《逻辑学》第三章 命题的自然推理
8.命题的判定与自然推理
公理系统——PM系统
• 6、定理（记为T）
– 公理为定理； – 由下列程序之一推得的公式为定理：
• 由公理实施推理规则而得； • 由已经证明的定理实施推理规则而得； • 由公理或定理据定义替换而得。
• T1：(qr)((pq)(pr)) • T2：pp
二、自然推理系统——NP系统
• 语言部分 • 1、初始符号
涵式AB是重言式，要求证明：对其中的
变项无论赋什么值，前件A真而后件B假是 不可能的，即如果前件真而后件假，则变 项赋值时必然导致逻辑矛盾。
例1 (pq)(pr) (qrp)
• (pq)(pr) (qrp)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
•
F
•
T
F
•
T
T
TF
•
T
T
TT
•
T
T
例2
• (pq)(rs)(¬q¬s)(¬p¬r) • F T F T F T F T TFTTF F TFFFT
共有2×2×…×2＝ 22n
2n个2
每一个组合都是一个真值函项。
真值函项的个数1
p
f1(p)
f2(p)
f3(p)
f4(p)
T
T
T
F
F
F
T
F
T
F
真值函项的个数2
p q f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 f16 TTTTTTTTTTF F F F F F F F TFTTTTFFFFT T T T F F F F FTTTFFTTFFT T F F T T F F FFTFTFTFTFT F T F T F T F
《逻辑学》新大纲--汉语言文学
《普通逻辑》课程教学大纲课程名称：逻辑学课程编号：010132001总学时:24学分:1。
5适用对象:汉语言文学专业1。
课程性质：《普通逻辑》是汉语言文学专业本科生的专业限选课中的必修课。
其内容具有很强的理论抽象性，公式、符号、图、表颇多;同时又具有可操作性，处处都含有思维方法、演算技巧的应用。
本课程旨在使学生系统地了解和掌握普通逻辑的基本知识、基本原理和基本技能,进行逻辑思维训练，解决思维的实际问题，以提高思维的准确性和敏捷性，从而增强语言表达的逻辑力量，并且为进一步学习其他科学知识提供必要的逻辑工具.2。
教学目的：逻辑学是现代基础学科的重要门类，包括逻辑的应用、演绎逻辑、一般逻辑、归纳逻辑、方法论等。
通过本课程的学习，要使学生系统地理解和掌握普通逻辑学的基本概念、基本原理和推演技巧，提高思维的准确性和敏捷性,增强语言的表达能力和论辩能力，以及初步具有运用逻辑知识解决实际问题的能力，并为进一步学习其他专业知识提供必要的逻辑知识.3。
教学内容:教学内容与学时安排4.教学方式：开展多媒体教学和案例教学，大力采用互动、启发、探究、讨论、质疑、争论、搜集信息、自主学习等多种教学形式，鼓励学生参与课堂教学。
5。
课程考核方式：本课程为考查课。
期末占总成绩的80%，平时作业、小测验占总成绩的20％。
6。
教材与教学参考书目：教材：普通逻辑编写组。
《普通逻辑》（第五版）。
上海：上海人民出版社。
2010。
主要参考书目：［1] 吴家国主编《普通逻辑》，上海人民出版社，1993.4。
［2] 何向东主编.《逻辑学教程》。
北京：高等教育出版社.1999年8月。
[3］刘新友,田宏第主编《普通逻辑自学导引》,高等教育出版社,1991。
9.［4］何应灿主编《怎样提高逻辑思维能力》,华东师范大学出版社,1995.3.[5］中国人民大学哲学系逻辑教研室编《逻辑学》，中国人民大学出版社，2003。
7。
［6］王海传等编著.《逻辑学》。
第三讲 命题的判断与自然推理
• 真值形式：((r p) ( q r ) p) q
• (( r p) ( q r ) p) q
•
F
•
T
F
•
T
T
T
•
T
T
T
•
