精选高难度压轴填空题----数列

1. 等比数列}{n a 首项为正数，8,102432

62===⋅--k k k a a a a ，若对满足128>t a 的任意

t ，

m t

k t

k ≥-+都成立，则实数m 的取值范围是____________]8,(--∞ 解析：7122262=⇒=-+⇒=⋅-k k k a a a k k ，则22,85

643=⇒===-q a a a k

12-=n n a ，82212871>⇒>⇒>-t a t t ，

1714

--≤⇒≥-+t

m m t k t k 递增，9≥t ，27-≤-t ，817714

-=--≥-∴

t

2. 已知函数)(x f 定义在正整数集上，且对于任意的正整数x ，都有)1(2)2(+=+x f x f

)(x f -，且6)3(,2)1(==f f ，则_______)2009(=f 4018

解析：实际上是等差数列问题 3. 2

222222220091200811...413113*********++++++++++++

=S ，则不大于S 的最大整数][S 等于_______2008

解析：11

11)1(1)1()1(1112

2+-+=+++=+++

n n n n n n n n 2008][2009

1

12008=⇒-

+=S S 4. 已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈**

N N ，记数列{}n a 的前n 项

和的最大值为()f t ，则()f t = . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++)

(4

)1()(4222为奇数为偶数t t t t t

解析：关键是(,)t n ∈∈**

N N

5. 对任意x ∈R ，函数()f x 满足21)]([)()1(2+-=

+x f x f x f ，设2

[()](),n a f n f n =-数列{}n a 的前15项和为31

,(15)16

f -则= ．43

解析：关键之一：不要误入化简函数式的误区；

关键之二：能否看出]1,2

1

[)(∈x f ；（2

1)1(≥

+x f ） 关键之三：)2

1)(21(]1)()[(11--+-=-=--n n n a a n f n f a

得411-

=+-n n a a ，从而16

3

15-=a ，反代可得43)15(=f

6. 设1250,,,a a a L 是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，

若222212501509,(1)(1)(1)107a a a a a a +++=++++++=L L 且，则1250,,,a a a L 中数字0的个数为 11

解析：由题意，5021,...,,a a a 里有9个1，其余不是0，就是成对出现（1，-1），设有n 个0，

m 对（1，-1），则412=+n m ，再由

71361074107)1(...)1(25021=-=+⇒=++++n m a a ，解得11,15==n m

7. 已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有

135

2

n n n k

a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩n n 1n a a k a +为奇数为偶数,是使为奇数的正整数，若存在*

m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______1或5 解析：当n a 为奇数时，531+=+n n a a 为偶数，k

n n a a 2

5

32+=

+为奇数，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，故p p p k

k

5322

53+=⇒+=

，0>p ，故1=p 或5 8. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数.若a 1=d ，b 1

=d 2，且

3

212

3

2221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________21

解析：（2007全国联赛）因为2

21112121213212

32221114

)2()(q

q q b q b b d a d a a b b b a a a ++=++++++=++++，故由已知条件知道：1+q +q 2为m

14，其中m 为正整数。令m q q 1412

=++，则

m m m q 4356211144121-+-=-++-=。由于q 是小于1的正有理数，所以314

1<

，

即5≤m ≤13且

m m 4356-是某个有理数的平方，由此可知2

1

=q 9. 已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝n

2n －1

对任意n ∈N *恒成立，

则

a 10

b 5的值为 1917

解析：

S n T n ＝n

2n －13

412)12()12(1212--==--=⇒--n n T S b n a n b a n n n n n n ，等差数列{a n }和{b n }，故设

=n a )12(-n k ，)34(-=n k b n ，然后直接计算

10. 已知数列{},{}n n a b 满足1211,2,2,a a b ===且对任意的正整数,,,,i j k l 当i j k l

+=+