第章全C多因素试验的方差分析
多因素方差分析
多因素方差分析1. 基本思想：用来研究两个及两个以上控制变量是否对观测变量产生显著影响。
可以分析多个控制变量单独作用对观测变量的影响（这叫做主效应），也可以分析多个控制因素的交互作用对观测变量的影响（也称交互效应），还可以考虑其他随机变量是否对结果产生影响，进而最终找到利于观测变量的最优组合。
根据观测变量（即因变量）的数目，可以把多因素方差分析分为：单变量多因素方差分析（也叫一元多因素方差分析）与多变量多因素方差分析（即多元多因素方差分析）。
一元多因素方差分析:只有一个因变量，考察多个自变量对该因变量的影响。
例如，分析不同品种、不同施肥量对农作物产量的影响时，可将农作物产量作为观测变量，品种和施肥量作为控制变量。
利用多因素方差分析方法，研究不同品种、不同施肥量是如何影响农作物产量的，并进一步研究哪种品种与哪种水平的施肥量是提高农作物产量的最优组合。
多元多因素方差分析：是对一元多因素方差分析的扩展，不仅需要检验自变量的不同水平上，因变量的均值是否存在差异，而且要检验各因变量之间的均值是否存在差异。
例如，用四个班级学生分别对两种教材、两种教学方法进行试验，除了要考虑着两种教材、两种教学方法的四种搭配以外，还要考虑四个班级学生的学习能力这些因素。
2. 原理：通过计算F统计量，进行F检验。
F统计量是平均组间平方和与平均组内平方和的比。
尸$控制您童H卜尸6小=的机竇量这里，把总的影响平方和记为SST它分为两个部分，一部分是由控制变量引起的离差，记为SSA组间离差平方和），另一部分是由随机变量引起的SS（组内离差平方和）。
即SST=SSA+SS组间离差平方和SSA是各水平均值和总体均值离差的平方和，反映了控制变量的影响。
组内离差平方和是每个数据与本水平组平均值离差的平方和，反映了数据抽样误差的大小程度。
通过F值看出，如果控制变量的不同水平对观测变量有显著影响，那观测变量的组间离差平方和就大，F值也大；相反，如果控制变量的不同水平没有对观测变量造成显著影响，那组内离差平方和就比较大，F值就比较小。
第一讲 多因素试验设计的方差分析
处理因素（A）
水平1
水平2
…
X 11
X 21
…
X 12
X 22
…
…
…
…
X 1m
X 2m
…
水平k
X k1 X k2
…
X km
随机区组设计方差分析变异分解
相应的自由度有
SS总 SS处理 SS区组SS误差
总 处理 区组 误差
SS总 、SS 处理 的计算与完全随机设计的方差分析相同
熟悉 析因设计方差分析的多个样本均数的多重比较方法。
了解 重复测量设计方差分析多个样本的Bartlett方差齐性检验方 法。
单选题 1分
1.方差分析的基本思想是（）。 A 组间均方大于组内均方 B 误差均方必然小于组间均方 C 组间方差显著大于组内方差时，该因素对所考察指标的影响显著 D 组内方差显著大于组间方差时，该因素对所考察指标的影响显著 E 离均差平方和及其自由度按设计可以分解成几种不同来源
（2）计算检验统计量F 值
随机区组设计的方差分析表
变异来源
SS
DF
MS
F值
总变异
35226.4630
29
处理组间
33078.7980
2
16539.3990
341.92
区组间
1276.9630
9
141.8848
2.93
误差
870.7020
18
48.3723
（3）确定P 值，做出推断结论
对于处理因素
F0.05(2,18) 3.55 ，F 341.92 F F0.05(2,18) ， P 0.05
完全随机设计方差分析表
第九章双因素和多因素方差分析
第九章双因素和多因素方差分析引言方差分析是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组之间的差异。
双因素和多因素方差分析是方差分析的扩展，允许考虑两个或多个自变量对因变量的影响。
本文将介绍双因素和多因素方差分析的概念、假设检验、模型构建等内容。
双因素方差分析双因素方差分析主要用于对两个自变量对因变量的影响进行分析。
其中一个自变量称为因子A，另一个自变量称为因子B。
通过双因素方差分析，我们可以了解到两个自变量对因变量的主效应以及交互效应。
假设检验进行双因素方差分析时，我们需要对两个自变量的主效应和交互效应进行假设检验。
主效应是指每个因子对因变量的影响，交互效应是指两个因子之间是否存在相互影响。
在进行双因素方差分析时，我们需要提出以下假设：•零假设H0: 两个因子对因变量没有主效应和交互效应•备择假设H1: 至少一个因子对因变量有主效应或交互效应然后，我们可以通过方差分析结果的显著性检验来判断是否拒绝零假设。
模型构建双因素方差分析可以通过构建线性模型来进行。
