无向图的连接链表并求每个顶点的度
四简答
1.假定用一维数组a[6]顺序存储一个循环队列,用front和rear分别表示队首指针(指向队列头元素)和队尾指针(指向队尾元素的下一位置),当前队列中已有5个元素:23,45,67,80,34,其中23为队首元素,front的值为3,请画出对应的存储和首尾指针状态,当连续做3次出队操作后,再让元素15,36依次进队,请再次画出对应的存储和首尾指针状态。
3.按表头表尾法,画出广义表
LS =((x,y,(a,b)),(z,(x,y,(a,b))))的链式存储结构,并写出该表的表头和表尾。
或
head(LS)=(x,y,(a,b))
tail(LS)=((z,(x,y,(a,b))))
4.下图所示广义表的存储结构同上题,写出对应的广义表。
LS = (((a, b, ( )), ( )), (a, (b)), ( )
答:
T B A C S
00 0110110111
12、假定用于通信的电文仅由a,b,c,d 4个数据元素,各字母在电文中出现的频率分别为7,5,2,4,试为这4个字母设计不等长的哈夫曼编码。(要求画出哈夫曼树,给出编码,并求出带权路径长度)(6分哈夫曼树2分,编码2分,路径长度2分)
a:0 b:10 c:110 d:111 或 a:1 b:01 c:001 d:000
哈夫曼编码:
a:0010 b:10 c:00000 d:0001 e:01 f:00001 g:11
树:略。
7.写出下图所示森林的先序、中序序列。将该森林转换为相应的二叉树。
先序序列:1、2、3、4、5、6、8、7、9、10、11、12、13、15、14
中序序列:3、4、8、6、7、5、2、1、10、9、11、15、13、14、12
邻接表普里姆算法时间复杂度
邻接表普里姆算法时间复杂度邻接表普里姆算法是一种用于解决最小生成树问题的算法。
在该算法中,我们需要给定一个带权无向图,然后找出一个包含所有顶点且边权值之和最小的树。
它的时间复杂度是多少呢?让我们来探讨一下。
邻接表是一种常用的图的表示方法。
在邻接表中,每个顶点都对应一个链表,链表中存储了与该顶点相邻的顶点的信息。
而普里姆算法就是利用邻接表来实现的。
普里姆算法的基本思想是从一个顶点开始,逐步选择与当前树连接的具有最小权值的边的顶点,直到所有的顶点都被加入到树中。
具体步骤如下:1. 初始化一个空的树和一个空的边集合。
2. 随机选择一个顶点作为起始顶点,并将其加入到树中。
3. 将与起始顶点相邻的边加入到边集合中。
4. 从边集合中选择权值最小的边,并将其连接的顶点加入到树中。
5. 将该边从边集合中移除。
6. 重复步骤4和步骤5,直到所有的顶点都被加入到树中。
那么,这个算法的时间复杂度是多少呢?让我们来分析一下。
初始化树和边集合的时间复杂度是O(1)。
然后,在每一次选择最小权值边的过程中,我们需要遍历整个边集合,找到权值最小的边。
对于一个包含V个顶点的图,边集合中最多有V-1条边,因为最小生成树是一个包含V-1条边的树。
所以,遍历边集合的时间复杂度是O(V-1)。
接下来,将连接的顶点加入到树中的操作需要遍历邻接表中的链表,找到与当前顶点相邻的顶点。
对于一个包含V个顶点的图,邻接表中最多有V个链表,每个链表中最多有V-1个顶点。
所以,遍历邻接表的时间复杂度是O(V^2)。
重复步骤4和步骤5,直到所有的顶点都被加入到树中。
由于每次选择最小权值边时,边集合中的边都会减少一条,所以重复的次数最多为V-1次。
因此,重复步骤4和步骤5的时间复杂度是O(V-1)。
邻接表普里姆算法的时间复杂度可以表示为:O(1) + O(V-1) + O(V^2) + O(V-1)其中,O(1)表示初始化的时间复杂度,O(V-1)表示选择最小权值边的时间复杂度,O(V^2)表示遍历邻接表的时间复杂度,O(V-1)表示重复步骤4和步骤5的时间复杂度。
无向图顶点的度数
无向图顶点的度数图论是计算机科学中的一个重要分支,它是一种用来进行可视化处理的数据结构。
在图论中,无向图是一种重要的抽象,它由节点和边组成,可以用来表示特定的系统或场景。
无向图中的每个节点都有一个属性叫顶点的度数,该度数表明该节点的接近程度。
顶点的度数定义为图中与该顶点相连的边的数量,即该顶点的出度和入度之和。
在无向图中,每个顶点的入度等于它的出度,因此顶点的度数可以用其出度来表示。
例如,如果一个节点有3条指向它的边,那么它的度数就是3。
顶点的度数是一个重要的概念,因为它可以用来表示在网络中的影响力,即一个顶点与自己连接的顶点越多,它的影响力越大。
因此,在网络分析中,顶点度数也被称为中心性,它可以用来评估网络结构中的节点在整体网络中的重要性。
除了顶点的度数,图论中还有其他概念,比如图的连通性,它表示一个图中任意两个顶点之间是否存在一条路径。
如果图中任意两个顶点之间都存在一条路径,那么该图就是连通的。
此外,图的路径长度也是一个重要的概念,它表示从一个顶点到另一个顶点的最短路径的距离。
无向图的应用非常广泛,它可以用来模拟和分析社会网络、社会组织、信息传播等复杂系统。
例如,借助无向图,可以研究社会网络中的影响力是如何流动的,以及个人是如何影响社会网络的。
此外,无向图还可以用来模拟和分析物理网络,例如电路、物流系统等,以识别其中的优势和不足,从而改进其设计。
总之,无向图是计算机科学中一个重要的抽象,它的应用广泛,可以用来模拟和分析各种复杂的系统。
在无向图中,每个节点都有一个重要的属性顶点的度数,它可以用来衡量节点在整个图中的影响力和重要性。
因此,顶点的度数是图论中一个重要的概念,也是实际应用中的一个经常被用到的概念。
数据结构笔试复习
数据结构笔试复习⼀选择题1.下述哪⼀条是顺序存储结构的优点?()A.存储密度⼤ B.插⼊运算⽅便 C.删除运算⽅便 D.可⽅便地⽤于各种逻辑结构的存储表⽰2.数据结构在计算机内存中的表⽰是指( )。
