第三篇 区组设计

y 44
y46 y47
y49 y4,10
5
y 53
y55 y56
y58 y59 y5,10
BIB设计只使用于因子和区组间无交互作用的试验问 题，其统计模型为：
yij ai bj ij，i 1,2, v, j 1,2,,b
其中
yij －第 i 个处理在第 j 个区组中的试验结果
表 3.1.2 试验数据
区组
处理
1
2
3
4
5
1
73 69 73 71 67
2
73 68 74 72 69
3
75 72 74 73 68
4
75 72 77 75 72
例 3.1.3 在化学制剂对布料抗拉强度的试验中，按表 3.1.2
上的数据可算得各平方和及其自由度：
表 3.1.4 方差分析表
来源 平方和 自由度 均方和 F 比
若区组容量＜处理个数 v，这样的设计称为随机化不 完全区组设计。
随机化区组设计是应用最为广泛的试验 设计方法之一，贯彻了试验设计的三大原 则，试验的精确度比较高。
随机化区组设计的目的，就是把区组引 起的变异从随机误差的变异中分离出来， 降低了随机误差的大小，提高统计分析的 可靠性。
随机化区组设计应用于单因子试验或复 因子试验均可，可以考察因子间的交互作 用。
•一个BIB设计有五个设计参数v，k，r，b， 。
BIB设计存在的必要条件是：在5个设计参数间同 时有下列三个关系式：
（1） vr bk
（2） r(k 1) (v 1)
（3） b v，r k
5 个参数中，任意确定 3 个，即可计算其余 2 个 参数，至今人们已经找到很多 BIB 设计。
附表 9 对 4 v 10和 r 10给出一些 BIB 设计表。
平衡不完全区组设计（BIB设计）
表3.2.1c 不完全区组设计
区组
处理
1234
1
y11 y12
y14
2
y22 y23 y24
3
y31 y32 y33
4
y 41
y43 y44
要求： •每个区组含有的
处理数相等，都为 3个； •每个处理在不同 区组中出现次数 相等，都为3次； •每对处理在同一 试验中相遇次数 相等，都为2次。
不完全区组设计种类很多，其中应用非常广泛 的设计之一是平衡不完全区组设计（Balanced Incomplete Block Design），简称BIB设计。
平衡不完全区组设计（BIB设计）
在随机化完全区组设计中若去掉部分试验，余下部分试验 就组成一个不完全区组设计。
表3.2.1a 完全区组设计
区组 处理
其中
yij －第 i 个处理在第 j 个区组内的试验结果．
－总均值．
ai －第 i 个处理的效应． b j －第 j 个区组的效应．
ij －试验误差，服从 N (0, 2 ) ．
在区组设计中，全部 vb 个观察值的总平方和有如下分解：
vb
ST
( yij y) 2，
fT vb 1
i1 j 1
Cvk b
意指：从v个处理中任取k个放入一个区组，如此区组共有b 个．在这个例子中，具体的设计如下：
区组
处理
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
y11 y12 y13 y14 y15 y16
2
y21 y22 y23
y27 y28 y29
3
y 31
y34 y35
y37 y38
y 3,10
4
y 42
这一错误结论是没有重视区组作用而导致的。 所以在试验中，凡是试验条件间有较大差异时，应该运用区组
设计去减少试验误差。
讨论二：可以把区组看作另一个因子
我们的兴趣总是放在 v 个处理间是否有显著差异上，区 组就象一个垃圾桶，把区组平方和从误差中分离出来即可。
若还要关注区组效应的大小，即考察区组间是否存在显 著差异，可把区组也看作一个因子，要检验如下一对假设：
对 照
C
肥沃
设有 v 个处理需要比较，有 n 个试验单元用于试验。 第一步：把 n 个试验单元均分为 k 个组（k=n/v），使 每个组内的试验单元尽可能相似，这样的组称为区组。 第二步：在每个区组内对各试验单元以随机方式实施 不同处理．这样的设计称为随机化区组设计。
若区组容量＝处理个数 v，这样的设计称为随机化完 全区组设计。即一般所称的随机区组设计。
试验后收回，分别测量其磨损量，然后进行数据分析。
