积分上限函数的性质及其应用论文
关于积分上限函数所确定的复合函数若干性质与应用的探讨
关于积分上限函数所确定的复合函数若干性
质与应用的探讨
1 积分上限函数
积分上限函数是用来计算某个函数在某个无穷小点处复合函数的
值的一种数学函数。
其特点在于它将函数进行分割，然后用积分算法
来估算函数值。
它可以帮助我们估算函数的参数，即使在功能的最后
一个点，也可以很好地估算函数的值。
2 性质
积分上限函数的性质是它是连续的函数，也就是说，除了分割函
数的位置以外，函数的值在点上是连续的。
此外，积分上限函数由正
上边界和负上边界组成，正上边界指的是在某个无穷小附近，函数值
下限范围内观测不到，而负上边界表示函数值在某个无穷小点处上限。
3 应用
积分上限函数可以结合曲线拟合方法应用于数据分析，可以有效
地拟合不同尺度的数据，包括时间序列、金融学、温度等。
此外，积
分上限函数还可用来解决拖拽延迟、负载平衡以及路由延迟等企业网
络应用中的问题。
另外，积分上限函数还可以应用于服务器调度、流
量分配等方面，可大大提高企业的网络性能和服务质量。
积分上限函数的性质及其应用
证明： 因为ｆ ｘ 在［， ］ （） ａ ｂ 上可积，则ｆ ｘ 在［， 】 （） 口 ｂ 有 界。即 Ｍ ＞ ０，使得 ｌ ｘ ｌ ） ≤ ，有 ｆ（
１ 积 分上 限函数的性质
１ 单 调 性 ． １
（ ＝Ｉ （ｄ 由 ｔｔ ） ） ｆ
是周期 函数 ，或 是一线性 函数和一周期 函数之和 。
若ｆ ｘ 在【， ］ （） ａ ｂ 上可积，且厂 ≥０（ （） ） （） 厂 ≤０ ，则
积 分 上 限 函 数
证 ： ）ｆ（ｔ知 明 由（＝ ｆ）， ｔ ｄ
Ｒ ≠０，则 令
若ｆ ｘ 是连续函数且为奇函数，则积分上限函数 （、
（ ． （ ｔ 【 ｔ ） ｆ） ｄ
是偶函数：若ｆ ｘ 是连续函数且为偶函数，则积分上 （１
限 函 数 ，
冈
（） （） ＝ 一Ｒ
。
收稿 日期：２ ０ 。１ ４ ０ ８０ ． ２ 作 者简 介：王少英 （ ９ ８ ） １７ 。，女 ，河 北邯郸人，邯郸学院数学系助教 ，主要从事 高等数学教学研 究工作 。
（： ｆ）￣ａ６ ｆ （ｔ ［ 】 ） ｔ ｄ ，
上 可 导 ， 并 且
若 ｆ ｘ 在【， 】 （） 口 ｂ 上可积，则积分上限函数
（＝ ｆ） ｆ（ ｔ ） ｔ 厂 ） ６ ＝ ￣， ＝ ≤≤） ｄ ，） （ 。
２ 积分上 限函数 的应 用 ２ｌ 证 明积分等式 与不等式 ，
维普资讯
第３ ０卷 第 ５期
Ｖ １ ０Ｎｏｓ ｏ． ３
唐 山 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｕｎ ｌ ｌ ａ ｇ ｈ ｎＴａ ｈ ｒ ｏｌ ｅ ｏ ｒａ Ｔ ｎ ｓａ ｅ ｃ ｅｓ ｌ ｇ ｏ Ｃ ｅ
２ ０ 年 ９月 ０８
积分上限函数范文
积分上限函数范文
一、积分上限函数的定义
f(x)=x,当x≤a
=a,当x>a
其中，a为上限值。
二、积分上限函数的性质
1.定义域和值域：
2.连续与间断性：
3.导数与不可导性：
对于积分上限函数，当x<a时，导数存在且恒为1；当x=a时，导数不存在，函数是不可导的。
4.极值与点的性质：
5.阶梯函数：
三、积分上限函数的应用
1.信用积分：
信用积分是一种用于评估个人信用状况的指标，通常在0到100之间取值。
信用积分可以用积分上限函数来表示，例如：
f(x)=x,当x≤100
=100,当x>100
2.课程学分：
在大学教育中，学生需要修满一定数量的学分才能毕业。
课程学分可以用积分上限函数来限制，例如：
f(x)=x,当x≤160
=160,当x>160
3.游戏积分：
在电子游戏中，玩家可以通过完成任务、击败敌人等方式获得游戏积分。
游戏积分可以用积分上限函数来表示，例如：
f(x)=x,当x≤1000
=1000,当x>1000
这些只是积分上限函数的一些常见应用，实际上，积分上限函数可以应用于各种需要限定取值范围的场景中。
总结：
积分上限函数是一种能够限制变量取值范围的数学函数。
它的性质包括定义域与值域、连续与间断性、导数与不可导性、极值与点的性质等。
积分上限函数在实际生活中有许多应用，例如信用积分、课程学分、游戏积分等。
通过了解积分上限函数的定义和性质，我们能够更好地理解和应用它们。
积分上限函数的性质及其应用论文
湖北大学题目：积分上限函数的性质及其应用学院：数学与统计学院年级：研一专业方向：几何与方程作者姓名：陈勇学号：2014111104000639 出生年月：1990年05月性别男籍贯：湖南省汉寿县指导老师：陈立2015 年05月目录摘要 (II)Abstract (II)1引言 (1)2积分上限函数的性质 (1)2.1积分上限函数的初等性质 (1)2.2 积分上限函数的分析性质 (1)3积分上限函数的应用 (2)3.1利用积分上限函数证明积分等式与不等式 (2)3.2利用积分上限函数求幂级数的和函数 (2)3.3利用积分上限函数求解函数方程 (3)3.4利用积分上限函数确定全微分 (3)3.5利用积分上限函数求解导数 (3)3.6利用积分上限函数计算重积分 (4)3.7利用积分上限函数证明中值定理 (4)3.8利用积分上限函数求函数关系式 (5)3.9利用积分上限函数证明方程根的存在性 (5)4结束语 (5)致谢语 (5)参考文献 (6)积分上限函数的性质及其应用数学学院2014级2班陈勇摘要：积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数,对于积分上限函数的初等性质及分析性质的研究,能够深入了解其特性,并广泛用于解决一些微积分问题.本文例举了积分上限函数的若干应用,对初学者具有指导意义.关键词：积分上限函数;初等性质;分析性质;应用The Nature and Its Application of Integral Ceiling Function Class2, 2014,College of Mathematics ChenYongAbstract: Integral ceiling function is a class of the special form of function in calculus. In this paper, the primary nature of the integral ceiling function was discussed in-depth understanding to solve some problems in calculus. In the paper, Which have Integral upper limit function a number of applications. A guide for beginners.Key word: integral ceiling function; primary nature; analysis nature; applications1引言积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的初等性质及分析性质进行研究，深入了解其特性,对于证明积分等式与不等式、求幂级数的和函数、求解函数方程、确定全微分等具有重要的作用. 因此全面的掌握积分上限函数的性质和恰当的运用显得尤为重要. 本文通过分析积分上限函数的性质, 得到几类典型的应用.2积分上限函数的性质2.1积分上限函数的初等性质定义1 如果函数)(x f 在],[b a 上可积，那么函数⎰=xadt t f x s )()((a ≤x ≤b )称为积分上限函数. 下面讨论与之有关的性质及其应用. (1) 单调性若)(x f 在],[b a 上可积, 且)(x f ≥0 ()(x f ≤0), 则积分上限函数⎰=xa dt t f x s )()(在],[b a 上单调递增（递减). (2) 奇偶性若)(x f 是连续函数且为奇函数，则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(是偶函数；若)(x f 连续函数且为偶函数，则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(奇函数.(3) 周期性若)(x f 是连续函数且周期为T , 则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(是周期函数, 或是一线性函数和一周期函数之和.(4) 有界性若)(x f 在],[b a 上可积，则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(在],[b a 上有界.2.2 积分上限函数的分析性质(1) 凹凸性若)(x f 在],[b a 上单调递增(递减), 则对∀),(b a c ∈, 积分上限函数⎰=xcdt t f x s )()(是凸函数(凹函数).(2) 连续性若)(x f 在],[b a 上可积, 则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(在],[b a 上连续(3) 可导性若)(x f 在],[b a 上连续, 则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(在],[b a 上可导, 并且()()()()xa d s x f t dt f x a xb dx'==≤≤⎰. (4) 可积性若函数()x f 在[]b a ,上连续,则函数()s x 在区间[]b a ,上可积.特别是,若函数()x f 连续,则有()()()⎰⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡aa x dx x f x a dx dt t f 000.3积分上限函数的应用3.1利用积分上限函数证明积分等式与不等式例1 设()x f 和()x g 在[]b a ,上连续,证明:至少存在一点()b a ,∈ξ,使()()()()⎰⎰=ξξξξabdx x f g dx x g f .证明 令()()()⎰⎰=bxx adt t g dt t f x F .由于()x f ,()x g 在[]b a ,上连续,所以()x F 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且()()b F a F =,由罗尔定理,至少存在一点()b a ,∈ξ,使得()0F ξ'=,而()()()()()b xxaF x f x g t dt g x f t dt '=-⎰⎰,从而()()()()()0b aF f g t dt g f t dt ξξξξξ'=-=⎰⎰,即()()()()⎰⎰=ξξξξab dx x f g dx x g f .例2 若()x f 和()x g 在[]b a ,上连续,则()()()()⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a dx x g x f dx x g x f 222.证明 令()()()()()222⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎰⎰⎰xa xa x adt t g t f dt t g dt t f x F ,则 ()()()()()()()()()22222x x xaaaF x f x g t dt g x f t dt f x g x f t g t dt '=++⎰⎰⎰()()()()()()()()[]⎰+⋅-=xadt x g t f t g t f x g x f t g x f 22222()()()()[]⎰≥-=xadt x g t f t g x f 02.