方法点拨整式的乘法
方法点拨-1.6整式的乘法初一数学
●方法点拨［例1］计算(1)(-3.5x2y2)·(0.6xy4z)(2)(-ab3)2·(-a2b)点拨：先确定运算顺序，再利用单项式乘单项式的法则进行计算.(1)直接作乘法即可，（2）先作乘方运算，再作乘法运算.解：(1)(-3.5x2y2)·(0.6xy4z)（系数相乘）（相同字母相乘）（不同字母相乘）（在x2·x中，x的指数是1，不要漏掉）=-2.1x3y6z(2)(-ab3)2·(-a2b)=a2b6·(-a2b)——先算乘方=-(a2·a2)(b6·b)——再算乘法=-a4b7［例2］计算(1)a m(a m-a3+9)(2)(4x3)2·［x3-x·(2x2-1)］点拨：先确定运算顺序，再运用相应的公式进行计算.(2)中用到了幂的乘方，单乘多及去括号几种运算公式及方法，要一步步进行.解：［例3］计算(1)(2a+3b)(3a+2b) (2)(3m-n)2点拨：这两题都需运用多项式相乘的法则进行计算，能合并同类项的要将结果化到最简的形式.注意第（2）题要化为多乘多的形式.解：(2)(3m-n)2注意乘方的意义=(3m-n)(3m-n)=3m·3m-3m·n-n·3m+n·n=9m 2-3mn -3mn +n 2=9m 2-6mn +n 2［例4］（1）(-31xy 2)2·［xy (2x -y )+xy 2］ (2)(-3x )2-2(x -5)(x -2)点拨：对于混合运算，一定要注意运算顺序，尤其是乘方运算，每次运算后的结果要打上括号才能进行下一步运算.解：(1)(-31xy 2)2·［xy (2x -y )+xy 2］ =91x 2y 4·［2x 2y -xy 2+xy 2］ =91x 2y 4·(2x 2y ) =92x 4y 5 (2)(-3x )2-2(x -5)(x -2)=9x 2-2(x 2-2x -5x +10)=9x 2-2(x 2-7x +10)=9x 2-2x 2+14x -20=7x 2+14x -20说明：一般来说，为了简化运算，能合并同类项的可先合并同类项，减少项数，再进行下一步的运算.［例5］解下列方程8x 2-(2x -3)(4x +2)=14点拨：利用多乘多法则将方程左边部分化简，再运用解方程的方法求出x .解：8x 2-(2x -3)(4x +2)=148x 2-(8x 2+4x -12x -6)=148x 2-(8x 2-8x -6)=148x 2-8x 2+8x +6=148x =8x =1［例6］长方形的一边长3m +2n ,另一边比它大m -n ,求长方形的面积.点拨：先分别求出长和宽，再根据“长方形的面积=长×宽”求出面积.列式的时候，表示每条边的多项式都要用括号括起来.解：长方形的宽：3m +2n长方形的长=(3m +2n )+(m -n )=4m +n长方形的面积：(3m +2n )·(4m +n )=3m ·4m +3m ·n +2n ·4m +2n ·n=12m 2+3mn +8mn +2n 2=12m 2+11mn +2n 2答：长方形的面积是12m 2+11mn +2n 2.。
整式的乘除运算掌握整式乘除法的基本要点
整式的乘除运算掌握整式乘除法的基本要点整式的乘除运算是数学中的基本内容，掌握整式的乘除法的基本要点对于解决各类问题具有重要作用。
本文将详细介绍整式的乘除运算的基本概念、要点和解题技巧，以帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、整式的基本概念整式是由常数和变量按照加、减、乘的运算法则组成的代数表达式。
一般形式为：CnX^n + Cn-1X^n-1 + ... + C1X + C0，其中Cn, Cn-1, ...,C1, C0为常数，X为变量，n为非负整数。
二、整式的乘法运算整式的乘法运算通过应用乘法分配律和合并同类项的原则来进行。
具体步骤如下：1. 将两个整式的每一项相乘。
2. 对于乘积的每一项，将其中的同类项合并。
3. 简化合并后的整式，即合并同类项并按照降序排列。
例如，对于表达式2X^2 + 3X - 1与4X + 5的乘法运算，可以按照以下步骤进行：1. 将每个项相乘得到8X^3 + 10X^2 + 12X + 15X^2 + 20X - 5。
2. 合并同类项，得到8X^3 + 25X^2 + 32X - 5。
3. 简化合并后的整式，得到8X^3 + 25X^2 + 32X - 5。
三、整式的除法运算整式的除法运算通过应用除法运算规则来进行，常用的方法是长除法。
具体步骤如下：1. 将除数和被除数按照降序排列。
2. 将除数的第一项除以被除数的第一项，得到商的首项。
3. 用商的首项乘以被除数，得到一个乘积。
4. 将乘积减去除数，得到一个差。
5. 将差视为一个新的被除数，重复步骤2至步骤4，直到无法继续执行除法运算为止。
例如，对于表达式8X^3 + 25X^2 + 32X - 5除以2X + 4的除法运算，可以按照以下步骤进行：1. 将除数和被除数按照降序排列，即8X^3 + 25X^2 + 32X - 5 ÷ 2X+ 4。
2. 将除数的首项8X^3除以被除数的首项2X，得到商的首项4X^2。
整式的乘除法
整式的乘除法整式是指由数字、字母和运算符号（加减乘除和括号）组成的代数式。
在数学中，整式的乘除法是学习代数运算的重要一环。
本文将介绍整式的乘法和除法，并提供相应的解题方法和技巧。
一、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个整式相乘得到一个新的整式。
在进行整式的乘法时，需要注意以下几点：1. 符号相乘：当两个整式相乘时，需要根据乘法法则对各项进行符号相乘。
同号相乘得正，异号相乘得负。
2. 同类项合并：在得到乘积后，需要对乘积中的同类项进行合并。
即将相同指数的字母项合并，并将系数相加。
下面通过一个示例来展示整式的乘法：例题：计算乘积 $(3x-4y)(2x+5)$。
解答：按照乘法法则，我们将每一项进行符号相乘，得到乘积：$$6x^2+15x-8xy-20y$$然后，我们将乘积中的同类项进行合并：$$6x^2+15x-8xy-20y$$至此，我们得到了乘积的最简形式。
二、整式的除法整式的除法是将一个整式除以另一个整式，得到商和余数的过程。
在进行整式的除法时，需要遵循以下几个步骤：1. 确定除数和被除数：将要除以的整式称为除数，被除的整式称为被除数。
2. 用除法定律进行整式的除法：将整式的除法转化为有理数的除法。
3. 化简商式：对除法得到的商式进行化简，即将商式中的同类项合并。
4. 找到余式：将化简后的商式与被除数相乘，得到乘积后减去除数，得到余式。
下面通过一个示例来展示整式的除法：例题：计算商和余数 $\frac{4x^3-7x^2+10}{x-2}$。
解答：按照除法的步骤，我们首先确定除数为 $x-2$，被除数为$4x^3-7x^2+10$。
然后，我们用除法定律进行整式的除法：```4x^2 -5x___________________x-2 | 4x^3 -7x^2 +10- (4x^3 -8x^2)_______________x^2 +10- (x^2 -2x)____________12x +10- (12x -24)__________34```化简商式得到商 $4x^2-5x+1$，余数为 $34$。
整式的乘法教案（通用3篇）
整式的乘法教案整式的乘法教案（通用3篇）作为一名优秀的教育工作者，常常需要准备教案，借助教案可以有效提升自己的教学能力。
我们应该怎么写教案呢？以下是小编为大家整理的整式的乘法教案（通用3篇），仅供参考，大家一起来看看吧。
整式的乘法教案1一、内容和内容解析1、内容：同底数幂的乘法。
2、内容解析同底数幂的乘法是幂的一种运算，在整式乘法中具有基础地位。
在整式的乘法中，多项式的乘法要转化为单项式的乘法，单项式的乘法要转化为幂的运算，而幂的运算以同底数幂的乘法为基础。
同底数幂的乘法将同底数幂的乘法运算转化为指数的加法运算，其中底数a可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。
同底数幂的乘法是类比数的乘方来学习的，首先在具体例子的基础上抽象出同底数幂的乘法的性质，进而通过推理加以推导，这一过程蕴含数式通性、从具体到抽象的思想方法。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：同底数幂的乘法的运算性质。
二、目标和目标解析1、目标（1）理解同底数幂的乘法，会用这一性质进行同底数幂的乘法运算。
（2）体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用。
2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生能根据乘方的意义推导出同底数幂乘法的性质，会用符号语言和文字语言表述这一性质，会用性质进行同底数幂的`乘法运算。
达成目标（2）的标志学生发现和推导同底数幂的乘法的运算性质，会用符号语言，文字语言表述这一性质，能认识到具体例子在发现结论的过程中所起的作用，能体会到数式通性在推到结论的过程中的重要作用。