通常，我们使用以下模型进行双因素方差分析：Y = μ + α + β + (αβ) + ε其中，Y表示因变量，μ表示总体均值，α表示因子A的主效应，β表示因子B的主效应，(αβ)表示交互效应，ε表示误差。
通过对数据进行拟合并计算模型中的各个参数，我们可以得到双因素方差分析的结果。
多因素方差分析多因素方差分析是对多个自变量对因变量的影响进行分析。
多因素方差分析可以包含两个以上的自变量，并且可以考虑每个自变量的主效应和交互效应。
假设检验进行多因素方差分析时，我们同样需要对每个自变量的主效应和交互效应进行假设检验。
假设检验的步骤与双因素方差分析类似。
模型构建多因素方差分析的模型构建与双因素方差分析类似，但是需要考虑多个自变量的影响。
Y = μ + α1 + α2 + … + αn + β + (αβ) + ε其中，Y表示因变量，μ表示总体均值，α1, α2, …, αn表示各个自变量的主效应，β表示交互效应，(αβ)表示两个或多个自变量之间的交互效应，ε表示误差。
第一讲 多因素试验设计的方差分析
第一节
方差分析资料的数据特征
方差分析由英国统计学家R.A.Fisher提出，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称 F 检验
1. 方差分析基本思想 根据研究目的和设计类型，将全部观测值的总变异按影响因素分解为相应的若干部
分变异，在此基础上，计算假设检验的统计量值，实现对总体均数是否有差别的推断。 变异分解：总变异=变异来源1+变异来源2+┅┅+变异来源k+ ┅┅+误差
第一讲
方差分析
作者 : 丁海龙
单位 : 中国医科大学
目录
第一节 方差分析资料的数据特征（复习） 第二节 析因设计的方差分析 第三节 重复测量资料的数据特征 第四节 重复测量资料的方差分析
重点难点
掌握 方差分析的基本思想 、方差分析中变异和自由度的分解及假 设检验过程；析因设计方差分析的变异分解和交互作用的概 念；重复测量设计方差分析的变异分解。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2. 完全随机设计方差分析 完全随机设计（completely random design）是一种将同质实验对象随机分配到不同处理
组的单因素设计方法。完全随机设计方差分析通过对处理因素不同水平组间均值的比较， 推断该处理因素不同水平之间总体均值是否不同。
完全随机设计方差分析的数据结构
完全随机设计方差分析变异分解 总变异与自由度的分解：
均方（MS）
总 n 1
处理间
k
SS处理 m( X i X )2 i 1
处理 k 1
MS处理
SS处理 处理
区组间
m
SS区组 k( X j X )2 j 1
区组 m 1
方差分析与实验设计
方差分析与实验设计方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
它是实验设计中常用的一种方法，可以帮助研究者确定实验结果是否受到不同因素的影响，并进一步分析这些因素对实验结果的贡献程度。
实验设计是科学研究中的重要环节，它涉及到如何选择实验对象、确定实验因素、设计实验方案等问题。
合理的实验设计可以提高实验的可靠性和有效性，减少误差的影响，从而得到更准确的结论。
一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组间变异与组内变异的大小来判断不同因素对实验结果的影响是否显著。
组间变异是指不同组之间的差异，组内变异是指同一组内部的差异。
如果组间变异显著大于组内变异，说明不同组之间的差异是由于实验因素的影响，而不是由于随机误差的影响。
二、方差分析的步骤方差分析的步骤主要包括：确定实验因素、选择实验对象、设计实验方案、收集数据、计算方差、进行假设检验和结果解释等。
1. 确定实验因素：首先需要明确研究的目的和问题，确定需要研究的实验因素。
实验因素是指可能对实验结果产生影响的变量，比如不同处理、不同时间、不同地点等。
2. 选择实验对象：根据实验因素的不同水平，选择适当的实验对象。
实验对象应该具有代表性，能够反映出实验因素对实验结果的影响。
3. 设计实验方案：根据实验因素的不同水平，设计实验方案。
常用的实验设计方法有完全随机设计、随机区组设计、因子设计等。
4. 收集数据：按照实验方案进行实验，收集实验数据。
数据的收集应该准确、全面、可靠。
5. 计算方差：根据收集到的数据，计算组间变异和组内变异的大小。
常用的方差计算方法有单因素方差分析、双因素方差分析等。
6. 进行假设检验：根据计算得到的方差值，进行假设检验。
常用的假设检验方法有F检验、t检验等。
7. 结果解释：根据假设检验的结果，解释实验结果。
如果差异显著，则说明实验因素对实验结果有显著影响；如果差异不显著，则说明实验因素对实验结果没有显著影响。
