中南民族大学线性代数试卷A
线代期中(A类)试卷及答案 (2)
一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二． 计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
线性代数期末考试试题A及解答
3、此二次型矩阵特征值有负值，，故二次型不正定。--------------------（14分）
六、
1、证明： -------------（3分）
，故 可逆，且 ----（5分）
2、证明：因为 为正交矩阵且 ， ------------（1分）
-------（4分）
，故 -----------------（5分）
六 证明题
1、若 阶矩阵 满足 ，求证 可逆，并求 。
2、设五阶正交矩阵 满足 ，求证：矩阵 的秩 。
线性代数A参考答案及评分标准
一、填空
1、负；46。2、4；2； 与 。
3、 ； 。4、 。
5、 6、 。
7、0； 。8、 ；2； 。
二、计算
1、 --（3分）=
--------------（5分）= ------------------（6分）
得到齐次线性方程组的基础解系
三、 --------（2分）
故 时， ，方程组有解---------（4分）
此时方程组的一般解为： ，得一个特解
导出组的一个基础解系， -----------------（10分）
通解为 （ ， 为任意常数）…（12分）
四、 ，
得到 的特征值 ---------------（4分）
三（12 ）设线性方程组 ，当 为何值时 能与对角形矩阵相似，求参数 的值。
五（14 ）二次型
（1）写出二次型的矩阵 。
（2）用正交变换法将此二次型化为标准形并写出所做的正交变换 以及二次型的标准形。
（3）此二次型是否正定，说明理由。
5．四阶矩阵 的行列式 则 ， ， 的列向量组线性关。
中南大学2021年《线性代数》期末试题及答案
中南大学考试试卷《线性代数》课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷 总分：100分一、填空题（每小题3分，共15分）1、设2()3f x x =-，矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3 4 0 1A ，则)(A f = . 2、设B A ,为n 阶矩阵，如果有n 阶可逆矩阵P ，使 成立，则称A 与B 相似．3、n 元非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充分必要条件是 .4、已知二次型()323121232221321662355,,x x x x x x x x x x x x f -+-++=，则二次型f 对应的矩阵A = .5、设4阶方阵A 满足：0,30,2T A E A AA E <+==(其中E 是单位矩阵)，则A 的伴随矩阵*A 必有一个特征值为 . 二、选择题（每小题3分，共15分）1、已知4阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且A 的行列式A =3，则*A =（ ）.（A ）81. （B ）27. （C ）12. （D ）9. 2、设A 、B 都是n 阶方阵，且A 与B 有相同的特征值，并且A 、B 都有n 个线性无关的特征向量，则（ ）。
（A ）A 与B 相似. （B ）A =B .（C ）B A ≠，但0||=-B A .（D ）A 与B 不一定相似，但||||B A =. 3、设n 阶方阵A 为正定矩阵，下面结论不正确的是（）.（A ）A 可逆. （B ）1-A 也是正定矩阵. （C ）0||>A .（D ）A 的所有元素全为正.4、若n 阶实方阵2A A =，E 为n 阶单位阵，则（ ）.（A ）()()R A R A E n +->. （B ）()()R A R A E n +-<.（C ）()()R A R A E n +-=. （D ）无法比较()()R A R A E n +-与的大小.5、设1234123400110111c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）.（A ）123ααα，，.（B ）124ααα，，.（C ）134ααα，，.（D ）234ααα，，.三（本题满分10分）计算n （2n ≥）阶行列式n xa a a x a D aax=，n D 的主对角线上的元素都为x ，其余位置元素都为a ，且x a ≠.四（本题满分10分）设3阶矩阵,A B 满足关系：1100216,041007A BA A BA A -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭且,求矩阵B . 五（本题满分10分）设方阵A 满足220A A E --=(其中E 是单位矩阵)，求11,(2)A A E --+.六（本题满分12分）已知向量组A ：11412α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，22131α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，31541α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，43670α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，（1）求向量组A 的秩；（2）求向量组A 的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表示.