A. 数据的物理结构B. 数据结构C. 数据的逻辑结构D. 数据元素之间的关系3.下⾯关于线性表的叙述中,错误的是哪⼀个?()A.线性表采⽤顺序存储,必须占⽤⼀⽚连续的存储单元。
B.线性表采⽤顺序存储,便于进⾏插⼊和删除操作。
C.线性表采⽤链接存储,不必占⽤⼀⽚连续的存储单元。
D.线性表采⽤链接存储,便于插⼊和删除操作。
4.若线性表最常⽤的操作是存取第i个元素及其前驱的值,则采⽤( )存储⽅式节省时间。
A. 单链表B. 双向链表C. 循环链表D. 顺序表5.线性表是具有n 个()的有限序列(n>0)。
A.表元素 B.字符 C.数据元素 D.数据项 E.信息项6.若某线性表最常⽤的操作是存取任⼀指定序号的元素和在最后进⾏插⼊和删除运算,则利⽤()存储⽅式最节省时间。
A.顺序表 B.双链表 C.带头结点的双循环链表 D.单循环链表7.某线性表中最常⽤的操作是在最后⼀个元素之后插⼊⼀个元素和删除第⼀个元素,则采⽤()存储⽅式最节省运算时间。
A.单链表 B.仅有头指针的单循环链表 C.双链表 D.仅有尾指针的单循环链表8.设⼀个链表最常⽤的操作是在末尾插⼊结点和删除尾结点,则选⽤( )最节省时间。
A. 单链表B.单循环链表C. 带尾指针的单循环链表D.带头结点的双循环链表9.若某表最常⽤的操作是在最后⼀个结点之后插⼊⼀个结点或删除最后⼀个结点。
则采⽤()存储⽅式最节省运算时间。
A.单链表 B.双链表 C.单循环链表 D.带头结点的双循环链表10. 链表不具有的特点是()A.插⼊、删除不需要移动元素 B.可随机访问任⼀元素C.不必事先估计存储空间 D.所需空间与线性长度成正⽐11、3个结点可构成_____棵不同形态的⼆叉树。
图的连通度问题
图的连通度问题研究1.图的连通度的定义图要么是连通的,要么是不连通的。
但对于任意连通图来说,它们的连通程度也可能是不同的。
为了精确地体现连通的程度,下面将引入两个概念:边连通度和顶点连通度。
设G = (V, E)是一个n阶图。
如果G是完全图K n,那么我们定义它的顶点连通度为κ(K n) = n– 1否则,定义它的顶点连通度为κ(G) = min{|U| : G v-u是非连通的}即最小顶点数,删除这些顶点便是非连通图。
图G的边连通度定义为从图G中删除边而使G非连通的最小边数,用λ(G)表示。
这里的图G=(V, E)代表无向图或有向图,且没有自环和重边。
下面将主要讨论无向图的边连通度,有向图的边连通度和顶点连通图可以以此类推。
2.无向图的边连通度在无向图G中,令顶点v的度数deg(v)表示与顶点v相连的边的数目。
无向图G的最小度δ(G)定义为:δ(G) = min{deg(v) | v属于G}。
考虑有向图G中,v 的入度表示为in-deg(v),v的出度表示为out-deg(v),相应的最小度为:δ(G) = min{in-deg(v), out-deg(v)| v属于G}。
在整篇文章中,图的点数用n表示,边数用m表示。
另u和v表示图G中的一对不相同的点。
定义λ(u, v)表示从图G中删除最少的边,使得u和v之间不存在任何路径。
在有向图G中,λ(u, v)表示从G中删除最少的弧(有向边),使得不存在任何从u到v的有向路径。
注意到,在无向图中,有λ(u, v) =λ(v, u),在有向图中却不符合这个等式。
显然,λ(u, v)就是图中u和v的最小割。
求两点之间的最小割,根据最大流最小割定理,可以用最大流算法求解:令u为网络的源点,v为网络的汇点,每条边的容量为1,u到v的最大流便是u和v之间的最小割。
预流推进算法可以在O(nm)时间复杂度下求出最大流。
另外,每条边的容量都为1,可以用Hoproft算法在)O的时间复杂度下求出单位容量网络的最大流。
数据结构-邻接表
delete [ ] visited; }
8.4 图的遍历(续)
图的生成树
定义:G的所有顶点加上遍历过程中经过的边 所构成的子图称作图G的生成树G’
visited[v]=1;
/*标记第v个顶点已访问*/
/*访问第v个顶点邻接的未被访问过的顶点w,并从w出发递归地按照深度 优先的方式进行遍历*/
w= GetFirstNeighbor (v); /*得到第v个顶点的第一个邻接顶点w*/
while(w!= -1)
{ if(!visited[w]) DepthFirstSearch(w,visited,Visit); //递归调用
void BroadFirstSearch(const int v, int visited[ ], void visit(VT Vertex));
public:
AdjTWGraph(void);
~AdjTWGraph(void);
int NumOfVertices(void)const;
int NumOfEdges(void)const;
(2) 无向图:第i个链表中的表结点数为TD(vi); 能逆求邻有I接向D表(图vi。):。第为i个便链于表求中ID的(v表i) 可结另点外数建为立OD有(v向i),图不的
(3) 容易寻找顶点的邻接 点,但判断两顶点间是 否有边或弧,需搜索两 结点对应的单链表。
(4) 邻接表多用于稀疏 图的存储(e<<n2)
void Visit(VT item))
200721数据结构 作业(高起专、高起本)
比较(
)个元素结点。
A、
B、n
C、
D、
20、设单链表中指针 p 指向结点 m,若要删除 m 之后的结点(若存在),则需修改指针的操作
为(
)。
A、
B、
C、
D、
21、在(
)运算中,使用顺序表比链表好。
A、插入
B、删除
C、根据序号查找
D、根据元素值查找
22、在一个具有 n 个结点的有序单链表中插入一个新结点并保持该表有序的时间复杂度
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C、一个无限序列,可以为空
D、一个无限序列,不可以为空
