第一章基本概念
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工程热力学第一章 基本概念 热力系统
5．功和功率的单位：
J
或 kJ
J/s W kJ/s kW
附： 1kWh 3600kJ
31
6．讨论 有用功(useful work)概念
Wu W Wl Wp
其中:
pb
f
W—膨胀功(compression/expansion work)； Wl—摩擦耗功； Wp＿排斥大气功。
例A7001331
1．功的力学定义 2．功的热力学定义：通过边界传递的能量其全部 效果可表现为举起重物。 3．可逆过程功的计算
W δW
1
2
pAdx pdV
1 1
2
2
▲功是过程量 ▲功可以用p-v图上过程线 与v轴包围的面积表示
30
4．功的符号约定： 系统对外作功为“+”
外界对系统作功为“-”
分 类
共同本质：由媒介物通过吸热—膨胀作功—排热
2
二、工质(working substance; working medium)
定义：实现热能和机械能相互转化的媒介物质。
对工质的要求:
1）膨胀性 2）流动性 物质三态中 气态最适宜。
3）热容量
4）稳定性，安全性 5）对环境友善 6）价廉，易大量获取
pA F cos pb A ( f 0)
准静态过程，可逆
28
讨论： 1.可逆=准静态+没有耗散效应
2.准静态着眼于系统内部平衡，可逆着眼于
系统内部及系统与外界作用的总效果
3.一切实际过程不可逆
4.内部可逆过程的概念
5.可逆过程可用状态参数图上实线表示
29
1-6 功和热量
一、功(work)的定义和可逆过程的功
J
或 kJ
J/s W kJ/s kW
附： 1kWh 3600kJ
31
6．讨论 有用功(useful work)概念
Wu W Wl Wp
其中:
pb
f
W—膨胀功(compression/expansion work)； Wl—摩擦耗功； Wp＿排斥大气功。
例A7001331
1．功的力学定义 2．功的热力学定义：通过边界传递的能量其全部 效果可表现为举起重物。 3．可逆过程功的计算
W δW
1
2
pAdx pdV
1 1
2
2
▲功是过程量 ▲功可以用p-v图上过程线 与v轴包围的面积表示
30
4．功的符号约定： 系统对外作功为“+”
外界对系统作功为“-”
分 类
共同本质：由媒介物通过吸热—膨胀作功—排热
2
二、工质(working substance; working medium)
定义：实现热能和机械能相互转化的媒介物质。
对工质的要求:
1）膨胀性 2）流动性 物质三态中 气态最适宜。
3）热容量
4）稳定性，安全性 5）对环境友善 6）价廉，易大量获取
pA F cos pb A ( f 0)
准静态过程，可逆
28
讨论： 1.可逆=准静态+没有耗散效应
2.准静态着眼于系统内部平衡，可逆着眼于
系统内部及系统与外界作用的总效果
3.一切实际过程不可逆
4.内部可逆过程的概念
5.可逆过程可用状态参数图上实线表示
29
1-6 功和热量
一、功(work)的定义和可逆过程的功
工程热力学-01 基本概念及定义
平衡状态1
p1 v1
p
p2
2
压容图 p-v图
平衡状态2
p1
1
p2 v2
O
v2
v1
v
12
1-4 状态方程式
在平衡状态下，由气态物质组成的系统，只要知道两个独立的 状态参数，系统的状态就完全确定，即所有的状态参数的数值随之 确定。这说明状态参数间存在某种确定的函数关系，状态参数之间 存在着确定的函数关系，这种函数关系就称为热力学函数。
（2）当系统处于热力学平衡状态时，只要没有外界的影响， 系统的状态就不会发生变化。
（3）整个系统可用一组具有确定数值的温度、压力及其他参
? 数来描述其状态。
10
经验表明，确定热力学系统所处平衡状态所需的独立状 态参数的数目，就等于系统和外界间进行能量传递方式的数 目。对于工程上常见的气态物质组成的系统，系统和外界间传递 的能量只限于热量和系统容积变化所作的功两种形式，因此只需 要两个独立的状态参数即可描述一个平衡状态。
3、平衡状态、稳定状态、均匀状态
（1）关于稳定状态与平衡状态
稳定状态时，状态参数虽不随时间改 变，但它是依靠外界影响来维持的。而平 衡状态是不受外界影响时，参数不随时间 变化的状态。
85℃ 20℃
90℃
15℃
铜棒
平衡必稳定，稳定未必平衡。
（2）关于均匀状态与平衡 水
质统称为外界。 通常选取工质作为热力学系统，把高温热源、低温热源
等其他物体取作外界。
3、边界 ——热力学系统和外界之间的分界面称为边界。
边界可以是固定的，也可以是移动的； 边界可以是实际的，也可以是假想的。
3
二、热力学系统的分类 依据——有无物质或能量的交换
第一章 基本概念
一、代数系统的同态及性质
二、代数系统的同构及性质
三、代数系统同构的意义
一、代数系统的同态及性质
定义1 设集合 M及 M 各有代数运算 o 及o, 且 ϕ是 M到 M 的一个映射 .
___ _ ___
如果 ϕ满足以下条件：对 M中任意元素 a, b, 在 ϕ之下由
a → a, b → b 总有 a o b → a o b,
n次置换
1.3
代数运算
一、代数运算的概念
近世代数的主要任务是研究各种抽象的代数系统(带有运算的集合)。 如何定义运算，先看几个我们熟悉的例子： （1）非负整数集Z上的普通加法“+”； （2）数域F上全体n阶矩阵集上的乘法。 可见运算“+” ，矩阵乘法就是个映射。 定义1 设M是一个集合.如果有一个法则，它对M中的任 意两个有次序的元素a 与b，在M中有一个惟一确定的元素 d与它们对应，则称这个法则是集合M的一个代数运算.
设ε表示集合 M的恒等变换，则对 ∀σ ∈T ( M )，有
σε ( x ) = εσ ( x ) = σ ( x ), (∀x ∈ M ),
从而 εσ = σε = σ，
在变换的乘法中，恒等变换着数1在数的普通乘法中相同的作用。
结论：设S(M)表示集合M的全体双射变换作成的集合，则
S ( M ) ⊆ T ( M ), 且变换乘法也是S ( M )的一个代数运算。
f o g, 即 f o g : X → Z,
对∀x ∈ X , ( f o g )( x ) = f [ g ( x )].