所以()x F 在[]b a ,上单调增加,从而()()a F b F ≥.3.2利用积分上限函数求幂级数的和函数例3 求和函数1(1)nn n n x ∞=+∑.解 设),1,1(,)(11-∈=∑∞=+x nxx s n n 则12111()xn n n n s x dx nxxnx∞∞+-====∑∑⎰,设,)(111∑∞=-=n n nx x s 则 ,1)(11xxnx dx x s n n x-==∑⎰∞= 求导得,)1(1)(21x x s -=,)1()()(22102x x x s x dx x s x-==⎰再求导, 得.)1(2)(2x xx s -=3.3利用积分上限函数求解函数方程例4 设)(x f 在任意有限区间上可积且满足方程)()()(y f x f y x f +=+ (1) 试证：)(x f ax =，其中)1(f a =.证明 要证)(x f ax =，当0≠x 时即要证xx f )(=常数.或∀0,≠y x ，y y f x x f )()(=, 即x y f y x f )()(=在已知方程),()()(y f t f y t f +=+ 两边对t 取积分⎰⎰+=+xxx y f dt t f dt y t f 0,)()()(但⎰⎰⎰⎰++-==+xyx yyx ydt t f dt t f du u f dt y t f 00,)()()()(故⎰⎰⎰+--=yx yxdt t f dt t f dt t f y xf 0.)()()()(此式右端，y x ,以对称的形式出现.y x ,互换知x y f y x f )()(=， 从而)(x f ax =（当0≠x 时） (2) 在(1)中令1,0==y x ,得0)0(=f .可见(2)对于0=x 也成立.最后(2)中,令1=x ,可得)1(f a =.3.4利用积分上限函数确定全微分例5 验证)()(dy dx y x f +⋅+是全微分,其中)(u f 是连续函数. 证明 令()()⎰+=y x du u f y x F 0,,由于()u f 是连续函数,故()(),x F x y f x y '=+,()(),y F x y f x y '=+,且它们都是y x ,的连续函数,因此()()(),,x y dF x F x y dx F x y dy ''=+()()dy dx y x f +⋅+=. 即证()()dy dx y x f +⋅+是全微分.3.5利用积分上限函数求解导数例6 设)(x f 在0=x 的某个领域U 内连续,验证当U x ∈时,函数⎰---=x n dt t f t x n x 01)()()!1(1)(ϕ的各阶导数都有,且).()(x f x n =ϕ 证明 由于被积函数dt t f t x t x F n )()(),(1--=及偏导数),(t x F x '在U 上连续, 于是由定理可得 ⎰----='x n dt t f t x n n x 02)())(1()!1(1)(ϕ.)()()!2(1)()()!1(1021dt t f t x n x f x x n x n n ⎰----=--+.)()()!3(1)(03dt t f t x n x x n ⎰---=''ϕ 由此继续下去,求得k 阶导数为⎰-----=x k n k dt t f t x k n x 01)(.)()()!1(1)(ϕ 特别的当1-=n k 时有 ,)()(0)1(dt t f x xn ⎰=-ϕ于是).()()(x f x n =ϕ3.6利用积分上限函数计算重积分例7 设函数)(x f 在],[b a 连续,则.])([21)()(2dx x f dy y f x f dx ba b a bx ⎰⎰⎰=证明 dy y f x f dx b ab x)()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==b ab axab xb xdt t f d dy y f dx dt t f x f ))(())((])()([))(())((]))()(([⎰⎰⎰⎰⎰==xab axab ax adt t f d dt t f dx dt t f x f.))((21])([2122dt t f x f b ab a x a ⎰⎰== 3.7利用积分上限函数证明中值定理例8 微分中值定理：若函数()x f 在闭区间[]b a ,连续,在开区间()b a ,内可导,则在开区间()b a ,内至少存在一点()b c a c <<,使()()()()a b c f a f b f -=-.证明 把c 换成t ,则()()()()a b t f a f b f -=-.即()()[]()()0=---a b t f a f b f , []b a x ,∈∀,将上式两边取积分()()[]()()0=---⎰xadt a b t f a f b f ,即()()[]()()()[]()0=-----a x a f x f a x a f b f .令()()()[]()()()[]()a x a f x f a x a f b f x F -----=,显然()()0==a F b F ,且()x F 在[]b a ,内连续,在()b a ,可导,由罗尔定理,则至少存在一点()b c a c <<,使()0=x F ,而()()()[]()()a b x f a f b f x F ---=,故()()()()a b c f a f b f -=- ()b c a <<.例9 积分中值定理:若函数()x f 在闭区间[]b a ,连续,则在[]b a ,内至少存在一点c ,使得()()()a b c f dt t f ba-=⎰.证明 设()()⎰=xadt t f x F ,由于()x f 在闭区间[]b a ,连续,则()x F 在[]b a ,上连续,由拉格朗日中值定理,则至少存在一点()b a c ,∈,使()()()()a b c f dt t f dt t f aab a-=-⎰⎰,即()()()a b c f dt t f ba-=⎰.3.8利用积分上限函数求函数关系式例10 已知函数)(x f 当10≤≤x 时为x 2, 当12x <≤时为x +2, 求积分上限函数⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在]2,0[上的表达式.解 因为被积函数是分段函数, 所以通常计算定积分而确定)(x ϕ的表达式时也要分段考察.当10≤≤x 时,,2)()(2020x t tdt dt t f x xx x====⎰⎰ϕ 当12x <≤时,⎰⎰⎰+==11)()()()(xxdt t f dt t f dt t f x ϕ.23221)2(22101-+=++=⎰⎰x x dt t tdt x所以当10≤≤x 时为,)(2x x =ϕ 当12x <≤时为.232212-+x x3.9利用积分上限函数证明方程根的存在性例11设()x f 在[]b a ,上连续,且()x f >0, 又()()()⎰⎰+=xbx a dt t f dt t f x F 1.证明:()0=x F 在[]b a ,内有且仅有一个实根.证明 因为 ()()()()()211f x F x f x f x f x +'=+=, 而 ()()x f x f 212≥+,所以 ()20F x '≥≥.故()x F 在[]b a ,内单调增加,所以()0=x F 在[]b a ,内至多有一个实根.又 ()()⎰<=a b dt t f a F 01, ()()0>=⎰ba dt t fb F ,且()x F 在[]b a ,上连续,故根据的存在定理,在[]b a ,内()0=x F 至少有一个实根. 综上所述, ()0=x F 在[]b a ,内有一个且仅有一个实根.4.结束语综上所述，深刻理解积分上限函数的定义，准确掌握相关性质，是解决各种积分上限函数有关问题的关键，为解决实际问题提供了更多的方法,优化了解题途径,同时也存在着局限性,对适应范围存在着各种条件,这还有待于进一步研究.致谢语感谢陈立老师在论文过程中对我的悉心指导, 也感谢曾帮助我的同学们!参考文献[1]同济大学应用数学系.高等数学(第5 版)[M].北京:高等教育出版社,1999.[2] 高智民.原函数存在定理在不等式证明题中的应用[M].湖南师范大学学报,1997,16(2):14-15.[3]华东师大数学系.数学分析(第2 版)[M].北京:高等教育出版社,1999.[4]徐虎.积分上限函数的应用研究,内肛科技[M].中南大学学报,1997,17(2):15-16.[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993 .[6]余家荣.复变函数[M].北京:高等教育出版社,1992.[7]高鸿.积分上限函数的主要性质及其应用[M].湖南商学院学报,2001,27(2):47-48.[8]常庚哲,史济怀.数学分析教程:下册[M].北京:高等教育出版社,2003.。
浅谈积分上限函数的性质及应用
证明： 设 ） ：Ｉ ｔ ） ｄ ｔ ， 则Ｆ （ ） 在Ｖ ａ ， ｂ ］ 上连续， 在
（ 口 ， ｂ ） 内可导 ， （ ） ） ＞ ０ ， 即Ｆ （ ） 为单调 增 函数 。设
ｆ ｃ ０ ｓ ｃ ） ＝ ｃ ０ ｓ 一 ｓ ｉ ｎ ｘ 一 １ ，
＝ ａ ｏ ＋ ａ ｌ＋… ＋ ０
，
Ｊ ｆ （ ｔ ） ｄ ｔ 在 ａ ， ｂ ］ 上单调递减。
②奇偶 性 ： 设 ） 为连续 函数 ， 若 ） 为奇 函数 ， 则
由罗 尔 定 理 知 ，存 在 ∈∈
（ ０ ， １ ） ， 使 （ ∈ ） ＝ ０ ， 而 （ 毛 ） ＝ ｎ ｏ ＋ ｏ ＋ …＋ ， 故方程 ａ ｏ ＋
ｂ ） 为积分上 限函数 。
（ 二） 性 质
例１ ． 设ｃ ｔ ｏ ， …， ％为满足 ＋ ＋ …＋
十 ｌ
＝ ０的 实
常数 ， 证 明方程 ａ ｓ ＋ ａ ｌ ｘ ＋ …
根。
＝ ０在 （ ０ ， １ ） 内至 少有 一个
①单调性 ： 设 ） 在［ ａ ， ｂ ］ 上可积 ， 若Ｉ 厂 （ ） ＞ １０ ， 则
Ｆ （ ） ＝Ｊ ｔ ） ｄ ｔ 在ａ ， ｂ ］ 上单调递增； 若 ） ≤ ０ ， 则Ｆ （ ｘ ）
＝
证明： 设Ｆ （ ） ＝ Ｊ 。 （ ａ ｏ ＋ ａ ｌ ｘ ＋ … ＋ ） ｄ ｔ ， 则Ｆ （ ） 在
［ ０ ， １ ］ 上连续 ， 在（ ０ ， １ ） 内可 导 ， 且Ｆ （ ０ ） ： Ｏ ， １ ）
期 函数之和 。
≤ 。 ， 故 ） 一 Ｆ （ － ｘ ） ＝ Ｊ ￡ ） 一０ ｆ （ ｔ ） ｄ ｔ ， 在 第 二 项中 令
积分上限函数的性质研究
讨积分上限函数的性质， 推导出几个相关定理， 指出积分上限函数的应用 . 关键词：积分上限函数； 连续； 可积； 可导 中图分类号：O 172 文献标识码：A
在微积分学中为证明原函数存在定理及牛顿—莱布尼兹公式， 引进了积分上限函数 . 积分上限函数是 微积分学中一类具有特殊形式的函数， 该函数的性质和应用在一般文献中涉及甚少或零星分散 . 本文从微 积分的基本问题求未知函数， 使导函数是某已知函数入手， 运用极限、 导数的定义和微分中值定理， 系统地讨 论了积分上限函数的性质， 有效地推广了积分上限函数的相关结果， 拓展了积分上限函数的应用 .
