小学四年级 运算定律： 乘法运算定律 讲义

运算定律

第 2 节乘法运算定律

【知识梳理】

1.运算定律的发现及验证

在实际的计算中，当我们对一个算式进行变形的时候，如交换算式中某两个数字的位置或者给算式添上或去掉括号，这时不影响算式的结果我们就可以提炼出一个通用的运算规律，从而使计算更加简便。我们称这样的规律为运算定律。

2.用字母表示运算定律

在数学中通常用字母表示运算定律，通常用小写字母a，b，c等代表代表算式中的数字，用字母表示运算定律能够达到更直观的效果。

3.乘法交换律

两个因数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示乘法交换律：如果用a、b分别代表一个因数，那么乘法交换律就可以表示为：a×b=b×a。

4.乘法结合律

三个数相乘，如果后两个数相乘能使计算简便一些，就先把后两个数相乘，再与第一个数相乘积不变。用字母表示为（a×b）×c=a×（b×c）

5.乘法分配律

两个数的和与一个数相乘，可以先把他们与这个数分别相乘再相加。用字母表示为：

（a+b）×c=a×c+b×c

当我们遇到求两个积的和，而这两个积中正好有相同的因数时，我们就可以运用乘法分配律，用相同的因数乘其他两个数的和。

【诊断自测】

一、乘法交换律和乘法结合律

1.填空

（1）4×25=25×4，也就是说交换两个因数的位置后，积（），这叫（），可以用字母表示为（）

（2）（25×5）×2=（）、25×（5×2）=（），所以（25×5）×2=25×（5×2），像这样三个数连乘时先把前两个数相乘，或者先乘后两个数积不变这叫乘法( )，用字母表示为（）。

（3）交换两个因数的位置（）不变，这叫乘法（），用字母表示为（）。

（4）三个数相乘时，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，这叫做乘法（），用字母表示为（）。

2.根据乘法运算定律在，里填入适当的数。

（1） 15×16=16×

（2） 25×7×4= ××7

（3）（60×25）× =60×（×8）

（4） 125×（8×）=（125×）×14

（5） 3×4×8×5=（3×4）×（×）

3.应用题

学校有教学楼4层，每层有7间教室，每间教室要配25套双人桌椅，学校一共需要购进多少套双人桌椅？

二、乘法分配率

1.用竖式计算

105×24 28×35 108×15

2.观察算式并填空

（4+2）×25 4×25+2×25

=6×25 =100+50

=150 =50

计算后发现：（4+2）×25和4×25+2×25的结果是（），也就是说两个数的和与一个数相乘，可以先把他们与这个数分别相乘，再把结果相（），这叫乘法分配律，用字母可以表示为（）。

3.判断正误，正确画“√”，错误画“×”

56×（19+28）=56×19+28 （）

32×（7×3）=32×7+32×3 （）

64×64+36×64=（64+36）×64 （）

4.用乘法分配律计算

16×27＋73×16 47×15＋33×15

【考点突破】

类型一: 加法交换律

例1.同学们参加植树活动，参加植树的一共25个小组，每个小组中4人负责挖坑种树，负责挖坑种树的一共多少人？

答案:

25×4=100(人) 或 4×25=100（人）

解析：

根据已知条件有25个小组，每个小组里有4人挖坑种树，求负责挖坑种树的一共多少人，也就是求25个4是多少，用乘法计算，列式可发现25×4=4×25，交换因数的位置乘积不变，这是乘法交换律。

例2.计算

4×123×25

答案：

4×123×25

=4×25×123

=100×123

=12300

解析：

如果我们按照四则混合运算的运算顺序去计算这道题，是比较麻烦的，不妨认真观察一下这道题中的数字的特点，会发现 4和25相乘是100，这样就会使我们的计算变得简便许多，所以我们可以利用乘法交换律交换123和25的位置，先计算4×25再乘123.

类型二：乘法结合律

例3.同学们参加植树活动，参加植树的一共有25个小组，每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水。一共要浇多少桶水？

答案：

解法一：25×5×2=125×2=250（桶）

答：一共要浇250桶水。

解法二：25×（5×2）=25×10=250（桶）

答：一共要浇250桶水。

解析：

如果是先求一共植多少棵树在求一共浇多少桶水，则选用方法一，25×5=125（棵），125×2=250（桶）；如果是先求每组要浇多少桶水，再求一共要浇多少桶水，则选用方法二，5×2=10（桶），25×10=250（桶）。

相比之下，方法二比方法一计算要简便一些。

例4.计算

4×6×25×7

=4×25×6×7

=（4×25）×（6×7）

=100×42

=4200

类型三：乘法分配律

例5.同学们参加植树活动，一共25个小组，每组里4个人负责挖坑种树，2个人负责抬水浇树，一共有多少名同学参加了这次植树活动？

答案：

解法一：（4+2）×25=6×25=150（人）

答：一共150人参加了此次植树活动。

解法二：4×25+2×25=100+50=150（人）

答：一共有150人参加了此次植树活动。

解析：

如果先求出每组多少人再求出植树活动的总人数，可选用第一种方法，4+2=6（人），6×25=150（人）。

如果先求出挖坑种树的有多少人，再求出抬水浇树的有多少人，最后求出总人数，则选用第二种方法，4×25=100（人），2×25=50（人），100+50=150（人）。

相比之下，第二种方法的计算比较简便。

例6.计算

36×68+68×64 25×（4+40）

答案：

36×68+68×64 25×（4+40）

=（36+64）×68 =25×4+25×40

=100×68 =100=1000

=6800 =1100

解析：

在计算之前首先要观察题目的特点，然后运用运算律达到简便运算的目的。第一题中，68是相同的因数，36和64相加能凑整百，所用乘法分配律将原式写为“（36+64）×68”

在第二题中，40×25和4×25都能凑出整百整千，所以利用乘法分配律将原式改写为“25×4+25×40”