答： 6．阅读《致中国读者的信》，从下列选
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
求二次函数解析式的五种常见类型
因此AM＋OM的最小值为4 2 .
返回
方法2 利用顶点式求二次函数解析式
4．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，
－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．
解：∵二次函数图象的顶点为A(1，－4)，
∴设y＝a(x－1)2－4.
x2＋4x. 解得a＝－ .
解：把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三
故y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3.
点的坐标代入y＝ax ＋bx＋c， 方法1 利用一般式求二次函数解析式
由函数的基本形式求二次函数解析式)
2
当x＝0时，y＝－1；
4 a－ 2 b＋ c＝ － 4， a ＝ － 1 ， 即y＝－x2＋4x－3.
解法三：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)，与x轴的一个交点坐标为(1，0)， 解法二：设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a＝－ .
设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2，
OM的最小值． 由函数的基本形式求二次函数解析式)
解法二：设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a＝－ .
返回
2．一个二次函数，当自变量x＝－1时，函数值y＝2； 当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝－2.那么这个 二次函数的解析式为____y_＝__x_2－__2_x_－__1____．
返回
3．如图，在平面直角坐标系中，抛 物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2， －4)，O(0，0)，B(2，0)三点．
组，得 (2)将抛物线C1向左平移3个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点．如图，所求抛物线C2对应的函数解析式为y＝x(x＋4)，即y＝
09 专题 运用顶点坐标与对称轴求二次函数解析式
专题 运用顶点坐标与对称轴求二次函数解析式
【方法归纳】运用对称轴，结合顶点式求解析式
一、已知对称轴或顶点坐标
1．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点A 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x ＝2
1 ,求抛物线的解析式．
2．已知抛物线y ＝a (x ＋2)2－1交x 轴于A 、B 两点(A 点在B 点的左边)且AB ＝2 ，求抛物线的解析式．
3．在平面直角坐标系中，顶点为(3，4)的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，已知A 点坐标为(0，－5)，求此抛物线的解析式．
4．经过原点的抛物线的解析式可以是y ＝ax 2＋bx (a ≠0)．
(1)对于这样的抛物线，当顶点坐标为(1，1)时，a ＝________;
(2)当顶点坐标为(m ,n ),m ≠0时，a 与m 之间的关系式是________．
二、隐藏对称轴或顶点坐标
5．已知二次函数的图像与x 轴交于A (－2，0)，B (3，0)两点，且函数有最大值为2，求二次函数的解析式
6．二次函数y ＝ax 2＋4ax ＋c 的最大值为4，且图像过点(－3，0)，求二次函数的解析式．。
运用顶点式求二次函数的解析式
运用顶点式求二次函数的解析式李保国一、学习目标：1、进一步巩固用待定系数法求二次函数的解析式。
2、掌握顶点式求二次函数的步骤。
3、会用顶点式求二次函数的解析式。
二、预习提纲：（一）忆一忆（1）y=3(x-1)2+1 对称轴______.顶点坐标______。
（2）y=ax2+bx+c 对称轴______.顶点坐标_______。
2（3）y=a(x-h)2+k 对称轴______.顶点坐标______。
（一组：预测性困难：学生在记忆一般式的顶点坐标公式时有可能出错。
教师追问：根据顶点式找顶点坐标的技巧是什么？点评：括号内等于0求出x的值是顶点的横坐标，纵坐标是k的值。
）(二) 学一学：例：已知二次函数的顶点是（1，-3），且过P（2，0）点，求这个二次函数的解析式。
分析：求二次函数的解析式，知道了二次函数的顶点坐标和其中的一个点的坐标，因此设为顶点式来求二次函数的解析式比较简单解：∵二次函数的顶点是(1,3)∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-3∵抛物线过P（2，0）点∴0=a(2-1)2-3∴a=3∴y=3(x-1)2-3=3x2-6x∴二次函数的解析式为：y=3x2-6x总结：运用顶点式求二次函数的解析式的步骤：①设出顶点式，注意符号的变化。
②代入点的坐标求a值。
③把顶点式化为一般式。
（三）练一练：（1）已知抛物线过点（3，1），顶点为（2，3），求抛物线的解析式。
（2）已知抛物线的顶点为（-1，3）并过原点，求抛物线的解析式。
（三组：预测性困难：学生有可能在求出二次函数的顶点式后忘记化成一般式。
教师追问：二次函数图像过原点提供了什么？点评：二次函数图像过原点，即（0，0）点的坐标适合函数的解析式。
）（4）已知抛物线的图像如图所示，求抛物线的解析式。
（四）试一试我国是一个水资源缺乏的国家，提倡使用节水设备，有一种节水喷头，符合下面请求：如图，垂直于地面的水管AB高出地面1.5m，在B处有自动旋转口喷头，某一时刻喷出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45度角，水流最高点C比喷头高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到A运用顶点式求二次函数的解析式附页一、相关链接：用待定系数法确定二次函数解析式的三种类型：1、已知图像上三点或三对(x,y）的值，通常选取一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)。
微课小专题17求二次函数解析式(一)运用顶点(勤学早)
[方法技巧]由题意分析得到抛物线的顶点坐标,运用顶点式求二次函数的解析式.