三、教学问题诊断分析在前面的学习中，学生已经学习了用字母表示数以及整式的加减运算，但是用字母表示幂以及幂的运算还是初次接触。
幂的运算抽象程度较高，不易理解，特别对于am+n的指数的理解，因为它不仅抽象程度较高，而且运算结果反映在指数上，学生第一次接触，也很难理解。
教学时，应引导学生回顾乘方的意义，从数式通性的角度理解字母表示的幂的意义，进而明确同底数幂乘法的运算性质。
初中数学《整式的乘法》解题技巧
《整式的乘法》解题技巧整式的乘法包括三个方面的计算：单项式乘以单项式；单项式乘以多项式；多项式乘以多项式．由于对运算法则理解不透彻,在解题时易出现一些错误，现就可能出现的错误归纳如下：一、单×单漏字母【例1】 计算2x 2y ·（-4xy 3z ）．错解：2x 2y ·（-4xy 3z ）=2×（-4）（x 2·x ）（y ·y 3）=-8x 3y 4．【分析】本题错解最后的结果中漏掉了z ．错误的原因可能是对单项式的乘法法则理解不透,也可能是做题时马虎．对于单项式的乘法,应注意的一点是：只在一个单项式里的因式,应连同它的指数作为积的一个因式．所以z 不能漏掉．【正解】2x 2y ·（-4xy 3z ）=2×（-4）（x 2·x ）（y ·y 3）·z =-8x 3y 4z ．二、单×多漏乘项【例2】计算3xy （5x 2y -7xy -1）．错解： 3xy （5x 2y -7xy -1）=3xy ·5x 2y +3xy ×（-7xy ）=15x 3y 2-21x 2y 2．【分析】单项式与多项式相乘的结果是多项式,其项数与多项式的项数相同,用来检验防止漏项,本题错解在漏乘了最后一项-1．【正解】3xy （5x 2y -7xy -1）=3xy ·5x 2y +3xy ×（-7xy ）+3xy ×（-1）=15x 3y 2-21x 2y 2-3xy ．三、多×多错创法则【例3】计算（2a -3b ）（3a +7b ）．错解：（2a -3b ）（3a +7b ）=2a ·3a +（-3b ）·7b =6a 2-21b 2．【分析】两个多项式相乘，应根据多项式乘法法则进行．用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式的项数相乘．错解在将两个多项式的前项乘以前项，后项乘以后项了．【正解】（2a -3b ）（3a +7b ）＝2a ·3a +2a ·7b -3b ·3a -3b ·7b =6a 2+14ab -9ab -21b 2= 6a 2+5ab -21b 2．四、混合运输时漏“-”【例4】计算-2x （-21xy +y 3）-3x ·（x 2y -xy 2）．错解： -2x （-21xy +y 3）-3x ·（x 2y -xy 2）=x 2y -2xy 3-3x 3y -3x 2y 2． 【分析】本题是两个单项式与多项式相乘的和，本题错在计算后一个单项式与多项式相乘时，写成3x ·（-xy 2）=-3x 2y 2．【正解】-2x （-21xy +y 3）-3x ·（x 2y -xy 2）=x 2y -2xy 3-3x 3y +3x 2y 2． 五、混合运算时错减对象【例5】计算（-2x ）（x -1）-（x -2）（x +3）错解：原式=-2x 2+2x -x 2+3x -2x -6=-3x 2+3x -6【分析】减去的应是（x -2）（x -1），即应为-2x 2+2x -（x 2+3x -2x -6），而错解减去的是x 2．【正解】原式=-2x 2+2x -（x 2+3x -2x -6）=-3x 2+x +6。
教学重点整式的乘法运算方法
教学重点整式的乘法运算方法教学重点：整式的乘法运算方法整式是指由字母、数字和运算符号组成的代数式，其中字母代表变量，数字代表常数。
在代数中，整式的乘法运算是一项基本而重要的内容。
掌握整式的乘法运算方法，有助于我们解决各种代数问题，进一步提高数学应用能力。
本文将介绍整式乘法的基本原理和操作方法。
一、整式的基本概念在开始讨论整式的乘法运算方法之前，我们首先来回顾一下整式的基本概念。
整式是由乘积法则、加法法则等基本运算法则形成的。
一个整式可能由多项式相加或相减构成，每个多项式又可由多个单项式相加或相减而成。
在整式中，单项式是由一个巢积式（多个字母的积）和一个数字或字母的积构成的代数式。
例如，5x^2、-3ab、7等都是单项式。
整式中的每个单项式之间通过加号或减号连接，形成多项式。
例如，3x^2+2xy-4y^2、-5a^2b+7ab^2-9a等都是多项式。
二、整式的乘法运算法则在整式的乘法运算中，我们需要掌握以下几个基本法则：1. 相同字母的乘法相同字母的乘积遵循指数相加的法则。
例如，a^2 * a^3 = a^(2+3) =a^5。
2. 不同字母的乘法不同字母的乘积保持不变。
例如，ab * cd = abcd。
3. 多个单项式的乘法多项式相乘的过程就是将每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，然后将结果相加。
例如，(2x+3)(4x-5)的乘法运算可以按照如下步骤进行：2x * 4x = 8x^22x * -5 = -10x3 * 4x = 12x3 * -5 = -15然后将上述结果相加，得到最终结果：8x^2 - 10x + 12x - 15 = 8x^2+ 2x - 15。
三、整式乘法的应用举例接下来，我们通过一些具体的例子来应用整式乘法的运算方法。
例1：计算多项式的乘积计算 (3x - 4)(x + 2)的乘积。
解：按照上述乘法运算法则，我们可以依次计算每一个乘积并相加。
3x * x = 3x^23x * 2 = 6x-4 * x = -4x-4 * 2 = -8将上述结果相加，得到最终结果：3x^2 + 2x - 4x - 8 = 3x^2 - 2x - 8。
整式的乘法运算应注意的几点
整式的乘法运算应把握的几点山东 王孝敏整式的乘法运算包括单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘以及多项式与多项式相乘。
进行整式的乘法运算应注意把握以下几点：一、把握积的符号 例1 计算： (－3xy )·(－2x )·(－xy 2)2．分析：本题是单项式的乘法运算,且含有积的乘方运算,再运算时应先确定积的符号,因为前两个单项式的系数为负,第三个单项式的系数为正,所以积的结果为正．解： (－3xy )·(－2x )·(－xy 2)2=(3xy )·(2x )·(x 2y 4)=6x 4y 5．【点拨】当多个单项式相乘时，应先确定积的符合，然后再按照法则进行计算。
二、把握分配律的使用例2 计算：(－2x ) 2·(xy －3xy 2－1)．分析：本题是单项式与多项式相乘,且含有乘方运算,可先进行乘方运算,然后按乘法的分配律用单项式去乘多项式的每一项,计算时应注意符号的确定．解： (－2x ) 2·(xy －3xy 2－1)=4x 2·(xy －3xy 2－1)=4x 2·xy +4x 2·(－3xy 2)+4x 2·(－1)=4x 3y －12x 3y 2－4x 2．【点拨】单项式乘以多项式,先用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得积相加．注意不要漏项．三、把握多项式与多项式相乘的运算法则例3 计算(x －3)(x +4)．分析：进行多项式的乘法运算,首先要理解多项式乘以多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加．本题的计算不要出现(x －3)(x +4)=x 2－12的错误．解： (x －3)(x +4)=x ·x +x ·4+(－3)·x +(－3)·4=x 2+4x －3x －12=x 2+x －12．【点拨】两项多项式与两项多项式的积为四项,有时可合并成三项或两项．两项多项式与三项多项式相乘,结果为2×3=6项,然后能合并的再进行合并．四、把握运算顺序例4 计算 (－x 2)(x －y +1)－(x +2)(x －1)．分析：本题是一道混合运算,计算时应把握运算顺序,先算乘法运算,然后再进行加减运算,并注意符号问题．解： (－x 2)(x +1)－(x +2)(x －1)=－x 3－x 2－(x 2－x +2x －2)=－x 3－x 2－x 2+x －2x +2=－x 3－2x 2－x +2．【点拨】混合运算，先算乘方，再算乘除，最后加减，应注意运算符号。
【人教版】初中数学知识点总结整式的乘除
整式的乘法目标认知学习目标：1．掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），能用字母式子和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。
2．掌握单项式与单项式，单项式与多项式，多项式与多项式相乘的法则，并能运用它们进行运算。
重点：整式乘法性质的准确掌握和熟练运用。
难点：字母的广泛含义的理解。
