电子自旋不是轨道角动量的相对论效应
量子力学中的自旋与角动量
量子力学中的自旋与角动量量子力学作为一门独特的物理学分支，研究微观粒子的行为和性质。
其中，自旋与角动量是量子力学中的重要概念之一。
本文将探讨自旋和角动量的基本原理、数学描述以及一些相关应用。
1. 自旋的概念与性质自旋是微观粒子特有的一种内禀角动量，不同于经典力学中的角动量。
它与粒子的自旋量子数有关，一般以s表示。
常见粒子，如电子、质子和中子，其自旋量子数s分别为1/2、1/2和1/2。
自旋具有一些独特性质。
首先，自旋不仅表现为一个量子态，还表现为自旋向上和自旋向下两个本征态，分别用|↑⟩和|↓⟩表示。
其次，自旋具有叠加的性质，即一个粒子的自旋可以处于上述两个态之一，或者两个态的叠加态。
2. 自旋的数学描述量子力学中，自旋量子态可以用狄拉克符号表示。
对于自旋1/2的粒子，其量子态可以表示为：|ψ⟩= α|↑⟩+ β|↓⟩其中α和β为复数，满足|α|^2 + |β|^2 = 1，且满足归一化条件。
该量子态描述了粒子自旋的量子信息。
自旋算符是描述自旋性质的数学工具。
对于自旋1/2粒子，Pauli自旋算符可以表示为σ=(σx, σy, σz)，其中σx，σy和σz分别为泡利矩阵。
通过对泡利矩阵与相应自旋态的乘积进行测定，可以获得自旋在不同方向上的测量结果。
3. 角动量的概念与性质角动量是描述粒子旋转和运动的物理量。
在量子力学中，角动量具有一些特殊性质。
首先，量子角动量是离散的，其取值受限于角动量量子数。
其次，角动量具有量子态的性质，可处于不同的本征态或叠加态。
最后，角动量操作满足比较特殊的代数关系，被称为角动量代数。
4. 自旋与角动量的关系自旋与角动量之间存在一种特殊的关系，称为自旋-角动量耦合。
在量子力学中，自旋-角动量耦合描述了自旋与轨道角动量之间的相互作用。
自旋和轨道角动量的耦合可以导致总角动量的量子态的复杂性。
通过自旋-角动量耦合，可以推导出多种多样的总角动量态，如自旋单重态、自旋三重态等。
通过自旋-角动量耦合，还可以研究粒子系统的态矢量演化、角动量守恒等问题。
自旋和角动量
第六章 自旋和角动量非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功。
用薛定谔方程算出的谱线频率,谱线强度也和实验结果相符。
但是，更进一步的实验事实发现，还有许多现象，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细给构等，用前面几章的理论无法解择，根本原因在于，以前的理论只涉及轨道角动量。
新的实验事实表明，电子还具有自旋角动量。
在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加的量子数引入的。
本章只是根据电子具有自旋的实验事实，在定薛谔方程中硬加入自旋。
本章的理论也只是局限在这样的框架内。
以后在相对论量子力学中，将证明，电子的自旋将自然地包含在相对论的波动方程—狄拉克方程中。
电子轨道角动量在狄拉克方程中不再守恒，只有轨道角动量与自旋角动量之和，总角动量才是守恒量。
本章将先从实验上引入自旋，分析自旋角动童的性质，建立包含自旋在内的非相对论量子力学方程—泡利方程。
然后讨论角动量的藕合，并进一步讨论光错线在场中的分裂和精细结构，此外还会对电子在磁场中的一些其他的有趣的重要现象作些探讨。
§6. 1电子自旋施特恩(Stern)一盖拉赫(Gerlach)实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一，如图6.1.1，由K 源射出的处于s 态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP 上，结果发现射线束方向发生偏转，分裂成两条分立的线.这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生偏转.由于这是处于s 态的氢原子，轨道角动量为零,s 态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生，这是一种新的磁矩.另外，由于实验上只发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中只有两种取向，是空间量子化的，而且只取两个值。
假定原子具有的磁矩为M ，则它在沿z 方向的外磁场 中的势能为U= -M =M cos θ (6.1.1)θ为外磁场与原子磁矩之间的夹角。
按(6.1.1)式，原子在z 方向所受的力是F z =-Z U ∂∂=M z∂∂cos θ (6.1.2) 实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于cos θ=+1和-1两个值。
电子自旋不是轨道角动量的相对论效应
该 式与 非 相 对论 量 子 力学 中 的磁 矩 定义 式 ：
÷ ｌ（ｓ ） ａ ｒｎ ｄ ｉ Ｊ
（） ２
度 ， 即 自旋 角 动 量 ｓ
形 式 完 成 相 同 但 二 式 中 的 电 流 密 度 却 有 本 质 的 区 别 ． 方 便 计 ， 式 （ ）（ ） 的 Ｊ 为 将 １ 、２ 中 分 别 为 Ｊ ． 巳 知 Ｊ
相 互 作 用 项 ． 电 子 的 自旋 对 应 着 电 子 的 自旋 磺 矩 而
一
＝
Ｉ
（） ３
因 此 ． 子 数 ｋ本 质 上 描 述 的 是 电子 的 自旋 磁 矩 和 相 对 量
其 中 ｍ 为 电 子 的 轨 道 磁 量 子 投
论 性 轨 道 磁 矩 问 的 相 互 作 用 ， Ｊ 个 关 于 量 子 数 ＾ 而 。是
胡 昆 明 ： 子 自旋 不 是 轨 道 角 动 量 的 相 对 论 效 应 电
２ ７
的 环 电 蔬 密 度 ． 然 由 Ｊ 出 的 氢 原 子 磁 矩 必 然 涉 及 显 。给
到 电子 的 自旋 磁 矩 至 此 已 可 认 识 到 ． 献 ［ ］ 文 １ 的 并 没
有 涉 及 到 电 子 是 否 存 在 着 内 禀 磁 矩 ” 根 据 是 不 成 立 的
文 献 ［ ］ 用 巳 知 的 氢 原 子 的 相 对 论 性 渡 动 方 程 １利 解 直 接 计 算 出 了 氧 原 子 磁 矩 笔 者 读 后 探 受 启 发 该 文 的 探 ＾ 研 究 解 决 了用 驮 拉 克 方 程 计 算 氢 原 子 磺 矩 的 问
题 但 是 ． 其 给 出 的 结 论 自 旋 是 轨 道 角 动 量 的 相 对 对 论 效 应 和 “ 是 相 对 论 性 的 轨 道 角 动 量 ” 者 不 能 认 Ｊ 笔
电子的角动量与电子的自旋
pl
μs
学习材料
Bl
6
§4.2 电子的角动量与电子的自旋
• 光谱和能级的精细结构应该从原子的运动特征进行解释 • 在球对称的库仑场中，仅仅有电子的轨道运动，不可能产生能级分
裂 • 除了相对论效应外，还应该有其它因素
不同l的能级移动
• 电子应该还有除了轨道运动之外的其它运 动特征
• 用其它一个力学量描述这种运动特征
• 尝试引入其它一种角动量
s 1/ 2
2. 自旋角动量的Z重量
1
ps,z 2 ms
1
ms 2
学习材料
ps
3 2
3
2
2
cos1( 1 )
3 54.7
2
3电.s自子 旋由em磁pe于s矩自2 旋s(s而1产)生B 电的子轨磁道矩运μp动ll 的dre磁矩μpllBiA2enlm(le1)2emple
3B
l l(l 1)B
4. 自旋磁矩的Z重量
μs
z
Байду номын сангаас
ps
s,z B 2ms B B
ps μs
学习材料
3
Paul Ehrenfest 1880–1933 Austrian physicist
