第五章 接触问题的有限元法
有限元 接触 有限滑移 小滑移
有限元接触有限滑移小滑移简介有限元方法是一种基于数值计算的工程分析方法，用于求解连续介质力学问题。
接触问题是指两个或多个物体之间存在接触并产生相互作用的情况。
在接触问题中，有时会出现滑移现象，即两个物体之间存在相对滑动。
而小滑移是指在接触问题中，滑动幅度相对较小的情况。
本文将详细介绍有限元方法在接触问题中的应用，以及如何考虑有限滑移和小滑移现象。
有限元方法在接触问题中的应用有限元方法通过将结构离散化为一个个小单元，利用单元间的节点连接关系建立整个结构的数学模型，并通过求解该模型得到结构的应力、位移等信息。
在接触问题中，可以使用有限元方法来模拟物体之间的接触行为。
常见的接触问题包括刚性-刚性接触和刚性-弹性接触。
刚性-刚性接触指两个刚体之间存在接触，并且不考虑变形；而刚性-弹性接触则考虑了至少一个物体的弹性变形。
在有限元方法中，接触问题可以通过引入接触算法来处理。
常用的接触算法包括节点投影法、增广拉格朗日法和无网格法等。
这些算法能够考虑接触面上的力、位移和形状等信息，并将其应用于有限元模型中进行求解。
有限滑移和小滑移现象在接触问题中，当两个物体之间存在相对滑动时，就产生了滑移现象。
有时候，滑动幅度很小，被称为小滑移。
小滑移是一种常见的现象，在许多工程领域都有应用。
有限滑移是指在有限元分析中考虑接触问题时引入的一种特殊技术。
通过引入摩擦系数和界面力来模拟物体之间的摩擦行为，并考虑相对位移导致的接触力变化。
在实际工程中，小滑移和有限滑移现象常常同时存在。
因此，在进行有限元分析时需要同时考虑这两种情况，并合理选择适当的模型和参数。
如何考虑有限滑移和小滑移现象要考虑有限滑移和小滑移现象，可以采取以下步骤：1.定义接触面和接触区域：首先需要确定物体之间的接触面和接触区域，在有限元模型中进行建模。
2.引入摩擦系数：根据实际情况，选择适当的摩擦系数来模拟物体之间的摩擦行为。
摩擦系数可以是常数，也可以是与位移或速度相关的函数。
有限元法介绍
通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无需把东西真的做出来。
这项技术带来的好处就是，在图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的成本，缩短产品设计的周期。
有限元法也叫有限单元法（finite element m ethod, FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。
五十年代初，它首先应用于连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。
由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。
有限元法最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。
事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。
理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。
为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。
有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。
大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。
有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。
计算固体计算力学-内容简介
第四章 几何非线性问题及其有限元求解
01
大变形条件下的应力和
应变的度量
02
几何非线性问题的表达
格式
03
大位移非线性弹性理论
的变分原理
04
几何非线性问题的有限
05
结构稳定性和屈曲问题
元分析
授课内容简介
第五章 接触和碰撞问题及其有限元求解 接触问题的界面条件 接触问题的求解方案 接触问题的有限元方程 接触问题的有限元求解 接触分析中的若干问题
授课内容简介
1
第二章 非线性方程(组) 的解法
2
直接迭代法
○ Newton-Raphson法(简 称N-R法)
○ 改进的NewtonRaphson法(简称M-N-R 法)
○ 增量法
授课内容简介
第三章 材料非线性问题及其有限元求解
01
材料弹塑性本 构关系
03
弹塑性增量有 限元分析
02
塑性力学中的 变分原理
目录
01
博士研究生课程
02
计算固体力学
03
课程编号：017090
04
王生楠，谢伟
05
西北工业大学 航空学院
计算固体力学课程体系
授课内容简介
第二章 非线性方程 (组)的常用解法
第四章 几何非线性 问题及其有限元求解
01
第一章 引言
02
03
第三章 材料非线性 问题及其有限元求解
04
05
第五章 接触和碰撞 问题及其有限元求解
参考书籍
01
有限元法中的变 分原理基础，王 生楠编，西工大 出版社
02
航天器计算结构 力学，竺润祥主 编，宇航出版社
有限元法概述
（2）MSC/NASTRAN。 MSC/NASTRAN是在原NAST RAN基础上进行大量改进后的系统软件，主要包括MS C.Patran并行框架式有限元前后处理及分析系统、 MS C.GS-Mesher快速有限元网格、 MSC.MARC非线性有 限元软件等。其中MSC.MARC具有较强的结构分析能
.
5.在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 6. 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 7. 进行机械事故分析，查找事故原因。
轴承强度分析
.