四、变换
定义：集合X 到自身的映射，叫做集合X的一个变换 . 定理3 含n个元素的任意集合共有n!个双射变换.
对有限集合的双射变换 ϕ，常用以下特殊符号表 示： L 2 n ⎞ ⎛ 1 ϕ =⎜ ⎜ ϕ (1) ϕ ( 2) L ϕ ( n) ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
二、代数系统的同构及性质
三、代数系统同构的意义
一、代数系统的同态及性质
定义1 设集合 M及 M 各有代数运算 o 及o, 且 ϕ是 M到 M 的一个映射 .
___ _ ___
如果 ϕ满足以下条件：对 M中任意元素 a, b, 在 ϕ之下由
a → a, b → b 总有 a o b → a o b,
n次置换
1.3
代数运算
一、代数运算的概念
近世代数的主要任务是研究各种抽象的代数系统(带有运算的集合)。 如何定义运算，先看几个我们熟悉的例子： （1）非负整数集Z上的普通加法“+”； （2）数域F上全体n阶矩阵集上的乘法。 可见运算“+” ，矩阵乘法就是个映射。 定义1 设M是一个集合.如果有一个法则，它对M中的任 意两个有次序的元素a 与b，在M中有一个惟一确定的元素 d与它们对应，则称这个法则是集合M的一个代数运算.
设ε表示集合 M的恒等变换，则对 ∀σ ∈T ( M )，有
σε ( x ) = εσ ( x ) = σ ( x ), (∀x ∈ M ),
从而 εσ = σε = σ，
在变换的乘法中，恒等变换着数1在数的普通乘法中相同的作用。
结论：设S(M)表示集合M的全体双射变换作成的集合，则
S ( M ) ⊆ T ( M ), 且变换乘法也是S ( M )的一个代数运算。
f o g, 即 f o g : X → Z,
对∀x ∈ X , ( f o g )( x ) = f [ g ( x )].
四、变换
定义：集合X 到自身的映射，叫做集合X的一个变换 . 定理3 含n个元素的任意集合共有n!个双射变换.
对有限集合的双射变换 ϕ，常用以下特殊符号表 示： L 2 n ⎞ ⎛ 1 ϕ =⎜ ⎜ ϕ (1) ϕ ( 2) L ϕ ( n) ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
第1章 概率论的基本概念
试验者
德•摩根 蒲 丰 K•皮尔逊 K•皮尔逊 维 尼
n
2048 4040 12000 24000 30000
nH
1061 2048 60199 12012 14994
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
nA 频率 f n ( A) 具有如下基本性质: n
统计概率的性质
1. 非负性：对每个事件A有 1 P ( A) 0; 2. 规范性：对必然事件S有 P ( S ) 1;
3. 有限可加性：设A1,A2,…An是两两互不相容事件 则 P( A1 A2 ... An ) P( A1 ) P( A2 ) ... P( An )
交换律 A B B A
A B B A
结合律 ( A B) C A ( B C )
( A B) C A ( B C )
分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C )
A ( B C ) ( A B) ( A C )
其结果可能为:
正品、次品。
其结果可能为: 红、黄、绿。
实例6 “出生的婴儿可能是男，也可能是 女”。
实例7 “明天的天气可能是晴 , 也可能是多云 或雨 ”。
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的。
问题 什么是随机试验？
1. 试验（Experiment）：包括各种各样的科学实 验，也包括对客观事物的“观察”、“测量”等。 2. 随机试验（E，Random experiment）：具有以 下三个特征的试验： （1）可以在相同的条件下重复地进行; （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能 事先明确试验的所有可能结果; （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现。
第二次课 第一章 基本概念
无温差－热的平衡 热力平衡状态 无压差－力的平衡 化学平衡 平衡的本质：不存在不平衡势差 为什么要引入平衡概念？？ 如果系统平衡，可用一组确切的参数（压力 p，温度T）来描述
Ï思考题
1）平衡状态与均匀状态之间的关系？
平衡状态是相对时间而言的 均匀状态是相对空间而言的
— 平衡可不均匀 均匀并非系统处于平衡状态的必须条件
吸气 工作物质：
压缩
燃烧、 膨胀
排气
高温燃气 能量转换： 燃料化学能 燃气热能 排入大气 机械能
2）涡扇发动机
压缩
燃烧
膨胀
排气
工作物质： 高温燃气
3）蒸汽轮机
锅炉：燃烧，形成过热蒸汽，化学能转换为热能 汽轮机：膨胀，对外做功，热能转换为机械能 冷凝器：乏汽对环境放热，冷凝为水 水泵：对水进行加压，送入锅炉
mc BT 2
2
3 B k 2
k 为波尔兹曼常数 c 为分子移动的均方根速度
c) 温标： 温度的数值表示法。 建立温标的三个要素： ① 选择温度的固定点，规定其数值； ② 确定温度标尺的分度方法和单位； ③ 选择某随温度变化的物性作为温度测量的 依据。
摄氏温标: 瑞典天文 学 家 摄尔 修斯 （ Celsius ） 于 1742 年 建 立 。用 摄 氏 温 标 确 定的 温度 称 为 摄 氏 温度 ，用 符号t 表示，单位为℃ 。 在标准大气压下，纯水的冰点温度为0 ℃ ，纯 水的沸点温度为100 ℃，纯水的三相点（固、液、 汽三相平衡共存的状态点）温度为0.01℃ 。 选 择 水 银 的 体 积 作 为 温度 测 量的 物性 ， 认 为 其 随温度线性变化，并将0 ℃ 和100 ℃温度下的体积 差均分100份，每份对应1 ℃。