金例讲析
[例]抛物线y=ax2+bx经过点A(4,0),顶点M在直线y=-2x+8上,求抛物线的解析式
实战演练,
1.已知当x=-2时,二次函数y=ax2+bx+c取得最大值为4,且图象经过点(-3,0),求此二次函数的解析式.
实战演练。
1.已知二次函数y=ax2-4ax+3a,若当1≤x≤4时,y的最大值是4,则a的值为
2.二次函数y=-(x-1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为_
微课小专题23数形结合(三)分析一元二次方程的根
[方法技巧]抛物线与x轴(或直线)交点的横坐标为对应一元二次方程的两根,要善于利用二次函数的图象解决对应--元二次方程的根的问题.
金例讲析，
[例]已知抛物线y=a(x-h)2+k经过点(-3,m),(1,m),(2,-4)三点,则关于x的方程a(x- h+2)2+k+4=0的解为
实战演练。
1.将抛物线y=- (x+1)2-2沿直线y=x向右上平移2 个单位长度,则得到的抛物线的解析式为
2.将抛物线y=(x- 1)2-4沿直线x= 翻折.则翻折后的抛物线的解析式为.
微课小专题20二次函数性质之区间增减性
[方法技巧]二次函数的增减性与其图象的开口方向,对称轴以及区间直接相关,注意结合图象分析对称轴与区间的位置关系.
微课小专题21数形结合(一)二次函数y值大小比较
[方法技巧]通常结合抛物线的开口方向,利用点到对称轴的距离大小来得到函数值的大小关系.金例讲析
求二次函数解析式的三种基本方法
求二次函数解析式的三种基本方法在九年级复习后期，学生面临的一大难点便是二次函数相关知识，对待与二次函数有关的题解可谓是谈虎色变，但是二次函数是初中数学中的重要内容，也蕴涵着一种重要的数学思想方法。
它由数、式、方程（二次方程）到二次函数，贯穿了整个初中代数。
纵观近几年的中考试卷可以发现，二次函数始终是中考命题中的重点与热点，一方面是考查二次函数中学生对基础知识的掌握程度，另一方面以其新颖独特的综合试题引导学生探究和创新。
在此我就以二次函数中求解析式这一小块内容提供几种常见的基本解法，方便同学们在学习中进行参考：一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y=ax2+bx+c（a≠0）求解。
我们称y=ax2+bx+c（a≠0）为一般式（三点式）。
例：二次函数图象经过A（1，3）、B（-1，5）、C（2，-1）三点，求此二次函数的解析式。
分析：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。
所以将已知三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c （a≠0）构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。
二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y=a（x+m）2+k （a≠0）求解。
我们称y=a（x+m）2+k （a≠0）为顶点式（配方式）。
例：若二次函数图像的顶点坐标为（-2，3），且过点（-3，5），求此二次函数的解析式。
分析：由于顶点式中要确定a、m、k的值，而已知顶点坐标即已知了-m、k 的值。
用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。
若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。
总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。
当然，也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数，才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0)又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
二次函数的三种解析式
二次函数的三种解析式二次函数是高中数学中的一个重要内容，其解析式可以有三种形式。
下面将分别介绍它们的计算公式、特点和应用。
一、顶点式顶点式是一种简洁明了的表示二次函数的方式。
它的通式为：y=a(x-h)^2+k，其中a、h、k分别代表二次函数的导数、顶点横坐标、顶点纵坐标。
