专题一 函数与导数 文科数学
导数文科大题含详细答案
导数文科大题1.知函数， .（1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有实数根，数的取值围. 答案解析2.已知 , (1)若 ,求函数在点处的切线方程; (2)若函数在上是增函数,数a 的取值围; (3)令 , 是自然对数的底数);求当实数a等于多少时,可以使函数取得最小值为3.解:(1)时,,′(x),′(1)=3,,数在点处的切线方程为,(2)函数在上是增函数,′(x),在上恒成立,即,在上恒成立,令,当且仅当时,取等号,,的取值围为(3),′(x),①当时,在上单调递减,,计算得出(舍去); ②当且时,即,在上单调递减,在上单调递增,,计算得出,满足条件; ③当,且时,即,在上单调递减,,计算得出(舍去);综上,存在实数,使得当时,有最小值3.解析(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程.(2)函数在上是增函数,得到f′(x),在上恒成立,分离参数,根据基本不等式求出答案,(3),求出函数的导数,讨论,,的情况,从而得出答案3.已知函数 ,(1)分别求函数与在区间上的极值;(2)求证:对任意 ,解:(1),令,计算得出:,,计算得出:或,故在和上单调递减,在上递增,在上有极小值,无极大值;,,则,故在上递增,在上递减,在上有极大值,,无极小值;(2)由(1)知,当时,,,故;当时,,令,则,故在上递增,在上递减,,;综上,对任意,解析(1)求导,利用导数与函数的单调性与极值关系,即可求得与单调区间与极值;4.已知函数,其中,为自然数的底数.(1)当时,讨论函数的单调性;(2)当时,求证:对任意的,.解:(1)当时,,则,,故则在R上单调递减.(2)当时,,要证明对任意的,.则只需要证明对任意的,.设,看作以a为变量的一次函数,要使,则,即,恒成立,①恒成立,对于②,令,则,设时,,即.,,在上,,单调递增,在上,,单调递减,则当时,函数取得最大值,故④式成立,综上对任意的,.解析:(1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可.(2)对任意的,转化为证明对任意的,,即可,构造函数,求函数的导数,利用导数进行研究即可.5.已知函数(1)当时,求函数在处的切线方程;(2)求在区间上的最小值.解:(1)设切线的斜率为k.因为,所以,所以,所以所求的切线方程为,即(2)根据题意得, 令,可得①若,则,当时,,则在上单调递增.所以②若,则, 当时,,则在上单调递减. 所以③若,则,所以,随x的变化情况如下表:所以的单调递减区间为,单调递增区间为所以在上的最小值为综上所述:当时,;当时,;当时,解析(1)设切线的斜率为k.利用导数求出斜率,切点坐标,然后求出切线方程.(2)通过,可得.通过①,②,③,判断函数的单调性求出函数的最值.6.已知函数。
高中数学 文科 导数 第1课时 导数与函数的单调性文科(含答案)
第2节导数在研究函数中的应用一、选择题1.函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为()A.(0，1)B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)解析函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)<0，解得0<x<1，所以单调递减区间是(0，1).答案 A2.已知f(x)＝1＋x－sin x，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是()A.f(2)>f(3)>f(π)B.f(3)>f(2)>f(π)C.f(2)>f(π)>f(3)D.f(π)>f(3)>f(2)解析因为f(x)＝1＋x－sin x，所以f′(x)＝1－cos x，当x∈(0，π]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2).答案 D3.(2014·课标全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是()A.(－∞，－2]B.(－∞，－1]C.[2，＋∞)D.[1，＋∞)解析∵f′(x)＝k－1 x，依题意f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1x在x∈(1，＋∞)上恒成立，由x>1，得0<1x<1，所以k≥1.答案 D4.(2017·山东卷)若函数e x f(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( )A.f (x )＝2－xB.f (x )＝x 2C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x 解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ，在定义域R 上为增函数，A 正确；对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确；对于C ，g (x )＝e x ·3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x 在定义域R 上是减函数，C 不正确；对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确.答案 A5.(2018·保定一中模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞) 解析 由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0，设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2， 因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增.又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1.答案 B二、填空题6.已知函数f (x )＝(－x 2＋2x )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)，则函数f (x )的单调递增区间为________.解析 因为f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x <2，所以函数f (x )的单调递增区间为(－2，2).答案 (－2，2)7.(2018·安徽江南十校联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________.解析 易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －9x .由f ′(x )＝x －9x <0，解得0<x <3.因为f (x )＝12x 2－9ln x 在[a －1，a ＋1]上单调递减，∴⎩⎨⎧a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2. 答案 (1，2]8.(2018·银川诊断)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞).答案 (－3，0)∪(0，＋∞)三、解答题9.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1， 解得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)， 令f ′(x )>0，解得x >1或x <－13；令f ′(x )<0，解得－13<x <1.所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. 10.已知a ∈R ，若函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围.解 因为函数f (x )在(－1，1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1，1)都成立.因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1，1)都成立.因为e x ＞0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0，则a ≥x 2＋2x x ＋1＝（x ＋1）2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1，1)都成立. 令g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1，则g ′(x )＝1＋1（x ＋1）2＞0， 所以g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1，1)上单调递增， 所以g (x )＜g (1)＝(1＋1)－11＋1＝32， 所以a ≥32，又当a ＝32时，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )A.[－1，1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 解析 ∵f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x ，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，由f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0.在t ∈[－1，1]上恒成立.∴4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立.令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g （1）＝－3a －1≤0，g （－1）＝3a －1≤0.解之得－13≤a ≤13. 答案 C12.函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________(由小到大). 解析 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，则f (x )在(－∞，1)上为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即有f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c <a <b . 答案 c <a <b13.(2016·四川卷节选)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e e x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x >1时，g (x )>0.(1)解 由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x >0).当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减.当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增. (2)证明 令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )>s (1)，即e x －1>x ，1 x－ee x＝e（e x－1－x）x e x>0.从而g(x)＝。
高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总
高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。
在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。
函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。
复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。
第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。
函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。
对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。
第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等等。
判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。
在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断。
在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。
第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。
多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。
高考文科数学试题分类汇编----函数与导数
函数与导数一 选择题（辽宁文）（11）函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为（A ）（1-，1） （B ）（1-，+∞） （C ）（∞-，1-） （D ）（∞-，+∞）（重庆文）3．曲线223y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为 A ．31y x =- B ．35y x =-+C ．35y x =+D ．2y x =（重庆文）6．设11333124log ,log ,log ,,,233a b c a b c ===则的大小关系是A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<（重庆文）7．若函数1()2f x x n =+-(2)n >在x a =处取最小值，则a =A．1+ B．1 C ．3D ．4（辽宁文）（6）若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则a =（A ）21 （B ）32 （C ）43（D ）1 （上海文）15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为 A ．2y x -=B ．1y x -=C ．2y x =D ．13y x =（全国新课标文）（3）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）||2x y -=（全国新课标文）（10）在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（A ）1(,0)4- （B ）1(0,)4 （C ）11(,)42 （D ）13(,)24（全国新课标文）（12）已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有（A ）10个 （B ）9个 （C ）8个 （D ）1个 （全国大纲文）2．函数0)y x =≥的反函数为A ．2()4x y x R =∈ B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈D ．24(0)y x x =≥（全国大纲文）10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．12（湖北文）3．若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf x gx e +=，则()g x =A ．xxe e-- B ．1()2x xe e -+ C ．1()2xx e e -- D ．1()2x xe e -- （福建文）6．若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围 A ．（-1,1） B ．（-2,2） C ．（-∞，-2）∪（2，+∞） D ．（-∞，-1）∪（1，+∞）（福建文）8．已知函数f （x ）=。
函数与导数一含有参数的3次多项式函数题型一导数与方程
函数与导数一：含有参数的3次多项式函数：题型一：导数与方程、不等式、函数思想的结合 A 组： 1、（余姚中学2012届高三第一次质检）已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间. 2、（学军中学2012届高三第一次月考） 已知函数32()21f x x x ax =+-+.（I ）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为4，求实数a 的值； （II ）若函数)(x f 在区间)1,1(-上是单调函数，求实数a 的取值范围. B 组： 3、（2011年宁波市高三“十校联考”） 设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（1）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；（2）若函数()()xg x e f x =在]2,0[上是单调减函数，求实数a 的取值范围． 4、（浙江省杭州市求是高复2012届高三11月月考数学（文）试题） 已知函数x ax x x f 54)(23+-=（R ∈a ）． （1） 当1=a 时, 求函数在区间[0, 2]上的最大值;（2） 若函数)(x f 在区间[0, 2]上无极值．．．, 求实数a 的取值范围． C 组： 5、（衢州二中2012届高三下学期第一次综合练习） 函数ax bx x x f 22131)(23++-=,)('x f 是它的导函数． （Ⅰ）当1=b 时，若)(x f 在区间),32(+∞存在单调递增区间，求a 的取值范围。
（Ⅱ）当21≤≤x 时，0)('≥x f 恒成立，求a b a 1022++的最小值．6、（2012年文科数学测试卷）已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ， a , b ∈R ．(Ⅰ) 曲线C ：y ＝f (x ) 经过点P (1，2)，且曲线C 在点P 处的切线平行于直线y ＝2x ＋1，求a ，b 的值；(Ⅱ) 已知f (x )在区间 (1，2) 内存在两个极值点，求证：0＜a ＋b ＜2． 题型二：导数与函数图象的关系（数形结合）【极值点的位置、函数图象形状变换、函数图象与直线或其他图形的位置关系】A 组：7、（数学文科适应性考试试卷）设a 为实常数,函数4)(23-+-=ax x x f（1）若函数)(x f y =的图象在点))1(,1(f P 处的切线的斜率为1,求函数)(x f 的单调区间； （2）若存在),0(0+∞∈x ，使0)(0>x f ,求a 的取值范围. B 组： 8、（浙江省宁波市2011届高三上学期期末试题）9、(2010学年杭州学军中学高三年级第一次月考) 已知函数f （x ）=b x ax +-2323（R x ∈）。
2023年高考数学(文科)一轮复习——导数的概念及运算