讨论：若有三种人造物质的鞋底（ A1, A2 , A3 ），那就要
采用随机化不完全区组设计。
随机化完全区组设计中设有 v 个处理和 b 个区组，共有
n= vb 次试验，记 察值。
y ij
表示第
i
个处理在第
j
个区组内的观
区组
处理
1
1
y11
2
y 21
v
y v1
( yij Ti Bj y )2，fe (v 1)(b 1)
i1 j1
即有： ST S A S B Se , fT f A f B f e ．
表 3.1.3 随机化完全区组设计的方差分析表
来源
平方和
自由度
均方和
F比
处理
SA
1 b
v
Ti 2
i 1
T2
vb
fA v 1
MS A S A / f A
但要注意：
重复数即为区组数 b
误差项自由度 f e ＝ (v 1)(b 1)
可以采用上一章中均值多重比较的方法进行各个处 理效应的均值比较。
随机区组设计统计分析——方差分析
Data yourdata; Input Block$ Treat$ Y @@;
Cards; 数据 ; Proc GLM data = yourdata;
例： 比较两种材质的鞋底（ A1, A2 ）的磨损程度。
一个人的两只脚是一个合乎情理的区组，因为一个人的 左右鞋的磨损情况是近似相同的，不同人之间的磨损情况 是有差异的。
若有６人参加试验，（假设鞋的尺码相同），则需对每种 材质的鞋各制造３双，每个人随机的从中各选一只左鞋和 右鞋．构成随机化完全区组设计。
第三章 区组设计
§3.1 随机化完全区组设计 §3.2 平衡不完全区组设计 §3.3 格子设计
3.1 随机化完全区组设计
由于试验条件不均匀，比如：试验场地、 人员、设备、试验材料等存在一些差异， 可能会对试验结果造成不良影响。
为解决这样的问题，把全部试验单元分 为若干个区组，使得每个区组内各试验单 元之间的差异尽可能的小，而区组间允许 存在一些差异，这样的试验设计称为区组 设计。划分区组也是试验设计的基本原则 之一。
Class Block Treat; Model Y= Block Treat; Means Treat/duncan; Run;
3.2 平衡不完全区组设计（BIB设计）
在随机区组和拉丁方等设计中，任一个区组中 都包含着所有的试验处理，这种区组称为完全区组。
在科学试验中，由于受到试验条件的限制，有 时一个区组中无法容纳全部的试验处理，而只能容 纳其中一部分，这种区组称为不完全区组。这样的 区组设计称为不完全区组设计。
例 3.1.1 有４种杀虫剂 A1, A2 , A3 , A4 ，为了比较４种
杀虫剂对棉田中害虫的杀虫效果高低，特选了 20 块田，每 种杀虫剂重复 5 次试验．如何安排试验呢？
•随机化设计：将 20 块田随机的安排 20 个处理．
评论：20 块棉田试验单元间总有差异，如害虫多少， 植物长势，土地肥沃程度等．这些差别对杀虫效果会带来 影响，从而对比较产生干扰．
附表 9 BIB 设计表（ 4 v 10 和 r 10）
例3.2.1 附表9索引第一行给出设计1，其设计方案如下：
v=4，k=2，r=3，b=6， =1
组Ⅰ
组Ⅱ
组Ⅲ
（1）1，2 （2）3，4
（3）1，3 （4）2，4
（5）1，4 （6）2，3
其中阿拉伯数字1，2，3，4表示处理，（1），（2），…，（6）
将v个处理安排到b个区组的一个不完全区组设计称 为平衡不完全区组设计，该设计满足下列三个条件：
1．每个区组都含k个不同处理，k称为区组容量。 2．每个处理都在r个不同区组中出现，r称为处理重 复数。
3．任一对处理在 个不同区组中相遇， 称为相遇
数。 从这个定义可以看出： •一个BIB设计中的v个处理可以得到公平的比较。
(区组)和 B1
均值
B1
2
…
y12
…
y 22
…
yv2
…
B2
…
B2
…
b (处理)和 均值
y1b
T1
T1
y2b
T2
T2
y vb
Tv
Tv
vb
Bb
T yij
i1 j 1
Bb
y T /vb
在 v 个处理和 b 个区组场合的统计模型如下：
yij ai b j ij，i 1, ,2, v, j 1,2,, b
v
b
vb
b (Ti y)2 v (B j y)2
