实际问题与一元二次方程汇总

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一元二次方程与实际问题

一元二次方程与实际问题知识梳理1.利用一元二次方程解决图形面积问题解决图形面积问题的关键是把实际问题数学化，反实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后用几何知识来寻找它们之间的关系，进而列出相关的一元二次方程，使问题得以解决.2.利用一元二次方程解决利润问题利润问题中存在的关系式有：利润=销售总价—总成本；销售总价=销售单价×销售量；利润率=利润/总成本3. 利用一元二次方程解决质点运动问题处理质点运动问题的一般方法：设运动的时间或路程为x，再用含x的代数式表示相关的线段或几何量，从而建立方程或函数关系式.典型例题：例1.某小区计划在一个长40m，宽26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积为144m2,求甬道的宽（AD>AB）.例2.某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个．若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个，商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？这时应进货多少个？例3.如图，在△ABC中，B=90o，AB=5cm，BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.⑴如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PBQ的面积等于4cm2？⑵如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm?巩固练习：1.在一幅长80 cm,宽50 cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？3.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． - 5 - （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？4.如图，某工厂直角墙角处，用可建60米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆货场地，中间用同样的材料分隔成两间，问AB为多长时，所围成的矩形面积是450平方米？5.为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）6. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？7.如图1，某小区的平面图是一个占地400×300平方米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形．如果要使四周的空地所占面积是小区面积的36%，南北空地等宽，东西空地等宽．（1）求该小区四周的空地的宽度；（2）如图2，该小区在东、西、南三块空地上做如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路，小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米，绿化面积为18000平方米，请算出小区道路的宽度．8.如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动.（1）P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2？（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm？。

实际问题与一元二次方程公式总结

实际问题与一元二次方程公式总结一元二次方程，这个听起来有点高深的名词，其实在生活中随处可见，像是一个调皮的小孩，总是在我们不经意间出现。

你有没有想过，为什么有些时候我们在路上走着，突然发现了一道题目，问你这条路到底有多长？就是这时候，一元二次方程就可以派上用场了。

简单来说，它的形式就是ax² + bx + c = 0，这个公式里，a、b、c都是数字，而x就是我们要找的那个神秘的变量。

咱们先别被这几个字母吓着，想象一下，这就像是在解一个宝藏的谜题，越往下挖，越能发现里面的精彩。

说到这里，或许你会想，为什么这个方程在生活中如此重要呢？想想看，当我们想要知道一个物体的运动轨迹，比如一颗小球从空中掉下来的过程，或者在运动会上，跳远的同学是如何飞出去的，这些都是一元二次方程的应用。

很多时候，生活中的问题都可以变成数学题。

甚至你在计划一次旅行，想知道什么时候能到达目的地，速度和时间的问题都可以用到它，真的是“处处是学问”。

我们来聊聊求解方法吧！哎，解这个方程有好几种方法，其中最经典的就是“求根公式”，听起来是不是特别高级？它就像是一把万能钥匙，能帮你打开通往答案的大门。

公式是这样的：x = (b ± √(b² 4ac)) / (2a)。

听起来有点复杂，但别担心，只要我们把a、b、c代入进去，轻轻一算，答案就会乖乖地跑出来，像小猫一样，蹦跶着来到你面前。

你可能会问，这个“±”符号是个啥？哈哈，这可是个关键的角色。

它告诉我们，可能有两个不同的答案，就像在选择午餐时，一边是披萨，一边是汉堡，你可以随意选择。

如果b² 4ac这个部分大于零，嘿，那就有两个不同的答案。

如果等于零，那只有一个答案，就像你今天的午餐只有一个选择。

而如果它小于零，哎，那就没办法了，答案就像是被藏起来的宝藏，无论你怎么找也找不到。

光会解方程可不够，我们还得学会如何把这些答案应用到实际中。

比如，当你计算出一个物体的运动轨迹时，结合一下时间和速度，你就能知道它在什么时候到达什么地方。

一元二次方程实际问题最全

一元二次方程实际应用传染分支问题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？2. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？3.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？面积问题1.现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒？2. 如图所示，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的面积为96平方米，问长和宽边各应是多少？（要求计算）3.一块长30米，宽20米的长方形操场，现在要将它的面积增加一倍，但是不改变这个操场的形状，问长和宽应该增加多少米？4.小静怡要在一幅长90厘米，宽40厘米的风景画的外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画图，使得风景图的面积是整幅挂画面积的54％，设金色纸边的宽度为x，可以列出方程：5.用20厘米长的铁丝能否折成30平方厘米的矩形，若能，求出其长和宽，若不能，请说明理由（要求计算）数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

