直线与圆的位置关系(解析版)
第49讲 直线与圆的位置关系(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
Δ＜0 d＞r
Δ＝0 d＝r
Δ＞0 d＜r
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2.
12＋（－1）2 选 C.
4、过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1 相切的直线的方程为________________．
【答案】 x＝2 或 4x－3y＋1＝0
【解析】 ①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为 y＝k(x－2)＋3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径 1， 得 k＝4，所以切线方程为 4x－3y＋1＝0；②若切线的斜率不存在，则切线方程为 x＝2，符合题意，所以直
【解析】（2） 由 ax－y＋2－a＝0 得直线 l 恒过点 M(1，2)．又因为点 M(1，2)在圆 C 的内部，当 MC 与 l
垂直时，弦长最短，所以 kMC·kl＝－1，所以2－1×a＝－1，解得 a＝2 . 1－3
（3）由题意，得圆心 C(3，1)，半径 r＝3 且∠ACB＝90°，则圆心 C 到直线 l：ax－y＋2－a＝0 的距离为
3 线方程为 4x－3y＋1＝0 或 x＝2.
5、直线 l：3x－y－6＝0 与圆 x2＋y2－2x－4y＝0 相交于 A，B 两点，则 AB＝________．
【答案】 10
【解析】 由 x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径 r＝ 5，又圆
2.5 直线与圆的位置关系(解析版)
2.5 直线与圆的位置关系【回顾与思考】1.直线与圆的位置关系有_____种:____________, ___________,____________.2.当直线与圆_________________时,叫直线与圆_______;当直线与圆_________________时,叫直线与圆_______;当直线与圆_________________时,叫直线与圆_______.3.已知圆半径为r,圆心到直线距离为d,则直线与圆_____<=>d___r;直线与圆_____<=>d___r;直线与圆_____<=>d___r;4.圆的切线垂直于经过______的半径.5.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的________,圆心叫做三角形的_____,它是三角形三条_________的交点.6.在平面内两个半径不等的圆的位置关系有___种:_______,_______,_______, _______,_______.7.两圆半径为R,r(R>r),圆心距为d,写出两圆在各种位置关系下R,r,d之间的关系.⑴若两圆________,则______________;⑵若两圆________,则______________;⑶若两圆________,则______________;⑷若两圆________,则______________;⑸若两圆________,则______________;一、选择题1.已知⊙O的半径r=3cm,直线和点O的距离为d,如果直线与有公共点,那么 ( )A.d=3cmB.d≤3cmC.d>3cmD.d<3cm2.如图,已知⊙O是以数轴的原点为圆心,半径为1的圆,∠AOB=45°,点P在数轴上运动,若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点,设OP=x,则x的取值范围是( )A.0≤x≤ 2B.－2≤x≤ 2C.－1≤x≤1D.x> 23.圆的半径为5cm,圆心到一条直线的距离是7cm,则直线与圆( )A.有两个交点B.有一个交点C.没有交点D.交点个数不定4.△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,以B为圆心,BC为半径的⊙O与边AC的位置关系是( )A.外离B.相切C.相交D.不能确定5.如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D,E,F,已知∠B=50°,∠C=60°,连结OE,OF,DE,DF,那么∠EDF等于( )A.40°B.55°C.65°D.70°6．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A．CD+DF=4 B．CD﹣DF=2﹣3 C．BC+AB=2+4 D．BC﹣AB=27．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A．B．2﹣2 C．2﹣D．﹣28．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（）A．B．C．D．第6题二、填空题（共4小题）1.已知⊙O的半径r=3cm,直线和点O的距离为d,如果直线与有公共点,那么 ( )A.d=3cmB.d≤3cmC.d>3cmD.d<3cm2圆的半径为5cm,圆心到一条直线的距离是7cm,则直线与圆( )A.有两个交点B.有一个交点C.没有交点D.交点个数不定3.△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,以B为圆心,BC为半径的⊙O与边AC的位置关系是( )A.外离B.相切C.相交D.不能确定4．边长为1的正三角形的内切圆半径为．5．如图，△ABC的内心在x轴上，点B的坐标是（2，0），点C的坐标是（0，﹣2），点A的坐标是（﹣3，b），反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A，则k=．第5题第6题第7题6．一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“实验结果落在D中的某个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率P A=．如图，现在等边△ABC内射入一个点，则该点落在△ABC 内切圆中的概率是．7．如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为．三、解答题（共10小题）1．如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC 为平行四边形．（1）求证：△BOC≌△CDA；（2）若AB=2，求阴影部分的面积．2．如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C 作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=9，BC=6．求PC的长．3．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E是⊙O上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，且OD∥BE，OF∥BN．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）求证：OF=CD．4．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．5．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．（1）证明PA是⊙O的切线；（2）求点B的坐标．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC 于点F，连接AF．（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．7．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）8．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．9．如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．（1）求证：⊙O与CB相切于点E；（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．10．如图，⊙O的直径AB=6，AD、BC是⊙O的两条切线，AD=2，BC=．（1）求OD、OC的长；（2）求证：△DOC∽△OBC；（3）求证：CD是⊙O切线．2016年苏科新版九年级数学上册同步训练：2.5 直线与圆的位置关系参考答案与试题解析一、选择题（共3小题）1．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D 与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A．CD+DF=4 B．CD﹣DF=2﹣3 C．BC+AB=2+4 D．BC﹣AB=2【考点】三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，证明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b ﹣c），所以c=a+b﹣2．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得（舍去），从而求出a，b的值，所以BC+AB=2+4．再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得x=4，从而得到CD﹣DF=，CD+DF=．即可解答．【解答】解：如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，∴OG=DG，∵OG⊥DG，∴∠MGO+∠DGC=90°，∵∠MOG+∠MGO=90°，∴∠MOG=∠DGC，在△OMG和△GCD中，∴△OMG≌△GCD，∴OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．∵AB=CD，∴BC﹣AB=2．设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b﹣c），∴c=a+b﹣2．在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=（a+b﹣2）2，整理得2ab﹣4a﹣4b+4=0，又∵BC﹣AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4=0，解得（舍去），∴，∴BC+AB=2+4．再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得x=4，∴CD﹣DF=，CD+DF=．综上只有选项A错误，故选A．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质．2．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A．B．2﹣2 C．2﹣D．﹣2【考点】三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心．【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．【解答】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2，∴它的内切圆半径为：R=（2+2﹣4）=2﹣2．故选B．【点评】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r=（a+b﹣c）；（a、b为直角边，c为斜边）直角三角形的外接圆半径：R=c．3．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（）A．B．C．D．【考点】三角形的内切圆与内心；正方形的性质；旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，则O即为该圆的圆心，过O作OF⊥AB1，AB=，再根据直角三角形的性质便可求出OF的长，即该四边形内切圆的圆心．【解答】解：作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，则∠OAF=30°，∠AB1O=45°，故B1F=OF=OA，设B1F=x，则AF=﹣x，故（﹣x）2+x2=（2x）2，解得x=或x=（舍去），∴四边形AB1ED的内切圆半径为：．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质三角形的内切圆，正方形的性质，要熟练掌握正方形的性质及直角三角形的性质，是解答此题的关键．二、填空题（共4小题）4．边长为1的正三角形的内切圆半径为．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】根据等边三角形的三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的30°的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可．【解答】解：∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，则∠OBD=30°，BD=，∴tan∠OBD==，∴内切圆半径OD==．故答案为：．【点评】此题主要考查了三角形的内切圆，注意：根据等边三角形的三线合一，可以发现其内切圆的半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个30°的直角三角形．5．如图，△ABC的内心在x轴上，点B的坐标是（2，0），点C的坐标是（0，﹣2），点A的坐标是（﹣3，b），反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A，则k=﹣15．【考点】三角形的内切圆与内心；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】根据内心的性质得OB平分∠ABC，再由点B的坐标是（2，0），点C的坐标是（0，﹣2）得到△OBC 为等腰直角三角形，则∠OBC=45°，所以∠ABC=90°，利用勾股定理有AB2+BC2=AC2，根据两点间的距离公式得到（﹣3﹣2）2+b2+22+22=（﹣3）2+（b+2）2，解得b=5，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k的值．【解答】解：∵△ABC的内心在x轴上，∴OB平分∠ABC，∵点B的坐标是（2，0），点C的坐标是（0，﹣2），∴OB=OC，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，∴∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2，∴（﹣3﹣2）2+b2+22+22=（﹣3）2+（b+2）2，解得b=5，∴A点坐标为（﹣3，5），∴k=﹣3×5=﹣15．故答案为﹣15．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和两点间的距离公式．6．一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“实验结果落在D中的某个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率P A=．如图，现在等边△ABC内射入一个点，则该点落在△ABC 内切圆中的概率是π．【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质；几何概率．【专题】几何图形问题．【分析】利用等边三角形以及其内切圆的性质以及锐角三角函数关系得出DO，DC的长，进而得出△ABC的高，再利用圆以及三角形面积公式求出即可．【解答】解：连接CO，DO，由题意可得：OD⊥BC，∠OCD=30°，设BC=2x，则CD=x，故=tan30°，∴DO=DCtan30°=，=π（）2=，∴S圆O△ABC的高为：2x•sin60°=x，∴S△ABC=×2x×x=x2，∴则该点落在△ABC内切圆中的概率是：=．故答案为：π．【点评】此题主要考查了几何概率以及三角形内切圆的性质以及等边三角形的性质等知识，得出等边三角形与内切圆的关系是解题关键．7．如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为﹣π．【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题．【分析】连接OB，以及⊙O与BC的切点，在构造的直角三角形中，通过解直角三角形易求得⊙O的半径，然后作⊙O与小圆的公切线EF，易知△BEF也是等边三角形，那么小圆的圆心也是等边△BEF的重心；由此可求得小圆的半径，即可得到四个圆的面积，从而由等边三角形的面积减去四个圆的面积和所得的差即为阴影部分的面积．【解答】解：如图，连接OB、OD；设小圆的圆心为P，⊙P与⊙O的切点为G；过G作两圆的公切线EF，交AB于E，交BC于F，则∠BEF=∠BFE=90°﹣30°=60°，所以△BEF是等边三角形．在Rt△OBD中，∠OBD=30°，则OD=BD•tan30°=1×=，OB=2OD=，BG=OB﹣OG=；由于⊙P是等边△BEF的内切圆，所以点P是△BEF的内心，也是重心，故PG=BG=；∴S⊙o=π×（）2=π，S⊙P=π×（）2=π；=S△ABC﹣S⊙O﹣3S⊙P=﹣π﹣π=﹣π．∴S阴影故答案为：﹣π．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、相切两圆的性质以及图形面积的计算方法，难度适中．三、解答题（共10小题）8．如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC 为平行四边形．（1）求证：△BOC≌△CDA；（2）若AB=2，求阴影部分的面积．【考点】三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算．【专题】计算题．【分析】（1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到BH=AH=AB=1，OH=BH=，OB=2OH=，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB进行计算即可．