( yij Ti B j y) 2
i 1
j 1
i1 j 1
v
处理平方和： S A b (Ti y)2，f A v 1
i 1 b
区组平方和： S B v (B j y)2，f B b 1
j 1
vb
误差平方和： Se
料进行改进。
讨论一：假如不设立区组，则区组平方和并入误差平方和．数据仍 然可按单因子方差分析处理，所得方差分析表如下：
表 3.1.5 把区组从设计中剔除后的不正确分析
来源 平方和 自由度 均方和 F 比
处理 37.8
3
12.6 1.97
误差 102.0
16
6.38
总和 139.8
19
对给定 =0.05，F0.95 (3,16) 3.24 ，4 种处理间没有显著差异，
表示区组．罗马数字Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示重复号。根据以上符号
可写出这个BIB设计如下：
区组
处理
123456
1
y11
y13
y15
2
y 21
y 24
y 26
3
y32 y33
y 36
4
y 42
y44 y45
例3.2.2 附表9索引第四行给出一个*设计，它的参数分别为：
v=5，k=3，r=6，b=10， =3
附表9中的带*设计可自行列出BIB设计，该设计中三个参数v， k，b间有一个组合关系：
A1
A2
A4
A2
A3
A3
A4
A1
A3
A2
A4
A1
A2
A4
A1
A2
A3
A3
A1
A4
特点：每个处理在每个区组内仅出现一次；每个区组内各种
处理也仅出现一次，且其次序是随机的．
某作物品种比较试验，有8个品种（含对 照），设3次重复。
区组Ⅰ
ECF
A
对 照
D
B
G
贫瘠
区组Ⅱ
G
B
对 照
D
F
C
E
A
区组Ⅲ
DAE
GBF
假如此种差异很微小，实施随机化设计是妥当的． 假如此种差异不可忽略，就要采取随机化区组设计．
•随机化区组设计：分二步进行 第一步， 将 20 块棉田按差异大小排序，将害虫最多的４
块棉田分为第１个区组，将害虫最少的４块棉田分为第５个
区组，其它按序入组．
第二步，在１个区组内随机的实施一种杀虫剂．
区组 1 区组 2 区组 3 区组 4 区组 5
1
2
3
4
1
y11 y12 y13 y14
2 y21 y22 y23 y24
ຫໍສະໝຸດ Baidu
3
y31 y32 y33 y34
4 y41 y42 y43 y44
表3.2.1b 不完全区组设计
区组 处理
1
2
3
4
1
y11 y12 y13
2
y21 y22
y 24
3
y31 y32 y33 y34
4
y 42
y 44
注：减少总试验次数是件好事，但还要按一定要求来组织 不完全区组设计。
处理 37.8
3
12.6 14.13
区组 91.3
4
22.83 ——
误差 10.7
12
0.89
总和 139.8
19
在显著性水平 =0.05，查其临界值 F0.95 (3,12) 3.49 ，由 于 F>3.49，故拒绝 H 0 ，即四种化学制剂对新型布料的抗拉强度
的影响有显著差异，提高新型布料的抗化学试剂能力，还需对布
F MS A MS e
区组
SB
1 v
b
B
2 j
j 1
T2 vb
f B b 1 MSB SB / f B
误差 Se ST S A S B fe (v 1)(b 1) MS e Se / fe
总和
ST
v i 1
b
yi2j
j 1
T2
vb
fT vb 1
——
例 3.1.3 化学制剂对布料有侵蚀作用，会降低其 抗拉强度。现开发出一种能抗化学制剂的新型布料， 为考察其抗侵蚀作用，特选定 4 种化学制剂和 5 匹 布。考虑到布匹间的差异，特在每匹布的中部切取 ４段布料组成一个区组，用随机化完全区组设计安 排试验。
H 0：b1 b2 bb 0 H1：诸bi中至少有一个不为零 在此假设下，检验统计量为：
F MS B MS e
尽管对此检验的合理性存在着争论，但使用 F 检验也未 尝不可，把检验结果作为一种参考也是有价值的。
讨论三：多重比较
随机化完全区组设计中，若处理为固定效应，并且 方差分析确认处理间有显著差异，不论区组效应是否是 随机的，都应对处理效应施行多重比较。