专题三-尺规作图

尺规作图专题详尽归纳

考点名称：尺规作图【学习目标】1．了解什么是尺规作图．2．学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线．3．了解五种基本作图的理由．4．学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．5．学会利用基本作图画三角形等较简单的图形．6．通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美．【基础知识精讲】1．尺规作图：①定义：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图．注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛．②步骤：(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；(2)分析作图的方法和过程；(3)用直尺和圆规进行作图； (4)写出作法步骤，即作法。

（根据题目要求来定是否需要写出作法）2．尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图．任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种.3．基本作图共有五种：(1)画一条线段等于已知线段．如图24-4-1，已知线段DE．求作：一条线段等于已知线段．作法：①先画射线AB．②然后用圆规在射线AB上截取AC＝MN．线段AC就是所要作的线段．(2)作一个角等于已知角．如图24-4-2，已知∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①作射线O′A′；②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′．④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′．⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作线段的垂直平分线．如图24-4-3，已知线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．注意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点．(4)经过一点作已知直线的垂线．a．经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4．已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：作平角ACB的平分线CF．直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4．b．经过已知直线外一点作这条直线的垂线．如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．③分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．④作直线CF．直线CF就是所求的垂线．注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．(5)平分已知角．如图24-4-6，已知∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．②分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．③作射线OC．OC就是所求的射线．注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好．通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言：(1)过点×和点×画射线××，或画射线××．(2)在射线××上截取××＝××．(3)以点×为圆心，××为半径画弧．(4)以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×．(5)分别以点×，点×为圆心，以××，××为半径作弧，两弧相交于点×．(6)在射线××上依次截取××＝××＝××．(7)在∠×××的外部或内部画∠×××＝∠×××．注意：学过基本作图后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：(1)画线段××＝××．(2)画∠×××＝∠×××．(3)画××平分∠×××，或画∠×××的角平分线．(4)过点×画××⊥××，垂足为点×．(5)作线段××的垂直平分线××，等等．但要注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而作图就不按程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理．【经典例题精讲】例1已知两边及其夹角，求作三角形．如图24-4-7，已知：∠α，线段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．作法：①作∠MAN＝∠α．②在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b．③连结BC．如图24-4-8，△ABC即为所求作的三角形．注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析．例2如图24-4-9，已知底边a，底边上的高h，求作等腰三角形．已知线段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．分析：可先作出底边BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出BC的垂直平分线，从而作出BC边上的高AD，分别连结AB和AC，即可作出等腰△ABC来．作法：(1)作线段BC＝a．(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)连结AB、AC．如图24-4-10，△ABC即为所求的等腰三角形．例3已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形．如图24-4-11，已知线段a，m，h(m>h)．求作：△ABC使它的一边等于a，这边上的中线和高分别等于m和h(m>h)．分析：如图24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中线AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此这个Rt△AED可以作出来(△AED为奠基三角形)．当Rt△AED作出后，由的关系可作出点B和点C，于是△ABC即可得到．作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．(2)延长ED到B，使．(3)在DE或BE的延长线上取．(4)连结AB、AC．则△ABC即为所求作的三角形．注意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以如果h>m，作图题无解；若m＝h，则作出的图形为等腰三角形．例4如图24-4-13，已知线段a．求作：菱形ABCD，使其半周长为a，两邻角之比为1∶2．分析：因为菱形四边相等，“半周长为a”就是菱形边长为，为此首先要将线段a等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为1∶2”可知，菱形较小内角为60°，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形ABCD．作法：(1)作线段a的垂直平分线，等分线段a．(2)作线段AC，使．(3)分别以A、C为圆心，为半径，在AC的两侧画弧，两弧分别交于B，D．(4)分别连结AB、BC、CD、DA得到四边形ABCD，则四边形ABCD为所求作的菱形(如图24-4-14)．注意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法”．例5如图24-4-15，已知∠AOB和C、D两点．求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．分析：要使PC＝PD，则点P在CD的垂直平分线上，要使点P到∠AOB的两边距离相等，则P应在∠AOB的角平分线上，那么满足题设的P点就是垂直平分线与角平分线的交点了．作法：(1)连结CD．(2)作线段CD的中垂线l．(3)作∠AOB的角平分线OM，交l于点P，P点为所求．注意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满足题目的不同要求．【中考考点】例6 (2000·安徽省)如图24-4-16，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A．一处 B．二处C．三处 D．四处分析：到直线距离相等的点在相交所构成的角的平分线上，可利用作角平分线的方法找到这些点．解：分别作相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交点共有四个．答案：D．注意：本题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不可只作出位于中心位置的一处，而要全面考虑其他满足条件的点．例7 (2002·陕西省)如图24-4-17，△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，工人师傅要把它加工成—个正方形零件，使C为正方形的—个顶点，其他三个顶点分别在AB、BC、AC边上．(1)试协助工人师傅用尺规画出裁割线(不写作法，保留作图痕迹)；(2)工人师傅测得AC＝80 cm，BC＝120cm，请帮助工人师傅算出按(1)题所画裁割线加工成的正方形零件的边长．解：(1)作∠ACB的平分线与AB的交点E即为正方形—顶点，作CE线段的中垂线HK 与AC、BC的交点F、D即为所作正方形另两个顶点，如图24-4-17．(2)设这个正方形零件的边长为x cm，∵DE∥AC，∴，∴．∴x＝48．答：这个正方形零件的边长为48cm．注意：本题是几何作图和几何计算相结合题目，要求读者对基本作图务必掌握，同时对作出图形的性质要清楚．例8 (2002·山西省)如图24-4-18①，有一破残的轮片(不小于半个轮)，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径．分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，T形尺或尺规作图均可，图②中是这个零件的半径，图③中OB是这个零件半径．解：如图24-4-18②③所示．【常见错误分析】例9如图24-4-19，已知线段a、b、h．求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的高AD＝h．并回答问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢？错解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a．如图24-4-20，则△ABC就是所求作的三角形．(2)作出的三角形唯一．(3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等．误区分析：本题错解在于忽略了三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形的外部．正解：如图24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a(在点C的两侧)．则△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．(3)得出结论有两边及—边上的高对应相等的两三角形不一定全等．注意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎．【学习方法指导】学习基本作图，主要是运用观察法，通过具体的操作，了解各种基本作图的步骤，掌握作图语言．【规律总结】画复杂的图形时，如一时找不到作法，—般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角形，再以此为基础，根据有关条件画出其余部分，从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法．拓展： 1．利用基本作图作三角形：(1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形； (3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图：(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)． (2)作三角形的内切圆．（3）作圆的内接正方形和正六边形．附件：尺规作图简史：“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.。

2020年中考数学必考考点专题32 尺规作图(含解析)

专题32 尺规作图问题专题知识回顾1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。

2.尺规作图的五种基本情况：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知线段的垂直平分线；（4）作已知角的角平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。

3.对尺规作图题解法：写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。

4.中考要求：（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.专题典型题考法及解析【例题1】（2019•湖南长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，从而得出答案．在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°。

【例题2】（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．【答案】见解析。

专题三尺规作图、图形变换

专题三尺规作图、图形变换、投影与视图一．五种基本尺规作图1．如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB，在射线AE上截取AD=BC，连接CD，并证明：C D∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）2.（2016湖南省怀化市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，P A长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．3．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于C．（1）尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于O，交AE于D，（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明．4. 如图，已知△ABC中，∠ABC=90°．（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD=OB；③连接DA、DC．（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．5.如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD和过点A作⊙O的切线．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）6.如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．（1）作图：①过B作AC的平行线BH；②过D作BH的垂线，分别交AC，BH，AB的延长线于E，F，G．（2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论．二．与圆有关的尺规作图如图，在△ABC中，利用尺规作图，在图1，图2中分别画出△ABC的外接圆，内切圆（不写作法，必须保留作图痕迹）（图1）（图2）三．三角形的高、中线在下列三角形中，分别画出AB边上的高、中线．B 四．图形变换与坐标变换1.如图所示，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）： ①把△ABC 沿BA 方向平移，请在网格中画出当点A 移动到点A 1时的△A 1B 1C 1； ②把△A 1B 1C 1绕点A 1按逆时针方向旋转90°后得到△A 2B 2C 2，如果网格中小正方形的边长为1，求点B 1旋转到B 2的路径长．2.如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC 进行位似变换得到△A 1B 1C 1．（1）△A 1B 1C 1与△ABC 的位似比是；（2）画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2；（3）设点P （a ，b ）为△ABC 内一点，则依上述两次变换后，点P 在△A 2B 2C 2内的对应点 P 2的坐标是．3.已知：如图，□ABCD.(1)画出□A 1B 1C 1D 1使□A 1B 1C 1D 1与□ABCD 关于直线MN 对称;(2)画出□A 2B 2C 2D 2,使□A 2B 2C 2D 2与□ABCD 关于点O 中心对称;(3) □A 1B 1C 1D 1与□A 2B 2C 2D 2是对称图形吗?若是,请在图上画出对称轴或对称中心五．投影与视图1、如图所示，在平整的地面上，有若干个完全相同的小正方体堆成一个几何体．（1）这个几何体由个小正方体组成，（2）请画出这个几何体的三视图．2、如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为BC=2.4m．（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；（2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG=16m，请求出旗杆DE的高度．3．作出下列图形的三视图．。

(完整)尺规作图专题详尽归纳,推荐文档

考点名称：尺规作图【学习目标】1．了解什么是尺规作图．2．学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线．3．了解五种基本作图的理由．4．学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．5．学会利用基本作图画三角形等较简单的图形．6．通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美．【基础知识精讲】1．尺规作图：①定义：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图．注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛．②步骤：(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；(2)分析作图的方法和过程；(3)用直尺和圆规进行作图； (4)写出作法步骤，即作法。