七（本题满分14分）设矩阵11111A ααββ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵000010002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似， （1）求,αβ； （2）求正交矩阵P ,使1P AP B -=.八（本题满分14分）设有线性方程组为23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ （1）证明：若1a ，2a ，3a ，4a 两两不等，则此方程组无解.（2）设13a a k ==，24a a k ==-（0k ≠），且已知1β，2β是该方程组的两个解，其中1(1, 1, 1)T β=-，2(1, 1, 1)T β=-，写出此方程组的通解.参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、-2 08 6⎛⎫ ⎪⎝⎭；2、1P AP B -=；3、()(,)R A R A b n ==；4、513153333-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭；5、43 二、选择题（每小题3分，共15分） BADCC三（本题满分10分，见教材P44习题第5题）解：后面1n -列都加到第1列，得(1)(1)(1)n x n a a a xn axa D x n a ax +-+-=+-xaa x a a a n x a n x c111])1([])1([1-+===-+÷])1([)(0101001])1([1)()()(1223a n x a x ax a x a n x n c a c c a c ca c nn -+-=---+====--+-+-+.四、（本题满分10分，与典型题解P172例6类似）解：111121166()6416327161B A E ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.五、（本题满分10分，见练习册P118第五大题第1小题和典型题解P173例7）解：212022A E A EA A E A E A -----=⇒=⇒=. 22212112()202(2)()(4A E A A E A E A A E A A ------=⇒+=⇒+===）或 34E A-六、（本题满分12分，见教材P89习题3第2题，或典型题解P178例6）解：12131011415601121347000021100000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 12()2,,R A αα=为所求的一个最大线性无关组，且312412,2αααααα=-+=-+.七、（本题满分14分，见典型题解P190例14）解：（1）由,A B 相似知，,A B 有相同的特征值，而B 的特征值为0,1，2，故得A 的特征值为1230,1,2λλλ===，从而有0010E A E A ⎧⋅-=⎪⎨⋅-=⎪⎩，由此解得0α=，β=0.（2）对于10λ=，解()00E A X ⋅-=，得特征向量101-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，单位化得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210211p ；对于21λ=，解()0E A X -=，得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0101p ；对于32λ=，解()20E A X -=，得特征向量为101⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，单位化得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210211p 令()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102101021021,,321p p p P ，则P 为正交阵，且使1P AP B -=. 八、（本题满分14分，见教材P87例3.13） 解：（1）增广矩阵B 的行列式是4阶范德蒙行列式：231112322223143332344411||()11j i i j a a a a a a B a a a a a a a a ≤<≤==-∏ 由于1a ，2a ，3a ，4a 两两不等，知||0B ≠，从而()4R B =，但系数矩阵A 的秩()3R A ≤，故()()R A R B ≠，因此方程组无解.（2）13a a k ==，24a a k ==-（0k ≠）时，方程组变为23123231232312323123x kx k x k x kx k x kx kx k x k x kx k x k⎧++=⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-+=-⎩ 即 2312323123x kx k x k x kx k x k ⎧++=⎨-+=-⎩ 因为1201kk k=-≠-，故()()2R A R B ==，所以方程组有解，且对应的齐次方程组的基础解系含3-2=1个解向量，又1β，2β是原非齐次方程组的两个解，故21(2, 0, 2)T ξββ=-=-是对应齐次方程组的解；由于0ξ≠，故ξ是它的基础解系。
线性代数期末试卷A试题答案及评分标准(样卷)
则 Q 为正交矩阵，且 Q − 1
A Q = Λ ，其中
⎫ ⎛1 ⎞ ⎬n1 = 2 ⎜ ⎟ ……………8 分 =⎜ 1 ⎭ ⎟ ⎜ ⎟ n = 1 − 2 } 2 ⎝ ⎠
A