多因素方差分析简介
SSw SSt SSb 579.8333 331.3333 248.5000
于是A因素组间平方和为：
2 2 （X a） （X a） SSA na na K a
7082 6962 7182 21222 30.3333 8 8 3
B因素平方和为：
所以 A因素F=1.10<3.55= B因素F=0.77<4.41=
F( 2， )0。 6.01 18 01
F(1， )0。 8.29 18 01
F( 2， ) 0。 ，p>0.05，保留零假设 18 05
F(1， )0。 ，p>0.05，保留零假设 18 05
F( 2， )0。 ，p<0.01，拒绝零假设 18 01
MS B 10.6666 F 0.7726 MSW 13.8056
MS AB 145.1667 F 10.5151 MSW 13.8056
第三步：统计决断
根据分子自由度、分母自由度查附表3，找到各 个临界值，即
F( 2， )0。 3.55 18 05
F(1， )0。 4.41 18 05
解：第一步：提出假设
首先，提出关于A因素的假设：
H 0 a a a
1 2
3
H1
A因素至少有两个水平的总体平均数不相等 然后，提出关于B因素的假设：
1
2
最后，提出关于A、B两个因素交互作用是否显著 的假设：
H0
A、B两个因素交互作用不显著 A、B两个因素交互作用显著
MS B F MSW
对于A因素与B因素的交互作用，检验统计量的计算 公式为：
MS AB F MSW
第三步：统计决断 根据分子和分母自由度及=0.05和=0.01两个 显著性水平查附表3寻找F临界值。然后，将实际计 算出的F值与这两个临界值相比较，若实际计算出的
《医学统计学》习题解答(最佳选择题和简答题)
《医学统计学》习题解答（最佳选择题和简答题）孙振球主编.医学统计学习题解答. 第2版. 北京：人民卫生出版社2005目录第二章计量资料的统计描述 (2)第三章总体均数的估计与假设检验 (3)第四章多个样本均数比较的方差分析 (6)第五章计数资料的统计描述 (7)第六章二项分布与Poisson分布 (9)第七章χ2检验 (11)第八章秩和检验 (13)第九章回归与相关 (14)第十章统计表与统计图 (17)第十一章多因素试验资料的方差分析 (19)第十二章重复测量设计资料的方差分析 (19)第十五章多元线性回归分析 (20)第十六章logistic回归分析 (22)第十七章生存分析 (23)第二十五章医学科学研究设计概述 (26)第二十六章观察性研究设计 (26)第二十七章实验研究设计 (28)第二十七章临床试验研究设计 (29)第二章 计量资料的统计描述（注：题号上有“方框” 的简答题为基本概念，下同）第三章总体均数的估计与假设检验简答题：第四章多个样本均数比较的方差分析简答题：第五章计数资料的统计描述简答题：第六章二项分布与Poisson分布简答题：第七章χ2检验简答题：1. 说明χ2检验的用途2. 两个样本率比较的u检验与χ2检验有何异同？3. 对于四格表资料，如何正确选用检验方法？4. 说明行×列表资料χ2检验应注意的事项？5. 说明R×C表的分类及其检验方法的选择。
第八章秩和检验简答题：5. 两独立样本比较的Wilcoxon秩和检验，当n1>10或n2-n1>10时用u检验，这时检验是属于参数检验还是非参数检验，为什么？6. 随机区组设计多个样本比较的Friedman M 检验，备择假设H1如何写？为什么？第九章回归与相关简答题：第十章统计表与统计图简答题：5. 统计表与统计图有何联系和区别？6. 茎叶图与频数分布图相比有何区别，有何优点？第十一章多因素试验资料的方差分析一、简答题1. 简述析因试验与正交试验的联系与区别。
统计学与研究方法试题答案
统计学与研究方法试题答案第一章绪论1单选题1、总体是指（）A.全部研究对象B.全部研究对象中抽取的一份C.全部样本D.全部研究指标E.全部同质研究对象的某个变量的值2、统计学中所说的样本是指（）A.随意抽取的总体中任意部分B.有意识的选择总体中的典型部分C.依照研究者要求选取总体中有意义的一部分D.依照随机原则抽取总体中有代表性的一部分E.有目的的选择总体中的典型部分3、下列资料属等级资料的是（）A.白细胞计数B.住院天数C.门急诊就诊人数D.病人的病情分类E.ABO血型分类4、为了估计某年华北地区家庭医疗费用的平均支出，从华北地区的5个城市随机抽样调查了1500户家庭，他们的平均年医疗费用支出是997元，标准差是391元。
该研究中研究者感兴趣的总体是（）A.华北地区1500户家庭B.华北地区的5个城市C.华北地区1500户家庭的年医疗费用D.华北地区所有家庭的年医疗费用E.全国所有家庭的年医疗费用5、欲了解研究人群中原发性高血压病（EH）的患病情况，某研究者调查了1043人，获得了文化程度、高血压家族史、月人均收入、吸烟、饮酒、打鼾、脉压差、心率等指标信息。