（根据题目要求来定是否需要写出作法）2．尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图．任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种.3．基本作图共有五种：(1)画一条线段等于已知线段．如图24-4-1，已知线段DE．求作：一条线段等于已知线段．作法：①先画射线AB．②然后用圆规在射线AB上截取AC＝MN．线段AC就是所要作的线段．(2)作一个角等于已知角．如图24-4-2，已知∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①作射线O′A′；②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′．④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′．⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作线段的垂直平分线．如图24-4-3，已知线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．注意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点．(4)经过一点作已知直线的垂线．a．经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4．已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：作平角ACB的平分线CF．直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4．b．经过已知直线外一点作这条直线的垂线．如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．③分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．④作直线CF．直线CF就是所求的垂线．注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．(5)平分已知角．如图24-4-6，已知∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．②分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．③作射线OC．OC就是所求的射线．注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好．通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言：(1)过点×和点×画射线××，或画射线××．(2)在射线××上截取××＝××．(3)以点×为圆心，××为半径画弧．(4)以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×．(5)分别以点×，点×为圆心，以××，××为半径作弧，两弧相交于点×．(6)在射线××上依次截取××＝××＝××．(7)在∠×××的外部或内部画∠×××＝∠×××．注意：学过基本作图后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：(1)画线段××＝××．(2)画∠×××＝∠×××．(3)画××平分∠×××，或画∠×××的角平分线．(4)过点×画××⊥××，垂足为点×．(5)作线段××的垂直平分线××，等等．但要注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而作图就不按程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理．【经典例题精讲】例1已知两边及其夹角，求作三角形．如图24-4-7，已知：∠α，线段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．作法：①作∠MAN＝∠α．②在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b．③连结BC．如图24-4-8，△ABC即为所求作的三角形．注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析．例2如图24-4-9，已知底边a，底边上的高h，求作等腰三角形．已知线段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．分析：可先作出底边BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出BC的垂直平分线，从而作出BC边上的高AD，分别连结AB和AC，即可作出等腰△ABC来．作法：(1)作线段BC＝a．(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)连结AB、AC．如图24-4-10，△ABC即为所求的等腰三角形．例3已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形．如图24-4-11，已知线段a，m，h(m>h)．求作：△ABC使它的一边等于a，这边上的中线和高分别等于m和h(m>h)．分析：如图24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中线AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此这个Rt△AED可以作出来(△AED为奠基三角形)．当Rt△AED作出后，由的关系可作出点B和点C，于是△ABC即可得到．作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．(2)延长ED到B，使．(3)在DE或BE的延长线上取．(4)连结AB、AC．则△ABC即为所求作的三角形．注意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以如果h>m，作图题无解；若m＝h，则作出的图形为等腰三角形．例4如图24-4-13，已知线段a．求作：菱形ABCD，使其半周长为a，两邻角之比为1∶2．分析：因为菱形四边相等，“半周长为a”就是菱形边长为，为此首先要将线段a等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为1∶2”可知，菱形较小内角为60°，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形ABCD．作法：(1)作线段a的垂直平分线，等分线段a．(2)作线段AC，使．(3)分别以A、C为圆心，为半径，在AC的两侧画弧，两弧分别交于B，D．(4)分别连结AB、BC、CD、DA得到四边形ABCD，则四边形ABCD为所求作的菱形(如图24-4-14)．注意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法”．例5如图24-4-15，已知∠AOB和C、D两点．求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．分析：要使PC＝PD，则点P在CD的垂直平分线上，要使点P到∠AOB的两边距离相等，则P应在∠AOB的角平分线上，那么满足题设的P点就是垂直平分线与角平分线的交点了．作法：(1)连结CD．(2)作线段CD的中垂线l．(3)作∠AOB的角平分线OM，交l于点P，P点为所求．注意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满足题目的不同要求．【中考考点】例6 (2000·安徽省)如图24-4-16，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A．一处 B．二处C．三处 D．四处分析：到直线距离相等的点在相交所构成的角的平分线上，可利用作角平分线的方法找到这些点．解：分别作相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交点共有四个．答案：D．注意：本题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不可只作出位于中心位置的一处，而要全面考虑其他满足条件的点．例7 (2002·陕西省)如图24-4-17，△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，工人师傅要把它加工成—个正方形零件，使C为正方形的—个顶点，其他三个顶点分别在AB、BC、AC边上．(1)试协助工人师傅用尺规画出裁割线(不写作法，保留作图痕迹)；(2)工人师傅测得AC＝80 cm，BC＝120cm，请帮助工人师傅算出按(1)题所画裁割线加工成的正方形零件的边长．解：(1)作∠ACB的平分线与AB的交点E即为正方形—顶点，作CE线段的中垂线HK 与AC、BC的交点F、D即为所作正方形另两个顶点，如图24-4-17．(2)设这个正方形零件的边长为x cm，∵DE∥AC，∴，∴．∴x＝48．答：这个正方形零件的边长为48cm．注意：本题是几何作图和几何计算相结合题目，要求读者对基本作图务必掌握，同时对作出图形的性质要清楚．例8 (2002·山西省)如图24-4-18①，有一破残的轮片(不小于半个轮)，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径．分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，T形尺或尺规作图均可，图②中是这个零件的半径，图③中OB是这个零件半径．解：如图24-4-18②③所示．【常见错误分析】例9如图24-4-19，已知线段a、b、h．求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的高AD＝h．并回答问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢？错解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a．如图24-4-20，则△ABC就是所求作的三角形．(2)作出的三角形唯一．(3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等．误区分析：本题错解在于忽略了三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形的外部．正解：如图24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a(在点C的两侧)．则△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．(3)得出结论有两边及—边上的高对应相等的两三角形不一定全等．注意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎．【学习方法指导】学习基本作图，主要是运用观察法，通过具体的操作，了解各种基本作图的步骤，掌握作图语言．【规律总结】画复杂的图形时，如一时找不到作法，—般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角形，再以此为基础，根据有关条件画出其余部分，从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法．拓展： 1．利用基本作图作三角形：(1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形； (3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图：(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)． (2)作三角形的内切圆．（3）作圆的内接正方形和正六边形．附件：尺规作图简史：“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.•。

专题三与全等三角形相关的尺规作图

AD ＝ BC ，连接 CD ，并证明： CD ∥ AB . (保留作图痕迹，不写作法)
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过程性学习 (2024重庆北碚区期末)如图，矩形 ABCD 中， AC 为其对角
线，过点 B 作 BE ⊥ AC 于点 E .
(1)用直尺和圆规，作∠ CDF ，使∠ CDF ＝∠ ABE ， DF 交 AC 于点 F ，交 BC 于点 G； (2)小明思考此时的 DF 是否会垂直 AC ，为了探究这个问题，小明尝试利用证明三角形全等来推导 DF ⊥ AC . 根据小明的思路，完成以下填空：
第十二章全等三角形
专题三与全等三角形相关的尺规作图
建议用时：20分钟 1. 用尺规作图. 已知：如图，线段 a 及锐角∠α. 求作：△ ABC ，使∠ B ＝∠α， AB ＝ BC ＝ a .
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2. 如图，利用尺规，在△ ABC 的边 AC 上方作∠ CAE ＝∠ ACB ，在射线 AE 上截取
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AB ∥ CD
∠ AEB ＝∠ CFD ∠ AEB ＝90°
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4. 在学习了全等三角形的判定方法“SAS”后，小明想：“SSA(即两边及其中一边的对角对应相等)能否判定两个三角形全等呢？”带着这个问题，请同学们作如下探索： (1)如图1，2，已知线段 a ， b 及∠α，画△ ABC ，使∠ B ＝∠α， BC ＝ a ， AC ＝ b ；(尺规作图，保留作图痕迹)
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34Biblioteka (2)观察(1)中你所画的图形，你认为“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等(SSA)”是真命题还是假命题？解：(2)假命题.

初中数学专题讲解——尺规作图技巧+典型题全汇总!务必掌握

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初中数学三大专题100道基础好题
初中数学尺规作图专题讲解
尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

其中直尺必须没有刻度，只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度，只能用来作圆和圆弧．因此，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不可以度量的．
1、尺规作图规范用语
2、尺规作图基本步骤
3、五种基础的尺规作图题型（掌握基础才能挑战复杂题型）
基本作图一：作一条线段等于已知线段。

基本作图二：作一个角等于已知角。

基本作图三：作已知线段的垂直平分线。

基本作图四：作已知角的角平分线
基本作图五：过一点作已知直线的垂线。

4、典型例题分析
5、题目练习。

尺规作图专题

图 1 尺规作图专题一、关于尺规作图用和准确地按要求作出图形。

不利用．．．直尺的刻度，三角板现有的角度，及量角器。

二、几种基本作图1、画一条线段等于已知线段如图1，MN 为已知线段，用直尺和圆规准确地画一条线段AC 与MN 相等。

2、画一个角等于已知角如图2所示，∠AOB 为已知角，试按下列步骤用圆规和直尺准确地画∠A ′O ′B ′等于∠AOB ．3、画已知线段的垂直平分线定义：于一条线段并且这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（或叫中垂线。

）如图所示，已知线段AB ，画出它的垂直平分线.4、画角平分线利用直尺和圆规把一个角二等分.已知：如图3，∠AOB求作：射线OC ，使∠AOC ＝∠BOCoB A 图2o B A 图25、作已知直线垂线（1）过直线上一点作一条直线与已知直线垂直如图，点A 在1l 上，过点A 作直线2l ，使得1l ⊥2l（2）过直线上一点作一条直线与已知直线垂直练习一1、已知线段AB 和CD ，如下图，求作一线段，使它的长度等于AB ＋2CD.2、如图，已知∠A 、∠B ，求作一个角，使它等于∠A-∠B.3、根据要求作△ABC 和它的内切圆。

（1）如图作△ABC ，使得BC=a 、AC=b 、AB=c（2）作 △ABC 的内切圆。

b aAl 1A l 14、如图，画一个等腰△ABC ，使得底边BC=a ，它的高AD=h5、如图，已知∠AOB 及M 、N 两点，求作：点P ，使点P 到∠AOB 的两边距离相等，且到M 、N 的两点也距离相等。

练习二1.己知三边求作三角形己知一个三角形三条边分别为a ，b ，c 求作这个三角形。

2.己知三角形的两条边及其夹角，求作三角形已知一个三角形的两条边分别为a ，b ，这两条边夹角为∠a ，求作这个三角形3.已知三角形的两角及其夹边，求作三角形巳知一个三角形的两角分别为∠a ∠β夹边为a 求作这个三角形。

h a B O AN M4、己知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形已知三角形的两角分别为∠a ∠β，∠a 的对边为∠a,求作这个三角形5.己知一直角边和斜边求作三角形己知一个直角三角形的一条直角边为a ，斜边长为c ，求作这个三角形。