⎛λ1 ⎞ ⎜ ⎟ ~ Λ=⎜ λ2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ λ3⎟ ⎝ ⎠ ��� ��� � 对应
γ1 γ 2 γ3
-3-
5.【解】
………4 分
（3）得同解方程组
即
①
………………6 分
其中 x2 , x4 为自由求知量，令 x 2 = x 4 = 0 ，得该非齐次线性方程组的一个特解
γ0
1 ⎞ ⎛1 = ⎜ , 0, , 0 ⎟ 2 ⎠ ⎝2
T
……………………………………………7 分
又，由①式得导出组的同解方程组为 ⎧ x1 = x2 + x4 ⎨ ⎩ x3 = 2 x4
α3 α3
1 1 ⎞ ⎛ 1 = ⎜− ,− , ⎟ 3 3 3 ⎠ ⎝
T
………4 分
（2）令矩阵 ⎛ 1 ⎜ ⎜ 2 ⎜ ⎜ 0 ) = 3 ⎜ ⎜ ⎜ 1 ⎜ 2 ⎝ − 1 6 2 6 1 6 1 ⎞ ⎟ 3⎟ 1 ⎟ ⎟ − 3⎟ ⎟ 1 ⎟ 3 ⎟ ⎠ −
Q = (γ 1 ,γ 2 ,γ
…………………………6 分
T
X
γ0
η 1 = (1,1,
个基础解系． 解法 2
0 ⎞ ⎛ 1 −1 −1 1 ⎛ 1 −1 0 −1 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ （1） A = ⎜ 1 −1 1 −3 1 ⎟ ⎯⎯ → ⎜ 0 0 1 −2 2 ⎟ ⎜ 1 −1 −2 3 − 1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠
由梯矩阵知
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
线性代数试题(附参考答案)
《 线性代数 》课程试题（附答案）一、 填空。
（3×8=24分）1.设A 为四阶方阵，且3=A ，则=-A 22.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=003020100A ，则=-1A3.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵=*A 4.设CB A ,,为n 阶方阵，若0≠A ，且C AB =，则=B 5.矩阵A 可逆的充要条件为6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关，则向量组32,∂∂ （填“线性相关”或“线性无关”）8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ，且n r A r <=)(，则基础解系中含有 个解向量。
二、 计算行列式的值。
（10分）321103221033210=D三、 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，求1-A 。
（10分）四、 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112A ，求矩阵X ，使E A AX 2+=。
（10分）五、 问K 取什么值时下列向量组线性相关（10分） T k )1,2,(1=α，T k )0,,2(2=α，T )1,1,1(3-=α。
六、 设A ,B 为n 阶矩阵且2B B =，E B A +=，证明A 可逆并求其逆（6分）七、 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=979634121121112A ，求矩阵A 的列向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示。
（15分）八、 求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解。
（15分）《线性代数》课程试题参考答案一、 填空。
（3×8=24分）1.设A 为四阶方阵，且3=A ，则=-A 2482.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=003020100A ，则=-1A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001021031003.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵=*A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 4.设C B A ,,为n 阶方阵，若0≠A ，且C AB =，则=B C A 1- 5.矩阵A 可逆的充要条件为0≠A6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为n A r <)(7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关，则向量组32,∂∂线性无关（填“线性相关”或“线性无关”）8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ，且n r A r <=)(，则基础解系中含有r n -个解向量。
2020-2021(1)《线性代数A》A卷参考答案
3 ,1)T . 2
(3) 当 k 1时 R( A) 1; 当 k 2 时 R( A) 2; 当 k 1且 k 2 时 R( A) 3.
(12 分) (15 分)
P5
x1 3x2 2x3 x4 3
得 分
六、（12
分）求非齐次线性方程组
x1 x1
x2 x2
x4 x3
1 2
五
六
七
八
得分
阅卷人
得
一、 填空题（共 24 分，每小题 3 分）
分
1． n 阶行列式
1
2
n ( n 1)
(1) 2 1n .