George Eugene Uhlenbeck 1900 – 1988 Netherland physicist
Kramers
Samuel Abraham Goudsmit 1902–1978 Netherland physicist
学习材料
4
z
sz
s
1
2
3
2
s
sz
z s
sz
电子自旋及轨道运动相互作用
电子自旋及轨道运动相互作用摘要：通过对实验事实的简单介绍，引入电子自旋的概念，并逐渐深入，对其进行进一步阐述。
说明电子自旋的特点，以及它和轨道运动之间的相互作用和能量的计算。
此外，还简要说明电子自旋与能级的分裂之间的关系，以及塞曼效应。
关键词：电子自旋轨道运动角动量能级0 引言许多实验事实证明电子具有自旋，下面叙述的斯特恩—革拉赫实验（Stern-Gerlach）实验是其中一个。
图1 斯特恩-革拉赫实验图2一个角动量为、磁矩为的陀螺在磁场中进动频率的矢量图图1中由O射出的处于s态的氢原子束通过狭缝和不均匀磁场，最后射到照相片P上，实验结果是相片上出现两条分立的线。
这说明氢原子具有磁矩，所以原子束通过非均匀磁场时受到力的作用而发生偏转；而且由分立线只有两条这一事实可知，原子的磁矩在磁场中只有两种去向，即它们是空间量子化的。
这可有下面的讨论看出。
假设原子的磁矩为M ，它在沿竖直方向z轴的外磁场B中的势能为：■式中■是原子磁矩M和外磁场之间的夹角。
原子在z方向所收到的力是：■如果原子磁矩在空间可以取任何方向的话，cos■应当可以从+1连续变化到-1，这样在照相片上应该得到一个连续的带，但实验结果只有两条分立的线，对应于cos■=+1和cos■=-1。
1 电子自旋为了说明见金属原子能级的双层结构，G.Uhlenbeck和S.A.Goudsmit在1925年首先提出，可以设想电子具有某种方式的自旋，其角动量等于（1/2）（h/2π）。
这个自旋角动量是不变的，是电子的属性之一，所以也称电子的固有矩。
电子既有某种方式的转动而电子是带负电的，因而它也具有磁矩，这磁矩的方向同上述角动量的方向相反。
每个电子具有自旋磁矩■，它和自旋角动量■的关系是：■ （1.1）式中-e是电子的电荷，μ是电子的质量。
■在空间任意方向上的投影只能取两个数值：■ （1.2）■是玻尔磁子。
由（1.1）式，电子自旋磁矩和自旋角动量之比是：■（1.3）这个比值称为电子自旋的回旋磁比率。
电子自旋概述
本身没有轨道角动量，也没有磁矩， e 2me L，
但实验测得有磁矩，且在空间是量子化的,这又如何解释呢? 1925 年，荷兰物理学家乌仑贝克和高斯米特,针对上述实
验提出了电子自旋的假说： 他们认为，不能把电子看成一个简单的点电荷,电子除有绕
核转动的轨道角动量 L(和轨道磁矩μl)之外，还有一个与绕核转
• 进一步的研究表明，对于中子、质子、电子这些实物微观粒子, 它们具有ħ/2的奇数倍的自旋量子数,它们称为费米子;而另一些 如光子、介子等,它们的自旋量子数为 0 或 1，即有偶数个自旋 量子数，它们被称为波色子。
5
例 15-26 根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩在外磁场
方向上的投影为Ｌz＝ｍlħ 当角量子数 l ＝２时，Ｌz 的可能取 值为________。
动无关的,固有的自旋角动量 S(和自旋磁矩μs )。
斯特恩－盖拉赫实验中测得的磁矩正是自旋磁矩。这样电子的 自旋假说圆满地解释了斯特恩-盖拉赫实验、光谱学中的精细结构 (反常塞曼效应)。
1
一、自旋磁量子数
自旋角动量的大小为 S s(s 1)
其中Ｓ是自旋量子数，它只能取一个值
S 1 (1 1) 3
答：０， 1 ，－ 1 ，２，－２
例 16-27 下列四组量子数：
（１）ｎ＝３， l ＝２，ｍ l ＝０，ｍ s ＝ 1/2 ． （２）ｎ＝３， l ＝３，ｍ l ＝１，ｍ s ＝ 1/2 ． （３）ｎ＝３， l ＝１，ｍ l ＝-１，ｍ s ＝-1/2 （４）ｎ＝３， l ＝０，ｍ l ＝０，ｍ s ＝-1/2 ． 其中可以描述原子中电子状态的
22
2
S1 2
自旋角动量和自旋磁矩在外场方向上的投影为
电子自旋
对自旋的认识•06080 杨芳从历史上看，电子自旋先由实验上发现，然后才由狄拉克（Dirac）方程从理论上导出的。
钠原子发射光谱D线位置存在靠得很近的双线。
1925年乌伦贝克(Uhlenbeck)和古兹密特(Goudsmit)提出了原子光谱精细结构的解释，即电子除了绕原子核运动的轨道角动量外还有内在的角动量。
如果把电子描绘成一个带电的球，绕着它的一个直径自旋，就可以看出这样一个内在角动量是如何产生的。
因此有了自旋角动量的名称，或更简单地说成是自旋。
进一步研究表明，不但电子存在自旋，中子、质子、光子等所有微观粒子都存在自旋，只不过取值不同。
自旋和静质量、电荷等物理量一样，也是描述微观粒子固有属性的物理量。
然而，电子“自旋”不是一个经典的效应，一个电子绕其一个轴旋转的图象不应当看成是反映了物理真实性。
内在角动量是真实的，但是没有一个容易想象的模型可以适当地解释它的起源．基于我们在宏观世界的经验中取得的模型，不能希望对微观粒子获得一个适当的理解。
除电子外，其他的基本粒子也有“自旋”角动量。
1928年狄拉克创立的相对论量子力学中，电子自旋是自然出现的。
但在非相对论量子力学中，电子自旋必须作为一个附加的假设引入。
电子自旋与轨道角动量的不同之处：①电子自旋纯粹是一种量子特征，它没有对应的经典物理量，不能由经典物理量获得其算符。
电子自旋虽具有角动量的力学特征，但不能像轨道角动量那样表达成坐标和动量的函数，即电子自旋是电子内部状态的反映，它是描述微观粒子的又一个动力学变量，是继之后的描写电子自身状态的第四个量；②电子自旋值不是的整数倍而只能是/2；③电子自旋的回转磁比率是电子轨道运动回转磁比率的两倍。
把具有半整数自旋特征（s=1/2或-1/2）的粒子叫着费米子，而把具有整数自旋特征(s=0,1)的粒子叫着玻色子。
我们已经证明了等同粒子的波函数有两种可能的情况，对称的和反对称的。
实验证据指出对费米子来说，只存在反对称的情形。
量子力学中的粒子自旋与相对论之关联
量子力学中的粒子自旋与相对论之关联量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观粒子的行为和性质。
而相对论则是描述宏观物体和宇宙的理论。
在量子力学中，粒子自旋是一个重要的概念，它与相对论之间存在着一定的关联。
首先，我们来了解一下粒子自旋的概念。
自旋是粒子的一种内禀性质，类似于物体的旋转。
然而，与经典物理学不同的是，自旋并不是真正的旋转运动，而是描述了粒子的一种量子态。
粒子的自旋可以用一个量子数来表示，通常用s表示。
对于自旋为1/2的粒子，如电子，s的取值可以是±1/2。
自旋的量子数决定了粒子在磁场中的行为，比如自旋向上的粒子会受到上升的力，而自旋向下的粒子会受到下降的力。
在量子力学中，自旋与相对论之间的关联主要体现在自旋的变换规则上。
根据相对论的要求，描述自旋的方程必须满足洛伦兹不变性，即在不同参考系中具有相同的形式。
为了满足这一要求，量子力学引入了狄拉克方程，它是描述自旋1/2粒子的方程。
狄拉克方程是一个四分量的方程，它包含了自旋和相对论效应。
通过求解狄拉克方程，我们可以得到自旋1/2粒子的波函数，从而描述其行为和性质。
狄拉克方程的解包含了正能量和负能量的解，其中正能量解对应于物质粒子，而负能量解对应于反物质粒子。
除了自旋1/2粒子，自旋还可以取其他的值，比如自旋1粒子（如光子）的自旋可以是±1或0。
对于自旋为1的粒子，我们需要引入矢量波函数来描述其行为和性质。
自旋1粒子的矢量波函数包含了三个分量，分别对应于自旋在三个空间方向上的投影。
在相对论中，自旋的变换规则与角动量的变换规则类似。
