02-社会网络分析与算法研究

对于任何图G，节点数N、边数M和分支数ω满足
M ≥ N −w
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在有向图中，图的连通性被分为三种：弱连通、单连通和强连通。 有向图的底图：将有向图的所有边去除方向性所得到的无向图 弱连通有向图：底图是连通图的有向图
单连通有向图：在一个有向图中，任意两个节点vi、vj，若只存在vi到 vj或者vj到vi路径 强连通有向图：若vi、vj之间存在可互达的路径 从节点vi到vj的距离：从vi到vj的路径中需要经历的最少边数 从节点vi到vj的最短路径：对应的路径 图G的直径：所有节点对的距离中的最大的距离
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社会网络的静态特征：节点的度
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社会网络的静态特征：网络的平均度
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社会网络的静态特征：网络的平均度
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社会网络的静态特征：网络的平均度
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社会网络的静态特征：网络的平均度
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社会网络的静态特征：度分布
度分布函数p(k): 为网络中度为k的节点在整个网络中所占的比率，也 就是，在网络中随机抽取到度为k的节点的概率。

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v ∈ V， e∈ E 假设图G=（V，E）是一个简单图，

。
割点：若去除节点v，使原来连通的图变成不连通或分支数有增 加，即ω（G－v）＞ω（G）
割边（桥）：若去除边e（但不去除端点）后，使图G变为不连 通或使得ω（G－e）＞ω（G）

块：不含割点的连通图（连通分支） 图G的块：图G的不含割点的最大连通分支
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社会网络的静态特征：节点的聚类系数
在无向简单图中，设节点v的邻集为N(v), |N(v)|=ki，则节点v的聚类系 数定义为这ki 个节点之间存在边数Ei 与总的可能边数ki (ki -1)/2之比， 反映节点v的邻点间关系的密切程度，即：
Ci =

2 Ei ki (ki − 1)
对于有向网络来说，这ki 个节点间可能存在的最大边数为ki (ki -1)， 的 则此时节点v的聚类系数为： E
N N 2 L= dij ∑ ∑ N ( N − 1) i = 1 j = i +1

研究发现：尽管许多实际复杂网络的节点数巨大，网络的平均 路径长度却小的惊人。（小世界效应） 在人际关系网络中，L代表了两个人最短关系链中朋友的平均个 数。
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米尔格拉姆“六度分隔”实验的论文中公布 的成功将信送达目标人物的路线长度分布图


概率论分析
１７世纪起源于法国贵族之间的赌博风波，最早开始研究并发展成一门 系统性理论的是数学家帕斯卡和费马。 １８世纪是概率论日益成熟的一个时期，代表性数学家有贝努利（Ｂｅ ｒｎｏｕｌｌｉ）． １９世纪是大发展时期，标志是数学家拉普拉斯（Ｌaplace）的著作


《Theorie analytique des Probabilities》。
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社会网络的静态特征：度分布
度(degree)：节点 i 的度 ki 定义为与该节点连接的其他节点的数目。

直观上看，一个节点的度越大就意味着这个节点在某种意义上越“重 要” 。
无向无权图的邻接矩阵A 与节点i的度ki 的函数关系：邻接矩阵二次 (2) (2) 幂 A2 的对角元素 aii 就是节点i的邻边数，即： ki = aii 实际上，邻接矩阵A 的第i行或者第j列元素之和也是度。
A = {aij }
N ×N

可以定义为
1, (vi , v j ) ∈ E aij = 0, (vi , v j ) ∉ E
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对于一个N阶简单无向图G，其邻接矩阵具有以下性质：
① A 是一个主对角线上的元素皆为0，其余元素为0或1的对角矩 阵，且A的任何一行（列）的元素之和都等于其相应节点的度。