汽车碰撞实验
.
刹车制动时地盘的应力分析
.
钢板精轧机热轧制分析
.
三维椭圆封头开孔补强
.
水轮机叶轮的受力分析模拟
.
人体股骨端受力分析
.
半导体芯片温度场的数值仿真
知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法
中位移法应用范围最广。
.
2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St·Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于 各种原因都涉足过有限单元的概念。
.
4、有限元的特点
(1) 概念清楚,容易理解。可以在不同的专业背景和水平 上建立起对该方法的理解。从使用的观点来讲,每个人的 理论基础不同,理解的深度也可以不同,既可以通过直观的 物理意义来学习,也可以从严格的力学概念和数学概念推 导。
接触问题的有限元分析
有限元混合法：以结点位移和接触力为未知量，并 采用有限元形函数插值，将接触区域的位移约束条件和 接触力约束条件均反映到刚度矩阵中去，构成有限元混 合法控制方程
6.1 接触边界的有限元算法
机械分社
6.1 接触边界的有限元算法
机械分社
（2）接触约束算法 2） Lagrange 乘子法与增广Lagrange 乘子法
min U, λ 1 UT K UUT F g U T λ
2
代入
g
U
g0
U
g U U
U
g0
U
GU
K GT U F
G
0
λ
g0
U
Lagrange 乘子法中 接触约束条件可以精 确满足
惩罚函数法对接触约束条件的处理是通过在势能泛函中
增加一个惩罚势能。
p
U
1 2
P T
EP
P
惩罚因子
嵌入深度，是节点位移的函数
接触问题就等价于无约束优化问题:
min U U p U
K K U FF
p
p
6.1 接触边界的有限元算法
机械分社
（2）接触约束算法
1）罚函数方法
K K U FF
机械分社
（1）直接迭代法
在用有限元位移法求解接触问题时，首先假设初始 接触状态形成系统刚度矩阵，求得位移和接触力后，根 据接触条件不断修改接触状态，重新形成刚度矩阵求解， 反复迭代直至收敛。
每次迭代都要重新形成刚度矩阵，求解控制方程， 而实际上接触问题的非线性主要反映在接触边界上，因 此，通常采用静力凝聚技术，使得每次迭代只是对接触 点进行， 大大提高了求解效率。
有限元法钢丝滚道轴承接触问题研究
摘
要 ：对 钢 丝 滚 道球 轴 承 滚 动 体 与 钢 丝 滚 道 的 点 接 触 问题 进 行 研 究 ， 由 Ｈ ｒ 接 触 理 论 给 出接 触 区 的 主 要 ｅｔ ｚ
几何参数 ，应 力极值 以及接触体 弹性趋近 量的计 算公 式 ，并根据 实际应 用进行 简化 ，计算 出所研 究轴承接 触 区 的主要 参数 。在 对钢 丝滚道球轴承 点接 触理论 分析 的基础 上 ，利用有 限元 法对钢 丝滚道球 轴承 的接 触 问题进 行
ｕ ｎ ｉ ｆｃ ｎａ ｔ ｄ ｅｅ ｃ ｃ ｔｄ ｂ ｒ ｏ ｔ ｔ ｈ ｏｙ．Ａ ｃ ｒ ｉｇ ｔ ｅ ｐ ａ ｔ ａ ｐ ｌ ａｉｎ ｈ ｒ ｕａ Ｗ ｉ ｑ ａ ｔ ｙ ｏ ｏ ｔｃ ｏ ｙ ｗ ｒ ａ ｕａｅ ｙ ｔｅ Ｈｅｔ ｃ ｎ ｃ ｅ ｒ ｔ ｂ ｌｌ ｈ ｚ ａ ｔ ｃ ｏ ｄｎ ｔ ｒｃｉｌ ａ ｐｉ ｔ ．ｔ ｅｆｍ ｌ ａ ｓ ｏｈ ｃ ｃ ｏ ｏ ｓ ｍ— ｐｉ ｅ ｄ ｔｅ ｍａｎ ｐ ｒｍｅｅｓｏ ｅ ｃ ｎ ｃ ｚ ｎ ｅｅ ｃ ｃ ａｅ ．Ｂ ｅ ｏ ｈ ｈ ｏｅｉａ ａ ｓｓｏ ｐ ｔｃ ｎａ ｔｑ ｅ ｔ ｎ ｏ ｌ ｄ ａ ｉ ａａ ｔｒ ｆｔ ｏ ｔ ｔ ｅ ｗ ｒ ａ ｕ ｔｄ ｉ ｆ ｎ ｈ ｈ ａ ｏ ｌｌ ｓ ａ ｎ ｔｅ ｔｅ ｒｔ ｌ ａ ｌ ｉ ｆｓ ｏ ｔｃ ｕ ｓｉ ｆ ｃ ｎ ｙ ｏ ｏ
要进 行 简化 ，进 而计算 出接 触 区各 主要参数 ，然 后
通过 Ａ Ｓ Ｓ对 钢 丝 滚 道 球 轴 承 点接 触 问题 进 行 建 ＮＹ
模与仿 真 分析 ，得 到接触 压 力和应 力分 布云 图 。
ｌ ｇａｇＩ ｔｕ ｆ ｅｈｏ ｇ，Ｈ ｒｉ １０ ５ ） ｏ ｊ ｎ ｓｔｅｏ ｃｎｌ ｙ ａ ｎ ５０ ０ ｎ ｉ ｎ ｉｔ Ｔ ｏ ｂ
接触问题求解方法【刘怀举的博客】