二、知识要点梳理知识点一：同底数幂的乘法要点诠释：同底数幂相乘，.底数不变，指数相加用字母表示为：a m×a n=a m+n（m、n都是正整数）.三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即a m·a n·a p=a m+n+p（m、n、p都是正整数）.此性质可以逆用，即a m+n=a m×a n（m、n都是正整数）.知识点二：幂的乘方要点诠释：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
用字母表示为：（a m）n=a mn. (m、n都是正整数)知识点三：积的乘方要点诠释：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
用字母表示为：（ab）n=a n b n(n是正整数).知识点四：单项式乘以单项式要点诠释：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘.对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.知识点五：单项式乘以多项式要点诠释：单项式与多项式相乘，就是用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，用字母表示为m(a+b+c)=ma+mb+mc.知识点六：多项式乘以多项式要点诠释：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.用字母表示为（a+b）（m+n）=ma+na+mb+nb.三、规律方法指导1．在学习本节内容时，应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义.2．幂的三个运算性质是学习整式乘法的前提条件，单项式乘法是幂的运算性质的一个直接应用，单项式与多项式乘法及多项式与多项式乘法是在单项式乘法的基础上，利用分配律的更复杂的运算.3．在单项式的乘法法则中：①系数相乘，是有理数的乘法运算；相同字母相乘，是同底数幂的乘法运算；②单项式与单项式相乘的结果是单项式，一般确定结果的系数，往往先确定绝对值，再确定符号.4．在单项式与多项式相乘时：①单项式乘以多项式的依据是乘法对加法的分配律.②单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数和因式中多项式的项数相同，计算时要注意各项的符号.5．在多项式与多项式相乘时：①多项式乘以多项式可以化为单项式乘以多项式或单项式乘以单项式.②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数的积.整式的乘法经典例题透析类型一：同底数幂的运算1、计算：(1)(-)(-)2(-)3 (2) -a4·(-a)3·(-a)5思路点拨：（1）分析：①(-)就是(-)1，指数为1；②底数为-，不变；③指数相加1+2+3=6；④乘方时先定符号“+”，再计算的6次幂（2）分析：①-a4与(-a)3不是同底数幂；②可利用-(-a)4=-a4③变为同底数幂总结升华：同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。
教学重点整式的加减乘除运算方法
教学重点整式的加减乘除运算方法整式是指由若干个代数式通过加法、减法和乘法运算得到的代数式。
整式的加减乘除运算是初中数学中的重点内容之一，掌握了整式的运算方法，可以帮助我们更好地理解代数式的性质和运算规律。
本文将详细介绍整式的加减乘除运算方法。
一、整式的加法运算方法整式的加法运算是指将两个或多个整式进行相加的运算。
下面以两个整式相加为例，介绍整式加法的运算方法。
例如：求解整式 (3a + 2b + 5c) + (4a - 3b + 2c)。
解：首先根据整式的加法运算法则，将同类项合并。
即将 a、b、c的系数相加。
(3a + 4a) + (2b - 3b) + (5c + 2c) = 7a - b + 7c最终的结果为 7a - b + 7c。
二、整式的减法运算方法整式的减法运算是指将两个整式进行相减的运算。
下面以两个整式相减为例，介绍整式减法的运算方法。
例如：求解整式 (3a + 2b + 5c) - (4a - 3b + 2c)。
解：首先根据整式的减法运算法则，将减号后的整式变为相反数，然后进行加法运算。
(3a + 2b + 5c) + (-4a + 3b - 2c) = (3a - 4a) + (2b + 3b) + (5c - 2c) = -a + 5b + 3c最终的结果为 -a + 5b + 3c。
三、整式的乘法运算方法整式的乘法运算是指将两个或多个整式进行相乘的运算。
下面以两个整式相乘为例，介绍整式乘法的运算方法。
例如：求解整式 (2x + 3y) * (4x - 5y)。
解：根据整式的乘法运算法则，将一个整式的每一项与另一个整式的每一项进行相乘，然后将相乘结果进行合并。
(2x * 4x) + (2x * -5y) + (3y * 4x) + (3y * -5y) = 8x² - 10xy + 12xy -15y²化简得：8x² + 2xy - 15y²最终的结果为 8x² + 2xy - 15y²。
整式的乘法(6大知识点15类题型)(知识梳理与题型分类讲解)(人教版)(学生版25学年八年级数学上册
专题14.3整式的乘法（6大知识点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳与题型目录】【知识点1】同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）【要点提示】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.【知识点2】单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.【要点提示】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.【知识点3】单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.【要点提示】（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质利用乘法分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.【知识点4】多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.【要点提示】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.知识点与题型目录【知识点一】同底数幂的除法【题型1】同底数幂的除法运算及逆运算.........................................3;【知识点二】单项式相乘【题型2】单项式相乘.........................................................3;【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值...................................3;【知识点三】单项式乘以多项式【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值.......................................4;【题型5】单项式乘以多项式的应用.............................................4;【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值.....................................4;【知识点四】多项式相乘【题型7】计算多项式乘以多项式...............................................5;【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值.......................................5;【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘..........................................5;【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题......................................5;【题型11】多项式相乘中的几何问题............................................6;【知识点五】多项式除以单项式【题型12】多项式除以单项式..................................................6;【知识点六】多项式除以单项式【题型13】整式乘法混合运算..................................................7;【直通中考与拓展延伸】【题型14】直通中考..........................................................7;【题型15】拓展延伸..........................................................8.