n
3 5 2 1
2. 已 知 4 阶 行 列 式 D 1 1 1 3
0 5 1 3 ,D 的 (i, j) 元 的 代 数 余 子 式 记 作 Aij ， 则
2 4 1 3
学院
考 专业 装
生
信
息 姓名
班级
栏 学号 线
订
集 美 大 学 试 卷 纸参考答案与评分标准
2020 — 2021 学年 第 一 学期
课程名称
适用 学院、专业、
年级
线性代数 A
试卷 卷别
考试 方式
A
闭卷 □√ 开卷 □
备注
1.本试卷共 8 页，答题前请检查；2.考试时间 120 分钟。
总分
题号
一
二
三
四
生
信
息 姓名
班级
栏 学号 线
订
1 2 3k
得
五、（15
分）设矩阵
A
1 k
2k 2
3 3
，
分
（1）求行列式 A ；
线性代数试题A答案[大全5篇]
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线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇：线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）⎛1-20 0 -25 -111、1；2、-3；3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪；4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+B-AB+E=E，即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)=B-E．2分-1⑵ 由⑴知，A-E=(B-E)，即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五．（本题满分14分）解：110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以，⑴ 当a≠1时，rA=r(A)=4，此时线性方程组有唯一解．2分⑵ 当a=1，b≠-1时，r(A)=2，rA=3，此时线性方程组无解．2分⑶ 当a=1，b=-1时，rA=r(A)=2，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此，原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六．（本题满分12分）3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ)，2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2，解方程组(A-2E)x=0，由A-2E=-101⎪，得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3，解方程组(A-3E)x=0，由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪，⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）⎛1λ解：f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪．…………2分 4⎪⎭因此，二次型f为正定二次型．⇔矩阵A为正定矩阵．⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0，D2=1λ=4-λ2，…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2)．…………2分 44-12所以，二次型f 为正定二次型．⇔D2=4-λ2>0，且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0，得-2<λ<2 ．由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0，得-2<λ<1 ．因此，得-2<λ<1 ．即，二次型f为正定二次型．⇔-2<λ<1…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标．解：设向量β在基(α1，α2，α3)下的坐标为(x1，x2，x3)，则有x1α1+x2α2+x3α3=β，2分写成线性方程组的形式，有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0，⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1，x2=1，x3=-1，3分，1，-1)．1分因此所求坐标为(1九．（本题满分12分）证法1：记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β)，显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关，知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关，知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 行等价于零矩阵D. 列等价于零矩阵答案：B2. 若矩阵A的秩为r，则矩阵A的齐次线性方程组的解空间的维数为（）A. rB. r-1C. n-rD. n+r答案：C3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. 向量组α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs线性无关B. 向量组kα1，kα2，…，kαs线性无关，其中k为非零常数C. 向量组α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs，αs线性无关D. 向量组kα1，kα2，…，kαs线性相关，其中k为非零常数答案：B4. 设A为n阶方阵，且|A|≠0，则下列命题中正确的是（）A. A与A*的秩相等B. A*与A^(-1)的秩相等C. A与A^(-1)的秩相等D. A与A*的秩不相等答案：C5. 矩阵A=（）A. 行最简形矩阵B. 行阶梯形矩阵C. 行等价于单位矩阵的矩阵D. 行等价于零矩阵的矩阵答案：C6. 设A为3×3矩阵，且|A|=2，则|2A|=（）A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C7. 设A为n阶方阵，且A^2=0，则（）A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案：D8. 设A为n阶方阵，且A^2=E，则（）A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案：C9. 设A为n阶方阵，且A^T=A，则（）A. A为对称矩阵B. A为反对称矩阵C. A为正交矩阵D. A为斜对称矩阵答案：A10. 设A为n阶方阵，且|A|=1，则|A^(-1)|=（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 若A为n阶方阵，且|A|=-3，则|-2A|=______。
答案：1212. 设A为n阶方阵，且A^2=0，则矩阵A的秩r(A)满足______。
《线性代数》期末试卷A答案及评分标准
《线性代数》期末试卷A答案及评分标准A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。
