第四章机械振动
大学物理——第4章-振动和波
合成初相 与计时起始时刻有关.
v A 2
ω
v A
2
O
x2
1
v A 1
x1
xx
分振动初相差2 1与计时起始时刻无关,但它对合成振幅 是相长还是相消合成起决定作用.
20
讨 论
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(2 1) 1 1
F = kx
3
l0
k
m
A
F = kx = ma
k 令ω = m
2
A x = Acos(ωt +)
o
x
积分常数,根据初始条件确定
a = ω2 x
dx = ω2 x dt 2
2
dx υ = = Aω sin( ωt +) dt
dx 2 a = 2 = Aω cos(ωt +) dt
4
2
x = Acos(ωt +)
15
π
例 4-3 有两个完全相同的弹簧振子 A 和 B,并排的放在光滑 的水平面上,测得它们的周期都是 2s ,现将两个物体从平衡 位置向右拉开 5cm,然后先释放 A 振子,经过 0.5s 后,再释 放 B 振子,如图所示,如以 B 释放的瞬时作为时间的起点, (1)分别写出两个物体的振动方程; (2)它们的相位差是多少?分别画出它们的 x—t 图.
5cm
O
x
16
解: (1)振动方程←初始条件
x0 = 0.05m, υ0 = 0 , T = 2s
2π ω= = π rad/s T
2 υ0 2 A = x0 + 2 = 0.05m ω υ0 对B振子: tan B = = 0 B = 0 x0ω
机械振动(电子课文)
简谐运动在弹簧下端挂一个小球，拉一下小球，它就以原来的平衡位置为中心上下做往复运动。
物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动。
振动现象在自然界中是广泛存在的．研究振动要从最简单、最基本的振动着手，这种振动叫做简谐运动。
弹簧振子把一个有孔的小球安在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑的水平杆上，可以在杆上滑动，小球和水平杆之间的摩擦忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可忽略不计。
这样的系统称为弹簧振子，其中的小球常称为振子。
振子在振动过程中，所受的重力和支持力平衡，对振子的运动没有影响．使振子发生振动的只有弹簧的弹力，这个力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反，总指向平衡位置，它的作用是使振子能返回平衡位置，所以叫做回复力．根据胡克定律，在弹簧发生弹性形变时，弹簧振子的回复力F跟振子偏离平衡位置的位移x成正比，即式中的k是比例常数，也就是弹簧的劲度，负号表示回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反．简谐运动的条件物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动．简谐运动是最简单、最基本的机械振动，图中表示了简谐运动的几个实例．振幅、周期和频率描述简谐运动的物理量有振幅、周期和频率．振幅振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅．用A表示.振幅是表示振动强弱的物理量．周期做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期．用T表示.频率单位时间内完成的全振动的次数，叫做振动的频率．用f表示.周期和频率都是表示振动快慢的物理量．周期越短，频率越大，表示振动越快．它们的关系是在国际单位制中，周期的单位是秒，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz．1 Hz = 1 s-1．1s内完成n次全振动，频率就是n，单位是Hz．简谐运动的频率由振动系统本身的性质所决定．如弹簧振子的频率由弹簧的劲度和振子的质量所决定，与振幅的大小无关，因此又称为振动系统的固有频率．单摆单摆如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置就叫做单摆．单摆是实际摆的理想化的物理模型．在研究摆球沿圆弧的运动情况时，可以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力．当摆球运动到任一点P时,其中l为摆长，x为摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F与位移x的方向相反．由于m、g、l都有一定的数值，mg/l可以用一个常数表示，上式可以写成可见，在偏角很小的情况下，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，单摆做简谐运动．单摆振动的周期性单摆的周期跟哪些因素有关呢？我们用实验研究这个问题．大量实验表明，单摆的周期跟单摆的振幅没有关系; 跟摆球的质量没有关系;跟摆长有关系, 摆长越长，周期越大.荷兰物理学家惠更斯（1629—1695）研究了单摆的振动，发现单摆做简谐运动的周期T跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关，并且确定了如下的单摆周期的公式：摆在实际中有很多应用，利用摆的等时性发明了带摆的计时器，摆的周期可以通过改变摆长来调节，计时很方便．另外,单摆的周期和摆长容易用实验准确地测定出来，所以可利用单摆准确地测定各地的重力加速度．简谐运动的图象做简谐运动的物体,它的运动情况也可以用图象直观地表示出来．把沙流形成的图象画在纸上,就是振动图象. 以横轴OO’表示时间，以纵轴表示位移, 则振动图象表示了振动质点的位移随时间变化的规律,可以看出所有简谐运动的振动图象都是正弦或余弦曲线．利用振动图象,可以知道振动物体的振幅和周期,可以求出任意时刻振动质点对平衡位置的位移.记录振动的方法在实际中有很多应用．医院里的心电图仪，监测地震的地震仪等，都是用这种方法记录振动情况的．简谐运动的能量阻尼振动简谐运动的能量弹簧振子和单摆在振动过程中动能和势能不断地发生转化．在平衡位置时，动能最大，势能最小；在位移最大时，势能最大，动能为零．在任意时刻动能和势能的总和，就是振动系统的总机械能．弹簧振子和单摆是在弹力或重力的作用下发生振动的，如果不考虑摩擦和空气阻力，只有弹力或重力做功，那么振动系统的机械能守恒．振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能就越大．对简谐运动来说，一旦供给振动系统以一定的能量，使它开始振动，由于机械能守恒，它就以一定的振幅永不停息地振动下去．简谐运动是一种理想化的振动．