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】同底数的除法运算及逆运算【例1】（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算：()()23432253339xy x x y xy x y ⎡⎤-÷⎢⎥⎦⋅-⋅⎣．【变式1】（22-23七年级下·广东深圳·阶段练习）若4m a =，8n a =，则32m n a -的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．4【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知2320x y --=，则()()231010x y ÷=．【题型2】单项式相乘【例2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）计算：(1)()2243623a a a a ⋅+-；(2)()()23225x x y -⋅-【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算()222133x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的结果为（）A ．45x y -B ．4513x y C ．3213x y -D ．4513x y -【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：()()3222324623418ab a b a b a b -⋅+⋅=．【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值【例3】（22-23七年级下·广东梅州·期中）先化简，后求值：2332223141644x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0.4x =，2.5y =-．【变式1】（2024·陕西榆林·三模）已知单项式24xy 与313x y -的积为3n mx y ，则m ，n 的值为（）A ．43m =-，4n =B ．12=-m ，2n =-C ．43m =-，3n =D ．12=-m ，3n =【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）若()()1221253m n n n a b a b a b ++-⋅=，则m n +的值为．【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值【例4】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）先化简，再求值：()()223243234a a a a a -+-+，其中1a =-．【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算132xy x y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的结果是（）A ．223x y xy +B ．22332x y xy --C ．22332x y xy -+D ．22132x y xy -+【变式2】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若220240a a +-=，代数式()()220241a a -+的值是．【题型5】单项式乘以多项式的应用【例5】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）小红的爸爸将一块长为322455a b ⎛⎫+⎪⎝⎭分米、宽55a 分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为412a 分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．(1)用含a ，b 的整式表示盒子的外表面积；(2)若1a =，0.2b =，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？【变式1】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，那么正确的计算结果是（）A ．432484x x x -+-B ．432484x x x +-C ．43244x x x -+-D ．432484x x x --【变式2】（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）已知：2210x x --=，则352020x x -+=．【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值【例6】（21-22七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知x （x ﹣m ）+n （x +m ）＝2x +5x ﹣6对任意数都成立，求m （n ﹣1）+n （m +1）的值．【变式1】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若()24x ax x x +=+，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．8【变式2】（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）要使()32412x x ax x -+++中不含有x 的四次项，则a =．【题型7】计算多项式乘以多项式【例7】（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：(1)()()()222323x x x x +---+；(2)22(1)(1)x x x x ++-+；(3)2(1)(2)(2)x x x x +-++【变式1】（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）下列计算正确的是（）A ．()()324242ab ab a b ⋅-=B ．()()22356m m m m +-=--C ．()()245920y y y y +-=+-D ．()()21454x x x x ++=++【变式2】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如果()()()()32912x x x x ---+-=，那么x 的值是．【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值【例8】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：()()()222112a a a a a a +--+-，其中3a =-．【变式1】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定a b ad bc cd=-，例如121423234=⨯-⨯=-，已知2523m n nm n m n+=-+-，则代数式2261m n --的值是（）A ．4B ．5C ．8D ．9【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知235a ab +=，则2()(2)2a b a b b ++-的值为．【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘【例9】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）先化简，再求值：()()()()()23333442x x x x x +-++---，其中2x =．【变式1】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）若()()2315x x n x mx ++=+-，则mn 的值为（）A ．5-B ．5C ．10D ．10-【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）若()()228x m x x nx +-=+-，则2m n +=．