说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【负】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ??= ? ?-??，A 为34?矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】. 4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，????? ??-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001??的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-?? ?- ? ；(B) 210110001?? ? ? ???； (C) 110120001-??- ? ?；110110001??.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B==- ? ?--1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk----------2分整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-????? ??=A ，--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=12201012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -==- ? ? ? ?????，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++??-=-?----------5分解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分） 1．求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来. 解：令()123410311301,,,217242140A αααα?? ?--== ?, 把A 进行行变换，化为行最简形，()123410300110~00010000A C ββββ??== ? ?----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=，故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ??= ? ???共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ，要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量，即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -?? ?-= ? ???，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=??++=+??++=+?λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101 412261423B ?? ?=+ ? ?+??λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101 012320001B λλλ?? ?→--+ ? ?-+??，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ??→-- ? ?，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+??=-?，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -=+-∈ ? ? ?. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为----=442442221A ,122~000,000A -??故二次型f的秩为----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：??=11-211ξ，单位化：?=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：=????? ??=102-，01232ξξ，正交化：[][]==?==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：?===3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。
线代期末考试A卷及答案
2011－2012学年第一学期期末考试《线性代数》试卷 （A ）评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题。
(本大题共10小题，每小题3分,共30分) 1．设1111011x x x xx x++=+，则实数x =A ．1 ；B ．-1；C ．0；D ．4. 2.设A 为n 阶方阵，则kA =A ．A k n； B. A k ； C. A k ； D. nA k )(. 3.设B A ,均为n 阶矩阵，且AB =O ，则下列命题中一定成立的是( ) A. A =O 或B =O ； B. A ,B 都不可逆；C. A +B =O ；D. A ,B 至少有一个不可逆.4.下列矩阵中与矩阵123218001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭同秩的矩阵是 A ．()456； B.123456⎛⎫⎪⎝⎭； C.12111011⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； D.122101402⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 5.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A. A 2必为1； B. A 必为1； C. T A A=-1； D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组.6．设非齐次线性方程组Ax =b 的导出组为Ax =0，则下列结论中正确的是（ ）A.若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解；B.若Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多解；C.若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0仅有零解；D.若Ax =b 有唯一解，则Ax =0仅有零解。