根据相对论的要求，自旋的变换矩阵必须满足洛伦兹群的表示，即在洛伦兹变换下保持不变。
这些变换矩阵被称为自旋矩阵或狄拉克矩阵，它们构成了一个代数结构，被称为狄拉克代数。
自旋与相对论之间的关联还可以从另一个角度理解。
根据相对论的要求，物体的速度不能超过光速。
而在量子力学中，自旋是粒子的一种内禀性质，不受空间位置的限制。
技能高考之中科院量子力学超详细笔记第七章电子自旋角动量
σ x ，再进一步约定位相α = 0 ，于是有
01 σ x= 1 0
接着由（7.6b）式，求得σ y 为
0 σ y = −iσ zσ x = i
−i 0
总之，在规定σ z 为对角形式并约定σ x 的位相之后，就得到下面这组 2 × 2 的自逆、反对易、零迹的厄米矩阵 ——Pauli 矩阵，用它们就可 以具体地实现自旋角动量的对易规则，
利用例3 结果，可得
（7。12）
e σ e = −i
α 2
σ
x
iα 2
σ
x
y
cos
α 2
−
iσ
x
sin
α 2
σy
cos
α 2
+
iσ
x
sin
α 2
=
σ
y
cos
2
α 2
−
i
sin
α 2
cos
α2[σ
x,σ
y]+ σ
xσ
yσ
xsin
2α 2
= σ y cosα + σ z sinα
由 x → y → z → x 的循环置换，可以得到其余四个公式。顺便指出，由
反对易关系，
[ ] 0 = [σ 0 ,σ j ]= σ i 2 ,σ j = σ i [σ i ,σ j ]+ [σ i ,σ ]σ ji = 2iε ijk (σ iσ k + σ kσ i ) = 2iε ijk {σ i ,σ }. k
对任一给定的 j ，总可以取i,k ，使i ≠ k ≠ j ，于是得到σ i之间的反对
以 137 倍的光速转动才行。显然这是一个不能接受的图象。这说明，
【原子物理 大连理工】第4节 电子自旋与轨道运动的相互作用
j l，能1级为双层。 2
2. 能级分裂的间隔由n、l决定
当n一定时，l 大， 小E，即 当l一定时，n 大， 小E，即
3．双层能级中，j值较大的能级较高。
E4 p E4d E4 f E2 p E3 p E4 p
3．碱金属原子态符号
2s+1
2
Lj
j=+1/2 j=-1/2
0,1, 2, 3, 4, 5, S,P, D, F, G
电子自旋角动量的取向数为：
2s 1 2 s 1 2
电子自旋的两个取向一个顺磁场，另一个反磁场。即在磁场方向的角动量分别为:
12
价电子的轨道角动量和自旋角动量合成价电子的总角动量，由于原子实的总角动量 为零（后面的课程将介绍），原子的总角动量等于价电子的总角动量。
总角动量为：
pl ps (l s) j ( j l s) p j pl ps (l s) j ( j l s)
§ 4.4 电子自旋同轨道的相互作用
一、施特恩—盖拉赫实验
1921年施特恩和盖拉赫用实验证明了原子具有磁矩，磁矩的数值和取向是量子化的 。
银原子的实验结果： 当B=0时，P上只有一条细痕，磁矩不 受力的作用。 当B均匀时，P上仍只有一条细痕，磁 矩不受力的作用。 当B不均匀时，P上有两条细痕，磁矩 受力的作用。
ps s
s
ps
El,s
sBcos
1
40
e Ze m mc2
1 r3
p2j pl2 ps2 2
3 j
2
1 j
2
考虑相对论效应后：
El,s
1 1
2 40
e Ze m mc2
1 r3
p
2 j
自旋轨道耦合的详细解释
自旋轨道耦合的详细解释自旋轨道耦合（spin-orbit coupling）是一种重要的物理现象，它描述了自旋和轨道运动在量子力学中的耦合关系。
这种耦合可以导致一些有趣的现象，并在凝聚态物理，量子信息和自旋电子学等领域具有重要的应用。
本文将介绍自旋轨道耦合的基本概念、起源、数学描述以及一些重要的实验观测结果。
自旋轨道耦合起源于相对论效应。
根据相对论，电子不仅具有自旋（spin）的角动量，还具有由其运动产生的轨道（orbital）角动量。
自旋角动量来源于电子的内禀性质，而轨道角动量则代表电子在原子核周围的运动。
自旋轨道耦合就是描述自旋角动量和轨道角动量之间相互作用的量子力学理论。
为了更好地理解自旋轨道耦合，我们首先需要了解自旋和轨道角动量的基本性质。
自旋是电子的内禀属性，它可以取两个可能的取值：上自旋（spin up）和下自旋（spin down）。
这些自旋态可以用量子力学的波函数来描述，分别对应于自旋波函数的两个本征态。
轨道角动量则描述了电子在原子核周围的运动。
在量子力学中，轨道角动量的取值与量子数有关，其中最重要的是主量子数、轨道量子数和磁量子数。
自旋轨道耦合可以通过引入一个耦合项来描述。
这个耦合项将自旋角动量和轨道角动量相互联系起来，导致它们不再是独立守恒的量子数。
这种耦合的强弱程度取决于具体的物理系统。
在原子物理中，自旋轨道耦合被广泛研究，特别是重原子系统中。
在凝聚态物理中，自旋轨道耦合也起着重要作用，尤其是在材料的拓扑绝缘体和自旋霍尔效应等领域。
数学上，自旋轨道耦合可以通过施加一种相互作用势能来实现，该势能与自旋和轨道角动量的操作符有关。
这种相互作用势能的形式通常取决于具体物理系统的对称性。
量子力学中的自旋轨道耦合可以用微扰理论来解析，其中自旋轨道耦合项被视为一个微扰。
通过计算扰动项的一阶修正，可以得到自旋的裂解，即自旋波函数的新本征态。
实验上，自旋轨道耦合可以通过多种技术来观测和研究。
轨道角动量与自旋角动量的耦合剖析
轨道角动量与自旋角动量的耦合崔纪琨摘要：电子自旋是一种相对论效应。
在非相对论极限下,Hamilton量中将出现一项自旋—轨道耦合作用。
在中心力场中的电子,当计及自旋轨道耦合作用后, 轨道角动量l和自旋s分别都不是守恒量.但可以证明,它们之和,即总角动量j是守恒量。
关键词：电子自旋自旋—轨道耦合作用总角动量电子自旋是一种相对论效应。
可以证明,在中心力场V(r)中运动的电子的相对论性波动方程,在非相对论极限下,Hamilton量中将出现一项自旋—轨道耦合作用ξ(r)s·l,而ξ(r)= ，（1）μ为电子质量,c为真空中光速.在处理正常Zeeman效应时,由于外磁场较强,自旋轨道耦合作用相对说来是很小的,可以忽略.但当外磁场很弱,或没有外场的情况,原子中的电子所受到的自旋轨道耦合作用对能级和光谱带来的影响(精细结构),就不应忽略.碱金属原子光谱的双线结构和反常Zeeman效应都与此有关.在中心力场中的电子,当计及自旋轨道耦合作用后,由于[l，s·l]≠0，[s，s·l]≠0,轨道角动量l和自旋s分别都不是守恒量.但可以证明,它们之和,即总角动量j是守恒量, j=l+s, （2）[j,s·l]=0。
（3）证明式(3)时只需考虑l与s属于不同自由度,彼此对易,即[ , ]=0, α,β=x,y,z. (4)利用此式,还可以证明,与l和s相似,j的三个分量满足下列对易关系（5）令(6)还可以证明[ a=x,y,z (7)应当提到,在计及自旋轨道耦合后,虽然l不是守恒量,但仍然是守恒量,因为[ (8)因此,中心力场中电子的能量本征态可以选为守恒量完全集(H, 的共同本征态,而空间角度部分与自旋部分的波函数则可取为( 的共同本征态，此共同本征态可在(θ,φ, )表象中表示为（9）首先要求φ是本征态，即φ=Cφ （C为常数）亦即所以，φ1与φ2都应是的本征态,并且对应的本征值相同.其次,要求φ为的本征态即因此，所以φ1与φ2都应是的本征态,但相应的本征值相差。
相对论自旋电子学初探
( n = 1,2,..., N ) ，
µ 是第 n 个粒子的四维速度，则 un
µ ′) J µ ( x ′) = ∑ eu n (t ′)δ 3 ( x − x n
n
dτ , 其中 τ ,τ ′ 是固有时。当 t = t ′ 时，我们有 dτ ′ (11)
.