第1节导数的概念及运算考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2(f (x )≠0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( )(4)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与曲线y ＝f (x )过某点的切线意义是相同的.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.2.某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( ) A.9.1米/秒 B.6.75米/秒 C.3.1米/秒D.2.75米/秒答案 C解析 h ′(t )＝－9.8t ＋8， ∴h ′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.3.(2022·银川质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0为奇函数，则曲线f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( ) A.6 B.－2C.－6D.－8答案 B解析 f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x ). 取x >0，得x 2－2x ＝－(－x 2＋ax )，则a ＝2. 当x >0时，f ′(x )＝－2x ＋2.∴f ′(2)＝－2.4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝e x x ＋a .若f ′(1)＝e4，则a ＝________.答案 1 解析 由f ′(x )＝e x （x ＋a ）－e x（x ＋a ）2，可得f ′(1)＝e a （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.5.(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________.答案 5x －y ＋2＝0解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x ＋2′＝（2x －1）′（x ＋2）－（2x －1）（x ＋2）′（x ＋2）2＝5（x ＋2）2， 所以k ＝y ′|x ＝－1＝5（－1＋2）2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.6.(易错题)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.答案 － 2解析 由f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2·cos π2－sin π2，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.考点一 导数的运算1.下列求导运算不正确的是( ) A.(sin a )′＝cos a (a 为常数)B.(sin 2x )′＝2cos 2xC.(x )′＝12xD.(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x 答案 A解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误.由导数公式及运算法则知B 、C 、D 正确.2.若f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2，则f ′(x )＝________.答案 1－1x －2x 2＋2x 3解析 由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2.∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3.3.设f ′(x )是函数f (x )＝cos xe x ＋x 的导函数，则f ′(0)的值为________. 答案 0 解析 因为f (x )＝cos xe x＋x ， 所以f ′(x )＝（cos x ）′e x －（e x ）′cos x （e x ）2＋1＝－sin x －cos xe x ＋1， 所以f ′(0)＝－1e 0＋1＝0.4.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f (1)＝________. 答案 －234解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，则f ′(2)＝－94. ∴f (1)＝1＋3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋0＝－234.感悟提升 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 考点二 导数的几何意义 角度1 求切线的方程例1 (1)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________.答案 (1)3x －y ＝0 (2)x －y －1＝0 解析 (1)y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为3x －y ＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x . ∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 角度2 求曲线的切点坐标例2 (2022·皖豫名校联考)若曲线y ＝e x ＋2x 在其上一点(x 0，y 0)处的切线的斜率为4，则x 0＝( ) A.2 B.ln 4 C.ln 2D.－ln 2答案 C解析 ∵y ′＝e x ＋2，∴e x 0＋2＝4，∴e x 0＝2，x 0＝ln 2. 角度3 导数与函数图象问题例3 已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13. ∵g (x )＝xf (x )， ∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题意可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.感悟提升 1.求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P 处的导数不存在，则切线垂直于x 轴，切线方程为x ＝x 0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.训练1 (1)(2022·沈阳模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A.y ＝0 B.y ＝2x C.y ＝xD.y ＝－2x(2)(2021·长沙检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝f（x）x，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是()A.2B.1C.－1D.－3答案(1)B(2)D解析(1)∵f(x)＝2e x sin x，∴f(0)＝0，f′(x)＝2e x(sin x＋cos x)，∴f′(0)＝2，∴所求切线方程为y＝2x.(2)由图象知，直线l经过点(1，2).则k＋3＝2，k＝－1，从而f′(1)＝－1，且f(1)＝2，由h(x)＝f（x）x，得h′(x)＝xf′（x）－f（x）x2，所以h′(1)＝f′(1)－f(1)＝－1－2＝－3.考点三导数几何意义的应用例4 (1)已知曲线f(x)＝x ln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，则实数a 的值为________.(2)(2022·河南名校联考)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________.答案(1)1－e(2)[2，＋∞)解析(1)因为f′(x)＝ln x＋1，所以曲线f(x)＝x ln x在x＝e处的切线斜率为k＝2，又f(e)＝e，则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e. 由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，故可联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋a ，y ＝2x －e ，得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e. (2)∵直线2x －y ＝0的斜率为k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0. 又4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”.∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞).感悟提升 1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.训练2 (1)(2021·洛阳检测)函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝2处的切线与直线ax －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.－1 B.14 C.12D.1(2)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝________. 答案 (1)B (2)1解析 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a .又曲线y ＝f (x )在x ＝2处切线的斜率k ＝f ′(2)， 因此12－a ＝a ，∴a ＝14.(2)y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ， 可得在点(1，1)处切线的斜率为k ＝3＋a ，又k ＋1＝3，1＋a ＋b ＝3，解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，即有2a ＋b ＝－2＋3＝1.公切线问题求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，其中直线与抛物线相切可用判别式法. 一、共切点的公切线问题例1 设点P 为函数f (x )＝12x 2＋2ax 与g (x )＝3a 2ln x ＋2b (a >0)的图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( ) A.23e 34 B.32e 34 C.43e 23D.34e 23答案 D解析 设P (x 0，y 0)，由于P 为公共点， 则12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋2b .又点P 处的切线相同，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)， 即x 0＋2a ＝3a 2x 0，即(x 0＋3a )(x 0－a )＝0.又a >0，x 0>0，则x 0＝a ，于是2b ＝52a 2－3a 2ln a .设h (x )＝52x 2－3x 2ln x ，x >0， 则h ′(x )＝2x (1－3ln x ).可知：当x ∈(0，e 13)时，h (x )单调递增；当x ∈(e 13，＋∞)时，h (x )单调递减. 故h (x )max ＝h (e 13)＝32e 23， 于是b 的最大值为34e 23，选D. 二、切点不同的公切线问题例2 曲线y ＝－1x (x <0)与曲线y ＝ln x 的公切线的条数为________. 答案 1解析 设(x 1，y 1)是公切线和曲线y ＝－1x 的切点， 则切线斜率k 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′|x ＝x 1＝1x 21，切线方程为y ＋1x 1＝1x 21(x －x 1)，整理得y ＝1x 21·x －2x 1.设(x 2，y 2)是公切线和曲线y ＝ln x 的切点， 则切线斜率k 2＝(ln x )′|x ＝x 2＝1x 2，切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，整理得y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.令1x 21＝1x 2，－2x 1＝ln x 2－1，消去x 2得－2x 1＝ln x 21－1.设t ＝－x 1>0，即2ln t －2t －1＝0，只需探究此方程解的个数.易知函数f (x )＝2ln x －2x －1在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝－3<0，f (e)＝1－2e >0，于是f (x )＝0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.1.函数f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1的导函数f ′(x )＝( ) A.2x ＋1x ＋cos x ＋1 B.2x －1x ＋cos x C.2x ＋1x －cos xD.2x ＋1x ＋cos x答案 D解析 由f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1得f ′(x )＝2x ＋1x ＋cos x . 2.曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( )A.2B.－2C.12D.－12答案 D解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在点(3，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12. 3.(2021·安徽皖江名校联考)已知f (x )＝x 3＋2xf ′(0)，则f ′(1)＝( ) A.2 B.3C.4D.5答案 B解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′(0)， ∴f ′(0)＝2f ′(0)，解得f ′(0)＝0， ∴f ′(x )＝3x 2，∴f ′(1)＝3.4.(2022·豫北十校联考)已知f (x )＝x 2，则过点P (－1，0)，曲线y ＝f (x )的切线方程为( ) A.y ＝0 B.4x ＋y ＋4＝0 C.4x －y ＋4＝0 D.y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 答案 D解析 易知点P (－1，0)不在f (x )＝x 2上，设切点坐标为(x 0，x 20)，由f (x )＝x 2可得f ′(x )＝2x ，∴切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0. ∵切线过点P (－1，0)，∴k ＝x 20x 0＋1＝2x 0，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴k ＝0或－4，故所求切线方程为y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.5.(2022·昆明诊断)若直线y ＝ax 与曲线y ＝ln x －1相切，则a ＝( ) A.e B.1C.1eD.1e 2答案 D解析 由y ＝ln x －1，得y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0－1)，则⎩⎨⎧ax 0＝ln x 0－1，a ＝1x 0，解得a ＝1e 2. 6.已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （4）－f （2）4－2＝a ，则下列不等式正确的是( )A.a <f ′(2)<f ′(4)B.f ′(2)<a <f ′(4)C.f ′(4)<f ′(2)<aD.f ′(2)<f ′(4)<a 答案 B解析 由函数f (x )的图象可知，在[0，＋∞)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在[0，＋∞)上的切线斜率也越来越大. 因为f （4）－f （2）4－2＝a ，所以f ′(2)<a <f ′(4).7.函数f (x )＝(2x －1)e x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为________. 答案 π4解析 由f (x )＝(2x －1)e x ， 得f ′(x )＝(2x ＋1)e x ，∴f ′(0)＝1，则切线的斜率k ＝1， 又切线倾斜角θ∈[0，π)， 因此切线的倾斜角θ＝π4.8.已知曲线f (x )＝13x 3－x 2－ax ＋1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－4，＋∞) 解析 f ′(x )＝x 2－2x －a ，依题意知x 2－2x －a ＝3有两个实数解， 即a ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4有两个实数解， ∴y ＝a 与y ＝(x －1)2－4的图象有两个交点， ∴a >－4.9.(2021·济南检测)曲线y ＝f (x )在点P (－1，f (－1))处的切线l 如图所示，则f ′(－1)＋f (－1)＝________.答案－2解析∵直线l过点(－2，0)和(0，－2)，∴直线l的斜率f′(－1)＝0＋2－2－0＝－1，直线l的方程为y＝－x－2.则f(－1)＝1－2＝－1.故f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2.10.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.解(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y －4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3x20－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，所以x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)·(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.11.已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.解(1)根据题意，得f′(x)＝3x2＋1.所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以所求的切线方程为13x－y－32＝0.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，所以直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又直线l过点(0，0)，则(3x20＋1)(0－x0)＋x30＋x0－16＝0，整理得x30＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k′＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).12.若函数f(x)＝a ln x(a∈R)与函数g(x)＝x在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为()A.4B.12 C.e2 D.e答案 C解析由已知得f′(x)＝ax，g′(x)＝12x，设切点横坐标为t，∴⎩⎨⎧a ln t＝t，at＝12t，解得t＝e2，a＝e2.13.曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是________. 答案 2解析设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，则y′|x＝x0＝⎝⎛⎭⎪⎫2x－1x| x＝x0＝2x0－1x0＝1.∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝|1－1－2|12＋（－1）2＝ 2.14.(2021·宜昌质检)已知函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，g(x)＝e x＋ax2＋bx，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，求a＋b的值.解由y＝x＋1x的图象关于点(0，0)对称，且y＝f(x)的图象可由y＝x＋1x的图象平移得到，且函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1＝1x＋1＋(x＋1)＋a－2的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，得a－2＝－1，即a＝1，所以f(x)＝1x＋1＋x.对f(x)求导，得f′(x)＝1－1（x＋1）2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k1＝f′(1)＝1－14＝3 4.对g(x)求导，得g′(x)＝e x＋2x＋b，则曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线斜率k2＝g′(0)＝b＋1.由两曲线的切线互相垂直，得(b＋1)×34＝－1，即b＝－73，所以a＋b＝1－73＝－43.。
2020年全国卷1函数与导数压轴题一题多解,深度解析
全国卷1导数题一题多解，深度解析1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析已知函数2()e xf x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.。
2.2020年 全国卷1文科数学第20题的解析已知函数()(2)xf x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.。
3. 2020年新高考1卷（山东考卷）第21题已知函数1()eln ln x f x a x a -=-+（1）.当a=e 时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围城的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围。
1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析已知函数2()e xf x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.。
解析：（1） 单调性，常规题，a 已知，求一个特定函数f(x)的单调性。
若一次求导不见底，则可二次或多次清仓，即二次求导或多次求导，然后逐层返回。
通常二次求导的为多。
（2） 恒成立，提高题，在恒成立情况下，求参数的取值范围。
常常是把恒成立化成最值问题。
由于这里的a 只在一项中出现，故可以优先考虑分离参数法。
这里介绍了两种方法。
解：（1） 当a=1时， 2()e xf x x x =+-，定义域为R ，'()e 21x f x x =+-，易知f ’(x)是单调递增函数。
而f ’(0)=0，∴ 当x ∈（-∞，0），f ’(x)＜0 当x ∈（0,+∞），f ’(x)＞0∴当x ∈（-∞，0），f(x)单调递减；当x ∈（0,+∞），f(x)单调递增。
（2）解法一 ，分离参数法 当x ≥0时，31()12f x x ≥+ ，即231()e 12x f x ax x x =+≥+- 当x=0时，上式恒成立，此时a ∈R 。
2023年高考数学(文科)一轮复习——利用导数研究函数的零点问题
此时函数f(x)在区间(0，1)内没有零点. 综上，实数a的取值范围为(－∞，0).
