2019-2020年河北省衡水中学高三(下)3月月考数学试卷
河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考数学(理)试题(带答案解析)
9．将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象.若 为奇函数，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
10．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为 ，大圆柱底面半径为 ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为 ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为 ，则 （）
7．已知函数 ，则下述结论中错误的是（）
A．若 在 有且仅有 个零点，则 在 有且仅有 个极小值点
B．若 在 有且仅有 个零点，则 在 上单调递增
C．若 在 有且仅有 个零点，则 的范围是
D．若 图像关于 对称，且在 单调，则 的最大值为
8．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知函数 的两个零点分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．抛物线方程为 ，动点 的坐标为 ，若过 点可以作直线与抛物线交于 两点，且点 是线段 的中点，则直线 的斜率为（）
A． B． C． D．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】
则 ．故选C．
【点睛】
本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
评卷人
河北省衡水中学2020届高三下学期三调考试数学(理)试题答案解析
2019-2020学年度下学期第三次调研考试答案一．选择题（共12小题）1．解：∵集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2）．故选：D．2．解：由z（1+2i）＝2﹣i，得z＝，∴|z|＝||＝．故选：A．3．解：由条形图得到：全国从2014年到2018年国内生产总值逐年增加，增长速度较为平稳．国内生产总值相比上一年年增长额最大在2017年；故选：C．4．解：由函数y＝f（x）是定义在R上的增函数，则函数f（|x﹣2|）为复合函数单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间（﹣∞，2），再根据复合函数的单调性同增异减，可得函数的单调递减区间为（﹣∞，2）．故选：B．5．解：由双曲线的性质可知：|F2M|﹣|F1M|＝2a＝4，|F1N|﹣|F2N|＝2a＝4，∴|F2M|＝|F1M|+4，|F1N|＝|F2N|+4，∵∠F2MN＝∠F2NM，∴|F2M|＝|F2N|，∴|F1N|＝|F1M|+8，∴|MN|＝|F1N|﹣|F1M|＝8．故选：C．6．解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，且，解得n＝75．故选：D．7．解：∵，且，∴3（cos2α﹣sin2α）＝（cosα﹣sinα），∴3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα＝①，或cosα﹣sinα＝0，（舍去），∴两边平方，可得：1+sin2α＝，解得：sin2α＝﹣，∴cosα﹣sinα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣，②∴由①+②可得：cosα＝，可得：cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．故选：A．8．解：由已知AC＝4，∠ADC＝120°，如图所示；可构造△ADC的外接圆，其中点D在劣弧AC上运动，当运动到弧中点时，△ADC面积最大，此时△ADC为等腰三角形，＝×AC•tan30°×AC＝××＝4．其面积为S△ADC故选：D．9．解：根据三视图，可得三棱锥P﹣ABC的直观图如图所示，其中D为AB的中点，PD⊥底面ABC．所以三棱锥P﹣ABC的体积为，，PA，PB，PC不可能两两垂直，三棱锥P﹣ABC的侧面积为．故选：C．10．解：函数f（x）＝sin（2x﹣）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，与g（x）＝cos（x+）在区间（）上单调递减，在上单调递增，所以：这两个函数在区间上单调递减，故：b＝，即所求的最大值．故选：B．11．解：由题意知函数的定义域为（0，+∞），，∵函数f（x）恰有一个极值点1，∴f′（x）＝0有且仅有一个解，即x＝1是它的唯一解，也就是另一个方程无解，令，则，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，从而，所以当时，方程无解，故选：C．12．解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）、D （x 4，y 4），由，即（1﹣x 1，1﹣y 1）＝λ（x 3﹣1，y 3﹣1），则x 1+λx 3＝1+λ，y 1+λy 3＝1+λ，由，同理可得：x 2+λx 4＝1+λ，y 2+λy 4＝1+λ．则（y 1+y 2）+λ（y 3+y 4）＝（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4），将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差可得：＝﹣•，由题意可得：AB ∥CD ，∴k AB ＝k CD ＝﹣．则a 2（y 1+y 2）＝4b 2（x 1+x 2）①，同理可得：a 2（y 3+y 4）＝4b 2（x 3+x 4），∴λa 2（y 3+y 4）＝4λ2（x 3+x 4），②①+②得：a 2[（y 1+y 2）+λ（y 3+y 4）]＝4b 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]，∴a 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]＝4b 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]，∴a 2＝4b 2，则椭圆的离心率e ＝＝＝．故选：A ．二．填空题（共4小题）13．解：向量＝（3，﹣2），＝（1，m ），则﹣＝（2，﹣m ﹣2），又⊥（），所以•（﹣）＝0，即3×2﹣2×（﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝﹣5．故答案为：﹣5．14．17种，解：按照甲乙是否在一起分为两种情况：①甲乙在一起，则都在C 病区，则丙丁分配在AB 病区，有两种。
2022-2023学年河北省衡水中学高三(下)第三次月考数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年河北省衡水中学高三（下）第三次月考数学试卷1.设复数，则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合，，则有个真子集.( )A. 3B. 16C. 15D. 43.已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有( )A. 48B. 54C. 60D. 725.公差不为0的等差数列的前n项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则( )A. 81B. 63C. 41D. 326.在中，，，，则直线AD通过的( )A. 垂心B. 外心C. 重心D. 内心7.如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且，，若G是线段EF上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是( )A.B.C.D.8.已知向量，是夹角为的单位向量，若对任意的，，且，，则m的取值范围是( )A. B. C. D.9.以下四个命题中，真命题的有( )A. 在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好B. 回归模型中残差是实际值与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高C. 对分类变量x与y的统计量来说，值越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则10.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似是函数的导函数的图像.已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为，则( )A. B.C. 的图像关于原点对称D. 在区间上单调11.在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )A. 异面直线与所成角的余弦值为B. 点P为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为C. 过点，E，F的平面截正方体所得的截面周长为D. 当三棱锥的所有顶点都在球O的表面上时，球O的表面积为12.已知F是抛物线W：的焦点，点在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线，分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则( ) A. 四边形AMFN面积的最大值为2 B. 四边形AMFN周长的最大值为C. 为定值D. 四边形BDCE面积的最小值为3213.的展开式的常数项是______ .14.已知点，，若线段AB与圆C：存在公共点，则m的取值范围为______ .15.已知实数，满足，则的最小值是______ .16.若正实数a，b满足，则的最小值为______ .17.已知为等差数列，求的通项公式；若为的前n项和，求18.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且求证：；求的取值范围.19.2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.假设该疾病患病的概率是，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为，设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人；试分析哪一个方案的工作量更少？参考数据：，20.图①是直角梯形ABCD，，，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且求证：平面平面ABED；在棱上是否存在点P，使得点P到平面的距离为？若存在，求出直线EP与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.21.已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，求双曲线的方程；过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点在A、Q之间，若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求与面积之比的取值范围．22.已知为正实数，函数若恒成立，求A的取值范围；求证：…答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数，对应点的坐标为，即在复平面内对应的点位于第四象限．故选：化简复数为代数形式，即可判断对应点所在象限．本题考查复数的运算，复数的几何意义，是基础题．2.【答案】A【解析】解：，，则，真子集个数为故选：计算，得到真子集个数．本题主要考查集合交集运算及集合真子集个数的判断，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为且，若函数为增函数，则，若函数在上单调递增，则，即，故，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的充要条件．故选：由已知结合指数函数与幂函数单调性分别求出相应的a的范围，即可判断．本题主要考查了指数函数与幂函数单调性的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：将5名大学生分为1，2，2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法；按照分步乘法原理，共有种方法．故选：先分组，再考虑甲的特殊情况．本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为，所以，，故，设等差数列的公差为d，则，所以，因为，，，，依次成等比数列，，所以，所以，所以，故选：由条件求出数列的通项公式，再结合等比数列定义求本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：，设，，则，由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF为菱形．为菱形的对角线，平分直线AD通过的内心．故选：首先根据已知条件可知，又因为，设，，由向量加法的平行四边形法则可知四边形AEDF为菱形，从而可确定直线AD通过的内心．本题考查向量加法的平行四边形法则及其几何意义，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：设的外接圆的半径为r，则，当，即时，r由最小值为2，此时的外心为AB的中点，三棱锥的外接球的半径R满足三棱锥的外接球的面积的最小值为故选：设的外接圆的半径为r，在中，由正弦定理可得，求出r的最小值，进一步得到三棱锥的外接球的半径的最小值，则答案可求．本题考查多面体的外接球，求出外接圆半径的最小值是关键，是中档题．8.【答案】D【解析】解：已知向量，是夹角为的单位向量，则，即，即，即，设，，则函数为减函数，即，恒成立，即，即，故选：由题意可得，设，，则函数为减函数，即，恒成立，然后求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了导数的综合应用，属中档题．9.【答案】AB【解析】解：对于A，由相关指数的定义知：越大，模型的拟合效果越好，A正确；对于B，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，B正确；对于C，由独立性检验的思想知：值越大，“x与y有关系”的把握程度越大，C错误．对于D，，，又，，解得：，D错误．故选：根据相关指数的定义确定A；根据残差的性质确定B；根据独立性检验确定C；根据二项分布与均值的运算确定本题主要考查独立性检验，残差和独立性的定义，以及二项分布的期望公式，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：，则，由题意得，即，故，因为，所以由，可得，故选项A错误；因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以，则，故选项B正确；因为，所以，所以为奇函数，则选项C正确；根据，由，得，因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不单调，则选项D错误．故选：对于A，由题意，求导建立方程，根据正切函数的性质，可得答案；对于B，整理其函数解析式，代入值，利用和角公式，可得答案；对于C，整理函数解析式，利用诱导公式，结合奇函数的性质，可得答案；对于D，利用整体思想，整体换元，结合余弦函数的性质，可得答案．本题主要考查三角恒等变换，求三角函数的导数，函数的图像变换规律，正弦函数的图像和性质，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对于A：因为，所以为直线与直线所成的角，所以，故A错误；对于B：取的中点M，取的中点N，取AD的中点S，连接MN，DM，DN，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，所以面，同理可得，所以面，又面，平面，所以点P的轨迹为线段MN，在中，过点D作，此时DP取得最小值，由题可得，，，所以，故B正确；对于C：由平面面得，过点，E，F的平面必与和有交点，设过点，E，F的平面与平面和平面分别交于与FN，所以，同理可得，过点，E，F的平面截正方体所得的截面图形为五边形，所以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，，则，，，，，所以，，，，因为，，所以，，解得，，所以，，所以，，由题可知，，，，，所以，过点，E，F的平面截面正方体所得截面周长为，故C正确；对于D：取EF的中点，连接，则，过点作，且，所以O为三棱锥的外接球的球心，所以OE为外接球得半径，在中，，所以，所以，故选：对于A：根据异面直线所成角的定义可得为直线与直线所成的角，再计算，即可判断A是否正确；对于B：取的中点M，取的中点N，取AD的中点S，连接MN，DM，DN由面，找到点P的轨迹为线段MN，再计算DP的最小值，即可判断B是否正确；对于C：找到过点，E，F的平面截正方体所得的截面图形为五边形，再计算截面周长，即可判断C是否正确；对于D：取EF的中点，连接，则，求出三棱锥的外接球的半径，再计算球的表面积，即可判断D是否正确．本题考查直线与平面的位置关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：因为点在抛物线W：上，所以，，，故抛物线W的方程为：，焦点坐标为，由，得，所以，当且仅当时，等号成立，所以四边形AMFN面积的最大值为2，故A正确．由，得，即，所以四边形AMFN周长的最大值为，故B正确．设直线BC的方程为，，，联立，消x得，，判别式，，，则，同理得，，故C错误．，所以，当且仅当时，等号成立，此时，故D正确．故选：根据给定条件，求出抛物线W的方程，确定四边形AMFN形状，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B ；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出弦BC，DE长即可计算推理判断C，D作答．本题考查了抛物线的方程和性质以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．13.【答案】70【解析】解：，则常数项为，故答案为：先将多项式进行化简，然后利用多项式特点进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，根据多项式的性质先进行化简，然后利用常数项特点进行求解是解决本题的关键，是基础题．14.【答案】【解析】解：如图，当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大．又圆C方程为：，圆心为，半径为，，当圆和线段AB相切时，，即，，解得，当圆过B点时，可得，，的取值范围为故答案为：通过图像可得当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大，据此可得m的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，运动变化思想，方程思想，化归转化思想，属中档题．15.【答案】9【解析】解：由已知条件得，，，又，，，，当且仅当，即时等号成立．故答案为：将已知条件通过恒等变形，再利用基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为，所以，所以，即令，则有，设，只需证明，，令得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以设，所以，由得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以的最小值为故答案为：由不等式变形为，通过换元，根据不等式恒成立得出a与b的关系，从而把表示为关于a的表达式，再通过构造函数求最值即可．本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：，，，⋯，，，；当时，满足上式，所以；由可得，【解析】本题考查运用累乘法求数列的通项公式，裂项相消法求数列的前n项和，属中档题．利用累乘法可求的通项公式；由可得，利用裂项相消法求出18.