(8)
定义四维电磁矩密度张量
1 m µν = [ x µ J ν − xν J µ ] , 2
(9)
（9）式的积分即是电磁矩（不是张量）
M µν = 1 [ x ′ µ J ν − x ′ν J µ ]d 3 x ′ . 2∫
(10)
静止质量均为 m 的粒子构成的流， 其中每个带电粒子的四 假定 J µ 是由 N 个带相同电荷 e 、
5
1 1 e 10 ex = L (注意,如果同时还有另外一个带电荷为 − e 的 2 2m 1 1 粒子位于 Σ 的坐标原点，则两个电荷构成的总电矩为 ex1 + (−e)(− x1 ) = ex1 ，即两个电荷 2 2
质量矩 L10 = mx1 和电矩 M 10 =
彼此以对方位置为参考点来计算电矩。利用一对正负电荷来定义电矩或电偶极子是通常的 做 法 ) 。 又 假 定 该 粒 子 在 Σ ′ 中 的 时 空 坐 标 为 x ′ µ = (t ′, x ′1 ,0,0) ， 由 Lorentz 变 换 公 式 x 1 = ( x ′1 − vt ′) / 1 − v 2 , 可知在惯性系 Σ ′ 中，有 L10 = mx1 → L ′10 = E ′x ′1 − t ′p ′1 （12）
此即粒子在 Σ ′ 中的轨道角动量张量 L′µν 的 1-0 分量 L′10 。同时粒子在 Σ ′ 中有电矩 M ′10
第一讲电子自旋的实验证明及性质
总磁矩为：
Mz
dM z
Je d r2 sin2
meh
r sin
nlm
2
d
r2 sin2
meh
2
2 r sin
nlm
2
d
meh
2
2 r sin nlm 2 d
• 其中：d rddr，利用波函数 nlm 的归一 关系：
nlm 2 d nlm 2 r2 sin d ddr
• 根据轨道磁矩与轨道角动量的关系：
M¶
z
gL
e
2
L$z
• 假设这个关系定性地适用于所有角动量与
磁矩。由于原子核（质子或中子）的质量
远远大于电子的质量，所以核磁矩导致的
贡献要远远小于电子自旋磁矩的贡献。
• 对于氢原子基态而言，l=0，所以原子束分 裂是电子自旋磁矩导致的，取值个数为：； 所以电子自旋为1/2。
• •
令： 属于
1 2
(
S
z)
S
z
为 S2,S
的本征值
z
的共同本征自旋波函数，
ms 1/ 2
S 2, Sz 可互相对易，本征方程为
Sˆz 1
2
(Sz )
h 2
1
2
(Sz ), Sˆz 1 2
(Sz )
h 2
1 2
(Sz )
Sˆ
2
1
2
(Sz
)
3h 4
1
(S
z
),
Sˆ
2
1
(S
z
)
2
2
3h2 4
1 (Sz) 2
• 例如在轨道角动量l的取值中不包含半整数。 而角动量A则包含了半整数，因为它代表着 角动量的普遍性。
电子自旋是角动量的讨论
电子自旋是角动量的讨论程剑剑; 郑华【期刊名称】《《大学物理》》【年(卷),期】2019(038)010【总页数】3页(P28-29,46)【关键词】施特恩-盖拉赫实验; 自旋; 矩阵的迹; 对易关系; 算符【作者】程剑剑; 郑华【作者单位】陕西师范大学物理学与信息技术学院陕西西安710119【正文语种】中文【中图分类】O413.1电子自旋从提出之初就直接被归为角动量，并成功解释了当时理论所不能解释的实验现象. 在国内外量子力学教材中介绍电子自旋时，都沿用了自旋属于角动量的结论，自旋算符满足角动量对易关系，然后由对易关系导出自旋的具体矩阵表示——泡利矩阵[1].笔者认为，直接将电子自旋归为角动量更多的是属于物理直觉.为让学生在量子力学的学习过程中更具思辨能力，以一种逻辑的方式引入自旋属于角动量是很有意义的.本文中，笔者将尝试从施特恩-盖拉赫实验测量的结果电子自旋只有两种取值出发，在不引入自旋算符的具体矩阵表示的情况下，利用矩阵求迹，导出自旋算符与轨道角动量算符满足完全相同的对易关系，从而说明自旋与轨道角动量同类，属于角动量.1 自旋的引入1913年，玻尔的量子论提出后，人们对光谱规律的认识有了更深入的了解. 尽管此时从理论上能够解释一些简单的原子光谱规律，但对于复杂光谱，玻尔的理论遇到了一些困难. 实验上，在没有外场的情况下，原有谱线仍存在着细致分裂现象. 1916年，索末菲用玻尔模型解释塞曼效应时，提出了空间量子化的概念.1921年，施特恩和盖拉赫进行了著名的施特恩-盖拉赫实验，让一束银原子通过一处设定的不均匀磁场，并观察它们的偏转轨迹. 实验结果显示，原子的磁矩在磁场中只有两种取向，从而证明了空间是量子化的. 然而，空间量子化的假设仍然不能解释反常塞曼效应.直到1925年，乌伦贝克和古德施密特提出了电子自旋假设，认为电子不仅具有轨道角动量，还应该具有自旋角动量，才彻底将这些问题解决[2]. 此时，电子自旋已经被认为是角动量的一种.2 自旋算符的性质电子自旋是一种纯粹的量子效应，在经典力学中无法找到与之对应的力学量. 施特恩-盖拉赫实验告诉我们, 电子自旋在任意方向上的投影只有两个取值, 且大小相等, 方向相反. 为与量子力学教材一致，引入电子自旋算符(1)现在我们用数学语言来描述施特恩-盖拉赫实验的结果：算符σ在任意方向n的投影本征值只能取±1，其本征态可记为σn|±,n〉=±|±,n〉(2)将σn从左再次作用在式(2)，可以得到(3)(4)因为式(4)对任意方向都成立，所以(5)如果选取n分别指向x、y、z方向，那么(6)同时σn可写为(7)将式(7)展开，可以得到矢量算符σ分量之间满足反对易关系:σxσy+σyσx=0(8)σxσz+σzσx=0(9)σyσz+σzσy=0(10)对式(8)—式(10)式分别取迹可以得到:(11)值得注意的是，我们借用了力学量算符可以用矩阵表示，运用了矩阵的求迹规则，但是没有引入σi(i=x,y,z)的具体矩阵表示.用σy左乘式(8)，取迹有Tr(σyσxσy)+Tr(σyσyσx)=0(12)利用式(6)和矩阵求迹规则可得Tr(σx)=0(13)类似的计算，我们可以从式(9)和式(10)中得到Tr(σy)=Tr(σz)=0(14)式(13)、(14)表明，算符σi(i=x,y,z)可由无迹矩阵表示. 实际上，如果对量子力学的矩阵表示有深刻的认识，上述结论可以直接由算符σ在任意方向上的投影本征值只取±1得到.在量子力学中，力学量在选定表象后总有一个可以与之对应的矩阵. 考虑到电子自旋的实验测量结果在任意方向的投影只有两个取值，因此用2×2的矩阵描述电子自旋是很自然的选择.下面我们将证明σi(i=x,y,z)和单位矩阵I线性独立并能构成2×2矩阵的完备基. 令C0I+C1σx+C2σy+C3σz=0(15)对式(15)取迹并利用式(13)、(14)可得C0=0.将σi(i=x,y,z)分别左乘式(15)，取迹并利用式(6)、(11)、(13)、(14)，可以分别得到C1=0,C2=0,C3=0.这就证明了σx、σy、σz、I是线性独立.对于2×2的矩阵，能够描述的自由度最大为8(=4×2)，理由是2×2的矩阵有4个矩阵元且每个矩阵元可以为复数[3].因此，任意一2×2矩阵都可由线性独立的σx、σy、σz、I展开[4]：M=aσx+bσy+cσz+dI(16)理由是式(16)中展开系数可以是复数，能够描述2个自由度，加上4个展开基. 因此式(16)的左边和右边能够描述的最大自由度是相同的.现选择矩阵M=σxσy，对式(16)取迹并利用式(11)、(13)、(14)可得d=0. 