集合论习题课答案

5.集合的证明
a)证明 (A∩B)ຫໍສະໝຸດ C=A∩(B∪C) iff C⊆A
证明；充分性 已知C⊆A (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) =A∩(B∪C) (∵ C⊆A ∴ A∪C=A) 必要性 已知(A∩B)∪C=A∩(B∪C) ∀ x∈C ， x∈C ⇒ x∈(A∩B)∪C ⇔ x∈A∩(B∪C) ⇒ x∈A 所以 C⊆A
b)证明 (A-B)-C=(A-C)-B ∀x： x∈(A-B)-C ⇔ x∈(A-B)∧x∉C ⇔(x∈A∧x∉B)∧x∉C ⇔(x∈A∧x∉C)∧x∉B ⇔ x∈(A-C)∧x∉B ⇔ x∈(A-C)-B 所以(A-B)-C=(A-C)-B
c)证明以下各式彼此等价： A∪B=U, ~A⊆B, ~B⊆A A∪B=U ⇔∀x(x∈A∪B ↔x∈U) ⇔∀x(x∈A∪B) (x∈U为T) ⇔∀x(x∈A∨x∈B) ⇔∀x(x∉A→x∈B) ⇔∀x(x∈~A→x∈B) ⇔ ~A⊆B 同理A∪B=U ⇔ ...⇔ ∀x(x∈A∨x∈B) ⇔∀x(x∉B→x∈A) ⇔∀x(x∈~B→x∈A) ⇔ ~B⊆A 所以A∪B=U ⇔ ~A⊆B ⇔ ~B⊆A.
7.笛卡尔积 A={0,1} B={1,2} 求A2×B A2×B={<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1>} ×B ={<<0,0>,1>,<<0,0>,2>,<<0,1>,1>,<<0,1>,2>, <<1,0>,1>,<<1,0>,2>,<<1,1>,1>,<<1,1>,2>} 注意： 注意 A2×B= (A×A)×B≠ A×A×B
c) A⊆B iff ρ(A) ⊆ρ(B) 证明： 必要性：若A⊆B证明ρ(A) ⊆ρ(B) ∀S ：S∈ρ(A ) 即 S⊆A ∵ A⊆B ∴ S⊆B 即 S∈ρ(B) ∴ ρ(A) ⊆ρ(B) 充分性：若ρ(A) ⊆ρ(B)证明A⊆B ∀x ： x∈A 必∃S，S⊆A，使得x∈S ∵ ρ(A) ⊆ρ(B) ∴ 由S⊆A即S∈ρ(A )可得到S∈ρ(B ) 也就是说S⊆B ∴ x∈B ∴ A⊆B 综上所述： A⊆B iff ρ(A) ⊆ρ(B)
集合论习题课
1. 判断下面命题的真值(真的话证明，假的话举反例) T a)如果A∈B，B⊆C ，则 A∈ C b)如果A∈B，B⊆C，则 A⊆C F 举反例A={1} B={{1}} C={{1},2} c)如果A⊆B，B∈C，则 A∈C F 举反例A={1} B={1,2} C={{1,2}} d)如果A⊆B，B∈C，则 A⊆C F 举反例A={1} B={1,2} C={{1,2}} 2.集合计算 a) Φ∩{Φ}= Φ b) {Φ}∩{Φ}= {Φ} c) {Φ,{Φ}} –Φ= {Φ,{Φ}} d) {Φ,{Φ}}-{Φ}= {{Φ}} e) {Φ,{Φ}}-{{Φ}}= {Φ}
3.在什么条件下，下面命题为真？ a) (A-B)∪(A-C)=A (A-B)∪(A-C)= (A∩~B)∪(A∩~C)=A∩(~B∪~C) = A∩~(B∩C)=A-(B∩C)=A 所以满足此式的充要条件是：A∩B∩C= Φ b) (A-B)∪(A-C)=Φ (A-B)∪(A-C)= A-(B∩C)=Φ 所以满足此式的充要条件是：A ⊆ B∩C c) (A-B)∩(A-C)=Φ (A-B)∩(A-C)= (A∩~B)∩(A∩~C)=A∩(~B∩~C) = A∩~(B∪C)=A-(B∪C)=Φ 所以满足此式的充要条件是: A ⊆ B∪C d) (A-B)⊕(A-C)=Φ 因为 当且仅当A=B ，才有A⊕B=Φ 所以满足此式的充要条件是: A-B=A-C
6.幂集 设A,B是集合，证明以下命题成立 a) ρ(A∩B)=ρ(A) ∩ρ(B) ∀S： S∈ρ(A∩B)⇔ S⊆A∩B ⇔ S⊆A∧ S⊆ B ⇔ S∈ρ(A )∧S∈ρ(B ) ⇔ S∈ρ(A )∩ρ(B ) b) ρ(A) ∪ρ(B)⊆ρ(A∪B) ∀S： S∈ ρ(A) ∪ρ(B) ⇔ S∈ρ(A )∨S∈ρ(B ) ⇔ S⊆A∨ S⊆ B ⇒ S⊆A∪B ⇔ S∈ρ(A∪B)
4.集合的基数 A,B是有限集合,已知|A|=3,|ρ(B)|=64,|ρ(A∪B)|=256, 则 |B|=( ), |A∩B|=( ),|A-B|=( ),|A⊕B|=( ) 解： 由|ρ(B)|=64=26，得 |B|=6 由|ρ(A∪B)|=256＝28，得|A∪B|=8 由容斥原理得 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| |A∩B| = |A|+|B|-|A∪B|=3+6-8=1， 所以 |A∩B|＝1 |A-B|=|A|－|A∩B|=3-1=2 |A⊕B|=|A∪B|－|A∩B|=8-1=7