乙
x0
x
（ f t+h ） dt =
乙
x0
x+h
x0 +h x+h
（ f y ） dy = （ f y ） dy -
乙 乙
x0
x0
x0 +h x0 +h
（ f y ） dy +
f y ） dy＝ 乙（
x0
x+h
乙
于是
x x
（ f y ） dy =F （x+h ） -F （x0 +h ） ，
lim
h→0
a x
证明 用任一分法 T 把区间 ［a， b］ 分成 n 个小区间： ［x0 ， x1 ］ ， ［x1 ， x2 ］ ， …， ［xn-1 ， xn ］ ， 其中 x0 ＝a， x n ＝b . 第 K 个小区间的长度为 △xk = xk - xk-1 ， ωk 表为第 K 个小区间的振幅， 令（ l T） ＝max｛△x1 ， △x 2 ， △x 3 ， …， △xn｝ ， 由 于（ f x ） 有界， 因此埚M＞0， 使│（ f x ） │≤M . 于是对坌x1 ， x2∈ ［xk-1 ， xk ］ ， 有 ωk ＝ sup│F （x1） -F （x2） │＝ sup sup 进而
积分上限函数的研究与应用
积分上限函数的性质及应用
ｆ当 ＝ 时， Ｉ ｏｔ＝ｍ ｃ ￣ １ ３ ０ ｌ ） ｉ ｍ ｓ ｔｉ ｓ ， ｃ ￣ ｌ ｏｘ＝ ｄ
一 ０。 Ｊｕ 叶 ０— １
，‰
） ） ＝ｆ
２２积分上 限函数 的可微性 ． 定理 ３ 设函数＿ ） ｂ ｌ 厂 在［，］ 连续， 函数 中 ） ａ ６内可导， （ － 则 在 ，关键词 】 ； ； 连续 可微 不等式
１积分上限函数的定义 ．
对 于区间 ，］ 的可积 函数 ， ）设 为 ａ６上 的任 意一点 ， ６ 上 （ ， ， ］ 变
故知此时 中 ∽在［，】 ｎ６ 上严格单 调。
３积分上 限函数性质的应用 ．
３ 讨论函数 的极限与连续性 ． １
◇高 教论述◇
科技 一向导
２１ 年 ３ 期 ０１ 第 ２
积分上限函数的性质及应用
吴红春 （ 内蒙古集宁师范学院数 学系 内蒙古
乌兰察布
０２ ０ ） １ ０ ０
【 要】 摘 本文讨论 了积分上限函数的有界性 ， 连续性， 可积性， 可微性 ， 单调性 等一些基本性质， 并且运 用这些基本性质对与积分上限 函数相 关的某些函数 的微 分、 积分等作 了浅显 的讨论 ， 以及在证明积分等 式（ 不等式） 与一些中值 问 等方面也作 了一 些探 讨， 究了积分上 限函数 题 并探
上限的 积分 Ｊ（ ｔ ｔ 显然存在， 在［６ ｆ） ｄ 当 ｎ】 ，上任意变动时， 对于每 一个
取定的 值， ｆ） 就有一个对应的值， Ｉ（ ｔ ｔ ｄ 这样就在【 ｈ ｏ ｉ ． －个 ，￣定ＹＴ 新函 ＝ｆ ｔｔ 数中 ） ） ， Ａｄ （ ，） ６ 称为积分上限函 ］ 数。
）２］ｏ －（）
因此 ） ｘ ０ 在 ＝ 处不连续， 但它是右连续 的。 ３ 积分上限函数周期性的应用 ． ２
积分上限函数的性质及应用2
权重向量。
确定方案层 P 对准则层 C 的权重 W2 ：
对 A 计划的各项套餐量化可准确反映每一项套餐的优劣， 由此
分别构造方案层 P 对准则层 C 的比较矩阵。
（k）
Fk
（k）
＝（fi，j ）n×n
，其中
（k）
fi，j ＝
Ai
（k）
（i，j＝1，2，3···11；k＝1，2···，5）
Aj
明显所有的 Fk 均为一致阵，由一致阵 的 性 质 可 知 ，Fk 的 最 大 特 征
乙 乙 a+T
T
f(x)dx= f(x)dx,
a
a
现在
乙 乙 乙 乙 x+T
x
x+T
T
Φ(x+T)= f(t)dt= f(t)dt+ f(t)dt=Φ(x)+ f(x)dx=Φ(x).