用σx、σy分别左乘式(16)后取迹并利用式(6)、(11)、(13)、(14)可得a=0，b=0. 用σz右乘式(16)可得σxσyσz=c(17)将式(17)从左作用在自身并利用算符σ分量之间的反对易关系式(8)—式(10), 可以得到c2=σxσyσz·σxσyσz=-1(18)因此c=±i. 当取c=i，我们有σxσy=iσz(19)结合式(8)，我们可以得到σx和σy的对易关系[σx,σy]=2σxσy=2iσz(20)利用式(6)、(9)、(10)、(19)，可以很容易得到[σy,σz]=2iσx(21)[σz,σx]=2iσy(22)现将式(20)—式(22)中的σi(i=x,y,z)算符替换成式(1)中相应的自旋算符Si(i=x,y,z)，可以得到[Si,Sj]=iћεijkSk(23)由此可见，电子自旋算符的对易关系式(23)与轨道角动量算符的对易关系完全相同. 这与对电子自旋是角动量的期望一致，故而我们可以将自旋自然的归入角动量.数学上，c=-i也是允许的. 但在这种情况下得到的电子自旋算符的对易关系式与我们的期望不一致. 因此我们将c=-i的情况视为数学上允许，但是却没有被自然选择. 在得到电子自旋算符的对易关系后，如何得到其具体表示，量子力学教材中给出了详细的过程，也有文献给出了不同的导出方法[5]，在此我们就不赘述了.3 结束语区别于历史上和国内外量子力学教材中直接将电子自旋归为角动量，为让学生在量子力学的学习过程中更具思辨能力，本文尝试讨论仅从施特恩-盖拉赫实验测量结果出发，利用力学量可以用矩阵表示及矩阵求迹规则，导出自旋算符与轨道角动量算符满足完全相同的对易关系，从而说明自旋与轨道角动量同类，属于角动量.【相关文献】[1] 曾谨言.量子力学(卷Ⅰ)[M].5版.北京：科学出版社，2013:286-293.[2] 宁长春，汪亚平，等.斯特恩-盖拉赫实验历史概述[J].大学物理，2016，35(3)：43-49.[3] 费恩曼,莱顿.费恩曼物理学讲义[M].上海:上海科学技术出版社,2013:152-156[4] 朗道.理论物理学教程第三卷[M].6版.严肃,译.北京：高等教育出版社,2008:184-190.[5] 胡家骏，李先胤.泡利矩阵的几种导出法 [J].大学物理，1994，13(10)：29-31.。
量子力学科普：电子自旋，一种在宏观世界无法理解的特殊运动
量子力学科普：电子自旋，一种在宏观世界无法理解的特殊运动量子力学科普：电子自旋，一种在宏观世界无法理解的特殊运动相信喜欢量子力学的读者一定听说过这样一个名词：自旋，的确，每一个微观粒子都存在自旋这种现象，但微观粒子的自旋行为又与宏观物体的自旋行为截然不同，在宏观世界又找不到相同的现象作为参考，所以微观粒子的自旋是很难理解的，而在互联网上关于粒子自旋介绍的更是少之又少，往往都是简单介绍一下定义与公式，这篇文章以电子自旋为例，和大家一起聊一聊在微观世界中，自旋究竟是一种什么样的行为。
自旋，量子力学对自旋的定义是：由粒子内禀角动量引起的内禀运动，好吧，我相信大多数人看了这个定义之后还是无法理解自旋是什么，由粒子内禀角动量引起的内禀运动，这个解释实在是太抽象，角动量是什么？我们可以通俗的将角动量理解为一个描述物质旋转的物理量，角动量等于质量×半径平方×角速度，微观粒子的旋转可以分为两种，第一种是自旋角动量，第二种是轨道角动量，如果是质子、中子、原子核这种复合粒子，那么复合粒子的自旋就等于自旋角度量与轨道角动量之和。
下面来讲一讲自旋，从字面上来理解，就是代表这物体沿轴做自我旋转，例如：地球沿着地轴做自转，这里以电子为例，如果将宏观物质的自转概念直接套用到带电子身上，那么电子自旋也就是电子沿着电子中心轴进行自转，可问题来了：电子是一种不可再分的点粒子，点粒子有点类似于物理中质点的概念，点粒子是没有体积的，那么一个不存在体积的电子如何沿着中心轴自转呢？因为不存在体积，就根本不会存在中心轴的概念，所以将宏观物体自转的概念直接套用到电子身上是根本解释不通的。
早在1925年，著名物理学家泡利手下的两个助手就结合实验现象提出了电子存在自旋的行为，结果被泡利大骂了一顿，因为如果将电子的自旋理解成宏观物体的自转，那么电子表面的速度就要超越光速，这显然违背了相对论中光速最快的定论（如果当时泡利没有大骂这两个助手，而是认真的分析、总结，可能泡利就是第一个提出自旋行为的物理学家，那么泡利将会提前20年获得诺贝尔物理学奖）。
相对论知识：特殊相对论中粒子的角动量和自旋
相对论知识：特殊相对论中粒子的角动量和自旋在相对论中，粒子的角动量和自旋是两个非常重要的概念。
特殊相对论是研究光速不变原理下的物理学，其中包括了粒子的运动规律和物理量的转化等重要问题。
本文将从特殊相对论的角度出发，探讨粒子的角动量和自旋的相关知识。
一、角动量的定义与特点在牛顿力学中，角动量是一个经典的物理量，它表示物体的旋转运动。
角动量的定义是质点围绕某一点旋转的动量。
在经典力学中，角动量的定义和公式为：L=r × p=mvr×mv其中，L是角动量，r是质点围绕某一点的半径，p是动量，m是质量，v是速度。
根据定义可以得知，角动量是矢量量，它的方向垂直于运动平面。
牛顿力学中的角动量是一个相对论不变量，在特殊相对论中，它也是如此。
在特殊相对论中，由于空间和时间的相互关系被统一起来，所以牛顿力学中的角动量公式由于不符合洛伦兹变换而被修正。
在特殊相对论中，角动量的定义是：L=εijkxi(pjxk-pkxj)（i,j,k=1,2,3）其中，i,j,k是指向空间三个方向的单位矢量，xi是粒子在i方向上的位置坐标，pj是粒子的动量，εijk是完全反对称张量，其取值为1或-1。
这个公式的含义是，对于固定在参考系中的观察者来说，粒子在三个方向上的角动量是相互独立的，并且角动量是相对论不变量。
这个公式在特殊相对论中被广泛应用，被称为角动量算符。
二、自旋的定义与特点自旋是粒子的一个内禀性质，它表征了粒子的自旋角动量。
自旋可以看作是粒子内部的旋转运动，但其旋转速度是非常快的，以至于从外部无法观察到。
自旋的量子数可以是1/2,1,3/2等，其中1/2对应于电子、质子等费米子，1对应于光子、玻色子等玻色子。
自旋是相对论下的量子力学概念，在特殊相对论中也得到了充分的发展。
自旋的定义可以通过自旋态的概念来说明。
自旋态是一个包含自旋信息的量子态，其表达式为：|s,m> (s=1/2,1,3/2,……；m=-s,-s+1,……,s)其中，s是自旋的量子数，m是自旋在z方向上的分量。
相对论性量子力学中的自旋与角动量
相对论性量子力学中的自旋与角动量相对论性量子力学是描述微观粒子行为的理论，它将相对论和量子力学的原理结合在一起，用于解释粒子间的相互作用和物理现象。
在这个理论中，自旋和角动量是非常重要的概念，它们对于理解粒子性质和相互作用的特殊性起着重要的作用。
自旋是粒子的一种固有属性，它与粒子的角动量紧密相关。
自旋可以理解为粒子固有的旋转，它并不是由经典力学中物体的自旋引起的。
相对论性量子力学中，自旋的取值通常是半整数或整数，对应不同类型的粒子。
半整数自旋的粒子称为费米子，如电子和质子；而整数自旋的粒子称为玻色子，如光子和强子。
自旋和角动量的关系是通过自旋矩阵来描述的。
自旋矩阵是一个复数矩阵，它描述了粒子在不同方向上的自旋分量，如x方向、y方向和z方向。
