矢量张量公式及推导

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电动力学——矢量和张量课件

矢量和张量vectors and tensors中山大学理工学院黄迺本教授(2005级,2007年3月)如果不理解它的语言,没有人能够读懂宇宙这本书,它的语言就是数学.——Galileo经典电动力学的研究对象——电磁相互作用的经典场论——狭义相对论——电动力学的相对论协变性主要数学工具微积分、线性代数、矢量与张量分析、数学物理方程、级数等.教材和参考书教材：郭硕鸿《电动力学》（第二版）高等教育出版社，1997参考书：[1]黄迺本，方奕忠《电动力学（第二版）学习辅导书》，高等教育出版社，2004[2]J.D.杰克孙《经典电动力学》人民教育出版社，1978[3]费恩曼物理学讲义，第2卷，上海科技出版社，2005[4]朗道等《场论》人民教育出版社，1959[5]蔡圣善等《电动力学》（第二版），高等教育出版社，2003[6]尹真《电动力学》（第二版），科学出版社，2005[7]Daniel R Frankl,ELECTROMAGNETIC THEORY,Prentice-Hall,Inc.,1986矢量和张量目录(contens)1.矢量和张量代数(the algebra of vectors and tensors)2.矢量和张量分析(the analysis of vectors and tensors)3.δ函数(δ function)4.球坐标系和柱坐标系1 矢量和张量代数在三维欧几里德空间中，按物理量在坐标系转动下的变换性质，可分为标量（零阶张量），矢量（一阶张量），二阶张量，及高阶张量.（见郭硕鸿，电动力学，P258）分为：0 阶张量，即标量(scalar)，在3维空间中，只有30 = 1个分量.标量是空间转动下的不变量.例如，空间中任意两点之间的距离r ，就是坐标系转动下的不变量.温度、任一时刻质点的能量、带电粒子的电荷、电场中的电势，等等,都是标量.1阶张量，即矢量(vector)，在3维空间中，由31 = 3个分量构成有序集合.例如，空间中任意一点的位置矢量r ，质点的速度v 和加速度a ,作用力F 和力矩M ,质点的动量p 和角动量L 、电流密度J ,电偶极矩p ,磁偶极矩m ,电场强度E ,磁感应强度B ,磁场矢势A ，等等都是矢量.2阶张量(tow order tensor )，在3维空间中，由32 = 9个分量构成有序集合.例如，刚体的转动惯量→→I ,电四极矩→→D ,等.3阶张量，在3维空间中，由33 = 27个分量构成有序集合.矢量表示印刷——用黑体字母，如 r , A 书写——在字母上方加一箭头，如 A r ,正交坐标系的基矢量正交坐标系(如直角坐标系,球坐标系,柱坐标系)基矢量321,e e e ,的正交性可表示为⎩⎨⎧≠===⋅ji j i ij 01δj i e e (1.1) 一般矢量A 有三个独立分量A 1，A 2，A 3，故可写成∑==++=31332211i i i A A A A ee e e A (1.2)矢量的乘积两个矢量的标积与矢积，三个矢量的混合积与矢积分别满足A B B A ⋅=⋅ (1.3)A B B A ⨯-=⨯ (1.4))()()(B A C A C B C B A ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ (1.5))()()(B A C A C B C B A ⋅⋅=⨯⨯- (1.6)并矢量与二阶张量两个矢量A 和B 并置构成并矢量j i e e e e e e e e AB j j i i B A B B B A A A ∑==++++=31,332211332211))(( (1.7)它有9个分量j i B A 和9个基j i e e ，一般地BA AB ≠.三维空间二阶张量也有9个分量ij T ，它的并矢量形式与矩阵形式分别为j i e e ∑=→→=31,j i ij T T (1.8)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211T T T T T T T T T T (1.9) 张量的迹是其主对角线全部元素(分量)之和：332211tr T T T T ++= (1.10)单位张量的并矢量形式与矩阵形式分别是332211e e e e e e ++=→→I (1.11)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I (1.12)因此(Ⅰ.1)式中的符号ij δ实际上是单位张量的分量.对称张量与反对称张量若ij ji T T =，称之为对称张量，它有6个独立分量，若对称张量的迹为零，则它只有5个独立分量.单位张量是一个特殊的对称张量. 若ij ji T T -=，称之为反对称张量，由于0332211===T T T ，反对称张量只有3个独立分量.任何张量ij T 均可写成一个对称张量ij S 与一个反对称张量ij A 之和，即ij ij ij A S T +=，只需使)/2(ji ij ij T T S +=，)/2(ji ij ij T T A -=.二阶张量与矢量点乘，结果为矢量.由(Ⅰ.1)式，有∑∑∑∑==⋅=⋅→→ij j ij i j ki ij ji k k k ij ij k k T A e T A T A T e e e e A ji δ,, (1.13) ∑∑∑∑==⋅=⋅→→ij i ij j i ij k j i k k k k ij ij T A e T A A T T e e e e A jk j i δ,, (1.14)一般地A A ⋅≠⋅→→→→T T . 但单位张量与任何矢量点乘，均给出原矢量：A A A =⋅=⋅→→→→I I (1.15) 并矢量与并矢量、或二阶张量与二阶张量双点乘，结果为标量.运算规则是先将靠近的两个矢量点乘，再将另两个矢量点乘：))(()()(D A C B CD AB ⋅⋅=: (1.16)2 矢量和张量分析（1）算符∇和2∇物理量在空间中的分布构成“场”(field).表示“场”的物理量一般地是空间坐标的连续函数，也可能有间断点，甚至会有奇点.例如:温度T 、静电势ϕ的分布都构成标量场；电流密度J 、电场强度E 、磁感应强度B 、磁场矢势A 的分布都构成矢量场.∇是对场量作空间一阶偏导数运算的矢量算符，2∇=∇⋅∇是二阶齐次偏导数运算的标量算符，即拉普拉斯算符.在直角坐标系中z y x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e ，2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ (2.1) 三个基矢量z y x e ,e ,e 均是常矢量.（2）标量场的梯度(gradient of a scalar field)标量场ϕ在某点的梯度zy x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕe e e (2.2)是一个矢量，它在数值上等于ϕ沿其等值面的法向导数，方向沿ϕ增加的方向，即n dnd ϕϕ=∇ (2.3) 例如静电势ϕ的分布是一个标量场,E =-∇ϕ即变成矢量场——静电场.（3）矢量场的散度(divergence of a vector field)矢量场A 通过某曲面S 通量(flux)定义为⎰⋅=ΦSd S A (2.4) 其中n S dS d =是曲面S 某点附近的面积元矢量，方向沿曲面的法向n .对于闭合曲面(closed surface)，规定S d 的方向沿曲面的外法向.对于矢量场A 中包含任一点)(z y x ,,的小体积V ∆，其闭合曲面为S ，定义极限A S A ⋅∇=∆⋅⎰→∆Vd SV 0lim (2.5) 为矢量场A 在该点的散度，它是标量.在直角坐标系中zA y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A (2.6) 若0≠⋅=Φ⎰S d S A , 则该点散度0≠⋅∇A ，该点就是矢量场A 的一个源点；若0=⋅=Φ⎰Sd S A ，则该点散度0=⋅∇A ，该点不是矢量场A 的源点. 