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索引
2.设函数 f(x)＝12x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x，m>0. (1)求函数 f(x)的单调区间； 解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
索引
题型二 根据零点个数确定参数范围
例2 (2020·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2. (1)讨论f(x)的单调性； 解 (1)f′(x)＝3x2－k. 当k＝0时，f(x)＝x3， 故f(x)在(－∞，＋∞)单调递增. 当k<0时，f′(x)＝3x2－k>0， 故f(x)在(－∞，＋∞)单调递增.
点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫 做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上， 此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.
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例 设函数f(x)＝ex－ax－2. (1)求f(x)的单调区间； 解 (1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a. 当a≤0时，f′(x)>0恒成立， 所以f(x)单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间. 当a>0时，令f′(x)<0，得x<ln a， 令f′(x)>0，得x>ln a， 所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞).
当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴x＝1是φ(x)唯一的极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，
文科数学函数的极值与导数限时训练1
函数的极值与导数限时训练使用：文科班时长：30分钟2015.1.3一、选择题1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值2．函数y＝1＋3x－x3有()A．极小值－2，极大值2 B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1 D．极小值－1，极大值33．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A．必有f′(x0)＝0 B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0 4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题1．函数y＝2xx2＋1的极大值为______，极小值为______．2．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．三、解答题1．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)写出函数f(x)的递减区间；(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值．函数的极值与导数限时训练答案1.[答案] C [解析]导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2.D [解析]y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x) 令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1 当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－1<x<1时，y′>0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3.C 如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．4. C 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．5. B f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0<x<2，∴①②错误．二、1.[答案] 1 －1 [解析]y′＝2(1＋x)(1－x)(x2＋1)2，令y′>0得－1<x<1，令y′<0得x>1或x<－1，∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.2.[答案]a＋42a－4 2 [解析]y′＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)，令y′>0，得x>2或x<－2，令y′<0，得－2<x<2，∴当x＝－2时取极大值a＋42，当x＝2时取极小值a－4 2.三1.[解析]f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.。
2020高考文科数学(人教A版)总复习课件：导数与函数的小综合
3.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( D ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 解析:f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f'(x)=0,得x=-2或x=2, 易得f(x)在(-2,2)内单调递减,在(-∞,-2),(2,+∞)内单调递增, 故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D.
导数与函数的小综合
第三章
知识梳理 考点自诊
3.2 导数与函数的小综合
必必备备知知识识··预预案案自自诊诊 关键能力·学案突破
-2-
1.函数的单调性与导数的关系
(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,
①如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内 单调递增
;
②如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内 单调递减
2.在求函数f(x)的单调区间时,若f'(x)中含有参数不容易判断其正 负时,需要对参数进行分类,分类的标准:(1)按导函数是否有零点分 大类;(2)在小类中再按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中再按 零点是否在定义域中分类.
考点1
第三章
考点2
考点3
3.2 导数与函数的小综合
考点4
必备知识·预案自诊
正实数,所以 m 的取值范围为(0,8].
(2)因为 f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-e1-������=-f(x),所以 f(x)为奇函数.因为
f'(x)=3x2-2+ex+e-x≥3x2-2+2 e������ ·e-������ ≥0(当且仅当 x=0 时等号成立),所
文科《导数》高考常考题型专题训练
文科《导数》高考常考题型专题训练1.已知函数/。
）= 6'一。
工一3（。
£/?）（1）若函数段）在函,—1））处的切线与直线木广0平行,求实数”的值;（2）当a=2, k为整数，且当Q1时，“一外/'（x） + 2x + l＞0,求〃的最大值.1 .【解析】(1)由/(x) = "—ax — 3,则/'*・) = "—〃又函数7U）在（1,火1））处的切线与直线片厂0平行，则=（2）当〃=2,且当x＞l 时，&一行（。
”一+ 2x + l>0等价于2）, 2x+l)当x>l 时，k< x + ^—k " - 2 7m j n2x + \，-2X-3)令g(x) = x + ^-则g (幻=—：-------------------e -2 (。
”-2)-再令h(x) = e x - 2x - 3(x > 1),则/(x) = " - 2 > 0 ,所以,〃（x）在（L+o。
）上单调递增，且以l）vO,以2）＞0,所以，/?（x）在（1, 2）上有唯一的零点，设该零点为小,则x°w（l,2）,且e"=2%+3, 当xw。
,,q）时，〃（％）v。
，即g'（x）＜。
：当xw（小，+°°）时，"（x）＞。
，即g'（x）＞0, 所以，g （x）在。
,小）单调递减，在（/，+8）单调递增，2（ +1所以，g（X）min +c - z而x°e（L2）,故一+le（2,3）且"vg（瓦）,又k为整数,所以k的最大值为2.2.已知函数/（x） = 6 + sinx,其中（1）若函数”刈在区间上单调递增，求k的取值范围:⑵若k = l时，不等式/Oarcosx在区间0尚上恒成立，求实数。
的取值范围.2・1解析】(1)由题意，f\x) = k+cosx t(冗5兀।「兀5兀、因为/(”)在区间二；上单调递增，所以工£二：时，/'(x) = Z + cosxNO恒成立，即k 3 6 7 V3 6 yk>—COSX9因为函数)'= -cosx在(工:上单调递增，所以—cosxK—cos^ =无，所以攵之五. (361 6 2 2(2) 〃 = 1 时，/(x) = x + sinx,令g(x) = /(x)—ovcosx = x+sinx-arcosx, xw[o.g],则g(x)A。
高中文科数学导数经典题型
高中文科数学导数经典题型
“函数关系背后的微分之旅：是收获还是挣扎？”
高中文科数学中的导数经典题型是非常重要的，它有助于加强学生的数学基本知识和技能，加深理解。
下面是一些常见的导数经典题型：
一、求函数的导数：
1、求一元函数的导数，包括多项式函数，指数函数，对数函数等。
2、求多元函数的一阶偏导数，如求直线、椭圆、圆、抛物线等函数的一阶偏导数。
二、解微分方程：
1、利用教材解决一阶常微分方程，包括恒定系数、变量系数、分段函数等类型的微分方程。
2、求非线性微分方程的解，包括二阶解函数、多项式的解、指数函数的解。
三、求极值问题：
1、求函数极值问题，包括单个变量和多变量函数极值问题，采用夹逼法求解。
2、求有限区间函数的极值，通过求和来解决问题。
四、建模：
1、用数学建模法解决实际问题，构建相应的导数函数对给定问题求解。
2、建立对应的微分不等式和微分关系，应用不等式有解的性质求解解。
以上就是我们通常所涉及的关于高中文科数学中的导数经典题型的介绍，它们是关键的基础，必须得到良好的掌握。
习题练习是最好的方法，只有不断的努力，才能更好的理解导数的概念，加深对导数的知
识的认识。
高考复习文科函数和导数知识点总结.doc
函数与导数知识点复习测试卷(文)一、映射与函数1、映射f： A-B概念(1)A屮元素必须都有 ________ 且唯一；(2)B中元素不一定都有原彖，且原彖不一定唯一。
2、函数f： A-B是特殊的映射⑴、特殊在定义域A和值域B都是非空数集。
函数y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示，其中x 是自变量，y是自变量x的函数，f是表示对应法则，它可以是一个解析式，也可以是表格或图象，也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与垂直x轴的直线 ____________________________________________ 公共点，但与垂直y轴的直线公共点可能没有，也可能是任意个。
(即一个x只能对应一个y,但一个y可以对应多个x。