中考数学专题复习导学案《尺规作图》含答案

中考数学专题练习尺规作图知识归纳一尺规作图1．定义只用没有刻度的和作图叫做尺规作图．2．步骤①根据给出的条件和求作的图形,写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤,即作法．二五种基本作图1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．三基本作图的应用1．利用基本作图作三角形1已知三边作三角形；2已知两边及其夹角作三角形；3已知两角及其夹边作三角形；4已知底边及底边上的高作等腰三角形；5已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图1过不在同一直线上的三点作圆即三角形的外接圆．2作三角形的内切圆．基础检测1．如图,在平面直角坐标系中,以O 为圆心,适当长为半径画弧,交x 轴于点M ,交y 轴于点N ,再分别以点M 、N 为圆心,大于MN 的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为2a ,b +1,则a 与b 的数量关系为A ．a =bB ．2a +b =﹣1C ．2a ﹣b =1D ．2a +b =12.如图,已知△ABC ,以点B 为圆心,AC 长为半径画弧；以点C 为圆心,AB 长为半径画弧,两弧交于点D ,且点A ,点D 在BC 异侧,连结AD ,量一量线段AD 的长,约为A ．2.5cmB ．3.0cmC ．3.5cmD ．4.0cm3.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A 作一条直线,使其将△ABC 分成两个相似的三角形保留作图痕迹,不写作法4.如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC 的顶点均在格点上,点A 、B 的坐标分别是A4,3、B4,1,把△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得到△A 1B 1C ．1画出△A 1B 1C,直接写出点A 1、B 1的坐标；2求在旋转过程中,△ABC 所扫过的面积．5．如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中,给出了四边形ABCD 的两条边AB 与BC,且四边形ABCD 是一个轴对称图形,其对称轴为直线AC ．1试在图中标出点D,并画出该四边形的另两条边；2将四边形ABCD 向下平移5个单位,画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．6．已知：线段a 及∠ACB．求作：⊙O,使⊙O 在∠ACB 的内部,CO=a,且⊙O 与∠ACB 的两边分别相切．7．如图,OA=2,以点A 为圆心,1为半径画⊙A 与OA 的延长线交于点C,过点A 画OA 的垂线,垂线与⊙A 的一个交点为B,连接BC1线段BC 的长等于； 2请在图中按下列要求逐一操作,并回答问题：①以点为圆心,以线段的长为半径画弧,与射线BA 交于点D,使线段OD 的长等于A B C②连OD,在OD上画出点P,使OP得长等于,请写出画法,并说明理由．达标检测一、选择题1．如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为A．65° B．60° C．55° D．45°2.如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心,CA为半径画弧错误!；步骤2：以B为圆心,BA为半径画弧错误!,将弧错误!于点D；步骤3：连接AD,交BC延长线于点H.下列叙述正确的是第10题图A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD=BC·AH D．AB=ADC．S△ABC二、填空题3.如图,已知线段AB,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C、D两点,作直线CD交AB于点E,在直线CD上任取一点F,连接FA,FB．若FA=5,则FB= ．4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的是 ;①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．三、解答题5.12分图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站,最终到达终点站D站的格点站路线图．8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成1求1路车从A站到D站所走的路程精确到；2在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复6.7分图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上．1如图1,点P在小正方形的顶点上,在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q,连接AQ、QC、CP、PA,并直接写出四边形AQCP的周长；2在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD,且点B和点D均在小正方形的顶点上．7.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的三角形保留作图痕迹,不写作法8.如图,已知BD是矩形ABCD的对角线．1用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD、BC于E、F保留作图痕迹,不写作法和证明．2连结BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形请说明理由．9.如图,方格中,每个小正方形的边长都是单位1,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．1画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；2画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；3求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积．知识归纳答案一尺规作图1．定义只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．2．步骤①根据给出的条件和求作的图形,写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤,即作法．二五种基本作图1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．三基本作图的应用1．利用基本作图作三角形1已知三边作三角形；2已知两边及其夹角作三角形；3已知两角及其夹边作三角形；4已知底边及底边上的高作等腰三角形；5已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图1过不在同一直线上的三点作圆即三角形的外接圆．2作三角形的内切圆．基础检测答案1．如图,在平面直角坐标系中,以O 为圆心,适当长为半径画弧,交x 轴于点M ,交y 轴于点N ,再分别以点M 、N 为圆心,大于MN 的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为2a ,b +1,则a 与b 的数量关系为A ．a =bB ．2a +b =﹣1C ．2a ﹣b =1D ．2a +b =1解析作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质．根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上,有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a |=|b +1|,再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0,进而得到a 与b 的数量关系．解答解：根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上,则P 点横纵坐标的和为0,故2a +b +1=0,整理得：2a +b =﹣1,故选：B ．点评此题主要考查了每个象限内点的坐标特点,以及角平分线的性质,关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点|横坐标|=|纵坐标|．2.如图,已知△ABC ,以点B 为圆心,AC 长为半径画弧；以点C 为圆心,AB 长为半径画弧,两弧交于点D ,且点A ,点D 在BC 异侧,连结AD ,量一量线段AD 的长,约为A ．2.5cmB ．3.0cmC ．3.5cmD ．4.0cm答案B解析首先根据题意画出图形,由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,可A B C知四边形ABCD是平行四边形,再根据平行四边形的性质对角线相等,得出AD＝BC．最后利用刻度尺进行测量即可．方法指导此题主要考查了复杂作图以及平行四边形的判定和性质,关键是正确理解题意,画出图形．3.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的三角形保留作图痕迹,不写作法考点作图—相似变换．分析过点A作AD⊥BC于D,利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C,则可判断△ABD与△CAD相似．解答解：如图,AD为所作．4. 8分如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别是A4,3、B4,1,把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．1画出△A1B1C,直接写出点A1、B1的坐标；2求在旋转过程中,△ABC所扫过的面积．考点作图-旋转变换；扇形面积的计算．分析1根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置,然后顺次连接即可,根据A、B的坐标建立坐标系,据此写出点A1、B1的坐标；2利用勾股定理求出AC的长,根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积和,然后列式进行计算即可．解答解：1所求作△A1B1C如图所示：由A4,3、B4,1可建立如图所示坐标系,则点A1的坐标为﹣1,4,点B1的坐标为1,4；2∵AC===,∠ACA1=90°∴在旋转过程中,△ABC所扫过的面积为：S扇形CAA1+S△ABC=+×3×2=+3．5．8分如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中,给出了四边形ABCD的两条边AB与BC,且四边形ABCD是一个轴对称图形,其对称轴为直线AC．1试在图中标出点D,并画出该四边形的另两条边；2将四边形ABCD向下平移5个单位,画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．考点作图-平移变换．分析1画出点B关于直线AC的对称点D即可解决问题．2将四边形ABCD各个点向下平移5个单位即可得到四边形A′B′C′D′．解答解：1点D以及四边形ABCD另两条边如图所示．2得到的四边形A′B′C′D′如图所示．6．2016.山东省青岛市,4分已知：线段a及∠ACB．求作：⊙O,使⊙O在∠ACB的内部,CO=a,且⊙O与∠ACB的两边分别相切．考点作图—复杂作图．分析首先作出∠ACB的平分线CD,再截取CO=a得出圆心O,作OE⊥CA,由角平分线的性质和切线的判定作出圆即可．解答解：①作∠ACB的平分线CD,②在CD上截取CO=a,③作OE⊥CA于E,以O我圆心,OE长为半径作圆；如图所示：⊙O即为所求．7．如图,OA=2,以点A为圆心,1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C,过点A画OA的垂线,垂线与⊙A 的一个交点为B,连接BC1线段BC的长等于；2请在图中按下列要求逐一操作,并回答问题：①以点 A 为圆心,以线段BC 的长为半径画弧,与射线BA交于点D,使线段OD的长等于②连OD,在OD上画出点P,使OP得长等于,请写出画法,并说明理由．考点作图—复杂作图．分析1由圆的半径为1,可得出AB=AC=1,结合勾股定理即可得出结论；2①结合勾股定理求出AD的长度,从而找出点D的位置,根据画图的步骤,完成图形即可；②根据线段的三等分点的画法,结合OA=2AC,即可得出结论．解答解：1在Rt△BAC中,AB=AC=1,∠BAC=90°,∴BC==．故答案为：．2①在Rt△OAD中,OA=2,OD=,∠OAD=90°,∴AD===BC．∴以点A为圆心,以线段BC的长为半径画弧,与射线BA交于点D,使线段OD的长等于．依此画出图形,如图1所示．故答案为：A；BC．②∵OD=,OP=,OC=OA+AC=3,OA=2,∴．故作法如下：连接CD,过点A作AP∥CD交OD于点P,P点即是所要找的点．依此画出图形,如图2所示．达标检测答案一、选择题1．如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为A．65° B．60° C．55° D．45°考点线段垂直平分线的性质．分析根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC,根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC,求得∠DAC=30°,根据三角形的内角和得到∠BAC=95°,即可得到结论．解答解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线,则AD=DC,故∠C=∠DAC,∵∠C=30°,∴∠DAC=30°,∵∠B=55°,∴∠BAC=95°,∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°,故选A．点评此题主要考查了线段垂直平分线的性质,三角形的内角和,正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．2.如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心,CA为半径画弧错误!；步骤2：以B为圆心,BA为半径画弧错误!,将弧错误!于点D；步骤3：连接AD,交BC延长线于点H.下列叙述正确的是第10题图A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD=BC·AH D．AB=ADC．S△ABC答案：A解析：AD相当于一个弦,BH、CH⊥AD；B、D两项不一定；C项面积应除以2;知识点：尺规作图二、填空题3.如图,已知线段AB,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C、D两点,作直线CD交AB于点E,在直线CD上任取一点F,连接FA,FB．若FA=5,则FB= 5 ．考点作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．分析根据线段垂直平分线的作法可知直线CD是线段AB的垂直平分线,利用线段垂直平分线性质即可解决问题．解答解：由题意直线CD是线段AB的垂直平分线,∵点F在直线CD上,∴FA=FB,∵FA=5,∴FB=5．故答案为5．4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的是 ;①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．解析①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°,则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形,由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．解答解：①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线．故①正确；②如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线,∴∠1=∠2=∠CAB=30°,∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°．故②正确；③∵∠1=∠B=30°,∴AD=BD,∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④∵如图,在直角△ACD中,∠2=30°,∴CD=AD,∴BC=CD+BD=AD+AD=AD,S△DAC=ACCD=ACAD．∴S△ABC=ACBC=ACAD=ACAD,∴S△DAC：S△ABC=ACAD： ACAD=1：3．故④正确．综上所述,正确的结论是：①②③④．点评本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时,需要熟悉等腰三角形的判定与性质．三、解答题5.12分图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站,最终到达终点站D站的格点站路线图．8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成1求1路车从A站到D站所走的路程精确到；2在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复考点作图—应用与设计作图；勾股定理的应用．分析1先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长,再相加求得所走的路程的近似值；2根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可．解答解：1根据图1可得：,,CD=3∴A站到B站的路程=≈；2从A站到D站的路线图如下：6.7分图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上．1如图1,点P在小正方形的顶点上,在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q,连接AQ、QC、CP、PA,并直接写出四边形AQCP的周长；2在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD,且点B和点D均在小正方形的顶点上．考点作图-轴对称变换．分析1直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；2直接利用网格结合矩形的性质以及勾股定理得出答案．解答解：1如图1所示：四边形AQCP即为所求,它的周长为：4×=4；2如图2所示：四边形ABCD即为所求．7.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的三角形保留作图痕迹,不写作法考点作图—相似变换．分析过点A作AD⊥BC于D,利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C,则可判断△ABD与△CAD相似．解答解：如图,AD为所作．8.如图,已知BD是矩形ABCD的对角线．1用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD、BC于E、F保留作图痕迹,不写作法和证明．2连结BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形请说明理由．考点矩形的性质；作图—基本作图．分析1分别以B、D为圆心,比BD的一半长为半径画弧,交于两点,确定出垂直平分线即可；2连接BE,DF,四边形BEDF为菱形,理由为：由EF垂直平分BD,得到BE=DE,∠DEF=∠BEF,再由AD与BC平行,得到一对内错角相等,等量代换及等角对等边得到BE=BF,再由BF=DF,等量代换得到四条边相等,即可得证．解答解：1如图所示,EF为所求直线；2四边形BEDF为菱形,理由为：证明：∵EF垂直平分BD,∴BE=DE,∠DEF=∠BEF,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE,∴∠BEF=∠BFE,∴BE=BF,∵BF=DF,∴BE=ED=DF=BF,∴四边形BEDF为菱形．9．如图,方格中,每个小正方形的边长都是单位1,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．1画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；2画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；3求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积．考点作图-旋转变换；作图-平移变换．分析1将△ABC向右平移2个单位即可得到△A1B1C1．2将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°即可得到的△A2B2C2．3B2C2与A1B1相交于点E,B2A2与A1B1相交于点F,如图,求出直线A1B1,B2C2,A2B2,列出方程组求出点E、F 坐标即可解决问题．解答解：1如图,△A1B1C1为所作；2如图,△A2B2C2为所作；3B2C2与A1B1相交于点E,B2A2与A1B1相交于点F,如图,∵B20,1,C22,3,B11,0,A12,5,A25,0,∴直线A1B1为y=5x﹣5,直线B2C2为y=x+1,直线A2B2为y=﹣x+1,由解得,∴点E,,由解得,∴点F,．∴S△BEF=1509676．∴△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积为．。