若处处均有0=⋅∇A ，A 就称为无散场(或无源场)，它的场线必定是连续而闭合的曲线.磁场B 就是无散场(solenoidal field ).高斯定理(Gaussl theorem ) 对任意闭合曲面S 及其包围的体积V ，下述积分变换定理成立⎰⎰⋅∇=⋅S V A S A dV d (2.7) 由此推知，若A 是无散场，即处处有0=⋅∇A ，则A 场通过任何闭合曲面的净通量均为零.（4）矢量场的旋度(curl of a vector field)矢量场A 沿闭合路径(closed contour)L 的积分⎰⋅Ld l A 称为A 沿L 的环量(circulateon)，其中l d 是路径L 的线元矢量.若对任意闭合路径L ，均有0=⋅⎰Ld l A (2.8) 则称A 为保守场（conservative field ）.当闭合路径L 所围成的面积元S ∆是某点P 的无限小邻域，我们约定：路径积分的绕行方向即d l 的方向，与其所围成的面积元S ∆的法向n 成右手螺旋关系，并定义极限n LS S d )()(lim 0A n A l A ⨯∇=⋅⨯∇=∆⋅⎰→∆ (2.9)为矢量场A 在该点的旋度A ⨯∇在n 方向的分量.在直角坐标系中z x y y z x x y z yA x A x A z A z A y A e e e A )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇ (2.10) 它是矢量.按上述约定若()0>⨯∇n A ，则A 线在该点周围形成右手涡旋；若()0<⨯∇n A ，则A 线在该点周围形成左手涡旋；若()0=⨯∇n A ，A 线在该点不形成涡旋.如果所有点上均有0=⨯∇A ,A 就称为无旋场.例如静电场E 就是无旋场(irrotational field).斯托克斯定理(stokes theorem) 对任意的闭合路径L 所围的曲面S ，下述积分变换成立()S A l A Sd d L ⋅⨯∇=⋅⎰⎰ (2.11) （5）矢量场的几个定理标量场的梯度必为无旋场：0=∇⨯∇ϕ (2.12)【证】对任意标量场ϕ的梯度zy x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕe e e 取旋度，可得[]0)()(=∂∂∂∂-∂∂∂∂=∇⨯∇yx x y x ϕϕϕ， []0=∇⨯∇y ϕ，[]0=∇⨯∇z ϕ 逆定理：无旋场必可表示成某一标量场的梯度，即若0=⨯∇A ,必可令ϕ∇=A例如对于静电场强度E ，就可用标势ϕ的负梯度描写: ϕ-∇=E .矢量场的旋度必为无散场：0=⨯∇⋅∇A (2.13)【证】0)()()(=∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂=⨯∇⋅∇y A x A z x A z A y z A y A x x y z x y z A 逆定理：无散场必可表成另一矢量场的旋度，即若0=⋅∇B , 必可令A B ⨯∇=例如对于磁感应强度B ，就可用矢势A 的旋度描写.（6）算符运算标量函数ϕ的梯度ϕ∇是矢量，矢量函数f 的散度f ⋅∇是标量，旋度f ⨯∇是矢量，而f ∇是二阶张量：∑∑∑===∂∂=∂∂=∇31,3131j i i j j j i i x f f x j i j i e e e e f (2.14)若ϕ和φ是标量函数，f 和g 是矢量函数，有ϕφφϕϕφ)()()(∇+∇=∇ (2.15) ϕϕϕ)()()(f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇ (2.16) ϕϕϕ)()()(f f f ⨯∇+⨯∇=⨯∇ (2..17) f g g f g f ⋅⨯∇⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(- (2.18) f g g f g f f g g f )()()()()(⋅∇+∇⋅⋅∇-∇⋅=⨯⨯∇- (2.19) g f g f f g f g g f )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ (2.20) g f g f fg )()()(∇⋅+⋅∇=⋅∇ (2.21) f f f 2)()(∇⋅∇∇=⨯∇⨯∇- (2.22)上述运算不必采用化成分量的方法进行，只要抓住算符∇的微分作用及其矢量性质，便可快捷准确地写出结果.当∇作用于两个函数的乘积（或两个函数之和）时，表示它对每一个函数都要作微分运算，可以先考虑∇对第一个量的作用，并将这个量记为∇的下标，以示算符只对此量执行微分运算，第二个量则视为常数，再考虑∇对第二个量的作用，此时亦将第二个量记为∇的下标，第一个量则视为常数；必须注意的是，算符不能与其微分运算对象掉换次序.例如(2.16)式，)(f ϕ⋅∇是对矢量f ϕ求散度，故运算结果的每一项都必须是标量，我们有ϕϕϕϕϕϕ)()()()()(f f f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇f又如(2.20)式，)(g f ⋅∇是对标量g f ⋅求梯度，结果的每一项都必须是矢量，先把它写成)()()(g f g f g f ⋅∇+⋅∇=⋅∇g f再根据三矢量的矢积公式(1.6)式，但结果中必须体现f ∇对f 的微分作用，以及g ∇对g 的微分作用，故有f g f g g f )()()(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇fg f g f g f )()()(∇⋅+∇⨯⨯=⋅∇gg f g f f g f g g f )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇右方所得结果中第二项实际上是f g ∇⋅，第四项是g f ∇⋅.（7）积分变换⎰⎰⋅=⋅∇SV d dV S A A )( （高斯定理） (2.23.) →→→→⋅=⋅∇⎰⎰T d dV T SV S )( (2.24) ⎰⎰⋅=⋅⨯∇LS d d l A S A )( （斯托克斯定理） (2.25) ⎰⎰⋅∇=∇+∇SV d dV S )()(22φϕϕφφϕ（格林公式） (2.26) ⎰⎰⋅∇-∇=∇-∇SV d dV S )()(22ϕφφϕϕφφϕ（格林公式） (2.27) 3 δ函数一维δ函数定义为 ⎩⎨⎧'≠'=∞='-x x x x x x 0)(δ (3.1) 1)(='-⎰b adx x x δ ，当b x a <'< (3.2) 主要性质为：)(x x '-δ为偶函数，其导数是奇函数；又若函数)(x f 在x x '=附近连续，有)()()(x f dx x x x f ba '='-⎰δ，当b x a <'< (3.3) 这一性质由中值定理可以证明.三维δ函数定义为⎩⎨⎧'≠'=∞='-x x x x x x 0)(δ (3.4) 1)(='-⎰VdV x x δ，当x '在V 内 (3.5) 因此，位于x '的单位点电荷的密度可表示为)()(x x x '-=δρ. (4.3)式可推广到三维情形，若函数)(x f 在x x '=附近连续，便有)()()(x x x x '='-⎰f dV f V δ，当x '在V 内 (3.6)4.球坐标系和圆柱坐标系直角坐标系当坐标),,(z y x 变化时，三个基矢z y x e ,e ,e 的方向保持不变.常用的微分运算表达式为z y x zy x e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ (4.1) zA y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A (4.2) z x y y z x x y z y A x A x A z A z A y A e e e A )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇ (4.3) 2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ (4.4)曲线正交坐标系任一点的坐标也可用曲线正交坐标系描述，沿三个坐标),,(321u u u 增加方向的基矢量321e ,e ,e 互相正交，随着坐标变化，一般地三个基矢量的取向将会改变.