F
F
p、q、r可以没有矛盾赋值，故推理无效
•用归谬赋值方法判定下列推理是否有效
• （1） p q
假设
• （2） q r
假设
• （3） p
假设
• （4） q
(1) (3) 蕴涵消去规则
• （5） r
(2) (4) 蕴涵消去规则
• （6） p r
(3) (5)蕴涵引入规则（7）(q r)
(p r )
(2)(6)蕴涵引入规则
• （8）(p q ) ((q r) (p r))
•
• 例：所有的自然数都大于所有的负数。
• 4.3、关系命题的符号化
• 甲和乙是一对父子。
• aRb
(中置法)
• R(a,b) (前置法)
• abR
(后置法)
• 有的甲班学生比有的乙班学生学习刻苦
• x y (F (x) G (y) R (x, y))
• 所有甲班学生比所有乙班学生学习刻苦
• x y (F (x) (G (y) R (x, y)))
• 反之，如果不出现矛盾赋值，则说明存在一组赋值满足前件真而 后件假，因而不是重言式。
• ((p q) q) p
•
F
•
T
F
•
TT
T
•
TT F
•
●从上图可见，q必须同时赋以真和假。
逻辑学第三章
例如：
哥德尔是一位伟大的逻辑学家，哥德尔是 一位重要的哲学家，所以，哥德尔既是 一位伟大的逻辑学家又是一位重要的哲 学家。
即，如果有了p，又有了q，那么就p并且q。
分解式
分解式：如果肯定一个联言命题，则可 以分别肯定其中的每一个联言支。其形 式为：
P并且q
p并且q
————— 或者 ——————
所以，p
所以，q
用符号表示：p∧q→p 或 p∧q→q
否定式
否定式：如果否定一个联言支，则可以否 定包含这个联言支的联言命题。其形式 是： 并非p
——————————— 所以，并非（p并且q） 符号表示¬p→ ¬（p∧q）
例如
并非李白是一位著名的小说家，所以， 并非李白既是伟大的诗人又是著名的小 说家。
• （1）所有有教养的人都有礼貌。 • （2）有的学生通过了这次考试。
• 简单命题的成分：
• 主项、谓项、量项和联项。(从词项逻辑 的角度)
• 个体词、谓词、量词和联结词。(从谓词 逻辑的角度)
复合命题是由联结词联结若干命题而形成 的命题，例如:
（1）莱布尼茨既是数学家，又是哲学家。 （2）如果明天天气好，我可能去泡北温
尽的可能假。 ⒉关于区分两种选言命题的问题 肢命题之间的关系逻辑涵义不同，选择适
当的逻辑联结词。 ⒊关于区分相容选言命题与联言命题的问题 两种命题不同的逻辑涵义；共存关系与选择
关系。
选言推理
选言推理是前提中有一选言命题，依据 选言命题的逻辑性质进行的推理。
选言命题分为相容选言命题和不相容选 言命题两类。相应地，选言推理也分为 相容选言推理和不相容选言推理两类。
联言命题的推理
联言命题的推理是根据联言命题的逻辑 性质进行推演的复合命题推理，其前提 或结论为联言命题。
逻辑学课件 第三四章 性质命题及其推理
2、在前提中不周延的项，在结论中不得 周延。 一个有效的三段论，前提必须蕴涵结论。 从外延方面看，就是要求结论的大项或 小项所断定的范围不能超前提中大项或 小项所断定的范围。否则，结论就不是 必然的。
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违反第2条规则所犯的逻辑错误有两种： （1）大项不当周延（又叫“大项扩 大”）。 （2）小项不当周延（又叫“小项扩 大”）。 例1、所有外语系的学生都是应该学好外 语的，我不是外语系的学生；所以，我 不是应该学好外语的。
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六、性质命题推理及其种类