18、在一个长度为 n 的顺序表中删除第 i 个元素
时,需向前移动(
)个元素。
A、
B、
C、
D、i
19、从一个具有 n 个结点的单链表中查找其值等于 x 的结点时,在查找成功的情况下,需平均
( )个。
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A、15
B、16
C、17
D、47
48、设 n , m 为一棵二叉树上的两个结点,在中序遍历序列中 n 在 m 前的条件是( )。
A、n 在 m 右方
B、n 在 m 左方
C、n 是 m 的祖先
D、求串长
6、二维数组 M 的成员是 6 个字符(每个字符占一个存储单元)组成的串,行下标 i 的
范围从 0 到 8,列下标 j 的范围从 1 到 10,则存放 M 至少需要(
)个字节。
A、90
B、180
NOIP信息学竞赛初赛-图论算法基础-专题十一-1
专题十一:图论算法基础对于图论算法,NOIP初赛不要求会实现算法,但手工操作还是要会的,复赛是要求会代码实现的。
什么是图一个图是一个序偶<V, E>,记为G =<V, E> 。
V 为顶点集, E 为V 中结点之间的边的集合。
自环:一条边的两个端点是相同的。
重边:两个端点之间有两条以上的边,称他们是重边。
简单图:没有自环和重边的图。
无向边:边是双向的。
有向边:单向边,有箭头。
无向图:只有无向边的图。
有向图:只有有向边的图。
混合图:既有无向边又有有向边。
顶点的度:无向图中,一个顶点相连的边数称为该顶点的度;有向图中,从一个顶点出发的边数称为该顶点得出度;到达该顶点的边数称为它的入度。
图论基本定理:著名的握手定理。
无向图中结点度数的总和等于边数的两倍。
有向图中结点入度的和等于出度的和等于边数。
通路:给定图G中结点和边交替出现的一个序列:v0 e1 v1 e2 v2 …ek vk,若每条边ei的两端点是vi-1 和vi ,那么称该序列是从v0到vk的一条通路。
基本通路(路径):没有重复出现的结点的通路。
图的连通性:若一张无向图的任意两个结点之间都存在通路,那么称该图是连通的。
连通分量:图中连通的顶点与边的集合。
权和网:在图的边给出相关的数,成为权。
权可以表示一个顶点到另一个顶点的距离,耗费等。
带权图一般成为网。
最短路径:对于一张不带权的无向图来说,从s到t的最短路径就是所有从s到t的通路中长度最短的那一条(可能不唯一),通路上的边数称为路径的长度。
完全图:任何两个顶点之间都有边(弧)相连称为完全图。
稀疏图、稠密图:边(弧)很少的图称为稀疏图,反之为稠密图。
图的存储:邻接矩阵在邻接矩阵表示中,除了存放顶点本身信息外,还用一个矩阵表示各个顶点之间的关系。
若(i,j)∈E(G)或〈i,j〉∈E(G),则矩阵中第i行第j列元素值为1,否则为0 。
例如, 下面为两个无向图和有向图对应的邻接矩阵。
数据结构学位考3
V1
V2
V3
V4
有向图
V1 V2
V3 V4 V5
无向图
顶点数n和边(弧)的数目e:
无向图:
0e
有向图: e n(n 1) 0
1 n(n 1) 2
完全图:有n(n-1)/2条边的无向图; 有向完全图:有n(n-1)条弧的有向图; 稀疏图、稠密图 子图:G=(V,{E}),G’=(V’,{E’}),若V’ V,且E’ E,则称G’为 G的子图 邻接点:无向图中,(v,v’)∈E,则v,v’互为邻接点; 顶点v的度:与v相关联的边的数目,TD(v) 有向图中,若<v,v’>∈A,则顶点v邻接到顶点v’,而顶点v’邻接 自v 出度:以v为尾的弧的数目,OD(v) 入度:以v为头的弧的数目,ID(v) TD(v)=OD(v)+ID(v)
有向图:如果有一个顶点的入度为0,其余顶点的入 度都为1,则是一棵有向树。
A C F B
J L M
图的存储结构
数组表示法(邻接矩阵): 用两个数组分别存放顶点信息和边 (弧)信息
V1 V2
G1.VEXS[4]=[V1 V2 V3 V4]
G1.arcs=
0 0 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
路径:
回路(环) 简单路径:顶点序列中顶点不重复的路径。
连通图、连通分量、强连通图、强连通分量:
A C F G I L H K D E
B
A
C
B
D
E
F
I J M L M
G
H
K
J
图练习与答案
1. 首先将如下图所示的无向图给出英存储结构的邻接链表表示,然后写出对其分别进行深度,广度优先遍历的结果。
答•深度优先遍历序列:125967384宽度优先遍历序列:123456789注:(1)邻接表不唯一,这里顶点的邻接点按升序排列(2) 在邻接表确泄后,深度优先和宽度优先遍历序列唯一 (3) 这里的遍历,均从顶点1开始 2. 给出图G :画岀G 的邻接表表示图:3. 在什么情况下,Prim 算法与Kruskual 算法生成不同的MST?答.在有相同权值边时生成不同的MST,在这种情况下,用Prim 或Kruska 1也会生成不 同的应用丿 画出G 的深度优先生成树和广度优先生成树。
(1).HST4・已知一个无向图如下图所示,要求分别用Prim和Kruskal算法生成最小树(假设以①为起点,试画出构适过程)。
答.Prim算法构造最小生成树的步骤如24题所示,为节省篇幅,这里仅用Kruskal算法, 构造最小生成树过程如下:(下图也可选(2, 4)代替(3, 4), (5, 6〉代替⑴5))5.G=(V,E)是一个带有权的连通图,则:(1). ifi回答什么是G的最小生成树:(2). G为下图所示,请找出G的所有最小生成树。
答.(1)最小生成树的左义见上而26题(2)最小生成树有两棵。
邙艮于篇幅,下而的生成树只给岀顶点集合和边集合,边以三元组(Vi,Vj,W)形式),其中 W代表权值。