【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题【例10】（22-23七年级下·四川达州·期中）已知代数式()22mx x +与()232x nx ++积是一个关于x 的三次多项式，且化简后含2x 项的系数为1，求m 和n 的值．【变式1】（23-24七年级下·全国·期中）已知多项式x a -与221x x +-的乘积中2x 的项系数与x 的项系数之和为4，则常数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若()()23x m x x n +-+的积中不含2x x 、项，则m =，n =．【题型11】多项式相乘中的几何问题【例11】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）学校需要设计一处长方形文化景观，分为中央雕塑区和四周绿化区．中央雕塑区的长边为（33m -）米，短边为2m 米，绿化区外边沿的长边为（42m -）米，短边为（31m -）米．试比较雕塑区和绿化区的面积大小．（m 为正数）【变式1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）下面四个整式中，不能．．表示图中阴影部分面积的是（）A ．(4)(3)3x x x ++-B ．24(3)x x ++C ．24x x+D ．(4)12x x ++【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）有若干张如图所示的正方形A 类、B 类卡片和长方形C 类卡片．如果要拼成一个长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形，那么需要C 类卡片张．【题型12】多项式除以单项式【例12】（22-23七年级下·宁夏银川·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，2211322xy x y xy xy ⨯=-+(1)求所捂的多项式；(2)若2132x y ==，，求所捂多项式的值．【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）若22233241216m x y x y x y ⨯=-，则m =（）A ．43x y-B ．43x y-+C ．43x y+D ．43x y--【变式2】（22-23七年级下·浙江温州·期末）若223615xy A x y xy =- ，则A 代表的整式是．【题型13】整式乘法混合运算【例13】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值：(1)()()()()22224x y x y x y x x y -+-+--，其中1x =-，2y =．(2)已知2210x x +-=，求代数式()()()()21433x x x x x ++++-+的值．【变式1】（21-22六年级下·全国·单元测试）等式()()324322xyz x y z y ⎡⎤÷-⋅=⎣⎦中的括号内应填入（）A ．6538x y z B ．228x y zC ．222x y zD ．222x y z±【变式2】（2024·福建厦门·二模）已知11x x-=-，则()()22131x x x +-+的值为．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型14】直通中考【例1】（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（）A ．223a a a +=B ．523a a a ÷=C ．235()a a a -⋅=-D ．()23622a a =【例2】（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，7()a b +展开的多项式中各项系数之和为．【题型15】拓展延伸【例1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-；…根据规律计算：202220212020201943222222222-+-+⋯⋯+-+-的值是（）A ．2023223-B ．202321-C ．20232-【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x 的值是3-，则第2024次计算后输出的结果为．。
数学知识点整式的乘法和除法
数学知识点整式的乘法和除法整式是数学中的一个概念，是指由常数和变量及它们的乘积通过加法和减法运算而得到的代数表达式。
整式的乘法和除法是数学中的重要内容，本文将详细介绍整式的乘法和除法。
一、整式的乘法：整式的乘法是指将两个整式相乘并化简的过程。
下面以一个具体的例子来说明整式的乘法运算。
例子：将整式(2x + 3)(4x + 5)用乘法方式展开并化简。
解答：首先，我们可以利用分配律将两个整式相乘：(2x + 3)(4x + 5) = 2x * 4x + 2x * 5 + 3 * 4x + 3 * 5接下来，根据乘法的法则，我们可以将每一项相乘并合并同类项：= 8x^2 + 10x + 12x + 15最后，将结果进行合并化简，得到最简整式：= 8x^2 + 22x + 15这样，我们就完成了整式的乘法运算。
二、整式的除法：整式的除法是指将一个整式除以另一个整式，并求得商式和余式的过程。
下面以一个具体的例子来说明整式的除法运算。
例子：计算整式5x^3 + 4x^2 - 3x + 7除以整式x + 2的商式和余式。
解答：首先，我们需要按照除法的步骤进行演算。
Step 1: 将被除式和除式按照降幂排列。
被除式：5x^3 + 4x^2 - 3x + 7除式：x + 2Step 2: 将除式的首项与被除式的首项进行除法运算，并将结果作为商式的首项。
首项相除：(5x^3) / x = 5x^2Step 3: 将商式的首项乘以除式，并将结果与被除式相减，得到一个新的多项式。
计算：(5x^2)(x + 2) = 5x^3 + 10x^2被除式减去：(5x^3 + 4x^2 - 3x + 7) - (5x^3 + 10x^2) = -6x^2 - 3x + 7 Step 4: 重复以上步骤，直到被除式的次数小于除式的次数为止。
继续进行除法运算：次项相除：(-6x^2) / x = -6x计算：(-6x)(x + 2) = -6x^2 - 12x被除式减去：(-6x^2 - 3x + 7) - (-6x^2 - 12x) = 9x + 7再次进行除法运算：次项相除：(9x) / x = 9计算：(9)(x + 2) = 9x + 18被除式减去：(9x + 7) - (9x + 18) = -11由于被除式的次数小于除式的次数，停止除法运算。
七年级整式的乘法知识点
七年级整式的乘法知识点在数学学科中，整式是一个很重要的概念。
然而，在学习整式的过程中，乘法是一个必须掌握的关键知识点。
下面将讨论七年级整式的乘法知识点，让大家更好地理解和掌握整式乘法。
一、单项式的乘法单项式是一种重要的整式，在整个整式乘法的学习中起着基础性的作用。
单项式乘法的规律为：同类项相乘，先乘系数，再乘字母，并将乘积相加合并同类项。
例如，2x和3y的乘积为6xy，其中6为系数，x和y为字母。
二、多项式的乘法多项式是由单项式相加或相减构成的，是整式中最为常见的形式。
多项式的乘法是整式乘法中的主要内容。
在乘法的过程中，我们需要将每个单项式的每一项都与另一个多项式中的每个单项式的每一项相乘，并将结果按照同类项合并。
例如，(2x+3y)(4x-5y)的乘积为8x^2-7xy-15y^2。
三、乘法公式除了单项式和多项式的乘法规律，我们还可以利用乘法公式来简化乘法的步骤，提高计算速度。
乘法公式是一种性质，可以将一个复杂的乘积转化为较为简单的形式。
例如，(a+b)^2=a^2+2ab+b^2和(a+b)(a-b)=a^2-b^2就是常见的乘法公式。
四、乘法的交换律和结合律在整式乘法的计算中，交换律和结合律很重要，可以使我们的计算更加简单。
交换律指的是，乘法的顺序不影响最终的结果。
例如，2x*3y和3y*2x是等价的。
结合律指的是，多个数相乘，它们的位置可以调换而不影响最终结果。
例如，(2x*3y)*4z和2x*(3y*4z)是等价的。
五、实际例题七年级整式乘法的练习少不了实际例题。
例如，求(4x+3)(2x-1)的积。
首先按照多项式的乘法法则，将每个单项式的每一项都与另一个多项式中的每个单项式的每一项相乘，得到以下结果：(4x*2x+4x*(-1)+3*2x+3*(-1))化简后，可得：8x^2+2x-3结论整式是数学中非常重要的一个概念，而其中乘法是必须掌握的基本知识点。
单项式的乘法、多项式的乘法和乘法公式都是整式乘法中重要的知识点，掌握这些知识可以快速地计算整式的乘积。
讲解整式的乘法运算方法并通过例题演示
讲解整式的乘法运算方法并通过例题演示整式乘法运算方法及例题演示乘法是数学中的基本运算之一，而在代数中，我们经常会遇到一种特殊的乘法运算，即整式乘法。