接触问题求解方法(2010-10-02 00:25:00)转载▼标签：杂谈不管在接触边界之间是否有间隙存在，接触作用的出现对结构受载荷之后的接触状态和应力分布都有直接的影响，有些结构正是由于接触作用，使不连续的部分共同工作，从而提高了整个结构的承载力和刚度；而正是由于接触的存在使得有些结构出现局部高应力，很容易使材料屈服或发生裂缝，如果再受到循环荷载的影响，还可能产生疲劳失效。
因此对于接触问题的研究具有重要的工程实际意义。
赫兹接触理论及后来其它学者发展的弹性接触理论称为经典接触力学，它们都是通过封闭的解析解来解决接触问题的，但其应用范围有限，因而接触力学的进展主要与消除这些限制有关。
接触问题属于数学上的混合边值问题，Boussinesq积分方程是其主导方程。
按所用数学方法的不同，可将接触问题的理论解法大致分为经典解法和非经典解法。
以经典的数学工具如积分变换法和复变函数法求解接触问题的方法称为经典解法，以有限元法、边界元法等求解接触问题的方法称为非经典法。
以传统有限元法等数值方法为基础的非经典解法主要有罚函数法、拉格朗日乘子法、增广拉格朗日乘子法、摄动拉格朗日乘子法及数学规划法。
Trefftz有限元模型利用辅助网线位移场或面力场，在一种杂交意义上将单元域内位移场关联起来。
单元域内位移场精确满足控制微分方程，它可表达为微分方程的特解、适当截断的Trefftz完备解系与待定参数乘积的和的形式。
利用定义在每个单元边界上的独立的网线位移场，单元间的连续性就在一种近似意义上得到满足。
在单元一级上消去内部待定参数后即可得到标准的力-位移关系式（即单元刚度方程）。
变分泛函是Trefftz有限元法的核心，它在单元公式推导中起着至关重要的作用。
由于Trefftz有限元法继承了传统有限元法和传统边界元法的优点：(1)公式中只含有对单元的边界积分，这样就可以生成任意多边形单元甚至曲边单元。
因此，Trefftz有限元法可被认为是一种特殊形式的边界型求解方法，单元的边界类似于一种特殊形式的边界单元，其刚度矩阵对称、计算简单，而不像传统边界元那样要进行复杂的计算（如计算边界奇异积分的复杂积分规则，处理非齐次方程的特殊积分，处理间断问题的双节点技术等等）。
接触问题分析
引入单边约束条件
线性互补问题
目前，接触问题分析的方法主要还是经典方法，即从各种变 分原理出发，将几何约束和摩擦定律引入泛函，最终获得接触问 题的控制方程。这是由于大型工程结构分析，大多都采用有限元 方法，而经典方法仍然在此框架之内。本章则侧重介绍接触问题 的数学规划解法，主要从可研究的角度考虑。
2018/11/11 5
4）混合（假定x 方向滑动）
Fal Fbl l x, y, z Fax Fax Faz Faz qay qby 0 q q r az bz z
引言（1/5)
接触现象是普遍存在的。实际的工程结构系统往往分成几个非永久性 连在一起的部分，这些部分之间的力靠它们之间的挤压、甚至冲 击来传递。 接触实例：齿轮的齿间啮合；汽（气）轮机及发动机中叶片 与轮盘的榫接；两物体的撞击（动态接触）。 研究现状：简单的弹性接触问题在19世纪末Hertz就已经开始研究， 但只有在有限元方法及计算机出现以后，接触问题的研究才有 了长足发展，并达到实用化程度。 接触问题的特点：属边界非线性问题，边界条件不再是定解条件，而 是待求结果；两接触体间接触面积与压力随外载的变化而变，并 与接触体的刚性有关。这是该问题的特点，也是困难所在。
对以上四方面内容，不少学者进行了研究，提出了不同的理论与 方法，对同一问题，各种理论各有优缺点，尚未达到共识。基于接触 问题的难度、研究的不成熟、加之其实用性，它一直是固体力学研究 的热点。
2018/11/11 2
研究内容浅析：
引言（3/5)
接触模式问题：解决接触面上接触力的传递问题。 点－点（node-to-node）接触模式：将两接触体的接触面分成同样 的网格，使结点组成一一对应的结点对，假定接触力的传递 通过结点对实现，接触面上各局部区域的接触状态也相应地 按结点对来判断。优点－直观、简单、易于编程。缺点－对 于复杂接触面情形，网格结点一一对应不易做到。 点－面（node-to-surface）接触模式：先将两接触体人为地分为主 动体（master body）与被动体（slave body），并假定主动 体网格中的一个结点可与被动体表面上的任意一点（不一定 是网格结点）相接触。优点－两接触体可根据自身情况剖分 网格。缺点－方法较复杂、编程难度大。
滚动轴承接触问题的有限元分析