则构成计数资料的指标有（）A.文化程度、高血压家族史吸烟、饮酒、打鼾B.月人均收入、脉压差、心率C.文化程度、高血压家族史、、打鼾D.吸烟、饮酒E.高血压家族史、饮酒、打鼾第二章计量资料统计描述及计数资料统计描述1、描述一组偏态分布资料的变异度，以（）指标较好。
A.全距B.标准差C.变异系数D.四分位数间距E.方差2、用均数和标准差可以全面描述（）资料的特征。
A.正偏态分布B.负偏态分布C.正态分布D.对称分布E.对数正态分布3、各观察值均加（或减）同一数后（）。
A.均数不变B.几何均数不变C.中位数不变D.标准差不变E.变异系数不变4、比较某地1~2岁和5~5.5岁儿童身高的变异程度。
宜用（）。
A.极差B.四分位数间距C.方差D.变异系数E.标准差5、偏态分布宜用（）描述其分布的集中趋势。
多因素方差分析设计的实施与分析
多因素方差分析设计的实施与分析在统计学中，方差分析是一种用于研究不同变量因素对于数据集中变差的影响的方法。
它可以帮助研究人员确定不同因素之间是否存在显著差异，并进一步分析这些差异的原因。
而多因素方差分析则是在单因素方差分析的基础上，增加了多个自变量进行研究。
多因素方差分析设计的实施可以分为以下几个步骤。
首先，确定实验的自变量和因变量。
自变量是研究者所设定的，用来观察其对因变量的影响；而因变量则是被研究者观察和测量的主要对象。
例如，假设我们要研究不同学习方法对学生成绩的影响，学习方法就是自变量，学生成绩就是因变量。
其次，确定实验中的因素水平。
多因素方差分析需要考虑多个自变量之间的组合情况。
对于每个自变量，需要设定多个不同的水平，以覆盖所有的组合情况。
例如，在研究学习方法对学生成绩的影响时，可能选择两个自变量：学习时间（三个水平：1小时、2小时、3小时）和学习环境（两个水平：教室、图书馆）。
这样就形成了一个2 x 3的因素水平矩阵。
接下来，进行实验数据的采集和处理。
根据之前确定的因素水平矩阵，研究人员需要设计和实施实验，收集相关数据。
例如，在学习方法对学生成绩的研究中，可以随机将学生分为不同组别，每个组别采用不同的学习时间和学习环境，并记录他们的成绩数据。
收集完数据后，需要进行数据处理，计算每个组别的平均数、方差等统计指标。
最后，进行多因素方差分析。
在进行多因素方差分析之前，需要检查数据是否满足方差分析的假设条件。
这些条件包括正态分布假设、方差齐性假设等。
如果数据不满足这些条件，可能需要对数据进行转换或使用非参数方法进行分析。
在满足假设条件的前提下，可以进行多因素方差分析并解释结果。
通过多因素方差分析，可以得出各个自变量和因变量之间的主效应和交互效应。
主效应指的是每个自变量对于因变量的独立影响；而交互效应则是指多个自变量之间相互作用对因变量的影响。
在学习方法对学生成绩的研究中，可能发现学习时间和学习环境都对学生成绩产生了显著影响，且存在交互效应。
方差分析(包括三因素)
2
15.1 17.5 20.1
3
15.8 17.1 18.9
4
14.8 15.9 18.2
5
17.1 18.4 20.5
6
15.0 17.7 19.7
A1 A2 A3
方差分析就是把总的 试验数据的波动分成
1、反映因素水平改变引起的波动。 2、反映随机因素所引起的波动。
然后加以比较进行统 计判断，得出结论。
2 ij 2 2 ij
m
n
m
n
T2 X mn i 1 j 1
m n 2 ij
12
同样可推出：
1 m 2 QE X Ti n i 1 i 1 j 1
2 ij
m
n
1 m 2 T2 QA Ti n i 1 mn
2、数据的简化： 试验数据经过变换
' X ij b( X ij a)
3
离差平方和 1.56 11.56 3.1 16.22
3
自由度 2 2 4 8
F值 FA=1.01 FB=7.46
F0.05(2,4) F0.01(2,4) 6.94 6.94 18.0 18.0
显著性
*
Q X
i 1 j 1
2 ij
T2 16.22 3 3
1 3 T2 2 QA Ti. 1.56 3 i 1 3 3
试验结果
假设：美中不足组合水平下服从正态分布、互相独立、方差相等。 所需要解决的问题是：所有Xij的均值是否相等。
18
假设检验：
1）在假设H0成立的条件下。 2）统计量
T2 Q X ml i 1 j 1
m l 2 ij
多因素方差分析
求得：
两，df=因27 素交叉分组方差分析
先按A因素的a个水平分为a组，在每一组内再按B的水平细分。
(a) 无交互效应
(b) 有交互效应
H01: i =0, i=1, 2, ……a
95(2,30)=3.