【解答】（1）证明：∵O是△ABC的内心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴AD=CD，∵四边形OADC为平行四边形，∴四边形OADC为菱形，∴BD 垂直平分AC ，∠4=∠5=∠6，而∠1=∠5，∴OA=OC ，∠2=∠3，∴OB=OC ，∴点O 为△ABC 的外心，∴△ABC 为等边三角形，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC ，∵四边形OADC 为平行四边形，∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC ，CD=OA ，∴AD=OB ，在△BOC 和△CDA 中，∴△BOC ≌△CDA ；（2）作OH ⊥AB 于H ，如图，∵∠AOB=120°，OA=OB ，∴∠BOH=（180°﹣120°）=30°，∵OH ⊥AB ，∴BH=AH=AB=1，OH=BH=，OB=2OH=，∴S 阴影部分=S 扇形AOB ﹣S △AOB=﹣×2×=．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算．9．如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C 作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=9，BC=6．求PC的长．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）过C点作直径CE，连接EB，由CE为直径得∠E+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根据切线的判断得到结论；（2）根据切线的性质得到OA⊥AD，而BC∥AD，则AM⊥BC，根据垂径定理有BM=CM=BC=3，根据等腰三角形性质有AC=AB=9，在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM=6；设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6﹣r，在Rt△OCM中，根据勾股定理计算出r=，则CE=2r=，OM=6﹣=，利用中位线性质得BE=2OM=，然后判断Rt△PCM∽Rt△CEB，根据相似比可计算出PC．【解答】解：（1）PC与圆O相切，理由为：过C点作直径CE，连接EB，如图，∵CE为直径，∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，∵AB∥DC，∴∠ACD=∠BAC，∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．∴∠E=∠BCP，∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切；（2）∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM=CM=BC=3，∴AC=AB=9，在Rt△AMC中，AM==6，设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6﹣r，在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，即32+（6﹣r）2=r2，解得r=，∴CE=2r=，OM=6﹣=，∴BE=2OM=，∵∠E=∠MCP，∴Rt△PCM∽Rt△CEB，∴=，即=，∴PC=．【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质．10．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E是⊙O上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，且OD∥BE，OF∥BN．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）求证：OF=CD．【考点】切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）连接OE，由AM与圆O相切，利用切线的性质得到OA与AM垂直，即∠OAD=90°，根据OD与BE平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，一对同位角相等，再由OB=OE，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由OA=OE，OD为公共边，利用SAS得出三角形AOD与三角形EOD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠OED=90°，即OE垂直于ED，即可得证；（2）连接OC，由CD与CB为圆的切线，利用切线的性质得到一对直角相等，由OB=OE，OC为公共边，利用HL得出两直角三角形全等，进而得到∠BOC=∠EOC，利用等量代换及平角定义得到∠COD=90°，即三角形COD 为直角三角形，由OF与BN平行，AM与BN平行，得到三线平行，由O为AB的中的，利用平行线等分线段定理得到F为CD的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证．【解答】证明：（1）连接OE，∵AM与圆O相切，∴AM⊥OA，即∠OAD=90°，∵OD∥BE，∴∠AOD=∠ABE，∠EOD=∠OEB，∵OB=OE，∴∠ABE=∠OEB，∴∠AOD=∠EOD，在△AOD和△EOD中，，∴△AOD≌△EOD（SAS），∴∠OED=∠OAD=90°，则DE为圆O的切线；（2）如图，连接OC．在Rt△BCO和Rt△ECO中，，∴Rt△BCO≌Rt△ECO，∴∠BOC=∠EOC，∵∠AOD=∠EOD，∴∠DOC=∠EOD+∠EOC=×180°=90°，∵AM、BN为圆O的切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∵OF∥BN，∴AM∥OF∥BN，又O为AB的中点，∴F为CD的中点，则OF=CD．【点评】此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．11．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．【考点】切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT⊥OT，CT为⊙O的切线；（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：连接OT，∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA，又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT=∠OAT，∴∠DAT=∠OTA，∴OT∥AC，又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT，∴CT为⊙O的切线；（2）解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四边形OTCE为矩形，∵CT=，∴OE=，又∵OA=2，∴在Rt△OAE中，，∴AD=2AE=2．【点评】本题主要考查了切线的判定以及性质，证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题．12．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．（1）证明PA是⊙O的切线；（2）求点B的坐标．【考点】切线的判定与性质；坐标与图形性质．【专题】计算题．【分析】（1）由AO=2，P的纵坐标为2，得到AP与x轴平行，即PA与AO垂直，即可得到AP为圆O的切线；（2）连接OP，OB，过B作BQ垂直于OC，由切线长定理得到PA=PB=4，PO为角平分线，进而得到一对角相等，根据AP与OC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换并利用等角对等边得到OC=CP，设OC=x，BC=BP﹣PC=4﹣x，OB=2，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OC与BC 的长，在直角三角形OBC中，利用面积法求出BQ的长，再利用勾股定理求出OQ的长，根据B在第四象限，即可求出B的坐标．【解答】（1）证明：∵圆O的半径为2，P（4，2），∴AP⊥OA，则AP为圆O的切线；（2）解：连接OP，OB，过B作BQ⊥OC，∵PA、PB为圆O的切线，∴∠APO=∠BPO，PA=PB=4，∵AP∥OC，∴∠APO=∠POC，∴∠BPO=∠POC，∴OC=CP，在Rt△OBC中，设OC=PC=x，则BC=PB﹣PC=4﹣x，OB=2，根据勾股定理得：OC2=OB2+BC2，即x2=4+（4﹣x）2，解得：x=2.5，∴BC=4﹣x=1.5，∵S△OBC=OB•BC=OC•BQ，即OB•BC=OC•BQ，∴BQ==1.2，在Rt△OBQ中，根据勾股定理得：OQ==1.6，则B坐标为（1.6，﹣1.2）．【点评】此题考查了切线的性质与判定，坐标与图形性质，勾股定理，三角形的面积求法，平行线的性质，以及切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解本题的关键．13．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC 于点F，连接AF．（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．【考点】切线的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）AF为为圆O的切线，理由为：连接OC，由PC为圆O的切线，利用切线的性质得到CP垂直于OC，由OF与BC平行，利用两直线平行内错角相等，同位角相等，分别得到两对角相等，根据OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由OC=OA，OF为公共边，利用SAS得出三角形AOF与三角形COF全等，由全等三角形的对应角相等及垂直定义得到AF垂直于OA，即可得证；（2）由AF垂直于OA，在直角三角形AOF中，由OA与AF的长，利用勾股定理求出OF的长，而OA=OC，OF 为角平分线，利用三线合一得到E为AC中点，OE垂直于AC，利用面积法求出AE的长，即可确定出AC的长．【解答】解：（1）AF为圆O的切线，理由为：连接OC，∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC，∴∠OCP=90°，∵OF∥BC，∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴∠AOF=∠COF，∵在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠OAF=∠OCF=90°，∴AF⊥OA，OA为圆O的半径，则AF为圆O的切线；（2）∵△AOF≌△COF，∴∠AOF=∠COF，∵OA=OC，∴E为AC中点，即AE=CE=AC，OE⊥AC，∵OA⊥AF，∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=5，∵S△AOF=•OA•AF=•OF•AE，∴AE=，则AC=2AE=．【点评】此题考查了切线的判定与性质，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积求法，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．14．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算．【专题】压轴题．【分析】（1）首先连接OD ，由BC 是⊙O 的切线，可得∠ABC=90°，又由CD=CB ，OB=OD ，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD 为⊙O 的切线；（2）在Rt △OBF 中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD 的长，∠BOD 的度数，又由S 阴影=S 扇形OBD ﹣S △BOD ，即可求得答案．【解答】（1）证明：连接OD ，∵BC 是⊙O 的切线，∴∠ABC=90°，∵CD=CB ，∴∠CBD=∠CDB ，∵OB=OD ，∴∠OBD=∠ODB ，∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD ⊥CD ，∵点D 在⊙O 上，∴CD 为⊙O 的切线；（2）解：在Rt △OBF 中，∵∠ABD=30°，OF=1，∴∠BOF=60°，OB=2，BF=， ∵OF ⊥BD ，∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，∴S 阴影=S 扇形OBD ﹣S △BOD =﹣×2×1=π﹣．【点评】此题考查了切线的判定与性质、垂径定理以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF 相交于点F，CD=，BE=2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．【考点】切线的判定与性质；菱形的判定．【专题】压轴题．【分析】（1）首先连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；（2）首先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线．【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD=×4=2，设OC=x，∵BE=2，∴OE=x﹣2，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=（x﹣2）2+（2）2，解得：x=4，∴OA=OC=4，OE=2，∴AE=6，在Rt△AED中，AD==4，∴AD=CD，∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD，∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，∵AD=CD，∴平行四边形FADC是菱形；（2）连接OF，AC，∵四边形FADC是菱形，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA，∵AO=CO，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA，即∠OCF=∠OAF=90°，即OC⊥FC，∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．【点评】此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．16．如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．（1）求证：⊙O与CB相切于点E；（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．【考点】切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三线合一得到CH为角平分线，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分线定理得到OE=OD，利用切线的判定方法即可得证；（2）由CA=CB，CH为高，利用三线合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的长，由圆O过H，CH垂直于AB，得到圆O与AB相切，由（1）得到圆O与CB相切，利用切线长定理得到BE=BH，如图所示，过E作EF垂直于AB，得到EF与CH平行，得出△BEF与△BCH相似，由相似得比例，求出EF的长，由BH与EF的长，利用三角形面积公式即可求出△BEH的面积；根据EF与BE的长，利用勾股定理求出FB的长，由BH﹣BF求出HF的长，利用锐角三角形函数定义即可求出tan∠BHE的值．【解答】（1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上，∴∠ACH=∠BCH，∵OD⊥CA，OE⊥CB，∴OE=OD，∴圆O与CB相切于点E；（2）解：∵CA=CB，CH是高，∴AH=BH=AB=3，∴CH==4，∵点O在高CH上，圆O过点H，∴圆O与AB相切于H点，由（1）得圆O与CB相切于点E，∴BE=BH=3，如图，过E作EF⊥AB，则EF∥CH，∴△BEF∽△BCH，∴=，即=，解得：EF=，∴S△BHE=BH•EF=×3×=，在Rt△BEF中，BF==，∴HF=BH﹣BF=3﹣=，则tan∠BHE==2．【点评】此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．17．如图，⊙O的直径AB=6，AD、BC是⊙O的两条切线，AD=2，BC=．（1）求OD、OC的长；（2）求证：△DOC∽△OBC；（3）求证：CD是⊙O切线．【考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）由AB的长求出OA与OB的长，根据AD，BC为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOD与三角形BOC都为直角三角形，利用勾股定理即可求出OD与OC的长；（2）过D作DE垂直于BC，可得出BE=AD，DE=AB，在直角三角形DEC中，利用勾股定理求出CD的长，根据三边对应成比例的三角形相似即可得证；（3）过O作OF垂直于CD，根据（2）中两三角形相似，利用相似三角形的对应角相等得到一对角相等，利用AAS 得到三角形OCF与三角形OCB全等，由全等三角形的对应边相等得到OF=OB，即OF为圆的半径，即可确定出CD为圆O的切线．【解答】（1）解：∵AD、BC是⊙O的两条切线，∴∠OAD=∠OBC=90°，在Rt△AOD与Rt△BOC中，OA=OB=3，AD=2，BC=，根据勾股定理得：OD==，OC==；（2）证明：过D作DE⊥BC，可得出∠DAB=∠ABE=∠BED=90°，∴四边形ABED为矩形，∴BE=AD=2，DE=AB=6，EC=BC﹣BE=，在Rt△EDC中，根据勾股定理得：DC==，∵===，∴△DOC∽△OBC；（3）证明：过O作OF⊥DC，交DC于点F，∵△DOC∽△OBC，∴∠BCO=∠FCO，∵在△BCO和△FCO中，，∴△BCO≌△FCO（AAS），∴OB=OF，则CD是⊙O切线．【点评】此题考查了切线的判定与性质，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．。
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)(解析版).
