作业答案

作业1

1．什么是白噪声？白噪声有何特点？

答：白噪声是均值为0，自相关函数为冲击响应的随机过程。 白噪声的功率谱为常数。

2. 一个离散时间的随机信号由两个正弦波信号叠加而成，即()x t =1sin()A t ω+ 2cos()B t ω，i ω=2i f π，i =1，2，其中幅值A 和B 为独立的高斯随机变量，具有以下概率密度

221/(2)()a A f a σ-=

，222/(2)()b B f a σ-= 求离散时间信号()x t 为严格平稳随机信号的条件。

解：由于()x t 为两个正弦信号的线性叠加，因此()x t 也是正弦信号。又因为

{()}E x t =1{sin()}E A t ω+ 2{cos()}E B t ω=0

{()}D x t =1{sin()}D A t ω+ 2{cos()}D B t ω=2211sin ()t σω+2

222cos ()t σω 所以，()x t 的概率密度函数可以表示为

2222

21122/2[sin ()cos ()]

(,)x t t f x t σωσω-+=

若1σ=2σ=σ，1ω=2ω，则{()}D x t =2

σ

此时的()x t 的概率密度函数可以表示为

22/2(,)x f x t σ-=

因此(,)f x t 将与t 无关，因此()x t 为严格平稳的条件为1σ=2σ，1ω=2ω

作业2

1. 在一个3发射4接收的MIMO 无线通信系统中，系统在白噪声的环境下采用训练序列估计信道00h ，10h 和20h ，其中ij h 表示用户i 的数据发射到天线j 时经过的单径信道，训练序列的块长为16，请用最小二乘估计方法估计这三个信道。 解：信道0H =[00h , 10h , 20h ]T ,

第0个用户的发射数据为0X =[0,0x , 0,1x , …0,15x ]T 第1个用户的发射数据为1X =[1,0x , 1,1x , …1,15x ]T 第2个用户的发射数据为2X =[2,0x , 2,1x , …2,15x ]T 则我们在第0个天线处接收到的数据为 0Y =0XH +N

其中X =[0X , 1X , 2X ], N 为白噪声向量 因此最后的0H 的最小二乘估计表达式为 0?H =0+X Y

作业3

1．若一条件概率密度函数为高斯分布，则采用该分布函数所获得的绝对损失型、二次型和

均匀型Bayes 估计的结果之间有何关系？为什么？ 答：估计结果相等。

绝对损失型、二次型和均匀型的Bayes 估计结果分别是概率密度函数的中值，均值和极值，因此，当条件概率密度函数为高斯分布，这三个值重合。

2. 在一个被动RFID 系统中，阅读器采用动态帧时隙Aloha 协议识别标签，若阅读器在一个时隙数为L 的的帧内观察到0c 个空时隙、1c 个可读时隙和c κ个冲突时隙，请用Bayes 的绝对型，二次型和均匀型代价函数估计这个帧内的标签数n 。

解：一个信息帧的时隙数为L , 若阅读的标签数为n , 那么帧中的每个时隙内有r 个标签应答的概率为[11, 12, 15-17, 19]

,...1,0,111=??

? ??-?

?

? ?????? ??=-r L L r n p r

n r

r

由式(1)可得, 发生空时隙, 可读时隙和冲突时隙的概率分别为

n

L p ???

??-=110

1

111-?

?

? ??-=n L L n p

1

11111-?

?

?

??--??? ??--=n n

L L n L p κ

由式(2)我们可以得到, 在一个长为L 的信息帧内发生了0c 个空时隙, 1c 个成功时隙, κc 个冲突时隙下有n 个标签的条件概率为[19]

010101!

(|)!!!

c c c L p n c p p p c c c κκκ=

二次型：代价函数表示为[25]

2)~(),~(n n n n

J -= 相应的贝叶斯估计为

∑∑∑=====N

n N

n N

n c n p c n np c n p n n

1

1

1

)

|()

|()|(?

绝对型：代价函数表示为[25]

n n n n

J -=~),~( 相应的贝叶斯估计为

??