【答案】证明：在中，由及正弦定理得：，又，，即，，即，，，，，；解：由得，，，由题意，及正弦定理得：，，，即，故的取值范围为【解析】结合正弦定理及正弦和角公式得，结合角度范围即可证明；结合正弦定理及三角恒等变换，结合B角范围即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】解：设事件A为“核酸检测呈阳性“，事件B 为“患疾病”由题意可得，，，由条件概率公式得：，即，故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为设方案一中每组的检测次数为X，则X 的取值为1，6，，，所以X 的分布列为X16P所以，即方案一检测的总次数的期望为，设方案二中每组的检测次数为Y，则Y 的取值为1，12，；，所以Y 的分布列为Y112P所以，即方案二检测的总次数的期望为，由，则方案二的工作量更少．【解析】设事件A为“核酸检测呈阳性“，事件 B 为“患疾病“，利用条件概率公式求解即可；设方案一和方案二中每组的检测次数为X，Y，分别求出两种方案检测次数的分布列，进而得出期望，通过比较期望的大小即可得出结论．本题主要考查了条件概率公式的应用以及均值的实际应用，属于中档题．20.【答案】解：证明：如图所示，在图①中，连接AC，交BE于O，因为四边形ABCE是边长为2的菱形，且，所以，且，在图②中，相交直线OA，均与BE垂直，所以是二面角的平面角，因为，所以，所以，所以平面平面由知，分别以直线OA，OB，为x，y，z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，，设，，则，设平面的一个法向量，则，令，则，，所以因为P到平面的距离为，所以，解得，由，得，所以，，，所以，所以设直线EP与平面所成的角为，所以【解析】在图①中，连接AC，交BE于O，可推出，且，在图②中，相交直线OA，均与BE垂直，则是二面角的平面角，由勾股定理可得，进而可得答案．由知，分别以直线OA，OB，为x，y，z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，设，，可得的坐标，求出平面的一个法向量，由于P到平面的距离为，则，解得，设直线EP与平面所成的角为，进而可得答案．本题考查直线与平面的位置关系，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．21.【答案】解：由已知，，，，，则，，解得，，双曲线的方程为直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，设，，由，得，则，解得①点在以线段AB为直径的圆的外部，则，②由①、②得实数k的范围是，由已知，在A、Q之间，则，且，，则，，则，，，解得，又，故的取值范围是【解析】考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．由已知，，，，由，知，故，，由此能求出双曲线的方程．直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，设，，由，得，由此入手，能够求出的取值范围．22.【答案】解：，①若，即，，函数在区间单调递增，故，满足条件；②若，即，当时，，函数单调递减，故，矛盾，不符合题意；综上：先证右侧不等式，如下：由可得：当时，有，则，即，即则有，即，右侧不等式得证．下面证左侧不等式，如下：易知，可得，即，则有，即，，则故，综上：…【解析】求导得，分，两种情况讨论可得的取值范围；当时，有，则，可得可证右侧不等式，可得，，可证左侧不等式．本题考查导数的综合应用，考查不等式的证明，属难题．。
河北省衡水中学2020届高三年级下学期三调考试(文数)
河北省衡水中学2020届高三年级下学期三调考试数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合}2|),{(xy y x M ==，}|),{(2x y y x N ==，则B A I 中元素的个数为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0 2．复数iiz +=12的虚部为( )A ．－iB ．iC ．1D ．－1 3．下面四个推理中，属于演绎推理的是( )A ．观察下列各式：4972=，34373=，240174=，…，则72015的最后两位数字为43 B ．观察x x 2)'(2=，344)'(x x =，x x sin )'(cos =，可得偶函数的导函数为奇函数C ．在平面上，若两个等边三角形的边长之比为1：2，则它们的面积之比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1：2，则它们的体积之比为1：8 D ．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应4．如图，观察某一指标的统计图后，有如下判断，则其中不正确的判断是 ( ) A ．三地中五月指标最小的为上海 B ．一月至六月指标波动最大的为上海 C ．三地中指标最稳定的为北京 D ．一月至六月指标平均值最小的为广州5．已知函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 4πx y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈67,0πx 的图象与直线m y =的三个交点的横坐标分别为)(,,321321x x x x x x <<，则=++3212x x x( )A ．43πB ．34π C ．35πD ．23π 6．设三个向量c b a ,,互不共线，则“0=++c b a ’’是“以|||,||,|c b a 为边长的三角形存在”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间，紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等，其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．如图为一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，则该壶的容量约为 ( ) A ．100 cm 3 B ．200 cm 3 C ． 300 cm 3 D ．400 cm 3 8．已知函数k x x f ++=1)(，若存在区间],[b a ，使得函数)(x f 在区间],[b a 上的值域为]1,1[++b a ，则实数k 的取值范围为( )A ．),1(+∞-B ．]0,1(-C ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,41 D ．⎥⎦⎤⎝⎛-0,41 9．已知函数⎪⎭⎫⎝⎛<<+=20tan ln )(πααx x f 的导函数为)('x f ，若方程)()('x f x f =的根x 0小于1，则实数α的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,6ππ D ．⎪⎭⎫⎝⎛4,0π 10．已知抛物线的方程为)0(22>=P py x ，过点)1,0(-A 作直线与抛物线交于P ，Q 两点，点B 的坐标为)1,0(，连接BP ，BQ ，设BQ ，BP 与x 轴分别相交于M ，N 两点．若直线BQ 的斜率与BP 的斜率的乘积为－3，则=∠MBN ( )A ．2πB ．4πC ．32πD ．3π11．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上的两点，且3π=∠AOB ．若C 是圆O 上的任意一点，则BC OA ⋅的最大值为 ( )A ．23-B ．41 C ．21 D ．1 12．若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记)(M f N α=．在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，记平面AB 1C 1D 为β，平面ABCD 为γ，P 是棱CC 1上一动点（与C ，C 1不重合），)]([1P f f Q βγ=，)]([2P f f Q γβ=，给出下列三个结论：①线段PQ 2长度的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,21； ②存在点P 使得β平面//1PQ ；③存在点P 使得21PQ PQ ⊥．其中，所有正确结论的序号是( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．直角坐标平面内能完全覆盖区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-002,0y y x y x ，的最小圆的面积为_________．14．已知函数⎩⎨⎧>≤+=,0,2,0,1)(x x x x f x 则满足121)(>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x f x f 的x 的取值范围是_______．15．已知数列}{n a 中，221n a n =，则数列})1{(n na -的前50项和为___________．16．若存在)1,0(0∈x ，使得003)3(0x e x ax+≥-，则实数a 的取值范围为___________．三、解答题（共70分。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三下学期七调考试理科数学试题(3.22)及答案
（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为 47，求 a 、b 的值，并分别求出甲、乙在 1 分钟内
解开密码锁的频率； （2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概 率，并且丙在 1 分钟内解开密码锁的概率为 0.5，各人是否解开密码锁相互独立. ①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小.
③若
A1DM
的面积为
S
，则
S
2
3 3
,
2
3 ；
④若 S1 、 S2 分别是 A1DM 在平面 A1B1C1D1 与平面 BB1C1C 的正投影的面积，则存在点 M ，
使得 S1 S2 .
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
12. 已知函数 f (x) xex ln x x 2, g(x) ex2 ln x x 的最小值分别为 a, b ，则（
②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目 X 的数学期望达到
最小，不需要说明理由.
高三数学理科试题 第5页(共 8 页)
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2019—2020 学年度下学期高三年级
组编人：王战普 审核：孙卫权
21. （本题满分 12 分）已知函数 f x ln x ax b a, b 0 ，对任意 x 0 ，都有
2．B【解答】解：∵
＝
＝
，
∴复数
的共轭复数为
．∴复数
的共轭复数的虚部为 ．
3. . A 解：∵从散点图可分析得出：只有 D 点偏离直线远， 去掉 D 点，变量 x 与变量 y 的线性相关性变强，∴相关系数变大， 相关指数变大，残差的平方和变小，故选：A．
河北省衡水中学2019届高三下学期全国统一联合考试(3月)数学(理)试题
全国高三统一联合考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，则集合{}2,7,8是( ) A.A B UB.A B IC.()U C A B ID.()U C A B U2.已知复数z 的实部不为0，且1z =，设1z z ω=+，则ω在复平面上对应的点在( )A.实轴上B.虚轴上C.第三象限D.第四象限3.将()2nx -的展开式按x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是40-，则n 的值是( ) A.4B.5C.6D.74.如图所示是三棱柱与球的组合体的三视图，则三棱柱的体积与球的体积之比是( )33B.6πC.9π435.设1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以1F 为圆心、12F F 为半径的圆与双曲线左支的其中一个交点为A ，若12120AF F =∠°，则该双曲线的离心率是( ) 233131+6.若函数()()()2sin 20f x a x θθπ=+<<，a 是不为零的常数)在R 上的值域为[]2,2-，且在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调减函数，则a 和θ的值是( )A.1a =，3πθ=B.1a =-，3πθ=C .1a =，6πθ=D.1a =-，6πθ=7.已知函数()32f x x ax bx c =+++(a ，b ，c 均为常数)的图象关于点()1,0-对称，则b c -的值是( ) A.4-B.4C.2-D.28.已知“x a x b ≥⇒>”，且“x a x c <⇒≤”，则“x c ≤”是“x b ≤”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.“三个臭皮匠，楔个诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A.3B.4C.5D.610.已知向量()cos ,sin AB αα=u u u r ，()cos ,sin BC ββ=u u u r ，()cos ,sin CA γγ=u u u r，其中02αβγπ<<<<，则AB BC ⋅u u u r u u u r的值是( )A.12B.12-C.32-D.3 11.设函数()f x 定义如下表： x1 2 3 4 5 ()f x14253执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值是( )A.4B.5C.2D.312.已知异面直线a ，b 所成的角为90°，直线AB 与a ，b 均垂直，且垂足分别为A ，B ，若动点P 在直线a 上运动，动点Q 在直线b 上运动，4PA QB +=，则线段PQ 的中点M 的轨迹所围成的平面区域的面积是( ) A.2B.4C.8D.12二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线24y x =-的焦点到它的准线的距离是____________.14.若实数x ，y 满足100x y x y +≥-⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =+取得最大值时对应的最优解是____________.15.已知在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，5cos A =，10cos B =，2c =，则a =____________.16.已知函数()xxf x e =，关于x 的方程()()220f x f x c -+=⎡⎤⎣⎦有以下四个结论： ①当0c =时，方程有3个实根；②当221c c e -=时，方程有3个实根；③当2211e c e -<<时，方程有2个实根；④当221e c e -<时，方程有4个实根. 以上结论中正确的有____________(填序号).三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项等比数列{}n a 满足()*14n n n a a n N +=∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2211log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AB AA ===，过1AA 的平面分别交BC ，11B C 于点D ，1D .(1)求证：四边形11ADD A 为平行四边形；(2)若1AA ⊥平面ABC ，D 为BC 中点，E 为1DD 中点，求二面角1A C E C --的余弦值. 19.最近，在“我是演说家”第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，点赞的人数更是不断增加，对一周(7天)内演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 进行了统计，数据见下表：根据所给数据(),x y ，画出了散点图以后，发现演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 的关系可以近似地表示为x y a b =⋅(,a b 均为正常数). (题中所有数据的最后计算结果都精确到0.01) (1) 建立y 关于x 的回归方程；(2) 试预测，至少经过多少天，点赞的人数超过12000？附：①对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线$y x aβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µβ=µy x β-. ②参考数据：20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆E 上一点A 在x 轴上的射影恰好为1F ，且直线2AF 的斜率为(1)求椭圆E 的离心率；(2)当2a =时，过点()0,2Q -的射线与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，若点P 在射线QM 上，且满足2QM QN QP ⋅=u u u u r u u u r u u u r ，求点P 的横坐标0x 的取值范围.21.已知函数()ln f x x =.(1)设()()()()'F x f k x k f k =-+(其中0k >)，求证：()()f x F x ≤.(2)若曲线()y f x =与抛物线()22y ax a x =+-有两个公共点，求实数a 的取值范围.22.已知圆C 的极坐标方程为2sin 104πρθ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，直角坐标系xOy 的坐标原点O 与极点重合，x 轴的正半轴与极轴重合. (1)求圆C 的标准方程和它的一个参数方程； (2)设(),P x y 是圆C 上的任意一点，求xy 的最大值. 23.已知函数()1f x x x =+-. (1)解不等式()3f x ≥；(2)若()()2f x f y +≤，求x y +的取值范围.。
河北省衡水中学2020届高三下学期3月10日周中测(文科)数学试卷(含解析)