这些分量可以被量子力学中的观测算符度量到，从而得到自旋的测量结果。
自旋的测量结果通常是以自旋向上或向下的态来表示，即自旋向上的粒子在测量时会有一个固定的值，而自旋向下的粒子则是相反的。
相对论性量子力学中的自旋对于理解粒子间的相互作用和粒子性质的研究具有重要的意义。
例如，通过自旋可以解释电子磁矩的存在。
电子磁矩是电子固有的磁性，在电磁场中会产生受到外界力的作用。
自旋的存在使电子具有一个额外的内禀磁矩，从而能够产生磁效应。
在相对论性量子力学中，角动量也是一个重要的概念。
与自旋相似，角动量也是粒子的固有属性，它描述了粒子的旋转和转动。
角动量有两个重要的特性：角动量量子化和轨道角动量。
角动量量子化是指角动量只能取特定的值，该值是以普朗克常数为单位的。
这意味着角动量的取值是离散的，而不是连续的。
轨道角动量则是描述粒子在运动过程中围绕某个轨道旋转的属性。
在相对论性量子力学中，自旋和角动量的合成也是一个重要的问题。
当一个粒子同时具有自旋和轨道角动量时，它们可以进行合成，形成总的角动量。
这种合成是通过自旋矩阵和角动量算符的组合来实现的。
合成后的总角动量可以有不同的取值，通过与量子力学中的观测算符进行测量，可以得到具体的结果。
量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加
量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：量子力学是一门研究微观世界行为的物理学科，在这个领域中有两个非常重要的概念：自旋角动量和轨道角动量。
这两种角动量都是对微粒运动的描述，但它们有着不同的性质和行为。
自旋角动量是描述微粒内在自旋的物理量，可以看作是微粒本身固有的角动量。
自旋可以是整数倍的自旋单位（如0,1,2...）也可以是半整数倍的自旋单位（如1/2, 3/2, 5/2...），分别对应于玻色子（如光子）和费米子（如电子）。
自旋是量子力学中的基本性质之一，其取值范围为$ \pm \hbar/2 $，其中$ \hbar $ 是普朗克常量除以$2π$所得到的约化普朗克常量。
自旋可以沿着任意方向取向，而且与微粒的运动方向无关。
轨道角动量则是描述微粒围绕某个中心点运动的角动量，它来源于微粒在空间中运动的外部轨道运动。
轨道角动量与自旋角动量有着非常大的区别，轨道角动量的取值是离散的，其大小为整数倍的普朗克常量。
此外，轨道角动量是受到微粒运动轨道的几何形状和空间中的位置关系影响的，也就是说它取决于微粒所处的环境。
在量子力学中，自旋角动量和轨道角动量可以相互叠加，而叠加的结果是由它们之间的相互作用决定的。
这种叠加可以发生在微粒不同部分之间，例如一个电子同时具有自旋和轨道角动量，也可以发生在微粒与外部环境之间。
在这种情况下，自旋和轨道角动量会共同决定微粒的总角动量。
自旋和轨道角动量的叠加是量子力学中一个重要的现象，它揭示了微粒在微观尺度上的奇特行为。
通过对这些角动量的叠加研究，我们可以更好地理解微粒的性质和行为，也可以为开发新的量子技术和应用提供帮助。
叠加过程本质上是一个线性叠加的过程，这意味着自旋和轨道角动量的叠加可以被描述为它们的线性组合。
在量子力学中，叠加原理允许我们将微粒的状态写成不同的可能性的叠加态，而观测结果则是这些可能性的加权和。
这种叠加过程在实验中已经被多次验证，它奠定了量子力学的基础。
自旋不是轨道角动量的相对论效应———与许方官和高春媛商榷
第21卷第1期大 学 物 理Vol.21No.1 2002年1月COLL EGE PHYSICS Jan.2002自旋不是轨道角动量的相对论效应———与许方官和高春媛商榷①李 铭②(华南师范大学物理系,广东广州 510631)摘要:对《大学物理》2000年第11期上发表的《氢原子的磁矩———对自旋的讨论之一》一文提出了不同的看法.认为该文错把相对论的流密度当成了非相对论的流密度,前者不能在非相对论近似下过滤到后者;在相对论情况下,自旋和轨道耦合在一起,不能互相独立;在非相对论情况下自旋独立于轨道运动而存在;因而,自旋不是轨道角动量的相对论效应.关键词:自旋;相对论效应;轨道角动量中图分类号:O413.1 文献标识码:A 文章编号:100020712(2002)0120034202 文献[1]通过求解氢原子的相对论性波动方程,求出氢原子的“所谓”轨道磁矩,发现该轨道磁矩自然包括自旋磁矩.于是,该文认为,自旋角动量不是粒子的内禀性质,而是轨道角动量的相对论效应.这个结论不能成立.先从相对论性自由费米子的Dirac方程说起.轨道角动量与哈密顿量不对易,因而轨道角动量(平方)不是守恒量.轨道角动量与自旋角动量之和构成的总角动量(平方)才是守恒量[2].用公式表达如下:[S,H]≠0,[L,H]≠0,J=L+S,[J,H]=0(1)因而,自由Dirac方程的解只可能给出总角动量以及与之对应的总磁矩,不可能给出轨道角动量以及与之对应的轨道磁矩.也就是说,轨道和自旋根本不可能被分离出来.因而,文献[1]的作者不可能计算出轨道磁矩.现在,让我们看看文献[1]中的式(9).该文认为这个公式是氢原子的轨道磁矩.这个看法有问题.轨道角动量算符是^l=^r×^p,^P=-i Δ(2)而文献[1]式(9)中的算符是^r×cα,α=γ0(γ1,γ2,γ3)(3)这个算符和轨道角动量算符是完全不同的.从形式上讲,式(3)中的流密度算符cα是旋量空间里的矩阵,而式(2)中的动量算符是作用在位置坐标上的.Shr dinger 方程的流密度的确与动量密度有同样的物理意义(除了一个常数因子),是体系在坐标空间里的流,位置矢量与流密度(即动量密度)叉乘再对空间积分就给出轨道角动量(式(2)).可是,相对论的流密度却是旋量空间里的流,与坐标空间没有直接的关系,因而与坐标空间中的轨道角动量也没有关系.相对论的流密度和非相对论的流密度截然不同.这一点还可以从α的矩阵形式看出:α=0 σσ 0(4)这个矩阵只包含矩阵元σ,σ代表的是非相对论下粒子的自旋.这个矩阵怎么能和坐标空间中的流密度联系起来呢?在非相对论近似下,Dirac哈密顿量中流密度项与动量算符的点乘cα・p导致自旋与轨道的耦合项:ξ(r)σ・l.可见,流密度算符只是与自旋对应,而不和轨道角动量对应.因而式(3)怎么也不能和式(2)联系起来.因此,文献[1]把式(9)看作轨道磁矩缺乏理论依据.自旋是一种量子效应,而轨道角动量则不是.在经典极限情况下( →0),自旋角动量(∝ /2)趋于零,但轨道角动量(∝[l(l+1)]1/2 )不趋于零,因为l没有限制,可以很大.在非相对论量子力学里,自旋也存在.比如,原子中的电子必须由4个量子数描述:n,l,m l,m s 其中s表示自旋量子数.此时的自旋与轨道是退耦合的.因此,怎么能说自旋是轨道角动量的相对论效应呢?从本质上讲,自旋来源于一个物理体系在空间取向上的概率分布.无自旋的粒子只需要一个波函数即可描述,但有自旋的粒子却需要多个波函数(构成一个旋量)来描述其空间取向上的概率分布.非相对论和相对论情况下自旋波函数的区别只是前者为二维旋量,①②作者简介:李铭(1964—),男,湖北公安人,华南师范大学物理系副教授,主要从事原子物理等课程的教学和强关联方面的研究工作.收稿日期:2000-12-08;修回日期:2001-04-06后者为四维旋量(对自旋1/2而言).在非相对论的情况下,由于空间的各向同性,三维空间的坐标系可以任意转动,而不影响体系的状态.