2.5直线与圆、圆与圆的位置关系（精练）1直线与圆的位置关系1．（2022·山东滨州）已知直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=，圆22:20C x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定【答案】D【解析】直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=，即2(2)(2)(35)0x m x y m x y -+-++-=，由2020350x x y x y -=⎧⎪-=⎨⎪+-=⎩解得21x y =⎧⎨=⎩，因此，直线l 恒过定点(2,1)A ，又圆22:20C x y x +-=，即22(1)1x y -+=，显然点A 在圆C 外，所以直线l 与圆C 可能相离，可能相切，也可能相交，A ，B ，C 都不正确，D 正确.故选：D2（2021·黑龙江）直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定【答案】B【解析】圆心坐标为()1,1--，半径为2，圆心到直线的距离为341125-+=，所以直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=相切．故选：B3．（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末）直线()1R y kx k =+∈与圆22(1)(1)4x y -+-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】直线()1R y kx k =+∈恒过定点()0,1，又22(01)(11)14-+-=<，即点()0,1在圆22(1)(1)4x y -+-=内部，所以直线与圆相交；故选：A4．（2022·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习）直线230kx y k +--=与圆22450x y x +--=的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切【答案】C【解析】直线230kx y k +--=即()()320k x y -+-=，过定点()3,2，因为圆的方程为22450x y x +--=，则223243540+-⨯-=-<，所以点()3,2在圆内，则直线与圆相交.故选：C5．（2021·重庆市两江中学校高二阶段练习）已知过点(3,1)P 的直线与圆22(1)(2)5x y -+-=相切，且与直线10x my --=垂直，则m =（）A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【解析】设过点(3,1)P 的直线为l .（1）当l 的斜率不存在时，直线l ：3x =.圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心到l 的距离为312-=≠，所以不是圆的切线，不合题意.（2）当l 的斜率存在时，直线l ：()13y k x -=-.=k =2.因为l 与直线10x my --=垂直，所以121m⨯=-，解得：m =-2.故选：C6．（2022·全国·高二课时练习）若直线:420l kx y k -++=与曲线y =有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．{}1k k =±B ．3{|}4k k <-C ．3{|1}4k k -≤<-D ．3{|1}4k k -≤<【答案】C【解析】由题意，直线l 的方程可化为(2)40x k y +-+=，所以直线l 恒过定点(2,4)A -，y =可化为224(0)x y y +=≥其表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.当l 与该曲线相切时，点(0,0)到直线的距离24221kd k +==+，解得34k =-.设(2,0)B ，则40122AB k -==---.由图可得，若要使直线l 与曲线24y x =-314k -≤<-.故选：C.7．（2022·贵州遵义·高二期末（文））若直线():100l ax by ab +-=>始终平分圆()()22:124C x y -+-=的周长，则11a b+的最小值为（）A ．322+B ．6C ．7D ．32+【答案】A【解析】圆C 的圆心为()1,2C ，由题意可知，直线l 过圆心C ，则21a b +=，因为0ab >，则0a >且0b >，因此，()1111222332322b a b a a b a b a ba b a b ⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭当且仅当2a b 时，等号成立，故11a b+的最小值为322+.故选：A.8．（2022·广西梧州·高二期末（文））已知对任意的实数k ，直线l ：0kx y k t --+=与圆C ：2210x y +=有公共点，则实数t 的取值范围为（）A ．[3,0)-B ．[3,3]-C ．(,3](0,3]-∞-D ．(,3)[0,3]-∞-【答案】B【解析】由直线0kx y k t --+=可化为(1)-=-y t k x ，则直线l 过定点(1,)t ，因为直线l ：kx y k t --+0=与圆C ：2210x y +=有公共点，所以定点(1,)t 在圆C 上或圆C 内，可得22110t +≤，解得33t -≤≤，故选：B9．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知直线2y kx =-与圆22(1)1x y -+=相交，则实数k 的取值范围是（）A ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意，圆心()1,0到直线20kx y --=1，即22441k k k -+<+，解得34k >故选：D10．（2022·浙江·温州中学高二期末）已知直线10kx y k -+-=与圆22(2)1x y -+=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为直线10kx y k -+-=与圆22(2)1x y -+=有两个不同的交点，1<，即2860k k -<，解得304k <<，所以实数k 的取值范围是30,4⎛⎫⎪⎝⎭，故选：B.2直线与圆的弦长1．（2021·浙江高二期末）已知过点()1,3P 的直线l 被圆()2224x y -+=截得的弦长为l 的方程是（）A．43130x y +-=B．34150x y +-=C．34150x y +-=或1x =D．43130x y +-=或1x =【答案】D【解析】圆()2224x y -+=的圆心为点()2,0，半径为2r =，圆心到直线l 的距离为1d ==.①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =，此时圆心到直线l 的距离为1，合乎题意；②若直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为()31y k x -=-，即30kx y k -+-=，圆心到直线l的距离为1d ==，解得43k =-.此时直线l 的方程为43130x y +-=.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.故选：D.2（2022·贵溪市）直线y kx =被圆222x y +=截得的弦长为（）A．B．2C．D．与k 的取值有关【答案】A【解析】由于圆222x y +=的圆心在直线y kx =上，所以截得弦为圆222x y+=，故截得的弦长为.故选：A 3．（2022·江苏·高二）过点（-2，1）的直线中，被圆x 2+y 2-2x +4y =0截得的弦最长的直线的方程是（）A ．x +y +1=0B ．x +y -1=0C ．x -y +1=0D ．x -y -1=0【答案】A【解析】由题意得，圆的方程为()221(2)5x y -++=，∴圆心坐标为()1,2-．∵直线被圆截得的弦长最大，∴直线过圆心()1,2-，又直线过点（-2，1），所以所求直线的方程为211221y x +-=+--，即10x y ++=．故选：A ．4．（2022·全国·模拟预测）（多选）已知直线l ：()()121740m x m y m ---+-=，圆C ：2224200x y x y +---=，则（）A ．直线l 恒过定点()1,3B ．直线l 与圆C 相交C ．圆C 被x 轴截得的弦长为D ．当圆C 被直线l 截得的弦最短时，34m =【答案】BD【解析】依题意，直线l ：()()121740m x m y m ---+-=可化为()2740x y m x y --+++-=，由27040x y x y --+=⎧⎨+-=⎩解得3x =，1y =，即直线l 过定点()3,1P ，A 不正确；圆C ：22(1)(2)25x y -+-=的圆心(1,2)C ，半径=5r ，||PC r =<，即点P 在圆C 内，直线l 与圆C 恒相交，B 正确；圆心C 到x 轴的距离2d =，则圆C 被x 轴截得的弦长为==C 不正确；由于直线l 过定点()3,1P ，圆心(1,2)C ，则直线PC 的斜率121312k -==--，当圆C 被直线l 截得的弦最短时，由圆的性质知，l PC ⊥，于是得1221m m -=-，解得34m =，D 正确.故选：BD5．（2022·湖北恩施·高二期末）（多选）已知直线l ：()()221310m x m y m ++---=与圆C ：()()222116x y -++=交于A ，B 两点，则弦长|AB |的可能取值是（）A ．6B ．7C ．8D ．5【答案】BC【解析】由()()221310m x m y m ++---=，得()23210x y m x y +-+--=，令230210x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得1,1,x y =⎧⎨=⎩故直线l 恒过点(1,1)M .圆心(2,1)C ，半径4r =，CM ==，则2AB r ≤≤，即8AB ≤≤.故选：BC.6.（2022·辽宁辽阳市·高二期末）已知圆22:4850C x y x y +-+-=，直线:20l mx y m --=.（1）证明：直线l 与圆C 相交.（2）设l 与圆C 交于,M N 两点，若MN =，求直线l 的倾斜角及其方程.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）证明：直线:2()0l m x y --=过定点()2,0，因为224250-⨯-<，所以点()2,0在圆C 的内部，故直线l 与圆C 相交.（2）圆C 的标准方程为()2225()42x y -++=，则圆C 的圆心坐标为4(2,)C -，半径为5，且圆心C 到直线l 的距离()22242411m md m m ---==++因为2225213MN d =-=，所以23d =由24231m =+，得33m =±当33m =时﹐直线l 的方程为()323y x =-，倾斜角为6π当33m =-时﹐直线l 的方程为()323y x =--，倾斜角为56π3圆与圆的位置关系1．（2022·西藏）圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2x +y +1＝0的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能【答案】C【解析】圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心坐标为(1,2)-，半径5r =圆心(1,2)-到直线2x +y +1＝0的距离2221(2)15521d ⨯+-+==+由555d r =<=，可得圆与直线的位置关系为相交.故选：C2．（2022·陕西渭南）已知圆1C ：()()22321x y -++=与圆2C ：()()227150x y a -+-=-，若圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点，则实数a 等于（）A ．14B ．34C ．14或45D ．34或14【答案】D【解析】圆1C ：()()22321x y -++=的圆心为()113,2,1C r -=,圆2C ：()()227150x y a -+-=-的圆心为()227,1,50C r a =-()()221237215C C -+--=，因为圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点，故圆1C 与圆2C 相内切或外切，故215r -=或215r +=，从而26=r 或24r =，所以2506r a =-=或2504r a =-=，解得：34a =或14a =所以实数a 等于34或14故选：D3．（2022广东）圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】A【解析】圆221:20C x y x +-=，即22(1)1x y -+=，表示以1(1,0)C 为圆心，半径等于1的圆.圆222:(1)(2)9C x y -++=，表示以2(1,2)C -为圆心，半径等于3的圆.∴两圆的圆心距|20|2d =--=，231=-，故两个圆相内切.故选：A.4．（2022·江西）已知圆()221:210C x y x my m R +-++=∈关于直线210x y ++=对称，圆2C 的标准方程是()()222316x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．内含【答案】B【解析】22210x y x my +-++=即()222124m m x y 骣琪-++=琪桫，圆心1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为圆1C 关于直线210x y ++=对称，所以圆心1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线210x y ++=上，即12102m ⎛⎫+⨯-+= ⎪⎝⎭，解得2m =，()()22111x y -++=，圆心()1,1-，半径为1，()()222316x y ++-=，圆心()2,3-，半径为4，5=，因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相切，故选：B.5．（2022云南）已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=，圆2C ：22430x y x my +-++=关于直线10x +=对称，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．内含【答案】C【解析】由题意可得，圆()()221:4425C x y -+-=的圆心为()4,4，半径为5因为圆222:430C x y x my +-++=关于直线10x ++=对称，所以2102m-+=（），得m =，所以圆()(222:24C x y -++=的圆心为(2,，半径为2，则两圆圆心距12C C =1252725C C -<<=+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相交，故选：C .6．（2022·上海中学东校高二期末）已知圆22:28M x y ax +-=截直线:0l x y -=所得的弦长M 与圆22:(1)4N x y +-=的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B【解析】由22:28M x y ax +-=，即()2228y a x a +=+-，故圆心(),0M a ，半径M r =所以点M 到直线:0l x y -=的距离d =故解得：1a =±；所以()1,0M ±，3M r =；又22:(1)4N x y +-=，圆心()0,1N ，2N r =，所以MN ==，且15M N M N r r r r -=<<=+，即圆M 与圆N 相交，故选：B.7．（2022·湖南岳阳·高二期末）圆221:1O x y +=与圆222:680O x y x y m +-++=外切，则实数m =_________．【答案】9【解析】圆1O 的圆心()10,0O ，半径11r =，圆2O 的圆心()23,4O -，半径2r =125O O =根据题意可得：1212O O r r =+，即51=9m =故答案为：9．8．（2022·上海徐汇·高二期末）已知圆221:(2)(2)1C x y -+-=和圆2222:()(0)C x y m m m +-=>内切，则m 的值为___________．【答案】72【解析】圆1C 的圆心为()2,2，半径为11r =，圆2C 的圆心为()0,m ，半径为2r m =，所以两圆的圆心距()()22202d m =-+-，又因为两圆内切，有()()222021d m m =-+-=-，解得72m =.故答案为：72.9．（2023·全国·高三专题练习）已知圆221:4C x y +=与圆222:860C x y x y m +-++=外切，此时直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长_________．【答案】34【解析】由题可知：221:4C x y +=222:860C x y x y m +-++=，即()()224325-++=-x y m且25025->⇒<m m 由两圆向外切可知()()224030225-+--=+-m ，解得16m =所以2:C ()()22439x y -++=2C 到直线的距离为22431211-==+d ，设圆2C 的半径为R则直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长为221229342-=-=R d 故答案为：344圆与圆的弦长1．