高中数学高考总复习命题量词逻辑连接词习题及详解
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题与量词、基本逻辑联结词练习题(含解析)(1

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命题与量词、基本逻辑联结词一、选择题1.下列命题中的假命题是( ).A.∃x0∈R,lg x0=0 B.∃x0∈R,tan x0=1C.∀x∈R,x3>0 D.∀x∈R,2x>0解析对于A,当x0=1时,lg x0=0正确;对于B,当x0=错误!时,tan x0=1,正确;对于C,当x<0时,x3<0错误;对于D,∀x∈R,2x>0,正确.答案C2。
已知命题p:函数f(x)=错误!x-log错误!x在区间错误!内存在零点,命题q:存在负数x使得错误!x〉错误!x.给出下列四个命题:①p或q;②p且q;③p的否定;④q的否定.其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析命题p为假命题,命题q也为假命题.利用真值表判断.答案B3.命题“∀x>0,x2+x>0”的否定是( ).A.∃x0>0,x20+x0>0 B.∃x0>0,x20+x0≤0C.∀x>0,x2+x≤0 D.∀x≤0,x2+x>0解析根据全称命题的否定是特称命题,可知该命题的否定是:∃x0>0,x20+x0≤0.答案B4.已知p:|x-a|<4;q:(x-2)(3-x)>0,若非p是非q的充分不必要条件,则a的取值范围为().A.a<-1或a>6 B.a≤-1或a≥6C.-1≤a≤6 D.-1<a<6解析解不等式可得p:-4+a<x<4+a,q:2<x<3,因此非p:x≤-4+a或x≥4+a,非q:x≤2或x≥3,于是由非p是非q的充分不必要条件,可知2≥-4+a且4+a≥3,解得-1≤a≤6.答案C5.若函数f(x)=-x e x,则下列命题正确的是()A.∀a∈错误!,∃x∈R,f(x)〉aB.∀a∈错误!,∃x∈R,f(x)〉aC.∀x∈R,∃a∈错误!,f(x)〉aD.∀x∈R,∃a∈错误!,f(x)〉a解析f′(x)=-e x(x+1),由于函数f(x)在(-∞,-1)上递增,在(-1,+∞)上递减,故f(x)max=f(-1)=错误!,故∀a∈错误!,∃x∈R,f(x)〉a.答案A6.若函数f(x)=x2+错误!(a∈R),则下列结论正确的是( ).A.∀a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数B.∀a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数C.∃a∈R,f(x)是偶函数D.∃a∈R,f(x)是奇函数解析对于A只有在a≤0时f(x)在(0,+∞)上是增函数,否则不成立;对于B,如果a≤0就不成立;对于D若a=0,则f(x)为偶函数了,因此只有C是正确的,即对于a=0时有f(x)=x2是一个偶函数,因此存在这样的a,使f(x)是偶函数.答案C7.已知p:∃x0∈R,mx错误!+2≤0.q:∀x∈R,x2-2mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m 的取值范围是( ).A.[1,+∞)B.(-∞,-1]C.(-∞,-2]D.[-1,1]解析(直接法)∵p∨q为假命题,∴p和q都是假命题.由p:∃x0∈R,mx20+2≤0为假,得∀x∈R,mx2+2>0,∴m≥0.①由q:∀x∈R,x2-2mx+1>0为假,得∃x0∈R,x2,0-2mx0+1≤0,∴Δ=(-2m)2-4≥0⇒m2≥1⇒m≤-1或m≥1。
高考数学讲义常用逻辑用语.板块三.逻辑连接词与量词.教师版1

题型一:逻辑连接词 【例1】 写出下列命题的“p ⌝”命题:(1)正方形的四边相等;(2)平方和为0的两个实数都为0;(3)若ABC ∆是锐角三角形, 则ABC ∆的任何一个内角是锐角;(4)若0abc =,则,,a b c 中至少有一个为0;(5)若(1)(2)0x x --≠,则1x ≠且2x ≠.【考点】逻辑连接词 【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】 【答案】(1)存在一个正方形的四边不相等.(2)平方和为0的两个实数不都为0.(3)若ABC ∆是锐角三角形, 则ABC ∆的某个内角不是锐角.(4)若0abc =,则,,a b c 中都不为0.(5)若(1)(2)0x x --≠,则1x =或2x =.【例2】 若:{|1},:{0}p N x R x q ⊄∈>-=∅.写出由其构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的新命题,并指出其真假.【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ,p q 均为假命题.典例分析板块三.逻辑连接词与量词【答案】 “p 或q ”为::{|1}p N x R x ⊄∈>-或:{0}q =∅,是假命题;“p 且q ”为::{|1}p N x R x ⊄∈>-且:{0}q =∅,是假命题;“非p ”为::{|1}p N x R x ⊆∈>-,是真命题.【例3】 用联结词“且”、“或”分别联结下面所给的命题p q ,构成一个新的复合命题,判断它们的真假.⑴p :1是质数;q :1是合数;⑵p :菱形的对角线互相垂直;q :菱形的对角线互相平分;【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 【答案】⑴p 是假命题,q 是假命题,故p q ∨,p q ∧都是假命题;⑵p 是真命题,q 是真命题,故p q ∨是真命题,p q ∧是真命题.【例4】 把下列各组命题,分别用逻辑联结词“且”“或”“非”联结成新命题,并判断其真假.⑴p :梯形有一组对边平行;q :梯形有一组对边相等.⑵p :1是方程2430x x -+=的解;q :3是方程2430x x -+=的解.⑶p :不等式2210x x -+>解集为R ;q :不等式2221x x -+≤解集为∅.⑷p :{0}∅Ü;q :0∈∅.【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴∵p 真,q 假,∴p q ∧为假,p q ∨为真,p ⌝为假,q ⌝为真. ⑵∵p 真,q 真,∴p q ∧为真,p q ∨为真,p ⌝为假,q ⌝为假.⑶∵p 假,q 假,∴p q ∧为假,p q ∨为假,p ⌝为真,q ⌝为真.⑷∵p 真,q 假,∴p q ∧为假,p q ∨为真,p ⌝为假,q ⌝为真.【答案】⑴p q ∧为假,p q ∨为真,p ⌝为假,q ⌝为真.⑵p q ∧为真,p q ∨为真,p ⌝为假,q ⌝为假.⑶p q ∧为假,p q ∨为假,p ⌝为真,q ⌝为真.⑷p q ∧为假,p q ∨为真,p ⌝为假,q ⌝为真.【例5】 判断下面对结论的否定是否正确,如果不正确,请写出正确的否定结论:⑴至少有一个S 是P ;否定:至少有两个或两个以上S 是P ;⑵最多有一个S 是P .否定:最少有一个S 是P ;⑶全部S 都是P .否定:全部的S 都不是P .【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 “集合M 中至少有一个元素m 不具有性质a ”的否定是:集合M 中所有元素都具有性质a .反之亦对.因为“集合M 中至少有一个元素不具有性质a ”,它包含了“M 中有一个元素不具有性质a 、两个元素不具有性质a ……所有元素都不具有性质a ”等各种情形.因此它的否定是“M 中所有元素都具有性质a ”.如“三角形中至少有一个内角大于或等于60︒”的否定是“三角形中所有内角都小于60︒”.注意“都不是”的否定不是“都是”,而是“不都是”,也即“至少有一个是”.如“a 、b 都不是零”的否定是“a ,b 中至少有一个是零”.【答案】⑴不正确,没有一个S 是P .⑵不正确,至少有两个S 是P .⑶不正确,存在一个S 不是P .【例6】 “220a b +≠”的含义为__________;“0ab ≠”的含义为__________.A .a b ,不全为0B .a b ,全不为0C .a b ,至少有一个为0D .a 不为0且b 为0,或b 不为0且a 为0【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 220a b +≠的含义为a b ,不全为0,选A ; 0ab ≠的含义为,a b 全不为0,选B .【答案】A,B【例7】 已知全集R U =,A U ⊆,B U ⊆,如果命题p A B U ,则命题“p ⌝”是( )A AB U B ðC A B ID ()()U U A B I 痧 【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 【答案】D ;【例8】 命题“关于x 的方程(0)ax b a =≠的解是唯一的”的结论的否定是( )A .无解B .两解C .至少两解D .无解或至少两解【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 【答案】D ;【例9】 若条件:P x A B ∈I ,则P ⌝是( )A .x A ∈且xB ∉ B .x A ∉或x B ∉C .x A ∉且x B ∉D .x A B ∈U【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 x 至少不属于A B ,中的一个. 【答案】B ;【例10】 命题:“若220()R a b a b +=∈,,则“0a b ==”的逆否命题是( ) A .若0()R a b a b ≠≠∈,,则220a b +≠B .若0a ≠且0()R b a b ≠∈,,则220a b +≠C .若0()R a b a b =≠∈,,则220a b +≠D .若0a ≠或0()R b a b ≠∈,,则220a b +≠【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 0a b ==的否定为a b ,至少有一个不为0. 【答案】D ;【例11】 命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题,则实数a 的取值范围是( )A .0a <或3a ≥B .0a ≤或3a ≥C .0a <或3a >D .03a <<【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 0a <时,显然2230ax ax -+>不恒成立;0a =时,恒成立; 0a >时,只需240a ∆=-12a ≥即可,解得3a ≥.【答案】A ;【例12】 命题“p 或q ”是真命题,“p 且q ”是假命题,则( )A .命题p 和命题q 都是假命题B .命题p 和命题q 都是真命题C .命题p 和命题“非q ”的真值不同D .命题p 和命题q 的真值不同【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 【答案】D .【例13】 已知命题p :若实数x y ,满足220x y +=,则x y ,全为0;命题q :若a b >,则11a b<,给出下列四个复合命题:①p 且q ②p 或q ③p ⌝④q ⌝,其中真命题的个数为( )A .1B .2C .3D .4【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 p 为真命题,q 为假命题,∴p ⌝为假命题,q ⌝为真命题,②④为真命题. 【答案】B ;【例14】 由下列各组命题构成“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,“p ⌝”为真的是( )A .p :0=∅,q :0∈∅B .p :等腰三角形一定是锐角三角形,q :正三角形都相似C .p :{}{}a a b ,躿,q :{}a a b ∈,D .p :53>,q :12是质数【关键词】无【解析】 【答案】B ;【例15】 在下列结论中,正确的是( )①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件②“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件③“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件④“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的必要不充分条件A .①②B .①③C .②④D .③④【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 p q ∧为真,p q ⇒都为真p q ⇒∨为真,反之不成立,①正确; p q ∧为假,可能,p q 都为假,故推不出p q ∨为真,②错误;p ⌝为假,有p 为真,故p q ∨为真;而p q ∨为真,p 可能为假,从而p ⌝可能 为真,③正确;p ⌝为真,说明p 假,从而p q ∧为假,④错误;故选B .【答案】B【例16】 设命题p :2x >是24x >的充要条件,命题q :若22a b c c >,则a b >.则( ) A .“p 或q ”为真 B .“p 且q ”为真C .p 真q 假D .p ,q 均为假命题【考点】逻辑连接词 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2008年,北京东城,高考二模【解析】 p 假q 真.【答案】A .【例17】 若命题“p 且q ”为假,且“p ⌝”为假,则 ()A .p 或q 为假B .q 假C .q 真D .p 假【关键词】无【解析】“p∧(且)为假,得q为假⌝”为假,则p为真,而p q【答案】B【例18】若条件:∈I,则PP x A B⌝是()A.x A∉ D. x A B∉且x B∈⋃∈且x B∉ B. x A∉或x B∉ C. x A【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】P∉I,∴x至少不属于,A B中的一个.⌝:x A B【答案】B【例19】设集合{}{}=>=<,那么“x MM x x P x x|2,|3∈I”的∈”是“x M P∈,或x P()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】“x M∈I”,反之可以∈”不能推出“x M P∈,或x P【答案】A【例20】p或q”是假命题.其中正确的结论是()A.①③B.②④C.②③D.①④【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】“非p或非q”是假命题⇒“非p”与“非q”均为假命题.【答案】C【例21】 已知命题p 且q 为假命题,则可以肯定 ( )A.p 为真命题B.q 为假命题C.,p q 中至少有一个是假命题D.,p q 都是假命题【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 【答案】C【例22】 已知条件:12p x +>,条件2:56q x x ->,则p ⌝是q ⌝的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 :12p x ⌝+≤,31x -≤≤,2:56q x x ⌝-≤,2560x x -+≥,3x ≥或2x ≤ 【答案】A【例23】 下列判断正确的是 ( )A.22x y x y ≠⇔≠或x y ≠-B.命题“a 、b 都是偶数,则a b +是偶数” 的逆否命题是“若a b +不是偶数,则a 、b 都不是偶数”C.若“p 或q ”为假命题,则“非p 且非q ”是真命题D.已知,,a b c 是实数,关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集是空集,必有0a >且0∆≤【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】 A 不正确,因为“x y ≠或x y ≠-”只要求其中之一成立即行,而22x y ≠需二者都成立;B 不正确,“a 、b 都是偶数”的否定是“a 、b 不都是偶数”;D 不正确,不等式 20ax bx c ++≤的解集是空集还可能是0,0a b c ==> .【答案】C【例24】 在下边的横线上填上真命题或假命题.⑴若命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题,那么p q ∧是______; p q ⌝∧是_____;⑵若命题“p ⌝或q ⌝”是假命题,那么p q ∧是______;p q ∨是_______; p ⌝是_______.【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】填空【关键词】无 【解析】 ⑴p ⌝真,说明p 为假命题;又p q ∨为真命题,故q 为真命题,从而p q ∧是假命题;p q ⌝∧是真命题;⑵根据“p ⌝或q ⌝”是假命题知,命题p ⌝、q ⌝都是假命题,从而p 、q 都是真命题,故p q ∧ 是真命题;p q ∨是真命题;p ⌝是假命题.【答案】⑴真命题,真命题,⑵真命题,真命题,假命题【例25】 ⑴p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的 条件;⑵p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的 条件.(填:充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要).【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 ⑴p q ∨真⇒p 真或q 真;p q ∧真⇒p 真且q 真,故p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的必要不充分条件;⑵p ⌝假则p 真,从而p q ∨真,但p q ∨真时,p 可能假,故推不出p ⌝假,故p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件.【答案】⑴必要不充分,⑵充分不必要【例26】 如在下列说法中:①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件;②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件;③“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件;④“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件.其中正确的是__________.【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 【答案】①③.【例27】 如果命题“非p 或非q ”是假命题,给出下列四个结论:①命题“p 且q ”是真命题;②命题“p 且q ”是假命题;③命题“p 或q ”是真命题;④命题“用“充分、必要、充要”填空:①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的________________条件;②p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件.【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 【答案】必要,必要【例28】 已知命题::p “若1a >,则32a a >”;命题:q “若0a >,则1a a>”.则在“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”、“非q ”四个命题中,真命题是 .【考点】逻辑连接词 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 p 真,q 假. 【答案】p 或q ,非q【例29】 命题:0p 不是自然数;命题q 是无理数,则在命题“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”、“非q ”中,真命题是 ;假命题是 .【考点】逻辑连接词 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 p 假,q 真. “p 或q ”为真,只要,p q 中有一个为真即可;“p 且q ”必须,p q中均为真.【答案】 “p 或q ”, “非p ”; “p 且q ”, “非q ”【例30】 命题“对一切非零实数x ,总有12x x+≥”的否定是 ,它是 命题.(填“真”或“假”)【考点】逻辑连接词 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 例如:2x =-,则1,0,2x R x x x∈≠+<. 【答案】1,0,2x R x x x∃∈≠+<,真命题【例31】 甲、乙两人参加一次竞赛,设命题p 是“甲获奖”,命题q 是“乙获奖”,试用p q,及逻辑联结词“且”、“或”、“非”表示:⑴两人都获奖; ⑵两人都未获奖; ⑶恰有一人获奖; ⑷至少有一人获奖.【考点】逻辑连接词 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑷也是对⑵中情况的否定,故也可表示为(()())p q ⌝⌝∧⌝,故容易知道(()())p q p q ∨=⌝⌝∧⌝,也即()()()p q p q ⌝∨=⌝∧⌝.【答案】⑴两人都获奖说明两个命题都成立,故为p q ∧;⑵都未获奖说明两个命题都不成立,故为()()p q ⌝∧⌝; ⑶恰有一人获奖说明一个命题成立,另一个命题不成立,故为()()p q p q ⌝∧∨∧⌝;⑷至少有一人获奖说明p 或q 成立,即p q ∨.【例32】 命题p :若R a b ∈,,则1a b +>是1a b +>的充分条件,命题q :函数y 的定义域是(1][3)-∞-+∞U ,,,则( ) A .p 或q 为假 B .p 且q 为真 C .p 真q 假 D .p 假q 真【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】选择【关键词】无【解析】 令1,1a b ==-,知命题p 假;由1203x x --⇒≥≥或1x -≤,故命题q 真;【答案】D ;【例33】 已知p 是r 的充分条件而不是必要条件,q 是r 的充分条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件.现有下列命题:①s 是q 的充要条件;②p 是q 的充分条件而不是必要条件;③r 是q 的必要条件而不是充分条件;④p s ⌝⌝是的必要条件而不是充分条件;⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件,则正确命题序号是( )A .①④⑤B .①②④C .②③⑤D .②④⑤【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2007年,湖北,高考【解析】 由右图易知;qsr p【答案】B ;【例34】 已知p :方程220x mx ++=有两个不等的负根;q :方程244(2)10x m x +-+=无实根.若p q ∨为真,p q ∧为假,则实数m 的取值范围是_______.【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】填空【关键词】无【解析】 由题意知,命题p q ,一真一假;p 为真时有:280m m m -<⎧⇒>⎨∆=->⎩q 为真时有:216(2)16013m m ∆=--<⇒<<;p 真q 假时有3m ≥;p 假q 真时有1m <≤(1[3)m ∈+∞U ,; 【答案】(1[3)m ∈+∞U ,【例35】 已知命题p :关于x 的不等式20062008x x a -+->恒成立;命题q :关于x 的函数log (2)a y ax =-在[01],上是减函数.