在这个式子中，a控制函数的开口方向和缩放程度，h决定了函数图像的移动方向和距离，k则是函数图像的最低点或最高点。
使用顶点式有一个明显的好处，那就是可以轻松地推导出函数的最值和零点。
具体地说，函数的最小值为k，最大值为正负无穷，当且仅当a的符号与k的符号一致时成立；函数的零点可以通过方程y=0求解，即x=h。
二、一般式一般式是表达二次函数的另一种方式，它较为复杂但能够包括所有二次函数。
一般式的通式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c还是分别表示函数的导数、一次项系数和常数项。
使用一般式计算一般为求解函数的导数、顶点坐标和零点。
其中函数图像的顶点坐标可以用二次函数顶点公式求解，即h=-b/2a和k=-Δ/4a，其中Δ=b^2-4ac；函数的零点可以使用求根公式求解，即x=(-b±√Δ)/2a。
三、描点式描点式是较为简单粗暴的表示二次函数的方式。
它的基本原理是，通过描出函数图像上的若干个点，然后拟合出二次函数的解析式。
描点式解析式的范式为：y=a(x-x1)(x-x2)，其中a是二次项系数，x1和x2是函数图像上任意两个不同的点对应的横坐标。
相对于顶点式和一般式，描点式的优点在于计算简单，随时可用。
但缺点也很明显，就是易受图像上的干扰影响，甚至有可能产生误差。
总结：综上所述，二次函数可以用三种解析式进行表示：顶点式、一般式和描点式。
虽然它们的计算方法不同，但本质上都是描述同一个函数。
在不同情景下，可以灵活地采用不同的解析式，以达到最佳计算效果。
求二次函数的解析式
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分析： 先求出A、B两点的坐标：A（1，2）、B（2，5）
①若A（1，2）为顶点： ②若B（2，5）为顶点：
设解析式为y=a(x-1)2+2 ∵5=a+2 ∴a=3 又∵函数有最大值, ∴a=3不合,舍去.
点拔：（1）y 1 x 3x 5
2
2
（2）证抛物线和直线的解析式组成的方程组无解
（3）设与L平行的直线的解析式为y=2x+n
则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一 个解。即△=0
2讲、例已：知：二次函数y=ax2+bx+c有最大值，它与直
二次函数解析式的几种解法
2. 利用顶点坐标求解。
一般式解法
1 基本思路
通过配方法将二次函数转换为一般式。
3 例子
解方程：3x²+ 7x - 2 = 0
2 步骤
1. 将函数转化为完全平方。 2. 利用平方差公式进行化简。
配方法解法
1 基本思路
通过配方法将二次函数转化为标准形式。
3 例子
解方程：2x²+ 5x + 2 = 0
二次函数解析式的几种解 法
通过本演示文稿，我们将深入探讨二次函数解析式的各种解法，包括标准式， 顶点式，一般式，配方法，完全平方，右边等于零，左边等于零，带分数， 分组整理，移项，平移等方法。
二次函数概述
• 二次函数的基本形式：f(x) = ax²+ bx + c • 二次函数的图像特征：抛物线 • 常见二次函数的例子与应用
2. 通过其他解法求解。
解析式与图像的关系
1 关系说明
2 特征分析
3 例子
探索二次函数解析式 与其图像之间的关系。
分析二次函数的解析 式对图像形状的影响。
分析方程：y = x²- 4x +4
标准式解法
1 基本思路
将二次函数转化为标准形式。
3 例子
解方程：2x²- 5x - 3 = 0
2 步骤
1. 将函数写为完全平方的形式。 2. 通过完全平方公式进行化简。
顶点式解法
1 基本思路
利用顶点坐标求解二 次函数。
2 步骤
3 例子
1. 将二次函数转换为 顶点式。
解方程：x²- 4x + 3 = 0
通过带分数的形式进行二次函数的求解。
3 例子
解方程：x²- 2x - 8 = 0
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运用顶点式求二次函数的解析式
李保国
一、学习目标：1、进一步巩固用待定系数法求二次函数的解析式。
2、掌握顶点式求二次函数的步骤。
3、会用顶点式求二次函数的解析式。
二、预习提纲：
（一）忆一忆
（1）y=3(x-1)2+1 对称轴______.顶点坐标______。
（2）y=ax2+bx+c 对称轴______.顶点坐标_______。