阻尼振动实际的振动系统不可避免地要受到摩擦和其他阻力，即受到阻尼的作用．系统克服阻尼的作用做功，系统的机械能就要损耗．系统的机械能随着时间逐渐减少，振动的振幅也逐渐减小，待到机械能耗尽之时，振动就停下来了．这种振幅逐渐减小的振动，叫做阻尼振动．该图是阻尼振动的振动图象．振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越快，振动停下来也越快．阻尼过大时，系统将不能发生振动．阻尼越小，振幅减小得越慢．受迫振动共振受迫振动阻尼振动最终要停下来，那么怎样才能得到持续的周期性振动呢？最简单的办法是用周期性的外力作用于振动系统，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，使系统持续地振动下去．这种周期性的外力叫做驱动力，物体在外界驱动力作用下的振动叫做受迫振动．跳板在人走过时发生的振动，机器底座在机器运转时发生的振动，都是受迫振动的实例．受迫振动的频率跟什么有关呢？我们用如图所示的装置研究这个问题．匀速地转动把手时，把手给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动．这个驱动力的周期跟把手转动的周期是相同的．用不同的转速匀速地转动把手．可以看到，振子做受迫振动的周期总等于驱动力的周期．实验表明，物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系．共振虽然物体做受迫振动的频率跟物体的固有频率无关，但是不同的受迫振动的频率，随着它接近物体的固有频率的程度不同，振动的情况也大为不同．我们来观察下面的实验在一根张紧的绳上挂几个摆，其中A、B、C的摆长相等,摆的频率决定于摆长.当A摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动．这个驱动力的频率等于A摆的频率．实验表明：固有频率跟驱动力频率相等的B摆和C摆，振幅最大；固有频率跟驱动力频率相差最大的D摆，振幅最小．图中所示的曲线表示受迫振动的振幅A与驱动力的频率f的关系．可以看出：驱动力的频率f等于振动物体的固有频率f’时，振幅最大；驱动力的频率f跟固有频率f’相差越大，振幅越小．驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振．共振的应用和防止共振现象有许多应用．把一些不同长度的钢片装在同一个支架上，可用来制成测量发动机转速的转速计．使转速计与开动着的机器紧密接触，机器的振动引起转速计的轻微振动，这时固有频率与机器转速一致的那个钢片发生共振，有显著的振幅．从刻度上读出这个钢片的固有频率，就可以知道机器的转速．共振筛是利用共振现象制成的．把筛子用四根弹簧支起来，在筛架上安装一个偏心轮，就成了共振筛．偏心轮在发动机的带动下发生转动时，适当调节偏心轮的转速，可以使筛子受到的驱动力的频率接近筛子的固有频率，这时筛子发生共振，有显著的振幅，提高了筛除杂物的效率．在某些情况下，共振也可能造成损害．军队或火车过桥时，整齐的步伐或车轮对铁轨接头处的撞击会对桥梁产生周期性的驱动力，如果驱动力的频率接近桥梁的固有频率，就可能使桥梁的振幅显著增大，以致使桥梁发生断裂．因此，部队过桥要用便步，以免产生周期性的驱动力．火车过桥要慢开，使驱动力的频率远小于桥梁的固有频率．轮船航行时，如果所受波浪冲击力的频率接近轮船左右摇摆的固有频率，可能使轮船倾覆．这时可以改变轮船的航向和速度，使波浪冲击力的频率远离轮船摇摆的固有频率．机器运转时，零部件的运动（如活塞的运动、轮的转动）会产生周期性的驱动力，如果驱动力的频率接近机器本身或支持物的固有频率，就会发生共振，使机器或支持物受到损坏．这时要采取措施，如调节机器的转速，使驱动力的频率与机器或支持物的固有频率不一致．同样，厂房建筑物的固有频率也不能处在机器所能引起的振动频率范围之内．总之，在需要利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于振动物体的固有频率；在需要防止共振时，应使驱动力的频率与振动物体的固有频率不同，而且相差越大越好．。
大物习题集答案解析第4章机械振动
第4章 机械振动4.1基本要求1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点4.2基本概念1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。
简谐振动的运动方程 cos()x A t ωϕ=+2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。
3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。
4．频率ν 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1T ν=5．圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与频率的关系为22Tπωπν==6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ωϕ+项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位ϕ7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。
弹性势能222p 11cos ()22E kx kA t ωϕ==+ 动能[]22222k 111sin()sin ()222E m m A t m A t ωωϕωωϕ==-+=+v弹簧振子系统的机械能为222k p 1122E E E m A kA ω=+==8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。
9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。
周期性外力称为驱动力。
10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。
4.3基本规律1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。
大学物理教案-第4章 机械振动 机械波
动的时刻)。
反映 t=0 时刻的振动状态(x0、v0)。
x0 Acos0
v0 Asin0 x
m
A
0=0
o
A
X0 = A
o x
-A x
t T
0 = /2
m
A
o X0 = 0
m
-A
o
X0 = -A
o x
-A x
A
o x
-A
t T
0 = Tt
4、振幅和初位相由初始条件决定
由
x0 Acos0
v0 Asin 0
