x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解教学设计
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解教学设计
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解一、内容和内容解析1、内容x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解2、内容解析因式分解是对整式的一种变形，它与整式乘法是互逆变形的关系。
是学生后续学习分式、一元二次方程、二次函数等知识的基础，如后面学生对于分式基本性质的学习、分式加减法中的通分与分式乘除法中的约分等都要用到因式分解。
因式分解是解决整式恒等变形和简便问题的重要工具。
前几节课中我们学习了提公因式法和公式法分解因式。
但是面对一个在学生已有认知中没有“规律”的x2+bx+c的二次三项式，该如何去理解并完成因式分解呢？本节课介绍十字相乘法对这一类多项式进行分解因式，实质上是逆用(x＋p)(x＋q)乘法法则．它的一般规律是：对于二次项系数为1的二次三项式x2+bx+c，如果能把常数项c分解成两个因数p，q的积，并且p＋q为一次项系数b，那么它就可以运用公式x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)分解因式．这种方法的关键是“拆常数项，凑一次项”．基于以上分析，确定本节课的教学重点：能较熟练地用十字相乘法把形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式分解因式。
二、目标目标解析目标经历探究x2+(p+q)x+pq型因式分解的过程，理解十字相乘法的根据会用十字相乘法分解形如：x2+(p+q)x+pq的多项式目标解析达成目标（1）的标志是：学生能够从特殊的乘法公式的逆向思维转换到更加具有一般性的一次二项式乘一次二项式一般法则的逆运用上来。
知道x2+bx+c应满足什么条件时可以因式分解，得出因式分解x2+bx+c的一般规律。
达成目标（2）的标志是：学生对于二次三项式x2+bx+c分解因式时，知道如何确定p、q的值，使它们的乘积等于常数项c，它们的和等于一次项系数b，知道公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.并能按照此方法对多项式进行因式分解。
七年级数学下册《因式分解》教案、教学设计
3.引出因式分解：通过引导学生思考，引出因式分解的概念，并强调因式分解与整式乘法的关系，从而导入新课。
（二）讲授新知，0字
在讲授新知环节，我将按照以下步骤进行：
（三）学生小组讨论，500字
在学生小组讨论环节，我将组织学生进行以下活动：
1.分组讨论：将学生分成小组，让他们互相讨论因式分解的方法和技巧，共同解决一些简单的因式分解题目。
2.汇报交流：每组选派一名代表汇报讨论成果，分享解题思路和方法，其他组的学生可以提问、补充。
3.教师点评：在学生讨论的基础上，我对他们的解题方法进行点评，指出优点和不足，并进行指导。
1.对因式分解概念的理解不够深入，容易与整式乘法混淆。
2.在运用提取公因式、平方差公式、完全平方公式等方法时，可能会出现操作不当、漏解等问题。
3.部分学生在面对较复杂的因式分解题目时，缺乏解题思路和方法。
针对以上学情，教师在教学过程中应注重以下几点：
1.加强对因式分解概念和方法的讲解，通过实例分析，帮助学生理解并区分因式分解与整式乘法。
（二）过程与方法
1.通过引导学生自主探究、合作交流，培养学生独立思考和解决问题的能力。
2.通过典型例题的讲解和练习，让学生掌握因式分解的方法和技巧，提高解题能力。
3.引导学生总结因式分解的方法，培养学生归纳总结、提炼规律的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生的学习热情，使他们在学习过程中体验到数学的魅力。
2.鼓励学生进行拓展学习，探索更多因式分解的方法。
六、教学反思
4.7 因式分解十字相乘法知识讲解20202021学年七年级数学下册基础知识专项讲练浙教版
专题4.7 因式分解-十字相乘法（知识讲解）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.pq x q p x +++)(22x bx c ++pq c p q b =ìí+=î()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q 、0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b 2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.【典型例题】类型一、十字相乘法1、（2020·内蒙古赤峰市·八年级期末）利用多项式的乘法法则可以推导得出：()()x p x q ++=2x px qx pq+++=()2x p q x pq +++()2x p q x pq +++型式子是数学学习中常见的一类多项式，因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ①因此，利用①式可以将()2x p q x pq +++型式子分解因式．例如：将式子232x x ++分解因式，这个式子的二次项系数是1，常数项221=´，一次项系数312=+，因此利用①式可得()()23212x x x x ++=++．上述分解因式232x x ++的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）这样，我们也可以得到()()23212x x x x ++=++．这种方法就是因式分解的方法之一LL 十字相乘法．a（1）利用这种方法，将下列多项式分解因式：228x x --22712x y xy -+（2）()()2224648a a a a ++++【答案】（1）()()24x x +-；()()34xy xy --；（2）()()22242a a a +++【分析】（1）前一个仿照阅读材料中的方法将原式分解即可，后一个把xy 看作是一个整体，再分解即可；（2）把(24a a +)看作成一个整体，仿照阅读材料中的方法将原式分解，再利用完全平方公式二次分解即可．