2.三个连续偶数，第三个数的平方等于前两个数的平方和，求这3个数。

3.一个正十位数中，两个数字的差是4，积为45，求这个两位数赛制问题（1）参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会?(2)要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?（3初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?（4）若赛制度为双循环制度，计划安排56场比赛，则应当组织多少支球队来参加比赛增长率问题1.为了建设美丽家园，某地区决定实行植树造林计划，每年按照一定的速率增加种树量，第一年种了10万棵树，到3年种了50万棵，求每年的平均增长率。

实际问题与一元二次方程-(含答案)

实际问题与一元二次方程-(含答案)实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似。

都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。

在利用一元二次方程解决实际问题时，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。

主要研究下列两个内容：1.列一元二次方程解决实际问题。

一般情况下，列方程解决实际问题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答六个步骤。

找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键。

2.一元二次方程根与系数的关系。

一般地，如果一元二次方程ax^2+bx+c=（a≠0）的两个根是x1和x2，那么x1+x2=-b/a，x1•x2=c/a。

知识链接点击一：列方程解决实际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力。

列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程。

概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案。

一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：1) 审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系。

2) 设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接)。

3) 列：是指列方程，根据等量关系列出方程。

4) 解：就是解所列方程，求出未知量的值。

5) 验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去。

6) 答：即写出答案，不要忘记单位名称。

总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键。

点击二：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系。

一般地，如果一元二次方程ax^2+bx+c=（a≠0）的两个根是x1和x2，那么x1+x2=-b/a，x1•x2=c/a。

一元二次方程与实际问题

一元二次方程与实际问题
01 传播问题
02 变化率问题
一元二次方程的实际应用
03 赛制问题 04 数字问题
05 面积问题
06 利润问题
01 传播问题
方法解析：如果一个人感染病毒，每次可以传染给x个人，那么经过n 次传播后，共有(1+x)n个人感染病毒。
例 .
变式：
02 变化率问题
02 变化率问题
05
总利润=销售量×（每一件售价-每一件进价）
06 利润问题西瓜经营户以２元／千克的价格购进一批小型西瓜，以３元／千克的价
格出售，每天可售出２００千克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共２４元。该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
1.某试验水稻2016年平均每公顷产量为7200kg, 2018年平均每公顷产量为8000kg,设该试验水稻每公顷产量的年平均增长率为x,则可列方程为（）
02 变化率问题
03 赛制问题
03 赛制问题
变式：
生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？
04 数字问题
方法解析： (1)三个连续偶数（奇数）的表示方法：通常设中间的一个数为x，则另外两个数分别是x+2与x-2；(2)用字母表示两位以上的数：各数位所对应的数值乘以此数位上的字母再分别相加。如（用a和b表示一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，则可表示为10a+b）
例:
05 面积问题
1、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。①鸡场的面积能达到 150m2吗？②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。

21.3一元二次方程与实际问题

1、传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？2、循环问题又可分为单循环问题1/2n(n-1)，双循环问题n(n-1)和复杂循环问题1/2n(n-3)a．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？b.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?c.一个正多边形，它共有20条对角线，问是几边形？3、平均率问题M=a(1±x)n，n为增长或降低次数 , M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率4、商品销售问题常用关系式：售价—进价=利润一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额利润率= 利润÷进价b\某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？5、数字问题：（！）两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。

（2）一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数．例、在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？解法一、如图，矩形地面面积为，设道路的宽为x米，则横向的路面面积为纵向的路面面积为如图，设路宽为x米，横向路面为纵向路面面积为。

实际问题与一元二次方程知识点总结及重难点精析

实际问题与一元二次方程知识点总结及重难点精析一、知识点总结1.在九年级数学中，实际问题与一元二次方程这一章知识点主要包括：一元二次方程的基本概念、性质及其在实际问题中的应用。

