近世代数_置换群_讲义学习(课堂PPT)
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近世代数课件--置换群
3
14
2 3
3 6
4 1
5 5
62 1
4 2
3
6
任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之
积，如
(1 2 3) (1 2)(2 3) (1 3)(1 2)
21
21
2 3
32
2 3
3 1
21 (1 2 3)
31
有两个一维与一个二维不可约表示.
2020/3/4
数学与计算科学学院
13
S4 有不变子群
H {pe, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}
其商群为：
其中
S4 H {H, K1, K 2, K 3, K 4, K 5 } K1 (1 2) H {(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)}
亦即 所以
5
li2 24
i1
12 12 22 l24 l52 24
故：
l24 l52 18
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l4 l5 3
所以 S4 的5个不可约表示分别为：两个一维表示、 一个二维表示及两个三维表示.
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62 1
42
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6 (2
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1
4 32
3 6
6 2
1 4
4 1
而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结 果，如
2 3 6 (3 6 2) (6 2 3)
大学课程近世代数循环群与置换群讲义课件
即 f 是同构，故( G,◦) ≅ (Zn, +n) 。
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
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二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
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定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
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例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
16-置换群的应用ppt课件
坚x不变的置换构成子群
G中一切“将x变为y〞的置换构成的集合：
G(xy) = {g|gG, 且g(x)=y}
G中一切“坚持x不变〞的置换的集合：
Gx={g|gG, 且g(x)=x}
留意：Gx构成子群(只需证明封锁性)。
G(xy)是Gx的右陪集：hG(xy), G(xy)=Gxh
假设Gxh, 令=h(Gx),
置换(共6个). 对于对换(1 2), 坚持不变的元素由f (0,1,x) =
f(1,0,x)确定, 有26个. 而这样的对换共有3个. 对于置换(1 2 3), (000, 111)总是不变, 因此函数
值可以恣意设定; (001, 100, 010)与(011, 101, 110)分别构成环, 其函数值相等的函数将分别坚持
gxg对任意的yx若ygx所以对每个轨道ygx是一个轨道中保持各元素不变的置换的总数第10页共16页轨道的个数令轨道数为t因为每个轨道中保持各元素丌变的置换的总数均为按行算
置换群的运用
离散数学 第16讲
上一讲内容的回想
变换和变换群 置换及其表示 置换群 恣意群与变换群同构 置换群的运用
置换群的运用
|X|=84, 即C93 (Why?)
|G|=18 9个旋转，9个翻转
对每个翻转g, |F(g)|=4 旋转0°的|F(g)|=84; 旋转120° 和240° 的|F(g)| 各为3；
其它均为0。 结果是：
(4•9+84+3•2)/18
=⑦
翻转
顺时针旋转 80
轴
没有几何构造的例子
3个输入的逻辑电路有多少种〞真正〞不同的? 能够的输入共有8个(相当与珠子). 能够的输出共有2个(相当于颜色). 由于没有几何对称的限制, 我们思索S3上一切的
近世代数课件--2.6 置换群
• 作业 • P55:2,5
6.2 置换的表示方法:2-行法
现在我们要看一看表示一个置换的符号．这种 符号普通有两种，我们先说明第一种．我们看一个 置换
:
ai a k i 1, 2, ...n !
i
这样一个置换所发生的作用完全可以 ( ( 由 (1, k 1 ) ，2, k 2 ) ， …， n , k n ) 这 n 对整数来决定． 表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成
123 123 ?? 132 213
123 123 ? 213 132
(从右向左)
●
如何求逆?
123 132
1
=??
