作业答案

作业1

1．什么是白噪声？白噪声有何特点？

答：白噪声是均值为0，自相关函数为冲击响应的随机过程。 白噪声的功率谱为常数。

2. 一个离散时间的随机信号由两个正弦波信号叠加而成，即()x t =1sin()A t ω+ 2cos()B t ω，i ω=2i f π，i =1，2，其中幅值A 和B 为独立的高斯随机变量，具有以下概率密度

221/(2)()a A f a σ-=

，222/(2)()b B f a σ-= 求离散时间信号()x t 为严格平稳随机信号的条件。

解：由于()x t 为两个正弦信号的线性叠加，因此()x t 也是正弦信号。又因为

{()}E x t =1{sin()}E A t ω+ 2{cos()}E B t ω=0

{()}D x t =1{sin()}D A t ω+ 2{cos()}D B t ω=2211sin ()t σω+2

222cos ()t σω 所以，()x t 的概率密度函数可以表示为

2222

21122/2[sin ()cos ()]

(,)x t t f x t σωσω-+=

若1σ=2σ=σ，1ω=2ω，则{()}D x t =2

σ

此时的()x t 的概率密度函数可以表示为

22/2(,)x f x t σ-=

因此(,)f x t 将与t 无关，因此()x t 为严格平稳的条件为1σ=2σ，1ω=2ω

作业2

1. 在一个3发射4接收的MIMO 无线通信系统中，系统在白噪声的环境下采用训练序列估计信道00h ，10h 和20h ，其中ij h 表示用户i 的数据发射到天线j 时经过的单径信道，训练序列的块长为16，请用最小二乘估计方法估计这三个信道。 解：信道0H =[00h , 10h , 20h ]T ,

第0个用户的发射数据为0X =[0,0x , 0,1x , …0,15x ]T 第1个用户的发射数据为1X =[1,0x , 1,1x , …1,15x ]T 第2个用户的发射数据为2X =[2,0x , 2,1x , …2,15x ]T 则我们在第0个天线处接收到的数据为 0Y =0XH +N

其中X =[0X , 1X , 2X ], N 为白噪声向量 因此最后的0H 的最小二乘估计表达式为 0ˆH =0+X Y

作业3

1．若一条件概率密度函数为高斯分布，则采用该分布函数所获得的绝对损失型、二次型和

均匀型Bayes 估计的结果之间有何关系？为什么？ 答：估计结果相等。

绝对损失型、二次型和均匀型的Bayes 估计结果分别是概率密度函数的中值，均值和极值，因此，当条件概率密度函数为高斯分布，这三个值重合。

2. 在一个被动RFID 系统中，阅读器采用动态帧时隙Aloha 协议识别标签，若阅读器在一个时隙数为L 的的帧内观察到0c 个空时隙、1c 个可读时隙和c κ个冲突时隙，请用Bayes 的绝对型，二次型和均匀型代价函数估计这个帧内的标签数n 。

解：一个信息帧的时隙数为L , 若阅读的标签数为n , 那么帧中的每个时隙内有r 个标签应答的概率为[11, 12, 15-17, 19]

,...1,0,111=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪

⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-r L L r n p r

n r

r

由式(1)可得, 发生空时隙, 可读时隙和冲突时隙的概率分别为

n

L p ⎪⎭⎫

⎝⎛-=110

1

111-⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=n L L n p

1

11111-⎪

⎭

⎫

⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n n

L L n L p κ

由式(2)我们可以得到, 在一个长为L 的信息帧内发生了0c 个空时隙, 1c 个成功时隙, κc 个冲突时隙下有n 个标签的条件概率为[19]

010101!

(|)!!!

c c c L p n c p p p c c c κκκ=

二次型：代价函数表示为[25]

2)~(),~(n n n n

J -= 相应的贝叶斯估计为

∑∑∑=====N

n N

n N

n c n p c n np c n p n n

1

1

1

)

|()

|()|(ˆ

绝对型：代价函数表示为[25]

n n n n

J -=~),~( 相应的贝叶斯估计为

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=∑∑==Ω∈N n n n n n c n p c n p n ~~

1~)|()|(min arg ˆ 均匀型代价函数取为

⎪⎩⎪⎨⎧∆≤-∆≥-=2

/~ 02/~ 1),~(n n n n n n J 其中, ∆为很小的常数. 相应的贝叶斯估计为

)|~(max arg ˆ~

c n p n n Ω

∈=

作业4

1．有时在采用非参数化谱估计的直接法计算功率谱时，为何不用Fourier 变换而是用短时Fourier 变换对信号作变换？在采用非参数化谱估计的间接法中，使用了Wienier-Khinchine 定理来计算功率谱，在使用该定理时，信号必须满足什么条件？

答：因为非参数化估计的前提是，该随机过程为平稳过程，而Fourier 变换只能针对平稳过程，而短时Fourier 变换可以对非平稳过程进行处理。

使用Wienier-Khinchine 定理时，信号必须满足平稳随机过程的特性，而且该随机过程的均值应为0.

2. 假定一平稳分布的离散随机过程有N 个数据样本(0)x , (1)x ,… (1)x N -，且均值{}()E x t =0，请用非参数化谱估计的直接法和间接法估计该随机过程的功率谱。 解：1）直接法

定义信号x (n )的周期图为：22)()2()1(1

)(jwN w j jw e N x e x e x N

s ---+++= ω 根据功率谱的定义：

])(1

[

lim )(2jw N x e X N

E S ∞

→=ω 如果信号是各态历经的，则：

21

2

)(1lim

])(1[lim )(∑-=-∞→∞→==N n jwn

N jw N x e

n x N e X N

E S ω

在实际中，信号的观察值是有限的，记为x (0),x (1),…，x (N -1),用这些观察序列对功率谱

S x (w )进行估计，有：

21

02)(1)(1)(ˆ∑-=-==N n jwn

jw N x e

n x N

e X N S ω

2）间接法

2

1

1ˆ()()()

N x

n R k x n k x n N -*

==+∑

ˆˆ()()M

jkw x

x

k M

S R k e ω-=-=∑