滚动轴承接触问题的有限元分析马士垚张进国（哈尔滨工业大学（威海）机械工程系，威海264209）Contact analysis on rolling bearing by finite element methodMA Shi-yao ，ZHANG Jin-guo（Department of Mechanical Engineering ，Harbin Institute of Technology ，Weihai 264209，China ）文章编号：1001-3997（2010）09-0008-02【摘要】基于ANSYS 有限元分析软件，建立了滚动轴承接触分析的三维有限元模型，分析得到了轴承滚动体的径向位移、滚动体与内外圈的接触应力云图，并将接触应力结果与Hertz 理论计算的结果对比，计算两者的接近度，进而说明该法分析的可行性，也为轴承的进一步研究提供了理论基础。
关键词：ANSYS ；滚动轴承；有限元；接触分析【Abstract 】A three-dimensional model is first established for rolling bearing based on an FEA soft －ware as ANSYS .The bearing ’s radial displacement 、the contact stress between rolling elements and inner and outer ring is pared the contact stress results of ANSYS with the Hertz results ，see the difference between each other ，so that the feasibility of this method is proved ，also provides theoretical principle for further research.Key words ：ANSYS ；Rolling bearing ；Finite element ；Contact analysis中图分类号：TH133.33文献标识码：A＊来稿日期：2009-11-131前言轴承是机械传动部分中的重要组成部分，在对轴承的设计与分析中，经常要计算轴承的承载能力、寿命、变形等问题，由于传统的赫兹接触理论在实际应用中存在局限性，只能得到轴承接触应力的近似解，而且求解方法繁琐，利用有限元分析软件ANSYS 对轴承进行接触问题的分析，可以解决所有的赫兹接触问题，方法简洁，易于程式化，结果可视性强，对轴承的分析有一定的指导作用。
有限元法PPT课件
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)
Hertz接触问题的有限元分析
link appraisement
喻 琴 马咪娜 李 刚
庆安集团有限公司
；
最大接触应力：
坐标原点位于两圆柱体初始接触点处，X 半接触长度：，其中，，材料
图1 两圆柱体接触
图2 几何模型
图3 平面应变设置
图4 有限元模型
有限元模型
采用4节点四边形单元对两圆柱体接触模型进行网格划
分，由于本文的目的是为了研究两圆柱体之间的Hertz
应力分布情况，故为了提高计算效率并保证计算结果的精度，
对上、下两矩形面网格划分粗一些，对两圆柱体特别是接触
部位网格划分细一些。
经过多次的试算确定计算结果收敛到
稳定的数值，此时单元数为79884，节点数为240960，两
圆柱体接触有限元模型如图4所示。
材料属性
两圆柱体的材料参数为：弹性模量为E1=4000N/
，E=4000N/mm2，泊松比为υ=0.3，υ=0.3。
矩
图5 接触设置
图8 接触应力云图
图6 约束与载荷
图9 穿透量云图
的基础上，仅将两圆柱体之间的接触由无摩擦改为摩擦，并
分别取摩擦系数为0.2、0.5进行计算，其余设置均不变，
图7 约束反力
2.7×10－9mm，可以忽略，说明计算结果是合理的。
参数分析
（1）接触行为分为对称接触和非对称接触两种，确定
接触行为后，再选择支持此行为的接触算法。
为了对两种接
触行为进行对比，在原计算文件的基础上，仅将非对称行
为改为对称行为，相应地将接触算法改为支撑对称行为的。
有限单元法简介