无限小线元矢量l d 、坐标i u 的标度系数i h ，以及微分算符分别为333222111332211e e e e e e l du h du h du h dl dl dl d ++=++= (4.5)21222])()()[(ii i i u z u y u x h ∂∂+∂∂+∂∂= (4.6) 333222111111u h u h u h ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e (4.7) )]()()([13321322132113213212u h h h u u h h h u u h h h u h h h ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇ (4.8) 球坐标系r u =1，θ=2u ，φ=3u ；11=h ，r h =2，θsin 3r h =.三个基矢r e e =1，θe e =2，φe e =3的方向均与坐标θ和φ有关，而与r 无关.与直角坐标系基矢的变换为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x e e e e e e r 0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin φφθφθφθθφθφθφθ (4.9) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡φθθθφφθφθφφθφθe e e e e e r 0sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin z y x (4.10)坐标变换为φθcos sin r x =，φθsin sin r y =，θcos r z = (4.11)常用的微分运算表达式为φϕθθϕϕϕφθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11r r r re e e (4.12) φθθθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A r A r A r rr r sin 1)sin (sin 1)(122A (4.13) φθθφθφθφθφθθθe e e A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=⨯∇r r r A A r r r A r r A r A A rsin -))-(1(sin 11)sin (1 (4.14) 2222222sin 1)sin (sin 1)(1φϕθθϕθθθϕϕ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇r r r r r r (4.15) 立体角元、球面积元与体积元分别为φθθd d d sin =Ω (4.16) Ω===d r d d r dl dl dS r 2232sin φθθ (4.17) φθθd drd r dl dl dl dV sin 2321== (4.18)柱坐标系r u =1，φ=2u ，z u =3； 11=h ，r h =2，13=h .三个基矢量r e e =1，φe e =2 ，z e e =3中，r e 和φe 的方向均与坐标φ有关，z e 则为常矢量.与直角坐标系基矢的变换为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z e e e e e e r 1000cos sin 0sin cos φφφφφ (4.19) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z z y x e e e e e e r φφφφφ1000cos sin 0sin cos (4.20)坐标变换为φcos r x =，φsin r y =，z z = (4.21)常用的微分运算表达式为z r zr r e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕφϕϕϕφ1 (4.22) z A A r A r r r z r ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇φφ1)(1A (4.23)z r z r r z A A r r r rA z A z A A r e e e A ]([1()1(φφφφφ∂∂-∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=⨯∇))-- (4.24)2222221)(1z r r r r r ∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∇ϕφϕϕϕ (4.25) 体积元为dz rdrd dl dl dl dV φ==321 (4.26)例1．设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u dudfu f ∇=∇)( (1) dud u u AA ⋅∇=⋅∇)( (2) dud u u AA ⨯∇=⨯∇)( (3) 【证】对于)(u f ∇，注意到du df u f =∂∂，有u drdf z u y u x u du df zf y f x f u f z y x z y x∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇)()(e e e e e e在直角坐标系中将矢量A 写成分量形式，便可证明(2)式和(3)式.例2．从源点（即电荷电流分布点）x '到场点x 的距离r 和矢径r 分别为222)()()(z z y x y x x r '-+'-+'-= z y x z z y -y x -x e e e r )-()('+'+'=)(对源变数x '和场变数x 求微商的算符分别为z y x z y x'∂∂+'∂∂+'∂∂=∇'e e e ,zy x zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e 证明下列结果，并体会算符∇'与∇的关系：rr r r=∇'-=∇ (单位矢量) (1) 3=⋅∇'-=⋅∇r r (2) 0=⨯∇'-=⨯∇r r (3)→→=∇'-=∇I r r (单位张量) (4) 311rr r r-=∇'-=∇(5)033=⋅∇'-=⋅∇rrr r ，（0≠r ） (6) 033=⨯∇'-=⨯∇r r r r (7)【证】将算符∇与∇'分别作用于r 和矢径r 的表达式，可得到(1)至(4)式的结果.利用前面1.2题的第一式和本题(1)至(4)式的结果，得3211)(1rr r r dr r d r rr -=-=∇=∇- 0)(333=⋅∇+⋅∇=⋅∇-r r r -r r r ，（当0≠r ） 0)(333=⨯∇+⨯∇=⨯∇-r r r -r r r同理可证31r r r =∇'；03=⋅∇'rr ，当0≠r ；03=⨯∇'r r.事实上，对任意的标量函数)(r f 和矢量函数r )(r f ，不难证明)()(r f r f ∇'-=∇；])([])([r r r f r f ⋅∇'-=⋅∇ ])([])([r r r f r f ⨯∇'-=⨯∇；])([])([r r r f r f ∇'-=∇即算符∇与∇'存在代换关系∇'-→∇.这种代换将会经常用到.。