最新北师大版中考数学专题复习：尺规作图(真题)3

尺规作图一．选择题（共20小题）1．如图，锐角三角形ABC中，O点为AB中点．甲、乙两人想在AC上找一点P，使得△ABP的外心为O，其作法分别如下：（甲）作过B且与AC垂直的直线，交AC于P点，则P即为所求．（乙）以O为圆心，OA长为半径画弧，交AC于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的做法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确2．通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（）A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若AB＝3，AC ＝4，则CD＝（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（）A．B．3C．4D．55．观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°7．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝6，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（）A．4B．2C．6D．88．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，按以下步骤作图：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点（点M在AB的上方）；（2）作直线MN交AB于点O，交BC于点D；（3）用圆规在射线OM上截取OE＝OD．连接AD，AE，BE，过点O作OF⊥AC．垂足为F，交AD于点G．下列结论：①CD＝2GF；②BD2﹣CD2＝AC2；③S△BOE＝2S△AOG；④若AC＝6，OF+OA＝9，则四边形ADBE的周长为25．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠B＝60°，AD＝8，分别以B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，直线PQ与BA延长线交于点E，连接CE，则△BCE 的内切圆半径是（）A．4B．4C．2D．211．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．C．D．12．如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC＝6，则BD的长为（）A．2B．3C．4D．513．已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O、C为圆心，大于OC 的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线EF，分别交OA于D，交OB于G．那么△ODG一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形14．如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；第三步：画射线BP．射线BP即为所求．下列正确的是（）A．a，b均无限制B．a＞0，b＞DE的长C．a有最小限制，b无限制D．a≥0，b＜DE的长15．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG ＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（）A．无法确定B．C．1D．217．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为（）A．2B．3C．4D．618．过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）A．B．C．D．19．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为（）A．2B．10C．4D．5二．填空题（共20小题）21．如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下：①作出半径OF的中点H．②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝．（结果保留根号）22．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝3，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为．23．如图，已知平行四边形ABCD，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAB的内部相交于点G，画射线AG交DC于H．若∠B＝140°，则∠DHA＝．24．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝45°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为．25．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为．26．如图，线段AB＝10cm，用尺规作图法按如下步骤作图．（1）过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC＝AB；（2）连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E；（3）以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点D．即点D为线段AB的黄金分割点．则线段AD的长度约为cm．（结果保留两位小数，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）27．如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝度．28．如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝4，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为．29．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，sin C＝，以点A为圆心，AB长为半径作弧交AC于点M，分别以点B，M为圆心，以大于BM长为半径作弧，两弧相交于点N，射线AN与BC相交于点D，则AD的长为．30．如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为．31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α＝°．32．已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：．（只需写一条）33．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8．分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E和F．作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN＝．34．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，且AB＝．（Ⅰ）线段AC的长等于．（Ⅱ）以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP+PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）．35．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．②分别以点D、E为圆心，大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．③作射线BF交AC于点G．如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为．36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为．37．如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝．38．如图，BD是▱ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，则▱ABCD的边BC上的高为．39．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则＝．40．如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为．参考答案一．选择题（共20小题）1．A；2．B；3．D；4．D；5．B；6．C；7．A；8．B；9．D；10．A；11．B；12．B；13．C；14．B；15．D；16．C；17．C；18．D；19．D；20．D；二．填空题（共20小题）21．10﹣2；22．9；23．20°；24．2；25．12；26．6.18；27．32；28．13；29．；30．45°；31．55；32．线段的垂直平分线的性质；33．2；34．；取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B′，连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B′P并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求；35．27；36．5；37．；38．；39．；40．3；。

专题32 尺规作图经典练习题

专题32 尺规作图问题专题知识回顾1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。

2.尺规作图的五种基本情况：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知线段的垂直平分线；（4）作已知角的角平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。

3.对尺规作图题解法：写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。

4.中考要求：（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.专题典型题考法及解析【例题1】（2019•湖南长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°【例题2】（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．【例题3】(2019年贵州安顺模拟题)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）【例题4】（2019•山东青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠α，直线l及l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．一一、选择题1.（2019•广西北部湾）如图,在△ABC中，AC=BC, ∠A=400，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A．400B．450 C．500D．6002.（2019·贵州贵阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（）A．2B．3C．D．3.（2019•河北省）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A．B．C．D．4．（2019•山东潍坊）如图，已知∠AO B．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接C D．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中错误的是（）专题典型训练题A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MDC．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED＝CD•OE 5．(2019•湖北宜昌)通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是( )A．B．C．D．6.（经典题）作一条线段等于已知线段。

2022年中考数学三轮复习：尺规作图(附答案解析)