1、定义：性质命题推理就是以性质命题为前 提，推出一个新的性质命题的推理。传统逻辑 称它为直言推理。 2、种类：性质命题的推理可分为直接推理 直接推理和 直接推理 间接推理（三段论） 间接推理（三段论）。 直接推理是以一个性质命题为前提推出一个性 直接推理 质命题为结论的推理。 三段论是以两个性质命题为前提推出一个性质 三段论 命题为结论的推理。
第三章 性质命题及其推理
2010-12-6
1
第一节 性质命题概述
一、什么是性质命题？ 性质命题是断定对象具有或不具有某种性质的 命题。 例：1、所有牛都是动物。 2、所有塑料都不是导体。 3、有些学生是团员。 4、有些人不是医生。 5、这个学生是湖北人。 6、那位老师不是湖北人。
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二、三段论的规则
（一）基本规则 1、中项在前提中至少要周延一次。 中项在前提中起媒介作用，通过它把大 项和小项联结起来。如果中项在前提中 一次也不周延，就不能起到媒介作用。 违反这条规则就会犯“中项不周延”的 逻辑错误。
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形式逻辑学第三章简单命题及其推理
1、换质推理 原则：
第一，改变前提命题的质。
第二，将前提命题的谓项变为它的矛盾概 念。
第三，前提命题的量项和主、谓项的位置 保持不变。
• SAPSE¯P
• 甲超市里的食品都是经过检疫的，所以， 甲超市里的食品都不是没经过检疫的。
• 所有高科技产品都是高附加值的，所以， 所有高科技产品都不是没有高附加值的。
• 有的细菌不是有害的，所以，有的细菌 是无害的。
• 有些青年人是大学生，所以，有些青年 人是非大学生。
2、换位推理 原则： 第一，改变主、谓项的位置。
第二，在前提中不周延的概念，在结论中 也不得周延。
第三，不改变前提命题的质。
• SAPPIS
• 伟大的领袖都是著名的政治家，所以， 有的著名的政治家是伟大的领袖。
3、所有的人都享有基本人权，所以，并 非所有的人都不享有基本人权。
4、人不能两次踏入同一条河流，所以， 并非人能够两次踏入同一条河流。
3、下反对关系推理
• ¬SIPSOP • ¬SOP SIP
1、并非有的非洲国家是有核武器的国家， 所以，有的非洲国家不是有核武器的国 家。
2、并非有些反刍动物不是哺乳纲动物，所 以，有些反刍动物是哺乳纲动物。
狐狸是动物 猫不是狐狸 所以，猫不是动物
四、两个否定前提不能推出结论
第三章 简单命题及其推理
第一节 命题与推理概述 第二节 性质命题 第三节 性质命题直接推理 第四节 三段论 第五节 关系命题
第一节 命题与推理概述
一、什么是命题 二、命题的种类 三、命题和语句 四、什么是推理 五、推理的种类
一、什么是命题
1、命题定义 就是人们在认知过程中，对思维对 象属性进行肯定或否定断定的思维 形式。
《逻辑学》(第二版) 第3章 命题逻辑的自然演绎系统 郭、熊 - 复件
例如：在证明中得到“a是偶数”和“a大于2”，自然可以推出“a
是大于2的偶数”。
第二节 推理规则
（二）合取消去规则（
E）
在同一级证明中，如果证明A B，就可以证明A；也可以证
明B。这是显然的，如果A B是真的，那么A和B都是真的。
例如，在证明中得到“a是大于2的偶数”，立即可得“a是
重复规则得到的。步骤[3]是从[1]和[2]用合取引入规则得到的。
每一步右侧书写得到该步骤所依据的规则。
第三节
系统NP中的推导
第三节
系统NP中的推导
案例分析：证明策略一（从结论想起）
• 注意：前面三个例子表明，一个自然演绎推演
和我们玩积木类似，是一个先把前提拆开再重
新组合成结论的过程。
• 分析：为避免少走弯路，一个最直接的证明策
子证明。
第三节
系统NP中的推导
一、合取规则的运用
1. 运用要求
在使用“合取引入规则（∧I）”与“合取消除规则（∧E）”时，我们要确保
由规则所推导出来的结论与其前提处于同一个子证明之中。
第三节
系统NP中的推导