2019-2020学年高三第二学期3月月考数学试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{x|2x+1＞﹣3}，B＝{x|2x＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣2）B．∅C．（﹣2，1）D．（1，+∞）2．设z＝i（i﹣3），则|z|＝（）A．B．3C．2D．3．已知向量＝（，1），＝（2，2），则向量，的夹角为（）A．B．C．D．4．曲线y＝sin x在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝2x B．y＝x C．y＝﹣2x D．y＝﹣x 5．“平面α内存在无数条直线与直线1平行”是“直线1∥平面α“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知一组数据的茎叶图如图所示．下列说法错误的是（）A．该组数据的极差为12B．该组数据的中位数为21C．该组数据的平均数为21D．该组数据的方差为117．执行如图所示程序框图，则输出的S＝（）A．B．C．D．8．若将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，平移后所得图象为曲线y ＝f（x），下列四个结论：①f（x）＝sin（2x﹣）②f（x）＝sin（2x+）③曲线y＝f（x）的对称中心的坐标为（+，0），（k∈Z）④曲线y＝f（x）的对称中心的坐标为（+π，0）（k∈Z）其中所有正确的结论为（）A．①④B．②③C．②④D．①③9．在△ABC中．角A、B、C所对边分别为a、b、c，若a cos A sin C＝（2b﹣a）sin A cos C，则角C的大小为（）A．B．C．D．10．已知A，B为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的两个不同点，M为AB的中点，O为坐标原点，若k AB•k OM＝，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．11．已知点A（0，），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N．若|FM|：|MN|＝1：2，则p的值等于（）A．1B．2C．3D．412．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，且函数y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）对称．若不等式f（mx2+2m）+f（4x）＜0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣∞，﹣）C．（，+∞）D．（﹣∞，）二、填空题13．已知3sinα＝1，则的值为．14．若x，y满足，则z＝4x+3y的最小值是．15．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对．若甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是．16．如图．圆形纸片的圆心为O，半径为4cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．E，F，G，H为圆O上的点，ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕，折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当AB＝2cm时，该四棱锥的表面积为；该四棱锥的外接球的表面积为．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB ＝AP＝PD＝2．（1）证明：AB⊥平面PAD；（2）求点B到平面PCD的距离．18．某高速路交通服务站点对拥挤等级与某时段（单位：天）的机动车通行数量m（单位：百辆）的关系规定如表：数量n n∈[0，100）n∈[100，200）n∈[200，300）n≥300等级优良拥堵严重拥堵该站点对一个月（30天）内每天的机动车通行数量作出如图的统计数据：（1）如表是根据统计数据得到的频率分布表．请估计一个月内通过该服务站点的所有机动车数量的平均值（同一组中的數据用该组区间的中点值为代表）；[0，100）[100，200）[200，300）[300，400]机动车数量（单位：百辆）天数a1041频率b（2）假设某家庭选择在该月1日至5日这5天中任选2天到景区游玩并通过该服务站点（这2天可以不连续）．求该家庭这2天遇到拥挤等级均为“优”的概率．19．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且S2＝2a2﹣2，S5＝3a5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝a n•2n﹣1，记数列{b n}的前n项和为T n，若T n＞300．求正整数n的取值范围．20．已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，（1）求Γ的方程：（2）如图所示，过右焦点F2的直线1交椭圆Γ于A，B两点，连接AO交Γ于点C，求△ABC面积的最大值．21．已知函数f（x）＝（x2+ax）lnx﹣x2﹣ax．（1）求函数f（x）的极值；（2）若f（x）＞0对x＞1恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中．直线1的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣12＝0，定点A（4，0）．点P是曲线C1上的动点．Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线1与曲线C2交于A．B两点，若|AB|＝，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣3|．（1）若f（t+1）+f（2+t）≥3，求实数t的取值范围；（2）若∀x∈[1，2]，使得f（x）+|x+a|≤3成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|2x+1＞﹣3}，B＝{x|2x＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣2）B．∅C．（﹣2，1）D．（1，+∞）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x＜1}，∴A∩B＝（﹣2，1）．故选：C．2．设z＝i（i﹣3），则|z|＝（）A．B．3C．2D．【分析】根据复数的基本运算进行化简，然后求出z的模．解：∵z＝i（i﹣3）＝﹣1﹣3i，∴|z|＝．故选：A．3．已知向量＝（，1），＝（2，2），则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据向量的坐标即可求出，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角的大小．解：＝，且，∴的夹角为．故选：D．4．曲线y＝sin x在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝2x B．y＝x C．y＝﹣2x D．y＝﹣x【分析】求出原函数的导函数，可得曲线在x＝0处的导数，再由直线方程的点斜式得答案．解：由y＝sin x，得y′＝cos x，可得切线的斜率k＝cos0＝1，∴曲线y＝sin x在点（0，0）处的切线方程为y＝x．故选：B．5．“平面α内存在无数条直线与直线1平行”是“直线1∥平面α“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线和平面的关系以及充分必要条件判断即可．解：当直线l平行平面α内的无数条平行直线时，则直线a不一定平行于平面α，也可能l⊂α，当直线1∥平面α，则平面α内存在无数条直线与直线1平行，故“平面α内存在无数条直线与直线1平行”是“直线1∥平面α“的必要不充分条件，故选：B．6．已知一组数据的茎叶图如图所示．下列说法错误的是（）A．该组数据的极差为12B．该组数据的中位数为21C．该组数据的平均数为21D．该组数据的方差为11【分析】根据茎叶图，对选项进行排查，得到答案．解：由题意，极差为26﹣14＝12，中位数为21，平均数＝21，方差＝，D错误，故选：D．7．执行如图所示程序框图，则输出的S＝（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝0，n＝1满足条件n≤5，执行循环体，S＝0，n＝2满足条件n≤5，执行循环体，S＝，n＝3满足条件n≤5，执行循环体，S＝+，n＝4满足条件n≤5，执行循环体，S＝++，n＝5满足条件n≤5，执行循环体，S＝+++＝，n＝6此时，不满足条件n≤5，退出循环，输出S的值为．故选：D．8．若将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，平移后所得图象为曲线y ＝f（x），下列四个结论：①f（x）＝sin（2x﹣）②f（x）＝sin（2x+）③曲线y＝f（x）的对称中心的坐标为（+，0），（k∈Z）④曲线y＝f（x）的对称中心的坐标为（+π，0）（k∈Z）其中所有正确的结论为（）A．①④B．②③C．②④D．①③【分析】先根据图象的平移变换，得到f（x）＝sin（2x﹣），于是可判断①②，再根据正弦函数的对称中心，求出函数f（x）的对称中心，可判断③④．解：y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位得到f（x）＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x﹣），即①正确，②错误；令2x﹣＝kπ，得，即③正确，④错误，故选：D．9．在△ABC中．角A、B、C所对边分别为a、b、c，若a cos A sin C＝（2b﹣a）sin A cos C，则角C的大小为（）A．B．C．D．【分析】由a cos A sin C＝（2b﹣a）sin A cos C，得a sin B＝2b sin A cos C，由正弦定理得：ab ＝2ab cos C，从而求出C．解：由a cos A sin C＝（2b﹣a）sin A cos C，得a sin B＝2b sin A cos C，由正弦定理得：ab＝2ab cos C，∴cos C＝，又∵C∈（0，π），∴C＝，故选：C．10．已知A，B为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的两个不同点，M为AB的中点，O为坐标原点，若k AB•k OM＝，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法，结合M是线段AB的中点，可得，即可求出椭圆的离心率．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝2x M，y1+y2＝2y M，由可得．∴，即k AB•k OM＝＝，则双曲线的离心率为e＝．故选：D．11．已知点A（0，），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N．若|FM|：|MN|＝1：2，则p的值等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，∵|FM|：|MN|＝1：2，∴|KN|：|KM|＝：1，∴p＝2，∴p＝2．故选：B．12．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，且函数y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）对称．若不等式f（mx2+2m）+f（4x）＜0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣∞，﹣）C．（，+∞）D．（﹣∞，）【分析】由y＝f（x）的图象可由y＝f（x﹣2）的图象向左平移2个单位可得，则f（x）为奇函数，且f（x）是定义在R上的增函数，可得f（mx2+2m）+f（4x）＜0即为mx2+2m ＜﹣4x，由参数分离和对勾函数的单调性，结合恒成立思想可得所求范围．解：函数y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）对称，由y＝f（x）的图象可由y＝f（x﹣2）的图象向左平移2个单位可得，则f（x）的图象关于原点对称，即f（x）为奇函数，且f（x）是定义在R上的增函数，f（mx2+2m）+f（4x）＜0即为f（mx2+2m）＜﹣f（4x）＝f（﹣4x），由f（x）为R上的增函数，可得mx2+2m＜﹣4x，即有m＜﹣对任意x∈[1，2]恒成立，又2≤x+≤3，有2≤≤3，即≤≤，即﹣≤﹣≤﹣，则m＜﹣，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知3sinα＝1，则的值为．【分析】由已知利用二倍角的三角函数公式可得cos2α的值，进而得解．解：∵3sinα＝1，∴sinα＝，可得cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣＝，∴＝＝．故答案为：．14．若x，y满足，则z＝4x+3y的最小值是．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝4x+3y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线＝﹣x+z经过点A时，直线＝﹣x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（﹣，），代入目标函数z＝4x+3y得z＝．即目标函数z＝4x+3y的最小值为．故答案为：15．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对．若甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是丙．【分析】若甲说得不对，则乙、丙说得对，若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，从而得到去过北京的是丙．解：若甲说得不对，则乙、丙说得对，即乙一定去过上海，丙一定去过北京，甲只去过上海，若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，故去过北京的是丙．故答案为：丙．16．如图．圆形纸片的圆心为O，半径为4cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．E，F，G，H为圆O上的点，ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕，折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当AB＝2cm时，该四棱锥的表面积为16cm2；该四棱锥的外接球的表面积为．【分析】由已知求得四棱锥的高，设出球心，再由勾股定理列式求得外接球半径，由球的表面积公式及正四棱锥的表面积公式求解．解：连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为2，则OI＝1，IE＝3，AE＝，设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，则OC＝，OP＝，则，解得R＝，外接球的表面积S＝cm2；该四棱锥的表面积为cm2．故答案为：16cm2；．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB ＝AP＝PD＝2．（1）证明：AB⊥平面PAD；（2）求点B到平面PCD的距离．【分析】（1）由AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，能证明AB⊥平面PAD．（2）设点B到平面PCD的距离为d，由V P﹣BCD＝V B﹣PCD，能求出点B到平面PCD的距离．解：（1）证明：∵AB⊥AD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD．（2）解：∵AB⊥平面PAD，AB∥CD，∴CD⊥平面PAD，CD⊥PD，∵CD＝PD＝2，∴S△PCD ＝，设点B到平面PCD的距离为d，由V P﹣BCD＝V B﹣PCD ，得＝，解得d ＝，∴点B到平面PCD 的距离为．18．某高速路交通服务站点对拥挤等级与某时段（单位：天）的机动车通行数量m（单位：百辆）的关系规定如表：数量n n∈[0，100）n∈[100，200）n∈[200，300）n≥300等级优良拥堵严重拥堵该站点对一个月（30天）内每天的机动车通行数量作出如图的统计数据：（1）如表是根据统计数据得到的频率分布表．请估计一个月内通过该服务站点的所有机动车数量的平均值（同一组中的數据用该组区间的中点值为代表）；[0，100）[100，200）[200，300）[300，400]机动车数量（单位：百辆）天数a1041频率b（2）假设某家庭选择在该月1日至5日这5天中任选2天到景区游玩并通过该服务站点（这2天可以不连续）．求该家庭这2天遇到拥挤等级均为“优”的概率．【分析】（1）根据题意，求出a，b，再求出平均数；（2）根据古典概型求出即可．解：（1）因为有机动车通行数量在[0，100）范围内的天数为15天，所以a＝15，b ＝，通行数量的平均值为50×＝120（百辆）；（2）设该家庭这2天拥挤等级均为优的事件为A，从5天中任取两天的选择方案有10种情况，满足条件的有（1，4），（1，5），（4，5），有3种，故P（A）＝0.3．19．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且S2＝2a2﹣2，S5＝3a5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝a n•2n﹣1，记数列{b n}的前n项和为T n，若T n＞300．求正整数n的取值范围．【分析】本题第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，根据等差数列的通项公式和求和公式列出关于首项a1和公差d的方程，解出a1和d的值，即可得到数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用错位相减法计算出前n项和T n．再根据数列{T n}的单调性可计算出满足T n＞300时正整数n的取值范围．解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，解得．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*．（2）由（1）知，b n＝a n•2n﹣1＝n•2n．则T n＝b1+b2+b3+…+b n＝1•21+2•22+3•23+…+n•2n，2T n＝1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1．两式相减，可得﹣T n＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2．∴T n＝（n﹣1）•2n+1+2．构造数列{T n}：令T n＝（n﹣1）•2n+1+2，则T n+1﹣T n＝n•2n+2﹣（n﹣1）•2n+1＝（n+1）•2n+1＞0，故数列{T n}是单调递增数列．∵T5＝4•26+2＝258＜300，T6＝5•27+2＝642＞300，∴满足T n＞300的正整数n的取值范围为{n|n≥6，n∈N*}．20．已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，（1）求Γ的方程：（2）如图所示，过右焦点F2的直线1交椭圆Γ于A，B两点，连接AO交Γ于点C，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）根据题意b＝c及，即可求得b的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线的斜率存在，设直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及弦长公式求得|AB|，表示出△ABC的面积，化简即可求得△ABC面积的最大值．解：（1）因为椭圆C的短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，所以b＝c，S＝a2＝2，则，b＝c＝1，故椭圆Γ的方程；（2）①当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），联立方程组，消去y，整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），得，，所以，点O到直线kx﹣y﹣k＝0的距离，因为O到线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为，所以△ABC面积＝＝＜，②当直线AB的斜率不存在时不妨取，，，故△ABC面积为，综上，当直线AB的斜率不存在时，△ABC面积的最大值为．21．已知函数f（x）＝（x2+ax）lnx﹣x2﹣ax．（1）求函数f（x）的极值；（2）若f（x）＞0对x＞1恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合a的范围取得导数的符号，进而可求函数的单调性，即可求解极值；（2）结合（1）中单调性的讨论，不等式的恒成立问题可转化为求解函数的最值或范围问题，可求．解：（1）函数的定义域（0，+∞），f′（x）＝（x+a）lnx，①a≥0时，x+a＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝；②当﹣1＜a＜0时，0＜x＜﹣a时，f′（x）＞0，函数单调递增，﹣a＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝﹣a时，函数取得极小值f（﹣a）＝，当x＝1时，函数取得极大值f（1）＝﹣a﹣；③a＝﹣1时，0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，即函数为单调函数，没有极值；④当a＜﹣1时，0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，﹣a＞x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减，x＞﹣a时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝1时，函数取得极大值f（1）＝﹣a﹣，当x＝﹣a时，函数取得极小值f（﹣a）＝，综上可得，a≥0时，函数极小值f（1）＝，没有极大值；a＝﹣1时，没有极值；﹣1＜a＜0时，函数极小值f（﹣a）＝，函数取得极大值f（1）＝﹣a﹣；a＜﹣1时，函数极大值f（1）＝﹣a﹣，当x＝﹣a时，函数极小值f（﹣a）＝；（2）由（1）可得，当a≥﹣1时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，x＞1时，f（x）＞f （1），由f（1）＝﹣a﹣＞0可得a，所以﹣1，当a＜﹣1时，由题意可知，只要f（﹣a）＝＞0，化简可得，ln（﹣a），即a＞﹣e，所以﹣e＜a＜﹣1，综上可得a的范围（﹣e，﹣]．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中．直线1的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣12＝0，定点A（4，0）．点P是曲线C1上的动点．Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线1与曲线C2交于A．B两点，若|AB|＝，求实数a的值．【分析】（1）参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，曲线的伸缩变换的应用．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣12＝0，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4y﹣12＝0．设P（x′，y′），Q（x，y），由中点坐标公式得：代入x2+y2﹣4y﹣12＝0，得到（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4．（2）直线1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为y＝ax，利用（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，由于|AB|＝，所以圆心到直线的距离公式的应用d＝，解得a＝1或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣3|．（1）若f（t+1）+f（2+t）≥3，求实数t的取值范围；（2）若∀x∈[1，2]，使得f（x）+|x+a|≤3成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）不等式化为|t﹣2|+|t﹣1|≥3，利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式的解集即可；（2）x∈[1，2]时不等式f（x）+|x+a|≤3化为|x+a|≤x，根据绝对值的定义求出不等式成立时a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|x﹣3|，所以不等式f（t+1）+f（2+t）≥3，化为|t﹣2|+|t﹣1|≥3，等价于，或，或；解得t≤0或t≥3；所以实数t的取值范围是（﹣∞，0]∪[3，+∞）．（2）当x∈[1，2]时，f（x）+|x+a|＝3﹣x+|x+a|；∀x∈[1，2]，使得不等式f（x）+|x+a|≤3成立，即|x+a|≤x成立，所以﹣x≤x+a≤x成立，所以﹣2x≤a≤0成立；所以∀x∈[1，2]，使得，所以实数a的取值范围是[﹣2，0]．。