若p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,则实数a 的取值范围是_______;【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】填空【关键词】无【解析】 由题意知,命题p q ,一真一假;20062008x x -+-的最小值为2,故此不等式恒成立,即p 为真时有2a <;q 为真时log (2)a y ax =-在[01],上是减函数,∵0a >,故内层函数为减函数,从而外层对数函数为增函数,有1a >,又202a a ->⇒<,故12a <<;p 真q 假时1a ≤;p 假q 真时a 不存在,故(1]a ∈-∞,; 【答案】(1]-∞,;【例36】 已知命题p :方程2220a x ax +-=在[11]-,上有解;命题q :只有一个实数满足不等式2220x ax a ++≤.若p q ∨是假命题,求a 的取值范围.【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 由2220a x ax +-=知0a ≠,解此方程得1212x x a a ==-,.∵方程2220a x ax +-=在[11]-,上有解,∴1||1a ≤或2||1a≤,∴||1a ≥.只有一个实数满足不等式2220x ax a ++≤,表明抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个公共点,∴2480a a ∆=-=, ∴0a =或2a =.∴命题p 为假,则11a -<<;命题q 为假,则0a ≠且2a ≠.∴若p q ∨是假命题,则p q ,都是假命题,a 的取值范围是(10)(01)-U ,,. 【答案】(10)(01)-U ,,【例37】 命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的正实数根,命题:q 方程244(2)10x m x +++=无实数根.若“p 或q ”为真命题,求m 的取值范围.【考点】逻辑连接词 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 “p 或q ”为真命题,则p 为真命题,或q 为真命题,或q 和p 都是真命题当p 为真命题时,则2121240010m x x m x x ⎧∆=->⎪+=->⎨⎪=>⎩,得2m <-;当q 为真命题时,则216(2)160m ∆=+-<,得31m -<<- 当q 和p 都是真命题时,得32m -<<- ∴1m <-【答案】1m <-【例38】 已知函数2()(1)lg 2f x x a x a =++++(R a ∈,且2)a ≠-,⑴()f x 能表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 的和,求()g x 和()h x 的解析式;⑵命题p :函数()f x 在区间2[(1))a ++∞,上是增函数;命题q :函数()g x 是减函数.如果命题p 且q 为假,p 或q 为真,求a 的取值范围. ⑶在⑵的条件下,比较(2)f 与3lg2-的大小.【考点】逻辑连接词 【难度】4星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴∵()()()f x g x h x =+,()()()()()f x g x h x g x h x -=-+-=-+,∴[]1()()()(1)2g x f x f x a x =--=+,[]21()()()lg 22h x f x f x x a =+-=++; ⑵命题p 为真时有:21(1)2a a +-+≤1a ⇒≥-或32a -≤,命题q 为真时有:101a a +<⇒<-;命题p 且q 为假,p 或q 为真包括:p 真q 假与p 假q 真两种情况;故1a -≥或312a -<<-,即32a >-;⑶(2)42(1)lg 226lg 2f a a a a =++++=+++,(2)(3lg 2)23lg 2lg 2f a a --=++++,32x >-时,20x +>,函数()23lg 2lg 2x x x ϕ=++++在32⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭,上单调递增, 故3()02a ϕϕ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭,即在⑵的条件下,(2)3lg2f >-.【答案】⑴()(1)g x a x =+,2()lg 2h x x a =++, ⑵32a >-,⑶(2)3lg2f >-题型二:全称量词与存在量词【例39】 判断下列命题是全称命题,还是存在性命题.⑴平面四边形都存在外接圆;⑵有些直线没有斜率; ⑶三角形的内角和等于π; ⑷有一些向量方向不定; ⑸所有的有理数都是整数; ⑹实数的平方是非负的.【考点】全称量词与存在量词 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】 .【答案】⑴全称命题;⑵存在性命题;⑶全称命题,意思是所有的三角形都有内角和等于π;⑷存在性命题;⑸全称命题;⑹全称命题【例40】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题.⑴线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;⑵负数的平方是正数;⑶有些三角形不是等腰三角形; ⑷有些菱形是正方形.【考点】全称量词与存在量词 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】⑴全称命题;⑵全称命题;⑶存在性命题;⑷存在性命题.【例41】 设语句()p x :cos()sin 2πx x +=-,写出“()R p θθ∀∈,”,并判断它是不是真命题.【考点】全称量词与存在量词 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 R θ∀∈,cos()sin 2πθθ+=-;由诱导公式知,是真命题.【答案】R θ∀∈,cos()sin 2πθθ+=-;真命题【例42】 用量词符号“∀∃,”表示下列命题,并判断下列命题的真假.⑴任意实数x 都有,2210x x ++>; ⑵存在实数x ,2210x x ++<;⑶存在一对实数a b ,,使20a b +<成立; ⑷有理数x 的平方仍为有理数;⑸实数的平方大于0.⑹有一个实数乘以任意一个实数都等于0.【考点】全称量词与存在量词 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴R x ∀∈,2210x x ++>;假命题,1x =-时,结论不成立;⑵R x ∃∈,2210x x ++<;假命题,R x ∈时,2221(1)0x x x ++=+≥; ⑶R a b ∃∈,,20a b +<;真命题,如12a b ==-,; ⑷Q x ∀∈,2Q x ∈;真命题; ⑸R x ∀∈,20x >;假命题,200=.⑹R a ∃∈,R x ∀∈,有0ax =;真命题,0a =即满足.【答案】⑴R x ∀∈,2210x x ++>;假命题⑵R x ∃∈,2210x x ++<;假命题 ⑶R a b ∃∈,,20a b +<;真命题 ⑷Q x ∀∈,2Q x ∈;真命题⑸R x ∀∈,20x >;假命题,200=. ⑹R a ∃∈,R x ∀∈,有0ax =;真命题【例43】判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并判断真假.⑴所有的素数是奇数;⑵一切实数x,有2(1)0x->;⑶对于正实数x,12xx+≥;⑷1sin2sinRx xx∀∈+,≥;⑸一定有实数x满足2230x x--=;⑹至少有一个整数x能被2和3整除;⑺存在两个相交平面垂直于同一条直线;⑻{|x x x∃∈是无理数},2x是无理数.【考点】全称量词与存在量词【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】⑴⑵⑶⑷是全称命题,⑸⑹⑺⑻是存在性命题,⑴⑵⑷⑺是假命题,⑶⑸⑹⑻是真命题.【例44】判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并判断真假.⑴21x+是整数(Rx∈);⑵对所有的实数x,3x>;⑶对任意一个整数x,221x+为奇数;⑷末位是0的整数,可以被2整除;⑸角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;⑹正四面体中两侧面的夹角相等;⑺有的实数是无限不循环小数;⑻有些三角形不是等腰三角形;⑼有的菱形是正方形.【考点】全称量词与存在量词【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】⑴~⑹是全称命题,⑺~⑼是存在性命题,⑶~⑼是真命题,⑴⑵是假命题.【答案】⑴~⑹是全称命题,⑺~⑼是存在性命题,⑶~⑼是真命题,⑴⑵是假命题【例45】 写出下列命题p 的否定形式,并判断p 与p ⌝的真假.⑴平行四边形的对边相等; ⑵不等式22210x x ++≤有实数解. ⑶R x ∀∈,210x x ++>; ⑷R x ∃∈,21x x +<; ⑸有些实数的绝对值是正数.⑹不是每个质数都是偶数.【考点】全称量词与存在量词 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴p ⌝:存在对边不相等的平行四边形;p 真,p ⌝假;⑵p ⌝:不等式22210x x ++≤无实数解;p 假,p ⌝真; ⑶p ⌝:R x ∃∈,210x x ++≤;p 真,p ⌝假; ⑷p ⌝:R x ∀∈,21x x +≥;p 假,p ⌝真;⑸p ⌝:任意实数的绝对值都不是正数(或:,0R x x ∀∈≤);p 真,p ⌝假. ⑹p ⌝:每个质数都是偶数;p 真,p ⌝假.【答案】⑴p 真,p ⌝假;⑵p 假,p ⌝真;⑶p 真,p ⌝假;⑷p 假,p ⌝真;⑸p 真,p ⌝假;⑹p 真,p ⌝假.【例46】 判断下列命题的真假:(1)对任意的,x y 都有222x y xy +≥; (2)所有四边形的两条对角线都互相平分; (3)∃实数2a ≠且1b ≠-使22425a b a b +-+≤-;(4)存在实数x 使函数4()(0)f x x x x=+>取得最小值4.【考点】全称量词与存在量词 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)是真命题,因为对任意实数,x y ,都有2222()0x y xy x y +-=-≥,∴222x y xy +≥.(2)是假命题,只有平行四边形才满足两条对角线互相平分,如梯形就不满足这个条件.(3)是假命题,因为2222425(2)(1)0a b a b a b +-++=-++≥,当且仅当2,1a b ==-时等号成立, 所以不存在实数对,a b ,使22(2)(1)0a b -++<,不存在即实数2a ≠且1b ≠-使22425a b a b +-+≤-.(4)是真命题,因为存在实数20x =>,使函数4()(0)f x x x x=+>取得最小值4.【答案】(1)是真命题,(2)是假命题,(3)是假命题,(4)是真命题。
逻辑联结词、量词 知识点+例题 分类全面

p或q联结起来,就得到一个新命题,记作=∈B x x{|(加以否定,得到一个新的命题,记作在全集U中的补集:答案 B解析 因为M N ,所以a ∈M ⇒a ∈N ,反之,则不成立,故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件.故选B.6.若命题p :对于任意x ∈[-1,1],有f (x )≥0,则对命题p 的否定是________.答案 存在x 0∈[-1,1],使f (x 0)<07.已知命题p :x 2+2x -3>0;命题q :13-x>1,若“⌝q 且p ”为真,则x 的取值范围是____________________. 答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)解析 因为“綈q 且p ”为真,即q 假p 真,而q 为真命题时,x -2x -3<0,得2<x <3,所以q 假时有x ≥3或x ≤2;p 为真命题时,由x 2+2x -3>0,解得x >1或x <-3,由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <-3,x ≥3或x ≤2,解得x <-3或1<x ≤2或x ≥3, 所以x 的取值范围是x <-3或1<x ≤2或x ≥3.8.下列结论:①若命题p :∃x ∈R ,tan x =1;命题q :∀x ∈R ,x 2-x +1>0.则命题“p ∧(⌝q )”是假命题;②已知直线l 1:ax +3y -1=0,l 2:x +by +1=0,则l 1⊥l 2的充要条件是a b=-3; ③命题“若x 2-3x +2=0,则x =1”的逆否命题:“若x ≠1,则x 2-3x +2≠0”.其中正确结论的序号为________.答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题,命题q 为真命题,所以p ∧(綈q )为假命题,故①正确;②当b =a =0时,有l 1⊥l 2,故②不正确;③正确.所以正确结论的序号为①③.9.已知c >0,且c ≠1,设p :函数y =c x 在R 上单调递减;q :函数f (x )=x 2-2cx +1在⎝⎛⎭⎫12,+∞上为增函数,若“p 且q ”为假,“p 或q ”为真,求实数c 的取值范围.解 ∵函数y =c x 在R 上单调递减,∴0<c <1.即p :0<c <1,∵c >0且c ≠1,∴綈p :c >1.又∵f (x )=x 2-2cx +1在⎝⎛⎭⎫12,+∞上为增函数,∴c ≤12. 即q :0<c ≤12,∵c >0且c ≠1,∴綈q :c >12且c ≠1. 又∵“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,∴p 真q 假或p 假q 真.①当p 真,q 假时,{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1=⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. ②当p 假,q 真时,{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12=∅. 综上所述,实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. 能力提升训练。
专题02 命题与量词、基本逻辑联结词(理)(解析版)

专题02 命题与量词、基本逻辑联结词(理)【考情解读】1.以量词为载体,判断命题的真假;2.考查基本逻辑联结词的含义,在与其他知识交汇处命题. 【重点知识梳理】1.命题:能判断真假的语句叫做命题. 2.全称量词与全称命题(1)全称量词:短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,在逻辑中通常叫做全称量词. (2)全称命题:含有全称量词的命题.(3)全称命题的符号表示:形如“对M 中所有x ,p(x)”的命题,可用符号简记为“∀x ∈M ,p(x)”. 3.存在量词与存在性命题(1)存在量词:短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词。
(2)存在性命题:含有全称量词的命题.(3)存在性命题的符号表示:形如“存在集合M 中的元素x ,q(x)”的命题,用符号简记为 ∃x ∈M ,q(x)。
4.基本逻辑联结词:常用的基本逻辑联结词有“且”、“或”、“非”.5.命题p ∧q ,p ∨q ,綈p 的真假判断6【高频考点突破】考点一:含有逻辑联结词命题真假的判断例1、设命题p :函数y =sin2x 的最小正周期为π2;命题q :函数y =cosx 的图象关于直线x =π2对称.则下列判断正确的是( )A .p 为真B .p ⌝为假C .p ∧q 为假D .p ∨q 为真 【答案】C【规律小结】“p ∧q ”、“p ∨q ”、“p ⌝”形式命题的真假判断步骤:(1)准确判断简单命题p 、q 的真假.(2)判断命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“非p ”的真假.其判断规律是: ①p ∨q :p 、q 中有一个为真,则p ∨q 为真,即一真全真;②p ∧q :p 、q 中有一个为假,则p ∧q 为假,即一假即假;③非p :与p 的真假相反.【变式探究】已知命题p 1:函数y =2x-2-x在R 上为增函数;p 2:函数y =2x+2-x在R 上为减函数, 则在命题q 1:p 1∨p 2,q 2:p 1∧p 2,q 3:(非p 1)∨p 2和q 4:p 1∧(非p 2)中,真命题是( )A .q 1,q 3B .q 2,q 3C .q 1,q 4D .q 2,q 4【解析】选C.p 1为真命题,p 2为假命题,∴非p 1为假命题,非p 2为真命题.故选C.【答案】C 考点二:全称(存在性)命题及真假判断例2.判断下列命题的真假.(1)∀x ∈R ,x 2-x +1>12; (2)∃α,β,cos(α-β)=cos α-cos β;(3)∀x ,y ∈N ,x -y ∈N ; (4)∃x 0,y 0∈Z ,2x 0+y 0=3. 【解析】(1)真命题,x 2-x +1=(x -12)2+34≥34>12. (2)真命题,如α=π4,β=π2符合题意.(3)假命题,如x =1,y =5,但x -y =-4∉N. (4)真命题,如x 0=0,y 0=3符合题意.【规律小结】(1)要判断全称命题是真命题,必须确定对集合中的每一个元素都成立,若是假命题,举一反例即可.(2)要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合中,找到一个元素使得命题成立即可. 【变式探究】写出下列命题的否定形式,并判断其真假.(1)p :∀x ∈R ,x 2-x +14≥0; (2)s :至少存在一个实数x ,使x 3+1=0.【解析】(1)綈p :∃x ∈R ,x 2-x +14<0,是假命题,因为∀x ∈R ,x 2-x +14=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122≥0恒成立.(2)s :∀x ∈R ,x 3+1≠0,是假命题,因为当x =-1时,x 3+1=0. 考点三:求参数的取值范围例3、已知p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的负实根;q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根,若p 或q 为真, p 且q 为假,求实数m 的取值范围.综上,m 的取值范围是m ≥3或1<m ≤2.【误区警示】在求m 的取值范围时,一是不注意端点值,二是由p ,q 的真假列关于m 的不等式不正确. 【方法技巧】1.有的“p 或q ”与“p 且q ”形式的复合命题语句中,字面上未出现“或”与“且”字,此时应从语句的陈述中搞清含义,从而分清是“p 或q ”还是“p 且q ”形式.一般地,若两个命题属于同时都要满足的为“且”,属于并列的为“或”.2.逻辑联结词中,较难理解含义的是“或”,应从以下两个方面来理解概念:(1)逻辑联结词中的“或”与集合中的“或”含义的一致性.(2)结合实例,剖析生活中的“或”与逻辑联结词中的“或”之间的区别.生活中的“或”一般指“或此或彼只必具其一,但不可兼而有之”,而逻辑联结词中的“或”具有“或此或彼或兼有”三种情形.3.“非”的含义就是对“命题的否定”.课标只要求能正确地对“含有一个量词的命题”进行否定.【变式探究】设集合A ={ (x ,y)|(x -4)2+y 2=1},B ={(x ,y)|(x -t)2+(y -at +2)2=1},如果命题“∃t ∈R ,A ∩B ≠∅”是真命题,则实数a 的取值范围是________. 答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,43【真题感悟】1.【2015新课标1】设命题p :2,2nn N n ∃∈>,则p ⌝为( )A.2,2n n N n ∀∈>B.2,2n n N n ∃∈≤C.2,2n n N n ∀∈≤D.2,=2nn N n ∃∈ 【答案】C 【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤,故选C.2.【2015浙江】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是( )A.**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n >B.**,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C.**00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D.**00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n > 【答案】D. 【解析】根据全称命题的否定是特称命题,可知选D.3.【2014陕西】原命题为“若z 1,z 2互为共轭复数,则|z 1|=|z 2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A.真,假,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假 【答案】B4.【2014重庆】已知命题p :对任意x ∈R ,总有2x>0,q :“x>1”是“x>2”的充分不必要条件, 则下列命题为真命题的是( )A .p ∧qB .非p ∧非qC .非p ∧qD .p ∧非q 【答案】D5.【2013湖北】在一次跳伞中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”, q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A .(⌝p)∨(⌝q)B .p ∨(⌝q)C .(⌝p)∧(⌝q)D .p ∨q 【答案】A 【解析】“至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”,可知选A. 【押题专练】1.下列命题中的假命题是( ).A .∃x 0∈R ,lgx 0=0B .∃x 0∈R ,tan x 0=1C .∀x ∈R ,x 3>0 D .∀x ∈R,2x>0 【答案】C2. 已知命题p :函数f(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -log 13x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0,13内存在零点,命题q :存在负数x 使得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .给出下列四个命题:①p 或q ;②p 且q ;③p 的否定;④q 的否定.其中真命题的个数是( )A .1B .2C .3D .4 【解析】命题p 为假命题,命题q 也为假命题.利用真值表判断.【答案】B 3.命题“∀x >0,x 2+x >0”的否定是( ).A.∃x 0>0,x20+x 0>0B.∃x 0>0,x20+x 0≤0C.∀x >0,x 2+x ≤0D.∀x ≤0,x 2+x >0【解析】根据全称命题的否定是特称命题,可知该命题的否定是:∃x 0>0,x20+x 0≤0.【答案】B 4.已知p :|x -a|<4;q :(x -2)(3-x)>0,若非p 是非q 的充分不必要条件,则a 的取值范围为( ).A.a <-1或a >6B.a ≤-1或a ≥6C.-1≤a ≤6D.