解：（1）228x x --()()2(24)2(4)24x x x x =+-+´-=+-；22712x y xy -+=()()22(34)(3)(4)34x y xy xy xy +--+-´-=--；（2）()()2224648a a a a ++++()()2224(24)424a a a a =+++++´()()224442a a a a =++++()()22242a a a =+++．【点拨】本题考查了因式分解的方法-十字相乘法和公式法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．注意达到每一个多项式因式不能再分解为止．举一反三：【变式1】．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）26x x +-=（________）（________）；26x x --=（________）（________）；256x x +-=（________）（________）；256x x ++=（_______）（_______）；256x x --=（______）（______）；256x x -+=（______）（______）．【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可得．解：26(3)(2)x x x x +-=+-；26(3)(2)x x x x --=-+；256(6)(1)x x x x +-=+-；256(3)(2)x x x x ++=++；256(6)(1)x x x x --=-+；256(3)(2)x x x x -+=--；故答案为：(3),(2)x x +-；(3),(2)x x -+；(6),(1)x x +-；(3),(2)x x ++；(6),(1)x x -+；(3),(2)x x --．【点拨】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．2、（2019·广西百色市·八年级期中）以下是解一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的一种方法：二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1212a a c c ，，，排列为： 然后按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若此时满足1221a c a c b +=，那么20(a 0)++=¹ax bx c 就可以因式分解为1122()()0a x c a x c ++=，这种方法叫做“十字相乘法”．那么2611100x x --=按照“十字相乘法”可因式分解为（ ）A ．(2)(65)0x x -+=B ．(22)(35)0x x +-=C ．(5)(62)0x x -+=D ．(25)(32)0x x -+=【答案】D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出()()2611102532x x x x --=-+即可．【详解】∵∴()()26111025320x x x x --=-+=．故选：D ．【点拨】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．举一反三：【变式】（2020·全国八年级课时练习）运用十字相乘法分解因式：（1）232x x --；（2）210218x x ++；（3）22121115x xy y --； （4）2()3()10x y x y +-+-．【答案】（1）(32)(1)x x +-；（2）(21)(58)x x ++；（3）(35)(43)x y x y -+；（4）(5)(2)x y x y +-++．【分析】（1）直接运用x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）分解因式得出即可；（2）ax 2+bx+c （a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1•a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1•c 2，并使a 1c 2+a 2c 1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：ax 2+bx+c=（a 1x+c 1）（a 2x+c 2）；（3）同（2）；（4）把(x y +)当作一个整体，运用x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）分解因式得出即可解：（1）232(32)(1)x x x x --=+-．（2）210218(21)(58)x x x x ++=++．（3）22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+．（4）2()3()10[()5][()2](5)(2)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-++=+-++．【点拨】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．3、（2019·湖南广益实验中学八年级月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如22ax bxy cy ++的关于x ，y 的二次三项式来说，方法的关键是将2x 项系数a 分解成两个因数1a ，2a 的积，即12a a a =·，将2y 项系数c 分解成两个因式1c ，2c 的积，即12c c c =·，并使1221a c a c +正好等于xy 项的系数b ，那么可以直接写成结果：221221()()ax bxy cy a x c y a y c y ++=++例：分解因式：2228x xy y --解：如图1，其中111=´，8(4)2-=-´，而21(4)12-=´-+´所以2228(4)(2)x xy y x y x y --=-+而对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成fk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，mk nj d +=，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py f nx qy k =++++例：分解因式222332x xy y x y +-+++解：如图3，其中111=´，3(1)3-=-´，212=´而2131(1)=´+´-，1(1)231=-´+´，31211=´+´所以222332(1)(32)x xy y x y x y x y +-+++=-+++请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①2263342x xy y -+= ．