整式是由字母和数字通过加、减、乘运算得到的代数式。
本文将讲解整式的乘法运算方法，并通过例题演示来帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、整式乘法运算的基本规则整式的乘法运算遵循以下基本规则：1. 同类项相乘时，只需将它们的系数相乘，并保留相同的字母部分。
例如：3x乘以4x等于12x^2；-2ab乘以3ab等于-6a^2b^2。
2. 不同字母之间的乘法运算，直接将它们相乘，并按照字母的字母顺序排列。
例如：2xy乘以3z等于6xyz。
3. 当整式中存在括号时，利用分配律进行乘法运算。
例如：(3x+4y)乘以2，先将2分别乘以括号中的每一项，得到6x+8y。
以上是整式乘法运算的基本规则，接下来通过例题演示来进一步加深理解。
二、例题演示例题1：计算(2a-3b)(4a+5b)。
解析：根据分配律，我们可以展开式子，得到：2a乘以4a+2a乘以5b-3b乘以4a-3b乘以5b。
化简后，得到：8a^2+10ab-12ab-15b^2，再合并同类项得到8a^2-2ab-15b^2。
所以，(2a-3b)(4a+5b)等于8a^2-2ab-15b^2。
例题2：计算(3x^2+2)(4x-5)。
解析：同样利用分配律，我们可以展开式子，得到：3x^2乘以4x+3x^2乘以(-5)+2乘以4x+2乘以(-5)。
化简后，得到：12x^3-15x^2+8x-10，无法再合并同类项。
所以，(3x^2+2)(4x-5)等于12x^3-15x^2+8x-10。
通过以上两个例题的演示，我们可以清楚地看到整式乘法运算的过程和规律。
三、总结整式乘法是数学中的重要概念，通过本文的讲解和例题演示，相信读者对整式乘法运算有了更深入的理解。
需要注意的是，掌握整式乘法的基本规则是解题的关键，特别是合并同类项的步骤，可以有效地简化计算过程。
《整式乘法》中的思想方法与思维技巧
《整式乘法》中的思想⽅法与思维技巧1、《整式》中的思想⽅法与思维技巧2、整式的乘法新题例析3、完全平⽅公式要点精析4、因式分解经典试题分析5、因式分解中常见的错误辨析6、整式除法运算新题放送7、正确理解与灵活运⽤乘法公式8、因式分解在赛题中的应⽤9、整式的乘法错解剖析10、聚焦特征，活⽤乘法公式1、《整式》中的思想⽅法与思维技巧本章中蕴含着丰富的数学思想，下⾯以例说明如何运⽤这些数学思想指导我们解决问题．1、“特殊→⼀般→特殊”的思想⽅法在本章中，许多性质与法则的得出，都是先举出⼀些具体的例⼦，然后找出它们的共同特征，加以推⼴，概括出⼀般化的结论，再把所得结论应⽤于具体的解题过程中。
例如：同底数幂的乘法的性质．2、分类讨论的数学思想⽅法例如：多项式4x2＋1加上⼀个单项式后能成为⼀个整式的完全平⽅，那么这个单项式是什么？析解：根据已知多项式的特点，我们可以把添加的单项式分为：①四次式(可添4x4)，②⼆次式(添－4x2)，③⼀次式(±4x)，④常数(－1)．3、数形结合的数学思想⽅法多项式的乘法常常可以看作是某种图形的⾯积，本章有许多这样数形结合的例⼦．例如：课本P180，根据图形⾯积说明平⽅差公式．P182，根据图形⾯积说明完全平⽅公式．例．如图是⽤四张相同的矩形拼成的图形，请你利⽤图中的阴影部分的不同表⽰⽅法，写出⼀个关于a、b的恒等式：．析解：因⼤正⽅形的边长为a＋b，⼩正⽅形的边长为a－b，所以(a＋b)2－(a－b)2＝（a2＋2a b＋b2）－（a2－2a b＋b2）＝4a b．故填：(a＋b)2－(a－b)2＝4a b．4、整体代⼊的思想⽅法例如课本P185页第7题：已知a＋b＝5，a b＝3，求a2＋b2的值．析解：直接求出a、b的值有⼀定的困难，但可对所求代数式a2＋b2，我们可添项，变为：a2＋2a b＋b2－2a b＝(a＋b)2－2a b，然后整体代⼊求值．5、逆向思维技巧由于整式的乘除及因式分解都是恒等变形的过程，因此恰当地利⽤本章的⼀些性质、法则、公式进⾏逆向解题，常常可以起到简化运算，化难为易的作⽤．例如课本P193第7题：已知2m＝a，32n＝b，求23m+10n．析解：先逆⽤幂的乘⽅：(a m)n=a mn，再逆⽤积的乘⽅：(ab)n=a n b n．由2m＝a，得(2m)3＝a3，即23m＝a3，由32n＝b，得(25n)2＝b2，即210n＝b2，∴23m+10n＝23m·210n＝a3b2．由此可见正确地运⽤数学思想⽅法往往可使问题化繁为简、化难为易，起到事半功倍之效．2、整式的乘法新题例析整式的乘法是本章的重要内容，也是中考试题中常见的题型，下⾯请欣赏⼏例．⼀、定义运算类例1．（吉安市）如果“三⾓形”表⽰，“⽅框”表⽰，求×的值。
《整式的乘法》知识全解
《整式的乘法》知识全解课标要求1、探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式（仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）相乘的法则，并运用它们进行运算；2、让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力。
知识结构1、单项式乘单项式，用各单项式系数的积，作为积的系数；用相同字母的指数和，作为积里这个字母的指数；只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式。
2、单项式与多项式相乘，先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得积相加。
3、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
内容解析1．单项式乘以单项式：法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
解读：（1）单项式的乘法可分为三步：①把它们的系数相乘，包括符号的计算；②同底数幂相乘；③单独字母的处理。
三部分的乘积作为计算的结果。
（2）积的系数等于各系数的积，这部分是有理数的乘法运算，应先确定符号再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按法则进行计算；注意不要把只在一个单项式中含有的字母去掉。
（3）单项式与单项式相乘其结果仍是单项式。
2．单项式乘以多项式：法则：单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加。
即()(,,,)m a b c am bm cm m a b c ++=++都是单项式。
解读：（1）单项式与多项式相乘，实质上是将单项式看成一个整体对多项式运用乘法分配律。
（2）单项式乘以多项式，结果是一个多项式，其项数与多项式的项数相同，计算时要注意符号问题，多项式中的每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。
3．多项式乘以多项式：法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
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整式的乘法（基础）责编：某老师【学习目标】1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.【要点梳理】【高清课堂 397531 整式的乘法 知识要点】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 【典型例题】类型一、单项式与单项式相乘【高清课堂397531 整式的乘法 例1】1、计算：（1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭； （2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭； （3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-．【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把x y -与y x -分别看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算．【答案与解析】解： （1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭22132()()3a a a b b b c ⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯⋅⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦442a b c =-．（2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭121(2)(3)()()2n n x x x y y z +⎡⎤⎛⎫=-⨯-⨯-⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 413n n x y z ++=-．