（2021·辽宁高三其他模拟）圆O ：229x y +=与圆1O ：()()222316x y -+-=交于A 、B 两点，则AB =（）A．6B．5C．67813D．123913【答案】D【解析】圆O 的半径3r =，圆1O 的半径14r =，113OO =故在1AOO中，22211111cos sin21313r OO rAOO AOOr OO+-∠===⇒∠=⋅，故1sin21313ABr AOO AB=∠=⇒=．故选：D2．（2021·山东济南市·高二期末）（多选）已知圆221:1C x y+=和圆222:40C x y x+-=的公共点为A，B，则（）A．12||2C C=B．直线AB的方程是14x=C．12AC AC⊥D．||2AB=【答案】ABD【解析】圆1C的圆心是()0,0，半径11r=，圆()222:24C x y-+=，圆心()2,0，22r=，122C C∴=，故A正确；两圆相减就是直线AB的方程，两圆相减得1414x x=⇒=，故B正确；11AC=，22AC=，122C C=，2221212AC AC C C+≠，所以12AC AC⊥不正确，故C不正确；圆心()0,0到直线14x=的距离14d=，2AB===，故D正确.故选：ABD3．（2021·全国高二课时练习）（多选）圆221:20x y xO+-=和圆222:240O x y x y++-=的交点为A ，B ，则有（）A．公共弦AB 所在直线方程为0x y -=B．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C．公共弦AB的长为2D．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为212+【答案】ABD【解析】对于A，由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；对于B，圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C，圆221:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为2d ==，半径1r =所以AB ==，故C 不正确；对于D，P 为圆1O 上一动点，圆心1O ()1,0到0xy -=的距离为2d =，半径1r =，即P 到直线AB 距离的最大值为12+，故D 正确.故选：ABD4．（2022·全国·高二专题练习）已知圆22110C x y +=：与圆22222140C x y x y +++-=：．(1)求证：圆1C 与圆2C 相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线60x y +-=上的圆的方程．【答案】(1)证明见解析(2)20x y +-=(3)226620x y x y +--+=【解析】(1)证明：圆2C ：2222140x y x y +++-=化为标准方程为()()221116x y +++=，()21,1C ∴--，4r =圆221:10C x y +=的圆心坐标为()10,0C ，半径为=R，12C C ∴44<，∴两圆相交；(2)解：由圆221:10C x y +=与圆222:22140C x y x y +++-=，将两圆方程相减，可得2240x y +-=，即两圆公共弦所在直线的方程为20x y +-=；(3)由22222214010x y x y x y ⎧+++-=⎨+=⎩，解得3113x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或，则交点为()3,1A -，()1,3B -，圆心在直线60x y +-=上，设圆心为()6,P n n -，则AP BP ==3n =，故圆心()3,3P ，半径4r AP ==，∴所求圆的方程为()22(3)316x y -+-=．5．（2021·湖南·嘉禾县第一中学高二阶段练习）已知圆1C ：222220x y x y +++-=，圆2C ：22410x y y +--=.(1)证明：圆1C 与圆2C 相交；(2)若圆1C 与圆2C 相交于A ，B 两点，求AB .【答案】(1)证明见解析；【解析】(1)圆1C 的标准方程为()()22114x y +++=，圆心为()1,1--，半径为2，圆2C 的标准方程为()2225x y +-=，圆心为()0,2∴圆1C 和圆2C =22<，可知：圆1C 和圆2C 相交，得证.(2)由（1）结论，将圆1C 与圆2C 作差，得：直线AB 的方程为2610x y +-=，圆2C 的圆心()0,2到直线AB=，∴AB =6．（2022·江苏·高二单元测试）已知圆221:210240 C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度.【答案】(1)相交(2)240x y -+=(3)【解析】(1)将两圆方程化为标准方程为221:(1)(5)50C x y -++=，222:(1)(1)10C x y +++=,则圆1C 的圆心为(1,5)-，半径1r =圆2C 的圆心为(1,1)--，半径2r =12C C =12r r +=12r r -=121212r r C C r r ∴-<<+，∴两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为240x y -+=.(3)由22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩,解得40x y =-⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴两圆的交点坐标为(4,0)-和(0,2).∴=5切线问题1．（2022·全国·高二课时练习）设圆221:244C x y x y +-+=，圆222:680C x y x y ++-=，则圆1C ，2C 的公切线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B【解析】由题意，得圆()()2212:312C x y -+=+，圆心()11,2C -，圆()()2222:534C x y ++=-，圆心()23,4C -，∴125353C C -<=+，∴1C 与2C 相交，有2条公切线．故选：B ．2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆()221:9C x y a +-=与圆()222:1C x a y -+=有四条公切线，则实数a 的取值可能是（）A ．－4B ．－2C ．D ．3【答案】AD【解析】圆心()10,C a ，半径13r =，圆心()2,0C a ，半径21r =．因为两圆有四条公切线，所以两圆外离．又两圆圆心距d =31>+，解得a <-或a >3．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆()()22:211M x y -+-=，圆()()22:211N x y +++=，则下列是M ，N 两圆公切线的直线方程为（）A ．y ＝0B ．3x －4y ＝0C．20x y -=D．20x y -=【答案】ACD【解析】圆M 的圆心为M （2，1），半径11r =．圆N 的圆心为N （－2，－1），半径21r =．圆心距2d =>，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O 对称，则有两条切线过原点O ，设切线方程为y ＝kx1=，解得k ＝0或43k =，对应方程分别为y ＝0，4x －3y ＝0．另两条切线与直线MN 平行，而1:2MN l y x =，设切线方程为12y x b =+1=，解得2b =±，切线方程为20x y -+=，20x y --=．故选：ACD ．4．（2022·全国·高二专题练习）过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______．【答案】1x =或3450x y -+=【解析】当直线l 的斜率不存在时，因为过点()1,2，所以直线:1l x =，此时圆心(0,0)到直线1x =的距离为1=r ，此时直线:1l x =与圆221x y +=相切，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，所以:l 2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离1d r ==，解得34k =，所以直线l 的方程为3450x y -+=.综上：直线的方程为1x =或3450x y -+=故答案为：1x =或3450x y -+=5．（2022·全国·高二专题练习）求过点()13M -，的圆224x y +=的切线方程__________.【答案】326122633y x ++=+或326122633y x --=+【解析】过点()13M -，的斜率不存在的直线为：1x =-，圆心到直线的距离为1，与圆相交，当斜率存在，设其为k ，则切线可设为()31y k x -=+.2=，解得：33k +=或33k -=.所以切线方程为：326122633y x ++=+或326122633y x --=+.6（2022·广东·中山一中高三阶段练习）已知圆22:240C x y x y m +--+=.若圆C 与圆22:(2)(2)1D x y +++=有三条公切线，则m 的值为___________.【答案】11-【解析】由22240x y x y m +--+=，得22(1)(2)5x y m -+-=-，所以圆C 的圆心为()1,2C 因为圆22:(2)(2)1D x y +++=，所以圆D 的圆心为()22D ,--，半径为1，因为圆C 与圆D 有三条公切线，所以圆C 与圆D 相外切，即1CD ==+，解得11m =-，所以m 的值为11-.故答案为：11-.7．（2022·全国·高二课时练习）已知圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=，若圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点，则实数a 的值为___________.【答案】34或14【解析】设圆1C ，圆2C 的半径分别为1r ，2r .圆1C 的方程可化为22(3)(2)1x y -++=，圆2C 的方程可化为22(7)(1)50x y a -+-=-.由两圆相切，得1212C C r r =+或1212C C r r =-.因为11r =，125C C ==，所以215r +=或215r -=，可得24r =或26=r 或24r =-（舍去），因此5016a -=或5036a -=，解得34a =或14a =.故答案为：34或148．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））若圆221x y +=与圆()()22416x a y -+-=有3条公切线，则正数a =___________.【答案】35=∴3,0,3a a a =±>∴=又6最值问题1．（2022·广东·高三阶段练习）已知C ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线MA ，MB ，切点为A ，B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB 的方程为____．【答案】210x y ++=【解析】C ：222220x y x y +---=的标准方程为22(1)(1)4x y -+-=，则圆心()11C ，，半径2r =．因为四边形MACB 的面积2•2CAMS SCA AM AM ====，要使四边形MACB 面积最小，则需CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，直线CM 的方程为()121y x -=-，即21y x =-，联立21220y x x y =-⎧⎨++=⎩，解得()0,1M -．则CM =则以CM 为直径的圆的方程为221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与C 的方程作差可得直线AB 的方程为210x y ++=．故答案为：210x y ++=.2．（2021·广东·南海中学高二阶段练习）已知圆22:(4)(3)1C x y -++=和两点(,0)A a -、(,0)(0)B a a >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则a 的最小值为（）A ．1B ．6C ．3D ．4【答案】D【解析】由90APB ∠=︒得点P 在圆222x y a +=上，所以，点P 在圆222x y a +=上，又在圆C 上，所以，两圆有交点，因为圆222x y a +=的圆心为原点O ，半径为a ，圆C 的圆心为()4,3-，半径为1.所以，|1|1a OC a -≤≤+，即|1|5146a a a -≤≤+⇒≤≤所以，a 的最小值为4.故选：D3．（2021·吉林油田高级中学高二开学考试）已知圆P 的方程为22680x y x y ++-=，过点()1,2M -的直线与圆P 交于A ，B 两点，则弦AB 的最小值为（）A ．B ．10C ．D ．5【解析】圆P 的方程可化为()()223425x y ++-=，则(3,4),5P r -=，因为()()22132425-++-<，故点()1,2M -在圆内，过点()1,2M -的最长弦一定是圆P 的直径，当AB PM ⊥时，AB 最短，此时PM =则AB ==故选：A ．4．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末）过点（7，-2）且与直线2360x y -+=相切的半径最小的圆方程是（）A ．()()22515x y -++=B ．()()225113x y -+-=C ．()()224413x y -++=D ．()()221652x y -++=【答案】B【解析】过点()7,2A -作直线2360x y -+=的垂线，垂足为B ，则以AB 为直径的圆为直线2360x y -+=相切的半径最小的圆，其中AB =(),B a b ，则221732360b a a b +⎧⨯=-⎪-⎨⎪-+=⎩，解得：34a b =⎧⎨=⎩，故AB 的中点，即圆心为7342,22+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()5,1，故该圆为()()225113x y -+-=故选：B5．（2022·江苏·高二专题练习）已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:310(R)l mx y m m --+=∈与直线2:310(R)l x my m m +--=∈相交于点P ，则||PM 的取值范围是（）A．1,1⎤⎦B．1⎤⎦C．1,1⎤⎦D．1⎤⎦【答案】B【解析】直线1:310(R)l mx y m m --+=∈整理可得，(3)(1)0m x y ---=，即直线1l 恒过(3,1)，同理可得，直线2l 恒过(1,3)，又()110m m ⨯+-⨯=，∴直线1l 和2l 互相垂直，∴两条直线的交点P 在以(1,3)，(3,1)为直径的圆上，即P 的轨迹方程为22(2)(2)2x y -+-=，设该圆心为M ，圆心距||1MC =>，∴两圆相离，1||1PM ∴-+ ，||PM ∴的取值范围是1]．故选：B ．。
解析几何中的直线与圆的位置关系
解析几何中的直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是解析几何中的重要概念之一。
在空间几何中，直线和圆可以有多种相互位置的情况，包括相离、相切和相交。
本文将对直线与圆的不同位置关系进行解析和讨论。
一、直线和圆相离的情况当一条直线与一个圆没有任何交点时，我们称直线和圆相离。
此时，直线与圆之间的最短距离等于两者之间的半径差。
直线作为一个无限延伸的曲线，在与圆相离的情况下，可能与圆的外部或内部都不存在交点。
二、直线和圆相切的情况直线和圆相切意味着它们只有一个公共点，即相切点。
在这种情况下，直线与圆的切点即为它们的交点，且直线垂直于通过切点的半径。
直线与圆相切的情况分为两种，一种是直线与圆外切，另一种是直线与圆内切。
1. 直线与圆外切当一条直线与一个圆外切时，直线与圆相交于切点。
此时，直线与圆的半径垂直并且共线，且直线和圆之间的最短距离等于圆的半径。
直线从切点开始离开圆，没有任何交点。
外切情况下，直线与圆的位置关系可以通过切线与圆的关系来理解。
2. 直线与圆内切直线与圆内切意味着直线与圆只有一个公共点，并且直线在此切点处与圆的内部相切。
如外切情况一样，直线与圆内切时，直线与通过切点的半径垂直并且共线。
直线从切点开始进入圆内，没有任何其他交点。
三、直线和圆相交的情况直线和圆可能有两个交点或者无穷多个交点。
直线与圆相交的情况分为两种，一种是直线穿过圆内部，另一种是直线截取了圆的一部分。
1. 直线穿过圆内部当一条直线穿过一个圆的内部时，直线与圆的交点有两个。
此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。
直线穿过圆的内部时，直线与圆的交点处于圆的两侧。
2. 直线截取圆的一部分当一条直线截取了一个圆的一部分时，直线与圆的交点有两个。
此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。
直线截取圆的一部分时，直线的两个交点分别位于圆上，相交点将圆分成了两部分。
总结：直线和圆的位置关系在解析几何中是一个重要的概念。
专题15 点的轨迹、直线与圆、圆与圆的位置关系(解析版)