所有矢量计算公式解析

所有矢量计算公式解析矢量计算公式解析。

矢量是物理学和工程学中经常出现的概念，它们可以用来描述物体的运动、力和速度等。

在矢量计算中，有一些常见的公式和运算规则，下面我们来逐个解析这些公式。

1. 矢量的加法和减法。

矢量的加法和减法是矢量计算中最基本的运算之一。

假设有两个矢量A和B，它们的加法和减法运算分别如下：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)。

A B = (Ax Bx, Ay By)。

其中，Ax和Ay分别表示矢量A在x和y方向上的分量，Bx和By表示矢量B 在x和y方向上的分量。

通过这些公式，我们可以很容易地计算出两个矢量的和或差。

2. 矢量的数量积。

矢量的数量积又称为点积，它是矢量计算中另一个重要的运算。

假设有两个矢量A和B，它们的数量积运算如下：A·B = |A| |B| cosθ。

其中，|A|和|B|分别表示矢量A和B的模长，θ表示两个矢量之间的夹角。

通过这个公式，我们可以计算出两个矢量的数量积，从而得到它们之间的关系。

3. 矢量的叉积。

矢量的叉积又称为向量积，它是矢量计算中另一个重要的运算。

假设有两个矢量A和B，它们的叉积运算如下：A×B = |A| |B| sinθ n。

其中，|A|和|B|分别表示矢量A和B的模长，θ表示两个矢量之间的夹角，n表示一个垂直于A和B所在平面的单位矢量。

通过这个公式，我们可以计算出两个矢量的叉积，从而得到它们之间的关系。

4. 矢量的分解。

在实际问题中，我们经常需要将一个矢量分解成两个分量矢量，以便进行更方便的计算。

假设有一个矢量A，它可以被分解成在x和y方向上的两个分量矢量Ax和Ay，分解公式如下：A = Ax + Ay。

其中，Ax和Ay分别表示矢量A在x和y方向上的分量。

通过这个公式，我们可以将一个矢量分解成两个分量矢量，从而方便进行计算。

5. 矢量的单位化。

在矢量计算中，有时我们需要将一个矢量转化为单位矢量，以便进行更方便的计算。

矢量和张量

• 假设 xi 和 xi 是共原点的两个笛卡尔右
手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中
的分量分别为vi 和 vi ，则有
vi lij v j
• lij cos(xi, xi ) 称为方向余弦，即 xi 与 x j
轴夹角的余弦。
方向余弦表
新坐标轴
x1
x2
x3
老坐标轴
x1
x2
x3
l11
l12
l13
l21
• 根据线性变换的思想来定义张量。
• 标量不受坐标变换的影响，定义为零阶张量，分量数=30=1。
• 满足 vi lijv j ，这些矢量称为一阶张量，分量数=31=3。
• 满足 aij liml jnamn ，称为二阶张量，分量数= 32=9。
• 满足aijk liml jnlkpamnp ，称为三阶张量，分量数=33=27。
W U V
• W的大小等于由U和V组成的平行四边形的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 e2 e3 W U V u1 u2 u3
v1 v2 v3
e1(u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3(u1v2 u2v1)
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
U V (V U )
• 在下标中，用一个逗号表示微分，如：
vi ,i
v1 x1
v2 x2
v3 x3
V
1.3.2 ij符号（Kronecker符号）
•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的缩写形式，即
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
•由求和约定可得到
ii 11 22 33 3
• 由于
ij v j vi

张量和矢量12页word文档

§1 向量代数1.1向量的定义从几何观点来看，向量定义为有向线段。

在三维欧氏空间中，建立直角坐标系，沿坐标方向的单位向量为，即其标架为。

设从坐标原点至点的向量为，它在所述坐标系中的坐标为，那么可写成(1.1)设在中有另一个坐标系，其标架为，它与之间的关系为（1.2）由于单位向量之间互相正交，之间也互相正交，因此矩阵(1.3)将是正交矩阵，即有，其中上标表示转置。

从(1.2)可反解出（1.4）向量在新坐标系中的分解记为(1.5)将(1.4)代入(1.1),得到(1.6)公式(1.6)是向量的新坐标和旧坐标之间的关系，它是坐标变换系数的一次齐次式。

这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。

可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。

这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组，如果在坐标变换下为关于变换系数由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。

1.2 Einstein约定求和用求和号，可将(1.1)写成(1.7)所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成(1.8)在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成(1.9)有时亦称求和的指标为“哑指标”。

本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。

按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成(1.10)(1.11)将(1.11)代入(1.8)，得(1.12)由此就得到了(1.6)式的约定求和写法，(1.13)今引入Kronecker记号，(1.14)例如。

应用，单位向量之间的内积可写成(1.15)向量和向量之间的内积可写成(1.16)上式中最后一个等号是因为只有时，才不等于零，在这里的作用似乎是将换成了，因而也称为“换标记号”。