②22261915x xy y x y --++-= ．（2）若关于x ，y 的二元二次式22718340x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．【答案】（1）(27y)(36)x x y --；(235)(23)x y x y +--+；（2）61或-82．【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论；（2）用十字相乘法把能分解的几种情况全部列出求出m 的值即可．解：（1）①如下图，其中623,427(6),332(6)3(7)=´=-´--=´-+´-，所以，2263342(27)(36)x xy y x y x y -+=--；②如下图，其中221,63(2),1553=´-=´--=-´，而12213,1933(5)(2),123(5)1-=-´+´=´+-´-=´+-´，所以，22261915(235)(23)x xy y x y x y x y --++-=+--+；（2）如下图，其中111,189(2),4058=´-=´--=-´，而72119,315(8)1,=-´+´-=´+-´95(8)(2)61m =´+-´-=或9(8)(2)582m =´-+-´=-，∴若关于x ，y 的二元二次式22718340x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，m 的值为61或-82．【点拨】本题考查的知识点是因式分解-十字相乘法，读懂题意，掌握十字相乘法分解因式的步骤是解此题的关键．类型二、十字相乘法综合练习.（2020·重庆西南大学银翔实验中学八年级月考）因式分解（1）3221624x x x -+-（2）()2222224a b c a b +--（3）()()22353x x x x -----（4）333()x y x y +--（5）398x x -+【答案】（1）()()226x x x ---；（2）()()()()a b c a b c a b c a b c +++--+--；（3）()()()()2132x x x x -+-+；（4）()3xy x y +；（5）()()218x x x -+-【分析】（1）先提取公因式2x -，得到()22812x x x --+，再利用十字相乘法分解即可；（2）直接应用平方差公式和完全平方公式逐步分解即可；（3）将多项式整理成()()2241413x x x x --+----，利用平方差公式计算多项式得到()22242x x ---，再利用平方差公式和十字相乘法逐步分解即可；（4）先计算3()x y +，再合并同类项得到2233x y xy +，直接利用提公因式法分解因式即可；（5）根据1x =时，3980x x -+=，可得398x x -+有一个因式为1x -，即可求解．解：（1）3221624x x x-+-()22812x x x =--+()()226x x x =---；（2）()2222224a b c a b +--()()22222222ab ab a b c a b c =+-+-+-()()2222a b c a b c éùéùëûëû=+---()()()()a b c a b c a b c a b c =+++--+--；（3）()()22353x x xx -----()()2241413x x x x =--+----()22413x x =----()22242x x =---()()224242x x x x =--+---()()2226x x x x =----()()()()2132x x x x =-+-+；（4）333()x y x y +--32233333x x y xy y x y =+++--32233333x x y xy y x y =+++--2233x y xy =+()3xy x y =+；（5）当1x =时，3980x x -+=，∴398x x -+()()218x x x =-+-．【点拨】本题考查分解因式，熟练应用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．举一反三：【变式】（2020·全国八年级单元测试）因式分解：（1）()()22416a b a b +﹣﹣（2）()()()()22310a b a b a b a b +++﹣﹣﹣【答案】（1）-4（3a+b ）（a+3b ）（2）−2（a ＋3b ）（3a ＋2b ）【分析】（1）根据公式法即可因式分解；（2）根据十字相乘法即可因式分解．解：（1）()()22416a b a b --+=()()()()2424a b a b a b a b -++--+éùéùëûëû=（2a−2b+4a+4b ）（2a−2b-4a-4b ）=（6a+2b ）（-2a-6b ）=-4（3a+b ）（a+3b ）（2）()()()()22310a b a b a b a b +++﹣﹣﹣＝[（a−b ）−2（a ＋b ）][（a−b ）＋5（a ＋b ）]=（a−b−2a-2b ）（a−b ＋5a ＋5b ）=（−a-3b ）（6a ＋4b ）＝−2（a ＋3b ）（3a ＋2b ）．【点拨】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知公式法与十字相乘法的应用．。
因式分解教学设计教案
长兴中学集备教学设计《因式分解》
（一）教学目标：
1、目标：
（1）、了解因式分解、公因式等概念；了解因式分解的作用。
（2）、理解因式分解和多项式乘法之间的互逆关系。
（3）、运用提公因式法、公式法等方法分解因式。
2、过程性目标：
（1）、让学生体会因式分解与多项式乘法之间的互逆关系，利用这种关系解答因式分解的问题。
（2）、让学生通过观察、分析、归纳分解因式的方法。
（二）教学重点、难点：
教学重点：因式分解的目的，因式分解的方法。
（学生习惯依葫芦画瓢，作题有时不理解题目要求，常常把分解因式的题做成多项式的乘法。
让学生理解因式分解的目的是很重要的。
讲讲因式分解的作用可以帮助学生理解因式分解的目的。
）
教学难点：因式分解的方法，特别是公式法。