这几类模型的计算公式基本相同，但其数学模型，假设，统计量，结果的解释等方面均有相当大的差异。
固定效应模型。
B3 B2
B1 A1 A2 A3
(b) 有交互效应
图中每条曲线代表B因素的一个水平。若各曲线平 行或近似平行，可认为无交互效应，否则为有交互效应。 以上只是一种直观的判断，在多因素方差分析的过程中， 我们对交互作用的有无也可进行统计检验。
按因素类型进行分类
多因素方差分析可分为固定模型，随机模型及混合模型 三类。这几类模型的计算公式基本相同，但其数学模型，假 设，统计量，结果的解释等方面均有相当大的差异。
E(Me)SE(a(S bn eS1))2
检验H01，H02，H03的统计量
检验两个主效应及一个交互效应的下述三个统计量中， 分母全部采用MSe即可。 检验H01，H02，H03的统计量分别为：
FA
MS A MS e,Βιβλιοθήκη FBMS B MS e
FAB
MS AB MSe
从前述的各均方期望可知，只有当各H0成立时，上述三 个分子才是2的无偏估计量，此时各统计量均服从F分布；若 某个H0不成立，则相应的分子将有偏大的趋势，从而使对应 的统计量也有偏大的趋势，因此可用F分布上单尾分位数进行 检验。
多因素方差分析
多因素方差分析繁复
进行多因素方差分析从理论上说并无任何困难，但随着 因素数的增加，普通方差分析的复杂性迅速增加，这种复杂 性不仅表现在分析计算的繁复，更表现在所需实验次数呈现 出几何级数的增加上因此三或三因素以上方差分析较少用到；
析因设计
b2－b1
20
A因素
平均
24
44
34
a2
28
26
52
48 8
40
24
22
a2－a1
4
6
在a1b1、a1b2、a2b1和a2b2的四种处理组合中，每个格子均有 5个数据，因此它又是重复数相等的析因设计。由于数据按因 素A和因素B两个方向交叉分组，故可用双向方差分析。进一 步分析处理的单独效应(simple effect)、主效应(main effect)和 交互效应(interaction)。
ANOVA分析的必要性
A因素（缝合方法）的主效应为6%，
B因素（缝合时间）的主效应为22%，
AB的交互作用为2%。
以上都是样本均数的比较结果，要 推论总体均数是否有同样的特征，需要 对试验结果进行方差分析后下结论。
• H0：两种缝合方式间轴突通过率相同 • H1：两种缝合方式间轴突通过率不同 H0：不同时间轴突通过率相同 H1：不同时间轴突通过率不同 H0：缝合方式与时间存在交互作用 H1：缝合方式与时间不存在交互作用 α＝0.05
5.AB交互作用
SS ( AB) SS处理 SS ( A) SS ( B) 2620 180 2420 20
A2
A3
随机配伍的两因素3×2析因设计
显著特征
每个处理是各因素各水平的一种组合，总处理数为
各因素各水平的全面组合数，即各因素各水平数的乘积。 如两因素析因设计，设A因素有I个水平，B因素有J个水 平，则总处理数G=I×J。在三个因素的析因设计中，若 各因素水平为I、J、K，则总处理数G=I×J×K。
3.析因设计的特点
2个以上（处理）因素（factor）（分类 变量） 2个以上水平（level）
方差分析-统计学原理
yij ai ij , j 1 ,2,..., m ,2,..., r, i ,i 1 r m ia i 0 i1 2 相 互 独 立 ， 且 都 服 从 N (0, ) ij
H0 ：a1 =a2 =…=ar =0
第三节 两因素方差分析 随机区组设计资料的方差分析
方差分析的应用条件
（1）各观测值相互独立，并且服从正态分布； （2）各组总体方差相等，即方差齐性。
方差分析的用途
1 2 3 4 用于两个或多个均数间的比较 分析两个或多个因素的交互作用 回归方程的假设检验 方差齐性检验
第二节 单因素方差分析 完全随机设计资料的方差分析
一、完全随机设计 完全随机设计是采用完全随机化的分组方法， 将全部试验对象分配到g个处理组，各处理组分别 接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间差 别有无统计学意义，以推断处理因素的效应。
一、 随机区组设计 随机区组设计（ randomized block design ），又称 配伍组设计，是配对设计的扩展。 具体做法是：先按影响试验结果的非处理因素 将受试对象配成区组（block），再将各区组内的受 试对象随机分配到不同的处理组，各处理组分别接 受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间差别 有无统计学意义，以推断处理因素的效应。
方差分析的基本概念
将衡量试验结果的标志称为试验指标。 将影响试验结果的条件称为因素。 因素在试验中所处的不同状态称为该因 素的水平。
只考察一个影响条件即因素的试验称为单因素 试验，相应的方差分析称为单因素方差分析。
二、变异分解 完全随机设计资料的方差分析表 变异来源 自由度 SS MS F 总变异
甲组 4.2 3.3 3.7 4.3 4.1 3.3
多因素方差分析与多元方差分析的异同
多因素方差分析与多元方差分析的异同