第三节
系统NP中的推导
这里步骤[1]是前提，右侧标记pre表示。步骤[2]是从[1]运用
命题B和 B。这样就可以证明A。这种证明方法在数学中俗称“反证法”，
从假设 A引出一对矛盾命题，就证明了 A不成立，所以A成立。
注意:临时引入假设 A，往右退一格，引入从 A到B和 B的一级子证明。
子证明结束后，结论A回到上一级证明，这样就消除了临时引入的假设。
第二节 推理规则
（七）析取引入规则（
含有子证明的复杂证明具有如下一般形式：
命题逻辑命题自然推理
11．自然推理·命题自然推理的基本规则·归谬规则什么是自然推理自然推理是判定推理形式有效性的又一种方法。
自然推理的基本思想是确定一些推理规则，这些规则具有保真性，也就是说，依据这些规则，从真前提只会推出真结论。
因此，从所要判定的推理的前提出发，依据这些规则，如果能形式地推出预期的结论，这就说明该推理如果前提真，结论就一定真，因而是有效的。
当然，如果不能如此地推出预期的结论，尚不能就此断定推理是无效的，要判定推理的无效，还要用其他的方法。
因此，自然推理不是一种能行方法。
自然推理区别于一般公理化推理之处在于，作为推理依据的只有推理规则，没有公理。
这似乎更符合人们日常思维的自然习惯，因此，称之为自然推理。
本章只讨论用自然推理判定命题推理，因此，称之为命题自然推理。
命题自然推理的基本规则命题白然推理包括三条基本规则：规则P 在一个推导的任意—步，都可以引人任意一个真值形式作为前提。
规则T 在一个推导中．如果有一些先行出现的真值形式的合取重言地蕴涵A ，则可以在该推导中引人A 。
规则D 在一个推导中，，如果从一前提集和A 能推出B ，则从该前提集能推出A →B 。
所谓A 重言地蕴涵B ，就是指A →B 是重言式；自然，所谓n A A ,,1 的合取重言地蕴涵B ，就是指→∧∧n A A 1B 是重言式。
在求合取范式时，前面列出的常用重言式是被确认的基础；规则T 的运用，同样以这些常用重言式为基础。
不难证明，基于这三条基本规则的命题自然推理具有保真性，即从真前提不会推出假结论。
下面通过实例来说明如何构造命题自然推理。
[例1] 如果工资提高(p)，或者物价提高(q)，则将有通贷膨胀(r)。
如果通货膨胀，则或者国家将采取紧缩政策(s)，或者人民将遭受损失(t)。
如果人民遭受损失，改革就会失去人心(u)。
国家将不采取紧缩政策，并且改革不会失去人心。
因此，物价不会提高。
构造上述推理的自然推理如下：(1) {}1 ()r q p →∨ P (2) {}2 ()t s r ∨→ P(3) {}3 u t → P(4) {}4 u s ⌝∧⌝ P(5) {}4 s ⌝ T(4)(6) {}4 u ⌝ T(4)(7) {}4,3 t ⌝ T(3)（6）(8) {}4,3 t s ⌝∧⌝ T(5)（7）(9) {}4,3 )(t s ∨⌝ T （8）(10) {}4,3,2 r ⌝ T （2）（9）(11) {}4,3,2,1 )(q p ∨⌝ T （1）（10）(12) {}4,3,2,1 q p ⌝∧⌝ T （11） (13) {}4,3,2,1 q ⌝ T （12） 最后一行即为顶期的结论。
《逻辑学》第三章 命题的自然推理
简化的真值表方法（归谬赋值法）
仅适用于蕴涵式是否重言式的判定。蕴涵式表达一个推理形式， 因此也是一种判定复合命题推理是否有效的方法。由于其他的公式 可以转换成蕴涵式，所以，这是一种有一定普遍性的方法。 原理：一个公式或真或假；否定一个矛盾式，就得到一个重言 式；否定一个重言式，就得到一个矛盾式；假设一个公式为假，如 果至少一个变项的赋值必定出现矛盾（既赋真，又赋假），则表明 原来的假设是错误的，否定假，就得到真，即原公式是重言式。 步骤：1、写出被判定公式的横式（如有必要将其转换成蕴涵 式）；2、假设该蕴涵式为假；3、依次按照基本真值形式的定义， 给每一变项赋值；4、看得到赋值后的任一变项是否必然矛盾；5、 若至少有一变项的赋值必然矛盾，则原公式是重言式，它表达的推 理是有效的；否则不是重言式，相应的推理是无效的。 第一步：