●
所以 S 3 不是交换群．
无限非交换群我们已经看到过，这是我们的第 一个有限非交换群的例子．S 3 可以说是一个最小的 有限非交换群，因为以后我们会知道，一个有限非 交换群至少要有六个元．
但 1 只使得 r k r 个元变动，照归纳法的假定，可 以写成不相连的循环置换的乘积：
1 1 2 m
在这些
里 i1 , i2 , ..., ik 不会出现.不然的话,
l i p iq , p k
那么 i p 同 iq 不会再在其余的 中出现, 也必使 a i 但我们知道, 1使得 a i 不动,这是一个矛盾.这样, 是 不相连的循环置换的乘积: i1i 2 i k 1 2 m
1
k+1
i
j1
(1)
jk
(1)
只 能 取 自 j1
jk
这样， 2 1 将 j1
jk
变成
近世代数 置换群PPT
p q
p
把一个置换写成不相连的循环置换的乘积是我们表示置换的第 二种表示方法。
s 例5：4 的全体元用循环置换的方法写出来是
（1）； （12），（34），（13），（24），（14），（23）； （123），（132），（134），（143），（124）， （142），（234），（243）； （1234），（1243），（1324），（1342），（1423）， （1432）； (12）（34），（13）（24），（14） (23)。
1
a , a , a j
2
k 1
n
k 1
这n个 , , a j 的
n
n
i
1
2
1
2
2
(1 )
ji
ji
jl
1
2
1
2
2
jl
ji
i
i
i
i
定义: 定义： n 的一个把 a i 变到 a ， 变 s ai i a 到a ，…， 变到 a i ，而使得其余 的元，假如还有的话，不变的置换， 叫做一个k-循环置换，这样的一个 置换我们用符号
123 123 123 132 213 = 231
=
换群 . 无限的非交换群我们已经 看过,这是我们的第一个有限非 交换群.
123 312
所以z2不是交
例子3: 可以说是一 个最小的有限非交换 群,因为以后我们会知 道,一个有限非交换群 至少要有六个元.
二:置换群的表示方法 1,
A {a 1 , a 2 , a n }
i ki
1:
我们来看它的一个置换 : a a , i 1, 2 , , n 这样我们看到一个置换所发生的作用 可以由这n对整数来决定,我们的第一 2 1 n 12 n 种表示方法为 或
p
把一个置换写成不相连的循环置换的乘积是我们表示置换的第 二种表示方法。
s 例5：4 的全体元用循环置换的方法写出来是
（1）； （12），（34），（13），（24），（14），（23）； （123），（132），（134），（143），（124）， （142），（234），（243）； （1234），（1243），（1324），（1342），（1423）， （1432）； (12）（34），（13）（24），（14） (23)。
1
a , a , a j
2
k 1
n
k 1
这n个 , , a j 的
n
n
i
1
2
1
2
2
(1 )
ji
ji
jl
1
2
1
2
2
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i
i
i
i
定义: 定义： n 的一个把 a i 变到 a ， 变 s ai i a 到a ，…， 变到 a i ，而使得其余 的元，假如还有的话，不变的置换， 叫做一个k-循环置换，这样的一个 置换我们用符号
123 123 123 132 213 = 231
=
换群 . 无限的非交换群我们已经 看过,这是我们的第一个有限非 交换群.
123 312
所以z2不是交
例子3: 可以说是一 个最小的有限非交换 群,因为以后我们会知 道,一个有限非交换群 至少要有六个元.
二:置换群的表示方法 1,
A {a 1 , a 2 , a n }
i ki
1:
我们来看它的一个置换 : a a , i 1, 2 , , n 这样我们看到一个置换所发生的作用 可以由这n对整数来决定,我们的第一 2 1 n 12 n 种表示方法为 或
近世代数课件 第5节 变换群
14/16
近世代数
补充
不是满变换的单变换不能构成群。
f是单变换当且仅当f左可逆. (左可逆变换可 能很多，逆元不唯一，所以不能做成群) f是单变换，则f有左可逆变换g. (gf=I，g是满 变换，所以仅由单变换不能做成群) 不是单变换的满变换不能构成群。
“混搭”行不？
变换群：由一一变换作成 非变换群：只能由既不是单变换也不是满变换的变
换作成 15/16
近世代数
总结
主要内容： 变换群的定义 群的同构定义 群的Cayley定理
基本要求: 掌握变换群的定义及构造 能够证明群的Cayley定理
16/16
定义2’ 一个非空集合S的若干个一一变换关于变换的 合成“∘”作成的一个群称为S的一个变换群定义3 设(G1,∘)和( G2,)是两个群。如果存在一个双射 f: G1 G2 ，且x, y G1 有
f(x∘y) = f(x) f(y),
则称群G1 与G2 同构，记为G1 G2 . 而称f 是G1到G2的一个同构(映射). 定理1(群的Cayley定理) 任意一个群都同构于某个变
则称f 是G的一个自同构(映射).