专题15 点的轨迹、直线与圆、圆与圆的位置关系一、知识点精讲（一）点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为r 的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r ；同时，到定点的距离等于r 的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长r 的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思： （1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从上面对圆的讨论，可以得出：①到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：②和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：③到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.（二）直线与圆、圆与圆的位置关系判定(1)设有直线l 和圆心为O 且半径为r 的圆，怎样判断直线l 和圆O 的位置关系？如图：不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离d r >时，直线和圆相离，如圆O 与直线1l ；当圆心到直线的距离d r =时，直线和圆相切，如圆O 与直线2l ；当圆心到直线的距离d r <时，直线和圆相交，如圆O 与直线3l .在直线与圆相交时，设两个交点分别为A 、B .若直线经过圆心，则AB 为直径；若直线不经过圆心，如图，连结圆心O 和弦AB 的中点M 的线段OM 垂直于这条弦AB .且在Rt OMA V 中，OA 为圆的半径r ，OM 为圆心到直线的距离d ，MA 为弦长AB 的一半，根据勾股定理，有222()2AB r d -=当直线与圆相切时，如图，,PA PB 为圆O 的切线，可得PA PB =，.OA PA ⊥，且在Rt POA 中，222PO PA OA=+PT 为圆O 的切线，PAB 为圆O 的割线，我们可以证得PAT PTB ，因而2PT PA PB =⋅.(2)设圆1O 与圆2O 半径分别为,()R r R r ≥，它们可能有哪几种位置关系？。
直线、圆的位置关系(讲解部分)
|Ax0 + By0 + C|
(2)点到直线的距离:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=③ A2 + B2 .
(3)两条平行线间的距离:两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(C1≠C2)间
或
x y
= =
x=x0. (2)代数法:当切线斜率存在时,设斜率为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kxkx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由Δ=0求得k值,从而 得到切线方程;当切线斜率不存在时,可直接写出切线的方程为x=x0.
例3 已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的动 直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点. (1)求圆A的方程; (2)当|MN|=2 19 时,求直线l的方程.
方法总结 圆的弦长的求法:①几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,
则
l 2
2
=r2-d2;②代数法:设弦所在直线y=kx+b与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)相交
于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,可列方程组
y = kx (x-a)2
+ +
b, (y-b)2
=
r 2 , 消去y后得到一个关于
§9.2 直线、圆的位置关系 (讲解部分)
考点清单
考点一 两直线的位置关系
1.两条直线的位置关系
直线与圆的位置关系(含答案)
【知识清单】：
1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
几何观点
d＞r
d＝r
d＜r
2．圆与圆的位置关系(两圆半径r1，r2，d＝|O1O2|)
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
3．(2015·大连双基测试)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．
解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得k∈(－ ， )．
法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝ ，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1，
即 >1，
解得k∈(－ ， )．
答案：k∈(－ ， )
[谨记通法]：判断直线与圆的位置关系的2大策略
(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法．
(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．
1．(2015·广东高考)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()
A．x－y＋5＝0B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0D．2x＋y＋1＝0
解析：选A由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心C(－1,2)．过圆心与点(－2,3)的直线l1的斜率为k＝ ＝－1.当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－(－2)，即x－y＋5＝0.
专题12 直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略(解析版)
专题12直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一判断直线和圆的位置关系】 (1)【考点二已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 (3)【考点三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 (5)【考点四判断或补全使直线为切线的条件】 (7)【考点五证明某直线是圆的切线】 (9)【考点六切线的性质定理】 (13)【考点七切线的性质与判定的综合应用】 (15)【考点八直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 (22)【过关检测】 (26)【典型例题】【考点一判断直线和圆的位置关系】A．相离B．相交【答案】C⊥于点C，根据直角三角形的性质，可得【分析】过点P作PC OB∵30O ∠=︒，6OP =，∴132PC OP ==，∵以点P 为圆心的圆的半径为3，∴以点P 为圆心，半径为3的圆与OB 的位置关系是相切．【变式训练】2．（2022秋·九年级单元测试）已知O 的半径是3，点P 在O 上，如果点P 到直线l 的距离是6，那么O 与直线l 的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切或相交D ．相切或相离【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的大小关系解答．【详解】如图，当点P 与1P 重合时，O 与直线l 相切；当点P 与1P 不重合时，O 与直线l 相离，∴O 与直线l 的位置关系是相切或相离．故选：D ．【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，掌握数形结合是解题的关键．【考点二已知直线和圆的位置关系求半径的取值】【变式训练】【答案】15r ≤≤【分析】过M 作MH AC ⊥于H ，根据直角三角形的性质得到关系即可得到结论．∵2CM =，30ACB ∠=︒，∴112HM CM ==，∵5AM =，M 与线段AC 有交点，【考点三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】【变式训练】【答案】1544PC <≤或3PC =【分析】根据题意可得PC 的最小值为圆Q ，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．∴PM AD ⊥，在直角梯形ABCD 中，∵AD BC ∥，∴90ABC A ∠=∠=︒，∴四边形ABPM 是矩形，∴3PM AB PC ===，【考点四判断或补全使直线为切线的条件】【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中【变式训练】【答案】1【考点五证明某直线是圆的切线】(1)求证：CD 是O (2)若60BCD ∠=︒，直径【答案】(1)见解析(2)53【分析】（1）连接OD (SAS ODC OBC ≌∵OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠．∵AD OC ∥，【变式训练】1．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）如图，O 的半径为2，点A 是O 的直径BD 延长线上的一点，C 为O 上的一点，AD CD =，30A ∠=︒．(1)求证：直线AC 是O 的切线；∵AD CD =，30A ∠=︒∴30ACD ∠=︒∴60CDB ∠=︒∵OD OC=作CH BD ⊥于点H ，则DH =(1)求证：AF是圆O的切线；==，连接(2)点G在CE上，且BC CD CG【答案】(1)见解析(2)7【分析】（1）根据四边形ABCD内接于圆∵BC CD =，∴ BCCD =∴BOC COD ∠=∠，又OB OD=∴BN DN=【考点六切线的性质定理】【答案】3【分析】连接OC ，根据切线的性质得到90OCP ∠=︒，再根据30︒所对的直角边是斜边的一半计算即可；【详解】如图，连接OC ，∵PC 是O 的切线，∴OC CP ⊥，即90OCP ∠=︒，又30P ∠=︒，O 的半径为3，∴26OP CO ==，∴PB 633=-=．故答案是3．【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．【变式训练】【答案】30【分析】根据切线的性质得到【详解】解：BC AB BC ∴⊥，【答案】26︒/26度【分析】利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：AB 是O 的直径，OA PA ∴⊥，【考点七切线的性质与判定的综合应用】例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点O 在边AC 上，以点O 为圆心，OC 为半径的圆交边AC 于点D ，交边AB 于点E ，且BC BE =．(1)求证：AB 是O 的切线．(2)若24AE =，15BE =，求O 的半径．【答案】(1)见解析(2)O 的半径为10．【分析】（1）连接OE ，连接BO ，通过证明()SSS BOE BOC △≌△即可进行求证；在OBC △和OBE △中，OE OC BE BC BO BO =⎧⎪=⎨⎪，∵15BE =，24AE =，∴15BC BE ==，AB BE =+∴22239AC AB BC =-=-∴O 的半径为10．【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．【变式训练】(1)求证：点E 是BF (2)若EC OC =，O 【答案】(1)见解析(2)32【分析】（1）连接BC 等量代换可得EF =（2）解：若EC OC =∴ABF △是等腰直角三角形．O 半径为3，6AB ∴=，∴26AF AB == BC AF⊥(1)求证：AC 是半O 的切线；(2)若CO AO =，4BC =，求半【答案】(1)见解析AD CD，⊥∴∠= ，90D∴∠+∠= ．CAD ACO90∠ ，AOD ∠=∠AOD CAD∴∠=∠，BOC CAD的切线；(1)求证：PC为O(2)若22=，12PC BOPB=，直接写出半径的长．【答案】(1)见解析(2)3OC∠，平分ABEBC∴∠=∠，ABC CBDQ，OC OB=∴∠=∠，ABC OCB，PCA CBD∠=∠∴∠=∠，PCA OCB是直径，AB∴∠=︒，ACB90ACO OCB∴∠+∠=︒，90∴∠+∠=︒，PCA ACO90∴∠=︒，PCO90OC PC，∴⊥是半径，OC∴是OO的切线；PC（2）解：连接OC，如图，==，设OB OC r，=PC OB22∴=，22PC r【考点八直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】例题：（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，O 与90A ∠=︒的Rt ABC △的三边AB BC AC 、、分别相切于点D 、E 、F ，若103BE CF ==，，则O 的半径为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D 【分析】连接OD OF ，，首先根据切线长定理得到10BD BE ==，3CE CF ==，然后证明出四边形ADOF 是正方形，然后设AD AF x ==，根据勾股定理求解即可．【详解】如图，连接OD OF ，，∵AC AB CB 、、与O 相切，∴10BD BE ==，3CE CF ==，AD AF =，OD AB ⊥，OF AC ⊥，∴90ADO AFO ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴四边形ADOF 是矩形，∴矩形ADOF 是正方形，∴AD OD =，设AD AF x ==，Rt ABC △中，10AB BD AD x =+=+，3AC CF AF x =+==，13BC BE CE =+=，由勾股定理得，222AB AC BC +=，∴()()22210313x x +++=，∴12215x x ==-，（舍去），∴2OD =，故选：D ．【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【变式训练】【答案】1【分析】根据内切圆的性质先证明四边形,,AF AE BF BD CD CE ===，设OD 的方程，即可求解．【详解】解：∵圆是ABC 的内切圆，的半径．(1)求O△的外心，连接(2)若Q是Rt ABC【答案】(1)1(2)5OQ=2∵O 是ABC 的内切圆，分别切边∴OD BC ⊥，OE AC ⊥，OF 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BC ∴225AB BC AC =+=．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·湖南长沙·九年级校联考期末）在平面直角坐标系中，以点()3,4-为圆心，3为半径的圆（）A ．与x 轴相交，与y 轴相切B ．与x 轴相离，与y 轴相切C ．与x 轴相离，与y 轴相交D ．与x 轴相切，与y 轴相离【答案】B【分析】由已知点()3,4-可求该点到x 轴，y 轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d 为直线与圆的距离，r 为圆的半径，则有若d r <，则直线与圆相交；若d r =，则直线于圆相切；若d r >，则直线与圆相离．【详解】解：点()3,4-到x 轴的距离为4，大于半径3，点()3,4-到y 轴的距离为3，等于半径3，故该圆与x 轴相离，与y 轴相切，故选：B ．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．2．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）《九章算术》中“今有勾七步，股二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长为7步，股（长直角边）长为24步，问该直角三角形（内切圆）的直径是多少？（）A ．3步B ．5步C ．6步D ．8步【答案】C【分析】设三角形ABC ，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，设内切圆的半径为r ，由1()2ABC S AB BC CA r =++⋅ 可求得半径，则可求得直径．【详解】解：设三角形为ABC ，90C ∠=︒，7AC =，24BC =，A ．40︒B ．50【答案】A 【分析】连接OC ，由CE 为圆的度数，即可求出E ∠的度数．∵CE 为圆O 的切线，∴OC CE ⊥，∴90OCE ∠=︒，∵25CDB ∠=︒，A．27︒B．18【答案】A【分析】根据垂直的定义及平行线的判定可知答．【详解】解：连接OC，【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，掌握平行线的性质及切线的性质是解题的关键．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在恰好与以OB为半径作圆，O是（）A．23B【答案】D【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠平分线的定义得到OBDAB x=，根据直角三角形的性质即可得到结论．