3．非线性边界(接触问题) 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦 接触和摩擦的作用不可忽 接触和摩擦 视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到一些接触问题，如： • 齿轮传动； • 冲压成型； • 轧制成型； • 橡胶减振器； • 紧配合装配等 当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑 非线性边界条件。实际的非线性可能同时出现上述两种或三种 非线性问题。
(2)用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解 域内待求的未知场变量。 • 每个单元内的近似函数由未知场函数(或其导数)在单元各 个节点上的数值和与其对应的插值函数来表达(此表达式 通常表示为矩阵形式)。 • 由于在联结相邻单元的节点上，场函数应具有相同的数 值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。
2．几何非线性问题 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系 应变与位移的关系是非线性关系，这意味 应变与位移的关系是非线性关系 着结构本身会产生大位移或大转动，而单元中的应变却可大可小。 研究这类问题时一般都假定材料的应力与应变呈线性关系 假定材料的应力与应变呈线性关系。 假定材料的应力与应变呈线性关系 这类问题包括： • 大位移大应变问题 如：橡胶部件成形过程 • 大位移小应变问题 如：如结构的弹性屈曲问题
6 有限元法的发展、现状和未来 有限元法的发展、
有限元法的早期工作
•从应用数学的角度考虑，有限元法的基本思想可以追溯到Courant在1943年的工作。 他首先尝试应用在一系列三角形区域上定义的分片连续函数和最小位能原理相结合， 来求解St.Venant扭转问题。 •此后，不少应用数学家、物理学家和工程师分别从不同角度对有限元法的离散理论、 方法及应用进行了研究。 •有限元法的实际应用是随着电子计算机的出现而开始的。首先是Turner，Clough等 人于1956年将刚架分析中的位移法推广到弹性力学平面问题，并用于飞机结构的分 析。他们首次给出了用三角形单元求解平面应力问题的正确解答。三角形单元的特 性矩阵和结构的求解方程是由弹性理论的方程通过直接刚度法确定的。他们的研究 工作开始了利用电子计算机求解复杂弹性力学问题的新阶段。 •1960年Clough进一步求解了平面弹性问题，并第一次提出了“有限单元法”的名称， 使人们更清楚地认识到有限单元法的特性和功效。
有限元接触算法综述
2
1 T T (13) U [ K ]U U F 2 根据最小位能原理，对满足位移边界条件的位移，当位能 p 最小时，变形
p
体处于平衡状态且满足应力边界条件，即： p 0 Lagrange 乘子法将泛函写为：
(14)
T
L p gn
([C ] [C ']) P [CF ']F ' n0
上式实际上是假设接触点处于粘结状态时得到的。 若处于滑动、 分离等状态， 则其求解方程随之发生变化。例如，处于滑动状态时，该接触结点的法向、切向 作用力应满足式(6)，应对式(10)做出相应的改变。 柔度矩阵 [C] 及 [C '] 的阶数通常比刚度矩阵 [ K ] 低得多， 因此计算工作量可大 大减少。但构造柔度矩阵远比刚度矩阵烦琐，而且对每个接触体来说，只有在具 有外界约束而保证其不产生刚性位移时，才能求得其相应的柔度矩阵，否则还需 另外添加约束来消除刚性位移[4]。 2. Lagrange 乘子法 Lagrange 乘子法原本用于消除带约束极值问题的约束条件，对于接触问题， 所要消除的约束就是接触边界上的力和位移应满足的条件式。为简便起见，本文 以光滑接触为例，此时应满足的约束条件为： g n U n U n ' n0 0 0 (11) (U n U n ' n ) Pn 0 P 0 n 式中，U n 、U n ' 、 n0 分别为物体 和 ' 的接触边界上，任一接触点对的法 向位移及其初始间距， Pn 为其法向作用力（切向力为零） 。其中，第一式表示接 触体不相互侵入，第二式、第三式表示法向作用力只能为压力（接触时）或者零 （分离时） 。 最常见的有限元计算公式如下： [ K ]U F (12) 从理论上讲，上式可以由能量泛函经变分而得到。例如，一个变形体的位能 泛函 p 可以表示为：
有限元接触分析