河北衡水中学2019—2020学年高三年级下学期第二次质检考试数学试题(理)
河北衡水中学2019—2020学年高三年级下学期第二次质检考试数学试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。
第Ⅰ卷选择题（共60分）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。
1.已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{y|y＝2x+3}，则A∪B＝（）A．[3，4）B．（﹣1，+∞）C．（3，4）D．（3，+∞）2.已知复数z1＝3﹣bi，z2＝1﹣2i，若是实数，则实数b的值为（）A．6 B．﹣6 C．0 D．3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（）A. B. C. D.4.设1tan2α=，4cos(π)((0,π))5ββ+=-∈，则tan(2)αβ-的值为（）A．724-B．524-C．524D．7245.大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（） A.22n n-B.212n -C.212n(-)D.22n6.如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为4的正方形，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7.已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝（4x+4﹣x）|x| B．f（x）＝（4x﹣4﹣x）log2|x|C．f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x| D．f（x）＝（4x+4﹣x ）|x |8.五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”。
2019届河北省衡水市高三下学期第三次质量检测数学（理）试题
2019届河北省衡水市高三下学期第三次质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】【详解】分析：先化简集合，再按选项依次验证可解.详解：因为集合，所以故选C.点睛：本题主要考查集合的交、并、补运算，在解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2．已知为虚数单位，若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】先根据复数相等得，再代入求结果.【详解】由，得，所以. 故选B.【点睛】本题考查复数相等以及指数运算，考查基本分析求解能力，属基本题.3．向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用表示出，进而可得出. 【详解】由题中所给图像可得：，又，所以.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.4．函数的最大值为（）A．B．1 C．D．【答案】D【解析】先将函数解析式化简整理，由正弦函数的值域即可求出结果.【详解】因为，所以的最大值为.故选D【点睛】本主要考查三角函数的最值问题，熟记辅助角公式以及正弦函数的值域即可，属于基础题型.5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和。
详解：设小正方形的边长为1，可得黑色平行四边形的底为高为；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，所以，故选C。
点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型。
2020届河北省衡水中学高三下学期三模数学（理）试题含答案
2020届河北省衡⽔中学⾼三下学期三模数学（理）试题含答案2019—2020学年度第⼆学期⾼三年级三模考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷⼀、选择题1. 设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B =（）A. {}0,2B. {}2,2-C.2,0,2D. {}2,1,0,1,2--2. 若复数z 满⾜1z i i ?=-+，则z 的共轭复数z -在复平⾯内对应的点位于（） A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设实数x ，y 满⾜条件202300x y x y x y +-≤??-+>??-≤?则1x y ++的最⼤值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 平⾯向量a 与b 的夹⾓为60?，()2,0,1a b ==，则2a b+等于( ) A.B.C. 12D.5. 如图，是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能是（）A. ()|sin cos |f x x x =+B. 22()sin cos f x x x =+C. ()|sin ||cos |f x x x =+D. ()sin ||cos ||f x x x =+6. 已知⼆项式121(2)n x x+的展开式中，⼆项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（） A. 240B. 120C. 48D. 367. 祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天⽂学家，他在数学⽅⾯的突出贡献是将圆周率的精确度计算到⼩数点后第7位，也就是3.1415926和3.1415927之间，这⼀成就⽐欧洲早了1000多年，我校“爱数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的⽅法启发下，⾃制了⼀套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所⽰，模型内置⼀个与其各个⾯都相切的球，该模型及其内球在同⼀⽅向有开⼝装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷⼤⼩相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学⼀次投掷了1000个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取⼩数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（）A. 297B. 302C. 307D. 3128. 设函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R ，其中0>ω，||?π<.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最⼩正周期⼤于2π，则 A.23ω=，12π=B.23ω=，12?11π=-C. 13ω=，2411π=- D. 13ω=，724π= 9. 甲、⼄、丙、丁四⼈参加冬季滑雪⽐赛，有两⼈获奖．在⽐赛结果揭晓之前，四⼈猜测如下表，其中“√”表⽰猜测某⼈获奖，“×”表⽰猜测某⼈未获奖，⽽“〇”则表⽰对某⼈是否获奖未发表意见．已知四个⼈中有且只有两个⼈的猜测是正确的，那么两名获奖者是（）的A. ⼄丁B. ⼄丙C. 丙丁D. 甲丁10. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ．2F 也是抛物线()2:20E y px p =>的焦点，点A 为C 与E 的⼀个交点，且直线1AF 的倾斜⾓为45?，则C 的离⼼率为（）A.121C. 3111. 已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +?+≥对任意实数1x >都成⽴，则实数a 的最⼩值为（）A. 2e -B. e -C. e2-D. 1e-12. 已知正⽅体1111ABCD A B C D -的外接球的表⾯积为27π，1A DB △与11A DC △的重⼼分别为E ，F ，球O 与该正⽅体的各条棱都相切，则球O 被EF 所在直线截的弦长为（）A.2B. C. D.第Ⅱ卷⼆、填空题13. 已知双曲线的⼀个焦点与抛物线28y x =的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于A ，B 两点，且OAB 的⾯积为6（O 为原点），则双曲线的标准⽅程为______． 14. 2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.⾯对“突发灾难”，举国上下⼼，继解放军医疗队于除⼣夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投⾝疫情防控与病⼈救治之中.为分担“逆⾏者”的后顾之忧，某⼤学学⽣志愿者团队开展“爱⼼辅学”活动，为抗疫前线⼯作者⼦⼥在线辅导功课.现随机安排甲、⼄、丙3名志愿者为某学⽣辅导数学、物理、化学、⽣物4门学科，每名志愿者⾄少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______. 15. 海洋蓝洞是地球罕见⾃然地理现象，被喻为“地球留给⼈类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所⽰的蓝洞的⼝径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=?，15BDC DCA ∠∠==?，120ACB ∠=?，则A ，B 两点的距离为________．的16. 已知圆22:4O x y +=点()2,2A ，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，点E 在直线l 上且满⾜2PQ QE →→=.若22248AE AP +=，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为_____________.三、解答题17. 已知等差数列{}n a 的公差为d ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，等⽐数列{}n b 的公⽐为()1q q ≠，n T 是数列{}n b 的前n 项和，330a b +=，11b =，33T =，d q =-．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数λ，使得关于k 的不等式()3010k S λ+≤有解？若λ存在，求出λ的值；若λ不存在，说明理由．18. 如图，在多⾯体ABCDP 中，ABC 是边长为4的等边三⾓形，PA AC =，BD CD ==PC PB ==，点E 为BC 的中点，平⾯BDC ⊥平⾯ABC ．（1）求证：//DE 平⾯PAC（2）线段BC 上是否存在⼀点T ，使得⼆⾯⾓T DA B --为直⼆⾯⾓？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由．19. 如图在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，短轴长为4．（I ）求椭圆C 的⽅程；（2）若与原点距离为1的直线1:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线2l 与1l 平⾏，且与椭圆C 相切于点M （O ，M 位于直线1l 的两侧）．记MAB △，OAB 的⾯积分别为1S ，2S 若12S S λ=，求实数λ的取值范围．20. 2019年由“杂交⽔稻之⽗”袁隆平团队研发的第三代杂交⽔稻10⽉21⽇⾄22⽇⾸次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三代杂交⽔稻的综合优势，可以推动我国的⽔稻⽣产向更加优质、⾼产、绿⾊和可持续⽅向发展．某企业引进⼀条先进的年产量为100万件的⾷品⽣产线，计划以第三代杂交⽔稻为原料进⾏深加⼯．已知该⽣产线⽣产的产品的质量以某项指标值[]()70,100k k ∈为衡量标准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的⽣产效益，该企业先进⾏试⽣产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直⽅图．（1）若从质量指标值不⼩于85的产品中，采⽤分层抽样的⽅法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值[)90,95k ∈的件数X 的分布列及数学期望；（2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中⾄少有1件是合格及以上等级”为事件A ．求事件A 发⽣的概率；（3）若每件产品的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所⽰；（14t <<）试确定t 的值，使得该⽣产线的年盈利取得最⼤值，并求出最⼤值（参考数值：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈）21. 已知函数()l e n x m f x x xx =+-()m ∈R ．（1）当1em =时，求函数()f x 的最⼩值；（2）若2e 2m ≥，()22e x m x g x x-=，求证：()()f x g x <．选考题选修4-4：坐标系与参数⽅程22. 在直⾓坐标系xOy 中．直线l参数⽅程为00cos sin x x t y y t ?=+=+（t 为参数，[)0,?π∈）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建⽴极坐标系，圆C 的极坐标⽅程为8cos 3πρθ??=-．（1）化圆C 的极坐标⽅程为直⾓坐标标准⽅程；（2）设点()00,P x y ，圆⼼()002,2C x y ，若直线l 与圆C 交于M 、N 两点，求PM PN PN PM +的最⼤值．选修4-5：不等式选讲23. 已知函数()3f x ax =-，不等式()2f x ≤解集为{}15x x ≤≤．的（1）解不等式()()211f x f x <+-；（2）若3m ≥，3n ≥，()()3f m f n +=，求证：141m n+≥．。
衡水中学2019~2020学年高三年级下学期其中考试 · 理数试卷及答案
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请考生在第(22)、 (23)题中任选一题做答， 如果多做， 则按所做的第 一题计分， 做答时请
写清题亏。
22. (10分）选修4-4: 坐标系与参数方程
x= 1-t2
在平面直角坐标系xOy中， C正
I +t2 (t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正 轴为
10
5
C. 一3
o.3-
10
5
6.有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1, 2. 3, 4. 5, 6, 比 结果设特等奖一名，A, R,
, D四名同学对于谁获得特等奖进行预测
A说：不是1号就是2号获得特等奖；
A. f(x)是偶函数 . B. /(x)在［一冗， 01 上恰有一 个零点
C. /(x)是周期函数
2
<a<-25
@a::::1,-2<b<O
@a=1,一一9 <b<-2或b=O
4
@4个极小值点 ®1个极小值点 (7)6个零点
@4个零点
三、解答题： （本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
试研究，一个三角形能否同时具有以下两个性质； (1)三边是连续的三个自然数；
(2)最大角是最小角的2倍
A. (-1,0]
8. (-1,0)
C. (---00,l)
D. (---oo,-1)
2.iz =-l+i (其中i是虚数单位），则复数z的共辄复数在复平面内对应的点位于
A. 第 一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
J. 已知a=沪，心1 ）-21 ，c =2log, 2则a. b, c的大小关系为
河北省衡水市2019-2020学年下学期高三年级3月第五次调研考试文科数学试题(含解析)(1)