（3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-232216()()3m n x y mn x y =-⋅-⋅⋅- 22321(6)()()[()()]3m m n n x y x y ⎡⎤=-⨯⋅⋅-⋅-⎢⎥⎣⎦ 3352()m n x y =--．【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉． 举一反三：【变式】（2014•甘肃模拟）计算：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）．【答案】解：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）=[2×（﹣2）×（﹣）]（m 2×mn×m 2n 3）=2m 5n 4．类型二、单项式与多项式相乘2、 计算：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭； （3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+--⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 【答案与解析】 解：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 212114(2)23223ab ab ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+--+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 232221233a b a b ab =-+-． （2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭2222213(6)(6)()(6)32xy xy y xy x xy ⎛⎫=--+-+-- ⎪⎝⎭g 23432296x y xy x y =-+．（3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222334253a ab b a b ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222222223443423353a a b ab a b b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 42332444235a b a b a b =--+． 【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和．举一反三： 【变式1】224312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭． 【答案】解：原式2224232211222m n m n m n +⨯⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭ 26262262171221244m n m n m n m n m n =-+=-．【变式2】若n 为自然数，试说明整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．【答案】解：()()2121n n n n +--＝222223n n n n n +-+= 因为3n 能被3整除，所以整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．类型三、多项式与多项式相乘3、计算：（1）(32)(45)a b a b +-；（2）2(1)(1)(1)x x x -++；（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-；（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-．【答案与解析】解：（1）(32)(45)a b a b +-221215810a ab ab b =-+-2212710a ab b =--．（2）2(1)(1)(1)x x x -++22(1)(1)x x x x =+--+41x =-．（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-2222(2)(2)a ab b a ab b =---+-222222a ab b a ab b =----+2ab =-．（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+- 322(5105)(2715)x x x x x =++---32251052715x x x x x =++-++32581215x x x =+++．【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项．4、（2016春•长春校级期末）若（x +a ）（x +2）=x 2﹣5x +b ，则a +b 的值是多少？【思路点拨】根据多项式与多项式相乘的法则把等式的左边展开，根据题意列出算式，求出a 、b 的值，计算即可．【答案与解析】解：（x +a ）（x +2）=x 2+（a +2）x +2a ，则a +2=﹣5，2a=b ，解得，a=﹣7，b=﹣14，则a +b=﹣21．【总结升华】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 举一反三：【变式】求出使(32)(34)9(2)(3)x x x x +->-+成立的非负整数解．【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解．解：22912689(6)x x x x x -+->+-， 229689954x x x x -->+-，229699854x x x x --->-，1546x ->-，4615x <． ∴ x 取非负整数为0，1，2，3．。
整式的乘法基础知识讲解
整式的乘法基础知识讲解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】整式的乘法（基础）【学习目标】1.会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2.掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算. 【要点梳理】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()++=++.m a b c ma mb mc要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.【典型例题】类型一、单项式与单项式相乘1、计算：（1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭； （2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭； （3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-． 【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把x y -与y x -分别看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算．【答案与解析】解：（1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭442a b c =-．（2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭413n n x y z ++=-．（3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-3352()m n x y =--．【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉．举一反三：【变式】（2014?甘肃模拟）计算：2m 2（﹣2mn ）（﹣m 2n 3）． 【答案】解：2m 2（﹣2mn ）（﹣m 2n 3）=[2×（﹣2）×（﹣）]（m 2×mn×m 2n 3）=2m 5n 4． 