近世代数_置换群_讲义学习(课堂PPT)

12 2 3 31 , 13 21 2 3 ,那么由于 和 都是 一一变换,于是 也是 A 的一一变换.且有
:1 1,2 2 ,3 3.
记为:
1 1, 2 2 , 3 3 .
换句话说: 12 2 3 31 13 21 2 3 11 22 33
定理 1 n 次对称群 Sn 的阶是 n!.
证明
任意
1
i1
2 i2
L L
n in
S
n
,
i1
有
Βιβλιοθήκη Baidu
n
种取法,当
i1
取定后,i2 只有 n -1 种取法,如此继续下去, in 只有 1
种取法.因此共有 n (n -1)…2•1=n !个不同的置换,所
以 Sn = n !.
由于置换群也是变换群,故必蕴含
一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可记为
32 1 2 31 ， 13 21 2 3 …, 但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统
一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.习惯上称它
为三元置换.
二.置换的乘积.
设 A 1 , 2 , 3的任二个置换为
着变换群的一切特征.譬如,不可
交换性和结合律:
，
11 32 2 312 21 33 12 2 3 31 13 21 2 3 12 21 3311 32 2 3
三 循环置换及循环置换分解.
(1)循环置换(轮换) 前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍
一． 置换群的基本概念
定义 1 任一集合 A 到自身的映射都叫做 A 的一个
变换，如果 A 是有限集且变换是一一变换（双射）， 那么这个变换为 A 的一个置换。有限集合 A 的若干 个置换若作成群，就叫做置换群。含有 n 个元素的 有限群 A 的全体置换作成的群，叫做 n 次对称群。 通常记为 Sn .
第9讲
第二章 群 论
§6 置 换 群 (2课时)
(pormutation group)
本讲的教学目的和要求:
置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群 就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故 每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一 讲主要要求： 1º 弄清置换与双射的等同关系。 2º 掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。 3º掌握置换的分解和将轮换表成对换之积的基本方法。 4º理解对称群与交错群的结构以及有限群的 cayley 定 理。
一种记法.设有 8 元置换 14 2 3 3 5 4 2 51 66 77 88 , 的变换过程为1 4 2 3 5 1,即其他元素都不改 变,若将不发生改变的文字都删掉,那么上述置换 可写成循环置换的形式: 1 4 2 3 5
注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以
2 11 22 3313 21 2 3 13 21 2 3
注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去 的习惯方法不同的（也要看各书要求）。 例 2 设 A 1 , 2 , 3,那么 A 的全部一一变换构成的三次 对称群为 S3 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5.其中
例1. 计算下列置换的乘积:
(1) , (2) 2 , (3) 2 . 解: 13 21 2 312 2 3 31 11 22 33
2 12 2 3 31 12 2 3 31 13 21 2 3
说明：由定义 1 知道，置换群就是一种特殊
的变换群（即有限集合上的变换群）而 n 次对 称群 Sn 也就是有限集合 A的完全变换群。
现以 A a1 ,a2 , a3为例，设 ： A A 是 A 的一 一变换。即 : , a1 a2 a2 a3 , a3 a1,利用本 教材中特定的表示方法有：
0 11 22 33 , 1 11 32 2 3 , 2 12 21 33 3 12 2 3 31 , 4 1 3 21 3 2 , 5 13 2 2 31 所以 S3 3! 6 .其中 0 是恒等变换.即 0 是 S3 的单位元.
人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有 限群；无限群；交换群；非交换群等等。对每个群类进行研究， 并设法回答上述三个问题。可惜，人们能弄清的群当今只有少 数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群），大多数还在 等待人们去解决。
变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性 的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源 ， 是抽象代数创始人 E.Galais(1811-1832)在证明次数大 于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。
发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形 式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的 数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如. “8 元置换 1 4 2 3 5”
， ， . a1 a2 a2 a3 a3 a1
由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素的
具体内容.故可设 A 1 , 2 , 3.故此. :1 2 , 2 3 , 3 1.稍做
1 23
修改: ：
231
= 12 2 3 31 .用 = 12 2 3 31 来描述 A 的
本讲的重点与难点：对于置换以及置换群
需要特别注意的是： 对称群和交错群的结构和置 换的分解定理。
注意：由有限群的 cayley 定理可知：如把所有置
换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚 了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群 容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。 并且也不能一下子把所有群都找出来。因为问题太复 杂了。