（在以往的教学中发现，学生在使用公式法分解因式时不够灵活，易出错。
原因是不能理解公式中a、b是变量，可以变成其它的式子，单项式或多项式；两个公式只是两种计算规律。
学生的思维往往被公式中a、b这两个字母迷惑。
）
教学突破点：
1、强调因式分解的目的，强调因式分解与多项式乘法的互逆关系，要求学生使用这种互逆关系检验因式分解的结果。
2、用“规律”来解释“公式”，强调公式只是描述了一种运算规律；用符号来描述这种规律。
（三）教学过程：（共3课时，教学过程的内容就是学习卷的内容。
）
2006129。
因式分解-pq型公式法
pq型公式法是一种用于因式分解的方法，适用于特定的数学问题。它可以帮 助我们快速解决因式分解的难题。
定义
pq型公式法是一种将二次方程转化为因式分解形式的方法。通过找到合适的p和q的值，我们可以 将一个二次方程因式分解为两个一次方程。
应用场景
1 解决二次方程
2 因式分解
pq型公式法可以帮助我们解决形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程。
通过使用pq型公式法，我们可以将一 个二次方程因式分解成两个一次方程。
步骤
1
将二次方程表示为标准形式
确保二次方程的系数符合标准形式：
计算pq的值
2
ax^2 + bx + c = 0。
根据二次方程的系数，计算出p和q
的值。
3
将pq代入pq型公式
将计算出来的p和q的值代入pq型公
因式分解
4
式：x^2 + (p + q)x + pq = 0。
注意事项
• 确保二次方程是符合标准形式的，否则无法使用pq型公式法。 • 计算p和q的值时，注意符号和系数的对应关系。 • 仔细检查因式分解的结果，确保没有遗漏或错误。
结论和总结
pq型公式法是一种简单且高效的因式分解方法，适用于解决特定类型的二次方程问题。通过掌握 好这种方法，我们可以更快速地解决因式分解难题。
使用因式分解法将pq型二次方程化 简为两个一次方程。
示例
示例一： 2x^2+5x +2=0
示例二： x^2 - 9x +14 =0
示例三： 3x^2+12x+12 =0
优点
简单易懂
(完整版)因式分解常用方法(目前最牛最全教案)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被宽泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多半学识题的有力工具．因式分解方法灵巧，技巧性强，学习这些方法与技巧，不单是掌握因式分解内容所必要的，并且对于培育学生的解题技术，发展学生的思想能力，都有着十分独到的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，比如：（ 1） (a+b)(a- b) = a 2222-b) ；-b ---------a-b =(a+b)(a(2) (a± b) 2 = a2± 2ab+b2——— a 2±2ab+b2=(a ± b) 2；(3) (a+b)(a 22333322；-ab+b ) =a+b ------ a+b =(a+b)(a-ab+b )(4) (a-b)(a 2+ab+b2 ) = a3-b3 ------a3-b3=(a -b)(a2+ab+b2) ．下边再增补两个常用的公式：2222(5)a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；(6)a 3+b3+c 3-3abc=(a+b+c)(a2 +b2+c2-ab-bc-ca) ；例 .已知a，b，c是ABC 的三边，且a2b2c2ab bc ca ，则ABC 的形状是（）A. 直角三角形 B 等腰三角形C等边三角形 D 等腰直角三角形解： a2b2c2ab bc ca2a22b22c22ab2bc 2ca ( a b)2(b c) 2(c a)20 a b c三、分组分解法 .（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：am an bm bn剖析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不可以运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有b，所以能够考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，而后再考虑两组之间的联系。
x2+(p+q)x+pq型多项式的因式分解
1
-1
x-1
1
2
x+2
所以,原式= ( x - 1 ) ( x + 2 )
(2) x2 - 2x - 15 熟练之后,可以直接用十字相乘法如下:
1
3
1
-5
所以,原式= ( x + 3 ) ( x - 5 )
归纳填空:
(1)常数项是正数时,它分解成两 个___同____号因数,它们和 一次 项系数符号_相__同__.
1
2
x+2
1
6
x +6
解:原式= ( x + 2 ) ( x + 6 )
例如:分解 x 2 - 10 x + 21
1
-3
x-3
1
-7
x-7
注意:处理系数时要带符号一起处理
所以:原式= ( x - 3 ) ( x - 7 )
例2:
(1) x2 + x - 2
(2) x2 - 2x - 15
分析(1) x2 + x - 2的两次项系数是 1,常数项-2=(-1) × 2,一次项系数 1=(-1)+2,得:
作业 ：
(1) x2 + 9x + 8 (2) x2 - 10 + 24 (3) x2 + 3x - 10 (4) x2 - 3x - 28 (5) a2 - 4a - 21 (6) m2 +4m- 12 (7) p2 - 8p + 7 (8) b2 + 11b + 28
解: x2 - 7 x + 6
= ( x - 1) ( x - 6 )
从例1中我们可以看到对形如 x2+(p+q)x+pq
《x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解》教学的反思
《x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解》教学的反思1、《x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解》教学的反思此公式出现在八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》一章中，位于p148练习第2题，虽然没在正文中出现，但鉴于它应用的广泛性，足见其重要性，故要让学生引起足够重视。