2022年中考数学三轮复习：尺规作图一．选择题（共10小题）1．（2021•通山县模拟）如图，在直径为AB的半圆O中，C为半圆上一点，连接AC，BC，利用尺规在AB，AC上分别截取AD，AE，使AE＝AD；分别以D，E为圆心、以大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F；作射线AF交BC于点G．若AC＝，AG ＝3，P为AB上一动点，则GP的最小值为（）A．2B．C．4D．无法确定2．（2021•兰州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，D．再分别以点E，D为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部交于点F，延长AF交BC于点G，若BG＝5，tan B＝，则AC＝（）A．B．C．8D．6 3．（2021•方城县三模）如图，点C在x轴上，OA＝OC，分别以点A，C为圆心、大于AC 的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线OE，交AC于点B，在射线OE上任取一点D，连接DC．若BO＝AC＝8，CD＝5，则点D的坐标为（）A．（，4）B．（，4）C．（，4）D．（）4．（2021•思明区校级二模）如图，已知∠AOB，按以下步骤作图：①在射线OA上取一点，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠CODB．点M与点D关于直线OA对称C．若∠AOB＝20°，则D．MN∥CD5．（2021•天宁区校级二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AC于点E，交BC 于点F，若＝，则tan∠ACB的值为（）A．B．C．D．6．（2021•岳麓区校级三模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN，分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE，DF．若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是（）A．2B．4C．6D．8 7．（2021•荆州模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝．BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AB．AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M．N作直线MN．交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA的长为半径作圆．则⊙O的半径为（）A．2B．10C．4D．5 8．（2021•河南模拟）如图，在▱ABCD中，以A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD于点F，连接BF，再分别以B，F为圆心，以大于BF的长为半径作弧，两弧交于点G，连接AG并延长，交BC于点E，交BF于点M，则∠AMB的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．120°9．（2021•定海区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，交AC于点G；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，若以点G为圆心，GC长为半径作两段弧，一段弧过点C，而另一段弧恰好经过点D，则此时∠C度数为（）A．20°B．30°C．36°D．40°10．（2021•三门峡一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，A（﹣2，0），B（0，2），按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线AG，交BC于点E．则点E的坐标为（）A．（1，1）B．（1，4）C．（2，4）D．（2，2）二．填空题（共5小题）11．（2021•靖西市模拟）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝45°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为．12．（2021•荆州模拟）如图，已知直线AB及其外一点P，求作经过点P且与直线AB平行的直线．作法：（1）连接BP并延长至C，使PC＝PB，连接AC；（2）作线段AC的中垂线EF，与AC交于点D，则直线PD为所求．该作法用到的主要数学依据有．13．（2021•兴庆区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以点M，N 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③连接AP，交BC于点D．若CD＝3，BD＝5，则AC的长为．14．（2021•梁园区二模）如图，在▱ABCD中，以A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD 于点F，连接BF，再分别以B、F为圆心，以大于BF的长为半径作弧，两弧交于点G，连接AG并延长，交BC于点E，交BF于点M，则∠AMB的度数为．15．（2021•昆明模拟）如图，已知△ABC，AB＝BC＝1，∠B＝36°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N，分别以M、N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点P，连接AP交BC于点E，则BE的长是．三．解答题（共5小题）16．（2021•南关区四模）如图是7×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）（1）边AC的长度为；（2）作△ABC的角平分线AD；（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格中作出△PBQ．17．（2021•思明区校级二模）如图，已知△ABC．（1）请用不带刻度的直尺和圆规在AC边上作一点D，使△ABD的周长等于AB+AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若AB＝BC＝3，CD＝．求证：AB⊥BD．18．（2021•思明区校级二模）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，点O为边AB中点，且AB ＝10，AC＜BC．（1）请用尺规作图在BC上作一点D，使得BD＝AC+CD；（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）的条件下，连接OD，若OD＝，求Rt△ABC的面积．19．（2021•福建模拟）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AC为对角线，P是边BC延长线上一点，连接AP．（1）在线段AP上求作点M，使得∠AMC＝120°（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；（2）在（1）的作图条件下，直线AB交直线CM与点Q，求证：P，D，Q三点共线．20．（2021•武汉模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在所给的网格中完成下列画（画图过程用虚线，画图结果用实线）：（1）△ABC的周长为；（2）如图1，点D，P分别是AB与竖格和横格线的交点、画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；（3）在图1中画△ABC的角平分线BE；（4）将边AB绕点B逆时针旋转∠ABC的度数得到线段BF，在图2中画出点F．2022年中考数学三轮复习：尺规作图参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021•通山县模拟）如图，在直径为AB的半圆O中，C为半圆上一点，连接AC，BC，利用尺规在AB，AC上分别截取AD，AE，使AE＝AD；分别以D，E为圆心、以大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F；作射线AF交BC于点G．若AC＝，AG ＝3，P为AB上一动点，则GP的最小值为（）A．2B．C．4D．无法确定【考点】作图—复杂作图；勾股定理．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，再根据圆周角定理得到∠C＝90°，则利用勾股定理可计算出CG＝2，接着利用角平分线的性质得到GH＝GC＝2，然后根据垂线段最短求解．【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，∵AB为直径，∴∠C＝90°，在Rt△ACG中，CG＝＝＝2，∵AG平分∠BAC，GC⊥AC，GH⊥AB，∴GH＝GC＝2，∵P为AB上一动点，∴GP的最小值为2．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质、圆周角定理和垂线段最短．2．（2021•兰州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，D．再分别以点E，D为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部交于点F，延长AF交BC于点G，若BG＝5，tan B＝，则AC＝（）A．B．C．8D．6【考点】角平分线的性质；作图—基本作图；解直角三角形．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】过G点作GH⊥AB于H，如图，由作法得AG平分∠BAC，根据角平分线的性质得到GH＝GC，利用正切的定义得到tan B＝＝，则可设GH＝3t，BH＝4t，所以BG＝5t＝5，解得t＝1，从而得到CG＝GH＝3，然后在Rt△ABC中利用正切的定义可求出AC的长．【解答】解：过G点作GH⊥AB于H，如图，由作法得AG平分∠BAC，而GH⊥AB，GC⊥AC，∴GH＝GC，在Rt△BGH中，∵tan B＝＝，∴设GH＝3t，BH＝4t，∴BG＝5t，即5t＝5，解得t＝1，∴CG＝GH＝3，∴BC＝BG+CG＝5+3＝8，在Rt△ABC中，∵tan B＝＝，∴AC＝BC＝×8＝6．故选：D．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了角平分线的性质和解直角三角形．3．（2021•方城县三模）如图，点C在x轴上，OA＝OC，分别以点A，C为圆心、大于AC 的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线OE，交AC于点B，在射线OE上任取一点D，连接DC．若BO＝AC＝8，CD＝5，则点D的坐标为（）A．（，4）B．（，4）C．（，4）D．（）【考点】作图—复杂作图．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】利用基本作图可判断OD平分∠AOC，则根据等腰三角形的性质得到OD⊥AC，AB＝CB＝4，再利用勾股定理计算出BD＝3，OC＝4，作DH⊥x轴于H，如图，证明△OBC∽△OHD，然后利用相似比计算出OH、DH，从而得到D点坐标．【解答】解：由作法得OD平分∠AOC，∵OA＝OC，∴OD⊥AC，AB＝CB＝AC＝×8＝4，在Rt△CBD中，BD＝＝＝3，在Rt△OBC中，OC＝＝＝4，作DH⊥x轴于H，如图，∵∠COB＝∠DOH，∠OBC＝∠OHD，∴△OBC∽△OHD，∴＝＝，即＝＝，∴OH＝，DH＝，∴D点坐标为（，）．故选：D．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．4．（2021•思明区校级二模）如图，已知∠AOB，按以下步骤作图：①在射线OA上取一点，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠CODB．点M与点D关于直线OA对称C．若∠AOB＝20°，则D．MN∥CD【考点】平行线的判定；作图—复杂作图；轴对称的性质．【专题】作图题；几何直观．【分析】根据等弧所对圆周角相等可以判断A；根据平行线的判定可以判断D；根据CM ＝CD，OM＝OD，可得OA垂直平分MD，可以判断B；根据∠AOB＝∠AOM＝∠BON ＝20°，得∠MON＝60°，由OM＝ON，可得△OMN为等边三角形，进而可以判断C．【解答】解：由作法得CM＝CD，∴＝，∴∠COM＝∠COD，所以A选项的结论正确；连接MD，∵＝，∴∠DMN＝∠MDC，∴CD∥MN，所以D选项的结论正确；∵CM＝CD，OM＝OD，∴OA垂直平分MD，∴点M与点D关于OA对称，所以B选项的结论正确；∵∠AOB＝∠AOM＝∠BON＝20°，∴∠MON＝60°，∵OM＝ON，∴△OMN为等边三角形，∴OM＝MN，所以C选项的结论错误．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理．5．（2021•天宁区校级二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AC于点E，交BC 于点F，若＝，则tan∠ACB的值为（）A．B．C．D．【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图；解直角三角形．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】连接AF，设AF＝CF＝5k，BF＝3k，利用勾股定理求出AB，可得结论．【解答】解：连接AF．由作图可知，MN垂直平分线段AC，∴F A＝FC，∵BF：FC＝3：5，∴可以假设BF＝3k，CF＝AF＝5k，∵∠B＝90°，∴AB＝＝＝4k，∴BC＝BF+CF＝8k，∴tan∠ACB＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．6．（2021•岳麓区校级三模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN，分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE，DF．若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是（）A．2B．4C．6D．8【考点】线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图．【专题】作图题；推理能力；应用意识．【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE＝DE，AF＝DF，求出DE ∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE＝DE＝DF＝AF，根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE＝DE，AF＝DF∴∠EAD＝∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠EDA＝∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四边形AEDF是菱形，∴AE＝DE＝DF＝AF，∵AF＝4，∴AE＝DE＝DF＝AF＝4，∵DE∥AC，∴＝，∵BD＝6，AE＝4，CD＝3，∴＝，∴BE＝8，故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．7．（2021•荆州模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝．BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AB．AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M．N作直线MN．交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA的长为半径作圆．则⊙O的半径为（）A．2B．10C．4D．5【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质．【专题】作图题；几何直观；运算能力；推理能力．【分析】设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，设OA交BC于T．半径为r，∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，∴AO⊥BC，BT＝TC＝BC＝4，∴AT＝＝＝2，设圆的半径为r，在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，故选：D．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．（2021•河南模拟）如图，在▱ABCD中，以A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD于点F，连接BF，再分别以B，F为圆心，以大于BF的长为半径作弧，两弧交于点G，连接AG并延长，交BC于点E，交BF于点M，则∠AMB的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．120°【考点】平行四边形的性质；作图—复杂作图．【专题】作图题；几何直观．【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．【解答】解：由作图可知，AF＝AB，AM平分∠BAD，∴AM⊥BF，∴∠AMB＝90°，故选：B．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．（2021•定海区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，交AC于点G；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，若以点G为圆心，GC长为半径作两段弧，一段弧过点C，而另一段弧恰好经过点D，则此时∠C度数为（）A．20°B．30°C．36°D．40°【考点】作图—复杂作图．【专题】作图题；几何直观．【分析】连接AD，根据作图过程可得，AE是BD的垂直平分线，DG＝CG，AB＝AD＝AG，设∠C＝x，则∠CDG＝x，∠AGD＝2x，根据∠ADB+∠ADG+∠GDC＝2x+2x+x＝180°，求出x的值即可．【解答】解：如图，连接AD，根据作图过程可知：AE是BD的垂直平分线，DG＝CG，AB＝AD＝AG，设∠C＝x，则∠CDG＝x，∠AGD＝2x，∴∠ADG＝∠AGD＝2x，∵∠B＝2∠C，∴∠B＝2x，∵AD＝AB，∴∠ADB＝∠B＝2x，∴∠ADB+∠ADG+∠GDC＝2x+2x+x＝180°，∴x＝36°，∴∠C＝36°，故选：C．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是理解作图过程，利用线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．10．（2021•三门峡一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，A（﹣2，0），B（0，2），按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线AG，交BC于点E．则点E的坐标为（）A．（1，1）B．（1，4）C．（2，4）D．（2，2）【考点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；作图—复杂作图．【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EH⊥AC于点H，由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，则EH＝EB，AB＝AH，证明△CEH是等腰直角三角形，进而求解．【解答】解：过点E作EH⊥AC于点H，由题目作图知，AE是∠CAB的平分线，则EH＝EB，∴AB＝AH，∵△ABC为等腰直角三角形，故∠ACB＝45°，则△EHC为等腰直角三角形，故EH＝HC，∵A（﹣2，0），B（0，2），∴OA＝OB＝OC＝2，∴AB＝2，∴AH＝2，∴OH＝OC﹣CH＝2﹣CH，∴AH＝OA+OH＝4﹣CH，∴4﹣CH＝2，∴CH＝4﹣2，∴OH＝2﹣CH＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2．∴点E的坐标为（2，4）．故选：C．【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，坐标与图形性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．解决本题的关键是掌握角平分线的作法．二．填空题（共5小题）11．（2021•靖西市模拟）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝45°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；菱形的性质．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】连接BE，如图，利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则EA＝EB，所以∠EBA＝∠A＝45°，再根据菱形的性质得到AB＝BC＝2，AD∥BC，所以AE＝BE＝，然后利用平行线的性质得到∠EBC＝∠AEB＝90°，最后利用勾股定理可计算出CE的长．【解答】解：连接BE，如图，由作法得MN垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝45°，∴∠AEB＝90°，∵菱形ABCD的边长为2，∴AB＝BC＝2，AD∥BC，∴AE＝BE＝AB＝，∵AE∥BC，∴∠EBC＝∠AEB＝90°，∴CE＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．12．（2021•荆州模拟）如图，已知直线AB及其外一点P，求作经过点P且与直线AB平行的直线．作法：（1）连接BP并延长至C，使PC＝PB，连接AC；（2）作线段AC的中垂线EF，与AC交于点D，则直线PD为所求．该作法用到的主要数学依据有三角形中位线平行于第三边．【考点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；作图—复杂作图．【专题】作图题；几何直观．【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可．【解答】解：由作图可知：BP＝PC，AD＝CD，∴PD∥AB（三角形的中位线平行于第三边），故答案为：三角形的中位线平行于第三边．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13．（2021•兴庆区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以点M，N 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③连接AP，交BC于点D．若CD＝3，BD＝5，则AC的长为6．【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．【专题】作图题；几何直观．【分析】作DE⊥AB，由作图知AP平分∠BAC，依据∠C＝∠AED＝90°知CD＝DE＝3，结合BD＝5知BE＝4，再证Rt△ACD≌Rt△AED得AC＝AE，设AC＝AE＝x，由AC2+BC2＝AB2得x2+82＝（x+4）2，解之可得答案．【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，由作图知AP平分∠BAC，∵∠C＝∠AED＝90°，∴CD＝DE＝3，∵BD＝5，∴BE＝4，∵AD＝AD，CD＝DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，设AC＝AE＝x，由AC2+BC2＝AB2得x2+82＝（x+4）2，解得：x＝6，即AC＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质、勾股定理等知识点．14．（2021•梁园区二模）如图，在▱ABCD中，以A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD 于点F，连接BF，再分别以B、F为圆心，以大于BF的长为半径作弧，两弧交于点G，连接AG并延长，交BC于点E，交BF于点M，则∠AMB的度数为90°．【考点】平行四边形的性质；作图—复杂作图．【专题】作图题；推理填空题；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．【分析】连接FE，首先证明四边形ABEF是菱形，根据菱形的性质即可得结论．【解答】解：如图，结论EF，由作图可知：AB＝AF，AE平分∠BAD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠F AE＝∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴AF＝BE，∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，∴∠AMB＝90°．故答案为：90°．【点评】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．（2021•昆明模拟）如图，已知△ABC，AB＝BC＝1，∠B＝36°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N，分别以M、N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点P，连接AP交BC于点E，则BE的长是．【考点】解一元二次方程﹣公式法；角平分线的性质；等腰三角形的性质；作图—基本作图；相似三角形的判定与性质．【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．【分析】根据作图过程可得AE平分∠BAC，根据AB＝BC＝1，∠B＝36°，可得BE＝AE＝AC，证明△BAC∽△AEC，对应边成比例解方程即可求出BE的长．【解答】解：∵AB＝BC＝1，∠B＝36°，∴∠BAC＝∠C＝72°，根据作图过程可知：AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝BAC＝36°，∴∠B＝∠BAE＝∠CAE，∴BE＝AE，∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝72°，∴∠AEC＝∠C，∴AE＝AC，∴BE＝AE＝AC，∴△BAC∽△AEC，∴＝，∴＝，解得BE＝（舍去），故答案为：．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2021•南关区四模）如图是7×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）（1）边AC的长度为5；（2）作△ABC的角平分线AD；（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格中作出△PBQ．【考点】勾股定理；作图—应用与设计作图；轴对称﹣最短路线问题．【专题】作图题；网格型；平移、旋转与对称；几何直观．【分析】（1）利用网格根据勾股定理即可求出边AC的长度；（2）根据网格即可作△ABC的角平分线AD；（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格中作出△PBQ．【解答】解：（1）根据勾股定理，得AC＝＝5．故答案为：5；（2）如图，AD即为所求；（2）如图，△PBQ即为所求．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．17．（2021•思明区校级二模）如图，已知△ABC．（1）请用不带刻度的直尺和圆规在AC边上作一点D，使△ABD的周长等于AB+AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若AB＝BC＝3，CD＝．求证：AB⊥BD．【考点】作图—复杂作图；勾股定理的逆定理．【专题】作图题；推理能力；应用意识．【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD即可；（2）证明△DBC∽△BAC，推出，可得，，再利用勾股定理的逆定理证明即可．【解答】（1）解：如图，点D为所作；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠A＝∠C，由（1）点D在BC的垂直平分线上，∴∠DBC＝∠C，∴∠DBC＝∠A，∵∠C＝∠C，∴△DBC∽△BAC，∴，∴BC2＝AC⋅DC，∴，∴，∵，AB＝3，∴AB2+BD2＝AD2，∴△ABD是直角三角形，∠ABD＝90°，∴AB⊥BD．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．18．（2021•思明区校级二模）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，点O为边AB中点，且AB ＝10，AC＜BC．（1）请用尺规作图在BC上作一点D，使得BD＝AC+CD；（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）的条件下，连接OD，若OD＝，求Rt△ABC的面积．【考点】作图—复杂作图；三角形的面积；直角三角形斜边上的中线．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】（1）在BC延长线上截取CE＝AC，然后作BE的垂直平分线交BC于点D，即可解决问题；（2）连接AE，OD，证明OD是△AEB的中位线，可得AE＝2OD＝6，根据等腰直角三角形可得AC＝6，利用勾股定理可得BC＝8，进而可以解决问题．【解答】解：（1）如图，点D即为所求；（2）如上图，连接AE，OD，∵OA＝OB，DB＝DE，OD＝，∴OD是△AEB的中位线，∴AE＝2OD＝6，∵∠ACE＝90°，AC＝CE，∴AC＝AE＝6，∵AB＝10，∴BC＝＝8，∴S△ABC＝6×8＝24．∴Rt△ABC的面积为24．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，三角形的面积，直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．19．（2021•福建模拟）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AC为对角线，P是边BC延长线上一点，连接AP．（1）在线段AP上求作点M，使得∠AMC＝120°（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；（2）在（1）的作图条件下，直线AB交直线CM与点Q，求证：P，D，Q三点共线．【考点】作图—复杂作图；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】作图题；证明题；矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．【分析】（1）记AP与CD交于点N，在AD上截取AR＝DN，连接CR交AP于点M，即可在线段AP上求作点M，使得∠AMC＝120°；（2）根据菱形的性质证明△CAQ∽△PCA，可得，由AC＝AD＝CD，所以，再由∠QAD＝∠DCP＝60°，证明△QAD∽△DCP，可得∠AQD＝∠CDP，进而可得∠QDP＝180°，即得Q，D，P三点共线．【解答】解：（1）如图，点M即为所求；（可以尺规作出△ABC的外接圆与AP的交点M；还可以记AP与CD交于点N，在AD 上截取AR＝DN，连接CR交AP于点M）．（2）证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°∴∠ACB＝60°，AC＝AD＝CD，∵∠AMC＝120°，∴∠3＝60°，∴∠1+∠2＝60°，又∠ACB＝60°，∴∠1+∠CP A＝60°，∴∠2＝∠CP A，∵AC为对角线，∴∠CAQ＝∠PCA＝120°，∴△CAQ∽△PCA，∴，∵AC＝AD＝CD，∴，∵∠QAD＝∠DCP＝60°，∴△QAD∽△DCP，∴∠AQD＝∠CDP，在△QAD中，∠AQD+∠QDA＝120°，∴∠CDP+∠QDA＝120°，∴∠CDP+∠QDA+∠ADC＝180°，∴∠QDP＝180°，∴Q，D，P三点共线．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△QAD∽△DCP．20．（2021•武汉模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在所给的网格中完成下列画（画图过程用虚线，画图结果用实线）：（1）△ABC的周长为9+；（2）如图1，点D，P分别是AB与竖格和横格线的交点、画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；（3）在图1中画△ABC的角平分线BE；（4）将边AB绕点B逆时针旋转∠ABC的度数得到线段BF，在图2中画出点F．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；作图—应用与设计作图；旋转的性质．【专题】作图题；几何直观．【分析】（1）利用勾股定理求出AB，AC，可得结论．（2）连接CD交网格线于Q，点Q即为所求作．（3）取格点E，作射线BE即可．（4）取格点P，作射线CP，取格点M，N连接MN交CP于C′，作射线BC′，取格点Q，K，作直线QK交射线BC′于点F，点F即为所求作．【解答】解：（1）∵AB＝＝5，AC＝＝，BC＝4，∴△ABC的周长＝9+，故答案为：9+．（2）如图1中，点Q即为所求作．（3）如图2中，射线BE即为所求作．（4）如图2中，点F即为所求作．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。