V (G) ={1, 2, 3, 4, 5} E1(G) = {(4, 5, 2), (2, 5, 4), (2, 3, 5), (1, 2,7) }:E2(G)={(4, 5, 2), (2, 4, 4), (2, 3, 5), (b 2、7) }6.请看下边的无向加权图。
(1).写出它的邻接矩阵。
(2).按Prim算法求其最小生成树, 并给出构造最小生成树过程中辅助数组的各分量值。
辅助数组各分量值:7.已知世界六大城市为:(Pe)、纽约(N)、巴黎(Pa).伦敦(L)、东京仃).墨西哥(M), 下表给泄了这六大城市之间的交通里程:世界六大城市交通里程表(单位:百公里)(1) .画岀这六大城市的交通网络图;(2) .画出该图的邻接表表示法;(3) .画岀该图按权值递增的顺序来构造的最小(代价)生成树.8.已知顶点1-6和输入边与权值的序列(如右图所示):每行三个数表示一条边的两个端点和貝权值,共11行。
中科院计算机算法分析与设计_习题1-2_答案
2)证明:除结点v外,只有当结点w满足s[w]=0时才被压入栈中,因此每 个结点至多有一次被压入栈中,搜索不会出现重叠和死循环现象,对于每
template<class T> bool MinMax(T a[], int n, int& Min, int& Max) { if(n<1) return false; Min=Max=0; //初始化 for(int i=1; i<n; i++){ if(a[Min]>a[i]) Min=i; if(a[Max]<a[i]) Max=i; } return true; } 最好,最坏,平均比较次数都是 2*(n-1)
2-连通
割点
4 5
D E
4 5
(1,2,3,4,0,0,0) (1,1,1,4,1,0,0)
{(C,D)};
C
6
F
6
(1,1,1,4,1,6,0)
7
G
7
(1,1,1,4,1,5,5)
(E,A), {(G,E),(F,G), (E,F)} (B,C), (A,B) {(E,A),(B,C),(A,B)}
3.设G是具有n个顶点和m条边的无向图,如果G是连通的,而且满足m = n-1,
证明G是树。 4.假设用一个n×n的数组来描述一个有向图的n×n邻接矩阵,完成下面工作
:
1)编写一个函数以确定顶点的出度,函数的复杂性应为 2)编写一个函数以确定图中边的数目,函数的复杂性应为 3)编写一个函数删除边(i,j),并确定代码的复杂性。 5.实现图的D-搜索算法。要求用ALGEN语言写出算法的伪代码, 或者用一种计算机高级语言写出程序。 ; (n)
408计算机考试考点
408计算机考试考点一、数据结构。
(一)线性表。
1. 顺序存储结构。
- 定义:用一组地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素。
- 特点:- 逻辑上相邻的元素在物理位置上也相邻。
- 可以随机存取表中任一元素,时间复杂度为O(1)。
- 插入和删除操作需要移动大量元素,平均时间复杂度为O(n)。
例如,在顺序表的表头插入一个元素,需要将原表头后的所有元素向后移动一位。
2. 链式存储结构。
- 单链表。
- 定义:通过一组任意的存储单元存储线性表的数据元素,每个节点包含数据域和指针域,指针域指向下一个节点。
- 特点:- 逻辑上相邻的元素在物理位置上不一定相邻。
- 插入和删除操作不需要移动元素,只需要修改指针,时间复杂度为O(1)(如果已知插入或删除位置的前驱节点)。
但是查找一个元素的平均时间复杂度为O(n)。
- 循环链表。
- 定义:是一种首尾相接的单链表,最后一个节点的指针域指向头节点。
- 优点:从表中任一节点出发都能遍历整个链表。
在某些算法中,如约瑟夫环问题的解决,使用循环链表比普通单链表更方便。
- 双向链表。
- 定义:每个节点有两个指针域,一个指向前驱节点,一个指向后继节点。
- 特点:在双向链表中,查找前驱节点的时间复杂度为O(1),而在单链表中查找前驱节点需要从表头开始遍历,时间复杂度为O(n)。
这使得双向链表在某些需要频繁操作前驱节点的算法中更具优势,例如在对线性表进行删除操作时,如果知道要删除的节点,在双向链表中可以直接修改其前驱和后继节点的指针,而不需要像单链表那样先找到前驱节点。
(二)栈和队列。
1. 栈。
- 定义:是一种只能在一端进行插入和删除操作的线性表,允许插入和删除的一端称为栈顶,另一端称为栈底。
- 操作特性:后进先出(LIFO)。
例如,在函数调用时,系统会使用栈来保存函数的调用信息,当函数返回时,按照后进先出的顺序恢复调用现场。
- 存储结构:- 顺序栈:用顺序存储结构实现的栈。
其栈顶指针top指向栈顶元素的下一个位置(初始时top = 0),入栈操作时先将元素放入top指向的位置,然后top加1;出栈操作时先将top减1,然后取出top指向的元素。
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题图论是数学的一个分支,研究的是图的性质和图的应用。
在图论中,图的着色与染色问题是一个经典且重要的研究课题。
图的着色问题是指如何用有限的颜色对图的顶点或边进行染色,使得相邻的顶点或边具有不同的颜色。
本文将介绍图的着色与染色问题的基本概念和应用。
一、图的基本概念1. 无向图和有向图无向图由一些顶点和连接这些顶点的边组成,边没有方向性。
而有向图中,边是有方向性的,连接两个顶点的边有始点和终点之分。
2. 邻接矩阵和邻接表邻接矩阵是一种表示图的方法,用一个矩阵表示图中各个顶点之间的连接关系。
邻接表是另一种表示图的方法,用链表的形式表示图中各个顶点之间的连接关系。
二、图的着色问题图的着色问题是指如何用有限的颜色对图的顶点或边进行染色,使得相邻的顶点或边具有不同的颜色。
图的着色问题有以下两种情况:1. 顶点着色对于无向图或有向图的顶点,通过对每个顶点进行染色,使得图中任何相邻的顶点具有不同的颜色。