3的半径，AC是OOD∴⊥，OD AC，OD OB=∴=，OBD ODB∠，BDQ平分ABC二、填空题【答案】30︒/30度【分析】连接OB ，根据圆周角定理得到906030D ︒︒∠=-=︒．∵30BCE ∠=︒，∴260BOD C ∠=∠=︒，∵BD 是O 的切线，【答案】15°/15度【分析】如图，连接OA ，OC 明50D B ∠=∠=︒，再利用三角形的外角和的性质可得答案．∴65DAE AEC D ∠=∠-∠=︒-故答案为：15︒．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，圆周角定理的应用，切线的性质，四边形的内角和定理的应用，【答案】15d <</51d >>【分析】分两种情况讨论： 求解，即可得到答案．【详解】解：P 的圆心P 的坐标为【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知P 到O 的切线长为8cm ，那么【答案】1【分析】先根据勾股定理求出3AB=，由切线长定理得∵O 为Rt ABC △的内切圆，∴OD AB OF AC OD OF ⊥⊥=，，，∴90ODA A OFA ∠︒=∠=∠=，∴四边形ADOF 是正方形，三、解答题11．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，AB 是O 的直径，点E 在弦AC 的延长线上，过点E 作ED AE ⊥交O 于点D ，若AD 平分BAC ∠．(1)求证：ED 是O 的切线；(2)若6AC =，10AB =，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）如图所示，连接OD ，根据等边等角和角平分线的定义证明EAD ODA ∠=∠，进而证明AE OD ∥，由ED AE ⊥，得到ED OD ⊥，据此即可证明结论；（2）连接BC 交OD 于G ，根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，根据垂径定理可得BG CG =，根据勾股定理求出BC 的长，进而求出OB BG 、，再求出OG 的长，根据矩形的判定与性质求出CE 的长，即可求出AE 的长．【详解】（1）证明：如图所示，连接OD ，∵OA OD =，∴OAD ODA ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴EAD DAO∠=∠∴EAD ODA ∠=∠，∴AE OD ∥，∵ED AE ⊥，∴ED OD⊥∴OD BC ⊥，∴G 为BC 的中点，即BG 又∵610AC AB ==，，∴根据勾股定理得：BC 1(1)求证：AF 是O 的切线；(2)若6BC =，10AB =，求O 【答案】(1)见解析(2)390ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，∴12CD AD AB ==，∴CAD ACD ∠=∠，2BDC CAD ACD CAD ∠=∠+∠=∠1FAC BDC ∠=∠(1)若PF PB =，求证：PB (2)如果106AB BC ==，，求【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）根据等边对等角以及对顶角相等可以证得的切线；(1)求证：直线DE是O(2)求证：AB AM=；(3)若2ME=，30∠=︒，求BF的长．F【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)4．∵OD OA =，∴ODA OAD ∠=∠，∵AD 平分CAB ∠，∴∠OAD =∠DAC ，∴ODA DAC ∠=∠，∴OD AC ∥，∵DE AC ⊥，∴DE OD ^，∵OD 是O 的半径，∴直线DE 是O 的切线；（2）∵OB OD =，∴OBD ODB ∠=∠，∵OD AC∥∴ODB M ∠=∠，∴OBD M ∠=∠，∴AB AM=（3）∵DE AC ⊥，∴90AEF MED ∠=∠=︒∵30F ∠=︒，∴90903060EAF F ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵AM AB =，∴ABM 是等边三角形，∴60M ∠=︒，∴180180609030MDE M MED ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，的切线；(1)求证：PC为O(2)求证：2=；BD PA(3)若83PC=，求AE的长．【答案】(1)见详解(2)见详解60BAC ∠=︒ ，且OA OC =，60OCA OAC ∴∠=∠=︒．AP AC = ，且P PCA BAC ∠+∠=∠30P PCA ∴∠=∠=︒．90PCO PCA ACO ∴∠=∠+∠=︒．CD 平分ACB ∠，且90ACB ∠=︒45ACD BCD ∴∠=∠=︒．AD BD ∴=．在Rt ADB 中，222AD BD AB +=2AD BD AB ∴==，。
直线与圆的位置关系-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮(苏科版)(解析版)
直线与圆的位置关系知识点一、直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系，如下所示：判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法：（1）根据直线与圆的公共点的个数判断；（2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 知识点二、切线的判定定理与切线的性质定理1. 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图所示，OA 的一条半径，直线l 经过点A 且OA ⊥l ，则l 的切线.判定一条直线是否是圆的切线共有以下三种方法：（1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切；（2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；（3）判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.如图所示：直线l的切线，切点为点A，则OA⊥l.例：如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是的切线．（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径.【解答】（1）见解析；（2）3【解析】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；（2）在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3.知识点三、三角形的内切圆1.定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.2.性质：三角形的内心就是三角形三条内角平分性的交点，内心到三角形各边的距离相等，任意三角形的内心都在三角形的内部.3.三角形的内切圆的作法：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心，过圆心向任意一条边作垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径.补充：三角形外心与内心对比：例：直角三角形的两条直角边分别为8和15，那么这个直角三角形最大能容纳一个直径为几的圆？【解答】6【解析】如图所示：由勾股定理可求出三角形斜边AB＝17，设三角形的内切圆的半径为r即，解得半径，则直径为6.知识点四、切线长及切线长定理1.切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长；2.切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.外一点P引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连接OA、OB、AB，延长PO并延长交圆于点E，则：①垂直：OA⊥PA，OB⊥PB，OD⊥AB；②全等：△OAP≌△OBP，△OCA≌△OCB，△ACP≌△BCP；③弧相等：.巩固练习一．选择题1．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠C＝65°，则∠P的度数为（）A．50°B．65°C．70°D．80°【解答】A【解析】连接OA 、OB ，∵PA 、PB 是⊙O 切线， ∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ， ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°，∵∠P +∠PAO +∠AOB +∠PBO ＝360°， ∴∠P ＝180°﹣∠AOB ， ∵∠ACB ＝65°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝130°， ∴∠P ＝180°﹣130°＝50°， 故选A ．2．平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P 与y 轴的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．以上都不是【解答】A【解析】∵⊙P 的圆心坐标为（﹣4，﹣5）， ∴⊙P 到y 轴的距离d 为4 ∵d ＝4＜r ＝5 ∴y 轴与⊙P 相交 故选A ．3．三角形的三边长分别为6，8，10，则它的边与半径为2的圆的公共点个数最多为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【解答】B【解析】∵62+82＝100，102＝100， ∴三角形为直角三角形，设内切圆半径为r ，则12（6+8+10）r =12×6×8， 解得r ＝2，所以应分为五种情况：当一条边与圆相离时，有0个交点，当一条边与圆相切时，有1个交点，当一条边与圆相交时，有2个交点，当圆为三角形内切圆时，有3个交点，当两条边与圆同时相交时，有4个交点，故公共点个数可能为0、1、2、3、4个．∴则它的边与半径为2的圆的公共点个数最多为4个，故选B．4．如图，AB是圆O的直径．点P是BA延长线上一点，PC与圆O相切，切点为C，连接OC，BC，如果∠P ＝40°，那么∠B的度数为（）A．40°B．25°C．35°D．45°【解答】B【解析】∵PC与圆O相切，切点为C，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∵∠P＝40°，∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣40°＝50°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，∵∠POC＝∠B+∠C，∠POC＝25°．∴∠B=12故选B．5．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】C【解析】∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选C．6．如图，点D是△ABC中BC边的中点，DE⊥AC于E，以AB为直径的⊙O经过D，连接AD，有下列结论：AC；④DE是⊙O的切线．其中正确的结论是（）①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12A．①②B．①②③C．②③D．①②③④【解答】D【解析】∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，选项①正确；连接OD，如图，∵D为BC中点，O为AB中点，∴DO为△ABC的中位线，∴OD∥AC，又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE为圆O的切线，选项④正确；又OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠EDA＝∠BDO，∴∠EDA＝∠B，选项②正确；由D为BC中点，且AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，AB，∴AC＝AB，又OA=12AC，选项③正确；∴OA=12则正确的结论为①②③④．故选D．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'C'D'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（）A．2.5 B．1.5 C．3 D．4【解答】D【解析】如图，连接OE并延长交CF于点H，∵矩形ABCD 绕点C 旋转得矩形A 'B 'C 'D '， ∴∠B ′＝∠B ′CD ′＝90°，A ′B ′∥CD ′，BC ＝B ′C ＝4，∵边A 'B '与⊙O 相切，切点为E ， ∴OE ⊥A ′B ′，∴四边形EB ′CH 是矩形， ∴EH ＝B ′C ＝4，OH ⊥CF ，∵AB ＝5，∴OE ＝OC =12AB =52， ∴OH ＝EH ﹣OE =32，在Rt △OCH 中，根据勾股定理，得CH =√OC 2−OH 2=√(52)2−(32)2=2，∴CF ＝2CH ＝4． 故选D ．8．如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 切⊙O 于点B ，AB ＝AC ，若∠CBD ＝40°，则∠ABC 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【解答】D【解析】∵BD 切⊙O 于点B ， ∴∠DBC ＝∠A ＝40°， ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ，∴∠ABC ＝（180°﹣40°）÷2＝70°．故选D．9．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA 的值是（）A．32B．23C．12D．34【解答】A【解析】∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB∵△PCD的周长等于3，∴PA+PB＝3，∴PA=32．故选A．10．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】D【解析】∵PB，PD是⊙O的割线，∴PA•PB＝PC•PD，∵PA＝2，PC＝CD＝3，∴2PB＝3×6解得：PB＝9．故选D．11．如图，这条花边中有4个圆和4个正三角形，且这条花边的总长度AB为4，则花边上正三角形的内切圆半径为（）A．√33B．23√3C．1 D．√3【解答】A【解析】如图，选择一个等边三角形和其内切圆，圆O是等边三角形ACE的内切圆，圆O切三角形的边CE于点D，∵这条花边的总长度AB为4，∴CE＝2，连接OC，AD，则AD过点O，∴CD＝DE=12CE＝1，∵△ACE是等边三角形，∴∠ACE＝60°，∵圆O是等边三角形ACE的内切圆，∴∠OCD＝30°，∴OD＝CD•tan30°=√33．∴花边上正三角形的内切圆半径为√33．故选A．二．填空题12．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是．【解答】103＜AO＜203【解析】在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，则OE⊥AD，∴OE∥CD，∴△AOE∽△ACD，∴OECD =AOAC，∴AO10=26，∴AO=103，如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，则OF⊥BC，∴OF∥AB，∴△COF∽△CAB，∴OCAC =OFAB，∴OC10=26，∴OC=103，∴AO=203，∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是103＜AO＜203，故答案为103＜AO＜203．13．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以πcm/s 的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为时，BP与⊙O相切．【解答】2秒或10秒【解析】连接OP∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，∵AB＝OA，OA＝OP，∴OB＝2OP，∠OPB＝90°；∴∠B＝30°；∴∠O＝60°；∵OA＝6cm，=2π，弧AP=60π×6180∵圆的周长为：12π，∴点P运动的距离为2π或12π﹣2π＝10π；∴当t＝2秒或10秒时，有BP与⊙O相切．故答案为2秒或10秒．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于．【解答】2√2cm【解析】过C点作CD⊥AB于D，如图，∵⊙C与AB相切，∴CD为⊙C的半径，即CD＝2，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∴△CDB为等腰直角三角形，∴BC=√2CD＝2√2（cm）．故答案为2√2cm．15．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为M，边CD′与⊙O相交于点N，则CN的长为．