再引入Levi-Civita 记号，(1.17)其中分别取1，2，3中的某一个值。

张量和矢量

§1 向量代数1.1向量的定义从几何观点来看，向量定义为有向线段。

在三维欧氏空间中，建立直角坐标系，沿坐标方向的单位向量为，即其标架为。

这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。

可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。

本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。

按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成(1.10)(1.11)将(1.11)代入(1.8)，得(1.12)由此就得到了(1.6)式的约定求和写法，(1.13)今引入Kronecker记号，(1.14)例如。

再引入Levi-Civita记号，(1.17)其中分别取1，2，3中的某一个值。

附录矢量与张量运算

附录矢量与张量运算1标量﹑矢量与张量1.1基本概念在本书中所涉及的物理量可分为标量、矢量和张量。

我们非常熟悉标量，它是在空间没有取向的物理量，只有一个数就可以表示其状态。

例如质量、压强、密度、温度等都是标量。

矢量则是在空间有一定取向的物理量，它既有大小、又有方向。

在三维空间中，需要三个数来表示，即矢量有三个分量。

考虑直角坐标右手系，三个坐标轴分别以1、2和3表示，、2和3分别表示1、2和3方向的单位矢量。

如果矢量a 的三个分量分别为a 1、、a 2、a 3，则可以表示为也可以用以下符号表示 a =(a 1,a 2,a 3)矢量a 的大小以a 表示a =(a 12+a 22+a 32)1/2我们还会遇到张量的概念，可将标量看作零阶张量，矢量看作一阶张量，在此将主要讨论二阶张量的定义。

二阶张量w 有9个分量，用w ij 表示。

张量w 可用矩阵的形式来表示：w 其中下标相同的元素称为对角元素，下标不同的元素称为非对角元素。

若w ij =w ji ，则称为对称张量。

如果将行和列互相交换就组成张量w 的转置张量，记作w T ,则w T =显然，若w 是对称张量，则有w =w T 。

另外，如果w T =-w ，w 被称为反对称张量，同时有w ij =-w ji 。

任何一个二阶张量都可以写成两部分之和，一部分为对称张量，另一部分为反对称张量。

w =(w +w T )+ (w -w T )单位张量是对角分量皆为1，非对角分量皆为0的张量是最简单的对称张量。

张量对角分量之和称为张量的迹t r w =张量的迹是标量，如果张量的迹为零，称此张量为无迹张量。

1.2基本运算1.2.1矢量加法与乘法运算在几何上，矢量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

如图附-1所示，减法为加法的逆运算。

1e e e a 332211e e e a a a a ++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211w w w w w w w w w ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332313322212312111w w w w w w w w w 2121δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001δδ∑iiiw图附-1 矢量加减法在解析上，矢量加法（减法）为对应分量之和（差）。

矢量、并矢和张量

(
)
)
(
并矢并矢
1）两并矢的一次点乘： AB ⋅ CD = A B ⋅ C D = A B ⋅ C AD ≠ CD ⋅ AB
( )
(
)
)
2）两并矢的二次点乘 AB : CD = B ⋅ C A ⋅ D
(
)(
)
3）单位张量与矢量、张量的点乘
反向定律： A × B

逆向交换定律： A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B) 逆向变换定律： A × ( B × C) = B ⋅ (C ⋅ A) − C ⋅ ( A ⋅ B) 4、矢量微分

ˆ dA ˆ dA dA =A +A dt dt dt d ( A ⋅ B) dB dA = A⋅ + ⋅B dt dt dt
i, j
( (
(
) )
)
(
)
C ⋅ AB = C ⋅ A B = B C ⋅ A = B A ⋅ C = BA ⋅ C
(
)
(
)
(
)
电动力学讲稿●附录
AB × C = C × AB =
(
A B ×C C×A B
电动力学讲稿●附录
矢量、并矢和张量的计算
一、矢量 1、矢量表示形式
3 ˆ x + Ay e ˆ y + Az e ˆ z = ∑ Ai e ˆi A = Ax e i =1 3 ˆx + By e ˆ y + Bz e ˆ z = ∑i , j =1

张量分析课件第二章2 矢量函数

这等价于：
l t i m t 0 x 1 ( t ) x 0 1;l t i m t 0 x 2 ( t ) x 0 2;l t i m t 0 x 3 ( t ) x 0 3
因此有如下结论：lt ti0x m (t) x 0i1 1 x 0i2 x 0i3 x 0
（2.4-2）
这一结论推广到多个参数矢量函数中可表述为：若矢量
例14：
已知矢量函数：
1．
x ( t ) s i n ti 1 c o s ti 2 ; 0 t
2．
x(t)sint i1 cost i2
;
cost i1 sint i2
;
0t
2
t
2
3．
x(t)sint i1 cost i2
;
2cost i1 2sint i2
;
0t
2
t
2
试分析矢量函数的连续性；并画出矢量的矢端曲线。
矢量 x (t) 的左、右极限满足：
x(t0 ) x(t0 ) x(t0 ) x(t0 )
（2.4-5）
则称x (t)在t0点的矢量方向变化是连续的。当x (t)在参数的某一区间内的取值每一点都满足（2.4-5）式时，则称 x (t)
在参数的取值区间内的矢量方向变化是连续的。
矢量 x (t) 的左、右极限满足： x(t0)x(t0)
va
2－9）。以时间t作为参数。质点的速度矢 o
i1 vb
v1 x1
量作为时间t的函数为 v v(t)图2－9给出了 t t 0 v1
时的四个矢量。由 tt0,tta,ttb,tt1
v0 , va , vb , v1
图2－9
于这四个矢量都是自由矢量，且。将这四 v0vavbv1v0

矢量与张量

一．矢量与张量1.1矢量及其代数运算公式1.1.1矢量在三维Euclidean 空间中，矢量是具有大小与方向且满足一定规律的实体，用黑体字母表示，例如u,v,w 等。

