第一章基本概念

，
其中 都是已知的实值连续函数.
在上例中, , , , , 是线性的, , 是非线性的.
2．微分方程的解
微分方程的解是一个函数，函数就有定义域，设为区间 .
定义2设函数 在区间 上连续,且有直到 阶导数，若用
分别代替方程 中的 后,使 在 内为关于 的恒等式,即
，
则称函数 为方程 在区间 上的一个解.
从这里可以看出：一个常微分方程可以有无穷多个解．给 一个确定的值,就得到方程的一个解.
3．通解和特解
因为方程 的任一确定的解,必有 的形式(但其中的 取特定的值)，故 称为此方程的通解，当 取确定数值时所得到的解称为此方程的一个特解．一般地，我们有：
定义3设 阶微分方程 的解 包含 个独立的常数 ,则称它为 阶微分方程 的通解；若 的解 不包含任意常数，则称它为特解.
因为 表示B的位置坐标，所以它对 的一阶导数 表示B的瞬时速度 ;而二阶导数 则表示Ｂ的瞬时加速度 .由牛顿第二运动定律,有 ，故得 ,
这样可得一个微分方程
(1.1２）
为了得出落体的运动规律,需要求解这个微分方程.
在（1.１2）两侧对 积分一次,得
(1.13)
其中 是一个任意常数,再把(1．1３）对 积分一次，就得
一般 阶常微分方程具有形式
或者是显式
由代数方程引出微分方程,问题是出现了什么新东西?
二.微分方程Biblioteka Baidu有关概念
1.微分方程的线性与非线性
ⅰ）线性微分方程
如果 式的左端关于未知函数和它的各阶导数都是一次的有理整式，则称 为 阶线性常微分方程．
ⅱ）非线性微分方程
不是线性微分方程的,称为非线性微分方程．
阶线性常微分方程的一般形式是
, (1.１５）
将条件（1.1５）分别代入（1.13)和（1．14）,可得 ， ．
这样，在初值条件(1.15)下，从微分方程(1.12)唯一地确定了一个解
（1.16）
它就描述了具有初始高度 和初始速度 的自由落体运动.
称（1.1６)是初值问题
(1.１７)
的解，初值问题又叫柯西问题.
由以上简单实例可以看出：
3.一般对 阶微分方程 的初值问题的提法是：
(1.1８）
于是 阶微分方程的初值问题可以提成如下形式：
(１.1９）
求初值问题的办法一般是，先由方程解出通解,再利用初值条件定出通解中的任意常数,从而得出要求的特解．
（1.1４)
其中 是另一个任意常数.可知(1．1４）是微分方程（1．１２)的通解.
通解(1．１4)就表示自由落体的运动规律,在(1.14)中含有两个任意常数.这说明微分方程（1．1２)有无穷多个解.
为了要得到特定的物体运动规律,还必须考虑当运动开始时落体是在什么地方,且以什么样的速度运动的,即下面的初值条件：
1.微分方程的求解,与一定的积分运算相联系,因此也常把求解微分方程的过程称为积分一个微分方程,而把微分方程的解称为这个微分方程的一个积分.由于每进行一次不定积分运算，会产生一个任意常数，因此仅从微分方程本身求求解（不考虑定解条件）,则 阶微分方程的解应该包含 个任意常数.
2．微分方程所描述的是物体运动变化的瞬时规律,求解微分方程,就是从这种瞬时规律出发，去获得运动的全过程.为此，需要给定这一运动的一个初始状态(即初始条件），并以此为基点去推断这一运动的未来,同时也可以追朔它的过去.
以后我们讨论的函数都是实的单值函数，解 的直到 阶的导数不仅存在而且连续.为了方便，当函数 在区间 内具有直到 阶连续微商时,常简记为 ，或者 ． 表示 在区间 内连续.
例1求微分方程 的解,其中 ．
解在数学分析中就是求函数 的原函数 ，故只需要在上式两端关于自变量 积分，便得到
这里 是任意常数,显然不论 取任何值，上式都是方程的解.
在代数中我们研究过求解高次代数方程
．
代数方程——含有一个变元的关系式，即由已知数 与未知数 组成的等式,运算有: 乘方， ，它的解是数.由代数基本定理知道，它的解只有有限个.
在数学分析中也研究过由隐式 确定的隐函数 的问题.
函数方程——至少含有两个变元的关系式,即由自变量 和函数 组成的等式.运算有 函数运算, .它的解是函数.由隐函数存在唯一性定理知，解为有限.
4.初值条件、初值问题
例3在只有重力的作用下，求落体在铅直方向的运动规律.
设落体的运动只在重力作用下进行,不考虑空气阻力等其他外力的作用，此时落体作垂直于地面的自由落体运动.如图1．1.
取坐标轴 从地面垂直向上,问题是：落体B的位置坐标 如何随时间 变化？
在运动过程中,落体只受重力 的作用,设落体的质量是 ,则 ,其中 是重力加速度,这里出现负号是因为重力的方向是向下的，与 轴的正方向相反.
从通解的定义可以看出，通解包含了方程的无穷多个解,它是解的一般表达式，但有例子可以说明,通解不一定是方程的全部解.
这里称 个任意常数 是独立的，其含意是 关于 的雅可比(Ｔacoｂi)行列式
.
显然，当任意常数一旦确定以后，通解就变成了特解.如例2中，当 时， ．这里取 ,则有特解 .我们把 称为附加条件.可见确定一个特定的解一般是要附加条件的.
第一章--基本概念
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第一章 基本概念
§1微分方程及其解的定义
一．[内容简介]
本节结合常微分方程的实例,讲解与常微分方程有关的一些基本概念和术语．
二.[关键词]常微分方程,微分方程的通解，初始条件，特解
三．［目的与要求]
１.正确理解微分方程、常微分方程及其阶、线性微分方程与非线性微分方程、解、通解、初始条件、初始值问题和特解等基本概念.
２.了解常微分方程与生产实际和科学技术的紧密联系，了解常微分方程讨论的基本问题.
四.[教学过程]
§1微分方程及其解的定义
一．何谓微分方程
这是首先要解决的一个问题,为此我们先从代数方程说起.
定义1所谓微分方程,就是一个或几个包含自变量、未知函数以及未知函数的某些微商的方程式.
例如, ,
，
，
，
，
,
,
以上这些都是微分方程.
只含一个自变量的微分方程称为常微分方程，自变量多于一个的微分方程称为偏微分方程.例如，上例 — 都是常微分方程， 是偏微分方程．方程中所含未知函数的最高阶导数的阶数，叫做方程的阶.例如, , , , ， 是一阶方程， 和 是二阶方程.