首先要明白：1、是特殊的多项式乘法2、许多整式的乘除法综合计算题目用到此公式3、复杂的方程、不等式中要用到4、后续学习基础：分式计算中应用广泛其次要注意：1、正确记忆公式2、弄清公式结构：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式有一项完全相同，而另一项不同，等号右边可看作一个关于“相同项”的`二次三项式，其中二次项的系数为1，一次项的系数为“不同项”的和，常数项为“不同项”的积。
3、x、p、q可以代表任意的字母、数、式。
但初中生只要求掌握最简单的即可，即x只代表系数为1的字母，而p、q只代表不同的数字。
4、结合着后面练习加深理解公式并能对公式灵活运用。
2、公式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq教学的反思此公式出现在八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》一章中，位于p148练习第2题，虽然没在正文中出现，但鉴于它应用的广泛性，足见其重要性，故要让学生引起足够重视。
首先要明白：1、是特殊的多项式乘法2、许多整式的乘除法综合计算题目用到此公式3、复杂的方程、不等式中要用到4、后续学习基础：分式计算中应用广泛其次要注意：1、正确记忆公式2、弄清公式结构：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式有一项完全相同，而另一项不同，等号右边可看作一个关于“相同项”的`二次三项式，其中二次项的系数为1，一次项的系数为“不同项”的和，常数项为“不同项”的积。
3、x、p、q可以代表任意的字母、数、式。
但初中生只要求掌握最简单的即可，即x只代表系数为1的字母，而p、q只代表不同的数字。
4、结合着后面练习加深理解公式并能对公式灵活运用。
3、《9+几》教学反思本课的主要教学目标是：引导学生利用已有经验自己得出计算9加几的方法，体现算法的多样化；通过比较，体验比较简便的计算方法，掌握9加几的进位加法的思维过程，并能正确计算9加几的口算。
《x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解》教学的反思
《x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解》教学的反思
《x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解》教学的反思
这部分内容出现在“观察与猜想”栏目中，属于补充内容。
但鉴于在分式部分应用较多，故拿出一节课专门讲解。
结合着前面课后练习中出现的等式（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，指出
x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
另外，还可以
x2+（p+q）x+pq
=x2+px+qx+pq
=（x2+px）+（qx+pq）
=x（x+p）+q（x+p）
=（x+p）（x+q）
例分解因式：（1）x2+3x+2（2）x2-5x+6（3）x2-2x-8
分析：（1）二次项系数为1，常数项2=1*2，一次项系数3=1+2.
（2）二次项系数为1，常数项6=-2*（-3），一次项系数-5=-2+（-3）
（3）二次项系数为1，常数项8=-4*2，一次项系数-2=-4+2
解：（1）x2+3x+2=（x+1）（x+2）（2）x2-5x+6=（x-2）（x-3）
（3）x2-2x-8=（x-4）（x+2）
练习：按照x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）将下列多项式分解因式
（1）x2+7x+10（2）x2-2x-8
（3）y2-7y+12（4）x2+7x-18
用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）进行因式分解，关键在于能找到常数项的2
个恰当的因式，使得这2个因式之和等于一次项系数。
最新八年级数学上册‘X平方+(p+q)X+pq因式分解’教学说教课程教案设计.docx
八年级数学上册‘X平方+（p+q）X+pq因式分解’教学说教课程教案设计教学目标1．知识与技能会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．2．过程与方法经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．3．情感、态度与价值观培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．重、难点与关键1．重点：利用平方差公式分解因式．2．难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．3．关键：应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，•对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维．教学过程一、观察探讨，体验新知【问题牵引】请同学们计算下列各式．（1）（a+5）（a－5）；（2）（4m+3n）（4m－3n）．【学生活动】动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演．（1）（a+5）（a－5）=a2－52=a2－25；（2）（4m+3n）（4m－3n）=（4m）2－（3n）2=16m2－9n2．【教师活动】引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．1．分解因式：a2－25； 2．分解因式16m2－9n．【学生活动】从逆向思维入手，很快得到下面答案：（1）a2－25=a2－52=（a+5）（a－5）．（2）16m2－9n2=（4m）2－（3n）2=（4m+3n）（4m－3n）．【教师活动】引导学生完成a2－b2=（a+b）（a－b）的同时，导出课题：用平方差公式因式分解．平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）．评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．二、范例学习，应用所学【例1】把下列各式分解因式：（投影显示或板书）（1）x2－9y2；（2）16x4－y4；（3）12a2x2－27b2y2；（4）（x+2y）2－（x－3y）2；（5）m2（16x－y）+n2（y－16x）．