方差分析按影响分析指标的因素(也可简单成为自变量)个数的多少，分为单因素方差分析、双因素方差分析、三因素方差分析方差分析按分析指标（也可简单称为因变量）的个数多少，分为一元方差分析（即ANOVOA）、多元方差分析（即，MANOVOA）多自变量多因变量的方差分析，可以简单称为多元方差分析，当然更精确的称为“X 因素Y元方差分析”，如二因素二元方差分析。
再详细多说两句：多因素方差分析是对一个独立变量是否受一个或多个因素或变量影响而进行的方差分析。
SPSS 调用“Univariate”过程，检验不同水平组合之间因变量均数，由于受不同因素影响是否有差异的问题。
在这个过程中可以分析每一个因素的作用，也可以分析因素之间的交互作用，以及分析协方差，以及各因素变量与协变量之间的交互作用。
该过程要求因变量是从多元正态总体随机采样得来，且总体中各单元的方差相同。
但也可以通过方差齐次性检验选择均值比较结果。
因变量和协变量必须是数值型变量，协变量与因变量不彼此独立。
因素变量是分类变量，可以是数值型也可以是长度不超过8的字符型变量。
固定因素变量
（Fixed Factor）是反应处理的因素；随机因素是随机地从总体中抽取的因素。
多元方差分析就是有多个因变量的分析，但是这几个因变量并不是没有关系的，他们应该属于同一种质的不同的形式，比如一个问卷的几个不同的维度。
SPSS_第6单元_多因素方差分析
SPSS应用
（2）输出的结果文件中第二部分如下表所示
ห้องสมุดไป่ตู้
SPSS应用
（3）输出的结果文件中第三部分如下表所示
SPSS应用
（4）输出的结果文件中第四部分如下表所示
SPSS应用
（5）输出的结果文件中第五部分如下表所示。
SPSS应用
（6）输出的结果文件中第六部分如下表所示。
SPSS应用
（7） 输出结果的最后部分是控制变量之 间是否有交互影响的图形。
SPSS应用
第一因素的主效应：在平衡第二因素各水平之间效应的前提 下，因变量在第一因素各水平上的均值是否存在显著差异。
第二因素的主效应：在平衡第一因素各水平之间效应的前提 下，因变量在第二因素各水平上的均值是否存在显著差异。
两因素的交互效应：因变量在第一因素各水平上的均值差异 是否是第二因素各水平的变异函数，也就是说，在两个因素共 同作用下，因变量在因素各水平上的差异是否显著。 上述三类效应只要有一类显著，都需作事后检验。如果仅有 因素主效应显著而交互效应不显著，需要进行多重比较，以发 现具体差异发生在哪些水平之间。如果仅有交互效应显著，通 常不需要解释因素主效应，而应对交互效应作进一步检验。
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图5-11 “Univariate：Model”对话框
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图5-12 “Univariate：Profile Plots”对话框
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图5-13 “Univariate：Contrasts”对话框
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5.3.3 结果和讨论
（1）SPSS输出结果文件中的第一部分如 下两表所示。
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以上F统计量服从F分布。SPSS将自动计算 F值，并根据F分布表给出相应的相伴概率值。
方差分析简介
方差分析简介1. 引言方差分析（analysis of variance，简称ANOV A）是一种假设检验方法，即基本思想可概述为：把全部数据的总方差分解成几部分，每一部分表示某一影响因素或各影响因素之间的交互作用所产生的效应，将各部分方差与随机误差的方差相比较,依据F分布作出统计推断，从而确定各因素或交互作用的效应是否显著。
因为分析是通过计算方差的估计值进行的，所以称为方差分析。
方差分析的主要目标是检验均值间的差别是否在统计意义上显著。
如果只比较两个均值，事实上方差分析的结果和t检验完全相同。
只所以很多情况下采用方差分析，是因为它具有如下两个优点：（1）方差分析可以在一次分析中同时考察多个因素的显著性，比t检验所需的观测值少；（2）方差分析可以考察多个因素的交互作用。
方差分析的缺点是条件有些苛刻，需要满足如下条件：（1）各样本是相互独立的；（2）各样本数据来自正态总体（正态性：normality）；（3）各处理组总体方差相等（方差齐性：homogeneity of variance）。
因此在作方差分析之前，要作正态性检验和方差齐性检验，如不满足上述要求，可考虑作变量变换。
常用的变量变换方法有平方根变换，平方根反正弦变换、对数变换及倒数变换等。
方差分析在医药、制造业、农业等领域有重要应用，多用于试验优化和效果分析中。
2. 单因素方差分析2.1 基本概念（1）试验指标：在一项试验中，用来衡量试验效果的特征量称为试验指标，有时简称指标，也称试验结果，通常用y表示。