A A12 A22 2 A1A2 cos2 1 ，
tan A1 sin 1 A2 sin 2 。 A1 cos1 A2 cos2
3. 两种特殊情况
（1）若两分振动同相 2 1 2k ，则 A A1 A2 , 两分振动相互加强， 如 A1=
A2 ,则 A = 2A1
（2）若两分振动反相，2 1 2k 1 ， 则 A | A1 A2 | ,两分振动相互减弱，
波动是振动的传播过程。 机械波----机械振动的传播 波动 电磁波----电磁场的传播 粒子波----与微观粒子对应的波动 虽然各种波的本质不同，但都具有一些相似的规律。
一、 弹簧振子的振动 m
o X0 = 0
§4.1
m
简谐振动的动力学特征
二、谐振动方程 f=-kx
a f k x
x
mm
令 k 2 则有 m
教学内容
备注
1
大学物理学
大学物理简明教程教案
第 4 章 机械振动 机械波
前言 1. 振动是一种重要的运动形式 2. 振动有各种不同的形式 机械振动:位移 x 随 t 变化；电磁振动；微观振动 广义振动:任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。 3. 振动分类
大学物理 机械振动课件
两振动步调相反,称反相
当0
2 超前于1 或 1 滞后于 2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
三、简谐振动的旋转矢量表示法
t=t A
t+0
0
A t=0
o
x
x
x Acos(t 0 )
旋转矢量—— 确定 和研究振动合成很方便
t
A
t=0
k J
R2
T 2 2 m J R2
k
例：已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所
示，试求其振动方程。 解：设振动方程为
v(cms 1)
31.4
x Acos(t 0 )
15.7
v0 Asin0 15.7
0 15.7
1
t(s)
x0 Acos0 0
31.4
Q A vm 31.4
sin2 (
t
0 )
1 kA2 2
cos2 (t
0 )
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
动 能
Ek
1 2
mv 2
1 2
kA2
sin2 (
t
0
)
Ek max
1 2
kA2
Ekmin 0
1
Ek T
t T t
Ek dt
1 4
kA2
势
Ep
1 2
kx 2
能
1 2
kA2
cos 2 ( t
0
)
E pmax , E pmin , E p
J
mgh
例4.1 证明竖直弹簧振子的振动是简谐振动（自学）
§4.2 简谐振动的运动学
大学物理-机械振动
机械振动也会影响交通工具的舒适 度，如火车、汽车等在行驶过程中 产生的振动，会让乘客感到不适。
机械振动在工程中的应用
振动输送
利用振动原理实现物料的输送，如振动筛、振动输送机等。
振动破碎
利用振动产生的冲击力破碎硬物，如破碎机、振动磨等。
振动减震
在建筑、桥梁等工程中，采用减震措施来减小机械振动对结构的影 响，提高结构的稳定性和安全性。
感谢您的观看
THANKS
机械振动理论的发展可以追溯到 古代，如中国的编钟和古代乐器 的制作。
近代发展
随着物理学和工程学的发展，人 们对机械振动的认识不断深入， 应用范围也不断扩大。
未来展望
随着科技的不断进步，机械振动 在新能源、新材料、航空航天等 领域的应用前景将更加广阔。
02
机械振动的类型与模型
简谐振动
总结词
简谐振动是最基本的振动类型，其运动规律可以用正弦函数或余弦函数描述。
机械振动在科研中的应用
振动谱分析
01
通过对物质在不同频率下的振动响应进行分析，可以研究物质
的分子结构和性质。
振动控制
02
通过控制机械振动的参数，实现对机械系统性能的优化和控制，
如振动减震、振动隔离等。
振动实验
03
利用振动实验来研究机械系统的动态特性和响应，如振动台实
验、共振实验等。
05
机械振动的实验与测量
根据实验需求设定振动频率、幅度和波形等 参数。
启动实验
启动振动台和数据采集器，开始记录数据。
数据处理
将采集到的数据导入计算机，进行滤波、去 噪和整理，以便后续分析。
绘制图表
将处理后的数据绘制成图表，如时域波形图、 频谱图等，以便观察和分析。
机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
机械振动基本要求要点
50 第四章 机 械 振 动基 本 要 求一、掌握简谐振动的基本特征，会判断其是否为简谐振动。
二、掌握描述简谐振动的各物理量的物理意义及相互关系。
三、掌握用初始条件计算振幅和初位相，根据系统的固有性质计算圆频率的方法；能写出简谐振动的运动方程。
四、掌握旋转矢量法，能够借助其确定振动方程的初位相和绘制振动曲线，能够由已知的振动曲线写出振动方程。
五、理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律以及合振动振幅极大条件和极小条件。
内 容 提 要一、振动振动 任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。
振动是一种重要的运动形式。
机械振动 位移 x 随时间t 的往复变化；二、简谐振动运动学定义：物体沿一直线运动时,如果离开平衡位置的位移按余弦(或正弦)规律随t 反复变化，这样的振动称作简谐振动。
简谐振动的运动学方程：x (t )=A cos(ωt + ϕ)动力学定义：物体在线性恢复力（力和位移成正比而反向，具有F =−kx 的形式）作用下所作的运动，称作简谐振动。
简谐振动的动力学方程：0222=+-x dtx d ω51三、简谐振动的特征量振幅A ：最大位移的绝对值。
周期T ：振动一次所需时间。
频率ν：单位时间内的振动次数。
/T 1=ν（单位：Hz ）。
圆频率(角频率)：2π秒内的振动次数。
ω = 2πν =2π/T (单位：rad/s 或1/s)。
固有圆频率：简谐振动的圆频率决定于振动系统的自身的性质，称为固有圆频率。
弹簧振子：m k =ω ； 单摆：l g =ω。
相位：t 时刻的相位为(ωt +ϕ )，它是反映t 时刻的振动状态（x 、v 、a ）的物理量。
初相：t = 0时刻的相位(t =0称时间零点，是开始计时的时刻，不一定是开始运动的时刻)，它反映t = 0时刻的振动状态(x 0 , v 0 )。
相位差：两相位之差。
∆ϕ = (ωt +ϕ2) - (ωt +ϕ1)。
对两个同频率的简谐振动，相位差等于初相差。
《机械振动》张义民—第4章第1、2节ppt
◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时， 那么这个系统就是两个自由度系统。
◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。 ◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立 的微分方程组成。 ◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。
◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固 有振型叠加，只有在特殊的初始条件下系统才按某 一个固有频率作固有振动。
大象体积庞大，走起路来 更是别具一格，四只脚移动 时分别各自相差90度的位移 差。没有一只脚做的是相同 位移的移动。
◆四只脚动物可以看作是“四个振动体耦合在一起的 系统”吗？事实上，四个振动体组成的系统的基本运动 模式，确实与所提到的那四种走路方式一模一样。
◆可是动物们为什么会按照耦合振动体的方式来行走 呢？虽说现在关于这个问题还没有定论。生物学家们认 为，掌管运动的脑神经网(由数突连接起来的神经细胞) 看起来更接近“耦合振动体”一些。有推测认为，正是 脑神经网的动力学特性，使得动物走起路来才会表现出 振动体的特点。
1998年匈牙利的物理学家塔 马斯·维塞克在布达佩斯音乐学 院举行的一场音乐会上意外地发 现了同步化的现象。
演出相当成功，落幕后观众们热烈的掌声长达 3分钟之久，而维塞克博士便在这里发现了有趣 的东西。音乐会刚一结束，观众们雷鸣暴雨般的 掌声响起，然而过了一段时间之后，观众们的热 烈的掌声显然同步化了，变成了同一种节奏的拍 手。为了答谢观众们的热情，演奏者重新走上台 来谢幕，这时的掌声又突然之间失去了刚才的节 奏，雨点般疯狂地响起。在最后长达3分钟的鼓 掌声中，狂热的掌声和同步的掌声依次交替出现。
◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标 的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时 的振型就是与固有频率相应的固有振型。
大学物理机械振动课件
03 阻尼振动
阻尼振动的定义与特点
定义
阻尼振动是指振动系统受到阻力 作用，使得振动能量逐渐减少的
振动过程。
特点
随着时间的推移，振幅逐渐减小， 频率逐渐降低，直至振动停止。
阻尼力
阻尼振动过程中，系统受到的阻力 称为阻尼力，它与振动速度成正比， 方向与振动速度方向相反。
阻尼振动的描述方法
微分方程
阻尼振动的运动方程通常表示为二阶常微分方程，形式为 `m * d²x/dt² + c * dx/dt + k * x = 0`，其中 m、c、k 分别为质量、
振动压路机
利用共振原理来提高压实效果。
振动输送机
利用共振来输送物料，提高输送效率。
受迫振动与共振的能量转换
能量转换过程
外界周期性力对系统做正 功，系统动能增加；阻尼 使系统能量耗散，系统势 能减小。
转换关系
在振动过程中，外界对系 统的总能量输入等于系统 动能和势能的变化之和。
影响因素
阻尼系数、驱动力频率、 物体固有频率等。
能量耗散途径
阻尼振动的能量耗散途径 主要包括与周围介质之间 的摩擦、空气阻力、内部 摩擦等。
能量耗散的意义
阻尼振动的能量耗散有助 于减小系统振幅，避免因 过大振幅导致的结构破坏 或噪声污染等问题。
04 受迫振动与共振
受迫振动的定义与特点
定义：在外来周期性力的持 续作用下，物体发生的振动
称为受迫振动。
确定各简谐振动的振幅、相位差和频 率，在复平面内绘制振动相量，通过 旋转和位移操作找到合成振动的相量 表示。
振动合成的能量法
描述
能量法是通过分析各简谐振动的能量分布和转化，来研究振 动合成过程中的能量传递和平衡。
大物习题答案第4章 机械振动
第4章 机械振动基本要求1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点基本概念1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。
简谐振动的运动方程 cos()x A t ωϕ=+2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。
3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。
4．频率ν 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1T ν=5．圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与频率的关系为22Tπωπν== 6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ωϕ+项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位ϕ7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。
弹性势能222p 11cos ()22E kx kA t ωϕ==+ 动能[]22222k 111sin()sin ()222E m m A t m A t ωωϕωωϕ==-+=+v弹簧振子系统的机械能为222k p 1122E E E m A kA ω=+== 8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。
9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。
周期性外力称为驱动力。
10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。
基本规律1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。
第四章-机械振动
x（m）
t
A
曲线2曲线1
-A
t
t
t2
t1
1
2
当：t t2 t1 0, 2 1 0
振动2比振动1超前
t（s）
§4.1 简谐振动
例1.如图的谐振动x-t 曲线，试求其谐振方程
解：由图知
x(m)
A 2m T 2s 2
可得： 2 T O
振动表达式为
1
2t (s)
x Acos( t )
dt 2 l
谐振方程为：
设 2 2T
ml
x Acos（t ）
§4.2 简谐振动的实例分析
（5）U形管中液体无粘滞振荡
x x
l
为管内液体密度，
l为液体在管内的长度。
动力学方程为：
l
d2 dt
x
2
2gx
0
谐振方程为：
2 2g
l
x Acos（t ）
§4.2 简谐振动的实例分析
（6）LC谐振电路
P sin m dv
dt
v l
P
sin 1 3 （小角度时）
6
g 0
l
令 2 g
l
2 0
结论: 小角度摆动时，单摆的运动是谐振动.