例如: 群G上的恒等映射IG是G的一个自同构. 设(G,∘)是一个交换群。 x G，f(x) =x-1，
则f 是G的一个自同构(映射).
定理2 设(G,∘)是一个群。G 的所有自同构之集A(G) 对映射的合成运算构成一个群，称为G的自同构群。
6/16
近世代数
群的自同构
的. 例 令M={1，2，3，4}，G={f，g}，其中
f(1)=1
g(1)=1
f(2)=1
g(2)=1
f(3)=3
g(3)=4
f(4)=4
近世代数_置换群_讲义学习 PPT课件
到 i1 而其余文字（如果还有其他文字）不发生变化 的置换，叫做k —循环置换（或称k —循环）,记为
( ) i1,i2 ,i3 ik
例 3 在 S5中.
12 2 3 31 44 55 1 2 3 叫作 3—循环置换.
12 2 3 3 4 4 5 51 1 2 3 4 5
发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形 式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的 数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如. “8 元置换 1 4 2 3 5”
②.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例 如.
1 4 2 3 5 2 3 5 1 4 5 1 4 2 3
如果 与 不含相同的文字，那么称 与 是不相连的.
定理 2 每一个n 元置换都可以写成若干个不相连的循 环置换的乘积.（循环置换分解定理） 【证明】.设 是 Sn 中任一个n 元置换，下面对 中改变 文字的个数用数学归纳法。
如果 使1,2,3, ,n中每个文字都不发生改变， 则 是恒等置换.即 1，定理 2 成立.
0 11 22 33 , 1 11 32 2 3 , 2 12 21 33 3 12 2 3 31 , 4 1 3 21 3 2 , 5 13 2 2 31 所以 S3 3! 6 .其中 0 是恒等变换.即 0 是 S3 的单位元.
例1. 计算下列置换的乘积:
(1) , (2) 2 , (3) 2 . 解: 13 21 2 312 2 3 31 11 22 33
2 12 2 3 31 12 2 3 31 13 21 2 3
jk jk(1)
jk1
j (2) k 1
jn jn(2)
证明 因为 1 是 a j1 , a j2 , , a jn 这个元的一一变换，而在 1 之下，
( ) i1,i2 ,i3 ik
例 3 在 S5中.
12 2 3 31 44 55 1 2 3 叫作 3—循环置换.
12 2 3 3 4 4 5 51 1 2 3 4 5
发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形 式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的 数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如. “8 元置换 1 4 2 3 5”
②.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例 如.
1 4 2 3 5 2 3 5 1 4 5 1 4 2 3
如果 与 不含相同的文字，那么称 与 是不相连的.
定理 2 每一个n 元置换都可以写成若干个不相连的循 环置换的乘积.（循环置换分解定理） 【证明】.设 是 Sn 中任一个n 元置换，下面对 中改变 文字的个数用数学归纳法。
如果 使1,2,3, ,n中每个文字都不发生改变， 则 是恒等置换.即 1，定理 2 成立.
0 11 22 33 , 1 11 32 2 3 , 2 12 21 33 3 12 2 3 31 , 4 1 3 21 3 2 , 5 13 2 2 31 所以 S3 3! 6 .其中 0 是恒等变换.即 0 是 S3 的单位元.
例1. 计算下列置换的乘积:
(1) , (2) 2 , (3) 2 . 解: 13 21 2 312 2 3 31 11 22 33
2 12 2 3 31 12 2 3 31 13 21 2 3
jk jk(1)
jk1
j (2) k 1
jn jn(2)
证明 因为 1 是 a j1 , a j2 , , a jn 这个元的一一变换，而在 1 之下，
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， ， . a1 a2 a2 a3 a3 a1
由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素的
具体内容.故可设 A 1 , 2 , 3.故此. :1 2 , 2 3 , 3 1.稍做
1 23
修改: ：
231
= 12 2 3 31 .用 = 12 2 3 31 来描述 A 的
定理 1 n 次对称群 Sn 的阶是 n!.