它类似于数学中的因变量或目标函数。
试验指标用数量表示称为定量指标，如速度、温度、压力、重量、尺寸、寿命、硬度、强度、产量和成本等。
不能直接用数量表示的指标称为定性指标。
如颜色，人的性别等。
定性指标也可以转化为定量指标，方法是用不同的数表示不同的指标值。
（2）试验因素：试验中，凡对试验指标可能产生影响的原因都称为因素(factor)，也称因子或元，类似于数学中的自变量。
多因素方差分析的重要公式整理
多因素方差分析的重要公式整理在多因素方差分析中，有几个重要的公式需要整理和掌握。
这些公式帮助我们计算和分析数据，以揭示多个因素对于变量的影响程度和统计显著性。
以下是一些关键的多因素方差分析公式：1. 总变异公式（Total Variation Formula）：总变异 = 组间变异 + 组内变异这个公式表示了数据总体的变异程度，通过将组间变异与组内变异相加得出。
组间变异是不同处理（或因素）之间的变异，组内变异则是同一处理（或因素）下不同观测值之间的变异。
2. 组间变异公式（Between-group Variation Formula）：组间变异= Σ(每组均值 - 总体均值)² * 每组样本数组间变异衡量了不同处理（或因素）之间的差异程度。
这个公式将每组均值与总体均值之间的差的平方值与每组样本数相乘，然后将这些乘积相加，以获得总的组间变异。
3. 组内变异公式（Within-group Variation Formula）：组内变异= Σ(每个观测值 - 对应组均值)²组内变异表示了同一处理（或因素）下不同观测值之间的差异。
这个公式将每个观测值与对应组均值之间的差的平方值相加，以获得总的组内变异。
4. 均方（Mean Square）：组间均方 = 组间变异 / 自由度（组间）组内均方 = 组内变异 / 自由度（组内）均方是组间变异和组内变异除以自由度得到的。
自由度在多因素方差分析中用于调整变异量的误差，以准确评估结果的统计显著性。
5. F统计量（F-statistic）：F统计量 = 组间均方 / 组内均方F统计量用于衡量组间差异与组内差异之间的比例关系。
通过将组间均方除以组内均方，我们可以得到这个统计量的值。
以上是多因素方差分析中的一些重要公式，它们提供了对数据进行统计分析和推断的基础。
熟练掌握这些公式可以帮助我们理解数据的变化规律，从而做出准确的结论和决策。
第章全C多因素试验的方差分析
第一节 析因设计的方差分析
一、2因素2水平的析因设计（2×2析因设计） 1。概念: 可以安排两个及两个以上处理因素的 试验设计。 2。特点: 1）可分析2个因素的独立作用及其交互作用。 （2）但由于是各因素各水平的全面组合，一般因 素数不大于4个，水平数也不大于3个。否则其组合 数急剧上升，导致试验结果太多而难以分析。
第11章 多因素试验的方差分析 第 28页
表11-10a 完全随机设计三因素 析因设计的方差分析
由于表11-10过大 , 将其拆分为2个表。
第11章 多因素试验的方差分析 第 29页
表11-10b 完全随机设计三因素 析因设计的方差分析
第11章 多因素试验的方差分析 第 30页
表11-11a 测量数据
第11章 多因素试验的方差分析 第 16页
表ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1-3 方差分析表
处理组间: 指4种组合组的效应。
第11章 多因素试验的方差分析 第 17页
表11-4: 为各效应分解及其公式。
第11章 多因素试验的方差分析 第 18页
用表11-1数据计算的结果:
第11章 多因素试验的方差分析 第 19页
结论: 1。B因素有作用: 即缝合不同时间的作用对神经轴突通 过率有影响。 2。A因素（缝合方法）无影响。 3。AB的交互作用也无影响。
第11章 多因素试验的方差分析 第 35页
二、正交设计表的使用
❖ 1。符号: LN（mk）: 表示正交表有N行（即共进 行N次试验）；m表示各因素的水平数;k表示最多可 安排的因素个数。 ❖ 2。例: L8（27）正交表: 表示该表共进行8次试 验，最多可安排7个因素；每因素2个水平。 ❖ 3。正交表的构成: 一个正交表由2个分表组成。 一个表用来安排试验，见表11-13。另一个表用来进 行表头设计，见表11-14。。
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4。分析方法
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表11-1
第11章 多因素试验的方差分析 第 14页
表11-1b 两个因素的效应组合
表11-11 b即为书上的图11-1。2个因素各水平的4 个组合效应，也就是各因素各水平组合后测量值 的均数。
第11章 多因素试验的方差分析 第 15页
单独效应：指其他因素的水平固定时，同一因素不同水平间的差别。如 b1-b2等。 主效应：指示某一因素各水平间的平均差别。 交互作用：为两个单独作用之差的均数。即当某因素的各个单独效应随 另一因素变化而变化时，则称这两个因素间存在交互作用（interaction ） 此例：AB=BA=（24-20）/2=（8-4）/2=2