2
（3）y=a(x-h)2+k 对称轴______.顶点坐标______。
（一组：预测性困难：
学生在记忆一般式的顶点坐标公式时有可能出错。
教师追问：
根据顶点式找顶点坐标的技巧是什么？
点评：
括号内等于0求出x的值是顶点的横坐标，纵坐标是k的值。
）(二) 学一学：
例：已知二次函数的顶点是（1，-3），且过P（2，0）点，求这个二次函数的解析式。
分析：求二次函数的解析式，知道了二次函数的顶点坐标和其中的一个点的坐标，因此设为顶点式来求二次函数的解析式比较简单
解：∵二次函数的顶点是(1,3)
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-3
∵抛物线过P（2，0）点
∴0=a(2-1)2-3
∴a=3
∴y=3(x-1)2-3
=3x2-6x
∴二次函数的解析式为：y=3x2-6x
总结：运用顶点式求二次函数的解析式的步骤：
①设出顶点式，注意符号的变化。
②代入点的坐标求a值。
③把顶点式化为一般式。
（三）练一练：
（1）已知抛物线过点（3，1），顶点为（2，3），求抛物线的解析式。
（2）已知抛物线的顶点为（-1，3）并过原点，求抛物线的解析式。
（三组：预测性困难：
学生有可能在求出二次函数的顶点式后忘记化成一般式。
教师追问：
二次函数图像过原点提供了什么？
点评：
二次函数图像过原点，即（0，0）点的坐标适合函数的解析式。
）（4）已知抛物线的图像如图所示，求抛物线的解析式。
（四）试一试
我国是一个水资源缺乏的国家，提倡使用节水设备，有一种节水喷头，符合下面请求：如图，垂直于地面的水管AB高出地面1.5m，在B处有自动旋转口喷头，某一时刻喷出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45度角，水流最高点C比喷头高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到A
运用顶点式求二次函数的解析式附页
一、相关链接：
用待定系数法确定二次函数解析式的三种类型：
1、已知图像上三点或三对(x,y）的值，通常选取一般式：y=ax2+bx+c (a≠
0)。
2、已知图像的顶点或对称轴，通常选用顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)。
3、已知图像与x轴的交点坐标，通常选用解析式：y=a(x-x1)(x-x2)。
二、 方法总结：
应用顶点式求二次函数解析式的一般步骤为：
1、 根据二次函数的顶点坐标，设出顶点式，注意符号的变化。
2、 代入已知点的坐标求出a 的值。
3、 把顶点式化为一般式。
三、 经典例题分析：
题目：已知抛物线过点(3,1)，顶点为(2,3)，求抛物线的解析式。
分析：本题因为知道抛物线的顶点坐标，所以设为顶点式来求比较简单。
解：∵抛物线的顶点坐标为(2,3)
∴设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3
∵抛物线过点(3,1)
∴1= a(3-2)2+3
∴y= -2(x-2)2+3= -2x 2+8x-5。
四、一题多解：
题目：已知二次函数的图像顶点是(1,-3)，且经过P(2,0)点，求这个函数的解析式。
解：方法一：设所求的二次函数为：y=ax 2+bx+c
由已知，得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=++344120242a
b a
c a b c b a 解之得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==063c b a 函数解析式为：y=3x 2-6x
方法二： 二次函数的顶点是(1,-3)
∴设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2-3
抛物线过点P(2,0)点
∴0= a(2-1)2-3
∴a=3
∴y=3(x-1)2-3
=3x2-6x
∴二次函数解析式为：y=3x2-6x
方法三：设二次函数解析式为：y=a(x-x
1)(x-x
2
)
抛物线的对称轴为x=1与x轴一交点为(2,0) ∴与x轴另一交点为(0,0)
∴y=a(x-2)(x-0)
抛物线顶点为(1,-3)
∴-3= a(1-2)*1
∴a=3
∴y=3x2-6x
∴二次函数解析式为：y=3x2-6x。