对工质的要求: 1）膨胀性 2）流动性 3）热容量 4）稳定性，安全性 5）对环境友善 6）价廉，易大量获取 例如：空气、燃气、水蒸气、氨蒸气等。 物质三态中 气态最适宜。
热工基础(张学学)第一章
pv = RgT
p = f ( v, T )
f ( p , v, T ) = 0
T = f ( p, v )
14
（3）状态参数坐标图 ） 以独立的状态参数为坐标的坐标图。 以独立的状态参数为坐标的坐标图。
在以两个独立状态参 数为坐标的平面坐标图 上 ， 每一点都代表一个 平衡状态。 平衡状态。
15
6∗
2. 基本状态参数
工程热力学中常用的状态参数有压力、温度、比体积、 工程热力学中常用的状态参数有压力、温度、比体积、 压力 比热力学能、比焓、比熵等 比热力学能、比焓、比熵等。 其中可以直接测量的状态参数有压力、温度、比体积， 其中可以直接测量的状态参数有压力、温度、比体积， 压力 称为基本状态参数 基本状态参数。 称为基本状态参数。
2∗
热力系统： 热力系统：
在工程热力学中，通常选取一定的工质（或空间） 在工程热力学中，通常选取一定的工质（或空间）作为研 究的对象，称之为热力系统 简称系统 热力系统， 系统。 究的对象，称之为热力系统，简称系统。 系统以外的物体称为外界或环境。 系统以外的物体称为外界或环境。 外界 系统与外界之间的分界面称为边界。 系统与外界之间的分界面称为边界。 边界 （1）闭口系统：与外界无 ）闭口系统： 物质交换的系统。 物质交换的系统 。 系统的质 量始终保持恒定， 也称为控 量始终保持恒定 ， 也称为 控 制质量系统。 制质量系统。
第一篇 工程热力学
1∗
第一章 基本概念
热机、工质、 1-1 热机、工质、热源与热力系统
热机：将热能转换为机械能的机器。如内燃机、蒸汽轮机、 热机：将热能转换为机械能的机器。如内燃机、蒸汽轮机、 燃气轮机、喷气式发动机等。 燃气轮机、喷气式发动机等。 工质：实现热能和机械能之间转换的媒介物质。例如空气、 工质：实现热能和机械能之间转换的媒介物质。例如空气、 燃气、水蒸气等。 燃气、水蒸气等。 热源：本身热容量很大， 热源：本身热容量很大，在放出或吸收有限的热量时自身 温度及其它热力学参数没有明显变化的物体。例如锅炉、 温度及其它热力学参数没有明显变化的物体。例如锅炉、循 环水池、大气等。提供热量的热源称为高温热源 热源） 高温热源（ 环水池、大气等。提供热量的热源称为高温热源（热源）； 吸收热量的热源称为低温热源（冷源） 吸收热量的热源称为低温热源（冷源）。 低温热源
工程热力学 第一章 基本概念
位能
（广）
热力学能（广） 摩尔数 （广）
基本热力学参数
温度的热力学定义
温度T 的一般定义
传统：冷热程度的度量。感觉，导热，热容量 微观：衡量分子平均动能的量度
T 0.5 m w 2
热力学第零定律
热力学第零定律（R.W. Fowler）
如果两个系统分别与第三个系统处于 热平衡，则两个系统彼此必然处于热平衡。
恢复平衡所需时间 （驰豫时间）
一般的工程过程都可认为是准静态过程 具体工程问题具体分析。“突然”“缓慢”
准静态过程的容积变化功
以汽缸中mkg工质为系统 初始：pA = p外A +f dl 很小，近似认为 p 不变 如果 p外微小 可视为准静态过程 mkg工质发生容积变 A f 化对外界作的功
z z xy yx
2 2
可判断是否 是状态参数
(3）常用的状态参数有:
压力P、温度T、体积V、热力学能U、 焓H和熵S，其中压力、温度和体积可直 接用仪器测量，称为基本状态参数。其 余状态参数可根据基本状态参数间接算 得。
(4）状态参数有强度量与广延量之分：
强度参数：与物质的量无关的参数
第一章
基本概念
本章基本要求：
掌握工程热力学中一些基本术语和概念：热力系、
平衡态、准平衡过程、可逆过程等。
掌握状态参数的特征，基本状态参数p、v、T 的
定义和单位等。掌握热量和功量这些过程量的特
征，并会用系统的状态参数对可逆过程的热量、 功量进行计算。
了解工程热力学分析问题的特点、方法和步骤。
当h变化大，ρ ρ(h)
p (h) gdh
压力的单位
国际标准单位：帕斯卡(简称帕)
结构力学(第一章)
例4: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为瞬变体系. 该体系为瞬变体系. 方法3: 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的 刚片看成链杆. 刚片看成链杆.
方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.
几何组成作业题
1-1 b c 1-2 a d g h i j k l 交作业时间: 交作业时间:本周 5
§1. 几何组成分 析
作业: 作业: 1-1 (b)试计算图示体系的计算自由度 试计算图示体系的计算自由度
解:
或:
W = 8×311×2 3 = 1 W =1×3+ 5×2 2×2 10= 1
例6: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为无多余约束几何不变体系. 该体系为无多余约束几何不变体系. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.
方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.
§1. 几何组成分析
§1-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则
一. 三刚片规则 二. 两刚片规则 三. 二元体规则 二元体: 二元体:在一个体系上用两个不共线的链杆连 接一个新结点的装置. 接一个新结点的装置. 在一个体系上加减二元体不影响原体系的机动性质. 在一个体系上加减二元体不影响原体系的机动性质.