第五章接触问题的非线性有限元分析5.1引言在工程结构中，经常会遇到大量的接触问题。
火车车轮与钢轨之间，齿轮的啮合是典型的接触问题。
在水利和土木工程中，建筑物基础与地基，混凝土坝分缝两侧，地下洞室衬砌与围岩之间，岩体结构面两侧都存在接触问题。
对于具有接触面的结构，在承受荷载的过程中，接触面的状态通常是变化的，这将影响接触体的应力场。
而应力场的改变反过来又影响接触状态，这是一个非线性的过程。
由于接触问题对工程实践的重要性，本章将作为专门问题进行研究。
最早对接触问题进行系统研究的是H. Hertz，他在1882年发表了《弹性接触问题》一书中，提出经典的Hertz弹性接触理论。
后来Boussinesg 等其他学者又进一步发展了这个理论。
但他们都是采用一些简单的数学公式来研究接触问题，因而只能解决形状简单（如半无限大体）、接触状态不复杂的接触问题。
二十世纪六十年代以后，随着计算机和计算技术的发展，使应用数值方法解决复杂接触问题成为可能。
目前，分析接触问题的数值方法大致可分为三类：有限元法、边界元法和数学规划法。
数学规划法是一种优化方法，求解接触问题时，根据接触准则或变分不等式建立数学模型，然后采用二次规划或罚函数方法给出解答。
边界元方法也被用来求解接触问题，1980年和1981年，Anderson先后发表两篇文章，用于求解无摩擦弹性接触和有摩擦弹性接触问题。
近年来虽有所发展，但仍主要用于解决弹性接触问题。
就目前的发展水平来看，数学规划法和边界元法只适合于解决比较简单的弹性接触问题。
对于相对复杂的接触非线性问题，如大变形、弹塑性接触问题，还是有限元方法比较成熟、比较有效。
早在1970年，Wilson和Parsons提出一种位移有限元方法求解接触问题。
Chan和Tuba，Ohte等进一步发展了这类方法。
它的基本思想是假定接触状态，求出接触力，检验接触条件，若与假定的接触状态不符，则重新假定接触状态，直至迭代计算得到的接触状态与假定状态一致为止。
接触问题的显式与隐式有限元方法研究
接触问题的显式与隐式有限元方法研究接触问题是固体力学中的一个重要问题，它在机械、航空航天、汽车制造等领域都有着广泛的应用。
有限元方法是解决接触问题的一种有效手段，其中显式方法和隐式方法是两种常见的有限元方法。
显式方法指的是在求解过程中，通过显式地列出接触条件和摩擦力，从而求解接触问题。
显式方法的优点是计算过程简单，易于实现，且能够考虑接触面间的摩擦力。
但是，显式方法也存在一些缺点，例如难以处理复杂的接触形状和非线性材料性质，此外，显式方法还需要对摩擦系数进行假设，否则无法求解。
隐式方法指的是在求解过程中，通过隐式地考虑接触条件和摩擦力，从而求解接触问题。
隐式方法的优点是能够自适应地计算接触面间的摩擦力，且能够处理复杂的接触形状和非线性材料性质。
但是，隐式方法的计算过程比较复杂，需要对材料性质和接触面进行精确的建模，此外，隐式方法还需要对摩擦系数进行假设，否则无法求解。
为了验证显式方法和隐式方法的有效性，我们通过实例进行了计算。
我们选取了一个简单的接触问题，即两个平行的金属板之间的接触问题，其中一个金属板的长度为 100mm，宽度为 50mm，厚度为 1mm，另一个金属板的长度为 100mm，宽度为 50mm，厚度为 2mm。
两个金属板之间的接触面为 50mm×50mm。
我们分别采用了显式方法和隐式方法进行计算，并比较了计算结果。
显式方法的计算过程如下：我们首先建立有限元模型，然后列出接触条件和摩擦力，最后求解得到接触压力和摩擦力。
显式方法的计算结果如下：接触压力为 999.5N，摩擦力为 29.1N。
隐式方法的计算过程如下：我们首先建立有限元模型，然后采用隐式方法计算接触面间的摩擦力，最后求解得到接触压力和摩擦力。
隐式方法的计算结果如下：接触压力为 999.5N，摩擦力为 29.1N。
通过比较计算结果，我们可以发现，显式方法和隐式方法都能够准确地计算接触问题，但是，隐式方法的计算结果更加准确，能够考虑接触面间的摩擦力，而显式方法需要对摩擦系数进行假设，否则无法求解。
接触问题的计算方法
这是接触问题的计算方法。
接触问题的关键在于接触体间的相互关系（废话©）,此关系又可分为在接触前后的法向关系与切向关系。
法向关系：在法向，必须实现两点：1）接触力的传递。
2）两接触面间没有穿透。
ANSYS通过两种算法来实现此法向接触关系：罚函数法和拉格朗日乘子法。