a
a
a
a
于是知 Φ(x)仍然为以 T 为周期的连续函数。
2.4 积分上限函数的单调性
定理 5 设函数 f（x）在[a，b]上连续且不变号, 则函数 Φ(x)为[a，b]上
值为 λmax =5.1423，相应的特征向量归一化有
W1 ＝ ● 0．3606 0．2652 0．1755 0．1161 0．0826 ● T
对应的一致性检验指标为 RI＝1．32，则一致性检验指标:
CI1
＝
λmax －5 5－1
一致性比率 CR＝ CI1 RI1
≈0．0252<0.1，
于是 W1 作为 C 层对 O 层的
确定准则层 C 对目标层 O 的权重 W1
根据不同因素对目标影响，构造比较矩阵如下：
●●1
积分上限的函数的性质及其应用(正文)
积分上限的函数的性质及其应用数学教育专业学生：祝胜前指导教师：张云摘要：变限积分函数分为变上限和变下限积分函数两种，变下限积分函数可以转化为变上限积分函数。
积分上限函数加强了微分和积分之间的联系，是定积分基本公式的理论基础。
变限积分函数的性质主要由被积分函数的性质、积分上（下）限的结构来决定。
我们对它进行初等性质及分析性质的研究，可深入了解其特性，并广泛用于解决一些微积分的问题。
关键词：积分上限函数，变限积分函数，导数，单调性，奇偶性Abstract: The variation range integral function divides into changes the upper limit and changes the lower integral function two kinds, changes the lower integral function to be possible to transform for changes the upper integral function. The integral upper limit function strengthened between the differential and the integral relation, is the definite integral fundamental formula rationale.The variation range integral function nature mainly by the structure which by in the integral function nature, the integral (next) is limited decided. We carry on the primary nature and the Analysis nature archery target research to it, but thoroughly understood its characteristic, and widely uses in solving some fluxionary calculus problems.Keyword: Integral upper limit function, variation range integral function, derivative, monotony, odevity0 问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系：设某物体作直线运动，已知速度()v v t 是时间间隔12[,]T T 上t 的一个连续函数，且()0v t ≥，求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为21()T T v t dt ⎰。
3,论文题目：关于积分上限函数的主要性质及其应用,
中文摘要积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的初等性质及分析性质进行研究，深入讨论了特性，并用于解决一些微积分问题，并且得到了相应的比较好的结论。
本文利用积分上限函数的性质讨论一些特殊函数的求导数，求极限，证明单调性，连续性，证明不等式和恒等式，证明积分中值定理，定义有关函数等方面的一些应用。
关键词：积分上限函数；性质；定积分；连续。
121引言积分上限函数问题是教学和实际生活中有特殊位置，一方面比较简单，另一方面它包括很多实际问题，有着非常广泛的应用。
在积分学中，为证明原函数存在定理及牛顿—莱布尼兹公式，引进积分上限函数的概念。
本文讨论此函数导数的存在性，周期性；并讨论了它在求导数，求极限，证明单调性及连续性，证明积分中值定理，证明不等式和恒等式，定义有关函数等方面的一些应用。
在“数学分析”中，学过积分上限函数及其简单的性质。
定义：设函数()f x 在区间[],a b 可积，则对于每一个取定的[],x a b ∈，对应唯一个积分值，即()()[],,xa x f t dt x ab Φ=∈⎰称为函数()f x 的积分上限函数。
积分上限函数有明显的几何意义：设[],x a b ∀∈有()0f x ≥，则积分上限函数()()xa x f t dt Φ=⎰是区间[],a x 上的区边梯形的面积。
如图（1）的阴影部分。
1.积分上限函数的性质定理1.1 如果函数()f x 在[],a b 上是可积，则积分上限函数()()xa F x f t dt =⎰在区间[],ab 连续。
证明：[][]00,,,,x a b x x x a b ∀∈∀∆+∆∈x2()()()()()()000000x x x x x a a x F x F x x F x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆=+∆-=-=⎰⎰⎰ 。
又由已知条件，()f x 在[],a b 上有界，即[]0,,M x a b >∀∈，有()f x M ≤。
积分上限函数的性质及其应用
积分上限函数的性质及其应用
积分上限函数是一种被广泛应用于互联网的函数，它主要用于处理和促进用户的参与度，以保证其服务的可持续发展。
积分上限函数将积分（或“热度”）与用户参与度相关联，积分和热度与用户疲劳有关，因此积分上限。
函数旨在给予用户适当的奖励，使用户保持活跃，同时又不至于过于疲劳。
积分上限函数对互联网的应用很明显，它在互联网市场的发展过程中起着至关重要的作用。
它能够为设计者和运营者提供参考和依据，使他们能够为网络服务提供更加有效的支持。
在采用积分上限函数时，需要非常小心，考虑到用户的不同消费习惯和使用习惯。
为了防止出现用户支付过多或过少，需要给出正确的奖励和惩罚。
只有这样才能保证互联网服务的持续发展和持续繁荣。
总之，积分上限函数可以说是互联网发展的利器，它能够帮助互联网开发者更好地掌控用户的行为和参与程度，从而提升产品的可持续性，实现既能满足市场需求，又能达到良好的用户体验的效果。
积分上限函数的性质及其应用
积分上限函数的性质及其应用摘要文章对积分上限函数的性质进行归纳总结,并给出了部分性质的证明.通过举例讨论了积分上限函数的性质应用.关键词积分上限函数连续可微不等式应用1 引言通过对数学分析的学习及相关资料的阅读,我了解到数学分析的核心内容是微积分,在微积分学中，要利用定积分定义求定积分是一件非常困难的事,所以我们要将复杂的事情变简单,寻找更简便有效的计算方法,这种方法用到了积分基本公式或牛顿－莱布尼兹公式.牛顿－莱布尼兹公式把定积分的计算问题转化成了不定积分的计算问题,也就是找函数的原函数问题.为证明原函数存在定理及牛顿－莱布尼兹公式,引进了一种特殊的函数－积分上限函数,从而加强了积分与微分之间的联系.积分上限函数具有很好的性质,这些性质及应用在大量文献中都有讨论,如文献［1］和文献［2］给出了积分上限函数的定义、可微性,并证明了可微性定理,还给出了积分上限函数在证明积分等式与积分不等式中的应用.文献［3］主要给出了积分上限函数在经济学中的应用.文献［6］是关于积分上限函数在计算累次积分和证明中值定理中的应用.文献［8］讨论了积分上限函数的初等性质和分析性质,举例讨论了其在求解函数方程、求幂级数的和函数及判定全微分中的应用.文献［9］讨论了积分上限函数在证明微分中值定理、概率密度等方面的应用.本文对积分上限函数的性质及应用作进一步概括总结.2 积分上限函数的定义设在区间上可积,为上的任意一点,则在的子区间上仍可积,因此积分存在.这个变上限的定积分对每一个都有一个确定的值与之对应,所以它是定义在上的一个以上限为自变量的函数,称为积分上限函数,记为.即在这里表示积分上限,同时又表示积分变量.因为定积分的值与积分变量无关,为避免混淆,故可以把积分变量记为表示,则3 积分上限函数的性质本节主要概括总结积分上限函数的基本性质.性质1（可微性）如果函数是区间上的连续函数,则积分上限函数在区间上可微,并且证明对,有在点处连续,则对,,当时有,故当,时,有即因此,在点处可导,并且,由的任意性可知,在区间上可导,且性质2（连续性）如果函数是区间上的可积函数,则积分上限函数是区间上的连续函数.证明由函数是区间上的可积函数,则在上有界,即,对都有,又对,,有又,所以即所以在点处连续,由的任意性可知,在上连续.同理可证;.即在,点连续,所以在区间上连续.性质3（可积性）如果是区间上的可积函数,则积分上限函数也是区间上的可积函数.证明因为是区间上的可积函数,由本文的性质2可知是区间上的连续函数,故是区间上的可积函数.性质4（有界性）如果是区间上的可积函数,则积分上限函数是区间上的有界函数.证明因为是区间上的可积函数,由本文的性质2可知是区间上的连续函数,故,对都有.性质5（单调性）如果是区间上的连续函数,则当时,在区间上单调递增.当时,在区间上单调递减.证明因为是区间上的连续函数,由本文的性质1可知积分上限函数在区间上可导,并且，所以当时,在区间上单调递增.当时,在区间上单调递减.性质（奇偶性）设是区间上的连续函数,如果为奇函数,则为偶函数.如果为偶函数,则只有为奇函数.于是可知,奇函数的所有原函数全为偶函数.但偶函数的原函数却只有一个为奇函数.性质（周期性）如果是（，）上连续的奇函数,且是以为周期的周期函数,则也是以为周期的周期函数.性质（凸凹性）设,如果在上单调递增,则是凸函数;如果在上单调递减,则是凹函数.4 积分上限函数的简单应用本节通过举例讨论积分上限函数的简单应用.4.1巧妙应用积分上限函数证明等式例设都是区间上的连续函数,且,则在区间（）上至少存在一点,使得证明作函数则.又由在区间上连续,可知在上即连续又可导,由罗尔定理可知,至少存在一点,使得,即又,即4.2巧妙应用积分上限函数证明不等式例2设在区间上连续且单调递增,并且,试证:证明作辅助函数由是区间上的连续函数可知,在区间上即连续又可导,且由积分中值定理可知,存在一点使得.则又单调递增,由知，即单调递增,因此,即4.3应用积分上限函数解决生活中的经济问题例3设甲厂每天生产单位的零件,其固定成本为元,并且已知边际成本函数（元/单位）,求总成本函数.如果对此零件的销售单价规定为元,同时所有的零件都出售了,求总利润函数.并求每天生产多少零件时才能获得最大利润.解由题意可知总成本函数是边际成本函数在上的定积分,并且设当售出单位零件时得到的总收益为,根据题意有,因为由得,而,所以当每天生产单位零件时才能获得最大利润,最大利润为（元）例4 已知生产某商品单位时,边际收益函数为（元/单位）,试求生产单位时总收益以及平均单位收益.并求生产这种产品单位时的总收益和平均单位收益.解因为总收益是边际收益函数在上的定积分,所以生产单位时的总收益为则平均单位收益为当生产单位时，总收益为（元）平均单位收益为（元）4.4应用积分上限函数证明定理例（Lagrange中值定理）如果是区间上的连续函数,并且是区间上的可导函数,则在区间内至少存在一点,使得证明把中的换成得对,将上式两边取积分有积分得设显然,又是闭区间上的连续函数,并且是开区间上的可导函数,由罗尔定理可知,在区间内至少存在一点,使得,而则即4.5积分上限函数在函数方程求解方面的应用例6 设在任意有限区间上都可积,且满足方程,试证,其中.证明要使,只要证当时,为一个常值或对有.在已知方程两边对取积分,有由则上式右端以对称的形式出现,从而,所以时成立.