第四章机械振动

第二篇振动与波

振动和波动是物质的基本运动形式。

在力学中有机械振动和机械波

在电学中有电磁振荡和电磁波

声是一种机械波

光则是电磁波

量子力学又叫波动力学。

第四章机械振动

教学时数：6学时

本章教学目标

了解简谐振动的动力学特征，掌握描述简谐振动的重要参量，理解简谐振动的运动学方程，知道弹簧振子的动能和势能随时间变化的规律；了解简谐振动的合成，掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程，了解同方向不同频率简谐振动的合成，了解阻尼振动、受迫振动、共振的含义。

教学方法：讲授法、讨论法等

教学重点：掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程

机械振动：物体在某固定位置附近的往复运动叫做机械振动，它是物体一种普遍的运动形式。例如活塞的往复运动、树叶在空气中的抖动、琴弦的振动、心脏的跳动等都是振动。

广义地说，任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以叫做振动。例如交流电路中的电流、电压，振荡电路中的电场强度和磁场强度等均随时间

作周期性的变化，因此都可以称为振动。

§4—1 简谐振动的动力学特征

简谐振动是振动中最基本最简单的振动形式，任何一个复杂的振动都可以看成是若干个或是无限多个谐振动的合成。

定义：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移z(或角位移口)随时间f 按余弦(或正弦)规律变化，即 x = A cos(ωt + φ0)

则这种振动称之为简谐振动。

研究表明，作简谐振动的物体(或系统)，尽管描述它们偏离平衡位置位移的物理量可以千差万别，但描述它们动力学特征的运动微分方程则完全相同。

一、弹簧振子模型

将轻弹簧(质量可忽略不计)一端固定，另一端与质量为m 的物体相连，若该系统在振动过程中，弹簧的形变较小(即形变弹簧作用于物体的力总是满足胡克定律)，那么，这样的弹簧——物体系统称为弹簧振子。

如图所示，将弹簧振子水平放置，使振子在水平光滑支撑面上振动。以弹簧处于自然状态(弹簧既未伸长也未压缩的状态)的稳定平衡位置为坐标原点，当振子偏离平衡位置的位移为x 时，其受到的弹力作用为

F= - kx

式中k 为弹簧的劲度系数，负号表示弹力的方向与振子的位移方向相反。即振子在运动过程中受到的力总是指向平衡位置，且力的大小与振子

偏离平衡位置的位移成正比，这种力就称之为线性回复力。

如果不计阻力(如振子与支撑面的摩擦力，在空气中运动时受到的介质阻力及其

222==-m

k dt

x d m kx ω

它能量损耗)，则振子的运动微分方程为

此式就是描述简谐振动的运动微分方程

能满足上式的系统，又可称为谐振子系统。

二、单摆

如图所示，细线长为l ，一端固定在A 点，另一端系一质量为m 的小球，不计细线的质量和伸长。细线在铅直位置时，小球在O 点。此时作用在小球上的合外力为零，故位置。即为平衡位置。将小球稍微移离平衡位置O ，小球在重力作用下就会在位置。附近来回往复的运动。这一振动系统称为单摆。

把单摆在某一时刻离开平衡位置的角位移θ作为位置变量，并规定小球在平衡位置右方时，θ为正；在左方时，θ为负。重力对A 点的力矩为mglsinθ拉力T 对该点的力矩为零，所以单摆是在重力矩作用下而振动。根据转动定律。得

I β = M = - mg l sin θ

式中负号表示重力矩的符号总是和sin θ的符号（即和角位移θ的符号）相反，I

= m l 2表示小球对A 轴的转动惯量， 表示小球的角加速度。当角位移θ很小时(θ﹤5º)，θ的正弦函数可用θ的弧度代替，所以

22dt d θβ=θθβl g dt

d -==22

式中摆长和重力加速度都是常量，而且均为正值。

简谐振动的微分方程，可以归结为如下形式，即

例： 一质量为m 的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在平衡位置附近的振动是简谐振动。

证 如图所示，以平衡位置A 为原点，向下为x 轴正向，设某一瞬时振子的坐标为x ，则物体在振动过程中的运动方程为

式中l 是弹簧挂上重物后的静伸长，因为mg = k l ，所以上式为

l

g

x dt x d ==+22220ωω对于单摆，mg l x k dt

x d m ++-=)(22).(0)(222222m k x dt

x d l x k dt

x d m ==++-=ωω式中即为

于是该系统作简谐振动。

§4—2简谐振动的运动学

一、简谐振动的运动学方程

如前所述，微分方程 的解可写作 x = A cos(ωt + φ0)

式中A 和φ0是由初始条件确定的两个积分常数，称为简谐振动的运动学方程。

可见简谐振动的运动规律也可用正弦函数表示本教材对机械振动统一用余弦函数表示

二、描述简谐振动的三个重要参量

1.振幅A

物体偏离平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值叫做振幅。

将简谐振动的运动学方程和它对时间的一阶导数，

将初始条件t = 0, x = x 0,v = v 0代入，得

.0222=+x dt

x d ω)

sin(2)2sin()cos(000ϕωπϕϕπϕωϕω'+=+='++=+t A x t t 亦可写成令由于⎭⎬⎫+-=+=)sin()cos(00ϕωωϕωt A v t A x ⎪⎭

⎪⎬⎫=-=0000sin cos ϕωϕA v A x