这里的相邻顶点指的是通过一条边相连的顶点。
2. 边着色对于无向图或有向图的边,通过对每条边进行染色,使得图中任何相邻的边具有不同的颜色。
这里的相邻边指的是有共同始点或终点的边。
三、图的染色算法对于图的着色问题,有不同的染色算法可以解决。
在这里我们介绍两种常用的染色算法:贪心算法和回溯算法。
1. 贪心算法贪心算法是一种基于局部最优策略的算法。
对于图的顶点着色问题,贪心算法的策略是从一个未染色的顶点开始,将其染上一个可用的颜色,并将该颜色标记为已占用,然后继续处理下一个未染色的顶点。
如果当前顶点没有可用的颜色可染,则需要增加一个新的颜色。
2. 回溯算法回溯算法是一种穷举所有可能性的算法。
对于图的着色问题,回溯算法的策略是从一个未染色的顶点开始,尝试不同的颜色进行染色,如果发现染色后与相邻顶点冲突,就回溯到上一个顶点重新尝试其他颜色,直到所有顶点都被染色。
四、图的着色问题的应用图的着色问题在实际中有广泛的应用。
顶点的度PPT课件
THANKS
感谢观看
域有广泛应用。
03
有向图中顶点的度分析
有向图连通性判断
连通性定义
在有向图中,若从顶点u到顶点v 存在一条路径,则称u和v是连通
的。
连通分量
有向图中的极大连通子图称为有向 图的连通分量。
判断方法
通过深度优先搜索或广度优先搜索 遍历所有顶点,若能够访问到所有 顶点,则说明有向图是连通的,否 则不连通。
强连通分量求解方法
强连通分量定义
在有向图中,若任意两个顶点都相互可达,则称该有向图为强连通图。有向图的极大强连 通子图称为强连通分量。
Kosaraju算法
首先对有向图进行深度优先搜索,记录每个顶点的完成时间。然后将原图反向,按照完成 时间的逆序进行第二次深度优先搜索,能够搜索到的顶点集合就是一个强连通分量。
两种表示法的比较
邻接矩阵表示法简单直观,适用于稠密图;邻接表表示法节省空间,适
用于稀疏图。在实际应用中,可以根据问题的特点和需求选择合适的表
示法。
02
无向图中顶点的度分析
无向图连通性判断
连通性定义
在无向图中,若任意两个顶点之间都 存在一条路径,则称该图是连通的。
连通分量
判断方法
利用深度优先搜索(DFS)或广度优先 搜索(BFS)遍历所有顶点,若能访问到 所有顶点,则说明图是连通的。
Tarjan算法
通过深度优先搜索遍历所有顶点,同时维护一个栈和一个低链接数组。在遍历过程中,不 断更新每个顶点的低链接值,若当前顶点的低链接值等于其所在栈中顶点的最小低链接值 ,则说明找到了一个强连通分量。
最小生成树和最短路径算法
最小生成树算法
对于有向图的最小生成树问题,可以采用Kruskal算法或Prim 算法进行求解。Kruskal算法通过不断添加边的方式构建最小 生成树,而Prim算法则是通过不断添加顶点的方式构建最小 生成树。
第五章 图论
例16. 在任何聚会中,与奇数个人握过手的人必定有偶数 个。 证明: 我们用点来表示聚会中的人,若两个人有握手, 则我们用一条边把表示这两个人的点连接起来。与奇数个 人握过手的那个人,在图上表示为他的度为奇数。由握手 定理,则可知这样的点应该有偶数个,所以与奇数个人握 过手的人必定有偶数个。
(2)有向图
证明: 用6个点v1,v2,v3,v4,v5,v6来表示六个 人,互相认识的两个人用实现相连,否则用虚线相连。这 就产生了一个任何两个顶点间必有连线的图,称为完全图。 因此,问题就归结为:在一个具有六个顶点的完全图中, 至少存在一个实线三角形或虚线三角形。 任取一个顶点vi,则vi与其他五点的连线中,至少有三条 是实线或三条是虚线。不妨设为实线,其相应的顶点为vj, vk,vl,这三个顶点形成的三角形,若是实线或虚线三角 形,则问题得解;否则,至少有一条边是实线的,不妨设 为vj vk,那么三角形vjvivk便是实线三角形了。 定理1 握手定理:
5.2.3 图的运算 旧图→新图 定义6 子图:(G1G2)原图的一部分 定义7 并图:(G1∪G2)两个图的综合 定义8 补图: 对于完全图的边集的补 例14 图7-23所示的图G是K5的子图。
例15 求图a)所示的图G1和G2的并图。
习题 1.对哪些n值来说下列图是偶图? a) Kn b) Cn c) Wn d) Qn 2.至少带有一个顶点的W3 的子图有多少个? 3.证明:若G是有v个顶点和e条边的简单偶图,则ev2/4 。
一个重要类型的互联网络是超立方体。对这样的网络来 说,处理器数是2的幂, n=2m。n个处理器标记成P0, P1,…, Pn-1。每个处理器都有到m个其他处理器的双向连 接。处理器Pi与下标的二进制表示与i的二进制表示恰恰相 差1位的处理器相连接。超立方体网络在每个顶点的直接连 接数与保证处理器通信的中间连接数之间取得了平衡。已 经用超立方体网络建造了许多计算机,而且用超立方体网 络设计了许多算法。n立方体图Qn表示带n个处理器的超立 方体网络。图7-22显示8个处理器的超立方体网络。
中国石油大学数据结构试题及答案
数据构造试题一、单项选择题1、在数据构造的讨论中把数据构造从逻辑上分为〔〕A 部构造与外部构造B 静态构造与动态构造C 线性构造与非线性构造D 紧凑构造与非紧凑构造。
2、采用线性链表表示一个向量时,要求占用的存储空间地址〔〕A 必须是连续的B 局部地址必须是连续的C 一定是不连续的D 可连续可不连续3、采用顺序搜索方法查找长度为n的顺序表时,搜索成功的平均搜索长度为〔〕。
A nB n/2C (n-1)/2D (n+1)/24、在一个单链表中,假设q结点是p结点的前驱结点,假设在q与p之间插入结点s,则执行〔〕。
A s→link = p→link;p→link = s;B p→link = s;s→link = q;C p→link = s→link;s→link = p;D q→link = s;s→link = p;5、如果想在4092个数据中只需要选择其中最小的5个,采用〔〕方法最好。