D = max dij
1≤i , j ≤ N

平均路径长度L ：定义为所有节点对之间距离的平均值。它描述了 网络中节点间的平均分离程度，即网络有多小。也称为网络的特 征路径长度。 N N
1 L = 2 ∑∑ dij N = i 1= j 1
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对于无向简单图来说，dij = dji 且 dii=0 则 平均路径长度的公 式为：
2 C A = {cij }N ×N ，则矩阵C的主对角线上的元素为 ②若记 =
= cii
= j 1
= a = a ∑ = a ∑a ∑
ij
N
N 2 ij ji ij = j 1= j 1
N
ki
可见对角线元素 cii 恰好为相应节点 vi 的度 ki 。 k ③ 对于任意非负整数k， A 中的第i行第j列元素表示图G中连接节 点 vi 和 v j 的长度为k的路径的数目。
T
cij = ∑ ail a jl
l =1
N
表示图G中的某种节点个数，这种节点的邻边中有两条邻边分别 以 vi 和 v j 为起点。 ③若记 表示图G中的某种节点个 N × N ，则 l =1 数，这种节点的邻边中有两条邻边分别以 vi 和 v j 为终点。
AT A = F =
{ fij }
fij = ∑ ali alj
i
10 10
2.连通性
连通图：图G中任意每对vi、vj节点之间都有至少一条路径存在。

图G的一个连通分支：若G中的任意两个节点属于且仅属于节点子 集Vi时才连通，则称图G中由Vi及其连边组成的子图Gi.
Ω ω ω
非连通图：图G中至少有一对节点之间不存在路径。
常被用于表示图G的分支数 =1的图称为连通图 >1的图称为非连通图
N
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一个加权简单图的邻接矩阵 A = {a }
Байду номын сангаасij
N ×N
可以定义为
ωij , (vi , v j ) ∈ E aij = ∞ (vi , v j ) ∉ E 0或,
ω 表示边 e = (v , v ) 上的权值（即边权），在相似权含 其中， 义下，两节点无连接，权值为0；而在相异权含义下，两节 点无连接，权值取∞，它表示一个计算机允许的、大于所有 边上权值的数。
微软MSN 全球活跃用户相隔距离分布图： 1000名随机用户，平均距离约为6.6
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平均距离与先宽搜索
先宽搜索（广度优先搜索算法）: 对于较复杂的网络需要系统化的 方法来计算节点间的距离：以某一节点为出发点，优先访问所有与之相邻
的节点。
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平均距离与先宽搜索
算法过程： （1）首先定义你的每个朋友与你的距离为1. （2）其次，找到他们所有的朋友（排除其中已是你朋友的人），并定义他们 与你的距离为2. （3）然后，再找到（2）中所有人的朋友（需排除已经在1和2中出现过的 人），并定义他们与你的距离为3. （4）依次类推，按次序访问，每次访问与刚才被访问过的节点相邻但未曾被 访问过的节点，直到所有相邻的节点均被访问过为止。 广度优先搜索算法可以广泛应用与任何图结构：只需按照分级的方式， 一级一级的搜索，当访问过一级节点后，再根据与该级节点相邻但与之 前节点均无重复的节点建立新的级，以此类推。
社会网络分析与算法研究
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第二章 网络的表示：图论与矩阵论
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1.5.1 图的基本概念
无向图————有向图 加权图————无权图 无权图可以看成每条边的权值均为1的等权图
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邻边：从同一个节点伸向其他不同节点的边 邻点：同一条边的两个端点互称 关联：一条边上的节点和该条边的关系 简单图：不存在重边和自环的图 复图：存在重边或自环的图 完全图：所有节点对（对于有向图是指起点终点对） 之间均有一条边连接的简单图 N阶无向完全图有N（N－1）/2条边 N阶有向完全图有N（N－1）条边
上述讨论的连通性、割点、割边及块的概念均与图中边的方向性 无关。在研究这些性质时，所有的图均看作无向图。
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图的矩阵表示
图的矩阵表示架起了图论与矩阵论之间的桥梁，通过这种表 示方法就能借助于矩阵的理论和分析方法来研究图论中的问题。 1.邻接矩阵

邻接矩阵描述了节点与节点之间的邻接关系，通常会用一个方 阵A 来表示，方阵中的元素用 aij 表示。 邻接矩阵分为有向图邻接矩阵和无向图邻接矩阵。 一个无权简单图的邻接矩阵