证明
任意
1
i1
2 i2
L L
n in
S
n
,
i1
有
n
种取法,当
Hale Waihona Puke i1取定后,i2 只有 n -1 种取法,如此继续下去, in 只有 1
种取法.因此共有 n (n -1)…2•1=n !个不同的置换,所
以 Sn = n !.
由于置换群也是变换群,故必蕴含
0 11 22 33 , 1 11 32 2 3 , 2 12 21 33 3 12 2 3 31 , 4 1 3 21 3 2 , 5 13 2 2 31 所以 S3 3! 6 .其中 0 是恒等变换.即 0 是 S3 的单位元.
人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有 限群；无限群；交换群；非交换群等等。对每个群类进行研究， 并设法回答上述三个问题。可惜，人们能弄清的群当今只有少 数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群），大多数还在 等待人们去解决。
变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性 的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源 ， 是抽象代数创始人 E.Galais(1811-1832)在证明次数大 于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。
第9讲
第二章 群 论
§6 置 换 群 (2课时)
(pormutation group)
本讲的教学目的和要求:
置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群 就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故 每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一 讲主要要求： 1º 弄清置换与双射的等同关系。 2º 掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。 3º掌握置换的分解和将轮换表成对换之积的基本方法。 4º理解对称群与交错群的结构以及有限群的 cayley 定 理。
一． 置换群的基本概念
定义 1 任一集合 A 到自身的映射都叫做 A 的一个
变换，如果 A 是有限集且变换是一一变换（双射）， 那么这个变换为 A 的一个置换。有限集合 A 的若干 个置换若作成群，就叫做置换群。含有 n 个元素的 有限群 A 的全体置换作成的群，叫做 n 次对称群。 通常记为 Sn .
发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形 式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的 数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如. “8 元置换 1 4 2 3 5”
12 2 3 31 , 13 21 2 3 ,那么由于 和 都是 一一变换,于是 也是 A 的一一变换.且有
:1 1,2 2 ,3 3.
记为:
1 1, 2 2 , 3 3 .
换句话说: 12 2 3 31 13 21 2 3 11 22 33
着变换群的一切特征.譬如,不可
交换性和结合律:
，
11 32 2 312 21 33 12 2 3 31 13 21 2 3 12 21 3311 32 2 3
三 循环置换及循环置换分解.
(1)循环置换(轮换) 前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍
例1. 计算下列置换的乘积:
(1) , (2) 2 , (3) 2 . 解: 13 21 2 312 2 3 31 11 22 33
2 12 2 3 31 12 2 3 31 13 21 2 3
本讲的重点与难点：对于置换以及置换群
需要特别注意的是： 对称群和交错群的结构和置 换的分解定理。
注意：由有限群的 cayley 定理可知：如把所有置
换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚 了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群 容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。 并且也不能一下子把所有群都找出来。因为问题太复 杂了。
一种记法.设有 8 元置换 14 2 3 3 5 4 2 51 66 77 88 , 的变换过程为1 4 2 3 5 1,即其他元素都不改 变,若将不发生改变的文字都删掉,那么上述置换 可写成循环置换的形式: 1 4 2 3 5
注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以
2 11 22 3313 21 2 3 13 21 2 3
注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去 的习惯方法不同的（也要看各书要求）。 例 2 设 A 1 , 2 , 3,那么 A 的全部一一变换构成的三次 对称群为 S3 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5.其中
说明：由定义 1 知道，置换群就是一种特殊
的变换群（即有限集合上的变换群）而 n 次对 称群 Sn 也就是有限集合 A的完全变换群。
现以 A a1 ,a2 , a3为例，设 ： A A 是 A 的一 一变换。即 : , a1 a2 a2 a3 , a3 a1,利用本 教材中特定的表示方法有：
一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可记为
32 1 2 31 ， 13 21 2 3 …, 但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统
一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.习惯上称它
为三元置换.
二.置换的乘积.