2019～2020学年高三年级第五次调研考试数学试题（文科）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =I （ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知复数z 满足(12i)43i z +=+，则z 的共轭复数是（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i - 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（ ） A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<4．宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（ ） A ．25 B ．425 C ．25π D ．1625π5．命题:p ,x y ∈R ，222x y +<，命题:q ,x y ∈R ，||||2x y +<，则p 是q 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是（ ） A ．2018?n „ B ．2019?n „ C ．2020?n „ D ．2021?n „1n=1,S=1开始7．函数2sin ()2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．8．若函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)图象的一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为7π12x =，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度9．已知AB 是圆()22:11C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．1B ．0C 2D 21 10．圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A ．9:32 B ．8:27 C ．9:22 D ．9:28 11．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2 D12．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．12D ．1 二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________．14．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若b =3c =，2B C =，则cos2C 的值为 ．15．正四棱锥S ABCD -底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹的周长为 ．16．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()0f x >，()()f x f x '为的导函数，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，则()()23f f 的取值范围是 ． 三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题12分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，221212a a a a +=+．（1）求d 的取值范围；（2）已知1d =-，试问：是否存在等差数列{}n b ，使得数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为1nn +？若存在，求{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由．18．（本小题12分）如图，多面体ABCDEF 中，ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，FA ⊥平面ABCD ，//ED FA ，且22AB FA ED ===． （1）求证：平面FAC ⊥平面EFC ； （2）求多面体ABCDEF 的体积．19．（本小题12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头天的日用水量频数分布表 日用水量 [)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6[)0.6,0.7频数1 32 4 9 26 5使用了节水龙头天的日用水量频数分布表日用水量 [)0,0.1[)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6频数151310165（）在下图中作出使用了节水龙头天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）20．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()1,e 和22,⎭都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且在直线22:20l kx y k -+-=上存在点P ，使得PAB △是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围．21．（本小题12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ，()23e 2x g x x x =+-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα==⎧⎨⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为4,π3⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．23. （本小题10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．数学（文科）参考答案1．【解答】∵()1,8A =-，,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴,82A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I ，∴()5Z A B =I ．故选C ．2．【解答】由()12i 43i z +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2i z =+．故选B ． 3．【解答】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,+∞上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C ．4．【解答】由题2525=π=π24S ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭圆，=4S 正方形，所以1625πS P S ==正方形圆．故选D ． 5．【解答】在平面直角坐标系中作出满足,p q 的区域，如图所示，则p 是q 的充分不必要条件．故选A ．6．【解答】 由递推式1n n a a n +=+， 可得11n n a a n -=+-，122n n a a n --=+-，…322a a =+， 211a a =+.将以上()1n -个式子相加，可得11231n a n =+++++-L ， 则202011232019a =+++++L .①由程序框图可知，当判断框内的条件是()*?n k k ∈N …时， 则输出的1123S k =+++++L ，②.综合①②可知，若要想输出①式的结果，则2019k =．故选B ． 7．【解答】()1sin112sin110f =+-=-<，排除B ，C ， 当0x =时，sin 0x x ==，则0x →时，sin 1xx→，()101f x →+=，排除A ，故选D ． 8．【解答】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)的图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得1A =，12π7π41π23ω⋅=-，解得2ω=．再根据五点法作图可得2ππ3ϕ⋅+=，可得π3ϕ=， 可得函数解析式为()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故把()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，可得sin 2cos236ππy x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ．9．【解答】如图所示，()()2214PA PB PC CB PC CA PC AB ⋅=+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以PA PB⋅u u u r u u u r 取最小值时，即PC 取最小值，即PC 与直线10x y -+=垂直，此时PC =，则()min12414PA PB⋅=-⨯=u u u r u u u r．故选A ． 10．【解答】设圆锥底面圆的半径为r ，圆锥母线长为l ，则侧面积为πrl ，侧面积与底面积的比为2π2πrl lr r ==，则母线2l r =，圆锥的高为h =，则圆锥的体积为231π3r h r =，设外接球的球心为O ，半径为R ，截面图如图，则OB OS R ==，OD h R R =-=-，BD r =， 在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+，即)222R r R =+-，展开整理得R =，∴外接球的体积为33344ππ33R ==，故所求体积比为339332r=．故选A ． 11．【解答】由题意可得图像如右图所示：F '为双曲线的左焦点， ∵AB 为圆的直径，∴90AFB ∠=︒，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形， ∴12ABFAFBF FAF S S S ''==△△， 又2224tan45FAF b S b a '===︒△，可得225c a =，∴25e e =⇒．故选D ．y12．【解答】由120x x <<，得120x x -<，211212ln ln 1x x x x x x ->-化为211212ln ln x x x x x x -<-，即1212ln 1ln 1x x x x ++<， 即函数()ln 1x f x x +=在()0,a 上单调递增，()()221ln 1ln x x x x f x x x ⋅-+'==-， 令()0f x '>，得01x <<，故a 的最大值为1．故选D ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．6 14．59 15． 16．84,279⎛⎫⎪⎝⎭ 13．【解答】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号．故答案为6．14．【解答】由正弦定理可得：sin sin b cB C=，即sin sin 22sin cos 2cos cos sin sin sin b B C C C C C c C C C =====⇒，∴275cos22cos 12199C C =-=⨯-=．15．【解答】如图所示，取SC ，DC 的中点M ，F ，则//EF BD ，//ME SB ，所以平面//SBD 平面MEF ，而AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥平面MEF ，则动点P 在四棱锥表面上运动的轨迹为△MEF ，则动点P 的轨迹的周长为(1122MFE SDB l l ===△△16．【解答】由()()2f x xf x '<，得()()()22220f x x xf x x '->，FM SEDCBA令()()2f x g x x=， 则()()()()22220f x x xf x g x x '-'=>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，得()()32g g >，即()()222323f f <，得()()2439f f <. 由()()3xf x f x '<，得()()()322330f x x x f x x '-<，令()()3f x h x x=， 则()()()()322330f x x x f x h x x '-'=<，所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减，得()()32h h <，即()()332323f f >，得()()28327f f >. 综上所述，()()2842739f f <<．故填84,279⎛⎫ ⎪⎝⎭．三.解答题(本大题共6小题,共70分.) 17．（本小题满分12分）【解答】（1）∵221212a a a a +=+，∴()221112a a d a d ++=+， 整理得()22112210a d a d d +-+-=，…………2分 则()()224180d d d ∆=---≥，解得11d -≤≤，则d 的取值范围为[]1,1-．…………5分（2）∵1d =-，∴2112420a a -+=，即11a =，则2n a n =-．…………6分假设存在等差数列{}n b ，则2112211221121123a b a b a b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩，即12111211223b b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1216b b =⎧⎨=⎩，从而54n b n =-，…………8分 此时2211111n n n n a b n n ==-+++，…………9分 222112211111111111223111n nnn n n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=++++++，…………11分故存在等差数列{}n b ，且54n b n =-，使得数列21nn a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为1nn +．…………12分18．（本小题满分12分） 【解答】（1）证明：连接BD 交AC 于O ，设FC 中点为P ,连接OP ,EPO Q ,P 分别为AC ,FC 的中点//OP FA ∴,且12OP FA = //OP ED ∴且OP ED =∴四边形OPED 为平行四边形//OD EP ∴, 即//BD EP …………2分FA ⊥Q 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD FA BD ∴⊥ (3)分Q 四边形ABCD 是菱形 BD AC ∴⊥ …………4分FA AC A =Q I BD ∴⊥平面FAC ，即EP ⊥平面FAC ……5分 又EP ⊂平面EFC ∴平面FAC ⊥平面EFC …………6分 （2）113234233F ABC ABC V S FA -∆=⋅=⨯⨯⨯=…………8分 Q 平面ADEF ⊥平面ABCD C ∴到平面的距离为33CD = …………9分()12213332C ADEF V -+⨯∴=⨯⨯=…………11分53ABCDEF F ABC C ADEF V V V --∴=+=…………12分 19．（本小题满分12分） 【解答】（1）频率分布直方图如下图所示：…………4分（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；…………7分 （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．………9分该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．………11分估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=． (12)分20. (本小题满分12分)【解答】（1）由题设知222a b c =+，ce a=． 由点()1,e 在椭圆上，得222211c a a b +=，解得21b =，又点⎭在椭圆上，222112a b ∴+=． 即21112a+=，解得24a =， 所以椭圆的方程是2214x y +=．…………4分（2）【法1】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+， 120x x ∴+=，122414x x k =-+，120y y +=，2122414k y y k =-+， …………6分设()00,P x y ，则0022y kx k =+-， 依题意PA PB ⊥，得1PA PB k k =-⋅，010201021y y y y x x x x --∴⋅=---， 即()()220120120120120y y y y y y x x x x x x -+++++-+=，…………8分 220012120y x y y x x ∴+++=，()()()()22220024114422014k k x k k x k k +∴++-+--=+有解，()()()()222222411624142014k Δkk kk k ⎡⎤+⎢⎥=--+--≥⎢⎥+⎣⎦， …………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-． …………12分【法2】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+，不妨设1x =2x =则12AB x =-=…………7分设原点O 到直线2l 的距离为d，则d =…………8分若存在满足条件的点P ，则以AB 为直径的圆与2l 有公共点，故2ABd ≤≤…………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-． …………12分21. (本小题满分12分)【解答】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()210x ax f x x x'++=>，…………1分对于函数210y x ax =++≥，①当240Δa =-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立．()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数； ………2分②当0Δ>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数， …………4分 当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数．…………5分综上，当2a <-时，()f x 在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数； 当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数．（2）()()()()22213ln e ln e 022x x F x f x g x x x ax x x x x ax x x =-=++--+=-++->，()F x Q 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln e x x x a x -+=有解，…………7分令()()2n 0e l x x xh x x x +-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11e e xx x x xx x x x h x x x ++-+-+++-='=，…………8分令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， …………10分()()1e 1h x h ∴≥=+，…………11分当e 1a ≥+时，()F x 有不动点，a ∴的范围为[)e 1,++∞．…………12分 22.（本小题满分10分）【解答】（1）2211:C x y +=， …………1分22:cos C ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=．…………3分联立方程组得222212x y x y x⎧+=+=⎪⎨⎪⎩，解得1112x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩2212x y ⎧⎪==⎨⎪⎪⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭．…………5分 （2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=．…………6分∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，…………8分∴当11π12θ=时，max 2S =…………10分 23.（ 本题满分 10 分）【解答】（1）不等式等价于132x x x ≤--≤+⎧⎨⎩或11222x x x -<⎧≤-+≤+⎪⎨⎪⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩，…………3分 解得x ∈∅或102x ≤≤或112x <≤， 所以不等式()2f x x ≤+的解集为{}01x x ≤≤．…………5分 （2）由()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩知，当12x =时，()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭； (7)分()()()323121g x x m x m ≥---=-，…………8分当且仅当()()32310x m x --≤时取等号，所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………10分。
2020届河北省衡水中学高三下学期3月月考数学(理)试题(解析版)