工程热力学基本概念1绝热刚性容器内的气体通过阀门向
工程热力学第一章基本概念1-1绝热刚性容器内的气体通过阀门向气缸充气。
开始时气缸内没有气体,如图1.1所示。
气缸充气后,气体推动气缸内的活塞向上移动,如图1.2所示。
设管道阀门以及气缸均可认为是绝热的。
若分别选取开口系统与闭口系统,试说明它们的边界应该如何划定?这些系统与外界交换的功量与热量又如何?解：(1)若以容器内原有的气体作为分析对象，属于闭口系统。
容器放气前，边界如图1.1中的虚线所示。
放气后边界如图1.2中的虚线所示。
气体对活塞作的功W是闭口系统与外界交换的功量。
气体通过活塞与外界交换的热量Q是此闭口系统的传热量。
图1.1 图1.2图1.3 图1.4（2）若以容器放气后残留在容器内的气体作为分析对象，同样也是闭口系统。
这时放气前的边界如图1.3中的虚线所示。
放气后的边界如图1.4的虚线表示。
残留气体对离开容器的那部分放逸气体所作的功，是本闭口系统与外界交换的功，残留气体与放逸气体之间交换的热量是本系统的传热量。
（3）类似地若以放逸气体为分析对象，同样也是闭口系统。
其边界将如图1.3和图1.4中的点划线所示。
此闭口系统与外界交换的功量除了与残留气体之间的功量(大小与第二种情况的相同，方向相反)外，还应包括对活塞所作的功。
同样，除了与残留气体之间的传热量(大小与第二种情况的相同，方向相反)外，还应包括通过活塞与外界交换的热量。
（4）若以容器或气缸为分析对象，则均属开口系统，容器的壁面或气缸与活塞的壁面为其边界。
前者以对放逸气体作出的流动功与传热量为系统与外界交换的功量与热量，后者以对活塞及管道内气体的功量与热量为系统与外界交换的功量与热量。
1-2温度为100℃的热源，非常缓慢地把热量加给处于平衡状态下的0℃的冰水混合物，试问：1、冰水混合物经历的是准静态过程吗？2、加热过程是否可逆？解：此热力过程为准静态过程，因为此热力过程的弛豫时间很短，热源非常缓慢地把热量加给冰水混合物，则冰水混合物重建热力平衡的时间远远小于传热过程对冰水混合物平衡状态的破坏，所以可以近似地把此热力过程看作是准静态过程。
《工程热力学》第一章 基本概念
9
1.3.1、基本术语-状态、状态参数
1、状态：工质在热力变化过程中某一瞬间所呈现的宏观 物理状况称状态
2、状态参数：表示状态特征的物理量称为状态参数
状态与状态参数是一一对应的
3、状态参数特点
数学特征为点函数： 微元变化的微增量具全微分性质
4、热力学基本状态参数为三个：比容、压力、 温度
10
1.3.2、基本状态参数--比容及密度
C 1 2 B B A
16
1-4
平衡状态、状态方程式、坐标图
1.4.1 平衡状态与非平衡态 平衡状态：系统在不受外界影响的条件下, 如果宏观热力性质不随时间而变化,系统 内、外同时建立了热平衡、力平衡（及 化学平衡）,此时系统所处状态为平衡态 非平衡态: 系统与外界,系统内部各部分间 存在能量传递及相对位移,状态将随时间 变化,称系统处于非平衡态
受逐渐变化的压力作用下的活塞的移动过程 发生系统状态变化 （力作用）（NEXT）
受变化的恒温热源缓慢加热的活塞系统发生 系统状态变化（热的作用） （NEXT）
26
P3 P2
P1
工质 工 质
工质
受逐渐变化压力作用下的活塞移动过程发生系 统状态变化（P、V、T变化） （力作用）
27
工质
工质
工质
热源T
31
1-6
过程功与热量
1.6.1 功的定义： 1、功的力学定义： 将物体间通过力的作用而传递的能量称为功并 定义：功等于力F与物体在力作用方向上的位移X 的乘积（点积） dW = F ·dX 2、功的热力学定义： 热力学系统和外界通过边界而传递的能量， 其效果可表现为举起重物
区别：功与系统动能、重力位能等“储存能”变化传递 的机械能的本质区别
第一章 逻辑学的基本概念
指出下列命题的主项、谓项、联项和量项及其逻辑形式。
1. 一切交通事故都是违章造成的。 2. 所有运动于万里高空轨道上的人造卫星都是巨资
打造的精密设备。 3. 富裕、有声望的家庭中有的人不是富足或显赫的
人。 4. 有些公认的大艺术家的画作不是已被或应被收藏
在博物馆中以供大众欣赏的精品。 5. 所有不可靠的驾车人都是威胁乘客生命的人。 6. 有以往从未做过一官半职的人在我们今天的政府
阿伦佐、库特、鲁道夫和威拉德是四个天资极高的创 造性地艺术家。一个是舞蹈家，一个是画家，一个是 歌唱家，一个是作家，但不必是这个次序。 ① 那天晚上歌唱家在音乐会舞台上进行他的首次演出 时，阿伦佐和鲁道夫在观众席上。 ② 库特和作家两人有画家为他们画的生活肖像。 ③ 作家正准备写一本阿伦佐的传记，他写的威拉德的 传记是畅销书。 ④ 阿伦佐从未听说过鲁道夫。 请问：每个人的艺术领域分别是什么？
（四）归纳逻辑
“所有的天鹅都是白的” “太阳每天都从东方升起”
（五）变异逻辑、扩充逻辑和元逻辑 （六）现代逻辑学的主要分支
对下列命题进行分析：
1. 拉登是基地组织领导人并且张三在操场上跑步。 2. X+2=0，当且仅当x=-2。 3. 不是所有的奶粉都含有三聚氰胺。 4. 国庆节所有学生都放假。 5. 首都博物馆里有些艺术品价值连城。 6. 大部分天才都不能被同时代人所理解。 7. 罗素不是一位小说家。
舞蹈家 阿伦佐
库特 鲁道夫 威拉德
画家
歌唱家
作家
O×
4. 在小杨、小方和小孙三个人中，一位是经理、一位是教 师，一位是医生。已知： ① 小孙比医生年龄大。 ② 小杨和教师不同岁。 ③ 教师比小方年龄小。 请问：每个人的职业分别是什么？
初中化学第一章复习基本概念和基本理论
初中化学第⼀章复习基本概念和基本理论初中化学第⼀章复习第⼀部分基本概念和基本理论⼀、物质的变化和性质物理变化—物质在变化过程中，没有⽣成其他物质的变化。
物质的变化化学变化—物质在变化过程中，⽣成其他物质的变化。
物理变化例⼦如：空⽓分离法制氧⽓，⽯油分馏，固体NaOH潮解，浓硫酸吸⽔，浓盐酸挥发，活性炭吸附⽓体，物质的三态变化，物质的形状变化。
化学变化例⼦如：晶体失去结晶⽔，风化，⽆⽔硫酸铜变成蓝⾊晶体，⽣⽯灰吸⽔，NaOH吸收⼆氧化碳变质，煤的⼲馏，物质分解，燃烧，物质之间相互反应，钢铁⽣锈、⾷物腐败、酸碱指⽰剂变⾊等。
物理性质—物质不需要发⽣化学变化就能表现出来的性质。
物质的性质化学性质—物质在化学变化中表现出来的性质。