2.一元二次方程的基本概念：一元二次方程是一个含有未知数x 的整式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。

其中a、b、c为常数，a≠0.且x的最高次数为2.3.一元二次方程的性质：一元二次方程有四个性质，分别是：(1) 有两个解，即x1和x2;(2) 两解的和为-b/a;(3) 两解的积为c/a;(4) 判别式△=b²-4ac，当△>0时，方程有两个不相等的实数解;当△=0时，方程有两个相等的实数解;当△<0时，方程没有实数解。

4.一元二次方程的应用：在实际问题中，一元二次方程通常用于解决一些二次关系的问题，比如物体的运动轨迹、建筑物的面积和体积、经济利润最大化等问题。

二、重难点精析在本章节中，重难点主要包括如何将实际问题转化为数学问题、一元二次方程的解法以及根的性质和应用。

1.如何将实际问题转化为数学问题：在解决实际问题时，需要从题目中提取出有用的信息，并转化为数学语言。

这需要学生具备一定的阅读理解能力和数学建模能力。

2.一元二次方程的解法：一元二次方程的解法有公式法和因式分解法两种。

公式法是通过公式直接求解，但需要学生记忆公式。

因式分解法是通过将方程左边分解成两个一次因式的乘积，再分别令每个因式等于0来求解。

这种方法更直观易懂，但需要学生掌握因式分解的技巧。

3.根的性质和应用：根的性质包括前面提到的两个解的和、积和判别式。

这些性质在解决实际问题时具有重要应用。

例如，利用判别式可以判断方程是否有实数解，从而确定实际问题是否有解;利用两解的和可以计算实际问题的某些物理量，如位移等。

三、总结通过以上知识点总结和重难点精析，我们可以看到实际问题与一元二次方程这一章知识点的重要性和应用价值。

实际问题与一元二次方程题型归纳总结

实际问题与一元二次方程题型归纳总结实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：列一元二次方程解应用题的步骤可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

1.审清题意，弄清已知量与未知量；2.找出等量关系；3.设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；4.列出一元二次方程；5.求出所列方程的解；6.检验方程的解是否正确，是否符合题意；7.作答。

二、典型题型1、数字问题例1：有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

例2：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

练：1.两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2.一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A。

25 B。

36 C。

25或36 D。

-25或-362、传播问题公式：(a+x)=M，其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数例3：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3、相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)，双循环问题n(n-1)和复杂循环问题2n(n-3)例4：1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？2.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例5：一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例6：生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x个同学，则根据题意列出的方程是（）A。

实际问题与一元二次方程(简析版)

实际问题与一元二次方程一、“握手问题”1、节日聚会中，每人都和其他人握手一次，现在有若干人共握手45次，问共有多少人参加聚会？分析：设共有x 人参加聚会，可列方程：45)1(21=-x x 2、某校足球联赛，采用单循环的赛制，一共比赛10场，问一共有多少支球队参加比赛？分析：设共有x 支球队参加比赛，可列方程：10)1(21=-x x 3、参加商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有公司共签订了45分合同，问共有多少家公司参加商品交易会？分析：共有x 家公司参加商品交易会，可列方程：45)1(21=-x x 4、新年到来，几位朋友相互赠送贺卡，共送出贺卡72张，问这群朋友共有几人？分析：设这群朋友共有x 人，可列方程：72)1(=-x x二、“平均增长率”问题。