1.罚函数法是通过接触刚度在接触力与接触面间的穿透值（接触位移）间建立力与位移的线性关系：接触刚度*接触位移二法向接触力对面面接触单元17*，接触刚度由实常数FKN来定义。
穿透值在程序中通过分离的接触体上节点间的距离来计算。
接触刚度越大，则穿透就越小，理论上在接触刚度为无穷大时，可以实现完全的接触状态，使穿透值等于零。
但是显而易见，在程序计算中，接触刚度不可能为无穷大（否则病态），穿透也就不可能真实达到零，而只能是个接近于零的有限值。
以上力与位移的接触关系可以很容易地合并入整个结构的平衡方程组K*X=F中去。
并不改变总刚K的大小。
这种罚函数法有以下几个问题必须解决：1）接触刚度FKN应该取多大？2）接触刚度FKN取大些可以减少虚假穿透，但是会使刚度矩阵成为病态。
3）既然与实际情况不符合的虚假穿透既然是不可避免的，那么可以允许有多大为合适？因此，在ANSYS程序里，通常输入FKN实常数不是直接定义接触刚度的数值，而是接触体下单元刚度的一个因子，这使得用户可以方便地定义接触刚度了，一般FKN 取0.1 到1 中间的值。
当然，在需要时，也可以把接触刚度直接定义，FKN输入为负数，则程序将其值理解为直接输入的接触刚度值。
对于接近病态的刚度阵，不要使用迭代求解器，例如PCG 等。
它们会需要更多的迭代次数，并有可能不收敛。
可以使用直接法求解器，例如稀疏求解器等。
这些求解器可以有效求解病态问题。
穿透的大小影响结果的精度。
用户可以用PLESOL,CONT,PENE 来在后处理中查看穿透的数值大小。
如果使用的是罚函数法求解接触问题，用户一般需要试用多个FKN 值进行计算，可以先用一个较小的FKN值开始计算，例如0.1。
工程有限元方法接触非线性讲义PPT(30页)
反向，使得解的过程不稳定
4 接触问题的有限元方程
• 4.1 接触界面的离散处理
– 接触块
接触块(或线)：单元上处于接触面上的面(或边)
二维问题的主被动接触线
– 接触点对
罚函数法
惩罚因子
z* x, y. 2x2 2xy y2 18x 6y x y2
z* 4x 2 y 18 2 x y 0
x
z* 2x 2 y 6 2 x y 0
y
x 12 ; y 12 15 / 11/
y 12
3 接触问题的求解方案
原问题中不包含 接触约束条件的
3. 利用接触面上和上述等式约束所对应的动力学或运动学的不等式 约束条件作为校核条件对解的结果进行检查 ➢ 若不违反接触条件，则完成本步求解并转入下一增量步 ➢ 否则转入1再次进行搜寻和迭代求解，直到每一点的解都满足 校核条件
3 接触问题的求解方案
• 3.2 接触面的定解条件和校核条件
接触状态
定解条件
有限元方法与
• 接触非线性概述 • 接触界面条件 • 接触问题的求解方案 • 接触问题的有限元方程 • 有限元方程的求解方法
1 接触非线性概述
接触非线性的来源：由随时间发生变化的接触状态引起，主要 包括
(1) 接触界面的区域大小和相互位置以及接触状态不仅事先未知，且都随时 间发生变化，需要在求解过程中确定
2 接触界面条件
• 2.3 切向接触条件
– (1) 无摩擦模型
若两个物体的接触面是绝对光滑的，或 者相互间的摩擦可以忽略，则采用无摩 擦模型
齿轮啮合接触单元的有限元法
齿轮啮合接触单元的有限元法有限元法的应用分为三种类型，第一种是使用有限元法求在给定载荷作用下的轮齿变形。
在轮齿弹性变形的分析中，人们主要关怀啮合点处的弹性变形。
在一般的有限元分析中，往往是将轮齿啮合点处理成啮合力的作用点，这样计算得到的变形实际上是集中力作用下的啮合点变形。
但由于弹性变形，啮合点实际上成为啮合接触面，啮合力是一种分布力而不是集中力，因此在利用有限元法时，将分布力简化成集中力及将接触面简化成接触点会产生较大的误差。
为了减小这种误差，提出了一种通过选择与接触区面积相对应的有限单元尺寸来补偿的方法，通过对曲率相同的圆柱体的有限元分析，借助于转变接触区的有限元尺寸，讨论有限元分析结果与赫芝接触变形间的关系，从而确定将啮合力处理成集中力时为了减小上述误差应在接触区四周选择的有限单元的尺寸。
然而这种分析都是以单一轮齿作为分析对象，故此分析模型不能考虑多对轮齿同时啮合时相邻轮齿的影响。
其次种是采纳接触单元的有限元法，考虑多对轮齿的同时啮合及轮齿的接触变形，进行轮齿的啮合分析。
它是一种计算非赫芝型接触问题的数值方法，适用于求解多对轮齿同时啮合的变形和应力状态。
由于弹性接触问题有限元法是建立在弹性理论基础上的，因此这种分析得到的结果实际上包含了轮齿的弯曲、剪切、接触压缩等各种变形，利用这种方法可得到多齿同时啮合的变外形态和应力状态，并且可以嵌入轮齿误差。