-1<a <6【解析】解不等式可得p :-4+a <x <4+a ,q :2<x <3,因此非p :x ≤-4+a 或x ≥4+a ,非q :x ≤2或x ≥3,于是由非p 是非q 的充分不必要条件,可知2≥-4+a 且4+a ≥3,解得-1≤a ≤6.【答案】C 5.若函数f(x)=-xe x,则下列命题正确的是( )A.∀a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,1e ,∃x ∈R ,f(x)>aB.∀a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,+∞,∃x ∈R ,f(x)>aC.∀x ∈R ,∃a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,1e ,f(x)>aD.∀x ∈R ,∃a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,+∞,f(x)>a 【解析】f ′(x)=-e x(x +1),由于函数f(x)在(-∞,-1)上递增,在(-1,+∞)上递减, 故f(x)max =f(-1)=1e ,故∀a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,1e ,∃x ∈R ,f(x)>a.【答案】A6.若函数f(x)=x 2+a x(a ∈R ),则下列结论正确的是( ).A.∀a ∈R ,f(x)在(0,+∞)上是增函数B.∀a ∈R ,f(x)在(0,+∞)上是减函数C.∃a ∈R ,f(x)是偶函数D.∃a ∈R ,f(x)是奇函数 【答案】C7.已知p :∃x 0∈R ,mx 20+2≤0.q :∀x ∈R ,x 2-2mx +1>0,若p ∨q 为假命题,则实数m 的取值范围是( ) A .[1,+∞) B .(-∞,-1] C .(-∞,-2] D .[-1,1] 【答案】A8.若命题“∃x 0∈R,2x20-3ax 0+9<0”为假命题,则实数a 的取值范围是________.【解析】因为“∃x 0∈R,2x20-3ax 0+9<0”为假命题,则“∀x ∈R,2x 2-3ax +9≥0”为真命题.因此Δ=9a 2-4×2×9≤0,故-22≤a ≤2 2.【答案】-22≤a ≤2 29.已知命题p :x 2+2x -3>0;命题q :13-x >1,若非q 且p 为真,则x 的取值范围是________.【答案】(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)10.已知命题p :f(x)=1-2m x 在区间(0,+∞)上是减函数;命题q :不等式(x -1)2>m 的解集为R .若命题“p ∨q ”为真,命题“p ∧q ”为假,则实数m 的取值范围是________.【答案】0≤m<1211. 已知定义在R 上的函数f(x),写出命题”若对任意实数x 都有f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数”的否定: .【解析】所给命题是全称命题,其否定为存在性命题. 【答案】若存在实数0x ,使得00()()f x f x -≠,则f(x)不是偶函数12.已知命题“∀x ∈R ,x 2-5x +152a >0”的否定为假命题,则实数a 的取值范围是________.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫56,+∞13.已知命题p :∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0,命题q :∃x 0∈R ,x20+2ax 0+2-a =0,若“p 且q ”为真命题, 求实数a 的取值范围.14.写出下列命题的否定,并判断真假.(1)q :∀x ∈R ,x 不是5x -12=0的根;(2)r :有些质数是奇数;(3)s :∃x 0∈R ,|x 0|>0.【解析】(1)非q :∃x 0∈R ,x 0是5x -12=0的根,真命题.(2)非r :每一个质数都不是奇数,假命题. (3)非s :∀x ∈R ,|x|≤0,假命题.15.设命题p :函数f(x)=x 3-ax -1在区间[-1,1]上单调递减;命题q :函数y =ln(x 2+ax +1)的值域是R . 如果命题p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,求a 的取值范围.16.已知m ∈R ,命题p:对任意[08]x ∈,,不等式log 13(1)x +≥23m m-;命题q:对任意x ∈R ,不等式|1+sin2x-cos2x|2m ≤|cos()4x π-|恒成立. (1)若p 为真命题,求m 的取值范围; (2)若p 且q 为假,p 或q 为真,求m 的取值范围.故m 的取值范围是[1(2)⋃,+∞.。
考点03 高中数学-逻辑联结词、全称量词与存在量词-考点总结及习题

考点03逻辑连接词、全称量词与存在量词【命题趋势】此考点重点考查方向主要体现在:1.简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义.(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【重要考向】一、判断复合命题的真假二、判断全称命题与特称命题的真假三、含有一个量词的命题的否定判断复合命题的真假1.常见的逻辑联结词:或、且、非一般地,用联结词“且”把命题p和q联结起来,得到一个新命题,记作p q∧,读作“p且q”;用联结词“或”把命题p和q联结起来,得到一个新命题,记作p q∨,读作“p或q”;对一个命题p的结论进行否定,得到一个新命题,记作p⌝,读作“非p”.2.复合命题的真假判断“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表(真值表)来确定:p q p⌝q⌝p q∨p q∧()p q⌝∨()p q⌝∧()()p q⌝∨⌝()()p q⌝∧⌝真真假假真真假假假假真假假真真假假真真假假真真假真假假真真假假假真真假假真真真真【巧学妙记】1.(2021·重庆高三其他模拟)已知“p q ∧”是假命题,则下列选项中一定为真命题的是()A .p q ∨B .()()p q ⌝∧⌝C .()p q⌝∨D .()()p q ⌝∨⌝【答案】D 【分析】先根据p q ∧的真假判断出,p q 的真假情况,然后逐项分析是否为真命题.【详解】因为p q ∧为假命题,所以,p q 中至少有一个假命题;A .当,p q 均为假命题时,p q ∨也为假命题;B .当,p q 为一真一假时,()()p q ⌝∧⌝为假命题;C .当p 为真命题,q 为假命题时,()p q ⌝∨为假命题;D .因为,p q ⌝⌝至少有一个为真,所以()()p q ⌝∨⌝为真命题,故选:D.2.(2021·河南安阳市·高三三模(理))已知命题:p “x ∀∈R ,2220x x a -+>”,命题含有逻辑联结词的命题的真假判断:(1)p q ∧中一假则假,全真才真.(2)p q ∨中一真则真,全假才假.(3)p 与p ⌝真假性相反.注意:命题的否定是直接对命题的结论进行否定;而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念.:q “函数2lg 22a y x ax ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的定义域为R ”,若p q ∧为真命题,则实数a 的取值范围是()A .()1,4B .()1,3C .()1,2D .()2,4【答案】A 【分析】由p 真得()22min20x x a+>-求出a 的取值范围,由q 真得x ∀∈R ,2202a x ax +>-,求出a 的取值范围,再取它们交集即可.【详解】由x ∀∈R ,2220x x a -+>得()22min20x x a +>-,则221210a -⨯+>,所以1a >或1a <-由函数2lg 22a y x ax ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的定义域为R ,则x ∀∈R ,2202a x ax +>-,所以a =0或2044202a a a a >⎧⎪⇒≤<⎨∆=-⨯⨯<⎪⎩因为p q ∧为真命题,所以,p q 均真,则14a <<故选:A3.(2021·吉林长春市·东北师大附中高三月考(理))已知a ,b ,c 是实数,设有下列四个命题:1p :“a b >”是“22a b >”的充分条件;2p :“a b >”是“22a b >”的必要条件;3p :“a b >”是“22ac bc >”的充分条件;4p :“a b >”是“a b >”的充要条件.则下述命题中所有真命题的序号是______;①14p p ∧;②12p p ∧;③23p p ⌝∨;④34p p ⌝∨⌝.【答案】③④【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断命题1p 、2p 、3p 、4p 的真假,再根据复合命题真假判断的结论即可求解.【详解】解:对命题1p 、2p :因为a b >¿22a b >,反之22a b >¿a b >,所以“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件,所以1p 、2p 均为假命题;对命题3p :因为a b >¿22ac bc >,反之22ac bc >⇒a b >,所以“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件,所以命题3p 为假命题;对命题4p :因为a b >¿a b >,反之a b >¿a b >,所以“a b >”是“a b >”的既不充分也不必要条件,所以命题4p 为假命题;所以,根据复合命题真假判断的结论可得①②为假命题,③④为真命题.故答案为:③④.判断全称命题与特称命题1.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等∃2.同一个全称命题、特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法,在实际应用中可以灵活地选择.全称命题“()x A p x ∀∈,”特称命题“()00x A q x ∃∈,”表述方法对所有的()x A p x ∈,成立存在()00x A q x ∈,成立对一切()x A p x ∈,成立至少有一个()00x A q x ∈,成立对每一个()x Ap x ∈,成立对有些()00x A q x ∈,成立任选一个()x A p x ∈,成立对某个()00x A q x ∈,成立凡x A ∈,都有()p x 成立有一个0x A ∈,使()0q x 成立【巧学妙记】4.(2021·全国高三其他模拟)下列命题为真命题的是()A .2,||10x x x ∀∈-+≤R B .1,11cos x x∀∈-≤≤R C .200,(ln )0x x ∃∈≤R D .00,sin 3x x ∃∈=R 【答案】C 【分析】分别判断已知四个命题的真假即可.【详解】解:对于A :因为2213||1(||)024x x x -+=-+>恒成立,所以2,||10x x x ∀∈-+≤R 是假命题;对于B :当3x π=时,12cos x =,所以1,11cos x x ∀∈-≤≤R 是假命题;对于C :当01x =时,0ln 0x =,所以200,(ln )0x x ∃∈≤R 是真命题;对于D :因为1sin 1x -≤≤,所以00,sin 3x x ∃∈=R 是假命题;故选:C .5.(2021·浙江高一期末)(多选)已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,函数()cos 2f x x x π=+-,则下列选项正确的是()A .()000,,02x f x π⎛⎫∃∈> ⎪⎝⎭B .()000,,02x f x π⎛⎫∃∈< ⎪⎝⎭要确定一个全称命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称命题是假命题.要确定一个特称命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该特称命题是假命题.C .()000,,02x f x π⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭D .()000,,02x f x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭【答案】BD 【分析】求出导函数()'f x ,确定函数的单调性后判断.【详解】0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()1sin 0f x x '=->,()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增,(0)102f π=-<,02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π,所以0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()02f x f π⎛⎫<= ⎪⎝⎭恒成立.因此AC 错,BD 正确.故选:BD .含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,如下所示:命题命题的否定,()x M p x ∀∈00,()x M p x ∃∈⌝00,()x M p x ∃∈,()x M p x ∀∈⌝【巧学妙记】6.(2021·浙江高一期末)写出命题的否定,,10x R x ∃∈+≥,____________.【答案】,10x R x ∀∈+<.【分析】对特称量词的否定用全称量词,直接写出命题的否定.【详解】由“,10x R x ∃∈+≥”得到命题的否定:“,10x R x ∀∈+<”.故答案为:,10x R x ∀∈+<.【点睛】全称量词命题的否定是特称(存在)量词命题,特称(存在)量词命题的否定是全称量词命题.7.(2021·浙江高一期末)命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是()A .20,10x x ax ∃≥+-<B .20,10x x ax ∃≥+-≥C .20,10x x ax ∃<+-<D .20,10x x ax ∃<+-≥【答案】C 【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可.【详解】根据全称命题的否定是特称命题,所以“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是“20,10x x ax ∃<+-<”.故选:C8.(2021·浙江高一期末)命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真,则实数a 的范围是__________【答案】30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】将问题转化为“不等式2430ax ax ++>对x ∈R 恒成立”,由此对a 进行分类讨论求解出a 的取值范围.【详解】由题意知:不等式2430ax ax ++>对x ∈R 恒成立,当0a =时,可得30>,恒成立满足;当0a ≠时,若不等式恒成立则需2016120a a a >⎧⎨∆=-<⎩,解得304a <<,所以a 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭,故答案为:30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】思路点睛:形如()200ax bx c ++<>的不等式恒成立问题的分析思路:(1)先分析0a =的情况;(2)再分析0a ≠,并结合∆与0的关系求解出参数范围;(3)综合(1)(2)求解出最终结果.一、单选题1.(2021·全国高三专题练习(文))下列关于命题的说法中正确的是()①对于命题P :x R ∃∈,使得210x x ++<,则:P x R ⌝∀∈,均有210x x ++≥②“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件③命题“若2320x x -+=,则1x =”的逆否命题是“若1x ≠,则2320x x -+≠”④若p q ∧为假命题,则p 、q 均为假命题A .①②③B .②③④C .①②③④D .①③2.(2020·全国高三专题练习(文))命题“0x R ∃∈,207210x x -+≤”的否定是()A .2000,7210x x x ∃∈-+>R B .2,7210x x x ∀∈-+≤R C .2000,7210x x x ∃∈-+≥R D .2,7210x x x ∀∈-+>R 3.(2020·全国高三专题练习(文))已知命题p :200l ,g(1)0x x x -∃+∈<R ,则p ⌝及其真假分别为()A .200l ,g(1)0x x x -∃+∈≥R ,假B .200l ,g(1)0x x x -∃+∈≥R ,真C .21)0,lg(x x x ∀-+∈≥R ,假D .21)0,lg(x x x ∀-+∈≥R ,真4.(2021·全国高三专题练习(文))下列有关命题的说法正确的是()A .“3x =”是“260x x --=”的必要不充分条件B .随机变量ξ服从正态分布1(0)N ,,若(1)P p ξ>=,则(10)1P p ξ-≤≤=-C .命题“x R ∃∈,使得2250x x ++<”的否定是“对x R ∀∈,均有2250x x ++<”D .命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.5.(2021·全国高三专题练习(文))下列四个命题:①已知,a b 是两条不同的直线,α是一个平面,若,b a b α⊥⊥,则//a α.②命题“0,(2)0x x x ∀>->”的否定是“()0000,20x x x ∃>-≤”.③函数()sin 22f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心为,0()4k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .④函数1,1()23,1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩为R 上的增函数.其中真命题的个数是()A .0个B .1个C .2个D .3个二、多选题6.(2021·全国高三专题练习(文))已知下列几个命题:其中结论正确的是()A .ABC 的两个顶点为()()4,0,4,0AB -,周长为18,则C 点轨迹方程为221259x y +=;B .“1x >”是“||0x >”的必要不充分条件;C .已知命题:33,:34p q ≥>,则p q ∨为真,p q ∧为假,p ⌝为假;D .双曲线221916x y -=-的离心率为54.7.(2021·全国高三专题练习(文))对下列命题的否定说法正确是()A .:0:0p x R x p x R x ∀∈>⌝∃∈,;,B .2211p x R x p x R x ∃∈-⌝∃∈>-:,;:,C .p :如果2x <,那么1x p <⌝;:如果2x <,那么1x D .:p x R ∀∈,使2210:10x p x R x +≠⌝∃∈+=;,8.(2021·全国高三专题练习(文))下列命题中为真命题的是()A .“2x >且3y >”是“5x y +>”的充要条件;B .“2,3k k Z παπ=+∈”是“tan α=”的充分不必要条件;C .“2,10x R x x ∀∈+->”的否定是“2,10x R x x ∃∈+-<”;D .函数1()22xf x x=--在区间(1,2)上有且只有一个零点.三、填空题9.(2021·全国高三专题练习(文))若对[]1,2x ∀∈,都有20ax x -≤,则实数a 的取值范围是___________.10.(2021·全国高三专题练习(文))已知命题“存在x ∈R ,使220ax x -+≤”是假命题,则实数a 的取值范围是___________.11.(2021·全国高三专题练习(文))若命题p ;“2,210x x mx ∀∈-+≥R ”,则p ⌝是________.四、解答题12.(2020·全国高三专题练习(文))已知命题12:,p x x 是方程210x mx --=的两个实根,且不等式21243||a a x x +-≤-对任意m R ∈恒成立;命题q :不等式2210ax x +->有解,若命题p q ∨为真,p q ∧为假,求实数a 的取值范围.一、单选题1.(2011·北京高考真题(文))若p 是真命题,q 是假命题,则A .p q ∧是真命题B .p q ∨是假命题C .p ⌝是真命题D .q ⌝是真命题2.(2013·湖北高考真题(文))在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A .(¬p )∨(¬q )B .p ∨(¬q )C .(¬p )∧(¬q )D .p ∨q3.(2012·山东高考真题(文))设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为2π;命题:q 函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是A .p 为真B .q ⌝为假C .p q ∧为假D .p q ∨为真4.(2014·重庆高考真题(文))已知命题:p 对任意x ∈R ,总有0x ≥;:1q x =是方程20x +=的根则下列命题为真命题的是A .p q∧⌝B .p q⌝∧C .p q⌝∧⌝D .p q∧5.(2014·辽宁高考真题(文))设,,a b c是非零向量,已知命题P :若0a b ⋅= ,0b c ⋅=,则0a c ⋅=;命题q :若//,//a b b c,则//a c ,则下列命题中真命题是A .p q∨B .p q∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ∨⌝6.(2012·湖北高考真题(文))命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是A .任意一个有理数,它的平方是有理数B .任意一个无理数,它的平方不是有理数C .存在一个有理数,它的平方是有理数D .存在一个无理数,它的平方不是有理数7.(2017·山东高考真题(文))已知命题:,p x R ∃∈210x x -+≥;命题:q 若22a b <,则a b <.下列命题为真命题的是()A .p q∧B .p q⌝∧C .p q⌝∧D .p q⌝⌝∧8.(2013·全国高考真题(文))已知命题p :x R ∀∈,23x x <;命题q :x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是:A .p q∧B .p q⌝∧C .p q∧⌝D .p q⌝∧⌝9.(2011·辽宁高考真题(文))已知命题:N,21000n P n ∃∈>,则P ⌝为()A .N,2100n n ∀∈B .N,21000n n ∀∈>C .N,21000n n ∃∈D .N,21000n n ∃∈<10.(2012·安徽高考真题(文))命题“存在实数x,,使x >1”的否定是()A .对任意实数x,都有x >1B .不存在实数x ,使x ≤1C .对任意实数x,都有x ≤1D .存在实数x ,使x ≤111.(2009·辽宁高考真题(文))下列4个命题111:(0,),()()23x x p x ∃∈+∞<2:(0,1),p x ∃∈31p :(0,),()2x x ∀∈+∞>411:(0,),()32x p x ∀∈<其中的真命题是A .13,p p (B .14,p p C .23,p p D .24,p p 二、填空题12.(2010·安徽高考真题(文))命题“存在x ∈R ,使得x 2+2x+5=0”的否定是一、单选题1.(2021·全国高三其他模拟)命题“1x ∀>,210x ->”的否定是()A .1x ∃>,210x -≤B .1x ∃≤,210x ->C .1x ∀>,210x -≤D .1x ∀>,210x ->2.