?

??-=∑∑==Ω∈N n n n n n c n p c n p n ~~

1~)|()|(min arg ? 均匀型代价函数取为

??????≤-?≥-=2

/~ 02/~ 1),~(n n n n n n J 其中, ?为很小的常数. 相应的贝叶斯估计为

)|~(max arg ?~

c n p n n Ω

∈=

作业4

1．有时在采用非参数化谱估计的直接法计算功率谱时，为何不用Fourier 变换而是用短时Fourier 变换对信号作变换？在采用非参数化谱估计的间接法中，使用了Wienier-Khinchine 定理来计算功率谱，在使用该定理时，信号必须满足什么条件？

答：因为非参数化估计的前提是，该随机过程为平稳过程，而Fourier 变换只能针对平稳过程，而短时Fourier 变换可以对非平稳过程进行处理。

使用Wienier-Khinchine 定理时，信号必须满足平稳随机过程的特性，而且该随机过程的均值应为0.

2. 假定一平稳分布的离散随机过程有N 个数据样本(0)x , (1)x ,… (1)x N -，且均值{}()E x t =0，请用非参数化谱估计的直接法和间接法估计该随机过程的功率谱。 解：1）直接法

定义信号x (n )的周期图为：22)()2()1(1

)(jwN w j jw e N x e x e x N

s ---+++= ω 根据功率谱的定义：

])(1

[

lim )(2jw N x e X N

E S ∞

→=ω 如果信号是各态历经的，则：

21

2

)(1lim

])(1[lim )(∑-=-∞→∞→==N n jwn

N jw N x e

n x N e X N

E S ω

在实际中，信号的观察值是有限的，记为x (0),x (1),…，x (N -1),用这些观察序列对功率谱

S x (w )进行估计，有：

21

02)(1)(1)(?∑-=-==N n jwn

jw N x e

n x N

e X N S ω

2）间接法

2

1

1?()()()

N x

n R k x n k x n N -*

==+∑

??()()M

jkw x

x

k M

S R k e ω-=-=∑

作业5

1．请列出梯度算法（也称最陡下降法）的统一表达形式。当梯度算法的代价函数()J n 为什么时，梯度梯度算法变化为LMS 算法？ 答：()

(1)()()

J k W k W k W k μ

?+=-?，其中k 为迭代次数，W 为滤波器系数向量，μ为步长，

()J k 为代价函数

2?()|()()|J k y k y

k =-，其中()y k 为真实信号，?()y k 为通过Lms 滤波器的信号

2. 已知有下列两类模式：A ：1X =(0, 0, 0)T , 2X =(1, 0, 0)T , 3X =(1, 0, 1)T , 4X =(1, 1, 0)T ；

B ：5X =(0, 0, 1)T , 6X =(0, 1, 1)T , 7X =(0, 1, 0)T , 8X =(1, 1, 1)T 。请用梯度算法求解判决函数：（1）选择代价函数(,)J W X ，并给出相应的梯度算法表达式；(2) 选择合适的迭代步长μ，计算出最后的权向量W ；（3） 给出该梯度算法的伪代码。

解：（1）T T

T T

|| (,)|| A J B ?-?=?+??W X W X W X W X W X ，

对于类，

对于类 因此A 类：

T T

() ()0(1)() ()0i i i n n k n n u n k ?+>?+=?++≤??W W X W W X W X ，

，

因此B 类：

T T

() ()0(1)() ()0i i i n n k n n u n k ?+

，

其中n 为迭代次数，W 为判决函数的系数向量，μ为步长，k 为任意系数

（2）取μ=0.5，k =1, 则经计算W =[1, -1.5, -1.5]

所以最后的判决函数为d T

()d k =+X W X 。 （3）

for n=1:100; for i=1:4

if W(:,n).'*X(:,i)+k<=0

W(:,n)=W(:,n)+u*X(:,i); end end

for i=5:8

if W(:,n).'*X(:,i)+k>=0 W(:,n)=W(:,n)-u*X(:,i); end end

W(:,n+1)=W(:,n); end

作业6.