__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………27．已知λ=3是可逆矩阵A 的一个特征值，则1-A 有一特征值是（ ）A.49； B. 94； C. 13； D. 19 .8．设n 维向量α与β满足α,β()=0，则有（ ）A. α,β 全为零向量；B. α,β中至少有一个是零向量；C. α与β的对应分量成比例；D. α与β 正交. 9.设向量组A 与向量组B 等价，则有（ ）A. B A R R <B. B A R R >C. B A R R =D. 不能确定A R 和B R 的大小.10.设齐次线性方程组0AX =的系数矩阵A 为m n ⨯矩阵，()()R A s s n =<，则此方程组基础解系的秩为A ．m s - ； B. s n - ； C. n s - ； D. m n -.二、填空题。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案第一节：选择题1. 下列哪个向量不是矩阵A的特征向量？A. [2, 1, 0]B. [0, 1, 0]C. [1, 1, 1]D. [0, 0, 0]答案：D2. 线性变换T：R^n -> R^m 可逆的充分必要条件是？A. T是一个单射B. T是一个满射C. T是一个双射D. T是一个线性变换答案：C3. 设线性空间V的维数为n，下列哪个陈述是正确的？A. V中的任意n个线性无关的向量都可以作为V的基B. V中的任意n - 1个非零向量都可以扩充为V的基C. V中的任意n个非零向量都可以扩充为V的基D. V中的任意n - 1个非零向量都可以作为V的基答案：A4. 设A和B是n阶方阵，并且AB = 0，则下列哪个陈述是正确的？A. A = 0 或 B = 0B. A = 0 且 B = 0C. A ≠ 0 且 B = 0D. A = 0 且B ≠ 0答案：C第二节：计算题1. 计算矩阵乘法A = [1, 2; 3, 4]B = [5, 6; 7, 8]答案：AB = [19, 22; 43, 50]2. 计算矩阵的逆A = [1, 2; 3, 4]答案：A^(-1) = [-2, 1/2; 3/2, -1/2]3. 计算向量的内积u = [1, 2, 3]v = [4, 5, 6]答案：u ∙ v = 32第三节：证明题证明：对于任意向量x和y，成立下列关系式：(x + y) ∙ (x - y) = x ∙ x - y ∙ y证明：设x = [x1, x2, ..., xn]，y = [y1, y2, ..., yn]。
左边：(x + y) ∙ (x - y) = [x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn] ∙ [x1 - y1, x2 - y2, ..., xn - yn]= (x1 + y1)(x1 - y1) + (x2 + y2)(x2 - y2) + ... + (xn + yn)(xn - yn)= x1^2 - y1^2 + x2^2 - y2^2 + ... + xn^2 - yn^2= (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)= x ∙ x - y ∙ y右边，由向量的内积定义可得：x ∙ x - y ∙ y = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)综上，左边等于右边，证毕。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 向量组α1，α2，α3线性无关的充分必要条件是（）。
A. 齐次方程组Ax=0只有零解B. 齐次方程组Ax=0有非零解C. 齐次方程组Ax=0只有零解，且α1，α2，α3线性相关D. 齐次方程组Ax=0只有零解，且α1，α2，α3线性无关答案：A2. 矩阵A与矩阵B相等的充分必要条件是（）。
A. A与B的行数相同B. A与B的列数相同C. A与B的行数相同，且A与B的列数相同D. A与B的行数相同，且A与B的列数相同，且对应元素相等答案：D3. 设A为n阶矩阵，若A的行列式|A|=0，则A是（）。
A. 可逆矩阵B. 非可逆矩阵C. 正交矩阵D. 反对称矩阵答案：B4. 设A为3阶矩阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ+2)，则A的迹为（）。
A. 0B. 1C. 2D. -3答案：C5. 设A为3阶矩阵，且A的秩为2，则A的零度为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵A的行列式|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|=______。
答案：42. 设矩阵A=\(\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\)，则矩阵A的逆矩阵A^{-1}=______。
答案：\(\begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 1.5 & -0.5\end{bmatrix}\)3. 若向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，则向量α与向量β的夹角的余弦值为______。
答案：\(\frac{1}{3}\)4. 设矩阵A的特征值λ1=2，λ2=3，对应的特征向量分别为α1和α2，则矩阵A+E的特征值λ3=______，对应的特征向量为______。
答案：3，α1；4，α25. 设矩阵A=\(\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\)，则矩阵A的秩为______。
线性代数A及答案
2005学年第2学期线性代数期末考试试卷（ A 卷 ）一. 填空题 (本题共有10个小题, 每小题3分)1. 设305021311121A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则矩阵A 的秩()r A =__________. 2. 设A 为3阶方阵，行列式2A =,则3A =________.3. 设矩阵20003101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与400020002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，则x =_________. 4. 设A 是n 阶方阵且240A A E +-=, 则()1A E --=_________.5.()222,,2332f x y z x y z ayz =+++是正定二次型，则a 的取值范围是______.6. 若向量()1,2,0与(),,0x y 线性无关，则x 与y 的关系应为__________.7. 向量[]1,4,0,2T∂=与[]2,2,1,3Tβ=-的距离和内积分别为_________和___________.8. 设10246311A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则a =___________.9. 设0是矩阵10102010A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值，则a =___________. 10. 在MA TLAB 软件中，det(A ) 表示求__________.二. 选择题（本题共有5个小题, 每个小题都给出代号 (A), (B), (C), (D) 的四个结论, 其中只有一个结论是正确的。
每小题3分。