类型二、单项式与多项式相乘2、计算：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭；（3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；【答案与解析】解：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭232221233a b a b ab =-+-．（2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭23432296x y xy x y =-+．（3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222334253a ab b a b ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭42332444235a b a b a b =--+． 【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和． 举一反三：【变式1】224312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭． 【答案】解：原式2224232211222m n m n m n +⨯⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭ 26262262171221244m n m n m n m n m n =-+=-． 【变式2】若n 为自然数，试说明整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．【答案】解：()()2121n n n n +--＝222223n n n n n +-+=因为3n 能被3整除，所以整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．类型三、多项式与多项式相乘3、计算：（1）(32)(45)a b a b +-；（2）2(1)(1)(1)x x x -++；（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-；（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-．【答案与解析】解：（1）(32)(45)a b a b +-221215810a ab ab b =-+-2212710a ab b =--．（2）2(1)(1)(1)x x x -++22(1)(1)x x x x =+--+41x =-．（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-2222(2)(2)a ab b a ab b =---+-222222a ab b a ab b =----+2ab =-．（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-32581215x x x =+++．【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项．4、（2014秋?花垣县期末）解方程：（x+7）（x+5）﹣（x+1）（x+5）=42．【思路点拨】先算乘法，再合并同类项，移项，系数化成1即可．【答案与解析】解：（x+7）（x+5）﹣（x+1）（x+5）=42，x 2+12x+35﹣（x 2+6x+5）=42，6x+30=42，6x=12， x=2．【总结升华】本题考查了解一元一次方程，多项式乘以多项式的应用，主要考查学生的计算能力，难度适中．举一反三：【变式】求出使(32)(34)9(2)(3)x x x x +->-+成立的非负整数解．【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解．解：22912689(6)x x x x x -+->+-，229689954x x x x -->+-，229699854x x x x --->-，->-，x154646x<．15∴x取非负整数为0，1，2，3．。
帮你学习整式的乘法
１．法 则 ：把 它们 的 系数 、相 同字母 的幂分 别 北 相 乘 ，对 于只 在 一个 单 项式 里 含 有 的字 母 ，则 京
连 同它 的指 数作 为积 的一 个 因式 ．
胡
怀
２．公式 ： ·ｂｘ￣ｙＰ＝（ａｂ）ｘ— （其 中ａ，６是 已 志
知的有 理数 ，ｍ、ｒｇ、Ｐ是 正整数 ）．
５．形 如 ＋ ＋６）的多 项式 的乘 法 运算 ，可 直接 写 出其 结 果为 ｚ＋（叶
６） ＋曲 ．
例 １ 计算 ３ａ３ｂ ·（－２ａｂ３ｃ２） 解 ：原 式＝（－２ｘ３）·（ａ３·ｎ）·（６ ·ｂ ）·ｃ２．一６ａ４ｂＴｃ￣－． ￣）ｌＪ２ 计 算ａ（ ３）＋ （叶３）一３ａ（ａｚ一 １）
３．运 算 中 的注 意 点 ：
① 因式中单项式的符号包括它前面的符号，多项式 的每一项都包括
它前面的符号；②相乘时不能漏乘，相乘后积的项数与因式中多项式的项
数相 同．
ｏ—～
４．结果 是一 个 多项 式 ； ５．混 合运 算 时 ，要 注 意 运算 顺 序 ，运 算 过 程 中如 有 同类 项 ，要 合 并 同 类 项 ． 三 、多项式 乘 多项式 １．法 则 ：多项 式与 多项 式 相乘 ，先 用 一个 多项 式 的每 一项 乘 另一 个 多 项式 的每 一项 ，再把 所 得 的积 相 加 ； ２．公式 ：（口＋６）（ｃ＋ｄ）＝ａｃ＋ａｄ＋ｂｃ＋ｂｄ； ３．运算 中的注 意点 ： ①多项式与多项式相乘时，不能漏乘 ，也不能重复相乘 ； ② 多项 式 的每一 项都包 括 它 前面 的符 号 ，计 算 时要检 查 积 中 的各 项 符 号是 否正确 ； ③相乘后，积的项数等于两个多项式的项数 的积 ； ④最后结果如有 同类项，则应合并 同类项． ４．结 果是 一个 多项 式 ；
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●方法点拨
［例1］计算
(1)(-3.5x2y2)·(0.6xy4z)
(2)(-ab3)2·(-a2b)
点拨：先确定运算顺序，再利用单项式乘单项式的法则进行计算.(1)直接作乘法即可，（2）先作乘方运算，再作乘法运算.
解：(1)(-3.5x2y2)·(0.6xy4z)
（系数相乘）（相同字母相乘）（不同字母相乘）（在x2·x中，x的指数是1，不要漏掉）
=-2.1x3y6z
(2)(-ab3)2·(-a2b)
=a2b6·(-a2b)——先算乘方
=-(a2·a2)(b6·b)——再算乘法
=-a4b7
［例2］计算
(1)a m(a m-a3+9)
(2)(4x3)2·［x3-x·(2x2-1)］
点拨：先确定运算顺序，再运用相应的公式进行计算.(2)中用到了幂的乘方，单乘多及去括号几种运算公式及方法，要一步步进行.
解：
［例3］计算
(1)(2a+3b)(3a+2b) (2)(3m-n)2
点拨：这两题都需运用多项式相乘的法则进行计算，能合并同类项的要将结果化到最简的形式.注意第（2）题要化为多乘多的形式.
解：
(2)(3m-n)2注意乘方的意义
=(3m-n)(3m-n)
=3m·3m-3m·n-n·3m+n·n
=9m 2-3mn -3mn +n 2
=9m 2-6mn +n 2
［例4］（1）(-3
1xy 2)2·［xy (2x -y )+xy 2］ (2)(-3x )2-2(x -5)(x -2)
点拨：对于混合运算，一定要注意运算顺序，尤其是乘方运算，每次运算后的结果要打上括号才能进行下一步运算.
解：(1)(-
31xy 2)2·［xy (2x -y )+xy 2］ =9
1x 2y 4·［2x 2y -xy 2+xy 2］ =9
1x 2y 4·(2x 2y ) =9
2x 4y 5 (2)(-3x )2-2(x -5)(x -2)
=9x 2-2(x 2-2x -5x +10)
=9x 2-2(x 2-7x +10)
=9x 2-2x 2+14x -20
=7x 2+14x -20
说明：一般来说，为了简化运算，能合并同类项的可先合并同类项，减少项数，再进行下一步的运算.
［例5］解下列方程
8x 2-(2x -3)(4x +2)=14
点拨：利用多乘多法则将方程左边部分化简，再运用解方程的方法求出x .
解：8x 2-(2x -3)(4x +2)=14
8x 2-(8x 2+4x -12x -6)=14
8x 2-(8x 2-8x -6)=14
8x 2-8x 2+8x +6=14
8x =8
x =1
［例6］长方形的一边长3m +2n ,另一边比它大m -n ,求长方形的面积.
点拨：先分别求出长和宽，再根据“长方形的面积=长×宽”求出面积.列式的时候，表示每条边的多项式都要用括号括起来.
解：长方形的宽：3m +2n
长方形的长=(3m +2n )+(m -n )=4m +n
长方形的面积：(3m +2n )·(4m +n )
=3m ·4m +3m ·n +2n ·4m +2n ·n
=12m 2+3mn +8mn +2n 2
=12m 2+11mn +2n 2
答：长方形的面积是12m 2+11mn +2n 2.。