在中令可得.所以在时也成立.在中令得,所以,其中.例7 设连续,求,使其满足,且解令,则,时.时.当时,有,即两边对求导,得两边在上积分,得所以4.6应用积分上限函数判定全微分例8 设是连续函数,验证是全微分.证明令由于是连续函数,故且且二者都是的连续函数,因此所以是全微分.4.7巧妙应用积分上限函数简化复杂的累次积分计算问题例求值：解令则它是积分上限的函数.由在上连续,则在上可导,且有又,.所以4.8积分上限函数在幂级数求和中的应用例10 求幂级数的和函数.解先求收敛域由,,有所以收敛半径,收敛区间是（）,又当时,级数发散.当时,级数收敛.所以幂级数的收敛域是设幂级数的和函数为,即其中由幂级数的和函数的分析性质可知,幂级数在区间上可逐项微分,即等式两端乘以有即对,等式两端分别从到积分,即已知，于是，5 总结本文就积分上限函数的性质和应用在前人研究的基础上作了简单的归纳总结,其主要内容有积分上限函数的分析性质,初等性质及部分性质的证明; 通过举例讨论了积分上限函数的应用.发现在学习积分上限函数时,应深刻理解其定义,准确把握其性质,解题过程中构造适当的积分上限函数,正确应用积分上限函数的相应性质解决相关问题,为今后进一步学习提供帮助.参考文献[1] 冯翠莲,刘书田.微积分学习辅导与解题方法［M］.北京:高等教育出版社,2003.[2] 赵树嫄.微积分［M］.北京:中国人民大学出版社,2002.[3] 催克俭.应用数学［M］.北京:中国农业出版社,2004.[4] 李冬.浅谈积分上限函数的性质及其应用［J］.大学教育,2014(2):42-43.[5] 向长福.积分上限函数的性质及应用［J］.科技资讯,2009(9):246.[6] 阎彦宗.积分上限函数的几个应用［J］.陕西教育学院报,2004,20(1):84-86.[7] 蒋善利,普丰山.积分上限函数的性质研究［J］.河南科学,2009,27(10):1179.[8] 王少英,王淑云.积分上限函数的性质及其应用［J］.唐山师范学院学报,2008,30(5):21-22.[9] 王宝珍,夏银红.积分上限函数的若干应用［J］.天中学刊,2012,27(2）:27.Properties and Applications of Integral with Variable Upper Limit Abstract In this paper, the properties of integral with variable upper limit function are generalized and summarized and given the proof of some certain properties. The applications of integral upper limit function are discussed by way of example.Key Words Integral with variable upper limit function, Continuously, Differentiable, Inequality, Application数学系数学与应用数学专业2015届本科毕业论文致谢我的本科毕业论文撰写工作自始至终都是在席进华老师全面、具体的指导下进行的。
积分上限函数的进一步探讨
积分上限函数的进一步探讨积分上限函数是数学中的一种重要函数，它的定义和性质在微积分中被广泛应用。
在本文中，我们将深入探讨积分上限函数的性质和应用，为读者提供更深刻的理解和应用。
一、积分上限函数的定义积分上限函数是一种将变量的上限作为自变量的函数。
设f(x)在[a,b]上连续，则它的积分上限函数F(x)定义为：F(x)=∫a^xf(t)dt其中，a≤x≤b。
积分上限函数是一种非常特殊的函数，它的定义中包含了积分运算，因此它的性质和应用都与积分密切相关。
二、积分上限函数的性质1. 可导性若f(x)在[a,b]上连续，则积分上限函数F(x)在[a,b]上可导，且F'(x)=f(x)。
这个性质说明了积分上限函数和原函数之间的关系，即积分上限函数的导数就是原函数。
2. 单调性若f(x)在[a,b]上连续，则积分上限函数F(x)在[a,b]上单调递增。
这个性质可以通过积分的几何意义来理解，即积分上限函数的值表示了函数f(x)在[a,x]上的面积，随着x的增加，这个面积也会增加，因此积分上限函数是单调递增的。
3. 积分上限函数的值域若f(x)在[a,b]上连续，则积分上限函数F(x)的值域为[F(a),F(b)]。
这个性质可以通过积分的性质来证明，即积分上限函数的值表示了函数f(x)在[a,x]上的面积，因此它的值域就是[a,b]上的面积。
三、积分上限函数的应用积分上限函数在微积分中应用广泛，下面我们将介绍一些常见的应用。
1. 定积分的计算定积分可以通过积分上限函数来计算，即∫a^bf(x)dx=F(b)-F(a)。
这个公式可以简化定积分的计算过程，只需要求出积分上限函数在两个端点处的值，就可以得到定积分的值。
2. 曲线长度的计算曲线长度可以通过积分上限函数来计算，即曲线长度L=∫a^b√(1+(f'(x))^2)dx。
这个公式可以通过积分上限函数的可导性来证明，即在曲线上取一点(x,f(x))，则曲线在该点处的切线斜率为f'(x)，因此曲线在该点处的长度为√(1+(f'(x))^2)dx，将其积分即可得到曲线的长度。
积分上限函数的性质及应用
积分上限函数的性质及应用积分上限函数（即变上限的定积分）揭示了定积分和不定积分之间的联系,是一元函数微积分学中的一个重要概念.积分上限函数具有很多的性质，既具有普通函数相似的特征，由于它的上限是变化的，因而又有许多与积分有关的特殊性质.本文首先总结归纳出积分上限函数的重要性质，并对这些性质进行详细的证明;其次总结归类出证明积分等式、不等式的方法并进一步给出这些方法的具体应用.1 积分上限函数1.1 积分上限函数的定义)220](1[P设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，对任何[,]x a b ∈,()f x 在[,]a x 上也可积.于是，由()(),[,]xaF x f t dt x a b =∈⎰,定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为积分上限函数即变上限的定积分.1.2 积分上限函数的几何意义)350](2[P如果[,]x a b ∀∈，有函数()0f x ≥，对区间[,]a b 上任意x ，积分上限函数()F x 是区间[,]a x 上曲边梯形的面积，如下图的阴影部分.图1.11.3 积分上限函数的性质1.3.1积分上限函数的连续性)221](1[P若函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上连续. 证 [,]x a b ∀∈,且[,]x x a b +∆∈，有()()()()()()x xx x xaaxF x F x x F x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆=+∆-=-=⎰⎰⎰因为f 在[,]a b 上可积，所以f 在[,]a b 上有界， 即存在正数M ，使得()f x M ≤，[,]x a b ∀∈，当0x ∆≥时，x M dt t f dt t f x F xx x xx x ∆≤≤=∆⎰⎰∆+∆+)()()( 当0x ∆<时，x M dt t f dt t f x F xx xxx x ∆≤≤=∆⎰⎰∆+∆+)()()(所以0lim ()0x F x ∆→∆=, 即积分上限函数()F x 在点x 连续，而由x 的任意性，可知函数()F x 在区间[,]a b 上连续.1.3.2积分上限函数的可导性[1](221)P若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上可导，且()()F x f x '=. 证 [,]x a b ∀∈，且[,]x x a b +∆∈，(0)x ∆≠有()()()()()()x xx x xaaxF x F x x F x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆=+∆-=-=⎰⎰⎰由积分第一中值定理，有()1()()x xx F x f t dt f x x x xθ+∆∆==+∆∆∆⎰ (01)θ≤≤ 因为函数)(x f 在区间],[b a 上连续，所以00()()lim lim ()()x x F x F x f x x f x xθ∆→∆→∆'==+∆=∆即()F x 在点x 可导. 而由x 的任意性，可知函数()F x 在区间[,]a b 上可导.1.3.3积分上限函数的可积性若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上可积.证 已知函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在区间[,]a b 上可积，所以由1.3.1可推出积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上连续，则()F x 在区间[,]a b 上可积.1.3.4积分上限函数的单调性若函数)(x f 在区间[,]a b 上连续且非负（正），则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上单调递增（减）.证 因为)(x f 在区间[,]a b 上连续且非负，则()()0F x f x '=≥，所以)(x F 在区间[,]a b 上单调递增.同理可证另一种情况.特别地,若()f x 在[,]a b 上非负单调递增（减），则()F x 在[,]a b 上单调递增. 1.3.5积分上限函数的奇偶性[3](140)P若函数)(x f 在区间[,]a a -上连续且为奇（偶）函数时，则积分上限函数)(x F 为偶（奇）函数. 证 设)(x f 在区间[,]a a -上连续且为奇函数，即)()(x f x f -=-.()()xF x f t dt --=⎰，令t u -=()()()()()()xxxF x f u d u f u du f t dt F x -=--===⎰⎰⎰，所以)(x F 为偶函数.同理 当)(x f 在区间[,]a a -上连续且为偶函数，即)()(x f x f =-.()()xF x f t dt --=⎰，令t u -=()()()()()()xxxF x f u d u f u du f t dt F x -=--=-=-=-⎰⎰⎰所以)(x F 为奇函数.1.3.6积分上限函数的凹凸性[4](32)P若函数)(x f 在区间上[,]a b 单调递增（递减），则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上是凸（凹）函数.证 因为函数)(x f 在区间[,]a b 上单调递增，取123,,[,]x x x a b ∈，且123x x x <<， 则123()()()f x f x f x <<.2121()()F x F x x x --2121()()x x aaf t dt f t dtx x -=-⎰⎰2121()x x f t dtx x =-⎰2()f x ≤≤3232()x x f t dtx x -⎰3232()()F x F x x x -=-所以()F x 在区间[,]a b 上是凸函数.同理可证明另一种情况.1.3.7积分上限函数的周期性[3](140)P若函数)(x f 在(,)-∞+∞上以T 为周期，对任意a b <, )(x f 在区间[,]a b 上可积，且()0Tf t dt =⎰,则积分上限函数()F x 也以T 为周期. 