物理性质例⼦如：状态，⽓味，溶解性，挥发性，吸附性，延展性，熔点，沸点，硬度，颜⾊、密度。
化学性质例⼦如；不稳定性，稳定性，酸性，碱性，中性，脱⽔性，可燃性，腐蚀性，活泼性，不活泼性，氧化性，还原性，助燃性，毒性。
⼆、化学反应的类型化合反应—由⼆种或⼆种以上的物质⽣成另⼀种物质的反应。
分解反应—由⼀种物质⽣成两种或两种以上其他物质的反应。
化学反应的类型置换反应—由⼀种单质跟⼀种化合物反应，⽣成另⼀种单质和另⼀种化合物的反应。
复分解反应—由两种化合物互相交换成分，⽣成另外两种化合物的反应。
化合反应（⼏合⼀或多变⼀）（A+B→AB）分解反应（⼀分⼏或⼀变多）（AB→A+B）常见能分解的物质如：H2O ,H2CO3,C u(O H)2,F e(O H)3,CaCO3,KClO,3NH4HCO3,C u2(O H)2C O3置换反应（单+化→单+化）（A+BC→AC+B）；注意：根据⾦属活动性顺序排在前⾯的⾦属能把排在后⾯的⾦属从盐溶液中置换出来或置换酸中的氢，铁在置换反应中⽣成亚铁盐。
复分解反应（化+化→化+化）（AB+CD→AD+CB）注意:复分解反应发⽣在酸，碱，盐之间。
⽣成物中必须有沉淀、⽓体、⽔⽣成。
01基本概念及定义热力学2013-文档资料
终态 p' A G' pb A
第一章 基本概念及定义
12
2. 准静态过程 quasi-static state process
过程中系统经历的是一系列平衡状态，并在 每次状态变化时仅是无限小地偏离平衡状态。 实现准静态过程的条件： 系统和外界△→0 大部分实际过程可以近似地当作准静态过程。
在状态参数坐标图上，可用一条过 程曲线定性地表示该准静态过程。
第一章 基本概念及定义
6
3. 温度 Temperature , T ( t )
温度是标志系统冷、热程度的参数。 温度的建立以及测量是以热力学第零定律为基础的。
热力学第零定律（热平衡定律）The Zeroth Law of Thermodynamics ： 两个系统分别与第三个系统处于热平衡，则这两个系统彼此也
是衡量可逆过程中工质与外 界是否发生热交换的标志。
在p-v图上： 一点：一个平衡状态 一实线：一个准静态过程
在T-s图上：一点：一个平衡状态 一实线：一个准静态过程
曲线下面积：
可逆过程中系统所 做的容积变化功。
功是过程量
第一章 基本概念及定义
曲线下面积：
可逆过程中系统与 外界所交换热量。
热量是过程量
状态参数坐标图：
应用两个独立状态参数，可组成状态参数坐标图。
ex: P-V, T-s, h-s, p-h
注意：①图上任意一点代表一个平衡状态；
②若系统处于不平衡状态, 则无法在状态参数坐标图上描述。
第一章 基本概念及定义
10
1-4 状态方程式
1. 状态方程式
三个基本状态参数(p、v、T)之间的函数关系。即：
• 功量是过程量，仅存在于过程中，过程 一旦结束，功量这种能量形式就不复存在。
第一章 基本概念及定义
12
2. 准静态过程 quasi-static state process
过程中系统经历的是一系列平衡状态，并在 每次状态变化时仅是无限小地偏离平衡状态。 实现准静态过程的条件： 系统和外界△→0 大部分实际过程可以近似地当作准静态过程。
在状态参数坐标图上，可用一条过 程曲线定性地表示该准静态过程。
第一章 基本概念及定义
6
3. 温度 Temperature , T ( t )
温度是标志系统冷、热程度的参数。 温度的建立以及测量是以热力学第零定律为基础的。
热力学第零定律（热平衡定律）The Zeroth Law of Thermodynamics ： 两个系统分别与第三个系统处于热平衡，则这两个系统彼此也
是衡量可逆过程中工质与外 界是否发生热交换的标志。
在p-v图上： 一点：一个平衡状态 一实线：一个准静态过程
在T-s图上：一点：一个平衡状态 一实线：一个准静态过程
曲线下面积：
可逆过程中系统所 做的容积变化功。
功是过程量
第一章 基本概念及定义
曲线下面积：
可逆过程中系统与 外界所交换热量。
热量是过程量
状态参数坐标图：
应用两个独立状态参数，可组成状态参数坐标图。
ex: P-V, T-s, h-s, p-h
注意：①图上任意一点代表一个平衡状态；
②若系统处于不平衡状态, 则无法在状态参数坐标图上描述。
第一章 基本概念及定义
10
1-4 状态方程式
1. 状态方程式
三个基本状态参数(p、v、T)之间的函数关系。即：
• 功量是过程量，仅存在于过程中，过程 一旦结束，功量这种能量形式就不复存在。
第一章静力学的基本概念
B
A F
B
A F
BA
BA
A FCACF NhomakorabeaGG
C F
CA
10
公理2 公理2
加减平衡力系原理
在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原 力系对刚体的作用。 推论1：力的可传性（只适用于刚体） 推论 ：力的可传性（只适用于刚体） 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一 点，而不改变该力对刚体的效应。
三、平衡 是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直
线运动的状态。建立在地球上，并相对于地球不动的参
考系称为惯性参考系。它是物体机械运动的一种特殊形式。 它是物体机械运动的一种特殊形式。 它是物体机械运动的一种特殊形式
7
四、静力学公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被反复的 公理 实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。
解：以联轴器为研究对象。联轴器上的力有力偶矩M，四个螺栓的约束反 力，假设四个螺栓的受力均匀，则F1=F2=F3=F4=F，如图所示。由平面力偶 系平衡条件可知，F1与F3 、F2与F4组成两个力偶，与电动机传给联轴器的 力偶矩M平衡。据平面力偶系的平衡方程 ：
M − Fd − Fd = 0 M 2.5 F= = kN = 8.33kN 2d 2 × 0.15
26
§1–4 力的平移定理
作用在刚体上某点的力，可以平移至刚体上任意一点，但同时 必须增加一个附加力偶，该力偶的力偶矩等于原力对该点之 矩。
M=?