旋量的转动就导致了自旋的出现.在相对论的情况下,空间的转动由四维时空的转动代替.此时的旋量至少是四维旋量,四维旋量的转动就导致了总角动量的出现(不是自旋,也不是轨道角动量).杨振宁多年以前就提出过这样的问题:“我们对自旋有了最终的描述吗”?自旋到底是什么,这个问题的确仍然悬而未决.参考文献:[1] 许方官,高春媛.氢原子的磁矩———对自旋的讨论之一[J ].大学物理,2000,19(11):10～13.[2] 曾谨言.量子力学 下册[M ].北京:科学出版社,1984.577.Spin is not the relativistic effect of orbital angular momentum———arguing with Xu F ang 2guan and G ao Chun 2yuanL I Ming(Department of Physics ,S outh China Normal University ,Guangzhou ,Guangdong ,510631,China )Abstract :Arguments are proposed to the paper of Xu Fang 2guan and G ao Chun 2yuan.The author argues that Xu and G ao mistake the relativistic current density as the non 2relativistic current density ,but the relativistic current density cannot crossover to the non 2relativistic one at the non 2relativistic ap 2proximation.In the relativistic case spin and orbital angular momentum couple to each other ,not able to exist independently.In the non 2relativistic case ,however ,spin exists independently on the orbital mo 2tion.Therefore ,spin is not the relativistic effect of orbital angular momentum.K ey w ords :spin ;orbital angular momentum ;relativistic effect(上接22页)[11] Ruan W Y ,Bao C G.Transformation bracket for 2D hy 2perspherical harmonics and its applications to few 2anyon problems [J ].J Math Phys ,1997,38(11):5634～5642.[12] Edelstein Warren ,Spector Harold N ,Marasas Richard.Two -dimensional excitons in magnetic fields [J ].Phys Rev B ,1989,39(11):7697～7704.[13] Pang Tao ,Steven G Louie.Negative -Donor center insemiconductors and quantum well [J ].Phys Rev Lett ,1990,65(13):1635～1638.H yperspherical approach for the t wo 2dimensional D -centerin a w eak magnetic f ieldsFEN G Ming 2cheng ,L IU Han 2zhong(Department of Physics ,Jining Teachers ′College ,Jining ,Shandong ,272125,China ) Abstract :With hyperspherical coordinates ,a sim ple and numerically accurate procedure is proposed to solve theSchr dinger equation for the two 2dimensional D -center in a weak magnetic fields.Numerical results for the ground 2state of two 2dimensional D -center at weak magnetic field is presented ,which is in good agreement with those obtained through other computationally intensive method such as variational calculation and those obtained in ex periments. K ey w ords :hyperspherical coordinates ;D -center ;quantum well ;weak magnetic fields53第1期 李 铭:自旋不是轨道角动量的相对论效应———与许方官和高春媛商榷。
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=
0，我 们 只 能 认 为
式（5）中的
" 为相对论性轨道角动量，而
$=
1 2
!
是
一个独立于 " 的具有角动量性质的电子的一个自由
度，$ 即自旋角动量 . 因此 !·" 项即电子的自旋轨道 相互作用项，而电子的自旋对应着电子的自旋磁矩［3］
M=
-
e 2 mc
因此，量子数 I 本质上描述的是电子的自旋磁矩和相对
用相对论量子 力 学 处 理 氢 原 子 问 题，所 研 究 的 对 象依然是同一个氢原子，区别仅是一个处理方法问题 . 区别之一，非相 对 论 量 子 力 学 是 通 过 实 验 确 认 电 子 有 自旋性质，而相 对 论 量 子 力 学 则 是 通 过 理 论 本 身 揭 示 了电子有自旋性质 . 区别之二，相对论量子力学中的力 学量都是相对论性的 . 显然，我们完全可以应用上述坐 标变换方法来认识相对论中的自旋轨道作用 !·" . 从 电子坐标系看，核 的 相 对 论 性 轨 道 运 动 在 电 子 处 产 生 了磁场，电子本身因具有自旋性质而感受到这个磁场 . 而文献［1］则否认电子本身具有自旋，认为是电子的轨 道运动的相对论效应产生了自旋 . 在此人们不禁要问， 核的相对论性轨道运动是通过什么方式使电子产生了 自旋性质？而且还满足空间量子化呢？更进一步的问 题是，核的相对 论 性 轨 道 运 动 产 生 的 轨 道 磁 场 还 能 同 它自己产生的电子自旋磁场发生相互作用吗？这些问 题迫使人们不得不放弃文献［1］的这个结论，即从定性 的角度看，电子 的 轨 道 角 动 量 的 相 对 论 效 应 不 可 能 产 生出电子自旋 .