)(2)、函数三要素是_________ , _________ 和________ ,而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.二、函数的单调性在函数./U)的定义域内的一个_________ 上，如果对于任意两数七，x2eA c当兀］时，都有_________________ ，那么，就称函数人力在区间A上是增加的，当Q5时，都有______________ ,那么，就称函数人兀)在区间A上是减少的判断方法如下：1、作差(商)法(定义法)2、导数法3、复合函数单调性判别方法(同增异减)函数的最值函数y=Ax)的定义域为D,⑴存在使得心⑵对于任意炸D,都有___________________________________ . M为最大值(3)_______________________________________________ 存在x()er>,使得幷屯)=胚(4)对于任意用D,都有. M为最小值求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.三、函数的奇偶性⑴偶函数：f(-x) = f(x)设(⑦方)为偶函数上一点，则____________ 也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于y轴对称，例如：y = 在U,_i)上不是偶函数.②满足 ______ ，或/(-X)-/(兀)=0,若/(兀)工0时，丄凶■ =(2)奇函数:f(-x) = -f(x)设(a,b)为奇函数上一点，则_____________ 也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：)匸戏在上不是奇函数.②满足 _______ ，或/(-兀) + /(兀) = 0,若/(X)工0时，-^- = -1周期性(1)周期函数：对于函数y=./U),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有 ______________________ ,那么就称函数y=/U)为周期函数，称厂为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数夬兀)的所有周期中_________ 的正数，那么这个最小正数就叫做/U)的最小正周期.※(“函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.(2)函数周期性的三个常用结论：①若J(x+a)=~fix)，则T=2a,②若J(x+a)=^-f则T=2a f③若人兀+^)=—右，则T=2a (a>0).J\x) J\x)※(“关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.⑵掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①/⑷为偶函数o/u)=/(ki).②若奇函数在x=o处有意义，则y(o)=o.四.二次函数幕函数1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：ZU)=处2+加+ c(dH0).②顶点式:夬兀)= _____________________ ③零点式：/x)= __________________(2)二次函数的图像和性质2.幕函数(1)定义：形如_______ (uWR)的函数称为幕函数，其中尤是自变量，u是常数.(2)幕函数的性质①幕函数在 _______ 上都有定义；②幕函数的图像过定点___________ ；③当Q0吋，幕函数的图像都过点(1,1)和(0,0),且在(0, +<-)上单调_______________ ；④当avO吋，幕函数的图像都过点(1,1),且在(0, +8)上单调______________ .※(“二次函数最值问题解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a濒兀)恒成立Oa >y(x)max, a WAx)恒成立O Q冬/(劝血.(3)幕函数的形式是y=x a(a^R)f其中只有一个参数u,因此只需一个条件即可确定其解析式.(4)在区间(0,1)上，幕函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1, +8)上，幕函数中指数越大，函数图像越远离兀轴.五. 函数的变换①〉，=/(x) =>y = /(-x):将函数y = /(x)的图象关于y 轴对称得到的新的图像就是J = /(-x)的图像;②y = /(x)二> y = -/(x):将函数y = f(x)的图象关于x 轴对称得到的新的图像就是y = -/(x)的图像;③y = f(x)=>y=\f(x)\：将函数y = f(x)的图象在x 轴下方的部分对称到x 轴的上方，连同函数y = /(兀)的图象在x 轴上方的部分得到的新的图像就是y =| /(x) |的图像;④歹二/(x) => J' = /(|x|)：将函数y = /O)的图象在y 轴左侧的部分去掉，函数y = /(兀)的图象在y 轴右侧的部分对称到y 轴的左侧，连同函数y = /(x)的图象在y轴右侧的部分得到的新的图像就是y = f(\ x |)函数y=f (x)y=f (x+a) a>0时，向左平移a 个单位；8〈0吋，向右平移|a|个单位. y 二f (x) +a a>0时，向上平移a 个单位；a 〈0时，向下平移|a|个单位. y=f(-x) y 二f (-x)与y 二f (x)的图象关于y 轴对称. y=-f(x) y=-f (x)与y=f (x)的图象关于x 轴对称. y=-f(-x)y=-f (-x)与尸f(x)的图象关于原点轴对称.=^>的图像.y=f(x) >0与y=f (x)<0图象的组合.y=/_1U)y= /_，(x)与尸f (x)的图象关于直线y=x 对称.注：(1) 若对任意实数x,都有f (a+x) =f (a-x)成立，则x=8是函数f (x)的对称轴;⑵若对任意实数X,都有f(a+g(-)成立，则沪字是fg 的对称轴※(“利用函数的图像研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数，其性质(单调性、奇偶性、周 期性、最值(值域)、零点)常借助于图像研究，但一定要注意性质与图像特征的对应关系.⑵利用函数的图像可解决某些方程和不等式的求解问题，方程yu )=g (x )的根就是函数/U )与gm 图像交点的横坐标; 不等式>U)vg ⑴的解集是函数夬兀)的图像位于疏兀)图像下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想. 六、指数函数与对数函数的图像和性质 一.指数函数 (一) 指数与指数幕的运算1. 根式的概念：一般地，如果那么兀叫做d 的〃次方根，其中〃 >1, 且nW Nl 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作Vo =0o正数的分数指数幕的意义，规定:m __________ m |a H = (a > 0,m,z? G > 1) a n0的正分数指数幕等于0, 0的负分数指数幕没有意义 3. 实数指数幕的运算性质(1) N • a' = a'+s(a >0,r,$ w 7?); (2)(°)(« > 0,r.s G R):(二) 指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 _______________________________ 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R.注：指数函数的底数的取值范围 ______________________________ ・2、指数函数的图象和性质a>10<a<1///■ ・•一 r 「 1丿— ----------- al------1|…I--定义域R 定义域R 值域y>0 值域y>0 在R 上单调增 在R 上单调减 非奇非偶函数非奇非偶函数 函数图象都过 定点(0, 1)函数图象都过 定点(0, 1)注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看岀：(1)在［a, b ］上，f(x)=八@ >0且a 工1)值域是 ____________________ 或 ___________当几是奇数时，历=a,2.分数指数幕[-a (a > 0) (a < 0).——(a > 0, m, n G > 1) ^a m当兀是偶数时,(2) 若XHO,则f(x )Hl; f (x)取遍所有正数当且仅当xeR : (3) 对于指数函数f(x) = a x (a>OKa^l)，总有f(l) = a;※指数函数的性质及应用问题解题策略 ⑴比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法.(2) 简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数°的取值范围， 并在必要时进行分类讨论.(3) 解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论. 二、对数函数 (一)对数1・对数的概念：一般地，如果心>0, aHl)的b 次幕等于N,即a b =N,那么数b 叫作以a 为底N 的对数,记作\og“N=b,其屮 ______________ 叫作对数的底数， _____________ 叫作真数.说明：①注意底数的限制0>0,且GH1； 0.. 6/： =log. N = x ；(3)注意对数的书写格式. W&N两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数 ___________________ ;@自然对数：以无理数e = 2.71828-••为底的对数的对数 ______________________指数式与对数式的互化 幕值 真数底数指数对数(二)对数的运算性质如果a 〉0,且GH1, M>0, N>0,那么：① log'M - N)= _____________________________ : ② log a — = ___________ ;①alog“N= _____ ；②log^v = ______ (a>0 且 G H 1).N③ log “ M n 二 ____________ (7? G R)・注意：换底公式利用换底公式推导下面的结论(1 ) log b n = — log “ b : (2) lo 艮 b = ----------- •m log 方 a(三) 对数函数1 >对数函数的概念：函数y = \og a x(a > 0 ,且<7工1)叫做对数函数，其中兀是自变 量，函数的定义域是(0, +8).注：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
高考文科数学导数专题复习
高考文科数学导数专题复习第1讲 变化率与导数、导数的计算知 识 梳 理1.导数的概念1函数y ＝fx 在x ＝x 0处的导数f ′x 0或y ′|x ＝x 0,即f ′x 0＝0lim x ∆→错误!. 2函数fx 的导函数f ′x ＝0lim x ∆→错误!为fx 的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝fx 在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝fx 在点Px 0,fx 0处的切线的斜率,过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′x 0x －x 0.3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′x ,g ′x 存在,则有：考点一 导数的计算例1 求下列函数的导数：1y ＝e x ln x ；2y ＝x 错误!；解 1y ′＝e x ′ln x ＋e x ln x ′＝e x ln x ＋e x 错误!＝错误!e x .2因为y ＝x 3＋1＋错误!, 所以y ′＝x 3′＋1′＋错误!′＝3x 2－错误!.训练1 1 已知函数fx 的导函数为f ′x ,且满足fx ＝2x ·f ′1＋ln x ,则f ′1等于A.－eB.－1解析由fx＝2xf′1＋ln x,得f′x＝2f′1＋错误!,∴f′1＝2f′1＋1,则f′1＝－1.答案B22015·天津卷已知函数fx＝ax ln x,x∈0,＋∞,其中a为实数,f′x为fx的导函数.若f′1＝3,则a的值为________.2f′x＝a错误!＝a1＋ln x.由于f′1＝a1＋ln 1＝a,又f′1＝3,所以a＝3.答案23考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程例22016·全国Ⅲ卷已知fx为偶函数,当x≤0时,fx＝e－x－1－x,则曲线y＝fx在点1,2处的切线方程是________.解析1设x>0,则－x<0,f－x＝e x－1＋x.又fx为偶函数,fx＝f－x＝e x－1＋x,所以当x>0时,fx＝e x－1＋x.因此,当x>0时,f′x＝e x－1＋1,f′1＝e0＋1＝2.则曲线y＝fx在点1,2处的切线的斜率为f′1＝2,所以切线方程为y－2＝2x－1,即2x－y＝0.答案2x－y＝0训练22017·威海质检已知函数fx＝x ln x,若直线l过点0,－1,并且与曲线y＝fx相切,则直线l的方程为＋y－1＝0 －y－1＝0 ＋y＋1＝0 －y＋1＝02∵点0,－1不在曲线fx＝x ln x上,∴设切点为x0,y0.又∵f′x＝1＋ln x,∴错误!解得x＝1,y0＝0.∴切点为1,0,∴f′1＝1＋ln 1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1,即x－y－1＝00.答案B命题角度二求切点坐标例32017·西安调研设曲线y＝e x在点0,1处的切线与曲线y＝错误!x>0上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.解析由y′＝e x,知曲线y＝e x在点0,1处的切线斜率k1＝e0＝1.设Pm,n,又y＝错误!x>0的导数y′＝－错误!,曲线y＝错误!x>0在点P处的切线斜率k2＝－错误!.依题意k1k2＝－1,所以m＝1,从而n＝1.则点P的坐标为1,1.答案1,1训练3若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0,则点P的坐标是________.解析1由题意得y′＝ln x＋x·错误!＝1＋ln x,直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设Pm,n,则1＋ln m＝2,解得m＝e,所以n＝eln e＝e,即点P的坐标为e,e. 答案1e,e命题角度三求与切线有关的参数值或范围例42015·全国Ⅱ卷已知曲线y＝x＋ln x在点1,1处的切线与曲线y＝ax2＋a＋2x＋1相切,则a＝________.解析由y＝x＋ln x,得y′＝1＋错误!,得曲线在点1,1处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2,所以切线方程为y－1＝2x－1,即y＝2x－1.又该切线与y＝ax2＋a＋2x＋1相切,消去y,得ax2＋ax＋2＝0,∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0,解得a＝8.答案8训练41.