周期和角频率为：T 2 l
g
g
l
§4.2 简谐振动的实例分析
（2） 复摆（物理摆）
以物体为研究对象
设 角沿逆时针方向为正
mghsin JZ
10
即： Asin( ) 0 sin( ) 0
6
2
x
1
cos(
t 2 )(m)
10 6 3
§4.1 简谐振动
机械振动第4章连续系统2-1.ppt
T i T
L2
(i 1, 2, )
第4章 连续系统 4.3 杆的纵向振动 振动微分方程 从连续系统直接导出
设长度为L 、两端固定的杆上受均布轴向力 f (x, t) ，杆上x处的轴向刚度与单位长度质量分 别为E A (x) 和m (x) 。
取杆的微段dx，隔离体受力分析图
根据材料力学，任一瞬时作用在杆微段两端 的轴向内力与轴的应变成正比
x x
x2
t2
或
T
(x)
y
(x, t)
f
(x, t)
(x)
2
y
(x, t)
x
x
t2
0 x L
0 x
第4章 连续系统 4.2 弦振动 自由振动 特征值问题
方程
T
(x)
y
(x,
t)
(x)
2y
(x,
t)
x
x
t2
0 x L
边界条件 y ( 0, t ) y ( L, t ) 0
i
(t )
w
2
i
i
(t)
0
(i 1, 2 ,)
解为 i (t) C i cos ( w i t i ) (i 1, 2 ,)
常数C i 和 i 由初始条件得到。
自由振动
第4章 连续系统 4.2 弦振动
例 4.1 图示均匀弦两端固定，弦中的张力为 常数，求解系统的特征值问题，画出系统前 四个特征函数，并验证正交性。
连续系统与离散系统的关系
连续系统与离散系统是同一物理系统的两个数学模型。
简化、离散化
连续系统
离散系统
自由度n 趋向于无穷
连续系统与离散系统的区别
第10次课第四章机械振动
第四章 机械振动
4.1 简谐振动 4.2 谐振动的能量 4.3 谐振动的旋转矢量投影表示法 4.4 谐振动的合成
4.5 阻尼振动 受迫振动 共振
谐振动
d x dt
2 2
f kx
x 0
2
复
习
1
2 2
k m
T
2
x A cos( t )
4.4 谐振动的合成
一．同频率同方向谐振动的合成 1.解析法： x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
x x1 x2 Acos( t )
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 2
tg
a A cos( t )
2
A
O
x
相位差
同频率、同方向的两谐振动的相位差 就是它们的初相差，即： 2 1
超前与落后，一般以 为界
例3.如图，已知轻弹簧的劲度系 数为k,定滑轮可看作质量为M、 半径为R的均质圆盘，物体的质 量为m，试求： 1.系统的振动周期； 2.将m托至弹簧原长并释放,求 m的运动方程(以向下为正方向) #.用能量守恒求解？
则： 2 d x dx m 2 kx dt dt
d x dt
2 2
设一质点m，受弹性力： F kxi dx 阻尼力： f v i 称为阻力系数 dt
O
2
fm F X dxFra bibliotekm dt
k m
x0
d x dt
2
2
dx dt
机械振动理论基础(第四章)
2 y 2 y m 2 T 2 0 x1 t x y(0, t ) y(1, t ) 0
(4 15) (4 16)
如初瞬时，弦上各点的初位移 y0 ( x ) ，各 点的初速度 v0 ( x)，求系统的响应。 在求多自由度系统对于初条件的响应时， 我们是先求足够多的特解，再根据叠加原理把 它们线性组合得系统的通解，然后由初条件来 定任意常数，我们现在也这样做，先求满足方 程和边界条件（4-15），（4-16）的特解，然
杆的纵向振动
u( x,t )
EA
x
dx f ( x,t )
s s dt t
dx 图4-2
均匀细长杆单位体 积质量为 ，截面抗 拉刚度为 EA ， E 为弹 性模量，A 为横截面 积。假设杆的横截面 在纵向振动过程中始 终保持平面，杆的横 向变形也忽略不计， 即同一横截面上各点 仅在 x 方向作相等位 移。以表示截面的位
(4 12)
式（4-12）通常称为波动方程， 称为波 速，是波在连续体中沿长度方向传播的速度(也 是声在材料中传播的速度)。 波动解一般的形式为
y f1 ( x at) f 2 ( x at) (4 13) f1 , f 2 为任意函数，下面验证 f1 , f 2 是方程
相当于弦上的位移模式 f1 ( x ) 向右移一段距离 a ； 同理， t 2 时 y f1 ( x 2a )，如图（c），相当 于位移模式又往前移一段距离 a 。所以，式 （4-14）形的波动解表示位移模式以速度 a向 右匀速移动。同理 f 2 ( x at) ，表示位移模式以 速度 a 向左匀速移动。 所以，无限长的弦上如果给个初始位移 y0 ( x) 初速度为 v0 ( x) 0 (0 x 1)，则 y0 y0 y ( x at) ( x at) 2 2
机械振动第四章