" 文献［#］的氢原子磁矩的理论意义
文献［1］的严格的氢原子磁矩公式为
[ ( ) ] Jz
=
-
1ec2· 2Ec 2
2 k
k +
1
1 2k - 1
2
k
1 1
-A +A
-
1
m（6）
注意到 Ec =Jc2 ，J 为电子折合质量 . 则上式与非相对
论量子力学中给出的氢原子磁矩公式
Jjz = - 2e1Jgm
（7）
形式相同 . 显然狄拉克理论中的朗德因子
[ ( ) ] gD
=
2
2k k+
1
1 2k - 1
2k
1 1
-A +A
-
1
（8）
文献［1］中，式（ 14）、（ 15）已 证 明，式（ 7）中 的 朗 德 因 子
g=
2
2 k
k +
1
.
当计及a2
量级及高级小量后可以证明：A
( ) >
0，2
1 k-
1
2
k
HU Kun-ming
（Department Of Physics，Shanggiu Teachers COiiege，Shanggiu，Henan，476000，China）
第 21 卷第 6 期 2002 年 6 月
大学物理 COLLEGE PHYSICS
Vol. 21 No . 6 June. 2002
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
电子自旋不是轨道角动量的相对论效应
胡昆明
（商丘师范学院 物理系，河南 商丘 476000）
量子数 k 有关 . 因此称其为相对论性的轨道磁矩是不
恰当的 .
! 轨道角动量的相对论效应能产生出电子的自旋？
我们知道，氢光谱的精细结构规定了电子自旋 ! 的性质：! 相对于电子轨道角动量 " 的取向是量子化 的，要么与 " 平行，要么与 " 反平行 . 在非相对论量子 力学中，我们常 将 描 述 这 种 自 旋 轨 道 相 互 作 用 的 实 验 室坐标系变换为固定于电子上的电子坐标系 . 从电子 坐标系看，是原 子 核 的 轨 道 运 动 在 电 子 所 在 处 产 生 了 磁场，具有自旋磁矩的电子感受到这个磁场，且使自旋 取向量子化［4］. 自旋取向的量子化表明电子自旋是独 立于电子的轨道运动的又一个自由度 .
乎没有什么差别，即氢原子问题本身是非相对论性的 .
这就是文献［1］给出的氢原子磁矩公式的理论意义之
一 . 既如此，电子的轨道角动量的相对论描述与非相对 论描述，在略去a2 项后也应是相同的，即电子的轨道 角动量的相对 论 效 应 非 常 之 小，不 可 能 产 生 出 电 子 的
自旋性质 .
参考文献：
摘要：根据氢原子的相对论性环电流密度 的表示式，指出由该 给出的氢原子磁矩公式必然涉及电子自旋
<
<
磁矩，电子自旋不是轨道角动量的相对论效应 .
关键词：磁矩；自旋；轨道角动量
中图分类号：O 413 . 1
文献标识码：A
文章编号：1000-071（2 2002）06-0026-02
文献［1］利用已知的氢原子的相对论性波动方程 解直接计算出了氢原子磁矩 . 笔者读后深受启发 . 该文 的深入研究解决了用狄拉克方程计算氢原子磁矩的问 题 . 但是，对其给出的结论“自旋是轨道角动量的相对 论效应”和“ ! 是相对论性的轨道角动量”笔者不能认 可 . 笔者认为，文献［1］给出上述结论的根据是不成立 的，文［1］也没有给出否定自旋是电子的一个自由度的 论证，因此自旋不是轨道角动量的相对论效应 .
7 讨论
1）本实验 中 除 了 要 掌 握 符 合 测 量 的 基 本 概 念 和 实验仪器的性 能 特 点 外，符 合 分 辨 时 间 的 意 义 及 测 量 方法是重点和难点 . 由误差传递公式分析可知，由于延 迟时间旋钮的 精 密 度 有 限，符 合 分 辨 时 间 的 测 量 对 活 度 ! 的测量误差影响最大 .
fge- 2Er （4）
其中 m 为满足方程^ z =（ ^L z + ^Sz ） = m 的 量 子
数，m = 1
1 2
，1
3 2
，…
1（ I
I
I
-
1 2
）；I
为满足方程
^I = - B（!·" + ） = I 的量子数，I = 1 1，1 2，
… . 显然 m 为总角动量磁量子数，且 m 与量子数 I 相
Abstract：SOme prObiems in cOincidence measurement experiment are discussed and studied . The methOds and technigues in dOing this experiment are prOpOsed .
2）单道分析器的阈值旋钮可以再调小一些，如图 7 中的 " 2 处 . 该处同样反映了60 CO 和"射线与探头物 质相互作用的效应，只是测得的计数率增大，对活度 !
的测量计算结果没有影响 . 3）用瞬时符合曲线可确定真符合的最佳位置，而
借助信号发生 器 和 示 波 器，调 节 两 道 输 出 脉 冲 完 全 重 叠，如图 （4 b），也可以使装置探测到"-"的同时性事件 产生最佳真符合，只是先要将探头高压、放大倍数和阈 值调好 .
参考文献：
［1］ 林 木 欣 . 近 代 物 理 实 验 教 程［ M ］. 北 京：科 学 出 版 社， 1999 . 1 ~ 33，81 ~ 88 .
［2］ 复旦大学，清华大学，北京大学合编 . 原子核物理实验方 法 上册［M］. 北京：原子能出版社，1985 . 245 ~ 269 .
［3］ EG & G ORTEC . Experiment in Nuciear Science（ AN34） ［ M］. U S A，ORTEC，Inc，1984 . 59 ~ 64 .
1 1
-A +A
-
1
< 1.有
gD < g
（9）
由式（6）（、7）（、8）（、9）知，对同一状态
IJz I < IJjz I
（10）
考察基态氢原子，n = 1，l = 0，m =
1 2
，k
I < IJjz I . 注意到此时的Jjz 即电子的自旋 磁矩JB . 则有 IJz I < IJB I . 又精确的自旋磁矩的实验 观测值［3］J = 1 . 001 16 JB .
［1］ 许方官，高春媛 . 氢原子的磁矩———对自旋的讨论之一 ［J］. 大学物理，2000，19（11）：10 .
［2］ 曾谨言 . 量子力学 上册［ M］. 北京：科学出版社，1982 . 224 .
［3］ 曾谨言 . 量子力学 下册［ M］. 北京：科学出版社，1982 . 576，588 .
Key words：cOincidence measurement；cOincidentai resOiving time；activity
（上接 27 页）
Electronic spin is not the relativistic effect of the orbital angular momentum
［4］ 褚圣麟 . 原子物理学［ M］. 北京：人民教育出版社，1979 . 126 .
（下转 32 页）
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大学物理
第 21 卷
实验所用的60 CO 放射源标称值为 10 . 44 !Ci，测量 日期为 1989 年 2 月 1 日，半衰期为 5 . 271 4 年 . 实验日 期为 2000 年 6 月 2 日，已过了 11 . 33 年，经计算现有活 度为 2 . 35 !Ci，可见实验结果在误差范围内与标称值 相符 .