一、单选题1．设复数z 满足，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则【答案】C【解析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【详解】故选C ．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．2．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )【答案】B【解析】由从共有15个球中任取2个球，共有215C 种不同的取法，其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有11510C C 种不同的取法，再利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，从共有15个除了颜色外完全相同的球，任取2个球，共有种不同的取法，其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有种不同的取法，所以概率为，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，以及古典概型及其概率的应用，其中解答中认真审题，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．等差数列x ，3x +3，6x +6，⋅⋅⋅的第四项等于（）A ．0B ．9C ．12D ．18【答案】B【解析】先根据已知求出x 的值，再求出等差数列的第四项得解.【详解】由题得2(3x+3)=x+(6x+6),∴x=0.所以等差数列的前三项为0,3,6,公差为3，所以等差数列的第四项为9.故选：B【点睛】本题主要考查等差中项的应用，考查等差数列的通项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．若l， m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m”是“l// α”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若l ⊥m，因为m 垂直于平面α，则l // α或l ⊂α；若l// α，又m 垂直于平面α，则l ⊥m ，所以“l ⊥m”是“l //α的必要不充分条件，故选B ．【考点】空间直线和平面、直线和直线的位置关系．5．已知函数，则下列结论正确的是（）【答案】A【解析】作出函数的图象与直线y=- b 交点的横坐标，由图可以得出相应结论．【详解】【点睛】本题考查函数的零点与方程根的分布，解题关键是把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，利用数形结合思想求解．6．抛物线方程为x2=4y，动点P的坐标为(1,t)，若过P点可以作直线与抛物线交于,A B两点，且点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率为（）【答案】A【解析】【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查中点弦问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.故ω的最大值为9．故选项D 正确. 故选：B【点睛】本题主要考查正弦函数的零点以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A【解析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.9．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移m (m >0)个单位长度，得到函数g( x )的图象.若g( x )为奇函数，则m 的最小值为（）故选：D【点睛】本题考查有关函数图像的变换问题，正弦型函数的奇偶性，属于基础题.10．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为=（）【答案】B 【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】故选：D【点睛】本题考查垂直关系的向量表示，中位线的性质，双曲线的几何性质，属于中档题. 12．设函数恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（）【答案】C【解析】f(x)恰有两个极值点，则f¢(x) =0恰有两个不同的解，求出f¢(x)可确定x=1是它的一个解，另一个解由方程确定，令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件.【详解】f(x)恰有两个极值点，则f¢(x) =0恰有两个不同的解，显然x =1是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.令，则，所以函数g(x)在(0,+?)上单调故选：C本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.二、填空题13．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是存在A 传B ，B 又传C ，C 又传D ，这就是“持续人传人”.那么A 、B 、C 就会被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大_______.【答案】0.915【解析】求出小明与第一代、第二代、第三代传播者接触的概率，代入概率公式求解即可.【详解】设事件A ，B ，C 为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D 为小明被感染，则由已知得：p (A )=0.5，p (B )=0.3，p (C )=0.2，p (D |A )=0.95，p (D |B )=0.90，p (D |C )=0.85，从而，小明被感染的概率由概率公式可得：p (D )=p (D |A )p (A )+p (D |B )p (B )+p (D |C )p (C )=0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2=0.915故答案为：0.915【点睛】本题考查随机事件的概率，条件概率的概念及概率公式，属于基础题.14．在直四棱柱ABCD _A1B1C1D1-中，底面是边长为4的菱形，∠ABC=60°，AA1 =4，过点B 与直线AC1垂直的平面交直线AA1于点M ，则三棱锥A MBD -的外接球的表面积为____.【答案】68π【解析】建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,先确定M 是AA1中点，再求三棱锥A -MBD 的外接球的半径，即得解.【详解】故答案为：68π.【点睛】本题主要考查几何体外接球的问题的解法，考查空间几何元素的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【答案】【解析】设出等差数列基本量，根据题意列出方程组求出基本量，从而得到等差数列的通项公式，即可得解.【详解】【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和，属于基础题.16．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有∆ABC满足“勾3股4弦5”，其中“股”AB =4，D 为“弦”BC 上一点（不含端点），且∆ABD满足勾股定理，则【答案】【解析】先由等面积法求得AD ，利用向量几何意义求解即可.【详解】【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.三、解答题17．已知在∆ABC 中，角、、A B C 对应的边分别为a、 b 、c， bsinB +asinC=asinA +csinC．（1）求角B ；（2）若c =1，∆ABC 的面积为，求C ．【答案】【解析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简bsinB +asinC=asinA +csinC即得B 的大小；（2）先根据∆ABC 的面积为求出a=1,即得C.【详解】（1）由bsinB +asinC=asinA +csinC及正弦定理【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．已知椭圆（1）求椭圆的方程；（2）设A ，B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A 在第一象限，AE ⊥ x轴，垂足为E ，连接BE 并延长交椭圆于点D ，证明：∆ABD 是直角三角形．【答案】（1）（2）见解析【点睛】本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.20．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI ）的检测数据，结果统计如下：（1）从空气质量指数属于[0,50]，(50,100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；（2）已知某企业每天的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.【答案】（1）（2）9060元【解析】(1)根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；(2) 任选一天，设该天的经济损失为X 元，分别求出P(X =0)，P(X =220)，P(X =1480)，进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.【详解】解：（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则（2）任选一天，设该天的经济损失为X 元，则X 的可能取值为0，220，1480，【点睛】本题考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望，属于基础题.21．已知函数(1)当0a <时，讨论函数f (x) 的单调性(2)，对任意x ∈(0,+∞)，都有F (x )≥1恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】(1)F (x )在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减；(2)(-∞，2],【解析】（1）先求得定义域及函数的导函数,求得函数极值点.再由a <0>【详解】∴b-1≤1恒成立∴b 的范围是(],2-∞【点睛】本题考查了利用导函数分析函数的单调性.利用多次构造函数的形式分析函数的单调性与最值,对导数的意义和性质要求理解准确,分类讨论思想的综合应用,属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数，0≤α<π），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点的直角坐标为(1,2)，求直线l 的斜率.【答案】（1）（2）-2【详解】即8cos +4sin =0得tan α=-2,所以直线l 的斜率为-2【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．设函数，（实数a >0）（1）当a -1，求不等式f (x) >3的解集（2）求证：f (x) ≥2.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）利用分类讨论法解不等式得不等式()3f x >的解集；（2）先证明f (x)≥，再利用基本不等式证明f (x) ≥2.【详解】所以f( x) ≥2【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，考查不等式的证明和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.24．如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD= CD=1 ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F .（1）证明：PA// 平面EDB ；（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为，求PA 与面ABCD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）连接AC 交BD 于G ，则G 是AC 的中点，连接EG ，证明PA// EG ，PA// 平面EDB 即得证；（2）如图以D 为原点，方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正半轴建立空间直角坐标系.设DA =a ，根据面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为求出，PA 与面ABCD 所成角的正弦值．【详解】（1）证明：连接AC 交BD 于G ，则G 是AC 的中点，连接EG ，则EG 是∆PAC的中位线，所以PA //EG ，有因为,PA ⊄面EDB EG ⊂面EDB ，所以PA //平面EDB .（2）如图以D 为原点，方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正半轴建立空间直角坐标系.设DA =a ，则【点睛】本题主要考查空间线面位置关系的证明，考查空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.25．设函数（1）若f (x )的图象总在函数g( x) 的图象的下方，求实数t 的取值范围；【答案】（1）(0,2] （2）证明见解析【解析】(1)据题意可得上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的t 的取值范围；(2)不等式整理为【详解】（1）解：因为函数f ( x)的图象恒在g ( x)的图象的下方，所以函数F ( x)在(0,1)上单调递增，F ( x)故f( x) -g (x )<0>成立，满足题意.（2）证明：由题意得【点睛】本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三下学期七调考试理数试题及答案
2019—2020学年度高三下学期七调考试理数试题（3.22）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合{|10}A x R x =∈+>，{|1}B x Z x =∈„，则A B =I （ ） A ．{}01x x ≤„ B ．{}11x x -<„ C ．{}0,1 D ．{}12．复数1122ii ++的共轭复数的虚部为（ ） A ．110 B ．110- C ．310 D ．310-3．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小 D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱4．已知双曲线22:1124x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q ，若POQ △为直角三角形，则PQ =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ），则（ ）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ> 6．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A ．求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和B ．求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和C ．求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和D ．求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和7．如图1，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N ，Q 分别是线段1AD ，BC ，11C D 上的动点，当三棱锥Q BMN -的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为（ ）A ．2B ．1C ．32D ．528．如图直角坐标系中，角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭、角02πββ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的终边分别交单位圆于A 、B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足AOB S =△，则1sin sin 2222ααα⎫-+⎪⎭的值（ ）A ．513-B ．1213C ．1213- D ．5139．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=->，若集合{(0,)|()1}x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A ．35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦10．已知抛物线24y x =上有三点A ，B ，C ，AB ，BC ，CA 的斜率分别为3，6，-2，则ABC △的重心坐标为（ ） A ．14,19⎛⎫⎪⎝⎭ B ．14,09⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．14,027⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．14,127⎛⎫⎪⎝⎭11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中点M 是对角线1AC 上的点（点M 与A 、1C 不重合），则下列结论正确的个数为（ ）①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得DM ∥平面1BC D ；③若1A DM △的面积为S ，则S ∈⎝；④若1S 、2S 分别是1A DM △在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S =． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12．已知函数()ln 2xf x xe x x =---，2()ln x e g x x x x-=+-的最小值分别为a ，b ，则（ ） A ．a b = B ．a b < C ．a b > D ．a ，b 的大小关系不确定 二、填空题（共4题，每题5分）13．已知二项式2nx⎛ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则3x 的系数为________． 14．数学老师给出一个定义在R 上的函数()f x ，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质： 甲：在(],0-∞上函数单调递减；乙：在[)0,+∞上函数单调递增； 丙：函数()f x 的图象关于直线1x =对称；丁：(0)f 不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是________． 15．已知ABC △的一内角3A π=，10AB =，6AC =，O 为ABC △所在平面上一点，满足OA OB OC ==，设AO mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r，则3m n +的值为________．16．已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为、b 、c ，若2A B =，则2c bb a+的取值范围为________． 三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本题满分12分）数列{}n a 中，12a =，112pn n n a a ++=（p 为常数）（Ⅰ）若1a -，212a ，4a 成等差数列，求p 的值； （Ⅱ）是否存在p ，使得{}n a 为等比数列？并说明理由．18．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60°，DE CF ∥，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，6CF =．（1）求证：BF ∥平面ADE ； （2）G 为线段CF 上的点，当14CG CF =时，求二面角B EG D --的余弦值．19．