）1. 设A 是n 阶方阵，则下列4个式子中表明A 是正交矩阵的式子为（ ）(A) 1AA E -=(B) AA E = (C) 1TA A -=(D) 1A =±2. 已知,A B ,C 为n 阶方阵，则下列性质不正确的是（ ）(A) AB BA = (B) ()()AB C A BC =(C)()A B C AC BC +=+(D) ()C A B CA CB +=+3. 已知方程组Ax b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是（ ）(A) 若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解。
线性代数考试练习题带答案大全(二)
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
中南大学线性代数试卷
考试试卷1闭卷考试时间：100分钟一、填空题(本题15分，每小题3分)1、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵，其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量, 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=，则=B 。
2、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3||=A ,则=-*|)(|1A 。
3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2531312311112t t A ，且2)(=A R ，则=t 。
4、若n 阶方阵A 有特征值λ,则E a A a A a A A f k k k 0111)(++++=-- 必有特征值 .5、若二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为22214y y f +=，则=a 。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（ ）。
（A ）A 中两行（列)元素对应成比例； (B)A 中有一行元素全为零； （C)任一行元素为其余行的线性组合； （D ）必有一行元素为其余行的线性组合。
2、设A 是n 阶对称阵,B 是n 阶反对称阵,则下列矩阵中反对称矩阵是( ） (A ）BAB ； （B ）ABA ； （C ）ABAB ； (D ）BABA .3、设向量组()()()，，，，，，，，，TTTt 31321111321===ααα当=t （ )时,向量组321ααα，，线性相关。
（A)5（B)4（C ）3（D ）24、设A 为34⨯矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的3个线性无关的解向量，21,k k 为任意常数，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为（ ）。
（A ）)(212132ηηηη-++k ； (B))(212132ηηηη-+-k ； （C ）)()(213212132ηηηηηη-+-++k k ； （D ）)()(213212132ηηηηηη-+-+-k k 。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设矩阵A的行列式为-2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为（）。
A. -1/2B. 1/2C. 2D. -22. 若向量α=(1, 2, 3)，则向量α的模长为（）。
A. √14B. √13C. 6D. √153. 设A为3×3矩阵，且|A|=0，则下列说法正确的是（）。
A. A可逆B. A不可逆C. A的秩为3D. A的秩为24. 若A是n阶方阵，且A^2=I（单位矩阵），则A的特征值只能是（）。
A. 0B. ±1C. 2D. -25. 设A为3阶方阵，且A的行列式为-1，则A的迹为（）。
A. -1B. 1C. 0D. 3二、填空题（每题4分，共20分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的转置矩阵为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 &4\end{bmatrix}\]。
2. 若向量组α1=(1, 0, 0)，α2=(0, 1, 0)，α3=(0, 0, 1)，则向量组α1，α2，α3是线性__的。
3. 设A为3阶方阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ+2)，则矩阵A的特征值为__。
4. 设A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，B=\[\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\]，则矩阵A与B的乘积AB为\[\begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]。
5. 若矩阵A的特征值为2，3，则矩阵A的迹为__。
三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
2007-12线性代数(A卷考题及答案)_
课程考试(考查)试题卷 (A卷)试卷编号（ 2007 至 2009 学年 第一学期 ）课程名称： 线性代数 考试时间： 110 分钟 课程代码： 7100500 试卷总分： 100 分 考试形式： 闭卷 学生自带普通计算器: 不允许一、填空题（每小题3分，共15分）1、 设A 是三阶方阵，且det(A )=-1,则det(-2A )=_______.2、设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100120001，则A -1=_______ 3、等价的线性无关向量组所含向量的个数_______4、设实对称矩阵11211203132A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是二次型123(,,)f x x x 的矩阵，则二次型123(,,)f x x x 的一般表示式为_______.5、设A 为实对称矩阵，()11,1,3T α=与()23,2,Ta α=分别是属于A 的相异特征值1λ与2λ的特征向量，则a =_______.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列等式中正确的是（ ）A ．()222A B A AB BA B +=+++B ．()TT TAB A B =C ．()()A B A B A B -+=-22D ．()33A A A A -=-22．设12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（ ）A ．ββ12+B ．12ββ- C ．1222ββ+ D ．12325ββ+A ．210λ B ．21λ C ．20λ D ．2λ 4．二次型22221234123412(,,,)542f x x x x x x x x x x =++-+的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．设1ξ，2ξ是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，则以下结论正确的是（ ） A ．1ξ+2ξ是λ对应的特征向量 B ．21ξ是λ对应的特征向量 C ．1ξ，2ξ一定线性相关 D ．1ξ，2ξ一定线性无关三、（8分）(本大题共两小题各4分) 计算行列式：(1)2100121001210012=D (2)1200012000122001D =.四、（6分）101210325A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，求1()E A --五、(12分)（本大题共两小题各6分）（1）设矩阵121231041a A a b ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，求,a b（2）已知矩阵20000101x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵20000001y⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭相似，求 ,.x y六、（10分）。