它们所对应的矢量的大小（称模、值）分别用|u |,|v |,|w |表示。

称模为零的矢量为零矢量，用0表示。

称与矢量u 模相等而方向相反的矢量为u 的负矢量，用-u 表示。

矢量满足以下规则：（1）相等：两个矢量相同的模和方向，则称这两个矢量相等。

即，一个矢量做平行于其自身的移动则这个矢量不变。

（2）矢量和：按照平行四边形定义矢量和，同一空间中两个矢量之和仍是该空间的矢量.矢量和满足以下规则：交换律： u +v =v +u结合律：（u +v )+w =u +(v +w ) 由矢量和与负矢量还可以定义矢量差： u -v =u +(-v ) 并且有u +(-u )=0(3)数乘矢量：设a,b 等为实数，矢量u 乘数实数a 仍是同一空间的矢量，记作v =a u 。

其含义是:v 与u 共线且模为u 的a 倍，当a 为正值时v 与u 同向，当a 为负值时v 与u 反向，a 为零时v 为零矢量。

数乘矢量满足以下规则：分配律：（a+b)u =a u +b u a(u +v )=a u +a v 结合律： a(b u )=(ab)u由矢量关于求和与数乘两种运算的封闭性可知，属于同一空间的矢量组),,2,1(I i u i =的线性组合i Ii i u a ∑=1仍为该空间的矢量，此处i a 是实数。

矢量组I u u u ,,21线性相关是指存在一组不全为零的实数I a a a ,,21，使得 i Ii i u a ∑=1=0线性无关：若有矢量组J u u u ,,21，当且仅当0=j a （j=1,2,…,J)时，才有j Jj j u a ∑=1=0,则称这组J 个矢量是线性无关的。

维数：一个矢量空间所包含的最大线性无关矢量的数目称为该矢量空间的维数。

lecture7(II) 矢量与张量

ab b1ae1 b2ae2 b3ae3 biaei
i
SdS a VdV a
S dS abiei VdV abiei
S dS abiei VdV abiei
i
i
S dS ab VdVab
T11 T22 T33 0
张量代数
张量的加减
两个张量相加或相减时，是将它们对应的分量分别相加或相减，并服从交换律和结合律。
张量与标量的乘积
标量与张量相乘，相当于用该标量乘张量的每一个分量。即
3 3
T
Tijeie j
i1 j1
张量与矢量的乘积
* 矢量与张量的标积当矢量与并矢点乘时，矢量仅与并矢中相邻的一
个矢量点乘，运算结果为一个矢量。即
f T f (ab) ( f a)b
显然，矢量与张量的标积不满足交换律，即
fT Tf ？
* 单位张量与矢量的标积
单位张量与任意矢量的点乘，恒等于这个矢量本身。即
f I f
？即
f I If
张量与张量的乘积
T11 T22 T33 1 T12 T23 T31 T21 T32 T13 0
时，张量称为单位张量，用
I
表示。
二阶张量是否一定能表示成两个矢量的并矢形式？
* 两个张量相等是指它们所有的分量分别相等 * 当张量满足
Tij Tji
时，称为对称张量。 * 当张量满足
Tij Tji
时，称为反对称张量。此时有
二阶张量的9个分量可以用矩阵的形式表示为
或简写成
T11 T12 T13
T21
T22
T23
T31 T32 T33
Tij (i, j 1,2,3)

矢量和张量

称它为拉普拉斯算符(有些作者以符号△表示，特别在早期德国文献中)。与梯度、散度和旋度一样，拉普拉斯算符只具有分配律性质。
矢量场的拉普拉斯算符
虽然上式在直角座标系下成立，但不能应用于曲线座标系，所以把矢量场的拉普拉斯算符定义为：
就可用于曲线座标系。
二阶张量
本节将给出一些与张量和并矢量相关的一些运算方法。这些运算在传递现象的理论中会遇到，特别是动量传递中。
• 矢量及其大小的定义：矢量v定义为一个具有一定大小和方向的量。矢量的大小记作| v | 。或以非黑体的斜体字 v来标记。二个矢量v和w如果大小相同，方向亦相同，则此二矢量相等；它们不一定是同线的，亦不一定具有同一原点。如果v 和w的大小相同，但方向相反，则v ＝-w。
矢量的加法和减法
两个矢量的加法可以用熟知的平行四边形法则进行运算；矢量减法运算如下：改变一个矢量的符号，然后与另一失量相加。
定义和符号矢量v可以用一组分量v1，v2和v3来确定。相似地，一个二阶张量τ可以用九个分量η11， η12 ，η13 ，η21 等等来确定。为简便起见，这些分量可以写成
不要把这一排列的数组与行列式相混淆；后者亦可作这种排列，但在此只是一组有序的数，而行列式是这些数的某一种确定的乘积的和。两个下标相同的元素称为对角元素，而二下标不同的元素为非对角元素。如果η12＝η21 ，η13 ＝η31 ， η23＝η32那么η称为对称张量。张量η的转置是对每个元素的二个下标变换后所得的一个张量记作η T：
式中nvw是单位长度的矢量(“单位矢量”)，它与v和 w组成的平面垂直，其方向是右螺旋的前进方向(矢量v按最短路径旋转到w)。矢量积的几何表示如图 A．1—4所示。矢量积的大小正好等于矢量v和w组成的平行四边形面积。按矢量积定义，我们有

附录：张量解析

【erst】 4．三个矢量a，b，c的混合积(标量) ：
5．三阶行列式的展开式为：
r,s,t正排列 r,s,t逆排
列
6．利用指标符，证明恒等式：
利用δ换标作用，右端⇒左端
由e∼ δ恒等式(一对哑标），可知：
左端＝右端 ∴恒等式成立
一、求和约定、哑标
【利用哑标可把多个项缩写成一项】
爱因斯坦(A．Einstein)求和约定：如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复指标称为哑指标，简称哑标（如j）。用哑标代替求和号∑，(A．4) 式简化成
通过哑指标可把多个项缩写成一项
二、自由标二、自由标
⑴ δij定义： ⑵ δij的性质：
❶ δij的分量集合对应于单位矩阵。例如，3D：
❷ 定义表明它对指标i和j是对称的，即
❸ δij具有换标作用（换标符号）即利用δij可以把线元长度平方的公式改写成:
利用δij定义，可以验证：＝ δ11dx1dx1+δ12dx1dx2+δ13dx1dx3 +δ21dx2dx1+δ22dx2dx2+ δ23dx2dx3
❺ 一般地说，不能由等式
(A．12) “两边消去ai来自(A．13)1
≠
如果ai特定取值时(A．12)式可成立，如可取(a1，a2，a3)=(1，0，0) ⇒ b1 ＝c1 同理，若取(a1，a2，a3)=(0，1，0) ⇒ b2 ＝c2 (a1，a2，a3)=(0，0，1) ⇒ b3 ＝c3 所以(A．13)式成立的前提是“ai任意”而不是简单地“消去ai”
练习
同理有：
二、排列（置换）符号erst
⑴符号erst三种定义：