专题三动手操作与尺规作图

专题三动手操作与尺规作图 (时间：40分钟分值：50分)一、选择题(每小题3分，共18分)1．(2013曲靖中考)如图，以∠AOB 的顶点O 为圆心，取适当长为半径画弧，交OA 于点C ，交OB 于点D ，再分别以点C 、D 为圆心，大于12CD 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点E ，过点E 作射线OE ，连接CD.则下列说法错误的是( D )A ．射线OE 是∠AOB 的平分线 B ．△COD 是等腰三角形C ．C 、D 两点关于OE 所在直线对称 D ．O 、E 两点关于CD 所在直线对称2．(2014曲靖中考)如图，分别以线段AC 的两个端点A 、C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于B 、D 两点，连接BD 、AB 、BC 、CD 、DA.以下结论：①BD 垂直平分AC ，②AC 平分∠BAD ，③AC ＝BD ，④四边形ABCD 是中心对称图形．其中正确的有( C )A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④3．(2015深圳中考)如图，已知△ABC ，AB<BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA ＋PC ＝BC ，则下列选项正确的是( D ),A ) ,B ),C ) ,D )4．(2015西山区实验中学模拟)数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l 和l 外一点P ，用直尺和圆规作直线PQ ，使PQ ⊥l 于点Q.”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是( A ),A ) ,B ),C ) ,D )5．(2015衢州中考)数学课上，老师让学生尺规作图画Rt △ABC ，使其斜边AB ＝c ，一条直角边BC ＝a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是( B )A．勾股定理B．直径所对的圆周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圆周角所对的弦是直径6．(2015曲靖一中模拟)以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是(C)A．如图1，展开后，测得∠1＝∠2B．如图2，展开后，测得∠1＝∠2，且∠3＝∠4C．如图3，测得∠1＝∠2D．如图4，展开后，再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA＝OB，OC＝OD二、填空题(每小题3分，共6分)7．(2015北京中考)阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB.小芸的作法如下：如图，(1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；(2)作直线CD老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是__到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两个点确定一条直线__．8．(2015曲靖中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E，若DE＝a，则△ABC的周长用含a的代数式表示为三、解答题(共26分)9．(6分)(2015丽水中考)如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．(1)用直尺和圆规，作出点D的位置(不写作法，保留作图痕迹)；(2)连接AD ，若∠B ＝37°，求∠CAD 的度数．解：(1)点D 的位置如图所示(D 为AB 中垂线与BC 的交点)；(2)∵在Rt △ABC 中，∠B ＝37°，∴∠CAB ＝53°.又∵AD ＝BD ，∴∠BAD ＝∠B ＝37°.∴∠CAD ＝53°－37°＝16°.10．(6分)(2015兰州中考)如图，在图中求作⊙P ，使⊙P 满足以线段MN 为弦，且圆心P 到∠AOB 两边的距离相等(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)．解：⊙P 为所求作的圆．11．(7分)(2015济宁中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠DAC 是△ABC 的一个外角．实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)． (1)作∠DAC 的平分线AM ；(2)作线段AC 的垂直平分线，与AM 交于点F ，与BC 边交于点E ，连接AE 、CF. 解：(1)(2)作图略猜想并证明：判断四边形AECF 的形状并加以证明．猜想：四边形AECF 是菱形，证明：∵AB ＝AC ，AM 平分∠CAD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠CAD ＝2∠CAM ，∵∠CAD 是△ABC 的外角，∴∠CAD ＝∠B ＋∠ACB ，∴∠CAD ＝2∠ACB ，∴∠CAM ＝∠ACB ，∴AF ∥CE ，∵EF 垂直平分AC ，∴OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COE ＝90°，∴△AOF ≌△COE(SAS )，∴AF ＝CE ，在四边形AECF 中，AF ∥CE ，AF ＝CE ，∴四边形AECF 是平行四边形，又∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．12．(7分)(2015麒麟三中模拟)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB ︵.(1)用直尺和圆规作出AB ︵所在圆的圆心O ；(要求保留作图痕迹，不写作法)(2)若AB ︵的中点C 到弦AB 的距离为20m ，AB ＝80m ，求AB ︵所在圆的半径．解：(1)作图如图所示；(2)连接OB ，OC ，OC 交AB 于D ，∵AB ＝80，C 为AB ︵的中点，∴OC ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝40，CD ＝20，设OB ＝r ，则OD ＝r －20，在Rt △OBD 中，OB 2＝OD 2＋BD 2，∴r 2＝(r －20)2＋402，解得：r＝50，∴AB ︵所在圆的半径是50m .。