《逻辑学》
3.1 重言式
真值形式与真值函项
真值形式
可以用类似于几何证明 的方法证明所有复合命题的 逻辑真理。检验复合命题推 理的有效性就变成一种逻辑 演算。
从自然语言来看逻辑形式，有时需要考虑真假关系之外的因素，如支命题 之间的相关性，语句的顺序等。如 ①如果摩擦，则生热； 明天或者有雨，或者无雨 ②如果2＋2＝5，那么男人就不是男性； 或者拉登已死，或者明天下雨 第②组至少是令人奇怪的，因为从常识来看，支命题之间缺少相关性。 情有可原，理无可恕； 理无可恕，情有可原 支命题顺序不同，意义不同。
10条
从给定的前提或假设出发，运用推理规则， 得到所要求的结论。在这一过程中，除了用 到上述东西而外，再无其他东西。
建立证明的规则
推理规则
（1）重现律 A （5）合取消去律 ∧_ （8）否定引入律¬ ＋ A A∧B A∧B [A] A B （2）蕴涵消去律 _ A, AB （6）析取引入律 ∨ ＋ B A B B ∧¬ B （3）蕴涵引入律+ A∨B A∨B ¬ A [A] （7）析取消去律 ∨ － （9）否定消去律 ¬ [A] [B] － ¬¬ A A A ∨B C AB （10）等值引入律＋ C [A] [B] （4）合取引入律∧+ C A， B A ∧B B A
离散数学 第3章 命题逻辑的推理理论
例 构造下面推理的证明 2 是素数或合数. 若 2 是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理数，则 4 不是素数. 所以，如果 4 是素数，则 2 是合数. 用附加前提证明法构造证明 （1）设 p：2 是素数，q：2 是合数， r： 2 是无理数，s：4 是素数 （2）形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
结论（不正确）是对的 方法四 直接观察出 10 是成假赋值
解（2）答案：推理正确 方法一 方法二 方法三 方法四 真值表法（自己做） 等值演算法（自己做） 主析取范式法（自己做） P 系统中构造证明 ① pr ② rp ③ qr ④ qp （前提引入） （①置换） （前提引入） （③②假言三段论）
（8） 假言三段论规则： AB BC AC （9） 析取三段论规则： AB B A （10） 构造性二难推理规则： AB CD AC BD
(11) 破坏性二难推理规则： AB CD BD AC （12）合取引入规则： A B AB
三、P 中的证明 例 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) (2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s 解 (1)证明： ① p→s 前提引入 ② ┐s 前提引入 ③ ┐p ①②拒取式 ④ p∨q 前提引入 ⑤ q ③④析取三段论 ⑥ q→r 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理 ⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取 此证明的序列长为 8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q) 是有效结论。
例
判断下面推理是否正确：