揭示了力对刚体产生移动和转动两种运动效应的实 质。
27
刚体受三力作用而平衡，若其中两力作用线汇交 于一点，则另一力的作用线必汇交于同一点，且 三力的作用线共面。（必共面，在特殊情况下， 力在无穷远处汇交——平行力系。）
《工程热力学》 第一章—基本概念
状态参数的分类
★ 基本状态参数：可以直接测量的状态参数。 如压力p、温度T、比体积v。 ★ 导出状态参数：由基本状态参数间接求得的 参数。 如内能U、焓H、熵S等。
1. 压力
● 压力的定义
◆ 沿垂直方向作用在单位面积上的力称为压
力（即物理中压强）。
◆ 对于容器内的气态工质来说，压力是大量 气 体分子作不规则运动时对器壁单位面积撞 击 作用力的宏观统计结果。
压力的单位
压力的单位是N/m2 ，符号是帕（Pa）
常用压力单位的换算见附表1（222页）
1 atm = 760 mmHg = 1.013105 Pa
1 at = 1 kgf/ cm2 = 9.8067 104 Pa
1 MPa = 106Pa＝ 103kPa＝ 10bar
压力的表示方法
◆ 绝对压力（p）、表压力（pg）、
如果系统的宏观状态不随时间变化，则该系
统处于平衡状态。
● 不能把平衡态简单地说成不随时间而改变的状态， 也不能说成外界条件不变的状态。
平衡态是指系统的宏观性质不随时间变化的状态。 ● 平衡与均匀：均匀系统一定处于平衡状态，
反之则不然。
● 实现平衡的条件
◆ 热平衡 ◆ 力平衡 ◆ 相平衡 ◆ 化学平衡 温度相等 压力相等 各相间化学位相等 反应物与生成物化学 位相等
2. 温度
◆ 传统：温度是物体冷热程度的标志。
◆ 微观：温度是衡量分子平均动能的量度。
T 0.5 m c2 T=0 0.5 m c2=0 分子一切运动停止，零动能。
● 热力学第零定律
◆ 热平衡：不同物体的冷热程度相同，则它们处于热平衡。 ◆ 热力学第零定律（热力学中的一个基本实验结果）： 若两个热力系分别与第三个热力系处于热平衡，那么这 两个热力系也处于热平衡。
第一章静力学基本概念1、只限物体任何方向移动,不限制物体转动的
第一章：静力学基本概念1、只限物体任何方向移动，不限制物体转动的支座称（）支座。
A：固定铰B：可动铰C：固定端D：光滑面【答案】A2、只限物体垂直于支承面方向的移动，不限制物体其它方向运动的支座称（）支座。
A：固定铰B：可动铰C：固定端D：光滑面【答案】B3、既限制物体任何方向运动，又限制物体转动的支座称（）支座。
A：固定铰B：可动铰C：固定端D：光滑面【答案】C4、平衡是指物体相对地球（）的状态。
A、静止B、匀速运动C、匀速运动D、静止或匀速直线运动【答案】D5、如图所示杆ACB ，其正确的受力图为（）。
A、图AB、图BC、图CD、图D【答案】A6.加减平衡力系公理适用于()。
A.刚体B.变形体C.任意物体D.由刚体和变形体组成的系统【答案】A7.在下列原理、法则、定理中，只适用于刚体的是()。
A.二力平衡原理 B.力的平行四边形法则C.力的可传性原理 D.作用与反作用定理【答案】C（C ）（D）（A ）D8.柔索对物体的约束反力，作用在连接点，方向沿柔索()。
A.指向该被约束体，恒为拉力B.背离该被约束体，恒为拉力C.指向该被约束体，恒为压力D.背离该被约束体，恒为压力【答案】B9.图示中力多边形自行不封闭的是()。
A.图(a)B.图(b)C.图(b)D.图(d)【答案】B10.物体在一个力系作用下，此时只能()不会改变原力系对物体的外效应。
A.加上由二个力组成的力系B.去掉由二个力组成的力系C.加上或去掉由二个力组成的力系D.加上或去掉另一平衡力系【答案】D11.物体系中的作用力和反作用力应是()。
A.等值、反向、共线B.等值、反向、共线、同体C.等值、反向、共线、异体D.等值、同向、共线、异体【答案】C12.由F1、F2、F3、F4构成的力多边形如图所示，其中代表合力的是()。
A.F1B.F2C.F4D.F3【答案】C13．物体受五个互不平行的力作用而平衡，其力多边形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】C14．物体受三个互不平行的力作用而平衡，其力多边形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】A15．物体受四个互不平行的力作用而平衡，其力多边形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】B16．物体受六个互不平行的力作用而平衡，其力多边形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】D17．物体受七个互不平行的力作用而平衡，其力多边形是()A.三角形B.七边形C.五边形D.六边形【答案】B18．物体受八个互不平行的力作用而平衡，其力多边形是()A.八角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】A19.加减平衡力系公理适用于()。
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三．［目的与要求]
１.正确理解微分方程、常微分方程及其阶、线性微分方程与非线性微分方程、解、通解、初始条件、初始值问题和特解等基本概念.
２.了解常微分方程与生产实际和科学技术的紧密联系，了解常微分方程讨论的基本问题.
四.[教学过程]
§1微分方程及其解的定义
一．何谓微分方程
这是首先要解决的一个问题,为此我们先从代数方程说起.
1.微分方程的求解,与一定的积分运算相联系,因此也常把求解微分方程的过程称为积分一个微分方程,而把微分方程的解称为这个微分方程的一个积分.由于每进行一次不定积分运算，会产生一个任意常数，因此仅从微分方程本身求求解（不考虑定解条件）,则 阶微分方程的解应该包含 个任意常数.
2．微分方程所描述的是物体运动变化的瞬时规律,求解微分方程,就是从这种瞬时规律出发，去获得运动的全过程.为此，需要给定这一运动的一个初始状态(即初始条件），并以此为基点去推断这一运动的未来,同时也可以追朔它的过去.