(2021·江西高三其他模拟(文))已知命题:0p x ∀>,2045x x+≥,则p 的否定为()A .00x ∃<,002045x x +<B .0x ∀>,205x x+<C .0x ∀≤,2045x x+<D .00x ∃>,002045x x +<3.(2021·全国高三其他模拟(文))下列命题为真命题的是()A .x R ∀∈,2||10x x -+≤B .x R ∀∈,111cos x-≤≤C .0x R ∃∈,20(ln )0x ≤D .0x R ∃∈,0sin 3x =4.(2021·云南红河哈尼族彝族自治州·高三三模(文))下列说法中,正确的个数为()①若a ,b 是非零向量,则“0a b ⋅> ”是“a 与b的夹角为锐角”的充要条件;②命题“在ABC 中,若sin sin A B >,则A B >”的逆否命题为真命题;③已知命题p :2000,20x R x x ∃∈++≤,则它的否定是p ⌝:2,20x R x x ∀∉++>.A .0B .1C .2D .35.(2021·黑龙江齐齐哈尔市·高三二模(文))下列说法正确的是()A .“1x ∀<,11x>”的否定为“01x ∃≥,011x ≤”B .“A B >”是“sin sin A B >”的必要条件C .若1x <,则21x <的逆命题为真命题D .若“x a >”是“2log 2x >”的充分条件,则4a ≤6.(2021·甘肃兰州市·高三其他模拟(文))已知命题:p “,ab 是两条不同的直线,α是一个平面,若,b a b α⊥⊥,则//a α”,命题:q “函数1,1()23,1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩,为R 上的增函数”,下列说法正确的是A .“p q ⌝∧”为真命题B .“p q ∧⌝”为真命题C .“p q ∧”为真命题D .“p q ⌝∧⌝”为真命题7.(2021·四川成都市·高三三模(文))命题p :函数()1x f x a -+=(0a >且1a ≠)的图象恒过定点()0,1;命题q :当()2,2t ∈-时,函数()231g x x tx =-+在区间()3,3-上存在最小值.则下列命题为真命题的是()A .p q∧B .()p q ∨⌝C .()p q⌝∨D .()()p q ⌝∧⌝8.(2021·四川攀枝花市·高三一模(文))下列说法中正确的是()A .命题“p 且q ”为真命题,则p 、q 恰有一个为真命题B .命题“:p x R ∀∈,210x +≥”,则“:p ⌝x R ∀∈,210x +<”C .命题“函数()sin x x x f -=()x R ∈有三个不同的零点”的逆否命题是真命题D .设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则“10a >”是“32S S >”的充分必要条件9.(2021·宁夏吴忠市·高三一模(文))已知命题p :“2x >”是“2320x x -+≥”的充分不必要条件;命题q :x ∀∈R ,2210x x ++>.则下列命题是真命题的是()A .p q∨B .p q∧C .()p q⌝∨D .()()p q ⌝∧⌝10.(2021·山西临汾市·高三二模(文))已知p :20,410x x x ∀>++>恒成立,q :2000,210x x x ∃∈++=R 有解,则下列命题中正确的是()A .p q⌝∧B .p q∧C .p q∧⌝D .p q⌝∧⌝二、填空题11.(2021·全国高三其他模拟(文))命题“2,470x x x ∀∈++≠R ”的否定是___________.12.(2021·河北石家庄市·高三二模)若命题“0x ∃∈R ,20020x x m -+<”为真命题,则实数m 的取值范围为__________.13.(2021·山西太原市·高三三模(文))若命题“R x ∀∈,210x ax ++≥”是假命题,则实数a 的取值范围是___________.14.(2021·临川一中实验学校高三其他模拟(文))已知命题:p x ∃∈R ,20x x a ++≤,命题1:,4q a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,则p ⌝是q 的___________条件.15.(2021·内蒙古包头市·高三一模(文))设有下列四个命题:1p :空间共点的三条直线不一定在同一平面内.2p :若两平面有三个不共线的公共点,则这两个平面重合.3p :若三个平面两两相交,则交线互相平行.4p :若直线//a 平面α,直线a ⊥直线b ,则直线b ⊥平面α.则下述命题中所有真命题的序号是______.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨参考答案跟踪训练1.A 【分析】由特称命题的否定为全称命题,即可判断①;运用充分必要条件的定义,即可判断②;由原命题若p 则q 的逆否命题为若非q 则非p ,即可判断③;由p q ∧为假命题,可得p ,q 中至少一个为假命题,即可判断④.【详解】①对于命题:p x R ∃∈,使得210x x ++<,则:p x R ⌝∀∈均有210x x ++,故①正确;②由“1x =”可推得“2320x x -+=”,反之由“2320x x -+=”可能推出2x =,则“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件,故②正确;③命题“若2320x x -+=,则1x =”的逆否命题是“若1x ≠,则2320x x -+≠”,故③正确;④若p q ∧为假命题,则p ,q 至少有一个为假命题,故④错误.则正确的命题的有①②③.故选:A 2.D 【分析】先改量词“∃”为“∀”,再对结论进行否定即可.【详解】先改量词“∃”为“∀”,再对结论进行否定,得命题“0x R ∃∈,207210x x -+≤”的否定为x R ∀∈,27210x x -+>.故选:D .3.C 【分析】根据特称命题是全称命题,然后取特殊值即可得到结果.【详解】将“∃”改为“∀”,同时否定“<”即可得到p ⌝为:21)0,lg(x x x ∀-+∈≥R .取12x =,则2314x x -+=,所以2lg(1)0x x -+<,即命题p ⌝为假命题.故选:C.4.D 【分析】根据选项一一判断即可.【详解】A 选项,260x x --=的解集为13x =或22x =-,则“3x =”是“260x x --=”的充分不必要条件,B 选项,随机变量ξ服从正态分布1(0)N ,,若(1)P p ξ>=,则1(10)2P p ξ-≤≤=-,C 选项,命题“x R ∃∈,使得2250x x ++<”的否定是“对x R ∀∈,均有2250x x ++≥”,D 选项,命题“若x y =,则sin sin x y =”是真,则它的逆否命题也为真命题,故选:D .5.B 【分析】由线面位置关系的判定,可判定①不正确;根据全称命题与存在性命题的关系,可判定②是正确的;由三角函数的性质,可判定③不正确;根据分段函数的性质,可判定④不正确.【详解】对于①中,若b α⊥,a b ⊥r r,则//a α或a α⊂,所以①不正确;对于②中,根据全称命题与存在性命题的关系,可得命题“0,(2)0x x x ∀>->”的否定是“()0000,20x x x ∃>-≤”,所以②是正确的;对于③中,令2,2x k k Z ππ+=∈,解得,42k x k Z ππ=-+∈,即函数()f x 的对称中心为(,0),42k k Z ππ-+∈,所以③不正确;对于④中,当1x =,11120,2131y ey -===⨯-=-,此时12y y >,所以函数1,1()23,1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩不是R 上的增函数,所以④不正确.故选:B.6.CD 【分析】根据椭圆的定义对A 选项进行判断;根据必要不充分条件的定义对B 选项进行判断;根据命题的真假判断C 选项,根据双曲线的离心率公式判断D 选项.【详解】A :ABC 的两个顶点为()()4,0,4,0AB -,周长为18,则C 点轨迹方程为()2215259x y x +=≠±,当5x =±时,构不成三角形,所以A 选项错误;B :当0.1x =时,0x >,但1x <,故B 选项错误;C :已知命题:33p ≥为真命题,:34q >为假命题,则p q ∨为真,p q ∧为假,p ⌝为假,C 选项正确;D :双曲线221916x y -=-,标准方程为221169y x -=,离心率54e ===,D选项正确;故选:CD.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a ,c ,代入公式ce a=;②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).7.ACD 【分析】根据命题的否定的定义判断.【详解】解::,0;:,0p x R x p x R x ∀∈>⌝∃∈,A 正确;22:1;:1P x R x p x R x ∃∈-⌝∀∈>-,,,B 错误;:p 如果2x <,那么1;:x p <⌝如果2x <,那么1x ,C 正确;:p x R ∀∈,使2210;:,10x p x R x +≠⌝∃∈+=,D 正确.故选:ACD.【点睛】易错点睛:本题考查命题的否定.掌握命题的否定的定义是解题关键.命题的否定只要否定命题的结论,但其中钱黍量词与存在量词需互换,否则易出错.8.BD 【分析】A :根据充要条件的定义,结合不等式的性质和特例法进行判断即可;B :根据充分不必要条件的定义,结合特殊角的正切值和特例法进行判断即可;C :根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可;D :根据函数的单调性和零点存在原理进行判断即可.【详解】A :显然由2x >且3y >能推出5x y +>,但是由5x y +>不一定能推出2x >且3y >,例如当6x =且0y =时,显然5x y +>成立,但是3y >不成立,故本命题是假命题;B :显然由2,3k k Z παπ=+∈能推出tan α=tan α=2,3k k Z παπ=+∈,比如当43πα=时,显然tan α=,由412332k k πππ=+⇒=,显然此时k 的值不是整数,故本命题是真命题;C :因为“2,10x R x x ∀∈+->”的否定是“2,10x R x x ∃∈+-≤”,所以本命题是假命题;D :显然函数1()22xf x x=--在区间(1,2)上是单调递增函数,因为213(1)(2)(212)(22)022f f ⋅=----=-<,所以函数1()22xf x x=--在区间(1,2)上有且只有一个零点,因此本命题是真命题.故选:BD9.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】参变分离,即可得到1a x≤对[]1,2x ∀∈都成立,求出()g x 的最小值,即可得解.【详解】解:因为[]1,2x ∀∈,都有20ax x -≤,所以[]1,2x ∀∈,都有1a x≤,令()1g x x =,[]1,2x ∈,因为()1g x x=,在[]1,2x ∈上单调递减,所以()()min 122g x g ==,所以12a ≤,即实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦;故答案为:1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10.18a >【分析】转化为命题“R x ∀∈,使得220ax x -+>”是真命题,根据二次函数知识列式可解得结果.【详解】因为命题“存在x ∈R ,使220ax x -+≤”是假命题,所以命题“R x ∀∈,使得220ax x -+>”是真命题,当0a =时,得2x <,故命题“R x ∀∈,使得220ax x -+>”是假命题,不合题意;当0a ≠时,得0180a a >⎧⎨∆=-<⎩,解得18a >.故答案为:18a >【点睛】关键点点睛:转化为命题“R x ∀∈,使得220ax x -+>”是真命题求解是解题关键.11.2,210x R x mx ∃∈-+<【分析】根据全称命题的否定变换形式即可得出答案.【详解】由命题p :“2,210x x mx ∀∈-+≥R ”,则p ⌝为:2,210x R x mx ∃∈-+<.故答案为:2,210x R x mx ∃∈-+<12.[5,1](1,)--⋃+∞.【分析】首先可求得p ,q 的等价的a 的取值范围,再根据题意可得p ,q 中一真一假,即可求得a 的取值范围.【详解】p :等式21243||a a x x +-≤-对任意m R ∈恒成立212min 43||a a x x ⇔+-≤-⇔243a a +-≤243251a a a ⇔+-≤⇔-≤≤,q :显然0x =不是不等式的解,不等式2210ax x +->有解22212111()2[()1]1x a x x x x -⇔>=-⋅=--2min 1([()1]1)1a a x⇔>--⇔>-,又∵p q ∨为真,p q ∧为假,∴p ,q 中一真一假,∴实数a 的取值范围是[5,1](1,)--⋃+∞.真题再现1.D 【详解】试题分析:因为p 是真命题,q 是假命题,所以p q ∧是假命题,选项A 错误,p q ∨是真命题,选项B 错误,p ⌝是假命题,选项C 错误,q ⌝是真命题,选项D 正确,故选D.考点:真值表的应用.2.A 【详解】试题分析:由“至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义可知是“甲学员没有降落在指定范围或乙学员没有降落在指定范围”,故应选A.考点:复合命题的构成及运用.【易错点晴】本题是一道命题的真假和复合命题的真假的实际运用问题.求解时先搞清楚所给的两个命题的内容,再选择复合命题的形式将所求问题的表达方式.首先欲求问题中的命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义是指“有一位学员或两位学员没有降落”,因此将其已知两个命题的内容进行联系,从而将问题转化为“甲学员没有降落在指定范围或乙学员没有降落在指定范围”.3.C 【详解】试题分析:函数sin 2y x =的最小正周期为π,所以命题p 为假命题,由余弦函数的性质可知命题q 为假命题,所以p q ∧为假命题,故选C.考点:1.三角函数的图象与性质;2.逻辑联结词与命题.4.A 【详解】由绝对值的意义可知命题p 为真命题;由于,所以命题q 为假命题;因此为假命题,为真命题,“且”字联结的命题只有当两命题都真时才是真命题,所以答案选A .5.A 【详解】试题分析:由题意可知,命题P 是假命题;命题q 是真命题,故p q ∨为真命题.考点:命题的真假.6.B 【详解】试题分析:由命题的否定的定义知,“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数,它的平方不是有理数.考点:命题的否定.7.B根据原命题的描述知p 、q ⌝是真命题、p ⌝、q 是假命题,即可判断选项正误;【详解】命题:,p x R ∃∈210x x -+≥;知:p 是真命题,p ⌝是假命题;命题:q 若22a b <,则a b <;知:q 是假命题,q ⌝是真命题;∴p q ⌝∧是真命题.故选:B 【点睛】本题考查了命题的真假性判断,根据原命题的真假性,应用复合命题的真假判断方法,属于简单题;8.B 【详解】0x =可知:命题p :x R ∀∈,23x x <为假命题,由函数图象可知命题32:,1q x R x x ∃∈=-为真命题,所以p q ⌝∧为真命题.考点:命题的真假判断.9.A 【详解】写特称命题的否命题,将存在量词改为全称量词,再否定结果所以命题:N,21000n P n ∃∈>的否定P ⌝为N,2100n n ∀∈故选:A点评:掌握命题的改写方法10.C 【详解】解:特称命题的否定是全称命题,否定结论的同时需要改变量词.∵命题“存在实数x ,使x >1”的否定是“对任意实数x ,都有x ≤1”11.D 【解析】作出函数11()(23x x y y ==与的图象易知命题1p 错误;作出函数1123log log x x y y ==与在(0,1)上图象易知命题2p 正确;当12x =时,∴1122121()log 2<,∴命题3p 错误;作出函数131()log 2x x y y ==与在1(0,)3上图象易知命题4p 正确,故选D12.对任何x ∈R ,都有x 2+2x+5≠0.【详解】因为命题“存在x ∈R ,使得x 2+2x+5=0”是特称命题,根据特称命题的否定是全称命题,可得命题的否定为:对任何x ∈R ,都有x 2+2x+5≠0.故答案为对任何x ∈R ,都有x 2+2x+5≠0.模拟检测1.A 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得选项.【详解】根据全称命题的否定是特称命题得,该命题的否定为1x ∃>,210x -≤,故选:A .2.D 【分析】由全称命题的否定可直接写得结论.【详解】先变量词,将“∀”改为“∃”,再改结论,将“20x x+≥改为“0020x x +<,则p 的否定为:0x ∃>,0020x x +<.故选:D.3.C 【分析】全称命题需满足任意性,有一个值不满足即是假命题,特称命题是有一个满足就是真命题,依次判断选项.【详解】对于A :因为2213||1(||)024x x x -+=-+>恒成立,所以2,||10x x x ∀∈-+≤R 是假命题;对于B :当3x π=时,12cos x =,所以1,11cos x x ∀∈-≤≤R 是假命题;对于C :当01x =时,0ln 0x =,所以200,(ln )0x x ∃∈≤R 是真命题;对于D :因为1sin 1x -≤≤,所以00,sin 3x x ∃∈=R 是假命题.故选:C .4.B 【分析】①用平面向量的数量积和夹角的应用判断;②用正弦定理以及大边对大角判断;③用含有特称量词的命题的否定判定即可.【详解】对于①,因为两向量是非零向量,当两向量同向时,依然可以得到0a b ⋅>,故①错;对于②,sin sin A B a b A B >⇔>⇔>,所以②对;对于③,p ⌝:R x ∀∈,220x x ++>,所以③错;故选:B.5.C 【分析】根据命题的否定,四种命题以及命题的充分必要性逐一进行判断.【详解】对于A ,1x ∀<,11x>的否定为01x ∃<,011x ≤,故A 错误;对于B ,“A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件,故B 错误;对于C ,若1x <,则21x <的逆命题为若21x <,则1x <,因为21x <时11x -<<,所以1x <成立,故C 正确;对于D ,由2log 2x >得4x >,若x a >是2log 2x >的充分条件,则4a ≥,故D 错误,故选:C.6.D 【分析】依题意得p 是假命题;因为312<又()312f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,得q 是假命题,则可判断正确结果.【详解】若,b a b α⊥⊥,则//a α或a α⊂,所以命题p 是假命题;函数1,1()23,1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩,当1x =时()011f e ==,当32x =时3323022f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭,因为312<又()312f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以()f x 在R 上不是增函数,故q 是假命题;所以p ⌝与q ⌝是真命题,故“p q ⌝∧⌝”为真命题故选:D .7.C 【分析】首先根据指数函数的定点问题判断命题p 的真假;再根据二次函数的性质判断命题q 的真假,最后根据复合命题的真假即可求出结果.【详解】()1x f x a -+=,当1x =时,()1111f a -+==,所以其图象恒过定点()1,1,故命题p 为假命题;()2223931124g x x tx x t ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭,因为()2,2t ∈-,∴()33,32t ∈-,所以二次函数对称轴在区间()3,3-之内,当32x t =时,()g x 取得最小值,故命题q 为真命题.所以p q ∧是假命题,()p q ∨⌝是假命题,()p q ⌝∨是真命题,()()p q ⌝∧⌝是假命题.故选:C.8.D 【分析】A 根据含有逻辑联结词命题真假性进行判断,B 根据全称量词命题的否定来判断,C 利用导数来判断,D 利用等比数列的有关运算来判断.【详解】A 选项,“p 且q ”为真命题,则,p q 都是真命题,所以A 选项错误.B 选项,p 是全称量词命题,其否定是存在量词命题,所以B 选项错误.C 选项,()00f =,()'1cos 0fx x =-≥,()f x 为单调递增函数,只有1个零点,所以原命题是假命题,其逆否命题也是假命题.D 选项,23212312311000S S a a a a a a a q a >⇔++>+⇔>⇔>⇔>.(等比数列公比0q ≠).所以D 选项正确.故选:D 9.A 【分析】解不等式2320x x -+≥可判断p 的真假,特殊值法可以判断q 的真假,根据复合命题的真假可得出答案.【详解】∵2320x x -+≥的解是2x ≥或1x ≤,∴“2x >”是“2320x x -+≥”的充分不必要条件,命题p 是真命题,p ⌝是假命题,∵当1x =-时,2210x x ++=,即存在01x =-,使得200210x x ++=成立,故命题q 是假命题,q ⌝是真命题,所以,A ,p q ∨是真命题;B ,p q ∧是假命题;C ,()p q ⌝∨是假命题;D ,()()p q ⌝∧⌝是假命题.故选:A .10.B 【分析】分别判断命题,p q 的真假,然后由复合命题的真值表判断.【详解】解:已知命题p :20,410x x x ∀>++>恒成立,故p 为真命题,命题q :2000,210x x x ∃∈++=R 有解,当x 0=-1时,方程成立,故命题q 为真命题.故p q ⌝∧为假命题,p q ∧为真命题、p q ∧⌝为假命题、p q ⌝∧⌝为假命题,故选:B .【点睛】方法点睛:本题考查复合命题的真假判断.掌握复合命题的真值表是解题关键.复合命题的真值表:pqp q ∨p q∧p⌝真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真11.200,470x x x ∃∈++=R .【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.【详解】命题“2,470x x x ∀∈++≠R ”的否定是“200,470x x x ∃∈++=R ”,故答案为:200,470x x x ∃∈++=R .12.(),1-∞【分析】根据特称命题为真命题,结合判别式可得结果.【详解】由题意可知,不等式220x x m -+<有解,∴440,1m m ∆=-><,∴实数m 的取值范围为(),1-∞,故答案为:(),1-∞13.(,2)(2,)-∞-+∞ 【分析】先求得命题为真时的等价条件,取补集即可得到为假命题时的参数取值范围.【详解】R x ∀∈,221040[2,2]x ax a a ++≥⇔∆=-≤⇒∈-,故若命题“R x ∀∈,210x ax ++≥”是假命题,则(,2)(2,)a ∈-∞-+∞ 故答案为:(,2)(2,)-∞-+∞ 14.充分不必要【分析】命题p 转化为p ⌝,即二次不等式的恒成立问题,所以0∆>即可,然后根据充分条件必要条件的概念判断即可.【详解】:p x R ⌝∀∈,20x x a ++>,即140a ∆=-<,14a >,所以p q ⌝⇒,即p ⌝是q 的充分不必要条件.故答案为:充分不必要.15.②④【分析】在正方体中可通过反例知34,p p 为假命题,通过线线关系确定1p 为真命题,由不共线的三点确定唯一的平面知2p 为真命题,由复合命题真假性的判定依次判断各个选项即可.【详解】在如图所示的正方体中,直线1,,AD DC DD 共点D ,此时三条直线不在同一平面内,1p ∴为真命题;平面ABCD 、11A ADD 和11CDD C 两两相交,但交线1,,AD DD DC 不互相平行,3p ∴为假命题;设直线11A B 为直线a ,平面ABCD 为平面α,则//a α;设直线11B C 为直线b ,此时a b ⊥r r,且//b α,4p ∴为假命题;不共线的三点确定唯一的一个平面,∴若两平面有三个不共线的公共点,则这两个平面重合,即2p 为真命题;14p p ∴∧为假命题,①错误;12p p ∧为真命题,②正确;23p p ⌝∨为假命题,③错误;34p p ⌝∨为真命题,④正确.故答案为:②④【点睛】结论点睛:本题考查复合命题真假性的确定,需熟记“且”、“或”、“非”命题真假性的判断方法:①“且”命题:一假全假;②“或”命题:一真全真;③“非”命题:与原命题真假性相反.。