因此，利用此方法进行啮合接触分析，可求得齿轮啮合的静传递误差。
如利用三维接触问题有限元模型进行啮合接触分析，得到啮合静传递误差。
但若用接触单元的有限元法来处理象某型舰用齿轮箱的振动模态分析，会遇到单元数量过多，大多数软件包的接触单元不能进行振动模态计算的问题，现有的计算条件难以完成这种问题的解算。
第三种是考虑齿轮啮合齿面的弹性液体动力润滑，除了有其次种方法的问题外，花纹输送带还有液固耦合问题，现有的计算条件也难以满意要求。
故还需探究适合于大型简单结构的方法，这项工作将在另文中进行争论。
有限元法在分析轴承接触问题中的应用
寸很重要 " 从上 面 的 分 析 结 果 和 相 应 参 考 资 料 可 以 得出 ! 非接触区的单元尺寸一般可以确定为整体尺寸 的十分之一以下 ! 接触区的单元尺寸一般定在理论计 算得到的接触区尺寸的五分之一以下 ! 这样得到的分 析结果具有一定的可靠性 ! 和理论值的误差在 @a 以 内 " 这个结论对于分析复杂的接触问题同样适用 " # $ 一般 来 说 ! @ 4’ = > =分析结果随着分网等级 的提高而收敛 于 真 值 ! 所 以 在 对 分 析 结 果 的 判 定 上! 可以通过对上一 次 分 析 模 型 的 细 化 ! 重 新 分 析! 比较 前后两次结果相拟和的程度 ! 来确定所分析的接触问 题的真实解的大小和范围 " 参考文献 #
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（5-24） （5-25）
（5-26）
（5-27）
可得：
（5-28）
5.3 接触问题的罚函数法
5.3.1 接触问题的弱形式
（5-29）
（5-30）
其中：
（5-30）
（5-30）
（5-31）
式中：
（5-32） （5-33）
（5-34）
（5-35）
（5-36）
（5-37）
（5-38）
（5-39）
2、接触后搜寻
5.5.3 网格划分
5.5.4 摩擦模型的规则化
（5-83）
（5-84）
（5-85） 式中
（5-86）
（5-87）
（5-88）
（5-89） 式中
（5-90） （5-91）
（5-91） 式中
（5-92）
（5-93） （5-94）
（5-95） 式中
5.5 接触分析中的几个问题
5.5.1 单元形式
5.5.2 接触点对的搜寻
1、接触前搜寻
第五章 接触问题的有限元法
5.1 接触问题有限元法的基本概念
5.1.1 接触表面非线性
5.1.2 接触面条件
（5-1） （5-2） （5-3）
图5.1 接触物体及坐标
（5-4）
（5-5） （5-6） （5-7）
（5-8）
（5-9）
（5-10）
（5-11） （5-12） （5-14） （5-15）
（5-16）
（5-17）
（5-18）
（5-19）
（5-20） （5-21）
（5-21）
（5-22）
（5-23）
（5-24） （5-25）
（5-26）
（5-27）
5.1.3 接触状态的判定
5.2 接触问题求解的一般过程
5.2.1 接触问题求解的一般过程
5.2.2 无摩擦弹性接触问题求解的一般有限元解法
图5-4
（5-70）
5.4.2 哥德曼（Goodman）单元
图 5-5
（5-71）
（5-72a）
（5-72a）
（5-73）
（5-74）
（5-75）
（5-76）
5.4.3 薄层四边形单元
（5-78）
5.4.4 接触摩擦单元
运用虚位移原理
（5-79）
（5-80）
（5-81）
且
（5-82）
（5-40）
（5-41）
其中：
（5-42）
Hale Waihona Puke （5-43） （5-44）
（5-45）
（5-46）
（5-47）
（5-48）
5.3.2 罚函数法的有限元方程
（5-49） （5-50）
（5-51）
（5-52）
（5-53）
在局部坐标系下，一个接触点对的接触力引起的等效节点力向量， 为
（5-54）
（5-55） （5-56）
（5-57） （5-58）
（5-59） （5-60）
（5-61）
（5-62）
（5-63）
（5-64）
（5-65）
（5-66） （5-67）
（5-68） （5-69）
5.4 接触单元
应用有限元法分析接触问题，有一种直接的方式是在接触 面上建立一种特殊形式的单元，通常把这种单元称为接触单元 5.4.1 两节点单元