第四章两自由度系统的振动当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，称为两自由度振动系统。
两自由度系统是最简单的多自由度系统，因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统的基础。
两自由度系统具有两个固有频率，两自由度系统以固有频率进行的振动与单自由度系统不同，它以固有频率进行的振动是指整个系统在运动过程中莫一位移形状，称为固有振型，因此两自由度具有两个与固有频率对应的两个固有振型。
在任意初始条件下的自由振动响应一般由两个固有振型的叠加得到。
受迫简谐振动的频率与激励频率相同。
两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立的微分方程组成。
如果恰当地选取坐标，可使两个微分方程解除耦合，这种坐标称为主坐标或固有坐标。
用固有坐标建立的系统振动微分方程为两个独立的单自由度系统的微分方程。
4．1系统的自由振动如图所示的无阻尼两质量-弹簧系统，可沿光滑水平面滑动的两个质量与分别用弹簧与连至定点，并用弹簧相互连接。
三个弹簧的轴线沿同一水平线，质量与只限于沿着该直线进行往复运动。
这样与的任一瞬时的位置只需用坐标与就可以完全确定，因此该系统具有两个自由度。
图两自由度系统的振动取与的静平衡位置为坐标原点。
在振动过程中任一瞬时t,与的位置分别为与，作用于与的重力于光滑水平面的法向反力相平衡，在质量的水平方向作用有弹性恢复力和，质量的水平方向则受到和作用，方向如图所示。
取加速度和力的正方向与坐标正方向一致，根据牛顿运动定律有移项得方程（）就是图所示的两自由度系统自由振动的微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。
方程（）可以使用矩阵形式来表示，写成由系数矩阵组成的常数矩阵m和k分别称为质量矩阵和刚度矩阵，向量x 称为位移向量。
因此设分别为刚度矩阵k中的元素，因而方程（）可以写成方程（）为系统自由振动的微分方程。
方程（）是齐次的，如果和位方程（）的一个解，那么与其相差一个因子的和也将是一个解。
通常感兴趣的是一种特殊形式的解，也就是和同步运动的解。
第四章 机械振动要点
第四章 机械振动§4-1简谐振动一．弹性力与准弹性力１． 弹性力：x k f -= ２． 准弹性力:θθmg sin mg f -≈-=二． 谐振动的特征１． 动力学特征： x k f-=２． 运动学特征：特征方程： 02=+x x ..ω解： )t cos(A x ϕω+=三． 描述谐振动的物理量 １． 振幅：A ２． 角频率：m k=ω，lg =ω ３． 频率：πων2=４． 周期：ωπ2=T５． 周相：ϕω+t ６． 初周相：ϕ四．谐振动中的速度和加速度)t cos(v )t sin(A dt dx v m 2πϕωϕωω++=+-==)t cos(a )t cos(A dtx d dt dv a m πϕωϕωω±+=+-===222五．决定ϕω,A ,的因素1．ω 决定于振动系统，与振动方式无关； 2．ϕ,A 决定于初始条件： 公式法: 2202ωv x A +=，)x v (arctg 00ωϕ-=分析法：ϕcos A x =0 ⇒ →=Ax cos 0ϕ21ϕϕ,⇒-=ϕsin A v 0象限）象限）4302100,(,({A v sin <>-=ωϕ 六．谐振动的能量)t (sin A m mv E k ϕωω+==22222121 )t (cos A m )t (cos kA kx E p ϕωωϕω+=+==222222212121m A kA E E E p k 2222121ω==+=22202224141211kA mA dt )t (sin A m T E T k ==+=⎰ωϕωωk p E E =例１． 已知0=t 时20Ax =,00<v ,求ϕ例２． 已知0=t 时00=x ,00>v ,求ϕ例３． 如图，质量为10克的子弹以s /m 1000的速度射入木块并嵌在木块中，使弹簧压缩从而作谐振动，若木块质量为Kg .994，弹簧的倔强系数m /N k 3108⨯=，求振动方程。
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第二篇振动与波振动和波动是物质的基本运动形式。
在力学中有机械振动和机械波在电学中有电磁振荡和电磁波声是一种机械波光则是电磁波量子力学又叫波动力学。
第四章机械振动教学时数：6学时本章教学目标了解简谐振动的动力学特征，掌握描述简谐振动的重要参量，理解简谐振动的运动学方程，知道弹簧振子的动能和势能随时间变化的规律；了解简谐振动的合成，掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程，了解同方向不同频率简谐振动的合成，了解阻尼振动、受迫振动、共振的含义。
教学方法：讲授法、讨论法等教学重点：掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程机械振动：物体在某固定位置附近的往复运动叫做机械振动，它是物体一种普遍的运动形式。