函数fx＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,则实数a的取值范围是________.函数fx＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,即f′x＝2在0,＋∞上有解,而f′x＝错误!＋a,即错误!＋a在0,＋∞上有解,a＝2－错误!,因为a＞0,所以2－错误!＜2,所以a的取值范围是－∞,2.答案 2－∞,22.点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点,则点P到直线y＝x－2的最小距离为解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点,当过点P的切线和直线y＝x－2平行时,点P 到直线y＝x－2的距离最小,直线y＝x－2的斜率为1,令y＝x2－ln x,得y′＝2x－错误!＝1,解得x＝1或x＝－错误!舍去,故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为1,1,点1,1到直线y＝x－2的距离等于错误!,∴点P到直线y＝x－2的最小距离为错误!.答案D第2讲导数在研究函数中的应用知识梳理函数的单调性与导数的关系函数y＝fx在某个区间内可导,则：1若f′x>0,则fx在这个区间内单调递增；2若f′x<0,则fx在这个区间内单调递减；3若f′x＝0,则fx在这个区间内是常数函数.考点一利用导数研究函数的单调性例1设fx＝e x ax2＋x＋1a＞0,试讨论fx的单调性.解f′x＝e x ax2＋x＋1＋e x2ax＋1＝e x ax2＋2a＋1x＋2＝e x ax＋1x＋2＝a e x错误!x＋2①当a＝错误!时,f′x＝错误!e x x＋22≥0恒成立,∴函数fx在R上单调递增；②当0＜a＜错误!时,有错误!＞2,令f′x＝a e x错误!x＋2＞0,有x＞－2或x＜－错误!,令f′x＝a e x错误!x＋2＜0,有－错误!＜x＜－2,∴函数fx在错误!和－2,＋∞上单调递增,在错误!上单调递减；③当a＞错误!时,有错误!＜2,令f′x＝a e x错误!x＋2＞0时,有x＞－错误!或x＜－2,令f′x＝a e x错误!x＋2＜0时,有－2＜x＜－错误!,∴函数fx在－∞,－2和错误!上单调递增；在错误!上单调递减.训练12016·四川卷节选设函数fx＝ax2－a－ln x,gx＝错误!－错误!,其中a∈R,e＝…为自然对数的底数.1讨论fx的单调性；2证明：当x>1时,gx>0.1解由题意得f′x＝2ax－错误!＝错误!x>0.当a≤0时,f′x<0,fx在0,＋∞内单调递减.当a>0时,由f′x＝0有x＝错误!,当x∈错误!时,f′x<0,fx单调递减；当x∈错误!时,f′x>0,fx单调递增.2证明令sx＝e x－1－x,则s′x＝e x－1－1.当x>1时,s′x>0,所以e x－1>x,从而gx＝错误!－错误!>0.考点二求函数的单调区间例22015·重庆卷改编已知函数fx＝ax3＋x2a∈R在x＝－错误!处取得极值.1确定a的值；2若gx＝fx e x,求函数gx的单调减区间.解1对fx求导得f′x＝3ax2＋2x,因为fx在x＝－错误!处取得极值,所以f′错误!＝0,即3a·错误!＋2·错误!＝错误!－错误!＝0,解得a＝错误!.2由1得gx＝错误!e x故g′x＝错误!e x＋错误!e x＝错误!e x＝错误!xx＋1x＋4e x.令g′x<0,得xx＋1x＋4<0.解之得－1<x<0或x<－4.所以gx的单调减区间为－1,0,－∞,－4.训练2 已知函数fx＝错误!＋错误!－ln x－错误!,其中a∈R,且曲线y＝fx在点1,f1处的切线垂直于直线y＝错误!x.1求a的值；2求函数fx的单调区间.解1对fx求导得f′x＝错误!－错误!－错误!,由fx在点1,f1处的切线垂直于直线y ＝错误!x知f′1＝－错误!－a＝－2,解得a＝错误!.2由1知fx＝错误!＋错误!－ln x －错误!,x>0.则f′x＝错误!.令f′x＝0,解得x＝－1或x＝5.但－10,＋∞,舍去.当x∈0,5时,f′x<0；当x∈5,＋∞时,f′x>0.∴fx的增区间为5,＋∞,减区间为0,5.考点三已知函数的单调性求参数例32017·西安模拟已知函数fx＝ln x,gx＝错误!ax2＋2xa≠0.1若函数hx＝fx－gx存在单调递减区间,求a的取值范围；2若函数hx＝fx－gx在1,4上单调递减,求a的取值范围.解1hx＝ln x－错误!ax2－2x,x>0.∴h′x＝错误!－ax－2.若函数hx在0,＋∞上存在单调减区间,则当x>0时,错误!－ax－2<0有解,即a>错误!－错误!有解.设Gx＝错误!－错误!,所以只要a>Gx min.又Gx＝错误!错误!－1,所以Gx min＝－1.所以a>－1.即实数a的取值范围是－1,＋∞.2由hx在1,4上单调递减,∴当x∈1,4时,h′x＝错误!－ax－2≤0恒成立,则a≥错误!－错误!恒成立,所以a≥Gx max.又Gx＝错误!错误!－1,x∈1,4因为x∈1,4,所以错误!∈错误!,所以Gx max＝－错误!此时x＝4,所以a≥－错误!.当a＝－错误!时,h′x＝错误!＋错误!x－2＝错误!＝错误!,∵x∈1,4,∴h′x＝错误!≤0,当且仅当x＝4时等号成立.∴hx在1,4上为减函数.故实数a的取值范围是错误!.训练3已知函数fx＝x3－ax－1.1若fx在R上为增函数,求实数a的取值范围；2若函数fx的单调减区间为－1,1,求a的值.解1因为fx在R上是增函数,所以f′x＝3x2－a≥0在R上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a＝0时,f′x＝3x2≥0,当且仅当x＝0时取等号.∴fx＝x3－1在R上是增函数.所以实数a的取值范围是－∞,0.2f′x＝3x2－a.当a≤0时,f′x≥0,fx在－∞,＋∞上为增函数,所以a≤0不合题意.当a>0时,令3x2－a<0,得－错误!<x<错误!,∴fx的单调递减区间为错误!,依题意,错误!＝1,即a＝3.第3讲导数与函数的极值、最值知识梳理1.函数的极值与导数的关系1函数的极小值与极小值点:若函数fx在点x＝a处的函数值fa比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′a＝0,而且在点x＝a附近的左侧f′x<0,右侧f′x>0,则点a叫做函数的极小值点,fa叫做函数的极小值.2函数的极大值与极大值点:若函数fx在点x＝b处的函数值fb比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′b＝0,而且在点x＝b附近的左侧f′x>0,右侧f′x<0,则点b叫做函数的极大值点,fb叫做函数的极大值.2.函数的最值与导数的关系1函数fx在a,b上有最值的条件:如果在区间a,b上函数y＝fx的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.2求y＝fx在a,b上的最大小值的步骤考点一用导数研究函数的极值命题角度一根据函数图象判断极值例1设函数fx在R上可导,其导函数为f′x,且函数y＝1－xf′x的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是A.函数fx有极大值f2和极小值f1B.函数fx有极大值f－2和极小值f1C.函数fx有极大值f2和极小值f－2D.函数fx有极大值f－2和极小值f2解析由题图可知,当x<－2时,1－x>3,此时f′x>0；当－2<x<1时,0<1－x<3,此时f′x<0；当1<x<2时,－1<1－x<0,此时f′x<0；当x>2时,1－x<－1,此时f′x>0,由此可以得到函数fx在x＝－2处取得极大值,在x＝2处取得极小值.答案D命题角度二求函数的极值例2求函数fx＝x－a ln xa∈R的极值.解由f′x＝1－错误!＝错误!,x>0知：1当a≤0时,f′x>0,函数fx为0,＋∞上的增函数,函数fx无极值；2当a>0时,令f′x＝0,解得x＝a.又当x∈0,a时,f′x<0；当x∈a,＋∞,f′x>0,从而函数fx在x＝a处取得极小值,且极小值为fa＝a－a ln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数fx无极值；当a>0时,函数fx在x＝a处取得极小值a－a ln a,无极大值.命题角度三已知极值求参数例3已知关于x的函数fx＝－错误!x3＋bx2＋cx＋bc在x＝1处有极值－错误!,试求b,c 的值.解∵f′x＝－x2＋2bx＋c,由fx在x＝1处有极值－错误!,可得错误!解得错误!或错误!若b＝1,c＝－1,则f′x＝－x2＋2x－1＝－x－12≤0,fx没有极值.若b＝－1,c＝3,则f′x ＝－x2－2x＋3＝－x＋3x－1.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下表：∴当x＝1时,fx有极大值－错误!,满足题意.故b＝－1,c＝3为所求.训练1设函数fx＝ax3－2x2＋x＋ca>0.1当a＝1,且函数图象过0,1时,求函数的极小值；2若fx在R上无极值点,求a的取值范围.解由题意得f′x＝3ax2－4x＋1.1函数图象过0,1时,有f0＝c＝1.当a＝1时,f′x＝3x2－4x＋1.令f′x>0,解得x<错误!或x>1；令f′x<0,解得错误!<x<1.所以函数在错误!和1,＋∞上单调递增；在错误!上单调递减.故函数fx的极小值是f1＝13－2×12＋1＋1＝1. 2若fx在R上无极值点,则fx在R上是单调函数,故f′x≥0或f′x≤0恒成立.当a＝0时,f′x＝－4x＋1,显然不满足条件；当a≠0时,f′x≥0或f′1≤0恒成立的充要条件是Δ＝－42－4×3a×1≤0,即16－12a≤0,解得a≥错误!.综上,a的取值范围是错误!.考点二利用导数求函数的最值例4 2017·郑州模拟已知函数fx＝x－k e x.1求fx的单调区间；2求fx在区间0,1上的最小值.解1由fx＝x－k e x,得f′x＝x－k＋1e x,令f′x＝0,得x＝k－1.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下表：所以,fx的单调递减区间是－∞,k－1；单调递增区间是k－1,＋∞.2当k－1≤0,即k≤1时,函数fx在0,1上单调递增,所以fx在区间0,1上的最小值为f0＝－k,当0<k－1<1,即1<k<2时,由1知fx在0,k－1上单调递减,在k－1,1上单调递增,所以fx在区间0,1上的最小值为fk－1＝－e k－1.当k－1≥1,即k≥2时,函数fx在0,1上单调递减,所以fx在区间0,1上的最小值为f1＝1－k e.综上可知,当k≤1时,fx min＝－k；当1<k<2时,fx min＝－e k－1；当k≥2时,fx min＝1－k e.训练2设函数fx＝a ln x－bx2x>0,若函数fx在x＝1处与直线y＝－错误!相切,1求实数a,b的值；2求函数fx在错误!上的最大值.解1由fx＝a ln x－bx2,得f′x＝错误!－2bxx>0.∵函数fx在x＝1处与直线y＝－错误!相切.∴错误!解得错误!2由1知fx＝ln x－错误!x2,则f′x＝错误!－x＝错误!,当错误!≤x≤e时,令f′x>0,得错误!<x<1,令f′x<0,得1<x<e,∴fx在错误!上单调递增,在1,e上单调递减,∴fx max＝f1＝－错误!.考点三函数极值与最值的综合问题例5已知函数fx＝错误!a>0的导函数y＝f′x的两个零点为－3和0.1求fx的单调区间；2若fx的极小值为－e3,求fx在区间－5,＋∞上的最大值.解1f′x＝错误!＝错误!.令gx＝－ax2＋2a－bx＋b－c,由于e x>0.令f′x＝0,则gx＝－ax2＋2a－bx＋b－c＝0,∴－3和0是y＝gx的零点,且f′x与gx的符号相同.又因为a>0,所以－3<x<0时,gx>0,即f′x>0,当x<－3或x>0时,gx<0,即f′x<0,所以fx的单调递增区间是－3,0,单调递减区间是－∞,－3,0,＋∞.2由1知,x＝－3是fx的极小值点,所以有错误!解得a＝1,b＝5,c＝5,所以fx＝错误!.因为fx的单调递增区间是－3,0,单调递减区间是－∞,－3,0,＋∞.所以f0＝5为函数fx的极大值,故fx在区间－5,＋∞上的最大值取f－5和f0中的最大者,又f－5＝错误!＝5e5>5＝f0,所数fx在区间－5,＋∞上的最大值是5e5.训练3 2017·衡水中学月考已知函数fx＝ax－1－ln xa∈R.1讨论函数fx在定义域内的极值点的个数；2若函数fx在x＝1处取得极值,x∈0,＋∞,fx≥bx－2恒成立,求实数b的最大值.解1fx的定义域为0,＋∞,f′x＝a－错误!＝错误!.当a≤0时,f′x≤0在0,＋∞上恒成立,函数fx在0,＋∞上单调递减.∴fx在0,＋∞上没有极值点.当a>0时,由f′x<0,得0<x<错误!；由f′x>0,得x>错误!,∴fx在错误!上递减,在错误!上递增,即fx在x＝错误!处有极小值.综上,当a≤0时,fx在0,＋∞上没有极值点；当a>0时,fx在0,＋∞上有一个极值点.2∵函数fx在x＝1处取得极值,∴f′1＝a－1＝0,则a＝1,从而fx＝x－1－ln x.因此fx≥bx－21＋错误!－错误!≥b,令gx＝1＋错误!－错误!,则g′x＝错误!,令g′x＝0,得x＝e2,则gx在0,e2上递减,在e2,＋∞上递增,∴gx min＝g e2＝1－错误!,即b≤1－错误!.故实数b的最大值是1－错误!.第4讲导数与函数的综合应用考点一利用导数研究函数的性质例12015·全国Ⅱ卷已知函数fx＝ln x＋a1－x.1讨论fx的单调性；2当fx有最大值,且最大值大于2a－2时,求a的取值范围.解1fx的定义域为0,＋∞,f′x＝错误!－a.若a≤0,则f′x>0,所以fx在0,＋∞上单调递增.若a>0,则当x∈错误!时,f′x>0；当x∈错误!时,f′x<0.所以fx在错误!上单调递增,在错误!上单调递减.2由1知,当a≤0,fx在0,＋∞上无最大值；当a>0时,fx在x＝错误!