高考数学总复习考前必练系列03:逻辑联结词、量词

高考数学总复习考前必练03:逻辑联结词、量词一、选择题1.(2015·浙江)命题“∀n ∈N *,f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A .∀n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )>n B .∀n ∈N *,f (n )∉N *或f (n )>n C .∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D .∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 02.(2016·肇庆统测)设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a·b =0,则a ⊥b ;命题q : 若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .则下列命题中假命题是( ) A .p ∧q B .p ∨qC .(綈p )∨qD .(綈p )∨(綈q )3.若“∃x ∈[12,2],使得2x 2-λx +1<0成立”是假命题,则实数λ的取值范围为( )A .(-∞,22]B .[22,3]C .[-22,3]D .λ=34.已知命题p :∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0,命题q :∃x ∈R ,x 2+2ax +2-a =0,若“p 且q ”为真命题,则( ) A .a =1或a ≤-2 B .a ≤-2或1≤a ≤2 C .a ≥1D .-2≤a ≤15.已知命题p :∃x 0∈R ,使sin x 0=52;命题q :∀x ∈R ,都有x 2+x +1>0.给出下列结论:①命题“p ∧q ”是真命题;②命题“p ∧(綈q )”是假命题;③命题“(綈p )∨q ”是真命题;④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题.其中正确的命题是( ) A .②③ B .②④ C .③④D .①②③需要高中数学所有必修选修视频课程,联系QQ/微信:1403225658 6.(2016·临夏期中)下列结论错误的是( )A .命题“若p ,则q ”与命题“若綈q ,则綈p ”互为逆否命题B .命题p :∀x ∈[0,1],e x ≥1,命题q :∃x ∈R ,x 2+x +1<0,则p ∨q 为真 C .若p ∨q 为假命题,则p ,q 均为假命题 D .“若am 2<bm 2,则a <b ”的逆命题为真命题7.(2016·葫芦岛期中)已知命题P :不等式lg[x (1-x )+1]>0的解集为{x |0<x <1};命题Q :在△ABC 中,“A >B ”是“cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2+π4<cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2+π4”成立的必要不充分条件,则( )A .P 真Q 假B .P ∧Q 为真C .P ∨Q 为假D .P 假Q 真8.(2016·怀仁期中)已知命题p :∀x ∈[-1,2],函数f (x )=x 2-x 的值大于0.若p ∨q 是真命题,则命题q 可以是( ) A .∃x ∈(-1,1),使得cos x <12B .“-3<m <0”是“函数f (x )=x +log 2x +m 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2上有零点”的必要不充分条件 C .直线x =π6是曲线f (x )=3sin 2x +cos 2x 的一条对称轴D .若x ∈(0,2),则在曲线f (x )=e x(x -2)上任意一点处的切线的斜率不小于-1 需要高中数学所有必修选修视频课程,联系QQ/微信:1403225658 二、填空题9.命题p 的否定是“对所有正数x ,x >x +1”,则命题p 可写为________________________. 10.给出以下命题:①∀x ∈R ,|x |>x ;②∃α∈R ,sin 3α=3sin α;③∀x ∈R ,x >sin x ; ④∃x ∈(0,+∞),(12)x <(13)x,其中正确命题的序号有________.11.(2017·石家庄质检)已知命题p :x 2-3x -4≤0,命题q :x 2-6x +9-m 2≤0,若綈q是綈p的充分不必要条件,则实数m的取值范围是________________.12.设命题p:函数f(x)=lg(ax2-4x+a)的定义域为R;命题q:不等式2x2+x>2+ax在x∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,则实数a 的取值范围为__________.答案精析1.D [由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.]2.D [对于命题p ,由平面向量数量积a·b =0易得a ⊥b ,则命题p 为真命题;对于命题q ,∵a ,b ,c 为非零向量,则q 为真命题,故(綈p )∨(綈q )为假命题,故选D.]3.A [设命题p :∃x ∈[12,2],使得2x 2-λx +1<0,由于命题p 为假命题,所以綈p 为真命题,即∀x ∈[12,2],2x 2-λx +1≥0为真命题,即λ≤2x 2+1x =2x +1x 在区间[12,2]上恒成立,所以只需满足λ≤(2x +1x )min (x ∈[12,2])即可,2x +1x ≥22x ·1x=22,当且仅当2x =1x ,即x =22∈[12,2]时等号成立,所以λ≤22,故选A.]4.A [命题p :∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0真,则a ≤1. 命题q :∃x ∈R ,x 2+2ax +2-a =0真, 则Δ=4a 2-4(2-a )≥0,a ≥1或a ≤-2, 又p 且q 为真命题, 所以a =1或a ≤-2.故选A.]需要高中数学所有必修选修视频课程,联系QQ/微信:1403225658 5.A [∵52>1,∴命题p 是假命题,又∵x 2+x +1=(x +12)2+34≥34>0,∴命题q 是真命题,由命题真假的真值表可以判断②③正确.]6.D [命题“若p ,则q ”的逆否命题是“若綈q ,则綈p ”,所以命题“若p ,则q ”与命题“若綈q ,则綈p ”互为逆否命题,故A 正确;命题p :∀x ∈[0,1],e x≥1,为真命题,命题q :∃x ∈R ,x 2+x +1<0,为假命题,则p ∨q 为真,故B 正确;若p ∨q 为假命题,则p ,q 均为假命题,故C 正确;“若am 2<bm 2,则a <b ”的逆命题为“若a <b ,则am 2<bm 2”,而当m 2=0时,由a <b ,得am 2=bm 2,所以“若am 2<bm 2,则a <b ”的逆命题为假命题,故D 不正确.]7.A [由命题P :不等式lg[x (1-x )+1]>0,可知x (1-x )+1>1, ∴0<x <1,即不等式的解集为{x |0<x <1},∴命题P 为真命题.由命题Q 知,若cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2+π4<cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2+π4, 即sin A >sin B ,∴A >B ; 反之,在三角形中,若A >B , 则必有sin A >sin B ,即cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2+π4<cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2+π4成立,∴命题Q 为假命题.故选A.]8.C [对于命题p :函数f (x )=x 2-x =⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122-14,则函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,12上单调递减,在⎝ ⎛⎦⎥⎤12,2上单调递增,∴当x =12时,取得最小值,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=-14<0,因此命题p 是假命题.若p ∨q 是真命题,则命题q 必须是真命题.∀x ∈(-1,1),cos x ∈(cos 1,1],而cos 1>cos π3=12,因此A 是假命题;函数f (x )=x +log 2x +m 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2上单调递增,若函数f (x )在此区间上有零点,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1+m (2+1+m )<0,解得-3<m <12,因此“-3<m <0”是“函数f (x )=x +log 2x +m 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2上有零点”的充分不必要条件,因此B 是假命题;f (x )=3sin 2x +cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6,当x =π6时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6+π6=sin π2=1,因此直线x =π6是曲线f (x )的一条对称轴,是真命题;曲线f (x )=e x(x -2),f ′(x )=e x+e x(x -2)=e x(x -1),当x ∈(0,2)时,f ′(x )>f ′(0)=-1,因此D 是假命题.]需要高中数学所有必修选修视频课程,联系QQ/微信:1403225658 9.∃x 0∈(0,+∞),x 0≤x 0+1解析 因为p 是綈p 的否定,所以只需将全称命题变为特称命题,再对结论否定即可. 10.②解析 当x ≥0时,|x |=x ,①错;当α=0时,sin 3α=3sin α,②正确;当x =-π2时,x <sin x ,③错;根据指数函数的图象可以判断,当x ∈(0,+∞)时,(12)x >(13)x ,④错.故正确命题的序号只有②. 11.{m |m ≤-4或m ≥4}解析 ∵綈q 是綈p 的充分不必要条件, ∴p 是q 的充分不必要条件, ∴{x |x 2-3x -x |x 2-6x +9-m 2≤0},∴{x |-1≤x x |(x +m -3)(x -m -3)≤0}.当-m +3=m +3,即m =0时,不合题意. 当-m +3>m +3,即m <0时,有 {x |-1≤xx |m +3≤x ≤-m +3},此时⎩⎪⎨⎪⎧m +3≤-1,-m +3≥4,(两等号不能同时取得)解得m ≤-4.当-m +3<m +3,即m >0时,有 {x |-1≤xx |-m +3≤x ≤m +3},此时⎩⎪⎨⎪⎧-m +3≤-1,m +3≥4,(两等号不能同时取得)解得m ≥4.综上,实数m 的取值范围是{m |m ≤-4或m ≥4}. 12.[1,2]解析 对于命题p :Δ<0且a >0,故a >2;对于命题q :a >2x -2x+1在x ∈(-∞,-1)上恒成立,又函数y =2x -2x +1为增函数,所以2x -2x+1<1,故a ≥1,命题“p ∨q ”为真命题,命题“p ∧q ”为假命题,等价于p ,q 一真一假.故1≤a ≤2.。
高中数学高考总复习命题量词逻辑连接词习题及详解

高中数学高考总复习命题量词逻辑连接词习题及详解一、选择题1.(2010·广东惠州一中)如果命题“綈(p ∨q )”是真命题,则正确的是( ) A .p 、q 均为真命题B .p 、q 中至少有一个为真命题C .p 、q 均为假命题D .p 、q 中至多有一个为真命题 [答案] C[解析] ∵命题“綈(p ∨q )”为真命题, ∴命题“p ∨q ”为假命题, ∴命题p 和命题q 都为假命题.2.(2010·胶州三中)命题:“若x 2<1,则-1<x <1”的逆否命题是( ) A .若x 2≥1,则x ≥1,或x ≤-1 B .若x ≥1,且x ≤-1,则x 2>1 C .若-1<x <1,则x 2<1D .若x ≥1,或x ≤-1,则x 2≥1 [答案] D3.(文)(2010·延边州质检)下列说法错误..的是( ) A .如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题,那么命题q 一定是真命题; B .命题“若a =0,则ab =0”的否命题是:“若a ≠0,则ab ≠0”; C .若命题p :∃x ∈R ,x 2-x +1<0,则綈p :∀x ∈R ,x 2-x +1≥0; D .“sin θ=12”是“θ=30°”的充分不必要条件.[答案] D[解析] ∵“綈p ”为真,∴p 为假,又“p 或q ”为真,∴q 为真,故A 正确;B 、C 显然正确;∵θ=30°时,sin θ=12,但sin θ=12时,θ不一定为30°,故“sin θ=12”是“θ=30°”的必要不充分条件.(理)(2010·广东高考调研)下列有关选项正确的是( ) A .若p ∨q 为真命题,则p ∧q 为真命题B .“x =5”是“x 2-4x -5=0”的充分不必要条件C .命题“若x <-1,则x 2-2x -3>0”的否定为:“若x ≥-1,则x 2-3x +2≤0”D .已知命题p :∃x ∈R ,使得x 2+x -1<0,则綈p :∃x ∈R ,使得x 2+x -1≥0 [答案] B[解析] 由复合命题真值表知:若p ∨q 为真命题,则p 、q 至少有一个为真命题,有可能一真一假,∴选项A 错误;由x =5可以得到x 2-4x -5=0,但由x 2-4x -5=0不一定能得到x =5,∴选项B 成立;选项C 错在把命题的否定写成了否命题;选项D 错在没有搞清楚存在性命题的否定是全称命题.4.(文)(2010·福建南平一中)已知命题p :∀x ∈R ,x >sin x ,则( ) A .綈p :∃x ∈R ,x <sin x B .綈p :∀x ∈R ,x ≤sin x C .綈p :∃x ∈R ,x ≤sin x D .綈p :∀x ∈R ,x <sin x [答案] C[解析] 对全称命题的否定既要否定量词又要否定结论,故选C. (理)(2010·北京市延庆县模考)下列命题中的真命题是( ) A .∃x ∈R 使得sin x +cos x =1.5 B .∀x ∈(0,π),sin x >cos x C .∃x ∈R 使得x 2+x =-1 D .∀x ∈(0,+∞),e x >x +1 [答案] D[解析] ∵对∀x ∈R ,sin x +cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4≤2<1.5,∴A 错;又当x =π6时,sin x =12,cos x =32,∴B 错;∵方程x 2+x +1=0的判别式Δ=-3<0,∴方程x 2+x =-1无实数根,故C 错;令f (x )=e x -x -1,则f ′(x )=e x -1,当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)上为增函数,∴f (x )>f (0)=0,故对∀x ∈(0,+∞)都有e x >x +1.5.(文)(2010·山东枣庄模考)设集合A ={x |-2-a <x <a ,a >0},命题p :1∈A ,命题q :2∈A .若p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,则a 的取值范围是( )A .0<a <1或a >2B .0<a <1或a ≥2C .1<a ≤2D .1≤a ≤2 [答案] C[解析] ∵1∈A ,∴-2-a <1<a ,∴a >1, ∵2∈A ,∴-2-a <2<a ,∴a >2, ∵p ∨q 为真,p ∧q 为假,∴p 与q 一真一假,故1<a ≤2.(理)(2010·济南一中)已知命题p :∃x ∈R ,mx 2+1≤0,命题q :∀x ∈R ,x 2+mx +1>0.若p ∨q 为假命题,则实数m 的取值范围是( )A .m ≥2B .m ≤-2C .m ≤-2或m ≥2D .-2≤m ≤2 [答案] A[解析] 若p ∨q 为假命题,则p 、q 均为假命题,即綈p :∀x ∈R ,mx 2+1>0,与綈q :∃x ∈R ,x 2+mx +1≤0均为真命题,根据綈p :∀x ∈R ,mx 2+1>0为真命题可得m ≥0,根据綈q :∃x ∈R ,x 2+mx +1≤0为真命题可得Δ=m 2-4≥0,解得m ≥2或m ≤-2.综上,m ≥2.6.(2010·天津文)下列命题中,真命题是( ) A .∃m ∈R ,使函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )是偶函数 B .∃m ∈R ,使函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )是奇函数 C .∀m ∈R ,使函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )都是偶函数 D .∀m ∈R ,使函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )都是奇函数[分析] 由函数f (x )是奇(或偶)函数时,m 的取值情况作出判断. [答案] A[解析] 当m =0时,f (x )=x 2显然为偶函数,故选A. 7.(2010·北京延庆县模考)下列命题中的假命题是( ) A .∀x >0且x ≠1,都有x +1x>2B .∀a ∈R ,直线ax +y =a 恒过定点(1,0)C .∃m ∈R ,使f (x )=(m -1)·xm 2-4m +3是幂函数D .∀φ∈R ,函数f (x )=sin(2x +φ)都不是偶函数 [答案] D[解析] ∵x +1x ≥2等号在x =1时成立,∴A 真;将x =1,y =0代入直线方程ax +y=a 中成立,∴B 真;令m -1=1得m =2,此时f (x )=x -1是幂函数,故C 真;当φ=π2时,f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2=cos2x 为偶函数,故D 假. 8.(09·海南、宁夏)有四个关于三角函数的命题: p 1:∃x ∈R ,sin 2x 2+cos 2x 2=12p 2:∃x 、y ∈R ,sin(x -y )=sin x -sin yp 3:∀x ∈[0,π],1-cos2x2=sin x p 4:sin x =cos y ⇒x +y =π2其中假命题的是( ) A .p 1,p 4B .p 2,p 4 C .p 1,p 3D .p 3,p 4 [答案] A[解析] ∀x ∈R ,sin 2x 2+cos 2x2=1,故p 1为假命题.∵∀x ∈[0,π],sin x ≥0, ∴1-cos2x2=|sin x |=sin x ,∴p 3真,故选A. 9.已知命题p :|x -1|+|x +1|≥3a 恒成立,命题q :y =(2a -1)x 为减函数,若“p ∧q ”为真命题,则a 的取值范围是( )A .a ≤23B .0<a <12C.12<a ≤23D.12<a <1 [答案] C[解析] 因为|x -1|+|x +1|≥2,由|x -1|+|x +1|≥3a 恒成立知:3a ≤2,即a ≤23.由y =(2a -1)x 为减函数得:0<2a -1<1即12<a <1.又因为“p ∧q ”为真命题,所以,p 和q 均为真命题,所以取交集得12<a ≤23.因此选C.10.(2010·浙江杭州质检)下列命题中正确的是( )A .设f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3,则∀x ∈⎝⎛⎭⎫-π3,π6,必有f (x )<f (x +0.1) B .∃x 0∈R ,使得12sin x 0+32cos x 0>1C .设f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫x +π3,则函数y =f ⎝⎛⎭⎫x +π6是奇函数 D .设f (x )=2sin2x ,则f ⎝⎛⎭⎫x +π3=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3 [答案] C[解析] ∵f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3在⎝⎛⎭⎫-π3,π12上单调递增,在⎣⎡⎦⎤π12,π6上单调递减,∴A 错;12sin x 0+32cos x 0=sin ⎝⎛⎭⎫x 0+π3≤1,故B 不正确;y =f ⎝⎛⎭⎫x +π6=cos ⎝⎛⎭⎫x +π2=-sin x ,为奇函数,故C 正确;f ⎝⎛⎭⎫x +π3=2sin ⎝⎛⎭⎫2⎝⎛⎭⎫x +π3=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +2π3,故D 不正确. 二、填空题11.已知下列四个命题:①a 是正数;②b 是负数;③a +b 是负数;④ab 是非正数.选择其中两个作为题设,一个作为结论,写出一个逆否命题是真命题的复合命题____________________________________.[答案] 若a 是正数且a +b 是负数,则一定有b 是负数[解析] 逆否命题为真命题,即该命题为真,a 是正数且a +b 是负数,则一定有b 是负数.12.给出以下四个关于圆锥曲线的命题,①设A 、B 为两个定点,k 为非零常数,若|P A →|-|PB →|=k ,则动点P 的轨迹为双曲线; ②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ,O 为坐标原点,若OP →=12(OA →+OB →),则动点P的轨迹为椭圆;③方程2x 2-5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④双曲线x 225-y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号). [答案] ③④[解析] ①表示双曲线的一支;②动点P 的轨迹为圆;③两根x 1=2,x 2=12正确;④25+9=35-1正确.13.(2010·南昌市模拟)给出下列命题:①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n +1}为等比数列”的充分不必要条件;②“a =2”是“函数f (x )=|x -a |在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件;③m =3是直线(m +3)x +my -2=0与直线mx -6y +5=0互相垂直的充要条件;④设a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边,若a =1,b =3,则A =30°是B =60°的必要不充分条件;其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). [答案] ①④[解析] 令b n =a n a n +1,则若{b n }是等比数列,则b n +1b n =a n +2a n为常数,因此,当{a n }为等比数列时,{b n }为等比数列,但{b n }为等比数列时,{a n }未必为等比数列,如数列{a n }:1,2,3,6,9,18,…,对任意n ∈N *,有a n +2=3a n ,满足{a n a n +1}是等比数列,但{a n }不是等比数列,∴①真;a =2时,f (x )=|x -2|在[2,+∞)上单调增,但f (x )=|x -a |在[2,+∞)上单调增时,a ≤2,故②错;由(m +3)m -6m =0得,m =0或m =3,故m =3是两直线垂直的充分不必要条件,∴③错;由1sin A =3sin B 知,sin B =3sin A ,∵b >a ,∴B >A ,故B =60°时,A =30°,但A =30°时,B 可以为120°,∴④正确.14.