证 ()()x T a F x T f t dt ++=⎰()()()Tx TaTf t dt f t dt f t dt +=++⎰⎰⎰0()0()x TaTf t dt f t dt +=++⎰⎰令t u T =+()()()()()xaF x T f u T d u T f u T d u T +=+++++⎰⎰()00()xaf u T du f u T du=+++⎰⎰00()()xaf u du f u du =+⎰⎰()()xaf t dt F x ==⎰所以()F x 是一个以T 为周期的函数.1.3.8积分上限函数的有界性若函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上有界. 证 因为函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，所以由积分上限函数的可积性可知 函数)(x f 在区间[,]a b 上可积，即函数)(x f 在区间[,]a b 上有界. 所以存在正数M ，使得()f x M ≤，[,]x a b ∈ 则()F x ()xaf t dt ≤⎰()()xaf t dt M b a ≤≤-⎰,所以积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上有界.2 积分上限函数的应用给出积分上限函数在证明积分等式、不等式的问题中应用. 2.1 利用积分上限函数证明积分等式在证明积分等式时，根据题设条件设积分上限函数为()F x ，由拉格朗日中值定理的推论：如果在某个区间上恒有()0F x '=，则在该区间上()F x 恒等于一个常数，即可证明某些关于积分的等式.例1 若()f x 在区间[,]a b 上连续,则()()bbaaf x dx f a b x dx =+-⎰⎰.证 设()()xaF x f t dt =⎰,则()()F x f x '=()()()ba f x dx Fb F a =-⎰()()()bb aaf a b x dx f a b x d a b x +-=-+-+-⎰⎰()b aF a b x =-+-()()F a b b F a b a =-+-++-()()F b F a =-于是命题得证.例2 设()f x 是连续函数，证明0[()]()()xu xf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.证 方法一 令00()[()]()()x ux F x f t dt du x u f u du =--⎰⎰⎰()()()()()0xxF x f t dt f u du x f x xf x '=--+=⎰⎰()F x C ≡（C 为常数），因为(0)0F =，所以()0F x ≡， 即[()]()()x uxf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.方法二 记 10()()()()()xx xg x x u f u du x f u du uf u du =-=-⎰⎰⎰20()[()]xug x f t dt du =⎰⎰则由 10()()()()()xx g x f u du xf x xf x f u du '=+-=⎰⎰， 20()()xg x f u du '=⎰由此得到 12()()g x g x ''=，所以12()()g x g x C -≡，（C 为常数）12(0)(0)0g g ==，所以12()()g x g x =即[()]()()xu xf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.例3 设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则[,]x a b ∃∈，证明 ()()xbaxf t dt f t dt =⎰⎰.证 令()()()ybayF y f t dt f t dt =-⎰⎰.由函数)(x f 在区间[,]a b 上可积，可知()F y 区间[,]a b 上连续，且()(),()()b baaF a f t dt F b f t dt =-=⎰⎰.若()0baf t dt ≠⎰，则()()0F a F b <，由零点定理可知[,]x a b ∃∈,使得()()()0x b axF x f t dt f t dt =-=⎰⎰或()()x ba xf t dt f t dt =⎰⎰.若()0baf t dt =⎰，则取x a =或x b =，有()().x baxf t dt f t dt =⎰⎰于是命题得证.例4 设()f x 是连续函数，证明 232001()()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰.证 构造辅助函数232001()()()2a a F a x f x dx xf x dx =-⎰⎰.由积分上限函数的导数定理及复合函数求导法则得32221()()()202F a a f a a f a a '=-⋅=，所以()F a C ≡（C 为常数）,又因为(0)0F =,所以()0F a =, 故2321()()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰.例5在区间(0,1)上连续，证明 ⎰⎰⎰⎰=1311])([61)()()(dt t f dz z f dy y f dx x f x y x .证 令0()()xF x f t dt =⎰，则()()F x f x '=. 原等式左端11(){()[()()]}x f x f y F y F x dy dx =-⎰⎰12101(){[()()]}2x f x F y F x dx=-⎰1201()[(1)()]2f x F F x dx =-⎰ 3101[(1)()]6F F x =-=3)]1([61F==⎰13])([61dt t f 右端 故所证等式成立.2.2 利用积分上限函数证明积分不等式在证明积分不等式时，根据题意构造积分上限函数，可适时选择常数变易法、辅助函数法等方法去解决问题.例1 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且单调增加，求证()()2bbaa ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰. 证明 构造辅助函数()F x ()xa t f t dt =⎰()2xaa x f t dt +-⎰，则()0F a =，对任意[,]x ab ∈，()F x 关于x 求导，有()F x '=1()()()22x a a xxf x f t dt f x +--⎰ 1()()22x a x a f x f t dt-=-⎰ 1[()()]2xaf x f t dt =-⎰ 因为()f x 单调递增，所以()0F x '≥.()F x 在区间[,]a b 上连续并且单调递增，则()()F b F a ≥0=,所以命题得证.例2设()f x 在区间],[b a 上单调增并且连续，证明 ()a b +()2()bbaaf x dx xf x dx ≤⎰⎰.证 构造辅助函数()()()2()x xaaF x a x f t dt tf t dt =+-⎰⎰则 ()F x '=()xa f t dt ⎰+()()2()a x f x xf x +-()()()xaf t dt x a f x =--⎰()()()()0x a f x x a f x ≤---=由此可知,()F x 在区间[,]a b 上单调递减，所以()()F b F a ≤0=，即()a b +()2()bbaaf x dx xf x dx ≤⎰⎰.例3 设()f x 在区间[,]a b 上正值连续,证明⎰badxx f )(1()badx f x ≥⎰2()b a -. 证 构造辅助函数()F x =2()()()xxaadtf t dt x a f t --⎰⎰则()F x '=1()()xaf x dt f t ⎰+1()2()()xaf t dt x a f x --⎰ ()()[]2()()()xaf x f t dt x a f t f x =+--⎰ 因为()()2()()f x f t f t f x +≥, ()2()2()0F x x a x a '≥---= 所以()F x 在区间[,]a b 上单调递增，而()0F a =，()0F x ≥ )(a x ≥，则()0F b ≥,即⎰badxx f )(≥⎰dx x f ba)(12)(a b -. 例4 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调递减，证明 对任意(0,1]a ∈，均有()af x dx ⎰1()a f x dx ≥⎰.证 方法1 设x at =,等式左端化为:11()()()af x dx a f at dt a f ax dx ==⎰⎰⎰因为()f x 单调递减,01a <≤,所以()()f ax f x ≥,于是11()()()af x dx a f ax dx a f x dx =≥⎰⎰⎰.方法21()()af x dx a f x dx ≥⎰⎰等价于1()()1af x dx f x dx a≥⎰⎰ (0)a >设0()()xf x dx F x x=⎰,(01)x <≤,则02()()()x f x x f t dtF x x⋅-'=⎰.因为()f x 连续,利用积分中值定理2()()()f x x f x F x x ξ⋅-⋅'=()()f x f xξ-= (0)x ξ<< 因为()f x 在[0,1]上单调递减，所以当x <<ξ0时,)()(ξf x f <,从而当10≤<x 时()0F x '≤，故()F x 在[0,1]上单调递减，于是对任意(0,1)a ∈，有()(1)F a F >，特别地当1a =时,原不等式中的等号成立，所以1001()()af x dx f x dx a≥⎰⎰， 即1()()af x dx a f x dx ≥⎰⎰.例5已知当b x a ≤≤时，()0,()0f x f x '''>>，证明()()()[()()]2bab ab a f a f x dx f a f b --<<+⎰. 证 ⑴令()()()()xaF x f t dt x a f a =--⎰()a x b ≤≤，则()()()F x f x f a '=-当b x a ≤≤时，()0f x '>，所以()f x 在区间[,]a b 上单调递增,即 ()()f x f a ≥. 当且仅当a x =时，()0F x '=，所以()F x 在区间[,]a b 上单调递增, 即 ()()0F b F a >=，则 ()()()ba b a f a f x dx -<⎰.⑵令()()[()()]2xax aG x f t dt f a f x -=-+⎰ ()a x b ≤≤，则 1()()[()()]()22x aG x f x f a f x f x -''=-+-()()()22f x f a x af x --'=-因为()f x 在],[x a )(b x a ≤<上满足拉格朗日中值定理，所以(,)a x ξ∃∈，得()()()()f x f a x a f ξ'-=-()[()()]2x aG x f f x ξ-'''=- ()a x ξ<< 当a x b ≤≤时，()0f x ''>,()f x '在[,]a b 上单调递增，则()()f f x ξ''< 故()0G x '< ()a x b <≤，所以可知,()G x 在a x =处连续.因为()G x 在[,]a b 上单调减,()()0G b G a -<. 则 ()[()()]02bab af x dx f a f b ---<⎰, 所以()[()()]2bab af x dx f a f b -<+⎰，结合⑴原不等式得证. 