例如活塞的往复运动、树叶在空气中的抖动、琴弦的振动、心脏的跳动等都是振动。
广义地说，任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以叫做振动。
例如交流电路中的电流、电压，振荡电路中的电场强度和磁场强度等均随时间作周期性的变化，因此都可以称为振动。
§4—1 简谐振动的动力学特征简谐振动是振动中最基本最简单的振动形式，任何一个复杂的振动都可以看成是若干个或是无限多个谐振动的合成。
定义：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移z(或角位移口)随时间f 按余弦(或正弦)规律变化，即 x = A cos(ωt + φ0)则这种振动称之为简谐振动。
研究表明，作简谐振动的物体(或系统)，尽管描述它们偏离平衡位置位移的物理量可以千差万别，但描述它们动力学特征的运动微分方程则完全相同。
一、弹簧振子模型将轻弹簧(质量可忽略不计)一端固定，另一端与质量为m 的物体相连，若该系统在振动过程中，弹簧的形变较小(即形变弹簧作用于物体的力总是满足胡克定律)，那么，这样的弹簧——物体系统称为弹簧振子。
如图所示，将弹簧振子水平放置，使振子在水平光滑支撑面上振动。
以弹簧处于自然状态(弹簧既未伸长也未压缩的状态)的稳定平衡位置为坐标原点，当振子偏离平衡位置的位移为x 时，其受到的弹力作用为F= - kx式中k 为弹簧的劲度系数，负号表示弹力的方向与振子的位移方向相反。
即振子在运动过程中受到的力总是指向平衡位置，且力的大小与振子偏离平衡位置的位移成正比，这种力就称之为线性回复力。
如果不计阻力(如振子与支撑面的摩擦力，在空气中运动时受到的介质阻力及其222==-mk dtx d m kx ω它能量损耗)，则振子的运动微分方程为此式就是描述简谐振动的运动微分方程能满足上式的系统，又可称为谐振子系统。
二、单摆如图所示，细线长为l ，一端固定在A 点，另一端系一质量为m 的小球，不计细线的质量和伸长。
细线在铅直位置时，小球在O 点。
此时作用在小球上的合外力为零，故位置。
即为平衡位置。
将小球稍微移离平衡位置O ，小球在重力作用下就会在位置。
附近来回往复的运动。
这一振动系统称为单摆。
把单摆在某一时刻离开平衡位置的角位移θ作为位置变量，并规定小球在平衡位置右方时，θ为正；在左方时，θ为负。
重力对A 点的力矩为mglsinθ拉力T 对该点的力矩为零，所以单摆是在重力矩作用下而振动。
根据转动定律。
得I β = M = - mg l sin θ式中负号表示重力矩的符号总是和sin θ的符号（即和角位移θ的符号）相反，I= m l 2表示小球对A 轴的转动惯量， 表示小球的角加速度。
当角位移θ很小时(θ﹤5º)，θ的正弦函数可用θ的弧度代替，所以22dt d θβ=θθβl g dtd -==22式中摆长和重力加速度都是常量，而且均为正值。
简谐振动的微分方程，可以归结为如下形式，即例： 一质量为m 的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在平衡位置附近的振动是简谐振动。
证 如图所示，以平衡位置A 为原点，向下为x 轴正向，设某一瞬时振子的坐标为x ，则物体在振动过程中的运动方程为式中l 是弹簧挂上重物后的静伸长，因为mg = k l ，所以上式为lgx dt x d ==+22220ωω对于单摆，mg l x k dtx d m ++-=)(22).(0)(222222m k x dtx d l x k dtx d m ==++-=ωω式中即为于是该系统作简谐振动。
§4—2简谐振动的运动学一、简谐振动的运动学方程如前所述，微分方程 的解可写作 x = A cos(ωt + φ0)式中A 和φ0是由初始条件确定的两个积分常数，称为简谐振动的运动学方程。
可见简谐振动的运动规律也可用正弦函数表示本教材对机械振动统一用余弦函数表示二、描述简谐振动的三个重要参量1.振幅A物体偏离平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值叫做振幅。
将简谐振动的运动学方程和它对时间的一阶导数，将初始条件t = 0, x = x 0,v = v 0代入，得.0222=+x dtx d ω)sin(2)2sin()cos(000ϕωπϕϕπϕωϕω'+=+='++=+t A x t t 亦可写成令由于⎭⎬⎫+-=+=)sin()cos(00ϕωωϕωt A v t A x ⎪⎭⎪⎬⎫=-=0000sin cos ϕωϕA v A x取二式平方和，即求出振幅2.周期、频率、圆频率 物体作简谐振动时，周而复始完成一次全振动所需的时间叫做简谐振动的周期，用T 表示。
由周期函数的性质，有频率：单位时间内系统所完成的完全振动的次数，用v 表示 在国际单位制中，v 的单位是“赫兹”(符号是Hz)。
圆频率(又称角频率)表示系统在2π秒内完成的完全振动的次数由上节讨论可知，简谐振动的圆频率是由系统的力学性质决定的，故又称之为 固有(本征)圆频率。