1、某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．分析：设平均增长率为x ，可列方程：950)1(200)1(2002002=++++x x2、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？分析：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是x 可列方程： 31.3)1()1(12=++++x x3、一只感染病毒的白鼠经过两天传染后发现共有256只小白鼠患病，问在每天的传染中平均一只小白鼠传染多少只白鼠？分析：设平均一只小白鼠传染x 只白鼠，可列方程：256)1(2=+x4、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．分析：设种存款方式的年利率为x ，利息=本金×利率×存期到期后的本息和=本金+利息=（第一年剩余的1000元+第一年的利息）+第二年的利息可列方程：1320)20001000(20001000=+++x x x5、两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品的年平均下降额较大？哪种药品的年平均下降率较大？分析：甲种药品的平均下降额为：1000230005000=-元乙种药品的平均下降额为：1200236006000=-元设甲种药品的平均下降率为x ，乙种药品的平均下降率为y可列方程：3000)1(50002=-x ；3600)1(60002=-y6．一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体xL ，则列出的方程是________ 分析:原有纯药液：63升，容器容积63升第一次操作：倒出纯药液x 升，容器内还有纯药液)63(x -升，溶液浓度%1006363⨯-x第二次操作：倒出纯药液6363xx -⋅升，容器内还有纯药液63)63(63)63()63(2x x x x -=---升，由此可列方程：2863)63(2=-x三、商品营销问题1、某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的幅度大？（每每问题）分析：设甲种贺年卡每张降价x 元，乙种贺年卡每张降价y 元每天的盈利=单张贺卡的利润×每天的销量可列方程：120)1001.0500)(3.0(=⨯+-x x ，120)3425.0200)(75.0(=⨯+-y y2、两年前生产1t 甲种药品的成本是5000元，生产1t 乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t 甲种药品的成本是3000元，生产1t 乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?3、新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少? 分析：设甲种冰箱每台定价x 元，则：每台冰箱可盈利)2500(-x 元；比原售价降低)2900(x -元；实际每天销量比原来增加：4502900⨯-x从而列方程：5000)45029008)(2500(=⨯-+-xx 同理可求出乙种冰箱的定价。

利用一元二次方程解决实际问题

(利用一元二次方程解决实际问题) 一元二次方程是一个形式如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。

它的解可以通过使用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求得。

利用一元二次方程，我们可以解决许多实际问题，如求解物体的运动轨迹、解决几何问题等等。

下面将通过几个实际问题的例子来说明如何利用一元二次方程解决实际问题。

例1：一个石头从100米高的地方自由落下，求石头落地时的速度和落地时间。

解：根据物体自由落体运动的规律，石头落地时的速度可以通过一元二次方程求解。

设石头落地时的速度为v，落地时间为t，则有以下等式：100 = 0.5 * g * t^2 （物体自由落体的位移公式）v = g * t （物体自由落体的速度公式）其中，g为重力加速度，取9.8 m/s^2。

将第二个等式代入第一个等式中，得到：100 = 0.5 * (v/t) * t^2200 = v * t将上述方程组代入一元二次方程的标准形式ax^2+bx+c=0中，得到：t^2 - (200/v) * t + 0 = 0根据一元二次方程的求根公式，可以解得：t = (200/v)/2 = 100/v将t代入第二个等式中，得到：v = g * (100/v)v^2 = 100 * gv = √(100 * g) ≈ 31.3 m/s所以，石头落地时的速度约为31.3 m/s，落地时间为t = 100/v ≈ 3.2 s。

例2：一个花瓶从楼顶上掉下来，从花瓶掉到地面的时间为5秒，求楼顶的高度。

解：根据物体自由落体运动的规律，花瓶掉到地面的时间可以通过一元二次方程求解。

设楼顶的高度为h，则有以下等式：h = 0.5 * g * t^2其中，g为重力加速度，取9.8 m/s^2，t为花瓶掉到地面的时间，取5秒。

将上述方程代入一元二次方程的标准形式ax^2+bx+c=0中，得到：0.5 * g * t^2 - h = 0根据一元二次方程的求根公式，可以解得：h = 0.5 * g * t^2 = 0.5 * 9.8 * 5^2 = 122.5 m所以，楼顶的高度为122.5米。

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练习：已知：如图所示，在△ ABC 中， B 90, AB 5cm, BC 7cm . 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动.（1）如果 P,Q 分别从 A, B 同时出发，那么几秒后，△ PBQ 的面积等于 4cm2？（2）如果 P,Q 分别从 A, B 同时出发，那么几秒后， PQ 的长度等于 5cm？（3）在（1）中，△ PQB 的面积能否等于 7cm2?说明理由.
共比赛 110 场，则联赛中共有多少个队参加比赛？
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2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手 15 次,有多少人参加聚会?
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3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要 90 张照片,有多少人?
3、平均增长率问题：M=a(1±x)n ， n 为增长或降低次数 , M 为最后产量，a 为基数，x 为平均增长率或降低率
传染中平均一个人传染了几个人？
练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 196 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
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2、相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题 1 n(n-1)，双循环问题 n(n-1)
例 2、已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm。某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1 cm s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 出发沿 DA 方向以 2 cm s 的速度向 A 点匀速运动，则经过多长时间，△AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 1 ？