例6 证明 若函数()f x 与()g x 在区间[,]a b 可积，则[][]222(()())()()b bbaaaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰（施瓦茨不等式）证 构造辅助函数222()[()][()](()())xx xaaaF x f t dt g t dt f t g t dt =-⎰⎰⎰2222()()()()()2()()()()xxxaaaF x f x g t dt g x f t dt f x g x f t g t dt '=⋅+⋅-⎰⎰⎰2222[()()2()()()()()()]xaf xg t f x g x f t g t f t g x dt =-⋅+⎰2[()()()()]0xaf xg t f t g x dt =-≥⎰从而()F x 在区间[,]a b 上单调递增，故有()()0F b F a ≥= 则222(()())[()][()]bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰.例7 设()f x 在[0,1]上连续可微，且满足(0)0f =，0()1f x '<≤,证明11230(())()f x dx f x dx ≥⎰⎰.证 作辅助函数230()(())()xxF x f t dt f t dt =-⎰⎰ [0,1]x ∈.由于(0)0F =，32()2()()()()[2()()]xxF x f x f t dt f x f x f t dt f x '=-=-⎰⎰ .令20()2()()xG x f t dt f x =-⎰，[0,1]x ∈.由于()f x 在区间[0,1]上连续可微，(0)0f =，0()1f x '<≤,所以()f x 单调递增. 故()0f x >,(0,1]x ∈.(0)0G =,则()2()2()()2()[1()]0G x f x f x f x f x f x '''=-=-≥,故()(0)0G x G ≥=，[0,1]x ∈.当(0,1)x ∈时，()0F x '≥，()F x 单调递增.特别当1123(1)(())()(0)0F f x dx f x dx F =-≥=⎰⎰,即得证11230(())()f x dx f x dx ≥⎰⎰.例8 设()f x 在区间[,]a b 上有连续的导数，且()0F a =，证明2221()()[()]2bb aa f x dxb a f x dx '≤-⎰⎰证 2221()()[()]()2x x a a F x x a f t dt f t dt '=--⎰⎰22221()()[()]()[()]()2x a F x x a f x x a f t dt f x '''=-+--⎰ 22221()[()]()1[()]2x x a a x a f x f x dx f t dt''=--+⋅⎰⎰ 22221()[()]()(())2x a x a f x f x f t dt ''≥--+⎰（施瓦茨不等式）22221()[()]()()2x a f x f x f x '=--+ 221()[()]02x a f x '=-≥ 得出()F x 为单调递增函数，当a x >∀时，()()0F x F a ≥=特别地2221()()[()]()02b b a a F b b a f x dx f x dx '=--≥⎰⎰得证2221()()[()]2bb aa f x dxb a f x dx '≤-⎰⎰.例9设函数()f x 在区间[,]a b 上连续并可微，且()0f a =，证明不等式22()[()]baM b a f x dx '≤-⎰，其中max ()a x bM f x ≤≤=证 由施瓦茨不等式可知 222(()())()()bb ba aaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰因为22()[()]1[()]xxx aaax a f x dx dx f x dx ''-=⎰⎰⎰22[()]()xaf x dx f x '≥=⎰ ([,])x a b ∀∈引入辅助函数2()()[()]xaF x x a f x dx '=-⎰,222()1[()][()]()xxx aaaF x dx f x dx f x dx f x ''=≥=⎰⎰⎰ ([,])x a b ∈所以22()()[()]()ba Fb b a f x dx f x '=-≥⎰.11 故由题设[,]x a b ∀∈，所以22()[()]b a M b a f x dx '≤-⎰.。
积分上限函数性质及其应用 数学毕业论文
20XX届本科毕业论文(设计) 题目：积分上限函数性质及其应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学09-3班学生姓名：指导教师：答辩日期：20XX年5月5日新疆师范大学教务处目录引言11 积分上限函数12 上限积分函数的性质23 积分上限函数的应用63.1 积分上限函数在微分中值定理中的应用63.2 积分上限函数在证明不等式中的应用74 有关积分上限函数性质的例题85 有关一元积分上限函数应用的题105.1 积分上限函数在求极限中的应用105.2 积分上限函数在不等式中的应用105.3 积分上限函数在微分中值定理中的应用116 二元积分上限函数性质和应用116.1 二元积分上限函数的性质12总结14参考文献15致谢17摘要：积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，在证明原函数存在定理和证明牛顿-莱布尼茨定理中占重要地位。
本文首先对积分上限函数的初等性质进行研究，深入讨论了特性，并用积分上限函数的性质来求特殊函数的倒数，极限，其次讨论积分上限函数在证明不等式中的应用，证明积分中值定理中的应用，最后讨论了二元积分上限函数的性质及其它的应用。
关键词：积分上限函数，性质，定积分，连续,微分中值定理，二元积分上限函数。
引言原函数存在定理：设函数()f x 与()F x 在区间I 上都有定义，若'()()F x f x =，X ∈I 则称F 为()f x 在区间I 上的一个原函数，函数()f x 在区间I 上的全体原函称为()f x 在I 上的不定积分，()f x dx ⎰。
为方便可写：()()f x dx F x c =+⎰于是又有[]()'()'()f x dx F x c f x ⎡⎤=+=⎣⎦⎰ 原函数存在定理是微积分学中基本定理。
牛顿–莱布尼茨公式：若函数()f x 在[,]a b 上连续，且存在原函数()F x ，即()'()F x f x =，[,]x a b ∈，则()f x 在[,]a b 上可积，且()()()ba f x dx Fb F a =-⎰，这称为牛顿–莱布尼茨公式，()()bbaaf x dx F x =⎰而在积分学中，为证明原函数存在定理及牛顿–莱布尼滋公式，引进了积分上限函数()xa f t dt ⎰。
积分上限函数及其性质的应用
积分上限函数及其性质的应用
葛广俊
【期刊名称】《安徽电子信息职业技术学院学报》
【年(卷),期】2003(002)001
【摘要】积分上限函数及其性质是微积分的基本定理,利用积分上限函数的性质可以"派生"出许多题型,作者通过举例从四个方面进行了总结,便予更好地学习掌握.【总页数】2页(P27-28)
【作者】葛广俊
【作者单位】安徽电子信息职业技术学院,安徽,蚌埠,233060
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.积分上限函数的形式、性质及其应用 [J], 邱香兰;
2.浅谈积分上限函数的性质及应用 [J], 李冬
3.关于积分上限函数所确定的复合函数若干性质与应用的探讨 [J], 曹玉升
4.关于变上限积分所确定的复合函数的若干性质与应用的探讨 [J], 刘华
5.积分上限函数的分析性质及应用 [J], 向长福
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湖北大学题目：积分上限函数的性质及其应用学院：数学与统计学院年级：研一专业方向：几何与方程作者姓名：陈勇学号：2014111104000639 出生年月：1990年05月性别男籍贯：湖南省汉寿县指导老师：陈立2015 年05月目录摘要 (II)Abstract (II)1引言 (1)2积分上限函数的性质 (1)2.1积分上限函数的初等性质 (1)2.2 积分上限函数的分析性质 (1)3积分上限函数的应用 (2)3.1利用积分上限函数证明积分等式与不等式 (2)3.2利用积分上限函数求幂级数的和函数 (2)3.3利用积分上限函数求解函数方程 (3)3.4利用积分上限函数确定全微分 (3)3.5利用积分上限函数求解导数 (3)3.6利用积分上限函数计算重积分 (4)3.7利用积分上限函数证明中值定理 (4)3.8利用积分上限函数求函数关系式 (5)3.9利用积分上限函数证明方程根的存在性 (5)4结束语 (5)致谢语 (5)参考文献 (6)积分上限函数的性质及其应用数学学院2014级2班陈勇摘要：积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数,对于积分上限函数的初等性质及分析性质的研究,能够深入了解其特性,并广泛用于解决一些微积分问题.本文例举了积分上限函数的若干应用,对初学者具有指导意义.关键词：积分上限函数;初等性质;分析性质;应用The Nature and Its Application of Integral Ceiling Function Class2, 2014,College of Mathematics ChenYongAbstract: Integral ceiling function is a class of the special form of function in calculus. In this paper, the primary nature of the integral ceiling function was discussed in-depth understanding to solve some problems in calculus. In the paper, Which have Integral upper limit function a number of applications. A guide for beginners.Key word: integral ceiling function; primary nature; analysis nature; applications1引言积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的初等性质及分析性质进行研究，深入了解其特性,对于证明积分等式与不等式、求幂级数的和函数、求解函数方程、确定全微分等具有重要的作用. 因此全面的掌握积分上限函数的性质和恰当的运用显得尤为重要. 本文通过分析积分上限函数的性质, 得到几类典型的应用.2积分上限函数的性质2.1积分上限函数的初等性质定义1 如果函数)(x f 在],[b a 上可积，那么函数⎰=xadt t f x s )()((a ≤x ≤b )称为积分上限函数. 下面讨论与之有关的性质及其应用. (1) 单调性若)(x f 在],[b a 上可积, 且)(x f ≥0 ()(x f ≤0), 则积分上限函数⎰=xa dt t f x s )()(在],[b a 上单调递增（递减). (2) 奇偶性若)(x f 是连续函数且为奇函数，则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(是偶函数；若)(x f 连续函数且为偶函数，则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(奇函数.(3) 周期性若)(x f 是连续函数且周期为T , 则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(是周期函数, 或是一线性函数和一周期函数之和.(4) 有界性若)(x f 在],[b a 上可积，则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(在],[b a 上有界.2.2 积分上限函数的分析性质(1) 凹凸性若)(x f 在],[b a 上单调递增(递减), 则对∀),(b a c ∈, 积分上限函数⎰=xcdt t f x s )()(是凸函数(凹函数).