(1)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 4 整除。所以 a 能被 2 整除。 (2)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 2 整除。所以 a 能被 4 整除。 (3)下午马芳或去看电影或去游泳；她没有看电影。所以，她去游泳 了。 (4)若下午气温超过 30℃，则王小燕必去游泳；若她去游泳，她就不 去看电影了。所以王小燕没有去看电影，下午气温必超过了 30℃。
命题逻辑命题自然推理
11．自然推理·命题自然推理的基本规则·归谬规则什么是自然推理自然推理是判定推理形式有效性的又一种方法。
自然推理的基本思想是确定一些推理规则，这些规则具有保真性，也就是说，依据这些规则，从真前提只会推出真结论。
因此，从所要判定的推理的前提出发，依据这些规则，如果能形式地推出预期的结论，这就说明该推理如果前提真，结论就一定真，因而是有效的。
当然，如果不能如此地推出预期的结论，尚不能就此断定推理是无效的，要判定推理的无效，还要用其他的方法。
因此，自然推理不是一种能行方法。
自然推理区别于一般公理化推理之处在于，作为推理依据的只有推理规则，没有公理。
这似乎更符合人们日常思维的自然习惯，因此，称之为自然推理。
本章只讨论用自然推理判定命题推理，因此，称之为命题自然推理。
命题自然推理的基本规则命题白然推理包括三条基本规则：规则P 在一个推导的任意—步，都可以引人任意一个真值形式作为前提。
规则T 在一个推导中．如果有一些先行出现的真值形式的合取重言地蕴涵A ，则可以在该推导中引人A 。
规则D 在一个推导中，，如果从一前提集和A 能推出B ，则从该前提集能推出A →B 。
所谓A 重言地蕴涵B ，就是指A →B 是重言式；自然，所谓n A A ,,1 的合取重言地蕴涵B ，就是指→∧∧n A A 1B 是重言式。
在求合取范式时，前面列出的常用重言式是被确认的基础；规则T 的运用，同样以这些常用重言式为基础。
不难证明，基于这三条基本规则的命题自然推理具有保真性，即从真前提不会推出假结论。
下面通过实例来说明如何构造命题自然推理。
[例1] 如果工资提高(p)，或者物价提高(q)，则将有通贷膨胀(r)。
如果通货膨胀，则或者国家将采取紧缩政策(s)，或者人民将遭受损失(t)。
如果人民遭受损失，改革就会失去人心 (u)。
国家将不采取紧缩政策，并且改革不会失去人心。
因此，物价不会提高。
构造上述推理的自然推理如下：(1) {}1 ()r q p →∨ P(2) {}2 ()t s r ∨→ P(3) {}3 u t → P(4) {}4 u s ⌝∧⌝ P(5) {}4 s ⌝ T(4)(6) {}4 u ⌝ T(4)(7) {}4,3 t ⌝ T(3)（6）(8) {}4,3 t s ⌝∧⌝ T(5)（7）(10) {}4,3,2 r ⌝ T （2）（9）(11) {}4,3,2,1 )(q p ∨⌝ T （1）（10） (12) {}4,3,2,1 q p ⌝∧⌝ T （11）(13) {}4,3,2,1 q ⌝ T （12）最后一行即为顶期的结论。
3.命题的判定与自然推理
第三章命题的判定与自然推理一、填空二、运用真值表判定方法，指出下列复合命题形式哪个是重言式？哪个是矛盾式？哪个是可真式（可满足式）？1．p∧⌝q2．p∨⌝p3．p∨p4．（p∧q）∨（p→⌝q）5．（p→q）↔（p←q）6．（p∇ q）∧（⌝p∨q）∨（p∧⌝q）三、运用真值表判定方法，指出下列各组复合命题，哪组是等值关系？哪组是矛盾关系？哪组是反对关系？1．暑假我或者去九寨沟，或者去武夷山；暑假我如果不去九寨沟，就去武夷山。
2.只有张三不来开会，李四才来开会；张三来开会，李四也来开会。
3.你要么留在这里好好干，要么另找一个单位；当且仅当你不留在这里好好干，则另找一个单位。
4.这件商品物美价廉；这件商品物不美价不廉。
5.如果不到长城，就不是好汉；只有到长城，才是好汉。
6.室内交响乐不仅大学生喜欢，大学教师也喜欢；室内交响乐不是大学生喜欢，就是大学教师喜欢。