（本题满分12分）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量120BF BF ⋅=u u u r u u u u r．（1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程；（2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F ，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由．20．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图．（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小．②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望达到最小，不需要说明理由．21．（本题满分12分）已知函数()ln (,0)2x bf x ax a b x=-+>，对任意0x >，都有4()0f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一个做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分10分）在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线/的右下方，求a 的取值范围． 23．（本题满分10分）已知a ，b ，c 均为正实数，求证： （1）()2()4a b ab c abc ++…；（2）若3a b c ++= 2019-2020高三下学期第四次线上周测理科数学参考答案 一、选择题（共2小题）1．C 【解答】解：{|1}A x x =>-；∴{|11}{0,1}A B x Z x =∈-<=I „．故选：C ．2．B 【解答】解：∵1121211122(12)(12)2552510i i i i i i i i i -+=+=-+=+++-，∴复数1122ii ++的共轭复数为11510i -．∴复数1122i i ++的共轭复数的虚部为110-． 3．A 解：∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强，∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选：A ．4．C 解：双曲线22:1124x y C =中，右焦点(4,0)F ，则双曲线C 的两条渐近线方程为y x =，即3y x =±；由过点F 的直线交两渐近线于点P ，Q ，不妨设点P 在第一象限点Q 在第四象限，90OPQ ∠=︒，如图所示；则Rt POQ △中，60POQ ∠=︒，又30POF ∠=︒，4OF =，∴OP =，∴|||6PQ OP ==．故选：C ．5．B 解：一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ，则1ξ的可能取值为0，1，2，11~2,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()112233E ξ=⨯=，()11242339D ξ=⨯⨯=，当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则2ξ的可能取值为0，1，()22110323P ξ==⨯=，()221122132323P ξ==⨯+⨯=，∴()212201333E ξ=⨯+⨯=，()2222122012/93333D ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴12E E ξξ=，12D D ξξ>．故选：B ．6．C 【详解】解：由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n 的初值为1，终值为2019，步长为2，故循环共执行了1009次．由S 中第一次累加的是1121-=，第二次累加的是3124-=，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和，故选：C ．7．C 【详解】由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 是11C D 的中点，俯视图如图所示：可得其面积为：1113222111122222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选C ． 8．【详解】由图易知xOA α∠=，xOB β∠=-知．由题可知，5sin 13β=-，由AOB S =△知3AOB π∠=，即3παβ-=，即3παβ=+，则112111sinsin cos sin (1cos )222222222222αααααααα⎫-+=-+=--+⎪⎭1cos sin sin sin 226362ππππαααββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12cos 13β===． 故答案为：B ．9．【解答】解：函数1()sin (0)2sin 2sin 23f x x x x x x πωωωωωω⎛⎫⎛⎫-=->=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由集合{}(0,)()1x f x π∈=-含有4个元素，得2sin 13x πω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1sin 32x πω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即236x k ππωπ-=-+，或7236x k ππωπ-=+，即26k x ππωω=+或322k x ππωω=+，k Z ∈，设1y =-与()y f x =在(0,)+∞上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ，则322A x ππωω=+，46B x ππωω=+，∵()1f x =-在(0,)π上有且只有四个交点，则A B x x π<„，即32426πππππωωωω+<+„，得72526ω<„，故选：D ．10．【解答】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，则1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=，同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=，故与前三式联立，得123y =-，22y =，343y =-，211149y x ==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=．故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选：C ． 11．【详解】连接1B C ，设平面11A B CD 与对角线1AC 交于M ，由11B C BC ⊥，1DC BC ⊥，可得1B C ⊥平面11A B CD ，即1B C ⊥平面1A DM ，所以存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ，所以①正确； 由11BD B D ∥，11A D B C ∥，利用平面与平面平行的判定，可得证得平面1A BD ∥平面11B D C ， 设平面1A BD 与1AC 交于M ，可得DM ∥平面11B D C ，所以②正确； 连接1AD 交1A D 于点O ，过O 点作1OM AC ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AD ⊥平面11ABC D ，所以1AD OM ⊥，所以OM 为异面直线1A D 与1AC 的公垂线，根据11AOE AC D ∽△△，所以111OM OA C D AC =，即111OA C D OM AC ⋅===． 所以1A DM △的最小面积为111122A DM S A D OM =⨯⨯=⨯=△． 所以若1A DM △的面积为S，则,3S ⎡∈⎢⎣，所以③不正确； 再点P 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中，1S 从1减少趋向于0，即1(0,1)S ∈，2S 从增大到趋向于2，即2(0,2)S ∈，在此过程中，必存在某个点P 使得12S S =，所以④是正确的． 综上可得①②④是正确的，故选：C ． 12．【详解】由题意得：()2(1)111()1x x x x xx xe xe x e x f x e xe x x x+-+--'=+--==易得0x >，10x +>，设0()f x '=，可得10x xe -=，可得1x e x =，由xy e =与1y x=图像可知存在0(0,1)x ∈，使得001x e x =，可得当()00,x x ∈，()0f x '<，当()0,x x ∈+∞，()0f x '>，可得()f x 得最小值为0()f x ，即()000001ln 21x a f x x e x x -==⋅---=-； 同理：()2222222(1)1(1)(1)()1x x x x x ex xe e e x x x g x x x x x --------+-'=+-==．设0()g x '=，可得1x =或者2x e x -=，由2x y e-=与y x =得图像可知，存在1(0,1)x ∈，使得121x e x -=，可得当()1,x x x ∈时，0()g x '<，当()1,1x x ∈时，0()g x '>，当(1,)x ∈+∞时，0()g x '>，可得1()g x 即为()g x 得最小值，可得()1112211112ln 121x x x e b g x e x x x e ---==+-=+--=-，故1a b ==-，故选：A ．13．【答案】240 二项展开式的第1r +项的通项公式为1(2)rr n r r n T C x -+⎛= ⎝ 由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，可得，12:2:5n n C C =，解得：6n =．所以366216(2)2(1)rr r n rr r r r nT C x C x ---+⎛==- ⎝，令3632r -=，解得：2r =， 所以3x 的系数为262262(1)240C --=，故选：C ．14．解：假设甲，乙两个同学回答正确，∵在[)0,+∞上函数单调递增；∴丙说“在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称”错误．此时(0)f 是函数的最小值，∴丁的回答也是错误的，这与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾，∴只有乙回答错误． 15．4516【答案】(2,4) 【解析】2sin 2sin sin 32sin sin cos 2cos sin 21sin sin sin sin 2sin cos c b C B B B B B B B b a B A B B B B++=+=+=+2211cos 22cos 4cos 1cos cos B B B B B=++=+-，又2(0,)B π∈，且3(0,)A B B π+=∈，所以0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设1cos ,12B t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，令22141()c b t f t b a t +=+-=，则322181'()80t f t t t t -=-=>，故()f t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以2()4f t <<． 17．（Ⅰ）由12a =，121n n a a pn +=+，得1223,222p p a a +==，42a h =， 则21322p p a +=，132p a +=，131422p p a ++=，242pa =，由1a -，212a ，4a 成等差数列，得241a a a =-，即2222p p -=，解得：1p =；（Ⅱ）假设存在p ，使得{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即2122222p p p ++=⋅=，则22p p =+，即2p =，此时211212n n n a a pn ++=+=，23122n n n a a +++=，∴24n na a +=，当n 为奇数时2nn a =，当n 为偶数，2n n a =． ∴故存在实数2p =，使得{}n a 为等比数列．18．【解答】（1）证明：因为ABCD 是矩形，所以BC AD ∥，又因为BC ⊄平面ADE ，所以BC ∥平面ADE ，因为DE CF ∥，CF ⊄平面ADE ，所以CF ∥平面ADE ，又因为BC CF C =I ，所以平面BCF ∥平面ADF ，而BC ⊂平面BCF ，所以BF ∥平面ADE ．（5分）（2）解：因为CD AD ⊥，CD DE ⊥，所以60AE ∠=︒，因为CD ⊥平面ADE ，故平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 由2AD =，3DE =，60ADE ∠=︒，得1DO =，2FO =，则A ，(3,1,0)C -，(0,1,0)D -，(0,2,0)E ，所以OB OA AB OA DC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，由已知13,,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以(3,2,BE =-u u u r，10,,2BG ⎛= ⎝u u u r ，设平面BEG 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则320102m BE x y m BG y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩u r u u u r u r u u u r 取3x =，6y =，z =m =u r ，又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)n =r，所以1cos ,4m nm n m n ⋅<>===⋅u r ru r r u r r ，即二面角B EG D --的余弦值为14．（12分） 19．【详解】（1）易知2a =，因为120BF BF ⋅=，所以12BFF △为等腰三角形． 所以b c =，由222a b c -=可知b =22142x y +=． （2）由已知得22b c =，222a c =，设椭圆的标准方程为222212x y c c+=，P 的坐标为()00,x y因为1(,0)F c -，(0,)B c ，所以()100,F P x c y =+，1(,)F B c c =， 由题意得120BF BF ⋅=，所以000x c y ++=．又因为P 在椭圆上，所以22002212x y c c+=，由以上两式可得200340x cx +=因为P 不是椭圆的顶点，所以043x c =-，013y c =，故41,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，则123x c =-，123y c = 圆的半径r ==假设存在过2F 直线满足题设条件，并设该直线的方程为()y k x c =-r =，=，即21202010k k +-=，解得1210k =-±，故存在满足条件的直线． 20．【详解】（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为47，∴0.0150.014550.03450.04(4745)0.5b -⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得0.026b =．∴0.0430.032550.010100.5a ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a = ∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是10.01100.9f =-⨯=甲；乙在1分钟内解开密码锁的频率是10.03550.02550.7f =-⨯-⨯=乙；（2）由（1）知，甲、乙、丙在1分钟内解开密码锁的概率分别是10.9p =，20.7p =，30.5p =． 且各人是否解开密码锁相互独立；设按乙丙甲的顺序对应的数学期望为()1E X ，按丙乙甲的顺序对应的数学期望为()2E X ． 则()121P X p ==，()()12321P X p p ==-，()()()123311P X p p ==--，()()()()12232323232131132E X p p p p p p p p p =+-+--=--+，∴()()1232323E X p p p p p =-++-， ①∴()()1232323 1.45E X p p p p p =-++-= 同理可求得()()2232333 1.65E X p p p p p =-++-= 所以按乙丙甲派出的顺序期望更小． ②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙， （下面是理由，给老师和学生参考）设按先后顺序自能完成任务的概率分别为1p ，2p ，3p ，且1p ，2p ，3p 互不相等， 根据题意知X 的取值为1，2，3；则1(1)P X p ==，()12(2)1P X p p ==-，()()12(3)11P X p p ==--()()()112121212()2131132E X p p p p p p p p p =+-+--=--+，∴()12121()3E X p p p p p =-++-，若交换前两个人的派出顺序，则变为()121223p p p p p -++-，由此可见，当12P P >时，交换前两人的派出顺序会增大均值，故应选概率最大的甲先开锁； 若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，∵交换前()()12121112()3321E X p p p p p p p p =-++-=---， ∴交换后的派出顺序则期望值变为()111321p p p ---，当23p p >时，交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（教学期望）达到最小． 21．【详解】 （1）由424()ln ln 024x b a xb f x f ax x x x x ⎛⎫+=-++-+=⎪⎝⎭，得4b a = 则24()ln xaf x ax x=-+，222144()(0)a ax x a f x a x x x x -+-'=--=>， 若21160a ∆=-≤时，即14a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递减 若21160a ∆=->，即104a <<时，2()4h x ax x a =-+-有两个零点零点为：10x =>，20x => 又2()4h x ax x a =-+-开口向下当10x x <<时，()0h x <，0()f x '<，()f x 单调递减 当21x x x <<时，()0h x >，0()f x '>，()f x 单调递增； 当2x x >时，()0h x <，0()f x '<，()f x 单调递减；综上所述，当14a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当104a <<时，()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x 在⎝⎭上单调递增．（2）由（1）知当14a ≥时，()f x 单调递减，不可能有三个不同的零点；当104a <<时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递减，()f x 在()12,x x 上单调递增22(2)ln 220f a a =-+=，又124x x =，有122x x <<()f x 在()12,x x 上单调递增，()1(2)0f x f <=，()2(2)0f x f >=+2322411()ln ln 24xa f x ax f a a x a a⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭ 令231()ln 24g a a a a=--+，42222411221()122a a a g a a a a a -+'=-++=令4()1221h a a a =-+，3()482h a a '=-单调递增 由3()4820h a a '=-=，求得014a => 当104a <<时，()h a 单调递减，311)1024(64h a h ⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭23211()ln 24f g a a a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故2111()3ln 240416f g a g a ⎛⎫⎛⎫=<=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故210f a ⎛⎫<⎪⎝⎭，()20f x >，221x a >． 