设 A 1 , 2 , 3的任二个置换为
由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素的
具体内容.故可设 A 1 , 2 , 3.故此. :1 2 , 2 3 , 3 1.稍做
1 23
修改: ：
231
= 12 2 3 31 .用 = 12 2 3 31 来描述 A 的
定理 1 n 次对称群 Sn 的阶是 n!.
证明
任意
1
i1
2 i2
L L
n in
S
n
,
i1
有
n
种取法,当
Hale Waihona Puke i1取定后,i2 只有 n -1 种取法,如此继续下去, in 只有 1
种取法.因此共有 n (n -1)…2•1=n !个不同的置换,所
以 Sn = n !.
由于置换群也是变换群,故必蕴含
0 11 22 33 , 1 11 32 2 3 , 2 12 21 33 3 12 2 3 31 , 4 1 3 21 3 2 , 5 13 2 2 31 所以 S3 3! 6 .其中 0 是恒等变换.即 0 是 S3 的单位元.
人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有 限群；无限群；交换群；非交换群等等。对每个群类进行研究， 并设法回答上述三个问题。可惜，人们能弄清的群当今只有少 数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群），大多数还在 等待人们去解决。
变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性 的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源 ， 是抽象代数创始人 E.Galais(1811-1832)在证明次数大 于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。
第9讲
第二章 群 论
§6 置 换 群 (2课时)
(pormutation group)
本讲的教学目的和要求:
置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群 就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故 每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一 讲主要要求： 1º 弄清置换与双射的等同关系。 2º 掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。 3º掌握置换的分解和将轮换表成对换之积的基本方法。 4º理解对称群与交错群的结构以及有限群的 cayley 定 理。
一． 置换群的基本概念
定义 1 任一集合 A 到自身的映射都叫做 A 的一个
变换，如果 A 是有限集且变换是一一变换（双射）， 那么这个变换为 A 的一个置换。有限集合 A 的若干 个置换若作成群，就叫做置换群。含有 n 个元素的 有限群 A 的全体置换作成的群，叫做 n 次对称群。 通常记为 Sn .
发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形 式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的 数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如. “8 元置换 1 4 2 3 5”
12 2 3 31 , 13 21 2 3 ,那么由于 和 都是 一一变换,于是 也是 A 的一一变换.且有
:1 1,2 2 ,3 3.
记为:
1 1, 2 2 , 3 3 .
换句话说: 12 2 3 31 13 21 2 3 11 22 33
着变换群的一切特征.譬如,不可
交换性和结合律:
，
11 32 2 312 21 33 12 2 3 31 13 21 2 3 12 21 3311 32 2 3
三 循环置换及循环置换分解.
(1)循环置换(轮换) 前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍
例1. 计算下列置换的乘积:
(1) , (2) 2 , (3) 2 . 解: 13 21 2 312 2 3 31 11 22 33
2 12 2 3 31 12 2 3 31 13 21 2 3
本讲的重点与难点：对于置换以及置换群
需要特别注意的是： 对称群和交错群的结构和置 换的分解定理。
注意：由有限群的 cayley 定理可知：如把所有置
换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚 了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群 容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。 并且也不能一下子把所有群都找出来。因为问题太复 杂了。
一种记法.设有 8 元置换 14 2 3 3 5 4 2 51 66 77 88 , 的变换过程为1 4 2 3 5 1,即其他元素都不改 变,若将不发生改变的文字都删掉,那么上述置换 可写成循环置换的形式: 1 4 2 3 5
注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以
2 11 22 3313 21 2 3 13 21 2 3
注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去 的习惯方法不同的（也要看各书要求）。 例 2 设 A 1 , 2 , 3,那么 A 的全部一一变换构成的三次 对称群为 S3 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5.其中
说明：由定义 1 知道，置换群就是一种特殊
的变换群（即有限集合上的变换群）而 n 次对 称群 Sn 也就是有限集合 A的完全变换群。
现以 A a1 ,a2 , a3为例，设 ： A A 是 A 的一 一变换。即 : , a1 a2 a2 a3 , a3 a1,利用本 教材中特定的表示方法有：
一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可记为
32 1 2 31 ， 13 21 2 3 …, 但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统
一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.习惯上称它
为三元置换.
二.置换的乘积.
设 A 1 , 2 , 3的任二个置换为