1．若一随机过程可以表示为ARMA 过程，其必要条件是输入激励为什么信号？ ARMA 模型与AR 和MA 模型有何关系？LMS 滤波器与方程误差（EEA ）滤波器分别是以上的什么模型？

答：必要条件为输入激励应为高斯白噪声。

当ARMA 模型的AR 系数为0时，该模型为MA 模型，当MA 系数为0时，该模型为AR 模型。——3分

LMS 为MA 模型，EEA 为ARMA 模型。

作业7

1. 已知一滤波器的递归差分方程形式如下：

∑∑-=-=-+-=10

11

)()()()()(M m m N n n m t x t b n t y t a t y

若定义代价函数2?()|()()|J t y t y t =-，其中?()y t 为构造滤波器的输出信号。（1）计算梯度

向量()J t ?；（2）给出相应梯度算法表达式；（3）列出该梯度算法步骤。

解：1) 令)()()(t y t d t e -=，则2

()()J t e t =，因此()J t ?可以表示为

21

1()()()

2()2()[()()],1,...1()()()N n n n n n e t y t y t n e t e t y t n a t n N a t a t a t -=???-==-+=-???∑

211

()()()

2()2()[()()],0,...1()()()M m m m m m e t y t y t m e t e t x t m a t m M b t b t b t -=???-==-+=-???∑

2）相应的梯度算法可表示为

???

?

???

?-?+-+-=?-?+-+-=∑∑-=-=]

)()()()()[()1()(])()()()()[()1()(1

11

1M m m m

m m N n n n n n

t b m t y t a m t x t e t b t b t a n t y t a n t y t e t a t a μμ 令

T m N t b t b t a t a t )](),...(),(),...([)(01=θ

T M t x t x N t y t y t Y )]1('),...('),('),...('[)('+--=

则式最后的梯度算法可表示为

)(')()1()(t Y t e t t μθθ+-=

3）算法步骤： 步骤1 初始化)(')()1()(t Y t e t t μθθ+-=； 步骤 2 更新：t =1, 2, ….

T ()()()()e t d t t Y t θ'=-

)(')()1()(t Y t e t t μθθ+-=

作业7.

在一盲均衡仿真实验中，信道()h n 用L =6个抽头，信号源采用PAM 调制方式，选用的值分别为：7.0±, 5.0±, 3.0±, 1.0±，均衡器()w n 也选用6个抽头，第三个点的初始值设为1，其余的设为0。采用盲均衡Sato 算法，在一定信噪比下对算法迭代数千次，画出ISI 的变化曲线图，其中ISI 由下式计算：

1

2220max max (|()||()|)/|()|L ISI s k s n s n -=∑-，()()*()s n h n w n =，

若用编程实现以上算法，请给出实现该程序的主要步骤。 解：

1 产生发射源信号()x n ——2分

1）随机产生7000个0—7均匀分布的随机整数信号 2）将这些随机信号调制为PAM 方式 2 产生接收信号()u n ——5分

1）将产生发射源信号与信道进行卷积运算 2）再将卷积运算后的信号加上高斯白噪声 3. 对Sato 算法的参数进行设定——7分 1）首先计算γ值，由下式确定

2[()][()]

n

n

p n p n γ∑=

∑

其中，()p n 为PAM 调制方式中取得各个值 2）确定步长值

3）确定均衡器初值(0)W =[0, 0, 1, 0, 0, 0]T 4. Sato 算法——10分

对以下步骤不断进行迭代

1）?()x

n =T ()()n n W U ，其中()n U =[()u n , (1)u n -, …(5)u n -] 2）计算误差信号()e n =?()x

n -?[()]g x n , 其中 ???[()](())(())I Q g x

n sign x n j sign x n γγ=+? 3）(1)()()()n n e n n μ*

+=-W W U 4）计算ISI ，其中ISI 由题中给出

5. 画出ISI 关于迭代次数的曲线——1分