取得最大值,最大值为f 错误!＝ln错误!＋a错误!＝－ln a＋a－1.因此f 错误!>2a－2等价于ln a＋a－1<0.令ga＝ln a＋a－1,则ga在0,＋∞上单调递增,g1＝0.于是,当0<a<1时,ga<0；当a>1时,ga>0.因此,a的取值范围是0,1.训练1设fx＝－错误!x3＋错误!x2＋2ax.1若fx在错误!上存在单调递增区间,求a的取值范围；2当0＜a＜2时,fx在1,4上的最小值为－错误!,求fx在该区间上的最大值.解1由f′x＝－x2＋x＋2a＝－错误!错误!＋错误!＋2a,当x∈错误!时,f′x的最大值为f′错误!＝错误!＋2a；令错误!＋2a＞0,得a＞－错误!.所以,当a＞－错误!时,fx在错误!上存在单调递增区间.2已知0＜a＜2,fx在1,4上取到最小值－错误!,而f′x＝－x2＋x＋2a的图象开口向下,且对称轴x＝错误!,∴f′1＝－1＋1＋2a＝2a＞0,f′4＝－16＋4＋2a＝2a－12＜0,则必有一点x0∈1,4,使得f′x0＝0,此时函数fx在1,x0上单调递增,在x0,4上单调递减,f1＝－错误!＋错误!＋2a＝错误!＋2a＞0,∴f4＝－错误!×64＋错误!×16＋8a＝－错误!＋8a＝－错误!a＝1.此时,由f′x0＝－x错误!＋x0＋2＝0x0＝2或－1舍去,所以函数fx max＝f2＝错误!.考点二利用导数研究函数的零点或方程的根例2 2015·北京卷设函数fx＝错误!－k ln x,k>0.1求fx的单调区间和极值；2证明：若fx存在零点,则fx在区间1,错误!上仅有一个零点. 1解由fx＝错误!－k ln xk>0,得x>0且f′x＝x－错误!＝错误!.由f′x＝0,解得x＝错误!负值舍去.fx与f′x在区间0,＋∞上的情况如下：所以fx的单调递减区间是0,错误!,单调递增区间是错误!,＋∞.fx在x＝错误!处取得极小值f错误!＝错误!.2证明由1知,fx在区间0,＋∞上的最小值为f错误!＝错误!.因为fx存在零点,所以错误!≤0,从而k≥e.当k＝e时,fx在区间1,错误!上单调递减,且f错误!＝0,所以x＝错误!是fx 在区间1,错误!上的唯一零点.当k>e时,fx在区间0,错误!上单调递减,且f1＝错误!>0,f错误!＝错误!<0,所以fx在区间1,错误!上仅有一个零点.综上可知,若fx存在零点,则fx在区间1,错误!上仅有一个零点.训练22016·北京卷节选设函数fx＝x3＋ax2＋bx＋c.1求曲线y＝fx在点0,f0处的切线方程；2设a＝b＝4,若函数fx有三个不同零点,求c的取值范围.解1由fx＝x3＋ax2＋bx＋c,得f′x＝3x2＋2ax＋b.因为f0＝c,f′0＝b,所以曲线y＝fx 在点0,f0处的切线方程为y＝bx＋c.2当a＝b＝4时,fx＝x3＋4x2＋4x＋c,所以f′x＝3x2＋8x＋4.令f′x＝0,得3x2＋8x＋4＝0,解得x＝－2或x＝－错误!.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下：所以,当c>0且c－错误!<0,存在x1∈－4,－2,x2∈错误!,x3∈错误!,使得fx1＝fx2＝fx3＝0.由fx的单调性知,当且仅当c∈错误!时,函数fx＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点.考点三导数在不等式中的应用命题角度一不等式恒成立问题例32017·合肥模拟已知fx＝x ln x,gx＝x3＋ax2－x＋2.1如果函数gx的单调递减区间为错误!,求函数gx的解析式；2对任意x∈0,＋∞,2fx≤g′x＋2恒成立,求实数a的取值范围.解1g′x＝3x2＋2ax－1,由题意3x2＋2ax－1<0的解集是错误!,即3x2＋2ax－1＝0的两根分别是－错误!,1.将x＝1或－错误!代入方程3x2＋2ax－1＝0,得a＝－1.所以gx＝x3－x2－x ＋2.2由题意2x ln x≤3x2＋2ax－1＋2在x∈0,＋∞上恒成立,可得a≥ln x－错误!x－错误!,设hx＝ln x－错误!x－错误!,则h′x＝错误!－错误!＋错误!＝－错误!,令h′x＝0,得x＝1或－错误!舍,当0<x<1时,h′x>0,当x>1时,h′x<0,所以当x＝1时,hx取得最大值,hx max＝－2,所以a≥－2,所以a的取值范围是－2,＋∞.训练3已知函数fx＝x2－ln x－ax,a∈R.1当a＝1时,求fx的最小值；2若fx>x,求a的取值范围.解1当a＝1时,fx＝x2－ln x－x,f′x＝错误!.当x∈0,1时,f′x<0；当x∈1,＋∞时,f′x>0.所以fx的最小值为f1＝0.2由fx>x,得fx－x＝x2－ln x－a＋1x>0.由于x>0,所以fx>x等价于x－错误!>a＋1.令gx ＝x－错误!,则g′x＝错误!.当x∈0,1时,g′x<0；当x∈1,＋∞时,g′x>0.故gx有最小值g1＝1.故a＋1<1,a<0,即a的取值范围是－∞,0.命题角度二证明不等式例42017·昆明一中月考已知函数fx＝ln x－错误!.1求函数fx的单调递增区间；2证明：当x>1时,fx<x－1.1解f′x＝错误!－x＋1＝错误!,x∈0,＋∞.由f′x>0得错误!解得0<x<错误!.故fx的单调递增区间是错误!.2证明令Fx＝fx－x－1,x∈0,＋∞.则有F′x＝错误!.当x∈1,＋∞时,F′x<0,所以Fx在1,＋∞上单调递减,故当x>1时,Fx<F1＝0,即当x>1时,fx<x－1.故当x>1时,fx<x－1.训练4 2017·泰安模拟已知函数fx＝ln x.1求函数Fx＝错误!＋错误!的最大值；2证明：错误!＋错误!<x－fx；1解Fx＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!,F′x＝错误!,当F′x>0时,0<x<e；当F′x<0时,x>e,故Fx在0,e上是增函数,在e,＋∞上是减函数,故Fx max＝F e＝错误!＋错误!.2证明令hx＝x－fx＝x－ln x,则h′x＝1－错误!＝错误!,当h′x<0时,0<x<1；当h′x>0时,x>1,故hx在0,1上是减函数,在1＋∞上是增函数,故hx min＝h1＝1.又Fx max＝错误!＋错误!<1,故Fx<hx,即错误!＋错误!<x－fx.。
高考文科数学必考题型
高考文科数学必考题型
高考文科数学有一些必考题型，以下是一些常见的高考文科数学必考题型：
1.函数与导数：
考查函数单调性、周期性、奇偶性、极值、最值等，以及利用导数求解函数单调性、极值、最值等。
2.三角函数与解三角形：
考查三角函数的基本概念、性质、公式等，以及解三角形的问题，如正弦定理、余弦定理等。
3.数列及其应用：
考查数列的概念、性质、通项公式等，以及数列的应用题，如求和、求通项等。
4.平面向量与复数：
考查向量的基本概念、运算、应用等，以及复数的概念、运算、应用等。
5.概率与统计：
考查概率的基本计算、分布、应用等，以及统计的概念、图表、应用等。
6.解析几何：
考查直线、圆、圆锥曲线等的基本性质、方程、应用等。
以上是高考文科数学的一些必考题型，学生需要在平时的学习中注重练习和掌握。
(word版)高中文科数学复习函数与导数知识点,文档
一函数与导数一．函数定义——知识点归纳1函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f〔x〕和它对应，那么就称f:A→B为从集合 A到集合B的一个函数，记作y=f〔x〕，x∈A两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法那么f映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应〔包括集合A 、B，以及集合A到集合B的对应关系f〕叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集4映射的概念中象、原象的理解：(1)A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一二．函数解析式——知识点归纳函数的三种表示法〔1〕解析法：把两个变量的函数关系用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式2〕列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系3〕图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系求函数解析式的题型有：1〕函数类型，求函数的解析式：待定系数法；2〕f(x)求f[g(x)]或f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法；3〕函数图像，求函数解析式；〔4〕f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组〔5〕应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等题型讲解（1〕（（2〕f(x1)x31，求f(x)；x x3f(21) lgx，求f(x)；x〔3〕f(x)是一次函数，且满足3f(x 1) 2f(x 1) 2x17，求f(x)；1〔4〕f(x)满足2f(x)f( ) 3x ，求f(x)x解：〔1〕∵f(x1 ) x 3 1 (x 1 )3 3(x 1 )，x x 3 x x∴f(x)x 3 3x 〔x2或x2〕〔2〕令21 t 〔t1〕，x那么x2 ，∴f(t)lg 2 ，∴f(x)lg 2(x1)t 1t1x 1〔3〕设f(x) axb(a0)，那么3f(x 1)2f(x 1) 3ax 3a 3b2ax 2a 2bax b5a 2x17，∴a2，b 7，∴f(x)2x7〔4〕2f(x)f(1) 3x①，x把①中的x 换成1，得2f(1)f(x) 3②，xxx ①2②得3f(x)6x 3，∴f(x)2x1xx注：第〔1〕题用配凑法；第〔 2〕题用换元法；第〔 3〕题一次函数，可用待定系数法；第〔4〕题用方程组法三．定义域和值域——知识点归纳求函数解析式的题型有：同上 求函数定义域一般有三类问题：〔1〕给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；〔2〕实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外， 应考虑使实际问题有意义；〔3〕f(x)的定义域求 f[g(x)]的定义域或 f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域：①掌握根本初等函数〔尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数〕的定义域；②假设 f(x)的定义域 a,b ，其复合函数 f g(x)的定义域应由 a g(x) b 解出 求函数值域的各种方法函数的值域可分三类：(1)求常见函数值域； (2)求由常见函数复合而成的函数的值域； (3)求由常见函数作某些“运算〞而得函数的值域①直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数y k(k0)的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；x二次函数f()ax2bx(0)的定义域为R，x ca当a>0时，值域为{y|y(4ac b2)}；4a当a<0时，值域为{y|y(4ac b2)}4a②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：f(x)ax2bx c,x(m,n)的形式；③分式转化法〔或改为“别离常数法〞〕④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥根本不等式法：转化成型如：y xk(k0)，利用平均值不等式公式来求值域；x⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域⑨逆求法〔反求法〕：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：y axb,x(m,n)cx d四．单调性——知识点归纳函数单调性的定义：证明函数单调性的一般方法:①定义法：设x1,x2A且x1x2；作差f(x1)f(x2)〔一般结果要分解为假设干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出〕；判断正负号②用导数证明：假设f(x)在某个区间A内有导数，那么’f(x)0，〔xA)f(x)在A内为增函数；f’(x)0，〔xA)f(x)在A内为减函数求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法3复合函数yfg(x)在公共定义域上的单调性：①假设f与g的单调性相同，那么fg(x)为增函数；②假设f与g的单调性相反，那么fg(x)为减函数注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集一些有用的结论：①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数f(x)增函数f(x)增函数g(x)减函数g(x)是增函数；减函数f(x)是增函数；减函数f(x)减函数g(x)增函数g(x)是减函数；是减函数④函数y ax b(a0,b0)在,b或b,上单调递增；在x a ab,0或0，b上是单调递减a a五．