由零点存在性定理知()f x 在区间221,x a ⎛⎫⎪⎝⎭有一个根，设为：0x 又()0040f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得040f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1040x x <<，04x 是()f x 的另一个零点故当104a <<时，()f x 存在三个不同的零点04x ，2，0x22．【解答】解：（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭(cos sin )2ρθρθ-=-，化成直角坐标方程得)2x y -=- ∴直线l 的方程为40x y -+=，依题意，设,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离6d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭当26t k ππ+=，即26t k ππ=-，k Z ∈时，max d =，故点P 到直线l的距离的最大值为（2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>)40t ϕ++>（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故a 取值范围(0,．23．证明：（1）()22222()4a b ab c a b acab bc abc ++=+++==…，当且仅当a b c ==时取等号， （2）∵a ，b ，c 均为正实数，12322a a +++=，当且仅当12a +=，即1a =时取等号，32b +32c +962a b c +++=„．1a b c ===时取等号附加：2．（1）由正弦定理得，sin sin AB BCBCA BAC=∠∠，即sin 4BCA =∠，解得sin 12BCA ∠=． （2）设AC x =，3AD x =，在Rt ACD △中，CD ==，sin 3CD CAD AD ∠==， 在ABC △中，由余弦定理得，2222cos2AB AC BC RAC AB AC +-∠==⋅．又2BAC CAD π∠+∠=，所以cos sin RAC CAD ∠=∠23=整理得23830x x --=，解得3x =或13x =-（舍去），即3AC =2．试题解析：（1）解：由3()(1)f x x ax b =---，可得2()3(1)f x x a '=--． 下面分两种情况讨论：（1）当0a ≤时，有2()3(1)0f x x a '=--≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞．（2）当0a >时，令0()f x '=，解得1x =+1x = 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间为133⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递增区间为,13⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，13⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（Ⅰ）知0a >，01x =， 由题意，得()()212310f x x a '=--=，即()2013ax -=， 进而()()300002133a af x x ax b x b =---=---， 又()()()()()3000000082322222123333a a a f x x a xb x ax a b x b f x -=----=-+--=---=，且0032x x -=，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数1x 满足()()10f x f x =，且10x x ≠，因此1032x x =-，所以0123x x +=．（Ⅲ）证明：设()g x 在区间[]0,2上的最大值为M ，{}max ,x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分三种情况讨论：（1）当3a ≥时，1021≤<≤+，由（Ⅰ）知，，()f x 在区间[]0,2上单调递减，所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为[](2),(0)f f ，因此{}max (2)(0)M f f ={}max 121a b b =----{}max 1(),1()a a b a a b =-++--+1(),01(),0a ab a b a a b a b -+++≥⎧=⎨--++<⎩ 所以12M a a b =-++≥．（2）当334a ≤<时，101121≤<<<≤(0)11f f f ⎛⎛≥=+ ⎝⎭⎝⎭，(2)11f f f ⎛⎛≤+=- ⎝⎭⎝⎭所以()f x 在区间[]0,2上的取值范为1,1f f ⎡⎤⎛⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此max 1|133M f f ⎧⎫⎛⎛⎪⎪=+- ⎨⎬ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭max a b a b ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭max ()()a b a b ⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭231||944a b =+≥⨯=． （3）当304a <<时，0112<<+<，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，(0)11f f f ⎛⎛<=+ ⎝⎭⎝⎭，(2)11f f f ⎛⎛>+= ⎝⎭⎝⎭所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为[](2),(0)f f ，因此{}{}max (0)(2)max 1,12M f f b a b ==---- {}max 1(),1()a a b a a b =-++--+ 11||4a ab =-++>综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于14．。
衡水中学2020届高三下学期三模数学(文)试题含解析
A。m//α,n//αB.m⊥α，n⊥α
C.m//α,n⊂αD。m、n与α所成的角相等
【答案】D
【解析】
【分析】
利用线面平行与面面平行的性质定理逐个进行验证即可得到答案。
【详解】解：A：m、n可以都和平面 垂直，不必要 ；
【分析】
（Ⅰ）两边同时除以 得： ,即可得证;
（Ⅱ）由(Ⅰ)知 , ，再利用裂项相消法求和即可得证；
【详解】解:（Ⅰ）证明:当 时,由 ，
两边同时除以 得: ，
由 ，得 ，
故数列 是以1为首项,1为公差的等差数列.
(Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 ，
所以 ，
所以
.
因为 ，故 .
【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于基础题.
4。从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图数据如图。根据茎叶图，下列描述正确的是（ ）
A. 甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐
B. 甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数,但乙种树苗比甲种树苗长得整齐
C. 乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数,且乙种树苗比甲种树苗长得整齐
6。已知 的图像关于原点对称，且当 时， （其中 是 的导函数）， ， ，则下列关系式正确的是（ ）
A。 B。
C。 D。
【答案】A
【解析】
试题分析：由 得 ，即当 时, 单调递减;又函数 的图像关于原点对称，所以 是偶函数，且当 时， 单调递增; ，∴ ，因此 ．
考点：1、函数的单调性;2、导函数;3、函数的奇偶性．
故答案为：
【点睛】本题考查导数的应用，本题难点在于对 的理解,同时等价转化,化繁为简,同时掌握常用的不等式，比如 ,属中档题.
河北省衡水中学2020届高三年级下学期三调考试(理数)
河北省衡水中学2020届高三年级下学期三调考试数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集R U =，集合}06|{2≥--=x x x A ，}1|{≥=x x B ，则=B A C U I )(( )A ．}31|{<≤x xB ．}32|{<≤x xC ．}3|{>x xD ．2．已知等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，364S S =，852=-a a ，则=2a( )A ．4B ．－4C ．12D ．－123．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--≤-+,0,01,042y y x y x 则目标函数y x z +=的最大值为 ( )A ．lB ．2C．37 D ．44．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生 近视形成的原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生近视的人数分别为 ( )A ．600，72B ．600，80C ．1200，90D ．1200，3005．已知双曲线以椭圆14822=+y x 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的渐近线方程是( )A ．x y ±=B ．x y 2±=C ．x y 2±=D ．4±=y6．用数字0，l ，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中比3000大的奇数的个数是( )A ．6B ．12C ．18D ．247．函数xx xy sin cos +=的部分图象大致为( )8．运行如图所示的程序框图，若输出结果为713，则判断框中应该填的条件是 ( ) A ．?5>kB ．?6>kC ．?7>kD ．?8>k9．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，2=，则=⋅FE FD ( )A ．98-B ．43-C ．94-D ．41-10．设c b a ,,均为正数，且c b a cba 2log 21,21log 21,21log 2=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则 ( )A ．C b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．C a b <<11．如图，已知半圆的直径20||=AB ，l 为半圆外的一条直线，且与BA 的延长线交于点T ，4||=AT ，半圆上相异两点M ，N 与直线l 的距离||MP ，||NQ 满足条件1||||||||==NA NQ MA MP ，则||||AN AM +的值为 ( ) A ．22B ．20C ．18D ．1612．已知函数x x x f ln )(=，ex ax x g 3221)(3--=，若函数)(x f 的图象与函数)(x g 的 图象在交点处存在公切线，则函数)(x g 在点())1(,1g 处的切线在y 轴上的截距为( )A ．e32-B ．e32C ．ee 323+-D ．ee 322+ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若),(1)1(R y x yi ixi ∈+=+，则=+||yi x ____________． 14．已知直线l 1是曲线x y ln =在1=x 处的切线，直线l 2是曲线xe y =的一条切线，且21//l l ，则直线l 2的方程是______________．15．如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD ．若ο90=∠BPC ，2=PB ，2=PC ，则四棱锥ABCD P -的体积的最大值为__________．16．已知离心率为21的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 恰好过抛物线x y 162=的焦点F ，A 为椭圆的上顶点，P 为直线AF 上的一个动点，点A 关于直线OF 的对称点为Q ，则||PQ 的最小值为____________．三、解答题（共70分。
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2019-2020年河北省衡水中学高三（下）3月月考数学试卷
一、单选题
1．设复数z满足|z﹣1|＝1，则z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1
C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝1
2．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）
A．B．C．D．1
3．等差数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）
A．0B．9C．12D．18
4．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知函数的两个零点分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）
A．﹣2＜x1＜﹣1，x1+x2＞﹣2B．﹣2＜x1＜﹣1，x1+x2＞﹣1
C．x1＜﹣2，x1+x2＞﹣2D．x1＜﹣2，x1+x2＞﹣1
6．抛物线方程为x2＝4y，动点P的坐标为（1，t），若过P点可以作直线与抛物线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率为（）
A．B．C．2D．﹣2
7．已知函数，则下述结论中错误的是（）A．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在[0，2π]有且仅有2个极小值点
B．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在上单调递增
C．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是
D．若f（x）图象关于对称，且在单调，则ω的最大值为9
8．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：
万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（）
A．6.25%B．7.5%C．10.25%D．31.25%
9．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象．若g（x）为奇函数，则m的最小值为（）
A．B．C．D．
10．一个由两个圆柱组合而成的的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为r1，大圆柱底面半径为r2，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为h1．如图2放置容器，液面以上空余部分的高为h2．则＝（）
A．B．C．D．
11．双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支
上一点，且•（＝0（O为坐标原点），cos∠PF2F1＝，则双曲线C的离心率为（）
A．2B．C．D．
12．设函数f（x）＝﹣t（lnx+x+）恰有两个极值点，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（，+∞）
C．（，）∪（，+∞）D．（﹣∞，]∪（，+∞）
二、填空题
13．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”．那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大0.915．14．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为4的菱形，∠ABC＝60°，AA1＝4，过点B与直线AC1垂直的平面交直线AA1于点M，则三棱锥A﹣MBD的外接球的表面积为68π．
15．已知等差数列{a n}的前n项和是S n，a4﹣a2＝6，且a1，a3，a8成等比数列，则＝．
16．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题．现有△ABC满足“勾3股4弦5”，其中“股”AB＝4，D 为“弦”BC上一点（不含端点），且△ABD满足勾股定理，则＝．三、解答题
17．已知在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，b sin B+a sin C＝a sin A+c sin C．（1）求角B；
（2）若c＝1，△ABC的面积为，求C．
18．已知椭圆的短半轴长为，离心率为．（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A在第一象限，AE⊥x轴，垂足为E，连接BE并延长交椭圆于点D，证明：△ABD是直角三角形．
19．如图1，在等腰梯形ABF1F2中，两腰AF2＝BF1＝2，底边AB＝6，F1F2＝4，D，C是AB的三等分点，E是F1F2的中点．分别沿CE，DE将四边形BCEF1和ADEF2折起，使F1，F2重合于点F，得到如图2所示的几何体．在图2中，M，N分别为CD，EF的中点．
（1）证明：MN⊥平面ABCD．
（2）求直线CN与平面ABF所成角的正弦值．
20．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向．为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如下：
AQI[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272510（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为
，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期
望．
21．已知函数
（Ⅰ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性
（Ⅱ）当a＝1时，，对任意x∈（0，+∞），都有F（x）≥1恒成立，求实数b的取值范围．
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，0≤α＜π）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝．
（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点的直角坐标为（1，2），求直线l的斜率．23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x+|，（实数a＞0）．
（1）当a＝1，求不等式f（x）＞3的解集；
（2）求证：f（x）≥2．
24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD ＝1，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明：P A∥平面EDB；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求P A与面ABCD所成角的正弦值．
25．设函数f（x）＝x﹣，g（x）＝tlnx，其中x∈（0，1），t为正实数．（l）若f（x）的图象总在函数g（x）的图象的下方，求实数t的取值范围；
（2）设H（x）＝（lnx﹣x2+1）e x+（x2﹣l）（l﹣），证明：对任意x∈（0，1），都有H （x）＞0．。