【解答】4√2【解析】连接OM，延长MO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，则∠OMB′＝∠OHB′＝90°，∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，∴四边形OMB′H和四边形MB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝3，∴B′H＝OM＝3，∴CH＝B′C﹣B′H＝1，∴CG＝B′M＝OH=√OC2−CH2=2√2，∵四边形MB′CG是矩形，∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，∴CN＝2CG＝4√2，故答案为4√2．16．如图，正方形ABCD的边长为8，E为AB中点，F为BC边上的动点，连接EF，以点F为圆心，EF长为半径作⊙F．当⊙F与AD边相切时，CF的长为．【解答】8﹣4√3【解析】当⊙F与直线AD相切时．设切点为K，连接FK，如图：则FK⊥AD，四边形FKDC是矩形．∴FE＝FK＝CD＝2BE，∴BE＝4，FE＝8，在Rt△FBE中，FB=√FE2−BE2=√82−42=4√3，∴CF＝BC﹣FB＝8﹣4√3．故答案为8﹣4√3．17．一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，则该菱形的内切圆的半径是cm．【解答】125【解析】如图所示：菱形ABCD，对角线AC，BD，可得菱形内切圆的圆心即为对角线交点，设AB与圆相切于点E，可得OE⊥AB，∵一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，∴AB＝5cm，设BO＝4x，则AO＝3x，故（4x）2+（3x）2＝25，解得：x＝1，则AO＝3，BO＝4，故EO•AB＝AO•BO，解得：EO=12．5．故答案为12518．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．【解答】14【解析】设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，∵CE与半圆O相切于点F，∴AE＝EF，BC＝CF，∵EF+FC+CD+ED＝12，∴AE+ED+CD+BC＝12，∵AD＝CD＝BC＝AB，∴正方形ABCD的边长为4；在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，∵AE+EF+FC+BC+AB＝14，∴直角梯形ABCE周长为14．故答案为14．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝．【解答】1【解析】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理，得AB＝5，如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠C＝90°，∴四边形EOFC是矩形，根据切线长定理，得CE＝CF，∴矩形EOFC是正方形，∴CE＝CF＝r，∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，∵AD+BD＝AB，∴3﹣r+4﹣r＝5，解得r＝1．则△ABC的内切圆半径r＝1．故答案为1．20．已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4√b−1−19，则△ABC的内切圆半径＝．【解答】1【解析】∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4√b−1−19，∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（√b−1−2）2＝0，∴c＝3，a＝4，b＝5，∵32+42＝25＝52，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，设内切圆的半径为r，根据题意，得S△ABC=12×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5，∴r＝1，故答案为1．21．如图，在Rt△AOB中，OB＝2√3，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O 的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为．【解答】2√2【解析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∴PQ=√OP2−OQ2=√OP2−1，当OP最小时，线段PQ的长度最小，当OP⊥AB时，OP最小，在Rt△AOB中，∠A＝30°，=6，∴OA=OBtanA在Rt△AOP′中，∠A＝30°，OA＝3，∴OP′=12∴线段PQ长度的最小值=√32−1=2√2，故答案为2√2．三．解答题22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【解答】（1）BC与⊙O相切，理由见解析；（2）BD=1207【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AEAD =ADAC，10 8=8AC，∴AC =325，∴CD =√AD 2−AC 2=√82−(325)2=245， ∵OD ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴OD ∥AC ，∴△OBD ∽△ABC ，∴OD AC=BD BC ， ∴5325=BD BD+245， ∴BD =1207．23．如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为H ，P 是CD 延长线上一点，DE ⊥AP ，垂足为E ，∠EAD ＝∠HAD ．（1）求证：AE 为⊙O 的切线；（2）已知PA ＝2，PD ＝1，求⊙O 的半轻和DE 的长．【解答】（1）见解析；（2）DE 的长为35，⊙O 的半径为32 【解析】（1）证明：连接AO 并延长交⊙O 于点M ，连接MD ，如图，∵AB ⊥CD ，∴AD̂=BD ̂， ∴∠M ＝∠BAD ，∵∠EAD ＝∠HAD ．∴∠M ＝∠EAD ，∵AM 为直径，∴∠ADM ＝90°，∴∠M +∠MAD ＝90°，∴∠EAD +∠MAD ＝90°，即∠MAE ＝90°，∴AM ⊥AE ，∴AE 为⊙O 的切线；（2）∵∠EAD ＝∠HAD ，DH ⊥AH ，DE ⊥AE ，AD ＝AD ，∴△AHD ≌△AED （AAS ）∴DE ＝DH ，AH ＝AE ，设DE ＝x ，AH ＝y ，则DH ＝x ，AE ＝y ，∵∠EPD ＝∠HPA ，∠PED ＝∠PHA ＝90°，∴Rt △PED ∽Rt △PHA ，∴DE AH =PE PH =PD PA ，即x y =2−y 1+x =12， ∴解得x =35，y =65，即DE 的长为35，AH =65，设圆的半径为r ，则OH ＝r −35， 在Rt △OAH 中，（r −35）2+（65）2＝r 2，解得r =32， 即⊙O 的半径为32．答：⊙O 的半轻和DE 的长分别为：32，35．24．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝6，OC ⊥AB ，OC ＝5，BC 与⊙O 交于点D ，点E 是BD ̂的中点，EF ∥BC ，交OC 的延长线于点F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．【解答】（1）见解析；（2）CG=173【解析】证明：（1）连接OE，交BD于H，∵点E是BD̂的中点，OE是半径，∴OE⊥BD，BH＝DH，∵EF∥BC，∴OE⊥EF，又∵OE是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，∴OB＝3，∴BC=√OB2+OC2=√9+25=√34，∵S△OBC=12×OB×OC=12×BC×OH，∴OH=√34=15√3434，∵cos∠OBC=OBBC =BHOB，∴√34=BH3，∴BH=9√3434，∴BD＝2BH=9√3417，∵CG∥OD，∴ODCG =BDBC，∴3CG =9√3417√34，∴CG=173．25．如图，△ABC中，BC＝14，AC＝9，AB＝13，它的内切圆分别和BC，AB，AC切于点D，E，F，求AE，BD 和CF的长．【解答】AE＝4，BD＝9，CF＝5【解析】设AE＝x，∵△ABC的内切圆分别和BC，AB，AC切于点D，E，F，∴AF＝AE＝x，BE＝BD，CD＝CF，而BE＝BA﹣AE＝13﹣x，CF＝CA﹣AF＝9﹣x，∴BD＝13﹣x，CD＝9﹣x，而BD+CD＝BC，∴13﹣x+9﹣x＝14，解得x＝4，∴AE＝4，BD＝9，CF＝5．26．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA＝6，求△PCD的周长．（2）若∠P＝50°求∠DOC．【解答】（1）△PCD的周长＝12；（2）∠COD＝65°【解析】（1）连接OE，∵PA、PB与圆O相切，∴PA＝PB＝6，同理可得：AC＝CE，BD＝DE，△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝PA+PB＝12；（2）∵PA PB与圆O相切，∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，在Rt△AOC和Rt△EOC中，{OA=OEOC=OC，∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），∴∠AOC＝∠COE，同理：∠DOE＝∠BOD，∠AOB＝65°．∴∠COD=1227．已知PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长．【解答】24cm【解析】连接OA，则OA⊥PA．在直角三角形APO中，PO＝13cm，OA＝5cm，根据勾股定理，得AP＝12cm．∵PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，∴PA＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE的周长＝2PA＝24cm．28．如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．（1）求证：AB+CD＝AD+BC；（2）求∠AOD的度数．【解答】（1）见解析；（2）∠AOD＝90°【解析】（1）证明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切线长定理：AE＝AN，BE＝BM，DF＝DN，CF＝CM，∴AE+BE+DF+CF＝AN+BM+DN+CM，∴AB+DC＝AD+BC；（2）连OE、ON、OM、OF，∵OE＝ON，AE＝AN，OA＝OA，∴△OAE≌△OAN，∴∠OAE＝∠OAN．同理，∠ODN＝∠ODF．∴∠OAN+∠ODN＝∠OAE+∠ODE．又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN＝180°，×180°＝90°，∴∠OAN+∠ODN=12∴∠AOD＝180°﹣90°＝90°．。
考点20 与圆有关的位置关系及计算(精讲)(解析版)
考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）【命题趋势】与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。
关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。
【知识清单】1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：图1图2(1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3．解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。
2）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：图1图2图3(1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。
2：切线的性质与判定（☆☆☆）1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。
解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。
2）切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。
3）切线长定理定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
苏科版数学九年级上册第二章《直线与圆的位置关系》专题解析
《直线与圆的位置关系》专题解析【考点图解】【技法透析】1．判定直线与圆的位置关系的方法有两种：一是从直线与圆的公共交点的个数来进行判断，另一种是根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系来判断．2．切线的判定方法有三种：一是根据定义，直线与圆只有一个公共点；二是圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；三是切线的判定定理，当已知条件中明确指出圆与直线有公共点时，常用“连半径证垂直”的方法，当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常用“作垂直证半径”的方法．3．切线的性质定理有：①切线与圆只有唯一的公共点；②切线和圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于过切点的半径；④经过圆心垂直于切线的直线必过切点；⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心．4．涉及切线的重要性质还有切线长定理和弦切角定理，其中切线长定理及其对应的基本图形、以及圆的外切三角形、外切四边形所存在的线段之间的关系也是解决问题常用的依据租方法，弦切角定理更是转化圆中相关角的重要定理．5．和圆有关的比例线段定理包括相交弦定理、切割线定理及其推论，统称圆幂定理，它揭示了直线与圆相交后所存在的线段间的比例关系．利用这些定理，可直接进行线段的等积式的变换，或比例线段的转化．【名题精讲】考点1直线与圆的位置关系例1 如图10－1，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，OB＝m，⊙O的半径为r＝12，当m在什么范围内取值时，BC与⊙O相离、相切、相交？【切题技巧】要判断OB＝m在什么范围内取值时，BC与⊙O相离、相切、相交，就是要判断圆心O到BC的距离d与⊙O的半径r之间的大小关系．【切题技巧】作OD⊥BC于点Ｄ【借题发挥】判断直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小确定：①若d<r，直线与圆相交；②若d＝r，直线与圆相切；③若d>r，直线与圆相离．【同类拓展】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°；BC＝4cm，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )A．相离B．相切C．相交D．相切或相交2．如图10－2，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P 在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是( )A．－1≤x≤1 B．－2≤x≤2C．0≤x≤2D．x>2考点2直线与圆相切的综合问题例2 如图10－3，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．(1)求证：PC是⊙O的切线(2)求证：BC＝12AB(3)点M是AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN·MC的值．【切题技巧】(1)证∠OCP＝∠ACB＝90°即可得PC是⊙O的切线，(2)证∠CBO＝∠COB得BC＝OC，从而有BC＝12AB，(3)连MA，MB，先证△BMN∽△CMB得MN·MC＝BM2，再在Rt△ABM中求出BM长即可求值．【规范解答】【借题发挥】切线的证明有两种方法：一种是已知切点，连接圆心和切点证垂直；另一种是不知切点，过圆心向已知直线作垂线，证垂线段长等于半径．【同类拓展】3．如图10－4，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于D，交AC于点E，连接AD，BE交于点M，过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AB于点H，交BE于点G，则以下正确的结论是_______（填序号）①BD＝CD ②DF是⊙O的切线③∠DAC＝∠BDH ④DG＝12BM4．如图10－5，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC 于点D，连接BD．(1)若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；(2)取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．