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第六章 代数系统(抽象代数)
学过的代数： 初等代数、线性代数、集合代数、命题代数、等等。
它们研究的对象：分别是整数、有理数、实数、矩阵、 集合、命题等等，以及这些对象上的各种运算。 发现：不同对象上的不同运算，可能有共同的性质。 例如集合代数与命题代数,尽管研究的对象不同,但是它们 的性质完全一样，都有对合律、交换律、结合律、分配 律、吸收律、底-摩根定律、同一律、零律、互补律等。
∩ Φ {a} {b} {a,b}
左 ΦΦ Φ Φ Φ
表 头
{a} Φ {a} Φ
{a}
元 {b} Φ Φ {b} {b}
素{a,b} Φ {a} {b} {a,b}
再如令X={S,R,A,L}其中 S表示开始时的位置； R表示“向右转”； A表示“向后转”； L表示“向左转”； “”表示转动的复合运算；
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6-2 二元运算的性质*
这一节是重要的一节。因为就是根据运算的性质将代 数系统分成半群、独异点、群、交换群、环、域、格、 布尔代数等，这些性质多数是大家所熟悉的。 一. 封闭性 设是X上的二元运算，如果对任何x,y∈X,有xy∈X,则 称在X上封闭。
例如在N上加法+和乘法×封闭，而减法不封闭。 从运算表可以很容易看出运算是否封闭。 二.交换性 设是X上的二元运算，如果对任何x,y∈X,有xy=yx, 则称是可交换的。 大家都知道：加法、乘法、交、并、对称差是可交换。
1.定义：设X是个集合，f:XnY是个映射，则称f 是X上 的n元运算。(Xn =X×X×...×X --n个X的笛卡尔积)，
n个
如果YX，则称运算f 在X上是封闭的。 f:XY 是个一元运算。前面的-、~是一元运算。 f:X2Y 是个二元运算。+×÷∧∨∪∩是二元运算。
思考题：下面说法是否正确？ 减法－是N上封闭的二元运算。 除法÷是整数 I上的二元运算。 除法÷是实数 R上的二元运算。
和若干个运算，构成的系统。
一. n元运算
如何定义运算,先看几个我们熟悉的例子：整数集合I上
取相反数运算“-”、集合的补运算“~” 和N上的“+、
...
×I －” I
...
...
--12012。。。。。
。。。。。20--112
...
P(E) Φ。
~
P(。EΦ)
{a} 。 。{a}
{b} 。 。{b}
{a,b} 。 。{a,b}
如果eL= eR 的幺元。
=e，对任何x∈X，有ex=xe=x,
eR
S
称e是相对 RAL
对加法+，幺元是0， 对乘法×，幺元是1， 对并运算∪，幺元是Φ， 对交运算∩，幺元是全集E，
从运算表看幂等元、幂等性：看主对角线的元素与上 表头(或左表头)元素相同。请看上述∩的运算表，∩有 幂等性。
四.幺元(单位元、恒等元)
设是X上的二元运算，如果有eL∈X，使得对任何x∈X，
有eLx=x，则称eL是相对的左幺元。如果有eR∈X，使
得对任何x∈X，有xeR=x ，则称eR是相对的右幺元。
∩ Φ {a} {b} {a,b}
ΦΦ Φ Φ Φ {a} Φ {a} Φ {a} {b} Φ Φ {b} {b} {a,b} Φ {a} {b} {a,b}
SRAL
S SRAL RRALS AALS R L LSRA
从运算表看交换性：是个以主对角线为对称的表。
三.幂等元、幂等性 设是X上的二元运算，如果有a∈X，aa=a, 则称a是 幂等元，如果对任何x∈X,都有xx=x,则称有幂等性。
这里我们主要讨论二元运算。 通常用、、• 、、、、 、+、×等表示抽象的
二元运算。 如果用“”表示二元运算f 时， 通常将 f(<x,y>)=z 写成 xy=z 。
2.二元运算的运算表 有时用一个表来表示二元
运算的运算规律。 例如令E={a,b} P(E)上的∩
运算表如图所示。
运算 上 表 头 元 素
...
N2 + <0,0>。 <0,1>。 <0,2>。 <1,0>。 <1,1>。
。。N01 。2 。3
N2 × <0,0>。 <0,1>。 <0,2>。
。。N01 。2
...
<1,0>。 。3
<1,1>。
ห้องสมุดไป่ตู้
...
...
<1,2>。
<1,2>。
...
...
可见运算“-”、“~”、“+” “×”就是个 映射。
例如上边的X={S,R,A,L}，<X，>是个有限代数系统。
3. 同类型代数系统：给定两个代数系统 U=<X, f1,f2,…fm> ，V=<Y, g1,g2,…gm> 如对应的运算fi和 gi的元数相同(i=1,2,3,…,m),则称U与V是同类型代数系统。
例如<P(E)，~,∩,∪> <{T,F}， ,∧,∨>
本章所讨论的理论，在计算机的编译理论、程序理论、 语义理论、编码理论、计算理论、逻辑设计理论、数据 库理论等都有应用。
本章主要讨论：代数结构(系统)的概念，运算的性质、 代数结构(系统)的同构、半群、独异点、群、环、域等。
6-1 代数结构(系统)的概念
所谓代数结构(系统)，无非是有一个运算对象的集合，
这些促使我们将代数的研究引导到更高的层次—即抛 开具体对象的代数。 抽象代数—研究抽象对象的抽象运算的代数的共性。
学习目的： 计算机专业的学生要具备三个能力：
理论抽象设计 理论：就是计算机科学中各种理论课。 抽象：要把实际问题抽象成数学模型(数学系统)。 设计：系统设计、程序设计。 确定数学模型：需要了解有哪些代数结构(系统)。 抽象代数：可以培养学生的抽象逻辑思维能力。
SRAL
S SRAL RRALS AALS R L LSRA
其运算表如图所示。
从运算表除了可以看清运算的规律外，可以很容易地
看出运算的性质。
二.代数系统的概念
1.代数系统的定义：X是非空集合，X上的m个运算 f1,f2,…fm, 构成代数系统U,记作U=<X, f1,f2,…fm> ( m≥1) 注意：这m个运算f1,f2,…fm的元数可能各不相同, 比如f1 是一元运算，f2是二元运算,…,fm是k元运算。 例如 <N,+,×>，<I, -,+,－,×>，<P(E), ~,∪,∩,> 2.有限代数系统： U=<X, f1,f2,…fm> 是个代数系统，如果 X是个有限集合，则称U是个有限代数系统。