A 起泡排序B 堆排序C 锦标赛排序D 快速排序6、设有两个串t和p,求p在t中首次出现的位置的运算叫做〔〕。
A 求子串B 模式匹配C 串替换D 串连接7、在数组A中,每一个数组元素A[i][j]占用3个存储字,行下标i从1到8,列下标j从1到10。
所有数组元素相继存放于一个连续的存储空间中,则存放该数组至少需要的存储字数是〔〕。
A 80B 100C 240D 2708、将一个递归算法改为对应的非递归算法时,通常需要使用〔〕。
A 栈B 队列C 循环队列D 优先队列9、一个队列的进队列顺序是1, 2, 3, 4,则出队列顺序为〔〕。
10、在循环队列中用数组A[0..m-1]存放队列元素,其队头和队尾指针分别为front和rear,则当前队列中的元素个数是〔〕。
A( front - rear + 1) %m B ( rear - front + 1) %mC (front - rear + m) %mD ( rear - front + m) %m11、一个数组元素a[i]与〔〕的表示等价。
图结构习题答案
第6章 图【例6-1】回答下列问题:(1)具有n 个顶点的连通图至少有多少条边(2)具有n 个顶点的强连通图至少有多少条边这样的图应该是什么形状 (3)具有n 个顶点的有向无环图最多有多少条边 解:(1)具有n 个顶点的连通图至少有n-1条边。
这是一个与生成树相关的问题。
生成树是一个连通图,它具有能够连通图中任何两个顶点的最小边集,任何一个生成树都具有n-1边。
因此,具有n 个顶点的连通图至少有n-1条边。
(2)具有n 个顶点的强连通图至少有n 条边,这样的图是一个由n 个顶点构成的环。
强连通图是相对于有向图而言的。
由于强连通图要求图中任何两个顶点之间能够相互连通,因此每个顶点至少要有一条以该顶点为弧头的弧和一条以该顶点为弧尾的弧,每个顶点的入度和出度至少各为1,即顶点的度至少为2,这样根据图的顶点数、边数以及各项点的度三者之间的关系计算可得:边数=2×n/2=n 。
(3)具有n 个顶点的有向无环图最多有n ×(n —1)/2条边。
这是一个拓扑排序相关的问题。
—个有向无环图至少可以排出一个拓扑序列,不妨设这n 个顶点排成的拓扑序列为v1,v2,v3,…,vn ,那么在这个序列中,每个顶点vi 只可能与排在它后面的顶点之间存在着以vi 为弧尾的弧,最多有n-i 条,因此在整个图中最多有(n-1)+(n-2)+ … +2+1=n ×(n-1)/2条边。
2.图的存储结构常用的存储结构有邻接矩阵和邻接表。
(1)邻接矩阵表示法设G =(V ,E)是有n(n ≥1)个顶点的图。
则G 的邻接矩阵是按如下定义的n 阶方阵:例如,图6-1中G1,G2的邻接矩阵分别表示为A1、A2,矩阵的行列号对应于图6-1中结点的序号。
由邻接矩阵的定义可知,无向图的邻接矩阵必定是对称阵;有向图的邻接矩阵不一定是对称的。
根据邻接矩阵,很容易判定任意两个顶点之间是否有边相连。
求各顶点的度也是非常容易的。
数据结构(树与图部分)练习题
数据结构(树与图部分)练习题数据结构(树与图部分)练习题⼀、填空题1.不考虑顺序的3个结点可构成种不同形态的树,种不同形态的⼆叉树。
2.已知某棵完全⼆叉树的第4层有5个结点,则该完全⼆叉树叶⼦结点的总数为:。
3.已知⼀棵完全⼆叉树的第5层有3个结点,其叶⼦结点数是。
4.⼀棵具有110个结点的完全⼆叉树,若i=54,则结点i的双亲编号是;结点i的左孩⼦结点的编号是,结点i的右孩⼦结点的编号是。
5.⼀棵具有48个结点的完全⼆叉树,若i=20,则结点i的双亲编号是______;结点i的左孩⼦结点编号是______,右孩⼦结点编号是______。
6.在有n个叶⼦结点的Huffman树中,总的结点数是:______。
7.图是⼀种⾮线性数据结构,它由两个集合V(G)和E(G)组成,V(G)是______的⾮空有限集合,E(G)是______的有限集合。
8.遍历图的基本⽅法有优先搜索和优先搜索两种⽅法。
9.图的遍历基本⽅法中是⼀个递归过程。
10.n个顶点的有向图最多有条弧;n个顶点的⽆向图最多有条边。
11.在⼆叉树的⼆叉链表中,判断某指针p所指结点是叶⼦结点的条件是。
12.在⽆向图G的邻接矩阵A中,若A[i,j]等于1,则A[j,i]等于。
⼆、单项选择题1.树型结构的特点是:任意⼀个结点:()A、可以有多个直接前趋B、可以有多个直接后继C、⾄少有1个前趋D、只有⼀个后继2.如下图所⽰的4棵⼆叉树中,()不是完全⼆叉树。
3.深度为5的⼆叉树⾄多有()个结点。
A、16B、32C、31D、104.64个结点的完全⼆叉树的深度为:()。
A、8B、7C、6D、55.将⼀棵有100个结点的完全⼆叉树从根这⼀层开始,每⼀层从左到右依次对结点进⾏编号,根结点编号为1,则编号为49的结点的左孩⼦的编号为:()。
A、98B、99C、50D、486.在⼀个⽆向图中,所有顶点的度之和等于边数的()倍。
A、1/2B、1C、2D、47.设有13个值,⽤它们组成⼀棵Huffman树,则该Huffman树中共有( )个结点。
数据结构考试题
一、单项选择1.数据结构是一门研究非数值计算的程序设计问题中,数据元素的①C、数据信息在计算机中的②A以及一组相关的运算等的课程。
①A.操作对象B.计算方法C.逻辑结构D.数据映象②A.存储结构B.关系C.运算D.算法2.以下数据结构中, D 是线性结构。
A.广义表B.二叉树C.稀疏矩阵D.串3.从逻辑上可以把数据结构分为 C 两大类。
A.动态结构和静态结构B.顺序结构和链式结构C.线性结构和非线性结构D.初等结构和构造型结构4.以下数据结构中, D 是线性结构。
A.广义表B.二叉树C.稀疏矩阵D.串5.以下数据结构中, D 是非线性结构。
A.栈B.二叉树C.队列D.字符串6.数据结构DS(Data Struct)可以被形式地定义为DS=(D,R),其中D是①B的有限集合,R是D上的②D有限集合。