(2) 连续性若)(x f 在],[b a 上可积, 则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(在],[b a 上连续(3) 可导性若)(x f 在],[b a 上连续, 则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(在],[b a 上可导, 并且()()()()xa d s x f t dt f x a xb dx'==≤≤⎰. (4) 可积性若函数()x f 在[]b a ,上连续,则函数()s x 在区间[]b a ,上可积.特别是,若函数()x f 连续,则有()()()⎰⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡aa x dx x f x a dx dt t f 000.3积分上限函数的应用3.1利用积分上限函数证明积分等式与不等式例1 设()x f 和()x g 在[]b a ,上连续,证明:至少存在一点()b a ,∈ξ,使()()()()⎰⎰=ξξξξabdx x f g dx x g f .证明 令()()()⎰⎰=bxx adt t g dt t f x F .由于()x f ,()x g 在[]b a ,上连续,所以()x F 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且()()b F a F =,由罗尔定理,至少存在一点()b a ,∈ξ,使得()0F ξ'=,而()()()()()b xxaF x f x g t dt g x f t dt '=-⎰⎰,从而()()()()()0b aF f g t dt g f t dt ξξξξξ'=-=⎰⎰,即()()()()⎰⎰=ξξξξab dx x f g dx x g f .例2 若()x f 和()x g 在[]b a ,上连续,则()()()()⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a dx x g x f dx x g x f 222.证明 令()()()()()222⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎰⎰⎰xa xa x adt t g t f dt t g dt t f x F ,则 ()()()()()()()()()22222x x xaaaF x f x g t dt g x f t dt f x g x f t g t dt '=++⎰⎰⎰()()()()()()()()[]⎰+⋅-=xadt x g t f t g t f x g x f t g x f 22222()()()()[]⎰≥-=xadt x g t f t g x f 02.所以()x F 在[]b a ,上单调增加,从而()()a F b F ≥.3.2利用积分上限函数求幂级数的和函数例3 求和函数1(1)nn n n x ∞=+∑.解 设),1,1(,)(11-∈=∑∞=+x nxx s n n 则12111()xn n n n s x dx nxxnx∞∞+-====∑∑⎰,设,)(111∑∞=-=n n nx x s 则 ,1)(11xxnx dx x s n n x-==∑⎰∞= 求导得,)1(1)(21x x s -=,)1()()(22102x x x s x dx x s x-==⎰再求导, 得.)1(2)(2x xx s -=3.3利用积分上限函数求解函数方程例4 设)(x f 在任意有限区间上可积且满足方程)()()(y f x f y x f +=+ (1) 试证：)(x f ax =，其中)1(f a =.证明 要证)(x f ax =，当0≠x 时即要证xx f )(=常数.或∀0,≠y x ，y y f x x f )()(=, 即x y f y x f )()(=在已知方程),()()(y f t f y t f +=+ 两边对t 取积分⎰⎰+=+xxx y f dt t f dt y t f 0,)()()(但⎰⎰⎰⎰++-==+xyx yyx ydt t f dt t f du u f dt y t f 00,)()()()(故⎰⎰⎰+--=yx yxdt t f dt t f dt t f y xf 0.)()()()(此式右端，y x ,以对称的形式出现.y x ,互换知x y f y x f )()(=， 从而)(x f ax =（当0≠x 时） (2) 在(1)中令1,0==y x ,得0)0(=f .可见(2)对于0=x 也成立.最后(2)中,令1=x ,可得)1(f a =.3.4利用积分上限函数确定全微分例5 验证)()(dy dx y x f +⋅+是全微分,其中)(u f 是连续函数. 证明 令()()⎰+=y x du u f y x F 0,,由于()u f 是连续函数,故()(),x F x y f x y '=+,()(),y F x y f x y '=+,且它们都是y x ,的连续函数,因此()()(),,x y dF x F x y dx F x y dy ''=+()()dy dx y x f +⋅+=. 即证()()dy dx y x f +⋅+是全微分.3.5利用积分上限函数求解导数例6 设)(x f 在0=x 的某个领域U 内连续,验证当U x ∈时,函数⎰---=x n dt t f t x n x 01)()()!1(1)(ϕ的各阶导数都有,且).()(x f x n =ϕ 证明 由于被积函数dt t f t x t x F n )()(),(1--=及偏导数),(t x F x '在U 上连续, 于是由定理可得 ⎰----='x n dt t f t x n n x 02)())(1()!1(1)(ϕ.)()()!2(1)()()!1(1021dt t f t x n x f x x n x n n ⎰----=--+.)()()!3(1)(03dt t f t x n x x n ⎰---=''ϕ 由此继续下去,求得k 阶导数为⎰-----=x k n k dt t f t x k n x 01)(.)()()!1(1)(ϕ 特别的当1-=n k 时有 ,)()(0)1(dt t f x xn ⎰=-ϕ于是).()()(x f x n =ϕ3.6利用积分上限函数计算重积分例7 设函数)(x f 在],[b a 连续,则.])([21)()(2dx x f dy y f x f dx ba b a bx ⎰⎰⎰=证明 dy y f x f dx b ab x)()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==b ab axab xb xdt t f d dy y f dx dt t f x f ))(())((])()([))(())((]))()(([⎰⎰⎰⎰⎰==xab axab ax adt t f d dt t f dx dt t f x f.))((21])([2122dt t f x f b ab a x a ⎰⎰== 3.7利用积分上限函数证明中值定理例8 微分中值定理：若函数()x f 在闭区间[]b a ,连续,在开区间()b a ,内可导,则在开区间()b a ,内至少存在一点()b c a c <<,使()()()()a b c f a f b f -=-.证明 把c 换成t ,则()()()()a b t f a f b f -=-.即()()[]()()0=---a b t f a f b f , []b a x ,∈∀,将上式两边取积分()()[]()()0=---⎰xadt a b t f a f b f ,即()()[]()()()[]()0=-----a x a f x f a x a f b f .令()()()[]()()()[]()a x a f x f a x a f b f x F -----=,显然()()0==a F b F ,且()x F 在[]b a ,内连续,在()b a ,可导,由罗尔定理,则至少存在一点()b c a c <<,使()0=x F ,而()()()[]()()a b x f a f b f x F ---=,故()()()()a b c f a f b f -=- ()b c a <<.例9 积分中值定理:若函数()x f 在闭区间[]b a ,连续,则在[]b a ,内至少存在一点c ,使得()()()a b c f dt t f ba-=⎰.证明 设()()⎰=xadt t f x F ,由于()x f 在闭区间[]b a ,连续,则()x F 在[]b a ,上连续,由拉格朗日中值定理,则至少存在一点()b a c ,∈,使()()()()a b c f dt t f dt t f aab a-=-⎰⎰,即()()()a b c f dt t f ba-=⎰.3.8利用积分上限函数求函数关系式例10 已知函数)(x f 当10≤≤x 时为x 2, 当12x <≤时为x +2, 求积分上限函数⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在]2,0[上的表达式.解 因为被积函数是分段函数, 所以通常计算定积分而确定)(x ϕ的表达式时也要分段考察.当10≤≤x 时,,2)()(2020x t tdt dt t f x xx x====⎰⎰ϕ 当12x <≤时,⎰⎰⎰+==11)()()()(xxdt t f dt t f dt t f x ϕ.23221)2(22101-+=++=⎰⎰x x dt t tdt x所以当10≤≤x 时为,)(2x x =ϕ 当12x <≤时为.232212-+x x3.9利用积分上限函数证明方程根的存在性例11设()x f 在[]b a ,上连续,且()x f >0, 又()()()⎰⎰+=xbx a dt t f dt t f x F 1.证明:()0=x F 在[]b a ,内有且仅有一个实根.证明 因为 ()()()()()211f x F x f x f x f x +'=+=, 而 ()()x f x f 212≥+,所以 ()20F x '≥≥.故()x F 在[]b a ,内单调增加,所以()0=x F 在[]b a ,内至多有一个实根.又 ()()⎰<=a b dt t f a F 01, ()()0>=⎰ba dt t fb F ,且()x F 在[]b a ,上连续,故根据的存在定理,在[]b a ,内()0=x F 至少有一个实根. 综上所述, ()0=x F 在[]b a ,内有一个且仅有一个实根.4.结束语综上所述，深刻理解积分上限函数的定义，准确掌握相关性质，是解决各种积分上限函数有关问题的关键，为解决实际问题提供了更多的方法,优化了解题途径,同时也存在着局限性,对适应范围存在着各种条件,这还有待于进一步研究.致谢语感谢陈立老师在论文过程中对我的悉心指导, 也感谢曾帮助我的同学们!参考文献[1]同济大学应用数学系.高等数学(第5 版)[M].北京:高等教育出版社,1999.[2] 高智民.原函数存在定理在不等式证明题中的应用[M].湖南师范大学学报,1997,16(2):14-15.[3]华东师大数学系.数学分析(第2 版)[M].北京:高等教育出版社,1999.[4]徐虎.积分上限函数的应用研究,内肛科技[M].中南大学学报,1997,17(2):15-16.[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993 .[6]余家荣.复变函数[M].北京:高等教育出版社,1992.[7]高鸿.积分上限函数的主要性质及其应用[M].湖南商学院学报,2001,27(2):47-48.[8]常庚哲,史济怀.数学分析教程:下册[M].北京:高等教育出版社,2003.。