，
其中 都是已知的实值连续函数.
在上例中, , , , , 是线性的, , 是非线性的.
2．微分方程的解
微分方程的解是一个函数，函数就有定义域，设为区间 .
定义2设函数 在区间 上连续,且有直到 阶导数，若用
分别代替方程 中的 后,使 在 内为关于 的恒等式,即
，
则称函数 为方程 在区间 上的一个解.
在代数中我们研究过求解高次代数方程
．
代数方程——含有一个变元的关系式，即由已知数 与未知数 组成的等式,运算有: 乘方， ，它的解是数.由代数基本定理知道，它的解只有有限个.
在数学分析中也研究过由隐式 确定的隐函数 的问题.
函数方程——至少含有两个变元的关系式,即由自变量 和函数 组成的等式.运算有 函数运算, .它的解是函数.由隐函数存在唯一性定理知，解为有限.
（1.1４)
其中 是另一个任意常数.可知(1．1４）是微分方程（1．１２)的通解.
通解(1．１4)就表示自由落体的运动规律,在(1.14)中含有两个任意常数.这说明微分方程（1．1２)有无穷多个解.
为了要得到特定的物体运动规律,还必须考虑当运动开始时落体是在什么地方,且以什么样的速度运动的,即下面的初值条件：
第一章--基本概念
———————————————————————————————— 作者:
———————————————————————————————— 日期:
第一章 基本概念
§1微分方程及其解的定义
一．[内容简介]
本节结合常微分方程的实例,讲解与常微分方程有关的一些基本概念和术语．
二.[关键词]常微分方程,微分方程的通解，初始条件，特解
, (1.１５）
将条件（1.1５）分别代入（1.13)和（1．14）,可得 ， ．
这样，在初值条件(1.15)下，从微分方程(1.12)唯一地确定了一个解
（1.16）
它就描述了具有初始高度 和初始速度 的自由落体运动.
称（1.1６)是初值问题
(1.１７)
的解，初值问题又叫柯西问题.
由以上简单实例可以看出：
定义1所谓微分方程,就是一个或几个包含自变量、未知函数以及未知函数的某些微商的方程式.
例如, ,
，
，
，
，
,
,
以上这些都是微分方程.
只含一个自变量的微分方程称为常微分方程，自变量多于一个的微分方程称为偏微分方程.例如，上例 — 都是常微分方程， 是偏微分方程．方程中所含未知函数的最高阶导数的阶数，叫做方程的阶.例如, , , , ， 是一阶方程， 和 是二阶方程.
4.初值条件、初值问题
例3在只有重力的作用下，求落体在铅直方向的运动规律.
设落体的运动只在重力作用下进行,不考虑空气阻力等其他外力的作用，此时落体作垂直于地面的自由落体运动.如图1．1.
取坐标轴 从地面垂直向上,问题是：落体B的位置坐标 如何随时间 变化？
在运动过程中,落体只受重力 的作用,设落体的质量是 ,则 ,其中 是重力加速度,这里出现负号是因为重力的方向是向下的，与 轴的正方向相反.
从这里可以看出：一个常微分方程可以有无穷多个解．给 一个确定的值,就得到方程的一个解.
3．通解和特解
因为方程 的任一确定的解,必有 的形式(但其中的 取特定的值)，故 称为此方程的通解，当 取确定数值时所得到的解称为此方程的一个特解．一般地，我们有：
定义3设 阶微分方程 的解 包含 个独立的常数 ,则称它为 阶微分方程 的通解；若 的解 不包含任意常数，则称它为特解.
从通解的定义可以看出，通解包含了方程的无穷多个解,它是解的一般表达式，但有例子可以说明,通解不一定是方程的全部解.
这里称 个任意常数 是独立的，其含意是 关于 的雅可比(Ｔacoｂi)行列式
.
显然，当任意常数一旦确定以后，通解就变成了特解.如例2中，当 时， ．这里取 ,则有特解 .我们把 称为附加条件.可见确定一个特定的解一般是要附加条件的.
因为 表示B的位置坐标，所以它对 的一阶导数 表示B的瞬时速度 ;而二阶导数 则表示Ｂ的瞬时加速度 .由牛顿第二运动定律,有 ，故得 ,
这样可得一个微分方程
(1.1２）
为了得出落体的运动规律,需要求解这个微分方程.
在（1.１2）两侧对 积分一次,得
(1.13)
其中 是一个任意常数,再把(1．1３）对 积分一次，就得
以后我们讨论的函数都是实的单值函数，解 的直到 阶的导数不仅存在而且连续.为了方便，当函数 在区间 内具有直到 阶连续微商时,常简记为 ，或者 ． 表示 在区间 内连续.
例1求微分方程 的解,其中 ．
解在数学分析中就是求函数 的原函数 ，故只需要在上式两端关于自变量 积分，便得到
这里 是任意常数,显然不论 取任何值，上式都是方程的解.
3.一般对 阶微分方程 的初值问题的提法是：
(1.1８）
于是 阶微分方程的初值问题可以提成如下形式：
(１.1９）
求初值问题的办法一般是，先由方程解出通解,再利用初值条件定出通解中的任意常数,从而得出要求的特解．
一般 阶常微分方程具有形式
或者是显式
由代数方程引出微分方程,问题是出现了什么新东西?
二.微分方程的有关概念
1.微分方程的线性与非线性
ⅰ）线性微分方程
如果 式的左端关于未知函数和它的各阶导数都是一次的有理整式，则称 为 阶线性常微分方程．
ⅱ）非线性微分方程
不是线性微分方程的,称为非线性微分方程．
阶线性常微分方程的一般形式是
１.正确理解微分方程、常微分方程及其阶、线性微分方程与非线性微分方程、解、通解、初始条件、初始值问题和特解等基本概念.
２.了解常微分方程与生产实际和科学技术的紧密联系，了解常微分方程讨论的基本问题.
四.[教学过程]
§1微分方程及其解的定义
一．何谓微分方程
这是首先要解决的一个问题,为此我们先从代数方程说起.