①A.算法B.数据元素C.数据操作D.数据对象②A.操作B.映象C.存储D.关系7.线性表的顺序存储结构是一种① A 的存储结构, 线性表的链式存储结构是一种的② B 存储结构。
A.随机存取B.顺序存取C.索引存取D.散列存取8.线性表的逻辑顺序与存储顺序总是一致的,这种说法__B_。
A. 正确B. 不正确9.下面那一条是顺序存储结构的优点? (A)A . 存储密度大 B. 插入运算方便 C. 删除运算方便D. 可以方便的用于各种逻辑结构的存储表示10.线性表采用链式存储结构时, 要求内存中可用的存储单元的地址.A . 必须是连续的 B. 部分地址必须是连续的 C. 一定不连续D. 连续和不连续都可以11.表长为n的顺序存储的线性表, 当在任何位置上插入和删除一个元素的概率相等时, 插入一个元素所需要移动元素的平均次数为E , 删除一个元素所需要移动元素的平均次数为 AA.(n-1)/2B.nC. n+1D. n-1E. n/2F. (n+1)/2G. (n-2)/212.带头结点的单链表head为空的判定条件是_B___。
判断一个图是否有环无向图有向图讲解
一、无向图:方法1:∙如果存在回路,则必存在一个子图,是一个环路。
环路中所有顶点的度>=2。
∙ n算法:第一步:删除所有度<=1的顶点及相关的边,并将另外与这些边相关的其它顶点的度减一。
第二步:将度数变为1的顶点排入队列,并从该队列中取出一个顶点重复步骤一。
如果最后还有未删除顶点,则存在环,否则没有环。
∙ n算法分析:由于有m条边,n个顶点。
i)如果m>=n,则根据图论知识可直接判断存在环路。
(证明:如果没有环路,则该图必然是k棵树k>=1。
根据树的性质,边的数目m = n-k。
k>=1,所以:m<n)ii)如果m<n 则按照上面的算法每删除一个度为0的顶点操作一次(最多n次),或每删除一个度为1的顶点(同时删一条边)操作一次(最多m次)。
这两种操作的总数不会超过m+n。
由于m<n,所以算法复杂度为O(n)。
∙注:该方法,算法复杂度不止O(V),首先初始时刻统计所有顶点的度的时候,复杂度为(V + E),即使在后来的循环中E>=V,这样算法的复杂度也只能为O(V + E)。
其次,在每次循环时,删除度为1的顶点,那么就必须将与这个顶点相连的点的度减一,并且执行delete node from list[list[node]],这里查找的复杂度为list[list[node]]的长度,只有这样才能保证当degree[i]=1时,list[i]里面只有一个点。
这样最差的复杂度就为O(EV)了。
方法2:DFS搜索图,图中的边只可能是树边或反向边,一旦发现反向边,则表明存在环。
该算法的复杂度为O(V)。
方法3:摘自:/lzrzhao/archive/2008/03/13/2175787.aspx PS:此方法于2011-6-12补充假定:图顶点个数为M,边条数为E遍历一遍,判断图分为几部分(假定为P部分,即图有P 个连通分量)对于每一个连通分量,如果无环则只能是树,即:边数=结点数-1只要有一个满足边数> 结点数-1原图就有环将P个连通分量的不等式相加,就得到:P1:E1=M1-1P2:E2=M2-1...PN:EN>MN-1所有边数(E) > 所有结点数(M) - 连通分量个数(P)即: E + P > M 所以只要判断结果 E + P > M 就表示原图有环,否则无环.实例代码如下:1.#include<iostream>2.#include<malloc.h>ing namespace std;4.#define maxNum 100 //定义邻接举证的最大定点数5.int visited[maxNum];//通过visited数组来标记这个顶点是否被访问过,0表示未被访问,1表示被访问6.int DFS_Count;//连通部件个数,用于测试无向图是否连通,DFS_Count=1表示只有一个连通部件,所以整个无向图是连通的7.int pre[maxNum];8.int post[maxNum];9.int point;//pre和post的值10.11.//图的邻接矩阵表示结构12.typedef struct13.{14.char v[maxNum];//图的顶点信息15.int e[maxNum][maxNum];//图的顶点信息16.int vNum;//顶点个数17.int eNum;//边的个数18.}graph;19.void createGraph(graph *g);//创建图g20.void DFS(graph *g);//深度优先遍历图g21.void dfs(graph *g,int i);//从顶点i开始深度优先遍历与其相邻的点22.void dfs(graph *g,int i)23.{24.//cout<<"顶点"<<g->v[i]<<"已经被访问"<<endl;25. cout<<"顶点"<<i<<"已经被访问"<<endl;26. visited[i]=1;//标记顶点i被访问27. pre[i]=++point;28.for(int j=1;j<=g->vNum;j++)29. {30.if(g->e[i][j]!=0&&visited[j]==0)31. dfs(g,j);32. }33. post[i]=++point;34.}35.36.void DFS(graph *g)37.{38.int i;39.//初始化visited数组,表示一开始所有顶点都未被访问过40.for(i=1;i<=g->vNum;i++)41. {42. visited[i]=0;43. pre[i]=0;44. post[i]=0;45. }46.//初始化pre和post47. point=0;48.//初始化连通部件数为049. DFS_Count=0;50.