四、用真值表方法判定下列推理是否有效。
1. p∨⌝q；q；∴⌝p。
2. ⌝p→⌝q；⌝q；∴⌝p。
五、用归谬赋值法检验下列推理是否有效。
1. (p→⌝q)∧(p→⌝r)→(p→⌝q∨⌝r)2. (p→q)∧(p∨q) →(p∧q)六、运用真值表方法回答。
对某凶杀案件的三个可疑者来说，下列事实确凿：（1）a、b、c中至少一人有罪。
（2）a有罪时，b或c与之同案。
（3）c有罪时，a或b与之同案。
（4）b有罪时，没有同案者。
（5）a、c中至少一人无罪。
问：a、b、c中谁有罪，谁无罪？七、用命题的自然推理，证明下列公式是否有效式（定理）。
1．（A → B）∧A →B2．A∧B→A3．（A → B）∧（B →C）→（A→C）4．（A → B）↔（⌝B→⌝A）5．⌝（A∨B）↔⌝ A∧⌝B6．（A∨B）∨C↔ A ∨（B∨C）7．A ∧（B∨C）↔（A∧B）∨（A∧C）八、利用给出的符号给下面的论证构造命题自然推理形式证明。
1．A参加会议（p）或A未被邀与会（q）。
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基本真值联结词 ¬ 否定 ∧ 合取 ∨ 析取 蕴涵 等值
5种基本真值形式
¬ p 否定式
p ∧q 合取式 pq 蕴涵式 pq 等值式
p∨q 析取式 真值函项
函数讲的是数值关系，一个函数的值依赖于其中变数的值 y＝f（x），即y的值f（x）由x的取值决定。 与函数类比 真值函项讲的是真值（真假）关系，一个真值形式的值依 赖其变项的值，如p∧q的值，由p和q的值决定。 每一真值形式都是真值函项；真值形式与真值函项的数目并不一样多， 真值形式的数目无限，真值函项数却是确定的；不同的真值形式，表 达相同的真值函项；真值函项是对公式中变项的真假组合的真值断定， 变项组合数2n，对每一组合有真假两种断定，故真值函项数为22n。 当n（变项数）为1时，其真假组合为2，对真假组合的断定有4种可 能，即真值函项有4个；变项数为2，则真值函项有16个；变项数为3， 则真值函项为256个。
f9 f8 的矛盾式
f13 f4 的矛盾式
f14 f3 的矛盾式 f15 f2 的矛盾式
f10
f12
f7 的矛盾式
f5 的矛盾式
f11 f6 的矛盾式
f16
f1 的矛盾式
随着变项数目的增加，函项数也增加，当变项数目为3时，函项数目达 到256个。但不管函项数是多少，重言式的函项只是一个，矛盾式的函 项也是一个，其余均是可满足式。真值函项有3类，那么，表达真值函 项的真值形式也有3类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）和可满 足式（可真可假式）。当然，每一类真值函项包括很多的真值形式， 而同一类真值函项的真值形式是等值的。
但逻辑学难以对付诸如相关性、顺序等影响命题真假的因素。逻辑研究 撇开逻辑联结词在自然语言中的非真值意义，仅从复合命题与支命题之 间的真假制约关系来考虑逻辑联结词，这样，逻辑联结词就成为真值联 结词；命题的逻辑形式也就成为真值形式。
真值联结词 仅仅反映支命题与复合命题之间的真值关系的逻辑联结词 真值形式
常见的重言式（逻辑规律）
见教科书p83－84
3.2 命题的真值判定方法
真值表方法
真值表的作用
定义作用：5个基本真值形式的真值 表定义了5个真值形式。如，什么是 合取式？回答是，每一支命题为真， 则它为真的 那种真值形 p q p∧q 式，这正是 t t t 合取式的真 值表反映的 f t f 情况。 f f t f f f
P t f
f1 t t
p∨¬ p
f2 t f
f3 f t
f4 f f
真值函项是确定的，但真值 形式是无穷的。 f1 永真式（重言式） f4 永假式（矛盾式） f2 f3 可满足式（可真可假）
p p ¬ （p∧¬ p）