1.微分方程的求解,与一定的积分运算相联系,因此也常把求解微分方程的过程称为积分一个微分方程,而把微分方程的解称为这个微分方程的一个积分.由于每进行一次不定积分运算，会产生一个任意常数，因此仅从微分方程本身求求解（不考虑定解条件）,则 阶微分方程的解应该包含 个任意常数.
2．微分方程所描述的是物体运动变化的瞬时规律,求解微分方程,就是从这种瞬时规律出发，去获得运动的全过程.为此，需要给定这一运动的一个初始状态(即初始条件），并以此为基点去推断这一运动的未来,同时也可以追朔它的过去.
，
其中 都是已知的实值连续函数.
在上例中, , , , , 是线性的, , 是非线性的.
2．微分方程的解
微分方程的解是一个函数，函数就有定义域，设为区间 .
定义2设函数 在区间 上连续,且有直到 阶导数，若用
分别代替方程 中的 后,使 在 内为关于 的恒等式,即
，
则称函数 为方程 在区间 上的一个解.
在代数中我们研究过求解高次代数方程
．
代数方程——含有一个变元的关系式，即由已知数 与未知数 组成的等式,运算有: 乘方， ，它的解是数.由代数基本定理知道，它的解只有有限个.
在数学分析中也研究过由隐式 确定的隐函数 的问题.
函数方程——至少含有两个变元的关系式,即由自变量 和函数 组成的等式.运算有 函数运算, .它的解是函数.由隐函数存在唯一性定理知，解为有限.
（1.1４)
其中 是另一个任意常数.可知(1．1４）是微分方程（1．１２)的通解.
通解(1．１4)就表示自由落体的运动规律,在(1.14)中含有两个任意常数.这说明微分方程（1．1２)有无穷多个解.
为了要得到特定的物体运动规律,还必须考虑当运动开始时落体是在什么地方,且以什么样的速度运动的,即下面的初值条件：
第一章--基本概念
———————————————————————————————— 作者:
———————————————————————————————— 日期:
第一章 基本概念
§1微分方程及其解的定义
一．[内容简介]
本节结合常微分方程的实例,讲解与常微分方程有关的一些基本概念和术语．
二.[关键词]常微分方程,微分方程的通解，初始条件，特解
, (1.１５）
将条件（1.1５）分别代入（1.13)和（1．14）,可得 ， ．
这样，在初值条件(1.15)下，从微分方程(1.12)唯一地确定了一个解
（1.16）
它就描述了具有初始高度 和初始速度 的自由落体运动.
称（1.1６)是初值问题
(1.１７)
的解，初值问题又叫柯西问题.
由以上简单实例可以看出：
定义1所谓微分方程,就是一个或几个包含自变量、未知函数以及未知函数的某些微商的方程式.
例如, ,
，
，
，
，
,
,
以上这些都是微分方程.
只含一个自变量的微分方程称为常微分方程，自变量多于一个的微分方程称为偏微分方程.例如，上例 — 都是常微分方程， 是偏微分方程．方程中所含未知函数的最高阶导数的阶数，叫做方程的阶.例如, , , , ， 是一阶方程， 和 是二阶方程.
4.初值条件、初值问题
例3在只有重力的作用下，求落体在铅直方向的运动规律.
设落体的运动只在重力作用下进行,不考虑空气阻力等其他外力的作用，此时落体作垂直于地面的自由落体运动.如图1．1.
取坐标轴 从地面垂直向上,问题是：落体B的位置坐标 如何随时间 变化？
在运动过程中,落体只受重力 的作用,设落体的质量是 ,则 ,其中 是重力加速度,这里出现负号是因为重力的方向是向下的，与 轴的正方向相反.
从这里可以看出：一个常微分方程可以有无穷多个解．给 一个确定的值,就得到方程的一个解.
3．通解和特解
因为方程 的任一确定的解,必有 的形式(但其中的 取特定的值)，故 称为此方程的通解，当 取确定数值时所得到的解称为此方程的一个特解．一般地，我们有：
定义3设 阶微分方程 的解 包含 个独立的常数 ,则称它为 阶微分方程 的通解；若 的解 不包含任意常数，则称它为特解.
从通解的定义可以看出，通解包含了方程的无穷多个解,它是解的一般表达式，但有例子可以说明,通解不一定是方程的全部解.
这里称 个任意常数 是独立的，其含意是 关于 的雅可比(Ｔacoｂi)行列式
.
显然，当任意常数一旦确定以后，通解就变成了特解.如例2中，当 时， ．这里取 ,则有特解 .我们把 称为附加条件.可见确定一个特定的解一般是要附加条件的.
因为 表示B的位置坐标，所以它对 的一阶导数 表示B的瞬时速度 ;而二阶导数 则表示Ｂ的瞬时加速度 .由牛顿第二运动定律,有 ，故得 ,
这样可得一个微分方程
(1.1２）
为了得出落体的运动规律,需要求解这个微分方程.
在（1.１2）两侧对 积分一次,得
(1.13)
其中 是一个任意常数,再把(1．1３）对 积分一次，就得
以后我们讨论的函数都是实的单值函数，解 的直到 阶的导数不仅存在而且连续.为了方便，当函数 在区间 内具有直到 阶连续微商时,常简记为 ，或者 ． 表示 在区间 内连续.
例1求微分方程 的解,其中 ．
解在数学分析中就是求函数 的原函数 ，故只需要在上式两端关于自变量 积分，便得到
这里 是任意常数,显然不论 取任何值，上式都是方程的解.
3.一般对 阶微分方程 的初值问题的提法是：
(1.1８）
于是 阶微分方程的初值问题可以提成如下形式：
(１.1９）
求初值问题的办法一般是，先由方程解出通解,再利用初值条件定出通解中的任意常数,从而得出要求的特解．
一般 阶常微分方程具有形式
或者是显式
由代数方程引出微分方程,问题是出现了什么新东西?
二.微分方程的有关概念
1.微分方程的线性与非线性
ⅰ）线性微分方程
如果 式的左端关于未知函数和它的各阶导数都是一次的有理整式，则称 为 阶线性常微分方程．
ⅱ）非线性微分方程
不是线性微分方程的,称为非线性微分方程．
阶线性常微分方程的一般形式是