(2010·马鞍山市质检)给出下列四个结论:①命题“∃x ∈R ,x 2-x >0”的否定是“∀x ∈R ,x 2-x ≤0” ②“若am 2<bm 2,则a <b ”的逆命题为真;③已知直线l 1:ax +2y -1=0,l 2:x +by +2=0,则l 1⊥l 2的充要条件是ab =-2;④对于任意实数x ,有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x )且x >0时,f ′(x )>0,g ′(x )>0,则x <0时,f ′(x )>g ′(x ).其中正确结论的序号是________.(填上所有正确结论的序号). [答案] ①④[解析] ①显然正确.②中命题“若am 2<bm 2,则a <b ”的逆命题是“若a <b ,则am 2<bm 2”,当m =0时不成立,故为假命题;③中l 1⊥l 2⇔a +2b =0,但a +2b =0与ab =-2不等价,∵当a =b =0时,ab =-2不成立,故③错;④由条件知,f (x )为奇函数,在x >0时单调增,故x <0时单调增,从而x <0时,f ′(x )>0;g (x )为偶函数,x >0时单调增,从而x <0时单调减,∴x <0时,g ′(x )<0,∴x <0时,f ′(x )>g ′(x ),故④正确. 三、解答题15.(2010·河南调研)已知函数f (x )=2sin x +π3+sin x cos x -3sin 2x ,x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0,5π12,使不等式f (x 0)<m 成立,求实数m 的取值范围. [解析] (1)f (x )=2sin x cos π3+cos x sin π3+sin x cos x -3sin 2x=2sin x cos x +3cos 2x -3sin 2x =sin2x +3cos2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3. ∴函数f (x )的最小正周期T =2π2=π. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0,5π12时,2x +π3∈⎣⎡⎦⎤π3,7π6. ∴当2x +π3=7π6,即x =5π12时,f (x )取最小值-1.故使题设成立的充要条件是m >-1, 即m 的取值范围是(-1,+∞).16.(2010·聊城市模拟)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 与抛物线y 2=2x 相交于A 、B 两点.(1)求证:“如果直线l 过点T (3,0),那么OA →·OB →=3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. [解析] (1)设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =3,此时,直线l 与抛物线相交于点A (3,6)、B (3,-6). ∴OA →·OB →=3.当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =k (x -3),其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2x y =k (x -3)得,ky 2-2y -6k =0,则y 1y 2=-6. 又∵x 1=12y 12,x 2=12y 22,∴OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2 =14(y 1y 2)2+y 1y 2=3. 综上所述,命题“如果直线l 过点T (3,0),那么OA →·OB →=3”是真命题.(2)逆命题是:设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OA →·OB →=3,那么直线过点T (3,0).该命题是假命题.例如:取抛物线上的点A (2,2),B ⎝⎛⎭⎫12,1,此时OA →·OB →=3,直线AB 的方程为y =23(x +1),而T (3,0)不在直线AB 上.17.(文)已知命题p :在x ∈[1,2]时,不等式x 2+ax -2>0恒成立;命题q :函数f (x )=log13(x 2-2ax +3a )是区间[1,+∞)上的减函数.若命题“p ∨q ”是真命题,求实数a 的取值范围.[解析] ∵x ∈[1,2]时,不等式x 2+ax -2>0恒成立 ∴a >2-x 2x =2x -x 在x ∈[1,2]上恒成立令g (x )=2x -x ,则g (x )在[1,2]上是减函数,∴g (x )max =g (1)=1, ∴a >1.即若命题p 真,则a >1.又∵函数f (x )=log 13(x 2-2ax +3a )是区间[1,+∞)上的减函数,∴u (x )=x 2-2ax +3a 是[1,+∞)上的增函数,且u (x )=x 2-2ax +3a >0在[1,+∞)上恒成立,∴a ≤1,u (1)>0,∴-1<a ≤1, 即若命题q 真,则-1<a ≤1. 若命题“p ∨q ”是真命题,则a >-1.(理)(2010·河北正定中学模拟)已知动圆C 过点A (-2,0),且与圆M :(x -2)2+y 2=64相内切.(1)求动圆C 的圆心C 的轨迹方程;(2)设直线l :y =kx +m (其中k ,m ∈Z )与(1)中所求轨迹交于不同两点B ,D ,与双曲线x 24-y 212=1交于不同两点E ,F ,问是否存在直线l ,使得向量DF →+BE →=0,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.[解析] (1)圆M :(x -2)2+y 2=64的圆心M 的坐标为(2,0),半径R =8. ∵|AM |=4<R ,∴点A (-2,0)在圆M 内.设动圆C 的半径为r ,圆心为C (x ,y ),依题意得r =|CA |,且|CM |=R -r , 即|CM |+|CA |=8>|AM |.∴圆心C 的轨迹是中心在原点,以A 、M 两点为焦点,长轴长为8的椭圆,设其方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则a =4,c =2,∴b 2=a 2-c 2=12. ∴所求动圆的圆心C 的轨迹方程为x 216+y 212=1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m x 216+y212=1,消去y 化简整理得:(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-48=0, 设B (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8km 3+4k 2Δ1=(8km )2-4(3+4k 2)(4m 2-48)>0①由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m x 24-y 212=1消去y 化简整理得:(3-k 2)x 2-2kmx -m 2-12=0. 设E (x 3,y 3),F (x 4,y 4),则x 3+x 4=2km 3-k 2,Δ2=(-2km )2+4(3-k 2)(m 2+12)>0②∵DF →=(x 4-x 2,y 4-y 2)、BE →=(x 3-x 1,y 3-y 1),且DF →+BE →=0, ∴(x 4-x 2)+(x 3-x 1)=0,即x 1+x 2=x 3+x 4,∴-8km 3+4k 2=2km3-k 2, ∴km =0或-43+4k 2=13-k 2. 解得k =0或m =0.当k =0时,由①、②得-23<m <23, ∵m ∈Z ,∴m 的值为-3,-2,-1,0,1,2,3; 当m =0时,由①、②得-3<k <3,∵k ∈Z ,∴k =-1,0,1.∴满足条件的直线共有9条.。
2022年高考数学总复习 第2课时 命题与量词、基本逻辑联结词课时闯关(含解析)

2022年高考数学总复习第一章第2课时命题与量词、基本逻辑联结词课时闯关(含解析)新人教版一、选择题1.2022·高考湖南卷下列命题中的假命题是A.∃∈R,g =0 B.∃∈R,tan =1C.∀∈R,3>0 D.∀∈R,2>0解析:,当=1时,g =0,正确;对于B,当=错误!时,tan =1,正确;对于C,当0,正确.2.2022·高考北京卷若3”3”2011”∈R,使函数f=2+m∈R是偶函数B.∃m∈R,使函数f=2+m∈R是奇函数C.∀m∈R,函数f=2+m∈R都是偶函数D.∀m∈R,函数f=2+m∈R都是奇函数解析:,∃m∈R,即当m=0时,f=2+m=2是偶函数.故A正确.5.2022·高考山东卷已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c21”0,是真命题.10.已知命题:方程22-2 错误!+3=0的两根都是实数,q:方程22-2 错误!+3=0的两根不相等,试写出由这组命题构成的“或q”、“且q”、“非”形式的复合命题,并指出其真假.解:“或q”的形式:方程22-2 错误!+3=0的两根都是实数或不相等.“且q”的形式:方程22-2 错误!+3=0的两根都是实数且不相等.“非”的形式:方程22-2 错误!+3=0无实根.∵Δ=24-24=0,∴方程有两相等的实根.∵真,q假,∴“或q”真,“且q”假,“非”假.11.探究选做已知命题:“∀∈[1,2],2-a≥0”,命题q:“∃0∈R,错误!+2a0+2-a=0”,若命题“且q”是真命题,求实数a的取值范围.解:由“且q”是真命题,知为真命题,q也为真命题.若为真命题,则a≤2恒成立.∵∈[1,2],∴a≤1若q为真命题,即2+2a+2-a=0有实根,Δ=4a2-42-a≥0,即a≥1或a≤-2,综上,实数a的取值范围为a≤-2或a=1。
高二数学常用逻辑用语试题答案及解析

高二数学常用逻辑用语试题答案及解析1.如果命题“非p”与命题“p或q”都是真命题,那么()A.命题p与命题q的真值相同B.命题q一定是真命题C.命题q不一定是真命题D.命题p不一定是真命题【答案】B【解析】因为“非p”与命题“p或q”都是真命题,所以p是假命题,从而q一定是真命题。
选B。
【考点】本题主要考查复合命题与简单逻辑联结词。
点评:简单题,理解复合命题的概念及简单逻辑联结词的意义。
2.命题“的值不超过3”看作“非p”形式时,则p为____________看作“p或q”形式时,p为__________ q为____________。
【答案】p: ;p: q: 。
【解析】“非p”形式:的值不超过3即,所以p:;p或q :的值不超过3即,也就是或,故填写p: ;p: q: 。
【考点】本题主要考查复合命题与简单逻辑联结词。
点评:简单题,理解简单逻辑联结词及不等式的意义,运用真值表。
3.已知命题p:正方形的两条对角线互相垂直;命题q:正方形的两条对角线相等,写出命题“p或q”“p且q”“非p”,并指出真假.【答案】p或q:正方形的两条对角线互相垂直或相等(真命题)p且q:正方形的对角线互相垂直且相等(真命题)非p:正方形的两条对角线不互相垂直(假命题)【解析】p或q:正方形的两条对角线互相垂直或相等(真命题)p且q:正方形的对角线互相垂直且相等(真命题)非p:正方形的两条对角线不互相垂直(假命题)【考点】本题主要考查复合命题与简单逻辑联结词。
点评:具有综合性,理解简单逻辑联结词的意义。
熟练掌握平面几何知识,是解决此类问题的关键。
4.下面的电路图由电池、开关和灯泡组成,假定所有零件均能正常工作,则电路中“开关闭合”是“灯泡亮”的()A.充分不必要条件B.必要充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由图可知开关闭合时,灯泡一定亮,即“开关闭合”是“灯泡亮”的充分条件;反之,灯泡亮时,开关不一定闭合(闭合也可以),故“开关闭合”是“灯泡亮”的充分不必要条件,故选A。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(含解析)

归纳与技巧:简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础知识归纳一、简单的逻辑联结词1.用联结词“且”联结命题p和命题q,记作p∧q,读作“p且q”.2.用联结词“或”联结命题p和命题q,记作p∨q,读作“p或q”.3.对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作綈p,读作“非p”或“p的否定”.4.命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断:p∧q中p、q有一假为假,p∨q有一真为真,p与非p必定是一真一假.二、全称量词与存在量词1.全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.(3)全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.2.存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.(2)含有存在量词的命题,叫做特称命题.(3)特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M,P(x0),读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.三、含有一个量词的命题的否定基础题必做1.若p是真命题,q是假命题,则()A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.綈p是真命题D.綈q是真命题答案:D2.(教材习题改编)下列命题中的假命题是()A.∃x0∈R,x0+1x0=2 B.∃x0∈R,sin x0=-1C.∀x∈R,x2>0 D.∀x∈R,2x>0答案:C3.命题“∃x0∈∁R Q,x30∈Q”的否定是()A.∃x0∉∁R Q,x30∈Q B.∃x0∈∁R Q,x30∉QC.∀x∉∁R Q,x3∈Q D.∀x∈∁R Q,x3∉Q解析:选D其否定为∀x∈∁R Q,x3∉Q.4.(教材习题改编)命题p:有的三角形是等边三角形.命题綈p:__________________.答案:所有的三角形都不是等边三角形5.命题“∃x0∈R,2x20-3ax0+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为________.解析:∃x0∈R,2x20-3ax0+9<0为假命题,则∀x∈R,2x2-3ax+9≥0恒成立,有Δ=9a2-72≤0,解得-22≤a≤2 2.答案:[-22,2 2 ]解题方法归纳1.逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.2.正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真,而原命题与否命题的真假无必然联系.含有逻辑联结词命题的真假判定典题导入[例1]已知命题p:∃x0∈R,使tan x0=1,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2},给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(綈q)”是假命题;③命题“(綈p)∨q”是真命题;④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题.其中正确的是()A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④[自主解答]命题p:∃x0∈R,使tan x0=1是真命题,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题,故①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(綈q)”是假命题;③命题“(綈p)∨q”是真命题;④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题.[答案] D解题方法归纳1.“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假判断步骤(1)准确判断简单命题p、q的真假;(2)判断“p∧q”“p∨q”“綈p”命题的真假.2.含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p∨q:p、q中有一个为真,则p∨q为真,即一真全真;(2)p∧q:p、q中有一个为假,则p∧q为假,即一假即假;(3)綈p:与p的真假相反,即一真一假,真假相反.以题试法1.(1)如果命题“非p或非q”是假命题,给出下列四个结论:①命题“p且q”是真命题;②命题“p且q”是假命题;③命题“p或q”是真命题;④命题“p或q”是假命题.其中正确的结论是()A.①③B.②④C.②③D.①④(2) 已知命题p:“∀x∈[0,1],a≥e x”,命题q:“∃x∈R,x2+4x+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是()A.(4,+∞) B.[1,4]C.[e,4] D.(-∞,1]解析:(1)选A“非p或非q”是假命题⇒“非p”与“非q”均为假命题⇒p与q均为真命题.(2)选C “p ∧q ”是真命题,则p 与q 都是真命题.p 真则∀x ∈[0,1],a ≥e x ,需a ≥e ;q 真则x 2+4x +a =0有解,需Δ=16-4a ≥0,所以a ≤4.p ∧q 为真,则e ≤a ≤4.全称命题与特称命题的真假判断典题导入[例2] 下列命题中的假命题是( )A .∀a ,b ∈R ,a n =an +b ,有{a n }是等差数列B .∃x 0∈(-∞,0),2x 0<3x 0C .∀x ∈R,3x ≠0D .∃x 0∈R ,lg x 0=0[自主解答] 对于A ,a n +1-a n =a (n +1)+b -(an +b )=a 常数.A 正确;对于B ,∀x ∈(-∞,0),2x >3x ,B 不正确;对于C ,易知3x ≠0,因此C 正确;对于D ,注意到lg 1=0,因此D 正确.[答案] B解题方法归纳1.全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M 中的每一个元素x ,证明p (x )成立;(2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M 中的一个特殊值x =x 0,使p (x 0)不成立即可.2.特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M 中,找到一个x =x 0,使p (x 0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题.以题试法2. 下列命题中的真命题是( ) A .∃x 0∈R ,使得sin x 0cos x 0=35B .∃x 0∈(-∞,0),2x 0>1C .∀x ∈R ,x 2≥x -1D .∀x ∈(0,π),sin x >cos x解析:选C 由sin x cos x =35,得sin 2x =65>1,故A 错误;结合指数函数和三角函数的图象,可知B ,D 错误;因为x 2-x +1=⎝⎛⎭⎫x -122+34>0恒成立,所以C 正确.全称命题与特称命题的否定典题导入[例3] 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( ) A .所有能被2整除的整数都是奇数 B .所有不能被2整除的整数都不是奇数 C .存在一个能被2整除的整数是奇数 D .存在一个不能被2整除的整数不是奇数[自主解答] 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”,选D.[答案] D若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”,其否定为________. 答案:所有能被2整除的整数都不是奇数解题方法归纳1.弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提.2.注意命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定. 3.要判断“綈p ”命题的真假,可以直接判断,也可以判断“p ”的真假,p 与綈p 的真假相反.4.常见词语的否定形式有:原语句 是 都是 >至少有一个 至多有一个 对任意x ∈A 使p (x )真 否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x 0∈A 使p (x 0)假以题试法3. 已知命题p :∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0,则綈p 是( ) A .∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 B .∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 C .∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 D .∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0解析:选C 命题p 的否定为“∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f ( x 1))(x 2-x 1)<0”.1.将a 2+b 2+2ab =(a +b )2改写成全称命题是( ) A .∃a ,b ∈R ,a 2+b 2+2ab =(a +b )2 B .∃a <0,b >0,a 2+b 2+2ab =(a +b )2 C .∀a >0,b >0,a 2+b 2+2ab =(a +b )2 D .∀a ,b ∈R ,a 2+b 2+2ab =(a +b )2解析:选D 全称命题含有量词“∀”,故排除A 、B ,又等式a 2+b 2+2ab =(a +b )2对于全体实数都成立,故选D.2. 设命题p :函数y =sin 2x 的最小正周期为π2;命题q :函数y =cos x 的图象关于直线x =π2对称.则下列判断正确的是( )A .p 为真B .q 为真C .p ∧q 为假D .p ∨q 为真解析:选C 命题p ,q 均为假命题,故p ∧q 为假命题.3. 已知命题p :所有有理数都是实数,命题q :正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( )A .(綈p )∨qB .p ∧qC .(綈p )∧(綈q )D .(綈p )∨(綈q )解析:选D 不难判断命题p 为真命题,命题q 为假命题,所以綈p 为假命题,綈q 为真命题,所以(綈p )∨(綈q )为真命题.4.下列命题中,真命题是( )A .∃m ∈R ,使函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )是偶函数B .∃m ∈R ,使函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )是奇函数C .