¬ p p∧¬ p p∨p p ¬ p ¬ （p p） p∧p p∨¬ p ¬ （p∨¬ p） ¬ （¬ p） ¬
f1
f2
f3
f4
永真式表达逻辑规律，永假式的否定也是永真式，逻辑主要研究重言式 若变项数为2，则真值函项总数是16，但其真值函项的种类仍是3类，即 重言式、矛盾式和可满足式： f1 是重言式， f16 是矛盾式， f2 —f15是可满 足式
p q t t t f f t f f f1 f2 f3
f1 t t t t
通过研究真值函项，使我们看到无穷的真值形式中的同一的和本质 的东西，即不同形式的真值形式（公式）表达相同的真值函项。而且， 可以把纷繁的真值形式加以归类，因为有多少真值函项，就有多少真值 形式的类，使逻辑研究集中于规律性的东西上。逻辑主要研究重言式。
重言式
重言式是逻辑真理的表现形式，是关于复合命题的逻辑规律 其中的重言蕴涵式、重言等值式表达有效推理
仅仅反映支命题与复合命题之间的真值关系的命题形式 基本真值形式 真值形式是命题形式的一部分 “不但，而且”等不是真值形式。在命题逻辑中， 命题形式也就是真值形式。 命题形式的定义 (ⅰ)任何命题变项是命题形式，如，p，q，p1 (ⅱ)若A与B是命题形式，则¬A、A∧B、A∨B、 AB、AB也是命题形式 （ⅲ）只有符合(ⅰ)、(ⅱ)的才是命题形式
p∧q p ; p p∨q ; (p∧q) ∨(p∧¬ q) ∨ (¬ p∧q) ∨(¬ p∧¬ q)等 f7 pq; (p q) ∧ (¬ p ¬q ) p∨q ; ¬ (¬ p∧¬ q) 等 f8 p∧q ; ¬(¬p ∨¬q) ¬ p ¬ q ； q p ； p∨¬ q等
f4 p ∨(q ∧¬q)；p ∧（q∨¬q)等 f5 p q ； ¬p∨q； ¬q ¬p等 f6 q ∨(p ∧¬p)；q∧（p∨¬p)等
f2 t t t f
f3 t t f t
f4 t t f f
f5 t
f6 t
f7 t t f f f f t f
f8 f t t t
f9 f10 f t t f f t f t
f11 f t f f
f12 f f t t
f13 f f t f
f14 f f f t
f15 f f f f
f16
f f t t t f
判定作用： 1、判定一个公式的性质（重言 式，矛盾式或可满足式）； 2、判定任意多个公式的关系 （等值或矛盾等）； 3、判定一个推理是否有效，即 它是否一个重言的蕴涵式或 等值式。
真值表的作法
分解公式。把一复杂公式分解为支命题和命题变项。如
（（p∧q ）r） （（¬号外的联结词。蕴涵号 得到（（p∧q ）r）和（¬ r ∧ p） ¬ q ）再行分解 得到p∧q 和r； ¬ r ∧ p和¬ q 按变项－最简单公式－复杂公式顺序排列 p，q，r， ¬ q，¬ r ，p∧q ， ¬ r ∧ p， （p∧q ）r，（¬ r ∧ p） ¬ q， 最后是总公式（（p∧q ）r） （¬ r ∧ p） ¬ q） 可以坚持一条原则：一公式的支命题在前，该公式在后，因此顺序也可排为 p，q，r， ¬ q，¬ r ，p∧q ， （p∧q ）r， ¬ r ∧ p ,（¬ r ∧ p） ¬ q， 只要保证，被判定的公式的支命题在先已经赋值即可。 然后画表，先画一个偏十字或表格，将分解后的公式成分由简到繁写进表
《逻辑学》
3.1 重言式
真值形式与真值函项
真值形式
可以用类似于几何证明 的方法证明所有复合命题的 逻辑真理。检验复合命题推 理的有效性就变成一种逻辑 演算。
从自然语言来看逻辑形式，有时需要考虑真假关系之外的因素，如支命题 之间的相关性，语句的顺序等。如 ①如果摩擦，则生热； 明天或者有雨，或者无雨 ②如果2＋2＝5，那么男人就不是男性； 或者拉登已死，或者明天下雨 第②组至少是令人奇怪的，因为从常识来看，支命题之间缺少相关性。 情有可原，理无可恕； 理无可恕，情有可原 支命题顺序不同，意义不同。