奇偶性——知识点归纳函数的奇偶性的定义；奇偶函数的性质：1〕定义域关于原点对称；〔2〕偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3f(x)为偶函数f(x)f(|x|)4假设奇函数f(x)的定义域包含0，那么f(0)0判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f(x)1f(x)f(x)0，f(x)8设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(x)= f(x) f(x)f(x)=0；讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点；假设奇函数的定义域包含0，那么f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数〞是"f(0)=0"的非充分非必要条件；4奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性5假设存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，那么称T为函数f(x)的周期，〔5〕函数的周期性定义：假设T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x T) f(x)恒成立那么f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期六．反函数——知识点归纳反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；2定义域、值域：反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，假设y f(x)与y f1(x)互为反函数，函数y f(x)的定义域为A、值域为B，那么f[f1(x)]x(xB)，f1[f(x)]x(x A)；3单调性、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x对称求反函数的一般方法：〔1〕由y f(x)解出x f1(y)，〔2〕将x f1(y)中的x,y互换位置，得y f1(x)，〔3〕求y f(x)的值域得y f1(x)的定义域七．二次函数——知识点归纳1二次函数的图象及性质:二次函数yax2bx c的图象的对称轴方程是x b，顶2ab 4ac b2点坐标是，2a4a二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即f x ax2bxc〔一般式〕，f(x)a(xx1)(xx2〔)零点式〕和()f(x)a(xm)2n〔顶点式〕3根分布问题:一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c(a>0)00(1)x1<α,x2<α那么,b/(2a);(2)x1>α,x2>α,那么b/(2a)af()0af()0f()0 (3)α12,那么12(α<),那么f()0<x,α<x f()0(4)x<α,x>f()0b/(2a)(5〕假设f(x)=0在区间(α,)内只有一个实根，那么有f()f)04最值问题：二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①0f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;②0f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;③0f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根一、关于二次函数6.韦达定理：方程ax2bxc0〔a0〕的二实根为x1、x2，x1bb2x2那么4ac0且acx1x2a①两个正根，那么需满足x1x20，x1x20②两个负根，那么需满足x1x20，x1x20③一正根和一负根，那么需满足ax2+bx+c>0(<0)的解集为(,)() 0x1x2或者是(,)U(,)八．指数对数函数——知识点归纳1根式的运算性质：①当n为任意正整数时，(n a)n=a②当n为奇数时，n a n=a；当n为偶数时，n a n=|a|=a(a0)a(a0)⑶根式的根本性质：np a mp n a m，〔a0〕2分数指数幂的运算性质：a m a nm n (a )a mn(m,n Q) a mn(m,n Q) a n b n(n Q)3y a x(a 0且a1)的图象和性质a>10<a<1y y图象11o x o x定义域：R性〔2〕值域：〔0，+∞〕质〔3〕过点〔0，1〕，即x=0时，y=1〔4〕在R上是增函数〔4〕在R上是减函数4指数式与对数式的互化：a b N log a Nb5重要公式：log a10，log a a1对数恒等式a log a N N 对数的运算法那么如果a0,a1,N0,M0有log a(MN)log a M log a Nlog a Mlog a M log a N N mlog a Mlog a n M mn 对数换底公式：log a N log m N1，m>0,m1,N>0)(a>0,alog m a8两个常用的推论:①log a blog b a1，log a blog b clog c a1②log a m b nnlog a b〔a,b>0且均不为1〕m对数函数的性质：a>10<a<1y y图象o1x o 1x定义域：〔0，+∞〕值域：R性过点〔1，0〕，即当x1时，y0质x(0,1)时y0x(0,1)时y0x (1, )时y 0x (1, )时y0在〔0，+∞〕上是增函数在〔0，+∞〕上是减函数10同底的指数函数ya x与对数函数y log a x互为反函数指数方程和对数方程主要有以下几种类型：(1)a f(x)=bf(x)=log a b,log a f(x)=b f(x)=a b;〔定义法〕(2)a f(x)=a g(x)f(x)=g(x),log a f(x)=log a g(x)f(x)=g(x)>0〔转化法〕(3)a f(x)=b g(x)f(x)log m a=g(x)log m b(取对数法)(4)logf(x)=logb g(x)logaf(x)=logag(x)/log b(换底法)a a九．函数图象变换——知识点归纳作图方法：描点法和利用根本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值〔甚至变化趋势〕；④描点连线，画出函数的图象三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面4平移变换：〔1〕水平平移：函数y f(xa)的图像可以把函数y f(x)的图像沿x轴方向向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位即可得到；〔2〕竖直平移：函数y f(x)a的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方向向上(a0)或向下(a0)平移|a|个单位即可得到左移h右移h①y=f(x)y=f(x+h);②y=f(x)y=f(x h);上移h下移h③y=f(x)y=f(x)+h;④y=f(x)y=f(x)h51y f(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于y轴对称即可对称变换：〔〕函数〔2〕函数y f(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于x轴对称即可得到；〔3〕函数y f(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于原点对称即可得到；〔4〕函数y f1(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于直线yx对称得到x轴y轴直线x a①y=f(x)y=f(x);②y=f(x)y=f(x);③y=f(x)y=f(2a x);④y=f(x)直线yx原点y=f1(x);⑤y=f(x)y=f(x)6翻折变换：〔1〕函数y|f(x)|的图像可以将函数yf(x)的图像的x轴下方局部沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方局部，并保存y f(x)的x轴上方局部即可得到；〔2〕函数y f(|x|)的图像可以将函数y f(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边局部并保存y f(x)在y轴右边局部即可得到y y yy=f(x)y=|f(x)|y=f(|x|)a obc x a o bc x a o b c x7伸缩变换：〔1〕函数y af(x)(a0)的图像可以将函数y f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a1)或压缩〔0a1〕为原来的a倍得到；〔2〕函数y f(ax)(a0)的图像可以将函数y f(x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a1)或压缩〔0a1〕为原来的1倍得到x x ya①y=f(x)y=f(y=ωf(x));②y=f(x)十．导数知识点1.导数〔导函数的简称〕的定义：设x0是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量x，那么函数值y也引起相应的增量y f(x0x)f(x0)；比值y f(x0x)f(x0)称为函数y f(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极限x xlim y lim f(x0x)f(x0)存在，那么称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做x xx0x0y f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y'|xx0，即f'(x0)=lim y lim f(x0x)f(x0).x0x x0x注：①x是增量，我们也称为“改变量〞，因为x可正，可负，但不为零.②以知函数y f(x)定义域为A，y f'(x)的定义域为B，那么A与B关系为A B.2.函数y f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：⑴函数y f(x)在点x0处连续是y f(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果y f(x)在点x0处可导，那么y f(x)点x0处连续.事实上，令x x0x，那么x x0相当于x0.于是lim f(x)lim f(x0x)lim[f(x x0)f(x0)f(x0)]x x0x0x0lim[f(x0x)f(x0)xf(x0)]lim f(x0x)f(x0)lim lim f(x0)f'(x0)0f(x0)f(x0).x0x x0x x0x0⑵如果y f(x)点x0处连续，那么yf(x)在点x0处可导，是不成立的.例：f(x)|x|在点x00处连续，但在点x00处不可导，因为y|x|，当x＞0时，x xy1；当x＜0时，y1，故lim y不存在.x x x0x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.导数的几何意义：函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为yy0f'(x)(xx0).求导数的四那么运算法那么：(u v)'u'v'y f1(x) f2(x) ... f n(x)y'f1'(x) f2'(x) ...f n'(x)(uv)'vu'v'u(cv)'c'vcv'cv'〔c为常数〕''v'u(vu vu0)v v2注：①u,v必须是可导函数.②假设两个函数可导，那么它们和、差、积、商必可导；假设两个函数均不可导，那么它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设f(x)2sinx2，g(x)cosx2，那么f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们和x x f(x)g(x)sinx cosx在x0处均可导.5.复合函数的求导法那么：f x'((x))f'(u)'(x)或y'x y'u u'x复合函数的求导法那么可推广到多个中间变量的情形.函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)＞0，那么y f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，那么yf(x)为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数y f(x)在区间I内恒有f'(x)=0，那么y f(x)为常数.注：①f(x)0是f〔x〕递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f〔x〕=0，同样f(x)0是f〔x〕递减的充分非必要条件.②一般地，如果f〔x〕在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正〔或负〕，那么f〔x〕在该区间上仍旧是单调增加〔或单调减少〕的.7.极值的判别方法：〔极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理〕当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值.也就是说x0是极值点的充分条件是①.此外，函数不可x0点两侧导数异号，而不是f'(x)=0导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小〔函数在某一点附近的点不同〕.注①：假设点x0是可导函数f(x)的极值点，那么f'(x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是假设函数在该点可导，那么导数值为零.例如：函数y f(x)x3，x0使f'(x)=0，但x0不是极值点.②例如：函数y f(x)|x|，在点x0处不可导，但点x0是函数的极小值点.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比拟，最值是在整体区间上对函数值进行比拟.注：函数的极值点一定有意义.几种常见的函数导数：I.C'0〔C为常数〕(sinx)'cosx(arcsinx)'1x21(x n)'nx n1〔n R〕(cosx)'sinx(arccosx)'1x21II.(lnx)'1(log a x)'1log a e(arctanx)'1 21x x x(e x)'e x(a x)'a x lna(arccotx)'11x2求导的常见方法：①常用结论：(ln|x|)'1.x②形如y(x a)(x a)...(x a)或y(x a1)(x a2)...(xa n)两边同取自然对数，可转化12n(x b1)(x b2)...(x b n)求代数和形式.③无理函数或形如y x x这类函数，如y x x取自然对数之后可变形为lnyxlnx，对两边求导可得y'lnx x1y'ylnx yy'x x lnxx x. y x。