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三、面积问题：
折成一个面积为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.
22 解：设这个矩形的长为xcm，则宽为（cm）. x 2 22 根据题意，得 x( x ) 30
整理后，得x2-11x+30=0
2
解这个方程，得x1=5,x2=6 22 由x1=5得 x 6 (与题设不符，舍去) 2 22 由x2=6，得 x5 2 答：这个矩形的长是6cm，宽是5cm。
2 2 x1 1 , x2 1 2 2
练习 2: 某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2 倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）解，设原价为 a 元，每次升价的百分率为，根据题意，得 2
x
a(1 x) 1.2a
解这个方程，得
30 x 1 5 由于升价的百分率不可能是负数，所以 x 1 30 不合题意，舍去
• 一、传播问题： • 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
• 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，求每轮感染中平均一台电脑能感染几台？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
20 32
• 3、小明把一张边长为10厘米的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子。如果要求长方体的底面面积为81平方厘米，那么剪去的正方形边长为多少?
4、学校课外生物（小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小路（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽。（精确到0.1米）

一元二次方程与实际问题题型归纳

实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

（1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；（2）找：找出等量关系；（3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（4）列：列出一元二次方程；（5）解：求出所列方程的解；（6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（7）答：作答。

二、典型题型1.数字问题例1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

例2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

练习：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A. 25B. 36C. 25或36D. -25或-362.传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M 为最后得病总人数例3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3.相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题21n(n-1)，双循环问题n(n-1). 例4、（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例5、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例6、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x 个同学，则根据题意列出的方程是（）A.()1821=+x xB. ()1821=-x xC.()18212=+x xD.()21821⨯=-x x练习：1、甲A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110场，则联赛中共有多少个队参加比赛？2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?4.平均增长率问题：b=a(1±x)n ， n 为增长或降低次数 , b 为最后产量，a 为基数，x 为平均增长率或降低率例7、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

一元二次方程与实际问题题型归纳

一元二次方程与实际问题题型归纳在我们的数学学习中，一元二次方程是一个非常重要的知识点，它不仅在理论上有着重要的地位，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。

接下来，让我们一起来归纳一下一元二次方程在实际问题中的常见题型。

一、增长率问题增长率问题是一元二次方程在实际生活中常见的应用之一。

例如，某公司去年的利润为 100 万元，今年的利润比去年增长了 20%，明年预计在今年的基础上再增长 10%，求明年的利润。

设明年的利润为 x 万元，今年的利润为 100×（1 ＋ 20%）＝ 120 万元，明年的利润为 120×（1 ＋ 10%）＝ x 万元，整理可得方程：＼＼begin{align}120×（1 ＋ 10%）＆＝x\＼120×11&＝x\＼132&＝x＼end{align}＼在这类问题中，通常设原来的量为 a，平均增长率为 x，增长后的量为 b，经过 n 次增长后的公式为：＼（b ＝ a(1 ＋ x)＾n\）；若为平均降低率，则公式为：＼（b ＝ a(1 x)＾n\）。

二、面积问题面积问题也是常见的题型之一。

比如，要在一块长方形的土地上建造一个花园，已知长方形的长比宽多 10 米，面积为 2400 平方米，求长方形的长和宽。

设长方形的宽为 x 米，则长为(x ＋ 10)米，根据长方形面积公式可得方程：＼＼begin{align}x(x ＋ 10)＆＝2400\＼x^2 ＋ 10x 2400&＝0\＼（x 40)（x ＋ 60)＆＝0＼end{align}＼解得＼（x ＝ 40\）或＼（x ＝－60\）（舍去），所以长方形的宽为 40 米，长为 50 米。