【思路点拨】在观察中发现1～5题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解．【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解，请5位学生上讲台板演．【学生活动】分四人小组，合作探究．解：（1）x2－9y2=（x+3y）（x－3y）；（2）16x4－y4=（4x2+y2）（4x2－y2）=（4x2+y2）（2x+y）（2x－y）；（3）12a2x2－27b2y2=3（4a2x2－9b2y2）=3（2ax+3by）（2ax－3by）；（4）（x+2y）2－（x－3y）2=[（x+2y）+（x－3y）][（x+2y）－（x－3y）] =5y（2x －y）；（5）m2（16x－y）+n2（y－16x）=（16x－y）（m2－n2）=（16x－y）（m+n）（m－n）．三、随堂练习，巩固深化课本P168练习第1、2题．【探研时空】1．求证：当n是正整数时，n3－n的值一定是6的倍数．2．试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除．连续偶数的平方差能被一个奇数整除．四、课堂总结，发展潜能运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．五、布置作业，专题突破课本Pxxxx1题．板书设计xxxx 二）教学目标1．知识与技能领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．2．过程与方法经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．3．情感、态度与价值观培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力． 重、难点与关键1．重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．2．难点：灵活地应用公式法进行因式分解．3．关键：应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式上的转化，•达到能应用公式法分解因式的目的．教学方法采用“自主探究”教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．教学过程一、回顾交流，导入新知【问题牵引】1．分解因式：（1）－9x 2+4y 2； （2）（x+3y ）2－（x －3y ）2；（3）x 2－0.01y 2． 【知识迁移】2．计算下列各式：（1）（m －4n ）2； （2）（m+4n ）2；（3）（a+b ）2； （4）（a －b ）2． 949【教师活动】引导学生完成下面两道题，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．3．分解因式：（1）m 2－8mn+16n 2 （2）m 2+8mn+16n 2；（3）a 2+2ab+b 2； （4）a 2－2ab+b 2．【学生活动】从逆向思维的角度入手，很快得到下面答案：解：（1）m 2－8mn+16n 2=（m －4n ）2； （2）m 2+8mn+16n 2=（m+4n ）2；（3）a 2+2ab+b 2=（a+b ）2； （4）a 2－2ab+b 2=（a －b ）2．【归纳公式】完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2．二、范例学习，应用所学【例1】把下列各式分解因式：（1）－4a 2b+12ab 2－9b 3； （2）8a －4a 2－4； （3）（x+y ）2－xxxx （4）+n 4． 【例2】如果x 2+axy+16y 2是完全平方，求a 的值．【思路点拨】根据完全平方式的定义，解此题时应分两种情况，即两数和的平方或者两数差的平方，由此相应求出a 的值，即可求出a 3．三、随堂练习，巩固深化课本Pxxxx【探研时空】1．已知x+y=7，xy=10，求下列各式的值．（1）x 2+y 2； （2）（x －y ）22．已知x+=－3，求x 4+的值． 四、课堂总结，发展潜能由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反，因此把整式乘法公式反过来写，就得到多项式因式分解的公式，主要的有以下三个：a 2－b 2=（a+b ）（a －b ）；a 2±ab+b 2=（a ±b ）2．在运用公式因式分解时，要注意：（1）每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、•次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；（2）•在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解；（3）当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，•然后再运用公式分解． 223293m n mn 1x 41x五、布置作业，专题突破课本Pxxxx．板书设计。
x2+x+pq型式子的因式分解教学的反思
《x2+(p+q)x+p q型式子的因式分解》教学的反思(总2页)
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《x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解》教学的反思
《x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解》教学的反思
这部分内容出现在“观察与猜想”栏目中，属于补充内容。
但鉴于在分式部分应用较多，故拿出一节课专门讲解。
结合着前面课后练习中出现的等式（x+p）（x+q）=x2+
（p+q）x+pq，指出
x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
另外，还可以
x2+（p+q）x+pq
=x2+px+qx+pq
=（x2+px）+（qx+pq）
=x（x+p）+q（x+p）
=（x+p）（x+q）
例分解因式：（1）x2+3x+2（2）x2-5x+6（3）x2-2x-8
分析：（1）二次项系数为1，常数项2=1*2，一次项系数
3=1+2.