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文科数学专题一 函数与导数1.若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（A ）（a 1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a 10,b+1) (D)(a2,2b)2.(安徽文10) 函数()()n f x ax x 2=1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可能是（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】A 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 3.（北京文8）已知点()0,2A ,()2,0B ,若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为 A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A4.（福建文6）若关于x 的方程x2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A ．（－1，1） B ．（－2，2） C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C5.（福建文8）已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0x ＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于A ．－3B ．－1C ．1D ．3 【答案】A6.（福建文10）若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9 【答案】D7.（广东文4）函数1()lg(1)1f x x x =++-的定义域是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．(,)-∞+∞ 【答案】C8.（广东文10）设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()x g f 和()()x g f ∙；对任意R x ∈,()()())(x g f x g f = ；()()())(x g x f x g f =∙．则下列等式恒成立的是（ ）A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙∙=∙B ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙=∙C ．()()()()()())(x h g h f x h g f =D ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙∙∙=∙∙【答案】B9.（湖南文7）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12 C． D．【答案】B【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++，所以2411'|2(sincos )44x y πππ===+。
10.（湖南文8）已知函数2()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为A．[2 B．(2 C ．[1,3] D ．(1,3) 【答案】B【解析】由题可知()11x f x e =->-，22()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤，若有()(),f a g b =则()(1,1]g b ∈-，即2431b b -+->-，解得22b <<11.（江西文3）若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为( )1(,0)2- B.1(,)2-+∞ C.1(,0)(0,)2-⋃+∞ D.1(,2)2-【答案】C12.（江西文4）曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ）A.1B.2C.eD.1e【答案】A13.（江西文6）观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20117的末两位数字为（ ）A.01B.43C.07D.49 【答案】B14.（辽宁文6）若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则a=A ．21B ．32C ．43D ．1【答案】A15.（全国Ⅰ文4）曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为 （A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+ 【答案】A16. (全国Ⅰ文9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x ≥0），则(){}20x f x ->=（A ）{}24x x x <->或 （B ）{}04 x x x <>或 （C ）{}06 x x x <>或 （D ）{}22 x x x <->或【答案】B17.（山东文4）曲线311y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 （A ）-9 （B ）-3 （C ）9 （D ）15【答案】C18.（陕西文4） 函数13y x =的图像是 （ ）【答案】B【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．19.（四川文4）函数1()12x y =+的图象关于直线y=x 对称的图象像大致是【答案】A20.（天津文4）函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． Ａ．()2,1--Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1Ｄ．()1,2【答案】C21.（天津文6）设5log 4a =，()25log 3b =，4log 5c =，则（ ）．Ａ．a c b << Ｂ．b c a << Ｃ．a b c << Ｄ．b a c << 【答案】D22.（天津文10）设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（ ）．Ａ．()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U Ｂ．[)0,+∞，Ｃ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ Ｄ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U【答案】D 23. (重庆文3)曲线在点,处的切线方程为 A(A) (B)(C)(D)24. (重庆文6)设,,,则,,的大小关系是 (A) (B) (C) (D)【答案】B25. (重庆文7)若函数在处取最小值,则(A) (B)(C)3 (D)4 【答案】C 二、填空题26. (重庆文15)若实数,,满足,，则的最大值是 . 【答案】22log 3-27.（浙江文11）设函数k 4()1f x x =+ ,若()2f a =,则实数a =________________________【答案】-128.（天津文16）设函数()1f x x x =-．对任意[)1,x ∈+∞，()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】(),1-∞-．29.（上海文3）若函数()21f x x =+的反函数为1()f x -，则1(2)f --= 【答案】32-30.（上海文14）设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为【答案】[2,7]-31.（陕西文11）设lg ,0()10,0xx x f x x >⎧=⎨⎩…，则((2))f f -=______. 【答案】2-32.（辽宁文16）已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是___________． 【答案】(,2ln 22]-∞-33.（湖南文12）已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ． 【答案】634.（湖北文15）里氏震级M 的计算公式为：0l g l g M A A =-，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍。
【答案】6，1000035.（广东文12）设函数.1cos )(3+=x x x f 若11)(=a f ，则=-)(a f ． 【答案】-936.（安徽文13）函数y =的定义域是 .【答案】（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法. 37.（北京文18）已知函数()()xf x x k e =-，（I ）求()f x 的单调区间；（II ）求()f x 在区间[]0,1上的最小值。
解：（I ）/()(1)x f x x k e =-+，令/()01f x x k =⇒=-；所以()f x 在(,1)k -∞-上递减，在(1,)k -+∞上递增； （II ）当10,1k k -≤≤即时，函数()f x 在区间[]0,1上递增，所以min ()(0)f x f k ==-；当011k <-≤即12k <≤时，由（I ）知，函数()f x 在区间[]0,1k -上递减，(1,1]k -上递增，所以1min ()(1)k f x f k e -=-=-；当11,2k k ->>即时，函数()f x 在区间[]0,1上递减，所以min ()(1)(1)f x f k e ==-。
38.（福建文22）已知a 、b 为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax ＋b ＋axlnx ，f(e)＝2，（e ＝2.71828…是自然对数的底数）。
（Ⅰ）求实数b 的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间； 解：（Ⅰ）b ＝2；（Ⅱ）a ＞0时单调递增区间是（1，＋∞），单调递减区间是（0，1），a ＜0时单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞）39.（广东文19） 设0>a ,讨论函数x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=的单调性． 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞）221212122(1)2(1)1'(),112(1)2(1)1012(1)()310,'()23110,220'()0,()(0,)(,)a a x a x f x xa a a x a x a a a f x x x a a x x x x f x f x x x ---+=≠---+=∆=--<∆>=>=<<>>+∞当时，方程的判别式①当0<时，有个零点且当或时，在与内为增函数121212'()0,(),)110,'()0,()(0,)311'()0(0),()(0,)1110,0,0,'()22x x x f x f x x x a f x f x a f x x f x xa x x f x x a a <<<≤<∆≤≥+∞==>>+∞>∆>=>=；当时，在(内为减函数当时，在内为增函数；当时，在内为增函数；当时，所以在定义域内有唯一零点②③④11111;0'()0,()(0,)'()0,()(,)x x f x f x x x x f x f x x <<>><+∞且当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；（其中121122x x a a ==+）40.（湖北文20）设函数32()2f x x a x b x a =+++，2()32gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。