第11章 多因素试验的方差分析 第 11页
2×2析因设计模式（补充）
注意：表中的组合效应用均数表示。
第11章 多因素试验的方差分析 第 12页
例11-1
例11-1 将20只家兔等分为4组，设计为2×2 析因试验。数据见表11-1。试进行析因分析。 分析：该析因设计为2个因素 ，每因素2个水 平。组合为4组。而且2个处理因素的重要性是平 等的。没有隶属关系。 A因素为缝合方法：有2种； B因素为缝合后时间：有2个时间点。 其组合为4种情况。
第11章 多因素试验的方差分析 第 10页
5。注意事项： 1）析因设计是各因素各水平的全面组合的设 计，试验工作量很大，故一般因素数不超过4个 ，水平数也不超过3个。 2）方差分析的计算量很大，主要由统计软件 经电脑运算结果。 3）主要应该会分析试验结果，并得到有意义 的结论。 4）要掌握其基本设计原理和方法，不要求对 其方差分析的计算过程。
第章全C多因素试验的方 差分析
2020年4月23日星期四
Chinese Teaching Plan for Medical Students
Professor Cheng Conshan Medical College
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第11章 多因素试验的方差分析 第 20页
第11章 多因素试验的方差分析 第 16页
表11-3 方差分析表
处理组间：指4种组合组的效应。
第11章 多因素试验的方差分析 第 17页
表11-4：为各效应分解及其公式。
第11章 多因素试验的方差分析 第 18页
用表11-1数据计算的结果：
第11章 多因素试验的方差分析 第 19页
结论： 1。B因素有作用：即缝合不同时间的作用对神经轴突通 过率有影响。 2。A因素（缝合方法）无影响。 3。AB的交互作用也无影响。
4。分析方法：主要用方差分析法。其基本思路与一般 的方差分析法基本一样。即从总变异中分出各种各样的 变异，再进行一个一个的分析。 5。注意事项： 1）设计严格，要求条件高，在不具备这些设计条件时 ，结果就会出现很大的偏性或误差。 2）在设计前，最好请教统计学专家进行设计和讨论。 3）并不一定高级的设计就一定产生高级的试验结果。 4）有时，很简单的试验设计，也能得出良好的试验结 果。
孙振球 主编 人民卫生出版社 2005年8月第2版
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第十一章 多因素试验的方差分析
概述
目录
第一节 析因设计资料的方差分析 第二节 正交设计资料的方差分析 第三节 嵌套设计资料的方差分析 第四节 裂区设计资料的方差分析
作业及思考题
第11章 多因素试验的方差分析 第4 页
第11章 多因素试验的方差分析 第9 页
4。独立作用及交互作用：设有a,b,c3个因素，则 有 1）独立作用：独立作用即为A，B，C 3个因素的 单独作用； 2）交互作用：则有一阶和二阶交互作用。 一阶交互作用有三个，为：a×b, a×c, b×c； 二阶交互作用有一个，为：a×b×c 3）在设计有3个处理因素的条件下，全部的各种 作用：共有7种试验效应。此时，如对所有作用全部 进行分析和解释，也是有一定困难的。
概述 一、单因素设计
❖ 一、单因素设计： ❖ 1。概念：只有一个处理因素的试验设计，称为单因素
试验设计。 ❖ 2。特点： ❖ 1）处理因素只有1个，在设计和进行资料分析时，相对
比较简单。 ❖ 2）除只有1个处理因素外，还可以有1个或2个重要的非
处理因素，称为区组因素。包括行区组和列区组。 ❖ 3。类型：ONE-WAY ANOVA，TOW-WAY ANOVA，LATIN-
SQUARE DESIGN ANOVA（拉丁方设计）等。
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第十二一、章多因多素因试素验试的验方的差方分差析分析
二、多因素试验的方差分析 1。概念：具有两个及以上处理因素的试验设计，称为多
因素试验设计。 2。特点：处理因素有2个或2个以上，在设计和进行资料
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第一节 析因设计的方差分析
一、2因素2水平的析因设计（2×2析因设计） 1。概念：可以安排两个及两个以上处理因素的 试验设计。 2。特点： 1）可分析2个因素的独立作用及其交互作用。 （2）但由于是各因素各水平的全面组合，一般因 素数不大于4个，水平数也不大于3个。否则其组合 数急剧上升，导致试验结果太多而难以分析。
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3。类型及表达方式：常见者有： 1）2×2析因设计：有2个因素，每因素有2 个水平； 2）2×3析因设计：有2个因素，第一个因 素有2个水平；第二个因素有3个水平； 3）2×2×3析因设计：有3个因素，第一个 和第二个因素有2个水平；第三个因素有3个水 平；