（2）二次项系数为1，常数项6=-2*（-3），一次项系数-5=-2+（-3）
（3）二次项系数为1，常数项8=-4*2，一次项系数-2=-4+2 解：（1）x2+3x+2=（x+1）（x+2）（2）x2-5x+6=（x-2）（x-3）
（3）x2-2x-8=（x-4）（x+2）
练习：按照x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）将下列多项式分解因式
（1）x2+7x+10（2）x2-2x-8
（3）y2-7y+12（4）x2+7x-18
用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）进行因式分解，关键在于能找到常数项的2
个恰当的因式，使得这2个因式之和等于一次项系数。
初中数学 探究x2+(p+q)x+pq型的因式分解
广东省怀集县凤岗镇初级中学
黎方和
三、研学教材
解（：3）x2 20xy 96y 2
x2 (8y) (12y) x (8y)(12y)
x 8yx 12y
解：（4）a4 21a2 100
a4 25 4 a2 (25)4
a2 25a2 4
(a 5)(a 5) a2 4
广东省怀集县凤岗镇初级中学
2. 准确、迅速进行十字相乘分解因式。
广东省怀集县凤岗镇初级中学
黎方和
三、研学教材 知识点一 x²+(p+q)x+pq的因式分解 观察新课引入规律，得到
x px q x2 p qx pq
反过来，有
x2 p qx pq x px q
广东省怀集县凤岗镇初级中学
黎方和
三、研学教材
解：（2） x2 12x 20
x2 2 10 x 210
x 2 x 10
广东省怀集县凤岗镇初级中学
黎方和
三、研学教材
例 2：分解因式 x2 8x 5
分析：因为－8为负数，所以15应分解为两个负数 之积。
解：x2 8x 5
x2 3 5x 5 3
x 3x 5
x 4 x 43 x 2 x 1
黎方和
三、研学教材
3. 分解因式
解：（1）- a2 6ab - 9b2
（- a2 -6ab 9b2）
-a 3ba 3b -a 3b2
解：（2）- x2 - 3x 4
（- x2 3x-4）
x2 -1+4 x (1) 4
- x 1 x 4
广东省怀集县凤岗镇初级中学
黎方和
三、研学教材
a2 （-12+3）a (12) 3
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x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
一、内容和内容解析
1、内容
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
2、内容解析
因式分解是对整式的一种变形，它与整式乘法是互逆变形的关系。
是学生后续学习分式、一元二次方程、二次函数等知识的基础，如后面学生对于分式基本性质的学习、分式加减法中的通分与分式乘除法中的约分等都要用到因式分解。
因式分解是解决整式恒等变形和简便问题的重要工具。
前几节课中我们学习了提公因式法和公式法分解因式。
但是面对一个在学生已有认知中没有“规律”的x2+bx+c的二次三项式，该如何去理解并完成因式分解呢？本节课介绍十字相乘法对这一类多项式进行分解因式，实质上是逆用(x＋p)(x＋q)乘法法则．它的一般规律是：对于二次项系数为1的二次三项式x2+bx+c，如果能把常数项c分解成两个因数p，q的积，并且p＋q为一次项系数b，那么它就可以运用公式x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)分解因式．这种方法的关键是“拆常数项，凑一次项”．基于以上分析，确定本节课的教学重点：能较熟练地用十字相乘法把形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式分解因式。
二、目标目标解析
目标
经历探究x2+(p+q)x+pq型因式分解的过程，理解十字相乘法的根据
会用十字相乘法分解形如：x2+(p+q)x+pq的多项式
目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能够从特殊的乘法公式的逆向思维转换到更加具有一般性的一次二项式乘一次二项式一般法则的逆运用上来。
知道x2+bx+c应满足什么条件时可以因式分解，得出因式分解x2+bx+c的一般规律。
达成目标（2）的标志是：学生对于二次三项式x2+bx+c分解因式时，知道如何确定p、q的值，使它们的乘积等于常数项c，它们的和等于一次项系数b，知道公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.并能按照此方法对多项式进行因式分解。
三、教学问题诊断分析
学生通过对前面知识的学习已经对因式分解有了较充分的认识。
但是前面所进行的因式分解都是围绕着可以直接提取公因式的二次三项式或可以利用平方差公式和完全平方公式因式分解来展开的。
学生在此基础上直接去面对一个既无法提取公因式，又不能运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的二次三项式x2+bx+c，学生会觉得手足无措，因此为了帮助学生理解并能够主动去探究x2+bx+c的因式分解规律，我们从一次二项式乘一次二项式的特殊公式法转换到一般法则，给予学生一个一般的解决问题的思路。
这样能够帮助学生更好的理解十字相乘法的出处。
学生在用十字相乘法分解因式过程中经常遇到的困难是不知道如何分解常数项，使它同时满足pq=c,p+q=b,解决此问题的关键是根据常数项和一次项系数的符号特点列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；然后尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数。
本节课的教学难点：把x2+bx+c分解因式时，准确地找出p、q，使p.q=c,p+q=b。
四、教学过程设计
1、复习导入：
问题1前几节课我们学习了因式分解，首先请同学们先回忆一下什么叫做因式分解？
因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
因式分解实质是和差化积与整式乘法是“积化和差”的过程正好（相反）
追问：之前我们都学习了哪些分解因式的方法？
提取公因式法，公式法，
练习：请同学们观察下列多项式，判断它们哪些能用已学的方法进行因式分解？
（1）x2-9 (2)x2-5x (3)x2+8x+16 (4)x2+5x+6 (5)x2-3x+2
师生活动：教师提出问题，学生独立思考并回答问题。
教师指出对于（4）（5）目前我们还无法对它进行因式分解，但并不能代表它们无法进行因式分解。
这节课我们就来研究一下如何对这一类多项式因式分解。
设计意图：帮助学生回顾提取公因式法、平方差公式法、完全平方差公式法因式分解，同时也为本节课的教学做准备。
2、探索新知:
问题2：我们通过逆运用平方差公式和完全平方公式，得到了公式法因式分解。
那么老师给你几个一般的整式乘法的式子，你得到的结果是什么样的呢？
（1）(x+3)(x+2)
（2）(x-2) (x-1)
（3）（x+4）(x-2)
（4）（x-4）(x+1)
提升到字母表示：
pq
x
q
p
x
q
x
p
x+
+
+
=
+
+)
(
)
)(
(2
这个过程进行的是整式乘法运算，反过来可得
)
)(
x(
)
(
2q
x
p
pq
x
q
p
x+
+
=
+
+
+
这个过
程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解.