中南民族大学线性代数试卷A
注意事项：1. 必须在答题纸注明的试题号处答题，否则不予计算答题得分；1. 严禁使用草稿纸,草稿可在答题纸背面书写，试卷不得拆开、撕角；2. 将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借；3. 认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。
A 错误！未找到引用源。
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－2 共 8 页A错6、排列641235的逆序数是 （ ）。
A.9 ；B.8；C.7 ；D.6 。
7、设向量组 23456,,,,a a a a a 线性无关，向量组12345,,,,a a a a a 线性相关，则如下 结论中正确的是 （ ）。
A ．1a 可由2345,,,a a a a 线性表示； B. 2345,,,a a a a 线性相关 ； C ．6a 可由2345,,,a a a a 线性表示； D.5a 可由1234,,,a a a a 线性表示 。
8、已知12111,213⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x 是方程组Ax 0=的一个基础解系，121010,1111⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭z z 是方 程组Bx 0=的一个基础解系，则下列（ ）为方程组 00=⎧⎨=⎩Ax By 的一个基础解系。
A ． 1212,,,ξξζζ ； B.11221212,,,ξξξξζζζζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；C.121200,,,00ξξζζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ； D.1212,ξξζζ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
9、(,)x y 取值 （ ） 时，向量组 (1,1,,6)x a =-，(0,1,0,0)b =，(0,2,1,4)=g ， (4,0,4,)=-y d 为行向量空间4R 的一组基 。
A ．(1,8)- ； B. (0,24)-； C. (3,24)； D. (1,8) 。
10、矩阵111333133312333-⎛⎫ ⎪ =⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A 不是 （ ） 。
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3. 认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。
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A
错
6、排列641235的逆序数是 （ ）。
A.9 ；
B.8；
C.7 ；
D.6 。
7、设向量组 23456,,,,a a a a a 线性无关，向量组12345,,,,a a a a a 线性相关，则如下 结论中正确的是 （ ）。
A ．1a 可由2345,,,a a a a 线性表示； B. 2345,,,a a a a 线性相关 ； C ．6a 可由2345,,,a a a a 线性表示； D.5a 可由1234,,,a a a a 线性表示 。
8、已知12111,213⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x 是方程组Ax 0=的一个基础解系，121010,1111⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪== ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
z z 是方 程组Bx 0=的一个基础解系，则下列（ ）为方程组 0
0=⎧⎨=⎩
Ax By 的一个基础解系。
A ． 1212,,,ξξζζ ； B.11221212,,,ξξξξζζζζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；
C.121200,,,00ξξζζ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ； D.1212,ξξζζ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
9、(,)x y 取值 （ ） 时，向量组 (1,1,,6)x a =-，(0,1,0,0)b =，(0,2,1,4)=g ， (4,0,4,)=-y d 为行向量空间4R 的一组基 。
A ．(1,8)- ； B. (0,24)-； C. (3,24)； D. (1,8) 。
10、
矩阵1113331
333123
3
3-⎛⎫ ⎪ =
⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
A 不是 （ ） 。
A ．可逆矩阵 ； B.正定矩阵 ； C.正交矩阵 ； D.实对称矩阵 。
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12、用配方法化二次型
222(,,)44433f x y z x xy xz yz y z =++-++
为标准形，并给出所用的可逆线性变换
13、求4元齐次线性方程组的一个基础解系 1245124512453242033902570
x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪
--+=⎨⎪+--=⎩
注意事项：
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1. 严禁使用草稿纸,草稿可在答题纸背面书写，试卷不得拆开、撕角；
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A 错
16、已知实对称矩阵141411114A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，计算的全部特征值，并求最大特征值相应
的一个特征向量。
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A 19、设矩阵A 满足 250A A E ++=，试证明矩阵A 3E +可逆， 并求出其逆1(A 3E )-+。
20、已知实对称矩阵A 满足2A 7A 6E 0-+=，试证明A 是正定的。
第1页。