解决面积问题时，关键是要根据图形的形状和面积公式，找出等量关系，列出方程。

三、销售利润问题销售利润问题常常涉及到商品的进价、售价、销售量和利润等因素。

例如，某商品的进价为每件 20 元，售价为每件 30 元，每天可卖出 100 件。

九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳

二、典型题型1.数字问题例1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

练习：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A. 25B. 36C. 25或36D. -25或-362.传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M 为最后得病总人数例3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？8. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A. 8B. 9C. 10D. 11练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3.相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题21n(n-1)，双循环问题n(n-1). 例4、（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例5、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例6、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x 个同学，则根据题意列出的方程是（）A.()1821=+x xB. ()1821=-x xC.()18212=+x xD.()21821⨯=-x x练习：1、甲A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110场，则联赛中共有多少个队参加比赛？2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?4.平均增长率问题：b=a(1±x)n， n为增长或降低次数 , b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率例7、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

实际问题与一元二次方程题型归纳总结

二、典型题型1、数字问题例1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

练习：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A. 25 B. 36 C. 25或36 D. -25或-362、传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数例3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3、相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题21n(n-1)，双循环问题n(n-1)和复杂循环问题212n(n-3) 例4、（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例5、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例6、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x 个同学，则根据题意列出的方程是（）A.()1821=+x xB. ()1821=-x xC.()18212=+x xD.()21821⨯=-x x练习：1、甲A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110场，则联赛中共有多少个队参加比赛？2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?4、平均增长率问题：M=a(1±x)n ， n 为增长或降低次数 , M 为最后产量，a 为基数，x 为平均增长率或降低率例7、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

实际问题和一元二次方程汇总

一元二次方程的应用题（一）传播与球赛问题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。

第一轮后共有人患流感；第二轮后共有人患流感。

等量关系：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。

2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？分析：设每个支干长出x个小分支。

主干长出支干的数量个，支干总共长出小分支的数量个。

等量关系：解：设每个支干长出x个小分支。

3.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？分析：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑第一轮后被感染的电脑共有台，第二轮后被感染的电脑共有台。

等量关系：解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？分析：此比赛是循环比赛。

设共有x个队参加比赛，每队要与其他个队各赛一场。

A队与B队的比赛和B队与A队是同一场，所以全部的比赛是场。

等量关系：解：设共有x个队参加比赛5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？分析：此比赛是循环比赛。

设共有x队参加比赛，每队要与其他个队各赛一场。

等量关系：解：设共有x队参加比赛6.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?分析：设有x个人参加聚会，每人要与其他个人握手一次等量关系：解：设有x个人参加聚会7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？分析：设这个小组共有x个人，每人要与其他个人互送贺卡等量关系：解：这个小组共有x个人（二）面积问题1.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2，求两条直角边的长。

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22.3 实际问题与一元二次方程一、传播问题1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一人传染了几个人？2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个分支？3、有一人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发短信，一个人向多少人发送？4、某课外活动小组有若干人，圣诞晚会上互送贺卡一张，全组人共送出贺卡72张，则此小组共有多少人？5、一棵树主干长出若干个支干，每个支干又长出支干2倍的小分枝，主干、支干、小分枝共有56个，求主干长出几个支干？二、增长率问题1、两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元。

哪种药品成本的年平均下降率较大？2、为了让河南的山更绿、水更清，2010年河南省委、省政府提出了确保到2012提实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2010年我省森林覆盖率为60.05%，设从2010年起我省森林覆盖率的年平均增长率为x ，则可列方程为 .3、某厂今年3月份的产值为50万元，4月份和5月份的总产值是132万元，设平均每月增长率为x ，则可列出的方程是 .4、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%，现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的21，求新产品花生亩产量的增长率？ 5、某商品经过两次降价，零售价变为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？6、某农户的粮食产量平均每年的增长率为x ，第一年的产量为6万千克，那么三年的总产量为 .7、已知小芳家今年5月的用电量是120千瓦时，根据去年5月至7月用电量的增长趋势，预计今年7月的用电量将达到240千瓦时，若去年5月至6月用电量月增长诣6月至7月用电量增长率的1.5倍，则预计小芳家今年6月的用电量是多少千瓦时？三、与面积有关的问题1、要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ；正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形。

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