中考数学作图——尺规作图

作图专题一、尺规作图1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×.三．有关线的尺规作图1.作一条线段等于已知线段作法：作射线AP；在射线AP 上截取AB=a .则线段AB 就是所求作的图形.2.作一个角等于已知角作法：①作射线OB.②以点O 为圆心，以任意长为半径作弧，交OA 于E，交OB 于D.③以点C 为圆心，以OD 长为半径作弧，交OF 于N.④以点N 为圆心，以DE 长为半径作弧，交前弧于M.⑤经过点M 作射线OE，∠ECF 就是所求的角.3.作已知线段的垂直平分线.作法：①以点M 为圆心，以大于MN 一半的长为半径画弧；②以点N 为圆心，以同样的长为半径画弧，两弧的交点分别记为P、Q，连结PQ，则PQ 是线段AB 的垂直平分线．4.作已知角的平分线作法：①在OA 和OB 上，分别截取OD、OE，使OD=OE.②分别以D、E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C.③作射线OC.④OC 就是所求的射线.5.经过一点作已知直线的垂线（1）经过已知直线上的一点已知:直线AB 和AB 上一点C，求作:AB 的垂线,使它经过点C.作法：①以点C 为圆心，任一线段的长为半径画弧，交直线l 于点A、B；②以点A 、B 为圆心,以大于CB 长为半径在直线一侧画弧，两弧交于点D；③经过点C、D 作直线CD．直线CD 即为所求．（2）经过已知直线外一点作这条直线的垂线已知:直线l 和l 外一点C求作直线l 的垂线,使它经过点C.作法:①任取一点M，使点M 和点C 在直线l 的两侧；②以C 点为圆心，以CM 长为半径画弧，交于A、B 两点；③分别以A、B 两点为圆心，以大于1AB长为半径画弧，两弧相交于D 点;2④过C、D 两点作直线CD.直线CD 就是所求作的垂线.四．有关三角形的尺规作图1. 三角形的尺规作图（1）已知三边作三角形已知三条线段a、b、c，用尺规作出△ABC，使BC＝a，AC＝b、AB＝c.作法：①作线段BC＝a；②以点C 为圆心，以b 为半径画弧，再以B 为圆心，以c 为半径画弧，两弧相交于点A；③连接AC 和AB，则△ABC 即为所求作的三角形，如图所示．（2）已知两边及其夹角作三角形已知∠α和线段m，n.求作△ABC，使∠B＝∠α，BA＝n，BC＝m.作法：①作∠MBN＝α；②在射线BN，BM 上分别截取BC＝m，BA＝n；③连接AC，则△ABC 就是所求作的三角形．（3）已知两角及其夹边作三角形已知∠α，∠β，线段c.求作△ABC，使得∠ABC＝∠α，∠ACB＝∠β，BC＝c.作法：①作线段BC＝c；②在BC 的同旁，作∠DBC＝∠α，作∠ECB＝∠β，DB 与EC 交于点A.则△ABC 所求作的三角形．五、典型例题归纳1.作线段，作角（1）作平行例：如图（1），已知直线AB及直线AB外一点C，过点C作CD∥AB（写出作法，画出图形）．分析根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD=∠EFB即可．作法如图（2）．图（1）图（2）（1）过点C作直线EF，交AB于点F；（2）以点F为圆心，以任意长为半径作弧，交FB于点P，交EF于点Q；（3）以点C为圆心，以FP为半径作弧，交CE于M点；（4）以点M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作直线CD，CD就是所求的直线．说明作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．（2）作几等分点例：正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．分析这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC分成面积相等的三个三角形，且都是从A点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC边的三等分点即可．作法如下图，找三等分点的依据是平行线等分线段定理．（3）作全等例：如下图，△ABC 中，a =5cm ，b =3cm ，c =3.5cm ，∠B =︒36，∠C =︒44，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC 全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．分析本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△ABC 全等的各种情况，依据是SSS 、SAS 、AAS 、ASA ．2.垂直平分线（1）过线段中点（2）过点作垂直例：如下图，已知钝角△ABC ，∠B 是钝角．求作：（1）BC 边上的高；（2）BC 边上的中线（写出作法，画出图形）．分析（1）作BC 边上的高，就是过已知点A 作BC 边所在直线的垂线；（2）作BC 边上的中线，要先确定出BC 边的中点，即作出BC 边的垂直平分线．作法如下图（1）①在直线CB 外取一点P ，使A 、P 在直线CB 的两旁；②以点A 为圆心，AP 为半径画弧，交直线CB 于G 、H 两点； ③分别以G 、H 为圆心，以大于21GH 的长为半径画弧，两弧交于E 点； ④作射线AE ，交直线CB 于D 点，则线段AD 就是所要求作的△ABC 中BC 边上的高．（2）①分别以B 、C 为圆心，以大于21BC 的长为半径画弧，两弧分别交于M 、N 两点； ②作直线MN ，交BC 于点F ；③连结AF ，则线段AF 就是所要求作的△ABC 中边BC 上的中线．说明在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．（3）作一点到另外两点距离相等例：如图（1）所示，在图中作出点C ，使得C 是∠MON 平分线上的点，且AC =OC ．图（1）图（2）分析由题意知，点C 不仅要在∠MON 的平分线上，且点C 到O 、A 两点的距离要相等，所以点C 应是∠MON 的平分线与线段OA 的垂直平分线的交点．作法如图（2）所示（1）作∠MON 的平分线OP ；（2）作线段OA 的垂直平分线EF ，交OP 于点C ，则点C 就是所要求作的点．说明①根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等． ②两条直线交于一点．（4）作三角形的外接圆3.角平分线（1）作角的平分线例：已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线OC ．图（1）图（2）作法如图（2）（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点；（2）分别以D 、E 为圆心，以大于21DE 的长为半径作弧，两弧交于C 点；（3）作射线OC ，则OC 为∠AOB 的平分线．（2）作一个点到角两边的距离相等例：如图，已知△ABC ，在AB 边上找一点P ，使点P 到AC 、BC 两边的距离相等．（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）解：作∠ACB 的平分线CD 交AB 于P ，点P 即为所求．（3）作三角形的内切圆4.圆（1）圆内接正三角形（2）圆内接正方形（3）圆内接正六边形（4）圆内接正八边形5.位似问题如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2，7)，B (6，8)，C (8，2)，请你分别完成下面的作图并标出所有顶点的坐标。

尺规作图专题

1【解析】
探索10：如图，在一组平行线 1、 2两侧各有两点、，在 1、 2间找一条线段MN,使 ⊥ 1并且使得AM+MN+NB之和最短．
2【解析】
（1）问题描述
已知：直线MN外一点P
求作：直线a，使得点P在直线a上，且垂直于直线MN
（2）作法提要
（3）基本原理
5.尺规作图5-------过直线外一点做已知直线的平行线（选学）
（1）问题描述
已知：直线MN外一点P
求作：直线a，使得点P在直线a上，且平行于直线MN
（2）作法提要
（3）基本原理
专题2————与三角形有关的“心”
(1)原理分析
（2）应用举例
如图，三条公路两两相交，交点分别为A,B,C.现计划修建一个油库，要求到三条公路的居理想等，请你说出可以选择的地址
2到点的距离相等
(1)原理分析
（2）应用举例
如图，在公路l的同旁有两座城市A,B,为了方便市民就医治疗，政府决定在公路边建一所医院，这所医院应该建在什么位置，能使这两座城市到这个医院的距离相等？作图说明。
八年级上册尺规作图专题
专题1————尺规作图
1.尺规作图1------做线段等于已知线段
（1）问题描述
已知：线段AB
求作：线段CD,CD=AB
（2）作法提要
（3）基本原理
2.尺规作图2------做三角形与已知三角形全等
（1）问题描述
已知：三角形ABC
求作：三角形DEF,使得ABC DEF
（3）作法提要
使的周长最小.
【解析】
探索7：如图，点在锐角的内部，在边上求作一点，在边上求作一点，
使最小.
【解析】

尺规作图专题

尺规作图专题知识精讲1.尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

2.五种基本作图：①作一条线段于已知线段②作一个角等于已知角③作已知线段的垂直平分线④作已知角的角平分线⑤过一点作已知直线的垂线1.作一条线段等于已知线段；已知线段a，在AP上作一条以A点端点的线段AB。

作法步骤1：作射线AP；步骤2：在射线AP上截取AB=a，也即以A点为圆心，以a为半径画弧，交AP于点B则线段AB就是所作的图形。

2.作一个角等于已知角；已知：如图,∠AOB.求作：∠A’O’B’=∠AOB作法步骤1：作射线O’A’；步骤2：以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；步骤3：以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’步骤4：以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；步骤5：连接O’N’并延长到B’则∠A’O’B’就是所求作的角。

原理：△NOM≌△N’O’M’对应角相等3.作已知线段的垂直平分线的；已知线段AB ，求作线段AB 的垂直平分线作法步骤1.分别以A 、B 为圆心，以大于12AB 的统一长度为半径作弧步骤2.作过点D 、E 直线DE直线DE 就是所作的垂直平分线原理：利用的是三角形全等4.作已知角的角平分线；步骤1：在OA 射线和OB 射线上分别截取OD 、OE,使得OD=OE;步骤2：分别以D 、E 为圆心，以大于的统一长度为半径作弧两弧交于∠AOB 内一点C步骤3：作射线OC 。

OC 就是所作的角平分线原理：利用的是三角形△OEC ≌△ODC 对应角相等12DE5.过一点作已知直线的垂线；如图，过点C作直线AB的垂线。

作法步骤1：以C点为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N;步骤2：分别以M、N为圆心，大于12MN长度为半径画弧，两弧交于点D；步骤3:过点C、D作直线PQ;则直线PQ就是所做的直线。

尺规作图-历届中考真题汇总专题(含解析答案)(原卷版)

备战2015中考系列：数学2年中考1年模拟第四篇图形的性质专题25 尺规作图☞解读考点知识点名师点晴尺规作图尺规作图概念了解什么是尺规作图五种基本作图1.画一条线段等于已知线段会用尺规作图法完成五种基本作图，了解五种基本作图的理由，会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．2.画一个角等于已知角3.画线段的垂直平分线4.过已知点画已知直线的垂线5.画角平分线会利用基本作图画较简单的图形．1.画三角形会利用基本作图画三角形较简单的图形．2.画圆会利用基本作图画圆．☞2年中考[2014年题组]1. (2014·安顺)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是( )A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS2.（2014涉县一模）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：甲：①作OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点．②连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．乙：①以D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．②连接AB，BC，CA.△ABC即为所求作的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断( )A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确3.(2014·玉林)如图，BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑)，并直接写出旋转角度是．4. （2014•河南）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为5. （2014•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE，则：（1）∠ADE= ；（2）AE EC；（填“=”“＞”或“＜”）（3）当AB=3，AC=5时，△ABE的周长=[2013年题组]1. （2013年江苏南通3分）如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，所画痕迹MN是【】A．以点B为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DC为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DC为半径的弧2. （2013年山西省8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点。

中考数学必考考点专题32尺规作图含解析

专题32 尺规作图问题专题知识回顾1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。

2.尺规作图的五种基本情况：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知线段的垂直平分线；（4）作已知角的角平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。

3.对尺规作图题解法：写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。

4.中考要求：（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.专题典型题考法及解析【例题1】（2019•湖南长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，从而得出答案．在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°。