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路径、简单路径、基本路径 图G中的第k条路径（链、途径）是指由图中的节点 和边交替出现而构成的有限序列 wk = (v0e1v1e2v2 vn −1en vn ) 路径 wk 的起点：v0 路径 wk 的终点：vn 路径 wk 的内点：其余节点 v (1 ≤ i ≤ n − 1) 路径 wk 长：序列中边的条数 由于简单图中不存在重边，所以简单图中的第k条路 径可以完全由经过的节点序列表示，所以 wk 可简记为 wk = (v0 v1v2 vn −1vn ) 。
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社会网络的静态特征：度分布
对于规则网络来说，由于每个节点具有相同的度，所以其度分布集中 在一个单一尖峰上，是一种Delta 分布。对规则网络的随机化会使这个 尖峰变宽。 对于完全随机网络来说，度分布具有泊松分布的形式。在这一类网络 结构中，每一条边的出现概率是相等的，因此大多数节点的度是基本 相同的，并接近于网络平均度<k>。远离峰值的度分布则按指数形式 急剧下降。
ij ij i j
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2. 关联矩阵 关联矩阵描述了节点与边的关联关系，图G的关联矩阵B 是一个N×M 阶矩阵。

对于无向网络
B = {bij }
N ×M
的定义如下：
ej ∈ E 1, vi ∈ V 与关联 bij = ej ∈ E 0, vi ∈ V 与不关联
无向图的关联矩阵具有以下性质： ①关联矩阵中每列元素之和为2，即G中每条边都有唯一的两 个端点。 ②关联矩阵中第i行中1的个数等于节点 vi 的度 ki 。 集。 ③关联矩阵中第i行中1对应的边组成的集合为节点 vi 的关联 ④关联矩阵中，若两列相同，则它们对应的边为平行边。
Ci =
i
ki (ki − 1)

如果将每个节点的聚类系数对整个网络作平均，则可得网络的平均聚 类系数为：
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对于一个N阶简单有向图G，其邻接矩阵具有以下性质：
①第i行元素之和为节点 vi 的出度kiout（以节点 vi 为起点的邻边 in 数），其第j列元素之和为节点 vi 的入度 ki （以节点 vi 为终点的邻 边数）。
= {cij } ②若记 AAT= C ，其中 A 表示矩阵A的转置矩阵，则 N ×N

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社会网络的静态特征：度分布
很多统计实验表明，大多数现实网络的度分布并不像随机网络那样出 现泊松分布，特别是对于大尺度的网络体系，如WWW、MSN等，都 具有幂指数形式的度分布。
p(k ) ∝
1 kγ
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幂律分布的商业价值：长尾理论
长尾理论是网络时代兴起的一种新理论，由美国人克里斯·安德森提出。长尾理 论认为，由于成本和效率的因素，过去人们只能关注重要的人或重要的事，如果用 正态分布曲线来描绘这些人或事，人们只能关注曲线的“头部”，而需要更多的精 力和成本才能关注到处于曲线“尾部”的大多数人或事实。 而在网络时代，由于关注的成本大大降低，人们有可能以很低的成本关注正态分 布曲线的“尾部”，关注“尾部”产生的总体效益甚至会超过“头部”。即众多小 市场汇聚成可与主流大市场相匹敌的市场能量。安德森认为，网络时代是关注“长 尾”、发挥“长尾”效益的时代。 《长尾理论》：如何在信息化的网络时代低成本、大规模、高质量地满足个性 化需求。这里要强调的是，在商业上电子商务不仅仅是网络零售，B2C（Business To Customer）的商业模式是传统工业经济时代大规模、流水线、标准化、低成本 的运作模式，“长尾理论”告诉我们的是未来真正的商业模式应该是C2B（Custo mer To Business），如何让目标消费者自己主动找到需要的个性化服务和产品才 是数字时代面临的商业挑战。本质上，长尾理论是对复杂网络幂律特点的通俗解释。
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社会网络的静态特征：平均距离
最短路径（Shortest path）: 两个节点之间边数最少的路径。 最短路径的长度称为两点间的距离，用dij 表示。它的倒数1/ dij 称为的节点Vi 与Vj 之间的效率，通常效率用来度量节点间的信息 传递速度。 网络的直径（Diameter）D定义为所有距离dij 中的最大值：