矢量张量公式及推导

T ij k
;l
Tijk xl
T mj i k ml
T im j k ml
T ij m m lk
2. 由张量的协变导数和克里斯托夫的坐标转换公式可以证明协变导数是张量的分量。
3.
2xl'
为了证明这点，先注意
x jxi
x k x l '
x i ' x k
2 xl' x jxi
k i' l' k
gig j
Tijk xl
gig jgk
T ij k
iml
g
mg
j
g
k
T ij k
jml g
i
g
mg
k
T ij k
lkmg
i
g
j
g
m
( Tijk xl
T mj k
mi l
Timk mjl
Tijmlmk )gig jg k
分量表现形式的导数，协变导数：
1.
由张量的导数，定义张量的协变导数：lTijk
克里斯托夫符号：
1.
g j
第二类克里斯托夫符号：
x i
ikj g k ， ikj 称为第二类克里斯托夫符号
2.
g j
第一类克里斯托夫符号：
x i
ij,k g k ， ij,k 称为第一类克里斯托夫符号
3. 两类克里斯托夫符号的关系，由 gij 和定义可知 ij,k grk irj
4. 克里斯托夫符号不是张量，仿射坐标中为 0，曲坐标中不为 0，其分量不可能满足坐标变换关系。
imnijk为度量张量的分量显然jiij所以ijkjikkjik两类克里斯托夫符号的关系由ijijrk克里斯托夫符号不是张量仿射坐标中为0曲坐标中不为0其分量不可能满足坐标变换关系

(参考资料)矢量与张量常用公式的证明

矢量与张量常用公式的证明并矢的常用公式有（1）()()()AB A B A B ∇⋅=∇⋅+⋅∇K K K K K K（2）()()()AB A B A B ∇×=∇×−×∇K K K K K K设S 为区域Ω的边界曲面，n K为S 的法向单位矢量（由内指向外），有（3）d ()d ()S S AB V AB Ω⋅=∇⋅∫∫K K K K Kv（4）d d S S A V A Ω×=∇×∫∫K K Kv（5）d d S S u V u Ω=∇∫∫Kv（6）d ()d ()S S AB V AB Ω×=∇×∫∫K K K K Kv（7）d d SS A V A Ω=∇∫∫K K Kv设L 为曲面S 的边界，L 的方向与S 的法线方向成右手螺旋关系，有（8）d d LSl u S u =×∇∫∫K Kv说明：以下的证明都是在直角坐标系下进行的，在直角坐标系下，kk e x ∂∇=∂K ，k e K为常矢量，可放在k x ∂∂前或后。

常把k x ∂∂记为k ∇，所以k k e ∇=∇K。

在证明过程中注意d d i i S S e =K K，d d i i l l e =K K ，时刻不忘爱因斯坦求和约定。

并且在证明过程中，经常利用公式i j i j k k e e e ε×=K K K ，ijk i j k A B A B e ε×=K K K ，ijk i j k A A e ε∇×=∇K K，()A B C ×⋅K K Kijk i j k A B C ε=等。

下面是证明过程：（1）()()()()k k i i j j k i j k i j AB e Ae B e A B e e e ∇⋅=∇⋅=∇⋅K K K K K K K K()()k i j ki j k k j j A B e A B e δ=∇=∇K Kj k kk k j j j j k k k k j j B A A B e B e A A B e ⎡⎤⎡⎤=∇+∇=∇+∇⎣⎦⎣⎦K K K ()()()()()()j j k k k k j j B e A A B e B A A B =∇+∇=∇⋅+⋅∇K K K K K K()()A B A B =∇⋅+⋅∇K K K K（2）()()()()k k i i j j k i j k i j AB e Ae B e A B e e e ∇×=∇×=∇×K K K K K K K K()i k j j k i kip p j A B B A e e ε=∇+∇K K（k i kip p e e e ε×=K K K ） kip i k j p j j kip k i p j A B e e B Ae e εε=∇+∇K K K K()()()()ikp i k p j j kip k i p j j A e B e Ae B e εε=−∇+∇K K K K （ijk i j k A B A B e ε×=K K K ，ijk i j k A A e ε∇×=∇K K ）()()()()A B A B A B A B =−×∇+∇×=∇×−×∇K K K K K K K K在后面的几个公式的中，要利用Gauss 公式d d S A S A V Ω⋅=∇⋅∫∫K K Kv ，Gauss 公式也可以写成d d SS A V A Ω⋅=∇⋅∫∫K K Kv ，或者d d i i i i SS A V A Ω=∇∫∫v 。