//深度优先搜索51.for(i=1;i<=g->vNum;i++)52. {53.if(visited[i]==0)//如果这个顶点为被访问过,则从i顶点出发进行深度优先遍历54. {55. DFS_Count++;//统计调用void dfs(graph *g,int i);的次数56. dfs(g,i);57. }58. }59.}60.void createGraph(graph *g)//创建图g61.{62. cout<<"正在创建无向图..."<<endl;63. cout<<"请输入顶点个数vNum:";64. cin>>g->vNum;65. cout<<"请输入边的个数eNum:";66. cin>>g->eNum;67.int i,j;68.//输入顶点信息69.//cout<<"请输入顶点信息:"<<endl;70.//for(i=0;i<g->vNum;i++)71.// cin>>g->v[i];72.//初始画图g73.for(i=1;i<=g->vNum;i++)74.for(j=1;j<=g->vNum;j++)75. g->e[i][j]=0;76.//输入边的情况77. cout<<"请输入边的头和尾"<<endl;78.for(int k=0;k<g->eNum;k++)79. {80. cin>>i>>j;81. g->e[i][j]=1;82. g->e[j][i]=1;//无向图对称83. }84.}85.int main()86.{87. graph *g;88. g=(graph*)malloc(sizeof(graph));89. createGraph(g);//创建图g90. DFS(g);//深度优先遍历91.//连通部件数,用于判断是否连通图92. cout<<"连通部件数量:";93. cout<<DFS_Count<<endl;94.if(DFS_Count==1)95. cout<<"图g是连通图"<<endl;96.else if(DFS_Count>1)97. cout<<"图g不是连通图"<<endl;98.//各顶点的pre和post值99.for(int i=1;i<=g->vNum;i++)100. cout<<"顶点"<<i<<"的pre和post分别为:"<<pre[i]<<" "<<post[i]<<endl;101.//cout<<endl;102.//判断无向图中是否有环103.if(g->eNum+DFS_Count>g->vNum)104. cout<<"图g中存在环"<<endl;105.else106. cout<<"图g中不存在环"<<endl;107.int k;108. cin>>k;109.return 0;110.}111./*112.输入:113.正在创建无向图...114.请输入顶点个数vNum:10115.请输入边的个数eNum:9116.请输入边的头和尾117.1 2118.1 4119.2 5120.2 6121.4 7122.5 9123.6 3124.7 8125.9 10126.*/注意:有向图不能使用此方法。
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无向图的连接链表并求每个顶点的度
#include<stdio.h>
#include<malloc.h>
#define MAX 7
typedef struct Node
{
int abj;
struct Node *next;
}Edgenode;
typedef struct
{
int data;
Edgenode *first;
}Vexnode;
typedef struct
{
int vexnum,arcnum;
Vexnode abj[MAX];
}Graph;
int Locate(Graph G,int v)
{
int i,h;
for(i=0;i<G.vexnum;i++)
{
if(v==G.abj[i].data)
{
h=i;
}
}
return h;
}
void main()
{
Graph G;
int i,j,k,v1,v2,n=0;
Edgenode *s;
printf("请输入顶点个数及边的个数(用,号隔开):\n");
scanf("%d,%d",&G.vexnum,&G.arcnum);
printf("请输入所有顶点的信息(用空格隔开):\n");
for(i=0;i<G.vexnum;i++)
{
scanf("%d",&G.abj[i].data);
G.abj[i].first=NULL;
}
printf("请输入每一条边依附的两个顶点(两个顶点用‘,’隔开):\n");
for(k=0;k<G.arcnum;k++)
{
scanf("%d,%d",&v1,&v2);
i=Locate(G,v1);
j=Locate(G,v2);
s=(Edgenode*)malloc(sizeof(Edgenode));
s->abj=j;
s->next=G.abj[i].first;
G.abj[i].first =s;
s=(Edgenode*)malloc(sizeof(Edgenode));
s->abj=i;
s->next=G.abj[j].first;
G.abj[j].first=s;
}
printf("输出单链表里的内容:\n");
for(i=0;i<G.vexnum;i++)
{
printf("%d",G.abj[i].data);
}
printf("各顶点的度为:");
for(i=0;i<G.vexnum;i++)//输出各个顶点的度
{
n=0;
s=G.abj[i].first;
while(s!=NULL)
{
n++;
s=s->next;
}
printf("顶点%d的度为%d\n",G.abj[i].data,n);
}
}。