∀m ∈R ,函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )`都是偶函数D .∀m ∈R ,函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )都是奇函数解析:选A 由于当m =0时,函数f (x )=x 2+mx =x 2为偶函数,故“∃m ∈R ,使函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )为偶函数”是真命题.5. 下列命题中,真命题是( ) A .∃x 0∈R ,e x 0≤0 B .∀x ∈R,2x >x 2C .a +b =0的充要条件是ab =-1D .a >1,b >1是ab >1的充分条件解析:选D 因为∀x ∈R ,e x >0,故排除A ;取x =2,则22=22,故排除B ;a +b =0,取a =b =0,则不能推出ab=-1,故排除C.6. 已知命题p 1:∃x 0∈R ,x 20+x 0+1<0;p 2:∀x ∈[1,2],x 2-1≥0.以下命题为真命题的是( )A .(綈p 1)∧(綈p 2)B .p 1∨(綈p 2)C .(綈p 1)∧p 2D .p 1∧p 2解析:选C ∵方程x 2+x +1=0的判别式Δ=12-4=-3<0,∴x 2+x +1<0无解,故命题p 1为假命题,綈p 1为真命题;由x 2-1≥0,得x ≥1或x ≤-1,∴∀x ∈[1,2],x 2-1≥0,故命题p 2为真命题,綈p 2为假命题.∵綈p 1为真命题,p 2为真命题,∴(綈p 1)∧p 2为真命题.7. 下列说法中错误的是( )A .对于命题p :∃x 0∈R ,使得x 0+1x 0>2,则綈p :∀x ∈R ,均有x +1x ≤2B .“x =1”是“x 2-3x +2=0”的充分不必要条件C .命题“若x 2-3x +2=0,则x =1”的逆否命题为:“若x ≠1,则x 2-3x +2≠0”D .若p ∧q 为假命题,则p ,q 均为假命题解析:选D 显然选项A 正确;对于B ,由x =1可得x 2-3x +2=0;反过来,由x 2-3x +2=0不能得知x =1,此时x 的值可能是2,因此“x =1”是“x 2-3x +2=0”的充分不必要条件,选项B 正确;对于C ,原命题的逆否命题是:“若x ≠1,则x 2-3x +2≠0”,因此选项C 正确;对于D ,若p ∧q 为假命题,则p ,q 中至少有一个为假命题,故选项D错误.8. 已知命题p :∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0,命题q :∃x 0∈R ,x 20+2ax 0+2-a =0,若“p 且q ”为真命题,则实数a 的取值范围是( )A .a =1或a ≤-2B .a ≤-2或1≤a ≤2C .a ≥1D .-2≤a ≤1解析:选A 若命题p :∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0真,则a ≤1.若命题q :∃x 0∈R ,x 20+2ax 0+2-a =0真,则Δ=4a 2-4(2-a )≥0,a ≥1或a ≤-2,又p 且q 为真命题所以a =1或a ≤-2.9.命题“存在x 0∈R ,使得x 20+2x 0+5=0”的否定是________. 答案:对任何x ∈R ,都有x 2+2x +5≠010.已知命题p :“∀x ∈N *,x >1x ”,命题p 的否定为命题q ,则q 是“________”;q的真假为________(填“真”或“假”).解析:q :∃x 0∈N *,x 0≤1x 0,当x 0=1时,x 0=1x 0成立,故q 为真.答案:∃x 0∈N *,x 0≤1x 0真11.若命题“存在实数x 0,使x 20+ax 0+1<0”的否定是假命题,则实数a 的取值范围为________.解析:由于命题的否定是假命题,所以原命题为真命题,结合图象知Δ=a 2-4>0,解得a >2或a <-2.答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)12.若∃θ∈R ,使sin θ≥1成立,则cos ⎝⎛⎭⎫θ-π6的值为________. 解析:由题意得sin θ-1≥0.又-1≤sin θ≤1,∴sin θ=1. ∴θ=2k π+π2(k ∈Z ).故cos ⎝⎛⎭⎫θ-π6=12. 答案:1213.已知命题p :∃a 0∈R ,曲线x 2+y 2a 0=1为双曲线;命题q :x -1x -2≤0的解集是{x |1<x <2}.给出下列结论:①命题“p ∧q ”是真命题;②命题“p ∧(綈q )”是真命题;③命题“(綈p )∨q ”是真命题;④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题.其中正确的是________.解析:因为命题p 是真命题,命题q 是假命题,所以命题“p ∧q ”是假命题,命题“p ∧(綈q )”是真命题,命题“(綈p )∨q ”是假命题,命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题.答案:②④ 14.下列结论:①若命题p :∃x 0∈R ,tan x 0=2;命题q :∀x ∈R ,x 2-x +12>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题;②已知直线l 1:ax +3y -1=0,l 2:x +by +1=0,则l 1⊥l 2的充要条件是ab =-3;③“设a 、b ∈R ,若ab ≥2,则a 2+b 2>4”的否命题为:“设a 、b ∈R ,若ab <2,则a 2+b 2≤4”.其中正确结论的序号为________.(把你认为正确结论的序号都填上)解析:在①中,命题p 是真命题,命题q 也是真命题,故“p ∧(綈q )”是假命题是正确的.在②中l 1⊥l 2⇔a +3b =0,所以②不正确.在③中“设a 、b ∈R ,若ab ≥2,则a 2+b 2>4”的否命题为:“设a 、b ∈R ,若ab <2,则a 2+b 2≤4”正确.答案:①③1.下列说法错误的是( )A .如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题,那么命题q 一定是真命题B .命题“若a =0,则ab =0”的否命题是:若“a ≠0,则ab ≠0”C .若命题p :∃x 0∈R ,ln(x 20+1)<0,则綈p :∀x ∈R ,ln(x 2+1)≥0D .“sin θ=12”是“θ=30°”的充分不必要条件解析:选D sin θ=12是θ=30°的必要不充分条件,故选D.2. 命题p :若a ·b >0,则a 与b 的夹角为锐角;命题q :若函数f (x )在(-∞,0]及(0,+∞)上都是减函数,则f (x )在(-∞,+∞)上是减函数.下列说法中正确的是( )A .“p 或q ”是真命题B .“p 或q ”是假命题C .綈p 为假命题D .綈q 为假命题解析:选B ∵当a ·b >0时,a 与b 的夹角为锐角或零度角,∴命题p 是假命题;命题q 是假命题,例如f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +1,x ≤0,-x +2,x >0,综上可知,“p 或q ”是假命题.3.已知命题p :“∃x 0∈R,4x 0-2x 0+1+m =0”,若命题綈p 是假命题,则实数m 的取值范围是________.解析:若綈p 是假命题,则p 是真命题,即关于x 的方程4x -2·2x +m =0有实数解,由于m =-(4x -2·2x )=-(2x -1)2+1≤1,∴m ≤1.答案:(-∞,1] 4.下列四个命题:①∃x 0∈R ,使sin x 0+cos x 0=2;②对∀x ∈R ,sin x +1sin x≥2;③对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,tan x +1tan x≥2;④∃x 0∈R ,使sin x 0+cos x 0= 2. 其中正确命题的序号为________.解析:∵sin x +cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4∈[-2, 2 ]; 故①∃x 0∈R ,使sin x 0+cos x 0=2错误; ④∃x 0∈R ,使sin x 0+cos x 0=2正确; ∵sin x +1sin x ≥2或sin x +1sin x ≤-2,故②对∀x ∈R ,sin x +1sin x≥2错误;③对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,tan x >0,1tan x >0,由基本不等式可得tan x +1tan x ≥2正确. 答案:③④5.设命题p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0,其中a >0,命题q :实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x -6≤0,x 2+2x -8>0.(1)若a =1,且p ∧q 为真,求实数x 的取值范围; (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 解:(1)由x 2-4ax +3a 2<0,得(x -3a )(x -a )<0. 又a >0,所以a <x <3a ,当a =1时,1<x <3,即p 为真命题时,1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x -6≤0,x 2+2x -8>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧-2≤x ≤3,x <-4或x >2,即2<x ≤3.所以q 为真时,2<x ≤3.若p ∧q 为真,则⎩⎨⎧1<x <3,2<x ≤3⇔2<x <3, 所以实数x 的取值范围是(2,3).(2)设A ={x |x ≤a ,或x ≥3a },B ={x |x ≤2,或x >3},因为綈p 是綈q 的充分不必要条件,所以A B .所以0<a ≤2且3a >3,即1<a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1,2].6.已知命题p :方程2x 2+ax -a 2=0在[-1,1]上有解;命题q :只有一个实数x 0满足不等式x 20+2ax 0+2a ≤0,若命题“p ∨q ”是假命题,求a 的取值范围.解:由2x 2+ax -a 2=0,得(2x -a )(x +a )=0,∴x =a 2或x =-a , ∴当命题p 为真命题时, ⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|-a |≤1, ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20+2ax 0+2a ≤0”,即抛物线y =x 2+2ax +2a 与x 轴只有一个交点,∴Δ=4a 2-8a =0,∴a =0或a =2.∴当命题q 为真命题时,a =0或a =2.∴命题“p ∨q ”为真命题时,|a |≤2.∵命题“p ∨q ”为假命题,∴a >2或a <-2.即a 的取值范围为{ a |}a >2,或a <-2.1. 有下列四个命题:p 1:若a ·b =0,则一定有a ⊥b ;p 2:∃x ,y ∈R ,sin(x -y )=sin x -sin y ;p 3:∀a ∈(0,1)∪(1,+∞),函数f (x )=a 1-2x +1都恒过定点⎝⎛⎭⎫12,2;p 4:方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是D 2+E 2-4F ≥0.其中假命题的是( )A .p 1,p 4B .p 2,p 3C .p 1,p 3D .p 2,p 4解析:选A 对于p 1:∵a ·b =0⇔a =0或b =0或a ⊥b ,当a =0,则a 方向任意,a ,b 不一定垂直,故p 1假,否定B 、D ,又p 3显然为真,否定C.2.若命题p :关于x 的不等式ax +b >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >-b a ,命题q :关于x 的不等式(x -a )(x -b )<0的解集是{x |a <x <b },则在命题“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”“綈q ”中,是真命题的有________.解析:依题意可知命题p 和q 都是假命题,所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“綈p ”为真、“綈q ”为真.答案:綈p ,綈q3.已知p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的负根;q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根.若p 或q 为真,p 且q 为假,求m 的取值范围.解:若方程x 2+mx +1=0有两个不等的负根x 1,x 2,则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0,x 1+x 2<0,x 1x 2>0,即⎩⎨⎧Δ=m 2-4>0,m >0. 解得m >2,即p :m >2.若方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根,则Δ=16(m -2)2-16=16(m 2-4m +3)<0.解得1<m <3,即q :1<m <3.∵p 或q 为真,p 且q 为假,∴p 、q 两命题应一真一假,即p 为真、q 为假或p 为假、q 为真.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >2,m ≤1或m ≥3或⎩⎨⎧ m ≤2,1<m <3. 解得m ≥3或1<m ≤2.∴m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).。
高中 掌握简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 知识点+例题+练习

教学过程3.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p(x)∃x∈M,非p(x)∃x∈M,p(x)∀x∈M,非p(x)辨析感悟1.逻辑联结词的理解与应用(1)命题p∧q为假命题的充要条件是命题p,q至少有一个假命题.()(2)命题p∨q为假命题的充要条件是命题p,q至少有一个假命题.() 2.对命题的否定形式的理解(3) “有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”.()(4) 命题p:∃n0∈N,2n0>1 000,则非p:∃n∈N,2n≤1 000.()(5) 设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集,若命题p:∀x∈A,2x∈B,则非p:∃x∉A,2x∉B.()(6)已知命题p:若x+y>0,则x,y中至少有一个大于0,则非p:若x+y≤0,则x,y中至多有一个大于0.()[感悟·提升]1.一个区别逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”是有区别的,前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形,后者仅表示“或此、或彼”两种情形.有的含有“且”“或”“非”联结词的命题,从字面上看不一定有“且”“或”“非”等字样,这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系.如“并且”、“綉”的含义为“且”;“或者”、“≤”的含义为“或”;“不是”、“”的含义为“非”.2.两个防范一是混淆命题的否定与否命题的概念导致失误,非p指的是命题的否定,只需否定结论.如(5)、(6);二是否定时,有关的否定词否定不当,如(6).考点一含有逻辑联结词命题的真假判断【例1】设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为π2;命题q:函教学效果分析教学过程p2:∃x0∈(0,1),12log x0>13log x0;p3:∀x∈(0,+∞),12x⎛⎫⎪⎝⎭>12log x;p4:∀x∈⎝⎛⎭⎪⎫0,13,12x⎛⎫⎪⎝⎭<13log x.其中真命题是________.规律方法对于存在性命题的判断,只要能找到符合要求的元素使命题成立,即可判断该命题成立,对于全称命题的判断,必须对任意元素证明这个命题为真,而只要找到一个特殊元素使命题为假,即可判断该命题不成立.【训练3】(2013·开封二模)下列命题中的真命题是________(填序号).①∃x∈R,使得sin x+cos x=32;②∀x∈(0,+∞),ex>x+1;③∃x∈(-∞,0),2x<3x;④∀x∈(0,π),sin x>cos x.1.逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.2.正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真.答题模板1——借助逻辑联结词求解参数范围问题教学效果分析。
逻辑连接词(高一)高考精选,带详解

第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与 存在量词A 级 基础达标演练(时间:40分钟 满分:60分)一、选择题(每小题5分,共25分) 1.下列命题中的假命题是( ).A .∃x 0∈R ,lg x 0=0B .∃x 0∈R ,tan x 0=1C .∀x ∈R ,x 3>0D .∀x ∈R,2x >0解析 对于A ,当x 0=1时,lg x 0=0正确;对于B ,当x 0=π4时,tan x 0=1,正确;对于C ,当x <0时,x 3<0错误;对于D ,∀x ∈R,2x >0,正确. 答案 C2.(2012·杭州高级中学月考)命题“∀x >0,x 2+x >0”的否定是( ).A .∃x 0>0,x 20+x 0>0B .∃x 0>0,x 20+x 0≤0C .∀x >0,x 2+x ≤0D .∀x ≤0,x 2+x >0解析 根据全称命题的否定是特称命题,可知该命题的否定是:∃x 0>0,x 20+x 0≤0.答案 B3.(2012·郑州外国语中学月考)ax 2+2x +1=0至少有一个负的实根的充要条件是( ). A .0<a ≤1 B .a <1C .a ≤1D .0<a ≤1或a <0解析 (排除法)当a =0时,原方程有一个负的实根,可以排除A 、D ;当a =1时,原方 程有两个相等的负实根,可以排除B ,故选C. 答案 C4.(2012·合肥质检)已知p :|x -a |<4;q :(x -2)(3-x )>0,若綈p 是綈q 的充分不必要条件,则a 的取值范围为( ).A .a <-1或a >6B .a ≤-1或a ≥6C .-1≤a ≤6D .-1<a <6解析 解不等式可得p :-4+a <x <4+a ,q :2<x <3,因此綈p :x ≤-4+a 或x ≥4+a ,綈q :x ≤2或x ≥3,于是由綈p 是綈q 的充分不必要条件,可知2≥-4+a 且4 +a ≥3,解得-1≤a ≤6. 答案 C5.若函数f (x )=x 2+ax (a ∈R ),则下列结论正确的是( ).A .∀a ∈R ,f (x )在(0,+∞)上是增函数B .∀a ∈R ,f (x )在(0,+∞)上是减函数C .∃a ∈R ,f (x )是偶函数D .∃a ∈R ,f (x )是奇函数解析 对于A 只有在a ≤0时f (x )在(0,+∞)上是增函数,否则不成立;对于B ,如果a ≤0 就不成立;对于D 若a =0,则f (x )为偶函数了,因此只有C 是正确的,即对于a =0时 有f (x )=x 2是一个偶函数,因此存在这样的a ,使f (x )是偶函数. 答案 C二、填空题(每小题4分,共12分)6.(2012·西安模拟)若命题“∃x 0∈R,2x 20-3ax 0+9<0”为假命题,则实数a 的取值范围是________.解析 因为“∃x 0∈R,2x 20-3ax 0+9<0”为假命题,则“∀x ∈R,2x 2-3ax +9≥0”为真命题.因此Δ=9a 2-4×2×9≤0,故-22≤a ≤2 2. 答案 -22≤a ≤2 27.已知命题p :x 2+2x -3>0;命题q :13-x >1,若綈q 且p 为真,则x 的取值范围是________.解析 因为綈q 且p 为真,即q 假p 真,而q 为真命题时,x -2x -3<0,即2<x <3,所以q 假时有x ≥3或x ≤2;p 为真命题时,由x 2+2x -3>0,解得x >1或x <-3,由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <-3,x ≥3或x ≤2,得x ≥3或1<x ≤2或x <-3, 所以x 的取值范围是x ≥3或1<x ≤2或x <-3. 故填(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞). 答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)8.(2012·南京五校联考)令p (x ):ax 2+2x +a >0,若对∀x ∈R ,p (x )是真命题,则实数a 的取值范围是________.解析 ∵对∀x ∈R ,p (x )是真命题. ∴对∀x ∈R ,ax 2+2x +a >0恒成立, 当a =0时,不等式为2x >0不恒成立, 当a ≠0时,若不等式恒成立,则⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=4-4a 2<0,∴a >1. 答案 a >1 三、解答题(共23分)9.(11分)已知命题p :∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0,命题q :∃x 0∈R ,x 20+2ax 0+2-a =0,若“p 且q ”为真命题,求实数a 的取值范围.解 由“p 且q ”为真命题,则p ,q 都是真命题. p :x 2≥a 在[1,2]上恒成立,只需a ≤(x 2)min =1, 所以命题p :a ≤1;q :设f (x )=x 2+2ax +2-a ,存在x 0∈R 使f (x 0)=0, 只需Δ=4a 2-4(2-a )≥0, 即a 2+a -2≥0⇒a ≥1或a ≤-2, 所以命题q :a ≥1或a ≤-2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1,a ≥1或a ≤-2得a =1或a ≤-2 ∴实数a 的取值范围是a =1或a ≤-2. 10.(12分)写出下列命题的否定,并判断真假. (1)q :∀x ∈R ,x 不是5x -12=0的根; (2)r :有些质数是奇数; (3)s :∃x 0∈R ,|x 0|>0.解 (1)綈q :∃x 0∈R ,x 0是5x -12=0的根,真命题. (2)綈r :每一个质数都不是奇数,假命题. (3)綈s :∀x ∈R ,|x |≤0,假命题.B 级 综合创新备选(时间:30分钟 满分:40分)一、选择题(本题共2小题,每小题5分,共10分) 1.下列命题错误的是( ).A .命题“若m >0,则方程x 2+x -m =0有实数根”的逆否命题为:“若方程x 2+x -m =0无实数根,则m ≤0”B .“x =1”是“x 2-3x +2=0”的充分不必要条件C .若p ∧q 为假命题,则p ,q 均为假命题D .对于命题p :∃x 0∈R ,使得x 20+x 0+1<0,则綈p :∀x ∈R ,均有x 2+x +1≥0解析 依次判断各选项,易知只有C 是错误的,因为用逻辑联结词“且”联结的两个命 题中,只要一个为假整个命题为假. 答案 C2.(★)(2011·广东广雅中学模拟)已知p :∃x 0∈R ,mx 20+2≤0.q :∀x ∈R ,x 2-2mx +1>0,若p ∨q 为假命题,则实数m 的取值范围是 ( ).A .[1,+∞)B .(-∞,-1]C .(-∞,-2]D .[-1,1]解析 (直接法)∵p ∨q 为假命题,∴p 和q 都是假命题.由p :∃x ∈R ,mx 2+2≤0为假, 得∀x ∈R ,mx 2+2>0,∴m ≥0.①由q :∀x ∈R ,x 2-2mx +1>0为假,得∃x 0∈R ,x 20-2mx 0+1≤0, ∴Δ=(-2m )2-4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤-1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1. 答案 A【点评】本题采用直接法,就是通过题设条件解出所求的结果,多数选择题和填空题都 要用该方法,是解题中最常用的一种方法. 二、填空题(每小题4分,共8分)3.命题“∃x 0∈R ,x 0≤1或x 20>4”的否定是______________. 解析 已知命题为特称命题,故其否定应是全称命题. 答案 ∀x ∈R ,x >1且x 2≤44.(2012·太原十校联考)已知命题“∀x ∈R ,x 2-5x +152a >0”的否定为假命题,则实数a 的取值范围是________.解析 由“∀x ∈R ,x 2-5x +152a >0”的否定为假命题,可知命题“∀x ∈R ,x 2-5x +152a >0”必为真命题,即不等式x 2-5x +152a >0对任意实数x 恒成立. 设f (x )=x 2-5x +152a ,则其图象恒在x 轴的上方.故Δ=25-4×152a <0,解得a >56,即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫56,+∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫56,+∞ 三、解答题(共22分)5.已知两个命题r (x ):sin x +cos x >m ,s (x ):x 2+mx +1>0.如果对∀x ∈R ,r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题.求实数m 的取值范围.解 ∵sin x +cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4≥-2,∴当r (x )是真命题时,m <- 2. 又∵对∀x ∈R ,当s (x )为真命题时,即x 2+mx +1>0恒成立有Δ=m 2-4<0,∴-2<m <2.∴当r (x )为真,s (x )为假时,m <-2,同时m ≤-2或m ≥2,即m ≤-2. 当r (x )为假,s (x )为真时,m ≥-2且-2<m <2,即-2≤m <2. 综上,实数m 的取值范围是m ≤-2或-2≤m <2.6.已知c >0,设命题p :函数y =c x 为减函数.命题q :当x ∈⎣⎡⎦⎤12,2时,函数f (x )=x +1x >1c恒成立.如果p 或q 为真命题,p 且q 为假命题.求c 的取值范围. 解 由命题p 知:0<c <1.由命题q 知:2≤x +1x ≤52要使此式恒成立,则2>1c ,即c >12.又由p 或q 为真,p 且q 为假知,p 、q 必有一真一假, 当p 为真,q 为假时,c 的取值范围为0<c ≤12.当p 为假,q 为真时,c ≥1.综上,c 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪0<c ≤12或c ≥1.。