思考1：你能根据以下图形的面积说明这个公式吗？
追问：观察上面式子的特点，我们可不可以将和等式左边具有相同特点的多项式进行因式分解呢？方法是什么呢？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再互动交流，最后学生发现：等式左边的多项式具有如下特点(1)二次项系数是1(2)常数项是两个数之积(3)一次项系数是常数项两个因数之和就可以因式分解了。
设计意图：帮助学生从特殊的乘法公式的逆向思维转换到更加具有一般性的一次二项式乘一次二项式一般法则的逆运用上来。
3、初步应用十字相乘法
我们可以看到对形如：x2+(p+q)x+pq的多项式进行因式分解时,主要是通过讨论多项式各个项的系数来分解的,因此我们可以用一个简便的方法来分解这一类因式,即十字相乘法.
定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
步骤
总结步骤：①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，再相加
③检验确定，横写因式
顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
师生活动：教师板书讲解师生共同交流。
设计意图：通过例题，让学生感知十字相乘法及其怎样进行“两拆一揍”，并规范学生解题格式。
4、巩固应用十字相乘法分解因式
(1) x2 + 3x + 2
(2) x2 - 7x + 6
(3) x2 + x - 2
(4) x2 - 2x - 15
归纳填空:
(1)常数项是正数时,它分解成两个_______号因数,它们和一次项系数符号_____.
(2)常数项是负数时,它分解成两个_______号因数,其中绝对值较______的因数和一次项系数符号相同.
师生活动：4名学生板书，然后学生互动交流归纳出常数项分解时符号特点。
设计意图：通过练习使学生熟练掌握用十字相乘法分解因式。
5、拓展提高
（1）-x2-6x+16 (2) x2-5xy+4y2 (3) x4-5x2+4 (4) (2x+y)2-5(2x+y)+4
师生活动：学生独立思考，师生互动交流。
设计意图：通过此练习，提高学生对x2+(p+q)x+pq型多项式因式分解的认识，让学生体会
数学中的整体思想。
思考2：我们现在所研究的都是二次项系数是1的二次三项式用十字相乘法进行因式分解，那么当二次项的系数不是1，而是其他数字时呢？
例如：3x2-2x-1
6、归纳小结
这节课主要学了什么？你有什么收获？
设计意图：帮助学生进一步巩固所学知识，并培养学生总结归纳能力。
7、布置作业
1、分解因式：
(1) x2 + 9x + 8 (2) x2 - 10 + 24
(3) x2 - 9x - 10 (4) x2 - 3x - 28
2、(1)若多项式学x 2
-8x+m 可分解为(x-2)(x-6）则m 的值为 .
(2)若多项式x 2-kx-12可分解为(x-2)(x+6）则k 的值为 .
(3)若多项式x 2-2x+m 可分解为(x+3)(x-n) 求m 、n 的值. 3．先阅读学习，再求解问题：
材料：解方程：01032=-+x x
解：原方程可化为 （x+5）（x-2）=0
∴x+5=0或 x-2=0
由x+5=0得x=-5
由x-2=0得x=2
∴x=-5或 x=2为原方程的解。
问题：解方程：x 2-2x=3。
设计意图：考查学生十字相乘法因式分解的掌握情况。
8、板书设计
9、课后反思
因式分解与整式的乘法实际上是互逆的两个运算过程。
本节课通过类比探究公式法因式分解的由来，从一般的整式乘法算式入手，对公式(x+p)(x+q)=x 2+(p+q)x+pq 进行观察研究，发现反过来就是x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，学生思考后发现，对于二次三项式x 2+bx+c 的因式分解，关键就是找两个数p 、q 使：p+q=b ，pq=c ，，因此，就可以借助十字相乘法将这类因式进行分解。
本节课强调了学生的自主探究和分组合作相结合。
还给了学生足够的空间，展现了学生的思维过程。
不足之处：大部分同学都能积极主动参与，但是少数学生，参与意识不强，在以后教学中本人将努力改进。