由此确定的振动周期称之为固有（本征）周期。
例如：2020)(ωv x A +=ωππϕωϕωϕω2)2cos(])(cos[)cos(000=++=++=+T t A T t A t A 由此可知πω21==T v v T ππω22==Imgh lg m k ===ωωω复摆单摆弹簧振子mgh IT g l T km T πππ222===复摆单摆弹簧振子3.位相和初位相我们把能确定系统任意时刻振动状态的物理量叫做简谐振动的位相(或称相位，周相)。
两振动位相之差△φ = φ2 - φ1，称为位相差。
若位相差等于零或2п的整数倍，则称两振动同步，如果两振动的振幅和频率也相同，则表明此时它们的振动状态相同。
因此，对于一个以某个振幅和频率振动的系统，若它们的运动状态相同，则它们所对应的位相差必定为2п或2nп的整数倍。
t = 0时的位相叫初位相φ0可见，初位相也是由初始条件确定。
例：轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂一质量为m 的物体设弹簧的劲度系数为k ，滑轮的转动惯量为I ，半径为R 若物体m 在其初始位置时弹簧无伸长，然后由静止释放(1)试证明物体m 的运动是谐振动；(2)求此振动系统的振动周期；(3)写出振动方程。
解 (1)若物体m 离开初始位置的距离为b 时，受力平衡，则此时0tan x v ωϕ-=以此平衡位置为O 坐标原点，竖直向下为x 轴正向，当物体m 在坐标x 处时，由牛顿运动定律和定轴转动定律有联立以上5式解得所以，此振动系统的运动是谐振动。
（2）由上面的表达式知，此振动系统的圆频率故振动周期为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='='=+=='-'=-22112211)(T T T T R a b x k T I R T R T maT mg 及ββk mgb kb mg ==即0)(0)(222222=++=++x R I m kdt x d kx dt xd R I m 即)(2R I m k+=ωkR I m T )(222+==πωπ（3）依题意知t = 0时，x 0=-b ，v 0=0，可求出振动系统的振动方程为例 已知如图（p126 图4-7）所示的谐振动曲线，试写出振动方程。
解 设谐振动方程为 x = A cos(ωt + φ0)。
从图中易知A = 4cm ，下面只要求出φ0和ω即可。
从图中分析知，t=0时，x 0=-2cm ，且（由曲线的斜率决定），代入振动方程，有-2 = 4cosφ0。
故 ，又由v 0=-ωA sinφ0<0，得sinφ0>0，因此只能取 。
再从图中分析，t=1s 时，x=2cm ，v>0，代入振动方程有同时因要满足 故应取 所以振动方程为 πωϕω=--===+=)arctan(00022020x v k mg b v x A ])(cos[)cos(20πϕω++=+=t R I m k k mg t A x πϕ320=00<=dtdx v πϕ320±=）（应注意这里不能取或所以即337353221)32cos()32cos(4)cos(420ππππωπωπωϕω±=+=++=+=,032sin(,0)32sin(<+>+-=πωπωω即v ,,3532πωππω==+即cm t x )32cos(4ππ+=用旋转矢量法也可以简单地求出谐振动的φ0和ω。
如图4-8所示，在x-t 曲线的左侧作O x 轴与位移坐标轴平行，由振动曲线可知，a ，b 两点对应于t=0s ，1s 时刻的振动状态，可确定这两个时刻旋转矢量的位置分别为和 。
下面作详细说明：由a 向O x 轴作垂线，其交点就是t=0时刻旋转矢量端点的投影点。
已知该处x 0=-2，且此刻v 0<0，故旋转矢量应在O x 轴左侧，它与O x轴正向的夹角 ，就是t=0时刻的振动位相，即初相；又由x-t 曲线中b 点向O x 轴作垂线，其交点就是t=1s 时刻旋转矢量端点的投影点，该处x=2cm 且v>0，故此时刻旋转矢量应在O x 轴的右侧，它与O x 轴的夹角 就是该时刻的振动位相，即 ，解得ω=π§4—3简谐振动的能量以弹簧振子为例来说明谐振动的能量。
设振子质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，在某一时刻的位移为x ，速度为u ，即 x=A cos(ωt+φ0)v=-ωA sin(ωt+φ0)于是振子所具有的振动动能和振动势能分别为πϕ320=πϕ35=ππω3532=+t )(cos 2121)(sin 21)(sin 2121022202202222ϕωϕωϕωω+===+=+==t kA kx E t kA t A m mv E p k这说明弹簧振子的动能和势能是按余弦或正弦函数的平方随时间变化的。
动能、势能和总能量随时间变化的曲线如图。
显然，动能最大时，势能最小，而动能最小时，势能最大。
简谐振动的过程正是动能和势能相互转换的过程。