张量定义及算法概要

和它们是关于指标 k 协变的二阶张量，分别称为矢量 a i 和 a j 的协变导数，分别记作 a i ;k 和或和张量的绝对微分与平行移动及其协变微分法] 由乘积的微分公式和张量的定义可以推出张量的平行移动规律. 例如，三阶张量的平行移动规律为
四阶张量的平行移动规律
为可以看出,张量平行移动规律中所包含的项数与张量的阶数是相同的, 对于张量的逆变指标, 类似于逆变矢量平行移动的规律; 对于张量的协变指标, 类似于协变矢量平行移动的规律.记
则称 DTijlk 为张量 Tijlk 的绝对微分. [张量的协变导数及其运算法则
称为张量 Tijlk 的协变导数，它是一个五阶张量的分量. 在普通导数中，对于已微分的张量的每个指标再加上一项就可以构成任意张量的协变导数，对于逆变指标，这项的形式是 i
对于协变指标是
协变导数的运算法则如下：若干个同样结构的张量之和的协变导数等于各个张量的协变导数之和，即
满足积的微分法则，即
自平行曲线] i 在仿射联络空间中，如果切于曲线上一点 M0 的每个矢量 a 0 沿这曲线平行移动时是切于这曲线的，则称这曲线为自平行曲线.
dx i 设曲线的方程为 x =x (t, 它的切矢量为，它沿曲线平行移动的条件为 dt i i
这就是联络的自平行曲线的微分方程.设 S i上面的微分方程可写成
jk dt dt dt 2 i 系数 S ijk 显然关于 j 和 k 是对称的，并构成一个仿射联络.称 S ijk 构成伴随于的对称仿射联络， i i 如果关于 j , k 也是对称的，则 S ijk 与一致.。

张量和矢量点乘

张量和矢量点乘
张量是一种多维数组，可以用于表示多元函数，其在数学、物理等领域有广泛应用。

矢量点乘，又称向量点乘，是矢量空间中两个向量的一种运算。

在数学和物理学中，矢量点乘（又称数量积或内积）是两个矢量的模（长度）乘以它们的夹角的余弦值。

矢量点乘的结果是一个标量（数量），而不是一个向量。

具体来说，设两个矢量A和B，它们的点乘运算可以表示为：
A ·
B = |A| * |B| * cos(θ)
其中，|A| 和|B| 分别表示矢量A和B的模（长度），θ表示矢量A 和B之间的夹角。

cos(θ)是它们的夹角的余弦值。

在实际应用中，矢量点乘广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。

例如，在物理学中，矢量点乘可以用于计算两个矢量的合力、速度、加速度等；在计算机图形学中，矢量点乘可以用于计算光线与物体的交点、法向量与光照方向的点乘等。

需要注意的是，在不同的学科和领域中，矢量点乘的定义和符号可能略有不同。

例如，在有些学科中，矢量点乘也称为“数量积”，而在有些学科中，矢量点乘则称为“内积”！。

张量的算法

j =1
正如上述一阶张量可以表示成如上形式，二阶张量也可表示成相似的形式：
T = ∑ Tij ei e j r
ij =1
3
上式可以写成：
r 这里的圆点表示 σ 中的第二个基矢与 E 中基矢的内积。
r
r r j =σ •E r
3 3 r 3 σ • E = ∑ σ ij Ek ei ( e j • ek ) = ∑ σ ij Ek eiδ jk = ∑ σ ij E j ei r ijk =1 ijk E
写成分量形式为：
j1 = σ 11 E1 + σ 12 E2 + σ 13 E3 j2 = σ 21 E1 + σ 22 E2 + σ 23 E3 j = σ E +σ E +σ E 31 1 32 2 33 3 3
可以写成：
3
ji = ∑ σ ij E j
张量的分量表示：
将
T = ∑ Tij ei e j r
ij =1
3
两端分别左乘和右乘 ei 和 e j 得
ei • T • e j = ∑ Ti′j′ ( ei • ei′ ) ( e j ′ • e j ) = ∑ Ti′j′δ ii′δ jj ′ = Tij r
3 3 i ′j ′ =1 i ′j ′ =1
但是对于如介质中加上电场e产生电流并不一定平行所以不能用简单的比例系数表示他们而只能写成
张量的算法
例如：一阶张量（矢量）可以写成：
r 3 A = ∑ Ai ei
r r r r 但是对于如介质中加上电场 E 产生电流 j 。由于介质的各向异性，因此，一般来说， E 与 j 并不一
定平行，所以不能用简单的比例系数表示他们而只能写成：

常用地一些矢量运算公式

1.三重标量积常用的一些矢量运算公式如a , b 和c 是三个矢量，组合 a b?c叫做他们的三重标量积。

三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。

在直角坐标系中，设坐标轴向的二个单位矢量标记为i, j,k a ，令三个矢量的分量记为 rr r ijk 知吐怎，bbl,b2,b3 及 cci,c2,c3 贝贿a b ?cr? Gi c 2 j C 1C 2C3C a ka b ?c 因此，三重标量积必有如下关系式： b c ?a c a ?b 即有循环法则成立,这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合, 其结果相等。

2.三重矢量积如a , b 和c 是三个矢量，组合 a c 叫做他们的三重标量积，因有 a (b c) a (c b) (c b) a 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时, 三重标量积符号才改变。

二重标量积有一个重要的性质(证略) a (b c) (a?b)c a?c b (1-209 )将矢量作重新排列又有: a b?c a c b?a c (1-210 ) a 3.算子( ) 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。

a ( )则是一个标量算子，将它作用于标量，即 (a ) a a 是在方向的变化速率的倍。

r (dr ) 、、是在位移方向如以无穷小的位置矢量 dr 代替以上矢量 a ，则 d r d r d的变化率的倍，即。

(dr ) dr若将(dr )作用于矢量V则(dr )V就是V再位移方向dr变化率的dr倍，既为速度矢量dv 的全微分 dv应用二重矢量积公式（1-209)Ua b a b oa o b(b)a (a)b b( ?a) a( ?b)应用二重矢量积公式（1-210 )又有UUa?ba o ?ba?b oa (b) (a )b b ( a)( ?b)a将以上两式结合（相减）后可得为并矢量，则有在直角坐标中，令rr—jk ——x y zaxayazx yzaijkx y za x a y az22 2?( )22x ya a x——a z-—22zr a 9.ra)r)v r wr b rbr a rb ? r a1 - 2abv一个重要的特例，令，因a9. r aar a 9.rb)a?) wborb)a ia x ja y ka z对一组正交曲线坐标系(ur R gd & h 2d 2e 2 1, 2,3)!%d 3$ (ei, e 2, e 3)其单位矢量，将任意位置矢量uR变分写为h|, h 2, h 3其中为尺度因子 (拉美系数) hi h 2 h 3 1 一。