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高中数学高考总复习命题量词逻辑连接词习题及详解一、选择题1.(2010·广东惠州一中)如果命题“綈(p ∨q )”是真命题,则正确的是( ) A .p 、q 均为真命题B .p 、q 中至少有一个为真命题C .p 、q 均为假命题D .p 、q 中至多有一个为真命题 [答案] C[解析] ∵命题“綈(p ∨q )”为真命题, ∴命题“p ∨q ”为假命题, ∴命题p 和命题q 都为假命题.2.(2010·胶州三中)命题:“若x 2<1,则-1<x <1”的逆否命题是( ) A .若x 2≥1,则x ≥1,或x ≤-1 B .若x ≥1,且x ≤-1,则x 2>1 C .若-1<x <1,则x 2<1D .若x ≥1,或x ≤-1,则x 2≥1 [答案] D3.(文)(2010·延边州质检)下列说法错误..的是( ) A .如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题,那么命题q 一定是真命题; B .命题“若a =0,则ab =0”的否命题是:“若a ≠0,则ab ≠0”; C .若命题p :∃x ∈R ,x 2-x +1<0,则綈p :∀x ∈R ,x 2-x +1≥0; D .“sin θ=12”是“θ=30°”的充分不必要条件.[答案] D[解析] ∵“綈p ”为真,∴p 为假,又“p 或q ”为真,∴q 为真,故A 正确;B 、C 显然正确;∵θ=30°时,sin θ=12,但sin θ=12时,θ不一定为30°,故“sin θ=12”是“θ=30°”的必要不充分条件.(理)(2010·广东高考调研)下列有关选项正确的是( ) A .若p ∨q 为真命题,则p ∧q 为真命题B .“x =5”是“x 2-4x -5=0”的充分不必要条件C .命题“若x <-1,则x 2-2x -3>0”的否定为:“若x ≥-1,则x 2-3x +2≤0”D .已知命题p :∃x ∈R ,使得x 2+x -1<0,则綈p :∃x ∈R ,使得x 2+x -1≥0 [答案] B[解析] 由复合命题真值表知:若p ∨q 为真命题,则p 、q 至少有一个为真命题,有可能一真一假,∴选项A 错误;由x =5可以得到x 2-4x -5=0,但由x 2-4x -5=0不一定能得到x =5,∴选项B 成立;选项C 错在把命题的否定写成了否命题;选项D 错在没有搞清楚存在性命题的否定是全称命题.4.(文)(2010·福建南平一中)已知命题p :∀x ∈R ,x >sin x ,则( ) A .綈p :∃x ∈R ,x <sin x B .綈p :∀x ∈R ,x ≤sin x C .綈p :∃x ∈R ,x ≤sin x D .綈p :∀x ∈R ,x <sin x [答案] C[解析] 对全称命题的否定既要否定量词又要否定结论,故选C. (理)(2010·北京市延庆县模考)下列命题中的真命题是( ) A .∃x ∈R 使得sin x +cos x =1.5 B .∀x ∈(0,π),sin x >cos x C .∃x ∈R 使得x 2+x =-1 D .∀x ∈(0,+∞),e x >x +1 [答案] D[解析] ∵对∀x ∈R ,sin x +cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4≤2<1.5,∴A 错;又当x =π6时,sin x =12,cos x =32,∴B 错;∵方程x 2+x +1=0的判别式Δ=-3<0,∴方程x 2+x =-1无实数根,故C 错;令f (x )=e x -x -1,则f ′(x )=e x -1,当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)上为增函数,∴f (x )>f (0)=0,故对∀x ∈(0,+∞)都有e x >x +1.5.(文)(2010·山东枣庄模考)设集合A ={x |-2-a <x <a ,a >0},命题p :1∈A ,命题q :2∈A .若p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,则a 的取值范围是( )A .0<a <1或a >2B .0<a <1或a ≥2C .1<a ≤2D .1≤a ≤2[答案] C[解析] ∵1∈A ,∴-2-a <1<a ,∴a >1, ∵2∈A ,∴-2-a <2<a ,∴a >2, ∵p ∨q 为真,p ∧q 为假,∴p 与q 一真一假,故1<a ≤2.(理)(2010·济南一中)已知命题p :∃x ∈R ,mx 2+1≤0,命题q :∀x ∈R ,x 2+mx +1>0.若p ∨q 为假命题,则实数m 的取值范围是( )A .m ≥2B .m ≤-2C .m ≤-2或m ≥2D .-2≤m ≤2[答案] A[解析] 若p ∨q 为假命题,则p 、q 均为假命题,即綈p :∀x ∈R ,mx 2+1>0,与綈q :∃x ∈R ,x 2+mx +1≤0均为真命题,根据綈p :∀x ∈R ,mx 2+1>0为真命题可得m ≥0,根据綈q :∃x ∈R ,x 2+mx +1≤0为真命题可得Δ=m 2-4≥0,解得m ≥2或m ≤-2.综上,m ≥2.6.(2010·天津文)下列命题中,真命题是( ) A .∃m ∈R ,使函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )是偶函数 B .∃m ∈R ,使函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )是奇函数 C .∀m ∈R ,使函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )都是偶函数 D .∀m ∈R ,使函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )都是奇函数[分析] 由函数f (x )是奇(或偶)函数时,m 的取值情况作出判断. [答案] A[解析] 当m =0时,f (x )=x 2显然为偶函数,故选A. 7.(2010·北京延庆县模考)下列命题中的假命题是( ) A .∀x >0且x ≠1,都有x +1x>2B .∀a ∈R ,直线ax +y =a 恒过定点(1,0)C .∃m ∈R ,使f (x )=(m -1)·xm 2-4m +3是幂函数D .∀φ∈R ,函数f (x )=sin(2x +φ)都不是偶函数 [答案] D[解析] ∵x +1x ≥2等号在x =1时成立,∴A 真;将x =1,y =0代入直线方程ax +y=a 中成立,∴B 真;令m -1=1得m =2,此时f (x )=x -1是幂函数,故C 真;当φ=π2时,f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2=cos2x 为偶函数,故D 假. 8.(09·海南、宁夏)有四个关于三角函数的命题: p 1:∃x ∈R ,sin 2x 2+cos 2x 2=12p 2:∃x 、y ∈R ,sin(x -y )=sin x -sin yp 3:∀x ∈[0,π],1-cos2x2=sin x p 4:sin x =cos y ⇒x +y =π2其中假命题的是( ) A .p 1,p 4 B .p 2,p 4 C .p 1,p 3D .p 3,p 4[答案] A[解析] ∀x ∈R ,sin 2x 2+cos 2x2=1,故p 1为假命题.∵∀x ∈[0,π],sin x ≥0, ∴1-cos2x2=|sin x |=sin x ,∴p 3真,故选A. 9.已知命题p :|x -1|+|x +1|≥3a 恒成立,命题q :y =(2a -1)x 为减函数,若“p ∧q ”为真命题,则a 的取值范围是( )A .a ≤23B .0<a <12C.12<a ≤23D.12<a <1 [答案] C[解析] 因为|x -1|+|x +1|≥2,由|x -1|+|x +1|≥3a 恒成立知:3a ≤2,即a ≤23.由y =(2a -1)x 为减函数得:0<2a -1<1即12<a <1.又因为“p ∧q ”为真命题,所以,p 和q 均为真命题,所以取交集得12<a ≤23.因此选C.10.(2010·浙江杭州质检)下列命题中正确的是( )A .设f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3,则∀x ∈⎝⎛⎭⎫-π3,π6,必有f (x )<f (x +0.1) B .∃x 0∈R ,使得12sin x 0+32cos x 0>1C .设f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫x +π3,则函数y =f ⎝⎛⎭⎫x +π6是奇函数 D .设f (x )=2sin2x ,则f ⎝⎛⎭⎫x +π3=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3 [答案] C[解析] ∵f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3在⎝⎛⎭⎫-π3,π12上单调递增,在⎣⎡⎦⎤π12,π6上单调递减,∴A 错;12sin x 0+32cos x 0=sin ⎝⎛⎭⎫x 0+π3≤1,故B 不正确;y =f ⎝⎛⎭⎫x +π6=cos ⎝⎛⎭⎫x +π2=-sin x ,为奇函数,故C 正确;f ⎝⎛⎭⎫x +π3=2sin ⎝⎛⎭⎫2⎝⎛⎭⎫x +π3=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +2π3,故D 不正确. 二、填空题11.已知下列四个命题:①a 是正数;②b 是负数;③a +b 是负数;④ab 是非正数.选择其中两个作为题设,一个作为结论,写出一个逆否命题是真命题的复合命题____________________________________.[答案] 若a 是正数且a +b 是负数,则一定有b 是负数[解析] 逆否命题为真命题,即该命题为真,a 是正数且a +b 是负数,则一定有b 是负数.12.给出以下四个关于圆锥曲线的命题,①设A 、B 为两个定点,k 为非零常数,若|P A →|-|PB →|=k ,则动点P 的轨迹为双曲线; ②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ,O 为坐标原点,若OP →=12(OA →+OB →),则动点P的轨迹为椭圆;③方程2x 2-5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④双曲线x 225-y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号). [答案] ③④[解析] ①表示双曲线的一支;②动点P 的轨迹为圆;③两根x 1=2,x 2=12正确;④25+9=35-1正确.13.(2010·南昌市模拟)给出下列命题:①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n +1}为等比数列”的充分不必要条件;②“a =2”是“函数f (x )=|x -a |在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件;③m =3是直线(m +3)x +my -2=0与直线mx -6y +5=0互相垂直的充要条件;④设a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边,若a =1,b =3,则A =30°是B =60°的必要不充分条件;其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). [答案] ①④[解析] 令b n =a n a n +1,则若{b n }是等比数列,则b n +1b n =a n +2a n为常数,因此,当{a n }为等比数列时,{b n }为等比数列,但{b n }为等比数列时,{a n }未必为等比数列,如数列{a n }:1,2,3,6,9,18,…,对任意n ∈N *,有a n +2=3a n ,满足{a n a n +1}是等比数列,但{a n }不是等比数列,∴①真;a =2时,f (x )=|x -2|在[2,+∞)上单调增,但f (x )=|x -a |在[2,+∞)上单调增时,a ≤2,故②错;由(m +3)m -6m =0得,m =0或m =3,故m =3是两直线垂直的充分不必要条件,∴③错;由1sin A =3sin B 知,sin B =3sin A ,∵b >a ,∴B >A ,故B =60°时,A =30°,但A =30°时,B 可以为120°,∴④正确.14.(2010·马鞍山市质检)给出下列四个结论:①命题“∃x ∈R ,x 2-x >0”的否定是“∀x ∈R ,x 2-x ≤0” ②“若am 2<bm 2,则a <b ”的逆命题为真;③已知直线l 1:ax +2y -1=0,l 2:x +by +2=0,则l 1⊥l 2的充要条件是ab =-2;④对于任意实数x ,有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x )且x >0时,f ′(x )>0,g ′(x )>0,则x <0时,f ′(x )>g ′(x ).其中正确结论的序号是________.(填上所有正确结论的序号). [答案] ①④[解析] ①显然正确.②中命题“若am 2<bm 2,则a <b ”的逆命题是“若a <b ,则am 2<bm 2”,当m =0时不成立,故为假命题;③中l 1⊥l 2⇔a +2b =0,但a +2b =0与ab =-2不等价,∵当a =b =0时,ab =-2不成立,故③错;④由条件知,f (x )为奇函数,在x >0时单调增,故x <0时单调增,从而x <0时,f ′(x )>0;g (x )为偶函数,x >0时单调增,从而x <0时单调减,∴x <0时,g ′(x )<0,∴x <0时,f ′(x )>g ′(x ),故④正确. 三、解答题15.(2010·河南调研)已知函数f (x )=2sin x +π3+sin x cos x -3sin 2x ,x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0,5π12,使不等式f (x 0)<m 成立,求实数m 的取值范围. [解析] (1)f (x )=2sin x cos π3+cos x sin π3+sin x cos x -3sin 2x=2sin x cos x +3cos 2x -3sin 2x =sin2x +3cos2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3. ∴函数f (x )的最小正周期T =2π2=π. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0,5π12时,2x +π3∈⎣⎡⎦⎤π3,7π6. ∴当2x +π3=7π6,即x =5π12时,f (x )取最小值-1.故使题设成立的充要条件是m >-1, 即m 的取值范围是(-1,+∞).16.(2010·聊城市模拟)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 与抛物线y 2=2x 相交于A 、B 两点.(1)求证:“如果直线l 过点T (3,0),那么OA →·OB →=3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. [解析] (1)设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =3,此时,直线l 与抛物线相交于点A (3,6)、B (3,-6). ∴OA →·OB →=3.当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =k (x -3),其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2x y =k (x -3)得,ky 2-2y -6k =0,则y 1y 2=-6. 又∵x 1=12y 12,x 2=12y 22,∴OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2 =14(y 1y 2)2+y 1y 2=3. 综上所述,命题“如果直线l 过点T (3,0),那么OA →·OB →=3”是真命题.(2)逆命题是:设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OA →·OB →=3,那么直线过点T (3,0).该命题是假命题.例如:取抛物线上的点A (2,2),B ⎝⎛⎭⎫12,1,此时OA →·OB →=3,直线AB 的方程为y =23(x +1),而T (3,0)不在直线AB 上.17.(文)已知命题p :在x ∈[1,2]时,不等式x 2+ax -2>0恒成立;命题q :函数f (x )=log13(x 2-2ax +3a )是区间[1,+∞)上的减函数.若命题“p ∨q ”是真命题,求实数a 的取值范围.[解析] ∵x ∈[1,2]时,不等式x 2+ax -2>0恒成立 ∴a >2-x 2x =2x -x 在x ∈[1,2]上恒成立令g (x )=2x -x ,则g (x )在[1,2]上是减函数,∴g (x )max =g (1)=1, ∴a >1.即若命题p 真,则a >1.又∵函数f (x )=log 13(x 2-2ax +3a )是区间[1,+∞)上的减函数,∴u (x )=x 2-2ax +3a 是[1,+∞)上的增函数,且u (x )=x 2-2ax +3a >0在[1,+∞)上恒成立,∴a ≤1,u (1)>0,∴-1<a ≤1, 即若命题q 真,则-1<a ≤1. 若命题“p ∨q ”是真命题,则a >-1.(理)(2010·河北正定中学模拟)已知动圆C 过点A (-2,0),且与圆M :(x -2)2+y 2=64相内切.(1)求动圆C 的圆心C 的轨迹方程;(2)设直线l :y =kx +m (其中k ,m ∈Z )与(1)中所求轨迹交于不同两点B ,D ,与双曲线x 24-y 212=1交于不同两点E ,F ,问是否存在直线l ,使得向量DF →+BE →=0,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.[解析] (1)圆M :(x -2)2+y 2=64的圆心M 的坐标为(2,0),半径R =8. ∵|AM |=4<R ,∴点A (-2,0)在圆M 内.设动圆C 的半径为r ,圆心为C (x ,y ),依题意得r =|CA |,且|CM |=R -r , 即|CM |+|CA |=8>|AM |.∴圆心C 的轨迹是中心在原点,以A 、M 两点为焦点,长轴长为8的椭圆,设其方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则a =4,c =2,∴b 2=a 2-c 2=12. ∴所求动圆的圆心C 的轨迹方程为x 216+y 212=1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m x 216+y212=1,消去y 化简整理得:(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-48=0, 设B (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8km 3+4k 2Δ1=(8km )2-4(3+4k 2)(4m 2-48)>0①由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m x 24-y 212=1消去y 化简整理得:(3-k 2)x 2-2kmx -m 2-12=0. 设E (x 3,y 3),F (x 4,y 4),则x 3+x 4=2km 3-k 2,Δ2=(-2km )2+4(3-k 2)(m 2+12)>0②∵DF →=(x 4-x 2,y 4-y 2)、BE →=(x 3-x 1,y 3-y 1),且DF →+BE →=0, ∴(x 4-x 2)+(x 3-x 1)=0,即x 1+x 2=x 3+x 4,∴-8km 3+4k 2=2km3-k 2, ∴km =0或-43+4k 2=13-k 2. 解得k =0或m =0.当k =0时,由①、②得-23<m <23, ∵m ∈Z ,∴m 的值为-3,-2,-1,0,1,2,3; 当m =0时,由①、②得-3<k <3,∵k ∈Z ,∴k =-1,0,1.∴满足条件的直线共有9条.。