积分上限函数的性质及其应用论文
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湖北大学
题目：积分上限函数的性质及其应用
学院：数学与统计学院
年级：研一
专业方向：几何与方程
作者姓名：陈勇学号：2014111104000639 出生年月：1990年05月性别男
籍贯：湖南省汉寿县
指导老师：陈立
2015 年05月
目录
摘要.............................................................................................................II Abstract .........................................................................................................II 1引言 (1)
2积分上限函数的性质 (1)
2.1积分上限函数的初等性质 (1)
2.2 积分上限函数的分析性质 (1)
3积分上限函数的应用 (2)
3.1利用积分上限函数证明积分等式与不等式 (2)
3.2利用积分上限函数求幂级数的和函数 (2)
3.3利用积分上限函数求解函数方程 (3)
3.4利用积分上限函数确定全微分 (3)
3.5利用积分上限函数求解导数 (3)
3.6利用积分上限函数计算重积分 (4)
3.7利用积分上限函数证明中值定理 (4)
3.8利用积分上限函数求函数关系式 (5)
3.9利用积分上限函数证明方程根的存在性 (5)
4结束语 (5)
致谢语 (5)
参考文献 (6)
积分上限函数的性质及其应用
数学学院2014级2班陈勇
摘要：积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数,对于积分上限函数的初等性质及分析性质的研究,能够深入了解其特性,并广泛用于解决一些微积分问题.本文例举了积分上限函数的若干应用,对初学者具有指导意义.
关键词：积分上限函数;初等性质;分析性质;应用
The Nature and Its Application of Integral Ceiling Function Class2, 2014,College of Mathematics ChenYong
Abstract: Integral ceiling function is a class of the special form of function in calculus. In this paper, the primary nature of the integral ceiling function was discussed in-depth understanding to solve some problems in calculus. In the paper, Which have Integral upper limit function a number of applications. A guide for beginners.
Key word: integral ceiling function; primary nature; analysis nature; applications
1引言
积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的初等性质及
分析性质进行研究，深入了解其特性,对于证明积分等式与不等式、求幂级数的和函数、求解函数方程、确定全微分等具有重要的作用. 因此全面的掌握积分上限函数的性质和恰当的运用显得尤为重要. 本文通过分析积分上限函数的性质, 得到几类典型的应用.
2积分上限函数的性质
2.1积分上限函数的初等性质
定义
1 如果函数)(x f 在],[b a 上可积，那么函数⎰=x
a
dt t f x s )()((a ≤x ≤b )称为积分
上限函数. 下面讨论与之有关的性质及其应用. (1) 单调性
若)(x f 在],[b a 上可积, 且)(x f ≥0 ()(x f ≤0), 则积分上限函数⎰=x
a dt t f x s )()(在]
,[b a 上单调递增（递减). (2) 奇偶性
若
)(x f 是连续函数且为奇函数，则积分上限函数⎰=x
a
dt t f x s )()(是偶函数；若)(x f 连
续函数且为偶函数，则积分上限函数⎰=x
a
dt t f x s )()(奇函数.
(3) 周期性
若)(x f 是连续函数且周期为T , 则积分上限函数⎰=x
a
dt t f x s )()(是周期函数, 或是一
线性函数和一周期函数之和.
(4) 有界性
若
)(x f 在],[b a 上可积，则积分上限函数⎰=x
a
dt t f x s )()(在],[b a 上有界.
2.2 积分上限函数的分析性质
(1) 凹凸性
若
)(x f 在],[b a 上单调递增(递减), 则对∀),(b a c ∈, 积分上限函数⎰=x
c
dt t f x s )()(是
凸函数(凹函数).
(2) 连续性
若
)(x f 在],[b a 上可积, 则积分上限函数⎰=x
a
dt t f x s )()(在],[b a 上连续
(3) 可导性
若
)(x f 在],[b a 上连续, 则积分上限函数⎰=x
a
dt t f x s )()(在],[b a 上可导, 并且
()()()()x
a d s x f t dt f x a x
b dx
'=
=≤≤⎰. (4) 可积性
若函数()x f 在[]b a ,上连续,则函数()s x 在区间[]b a ,上可积.特别是,若函数()x f 连续,则有
()()()⎰⎰⎰-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡a
a x dx x f x a dx dt t f 000.