集合基础知识和单元测试卷(含答案)

集合单元测试卷

重点：集合的概念及其表示法；理解集合间的包含与相等的含义；交集与并集，全集与补集的理解。

难点：选择恰当的方法表示简单的集合；理解空集的含义；理解交集与并集的概念及其区别联系。

基础知识：

一、理解集合中的有关概念

（1）集合中元素的特征：_________，__________，__________.

集合元素的互异性：如:下列经典例题中 例2

（2）常用数集的符号表示：自然数集_______ ；正整数集______、______；整数集_____；

有理数集_______ ；实数集_________。

（3）集合的表示法：_________，__________，__________，_________ 。 注意：区分集合中元素的形式及意义：如：

}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B }12|),{(2

++==x x y y x C ；

}12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；

（4）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 二、集合间的关系及其运算

（1）元素与集合之间关系用符号“___________”来表示。

集合与集合之间关系用符号“___________”来表示。

（2）交集}{________________

B A =⋂；并集}{________________B A =⋃； 补集_}__________{_________=A

C U （3）对于任意集合B A ,，则：

①A B ____ B A ⋂⋂；A B ____ B A ⋃⋃；B A ____ B A ⋃⋂

②U A C A ⋂＝ ，U A C A ⋃＝ ，()U C C A = ． ③()()________________B C A C U U =⋂；()()________________B C A C U U =⋃

④________________B A ⇔=⋂A ；________________B A ⇔=⋃A 三、集合中元素的个数的计算：

（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集

的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。

（2）B A ⋃中元素的个数的计算公式为()______________________B A Card =⋃

： （3）韦恩图的运用

经典例题：

例1. 已知集合8|

6A x N N x ⎧

⎫

=∈∈⎨⎬-⎩⎭

，试求集合A 的所有子集. 解：由题意可知6x -是8的正约数，所以 6x -可以是1,2,4,8；相应的x 为

2,4,5，即{}2,4,5A =.

∴A 的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}φ.

例2. 设集合2

{2,3,23}U a a =+-，{|21|,2}A a =-，{5}U C A =，求实数a 的值.

解：此时只可能2235a a +-=，易得2a =或4-。

当2a =时，{2,3}A =符合题意。

当4a =-时，{9,3}A =不符合题意，舍去。 故2a =。

例3. 已知集合A={x|03x 2-mx 2

=+， m ∈R}. （1）若A 是空集，求m 的取值范围； （2）若A 中只有一个元素，求m 的值；

（3）若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围.

解： 集合A 是方程03x 2-mx 2

=+在实数范围内的解集.

（1）∵A 是空集，∴方程03x 2-mx 2

=+无解.∴Δ=4-12m<0,即m>13

.

（2）∵A 中只有一个元素，∴方程mx2-2x+3=0只有一个解. 若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=32

;

若m ≠0，则Δ=0，即4-12m=0,m=13

.∴m=0或m=13

.

（3）A 中至多只有一个元素包含A 中只有一个元素和A 是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得m=0或m ≥13

.

例4. 设全集U R =，{|M m =方程210mx x --=有实数根}，

{|N n =方程20x x n -+=有实数根}，求()U C M N ⋂.

解：当0m =时，1x =-，即0M ∈； 当0m ≠时，140,m ∆=+≥即14m ≥-

，且0m ≠ ∴14m ≥-，∴1|4U C M m m ⎧

⎫=<-⎨⎬⎩

⎭

而对于N ，140,n ∆=-≥即14n ≤

，∴1|4N n n ⎧

⎫

=≤⎨⎬⎩

⎭

.∴1()|4U C M N x x ⎧

⎫=<-⎨⎬

⎩

⎭变式训练.已知集合A=6|

1,R ,1x x x ⎧

⎫

≥∈⎨⎬+⎩⎭

B={}

2|20,x x x m --< （1）当m=3时，求()R A C B ⋂； （2）若A B ⋂{}|14x x =-<<，求实数m 的值. 解： 由61,1

x ≥+得50.1

x x -≤+∴-1＜x ≤5,∴A={}|15x x -<≤.

（1）当m=3时，B={}|13x x -<<，则R C B ={}|13x x x ≤-≥或， ∴()R A C B ⋂={}|35x x ≤

≤.

(2)∵}

{

15A x x =-<<，A B ⋂{}|14x x =-<<∴2

4240m -⨯-=,解得m=8. 此时B={}|24x x -<<,符合题意，故实数m 的值为8. 例5. 已知{|3}A x a x a =≤≤+,{|1B x x =<-或5}x >. (1)若φ=⋂B A ，求a 的取值范围; (2) 若A

B B =,求a 的取值范围.

解:(1) φ=⋂B A , ∴1

35

a a ≥-⎧⎨

+≤⎩，解之得12a -≤≤.

则若φ=⋂B A ,a 的取值范围是[1,2]-； (2) A

B B =, ∴A B ⊆. ∴31a +<-或5a >，4a <-或5a >

则若A B B ⋃=,则a 的取值范围是(,4)(5,)-∞-⋃+∞.