【例题2】（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．【答案】见解析。

初三专题尺规作图教学设计

初三专题尺规作图教学设计摘要：本文介绍了一份初三专题尺规作图的教学设计，旨在帮助初中生熟悉和掌握尺规作图的基本原理和方法。

通过多种形式的教学活动，培养学生的空间想象力、准确的手眼协调能力和创造性思维能力。

本教学设计将尺规作图与几何知识的实际应用相结合，帮助学生提高几何学习的兴趣和能力。

关键词：初三；尺规作图；教学设计；几何知识导言：尺规作图是几何学中非常重要的一部分，它是通过使用尺子和圆规来进行几何图形的绘制。

对于初中生而言，尺规作图既是一门技术，也是一门艺术。

通过掌握尺规作图的基本原理和方法，学生可以更好地理解和运用几何知识。

本文将介绍一份初三专题尺规作图的教学设计，帮助学生提高尺规作图的能力和兴趣。

一、教学目标1. 理解尺规作图的基本原理和方法。

2. 掌握通过尺规作图绘制各种几何图形的步骤。

3. 培养学生的空间想象力和准确的手眼协调能力。

4. 提高学生的创造性思维能力。

二、教学内容1. 尺规作图的基本概念和原理。

2. 通过尺规作图绘制不同几何图形的步骤和技巧。

3. 尺规作图的实际应用。

三、教学方法1. 针对尺规作图的基本概念和原理，通过讲解和示范来让学生理解。

2. 针对尺规作图的步骤和技巧，通过实际操作来提高学生的动手能力。

3. 针对尺规作图的实际应用，通过练习和实例来培养学生的解决问题的能力。

四、教学过程设计1. 导入：通过提问和引入实例来让学生了解尺规作图的重要性和应用场景。

2. 知识讲解：讲解尺规作图的基本原理和方法，重点介绍尺规和圆规的使用技巧。

3. 实践操作：以绘制正方形为例，让学生按照步骤和技巧进行实际操作。

教师可以给予指导和纠正。

4. 拓展练习：让学生通过绘制其他几何图形来巩固所学内容。

可以逐步增加难度和复杂程度。

5. 综合应用：通过实际问题的解决，引导学生将尺规作图与几何知识相结合。

例如，通过给定三个已知条件，让学生绘制符合要求的图形。

6. 总结归纳：带领学生回顾所学内容，总结尺规作图的基本原理和方法。

专题33 尺规作图练习(基础)-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学(解析版)

专题33 尺规作图练习（基础）1．已知四点A，B，C，D．根据下列语句，画出图形．（1）画直线AB；（2）连接AC，BD，相交于点O；（3）画射线AD，射线BC相交于点P．【分析】（1）画直线AB即可；（2）连接AC，BD，相交于点O即可；（3）画射线AD，射线BC相交于点P即可．【解答】解：（1）如图所示，直线AB即为所求；（2）如图所示，AC，BD即为所求；（3）如图所示，射线AD，射线BC即为所求．【点评】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．2．如图，已知A，B两点．（1）画线段AB；（2）延长线段AB到点C，使BC＝AB；（3）反向延长线段AB到点D，使DA＝AB；（4）点A，B分别是哪条线段的中点？若AB＝3cm，请求出线段CD的长．【分析】（1）、（2）、（3）根据线段的定义和几何语言画出对应的几何图形；（4）根据线段的中点的定义可判断点A是线段BD的中点；点B是线段AC的中点；然后利用CD＝3AB 求解．【解答】解：（1）如图，线段AB为所作；（2）如图，点C为所作；（3）如图，点D为所作；（4）点A是线段BD的中点；点B是线段AC的中点；由题意可知：DA＝AB＝BC＝3，所以CD＝DA+AB+BC＝3×3＝9（cm）．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．3．如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图：①画直线BC；②画射线AD交直线BC于点E；③连接BD，用圆规在线段BD的延长线上截取DF＝BD；④在图中确定点O，使点O到点A，B，C，D的距离之和最小．【友情提醒：截取用圆规，并保留痕迹；画完图要下结论】【分析】根据题中的几何语言画出对应的几何图形．【解答】解：①如图，直线BC为所作；②如图，射线AD和点E为所作；③如图，BD和DF为所作；④如图，点O为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．4．下面是小明某次作图的过程．已知：如图，线段a，b．作法：①画射线AP；②用圆规在射线AP上截取一点B，使线段AB＝a；③用圆规在射线AP上截取一点C，使线段BC＝b．根据小明的作图过程．（1）补全所有符合小明作图过程的图形：（保留作图痕迹）（2）线段AC＝a+b或a﹣b．（用含a，b的式子表示）【分析】（1）根据已知作法画图即可；（2）根据（1）所画图形即可得结论．【解答】解：（1）如图所示：线段AB和BC即为所求作的图形．（2）线段AC＝a+b或a﹣b．故答案为：a+b或a﹣b．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是准确画图．5．已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD．【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于D、B，然后连接AB、AD、CD、CB即可．【解答】解：如图，四边形ABCD为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．6．如图，在△ABC中．（1）画出BC边上的高AD和中线AE；（2）若∠B＝30°，∠BAC＝20°，求∠CAD的度数．【分析】（1）根据三角形的高和中线的定义画图；（2）先根据高的定义得到∠ADB＝90°，再根据三角形外角性质计算出∠ACD＝50°，然后利用互余计算∠CAD的度数．【解答】解：（1）如图，AD、AE为所作；（2）∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+20°＝50°，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣50°＝40°．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．如图，∠AOB内有一点P．（1）过点P画PC∥OB交OA于点C，画PD∥OA交OB于点D；（2）图中不添加其它的字母，写出所有与∠O相等的角．【分析】（1）利用题中几何语言画出对应的几何图形；（2）利用平行线的性质求解．【解答】解：（1）如图，PC、PD为所作；（2）∵PC∥OB，∴∠O＝∠PCA，∵PD∥OA，∴∠O＝∠PDB，∠PCA＝∠P，∴与∠O相等的角有∠P，∠PCA，∠PDB．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10．（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）①作∠BAC的平分线交BC于点D；②作边AC的中点E，连接DE；（2）在（1）所作的图中，若AD＝12，则DE的长为 6.5．【分析】（1）①利用基本作图作∠BAC的平分线；②作AC的垂直平分线得到AC的中点E；（2）根据等腰三角形的性质得AD⊥BC，BD＝CD=12BC＝5，再利用勾股定理计算出AC＝13，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．【解答】解：（1）①如图，AD为所作；②如图，DE为所作；（2）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD=12BC＝5，在Rt△ACD中，AC=√CD2+AD2=√52+122=13，∵E点为AC的中点，∴DE=12AC＝6.5．故答案为6.5．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．9．在△ABC中，AD是△ABC的高，∠B＝30°，∠C＝52°．（1）尺规作图：作△ABC的角平分线AE；（2）求∠DAE的大小．【分析】（1）利用基本作图作AE平分∠BAC；（2）先利用三角形内角和定理计算出∠BAC＝98°，再利用角平分线的定义得到∠EAC＝49°，接着计算出∠DAC，然后计算∠EAC﹣∠DAC即可．【解答】解：（1）如图，AE为所作；（2）∵∠B＝30°，∠C＝52°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝98°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=12∠BAC＝49°，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝38°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝49°﹣38°＝11°．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形内角和定理．10．如图，在7×5的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，如A（2，3）、B（2，﹣1）、C（5，3）都是格点，且BC＝5，请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）（1）①画△ABC的角平分线AE；②画△ABC的中线AD；（2）画△ABC的角平分线CF；（3）画到直线AB，BC，AC的距离相等的格点P，并写出点P坐标（3，2）和（﹣1，0）．【分析】（1）①利用网格特点作∠BAC的平分线得到AE；②利用网格特点确定BC的中点D，从而得到中线AD；（2）以C为顶点作腰为5的等腰三角形，通过作出底边上的中线得到角平分线CF；（3）CF和AE的交点为P点或射线CF与∠BAC的邻补角的平分线的交点为P点．【解答】解：（1）①如图，AE为所求；②如图，AD为所求；（2）如图，CF为所求；（3）如图，到直线AB，BC，AC的距离相等的格点P有两个，是P1 和P2，其坐标分别是P1 （3，2）和P2 （﹣1，0）．故答案为（3，2）和（﹣1，0）．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．11．如图，已知四边形ABCD．（1）在边BC上找一点P，使得AP+PD的值最小，在图①中画出点P；（2）请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M；②若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图③中作出点N．【分析】（1）作A点关于BC的对称点A′，连接DA′交BC于P点，利用P A＝P A′，则P A+PD＝DA′，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件；（2）①作BC的垂直平分线交AC于M；②BA和CD的延长线相交于O点，作∠BOC的平分线交AC于N．【解答】解：（1）如图①，点P为所作；（2）①如图①，点M为所作；②如图②，点N为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了最短路径问题．12．尺规作图：已知∠AOB和C，D两点，请在图中用尺规作图找出一点E，使得点E到OA，OB的距离相等，而且E点到C，D的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】根据点E到OA，OB的距离相等，而且E点到C，D的距离也相等，所以作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线，两条线相交于点E即可．【解答】解：如图，点E即为所求．因为点E到OA，OB的距离相等，而且E点到C，D的距离也相等，所以作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线，两条线相交于点E．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．13．在△ABC中，AB＝AC．（1）如图①，点A在以BC为直径的半圆外，AB、AC分别与半圆交于点D、E．求证BD＝EC；（2）如图②，点A在以BC为直径的半圆内，请用无刻度的直尺在半圆上画出一点D，使得△DBC是等腰直角三角形（保留画图痕迹，不写画法）．【分析】（1）连接BE、CD，如图①，利用等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据圆周角定理得到∠BDC＝∠CEB＝90°，则利用等角的余角相等得到∠BCD＝∠CBE，从而得到结论；（2）如图②，分别延长BA、CA交圆于E、C，延长BF和CE，它们相交于P点，连接P A交圆于D点，则D点满足条件．【解答】（1）证明：连接BE、CD，如图①，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BC为直径，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，∴∠BCD＝∠CBE，̂=CÊ，∴BD∴BD＝CE；（2）解：如图②，点D为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．14．已知：如图，某区政府为了方便居民的生活，在S区域计划修建一个购物中心P，要求到住宅小区A、B的距离必须相等，到两条公路m和n的距离也必须相等．请标出购物中心P的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】直接利用角平分线的性质与作法和线段垂直平分线的性质与作法进而得出答案．【解答】解：如图所示：点P即为所求．【点评】此题主要考查了应用与设计作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．15．如图，已知：射线AM是△ABC的外角∠NAC的平分线．（1）作BC的垂直平分线PF，交射线AM于点P，交边BC于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）（2）过点P作PD⊥BA，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，请补全图形并证明BD＝CE．【分析】（1）利用基本作图作BC的垂直平分线即可；（2）先根据几何语言画出对应几何图形，再连接PB、PC，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，根据角平分线的性质得PD＝PE，则可判断Rt△BDP≌Rt△CEP，从而得到BD＝CE．【解答】（1）解：如图，PF为所作；（2）证明：如图，连接PB、PC，如图，∵PF垂直平分BC，∴PB＝PC，∵AM是△ABC的外角∠NAC的平分线，PD⊥BA，PE⊥AC，∴PD＝PE，在Rt△BDP和Rt△CEP中，{PB=PCPD=PE，∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线和角平分线的性质．。

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