考点3线段相等的证明例3 如图10－6，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD＝BC，CE⊥AD，垂足为E，BE交⊙O于F，AF交CE于P，求证：PE＝PC【切题技巧】由切割线定理得PC2＝PF·PA，要证明PE＝PC，只需证明PE2＝PF·PA，这样通过圆幂定理把线段相等问题转化为线段等积式的证明，由三角形相似可完成，【规范解答】延长DA交⊙O于K，连结BK，OC．【借题发挥】证比例式或平方法是圆中证线段相等的重要方法，证比例式常通过相似三角形或平行线性质得到，当要证相等的线段中有一条是圆的切线时，常采用平方法，而线段的平方常由切割线定理，相似三角形的性质来证，值得注意的是，几何图形中有直径这一条件，常添加辅助线，构成直径上的圆周角是直角，使其杓成直角三角形．【同类拓展】5．如图10－7，AB是半圆的直径，AC⊥AB，在半圆上任取一点D，过点D 作DE⊥CD，交直径AB于点E，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F，问图中除了AB＝AC外，是否还有其它两条线段相等，如果有，指出这两条相等的线段，并给出证明：如果没有，也要说明理由．6．如图10－8，四边形ABCD为正方形，00过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E．(1)求证：DE＝AF；(2)若⊙O的半径为32，AB＝2＋1，求AEED的值．考点4多边形的切圆问题例4 如图10－9，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切（我们称T1，T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形）．(1)设T1，T2的边长分别为a，b，⊙O的半径为r，求r：a及r：b的值；(2)求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．【切题技巧】(1)由圆内接正六边形的特点可知，相邻两个顶点与圆心构造的三角形是等边三角形，所以它的外接圆半径与边长相等，由此不难得出它们的比值；(2)由相切关系和等边三角形的性质可求得它们之间的比值．【规范解答】(1)如图10－10，连接圆心O和Ｔ1的6个顶点可得6个全等的正三角形，且OC⊥AB．∴OA＝AB=b，AC=12 b．【借题发挥】解决正多边形外切圆和内接圆问题的一般方法是转化为等腰三角形或直角三角形问题，特别地，对于三角形的内切圆问题，有一条很有用的结论：如图10－11，⊙O切△ABC 的三边于点D，E，F，则AE＝AF＝12(AB＋AC－BC)，BD＝BF＝12(BC＋AB－AC)，CD＝CE＝12(AC＋BC－AB)．【同类拓展】7．如图10－12，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以BC边上的点O为圆心作圆，分别与AB、AC相切于E，F两点，设AB＝a，AC＝b，则⊙O的半径等于_______．8．如图10－13，△ABC是正三角形，点C在矩形ABDE的边DE上，△ABC的内切圆半径是1，则矩形ABDE的外接圆直径是_______．考点5 直线与圆的动态问题例5 如图10－14，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB ＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上，设运动时间为ts，当t＝0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．(1)当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．【切题技巧】对于(1)按半圆与直线AC，AB相切分两大类，每一大类又可分两小类：①与线段AC相切，切点为E；②与线段AC相切，切点为D；③与线段AB相切，切点为F；④与线段AB的延长线相切，切点为Q．【规范解答】(1)在图10－15中，①如图10－15①，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC＝OE＝6cm．所以AC与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了2cm，所求运动时间为：t＝22＝1(s．)②如图10－15②，当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F．在Rt△FOB中，∠FBO＝30°，OB＝12 cm．则OF＝6cm，即OF等于半圆O的半径，所以AB与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了8cm，所求运动时间为：t＝82＝4(s)．③如图10－15③，当点O运动到BC的中点时，AC⊥OD，OC＝OD＝6cm，所以AC与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了14cm，所求运动时间为：t＝142＝7(s)．④如图10－15④，当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，过点O作⊙O上直线AB，垂足为Q．在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，则OQ＝6cm，即OQ等于半圆O所在的圆的半径．所以直线AB与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32cm，所求运动时间为：t＝322＝16 (s)．因为半圆O在运动中，它所在的圆与AC所在的直线相切只有上述①、③两种情形；与AB 所在的直线相切只有上述②、④两种情形；与BC所在直线始终相交，所以只有当t为1s，4s，7s，16s时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切．(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图②与图③所示的两种情形．①如图10－15②，设OA与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，所求重叠部分面积为：s扇形EOM＝14π×62＝9(cm2)．②如图10－15③，设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则PH＝BH．Rt△OBH中，∠OBH＝30°，OB＝6cm，则OH＝3cm，BH＝33cm，BP＝63cm．S△POB＝12×63×3＝93(cm2)．又因为∠DOP＝2∠DBP＝60°，所以S扇形DOP＝16π×62＝6π(cm2)．所求重叠部分面积为：S△POB＋S扇形DO P＝（93＋6π）(cm2)．【同类拓展】9．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(2)当t为何值时，PQ与⊙O相切？参考答案1. B2. C3.①②③④4．(1)203(2)略5．BF＝BE 6．(1)略227．aba b219．(1)t＝83（s）(2)t＝2。
考点4 直线与圆、圆与圆的位置关系(解析版)
2010-2015年高考真题汇编 专题9 直线与圆的方程考点4 直线与圆、圆与圆的位置关系1.（2015年重庆8，5分）已知直线:10()l x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴．过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =A.2B.C.6D.【答案】C【解析】将圆化为标准方程得4)1()2(22=-+-y x ，圆心)1,2(C ，2=r 。
∵直线l 是圆C 的对称轴，∴直线l 过圆心C ，012=-+∴a ，1-=∴a ，)1,4(--∴A ，∵AB 为切线，AB BC ⊥∴，222AB BC AC +=∴，又40)11()24(222=--+--=AC ，2==r BC ，644022=-=-=∴BC AC AB 。
2．（2014江西，5分）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A. 45π B. 34πC ．(6－25)π D. 54π【答案】A【解析】选A 法一：设A (a,0)，B (0，b )，圆C 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2，2r ＝a 2＋b 2，由题知圆心到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 2－45＝r ，即|2a ＋b －8|＝25r ，2a ＋b ＝8±25r ，由(2a ＋b )2≤5(a 2＋b 2)，得8±25r ≤25r ⇒r ≥25，即圆C 的面积S ＝π r 2≥45π.法二：由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离，此时2r ＝45，得r ＝25，圆C 的面积的最小值为S＝πr 2＝45π.3．（2014新课标全国卷Ⅱ，5分）设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________． 【答案】[－1,1]【解析】由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范围为[－1,1]．4．（2014江苏，5分）在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 【答案】2555【解析】因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x ＋2y－3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555. 5．（2014重庆，5分）已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.【答案】4±15【解析】依题意，圆C 的半径是2，圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于32×2＝3，于是有|1·a ＋a －2|a 2＋1＝3，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15.6．（2014湖北，5分）直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________. 【答案】2【解析】由题意得，直线l 1截圆所得的劣弧长为π2，则圆心到直线l 1的距离为22，即|a |2＝22⇒a 2＝1，同理可得b 2＝1，则a 2＋b 2＝2. 7．（2014江苏，16分）如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？【解析】法一：(1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0,60)，C (170,0)，直线BC 的斜率k BC ＝ －tan ∠BCO ＝－43.又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点B 的坐标为(a ，b )， 则k BC ＝b －0a －170＝－43，k AB ＝b －60a －0＝34. 解得a ＝80，b ＝120. 所以BC ＝－2＋－2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM ＝d m(0≤d ≤60)． 由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d 5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －－d ，即⎩⎪⎨⎪⎧680－3d5－d ≥80，680－3d 5－－d解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d5最大，即圆面积最大．所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大． 法二：(1)如图，延长OA ，CB 交于点F .因为tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45，cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170， 所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803，CF ＝OCcos ∠FCO ＝8503.从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003，从而BC ＝CF －BF ＝150. 因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m(0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO . 故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r6803－d＝35，所以r ＝680－3d 5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －－d ，即⎩⎪⎨⎪⎧680－3d5－d ≥80，680－3d 5－－d解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d5最大，即圆面积最大．所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．8．（2013江西，5分）过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B ．－33C ．±33D ．－ 3【答案】B【解析】本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系，意在考查考生的数形结合的数学思想及运算能力．由y ＝ 1－x 2得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．故S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB .所以当sin ∠AOB ＝1，即OA ⊥OB 时，S △AOB 取得最大值，此时点O 到直线l 的距离d ＝|OA |·sin 45°＝22.设此时直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，则有22＝|0－0－2k | k 2＋1，解得k ＝±33，由图可知直线l 的倾斜角为钝角，故取k ＝－33. 9．（2013山东，4分）过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 【答案】2 2【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力．最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩d ＝－2＋－2＝2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－22＝2 2.10．（2013重庆，5分）已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x－3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17【答案】A【解析】本题考查与圆有关的最值问题，意在考查考生数形结合的能力．两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4. 11．（2013江苏，14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【解析】本题考查直线与圆的方程，两直线交点和直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，意在考查学生用待定系数法处理问题的能力和用代数法处理几何性质的能力．(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋y －2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋a －2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为0，125.12．（2012天津，5分）设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞) 【答案】D 【解析】由题意可得|m ＋n |m ＋2＋n ＋2＝1，化简得mn ＝m ＋n ＋1≤m ＋n24，解得m＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.13．（2012陕西，5分）已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能【答案】A【解析】把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－3<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l 与圆C 相交．14．（2011江西，5分）若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－33，33) B ．(－33，0)∪(0，33) C ．[－33，33] D ．(－∞，－33)∪(33，＋∞) 【答案】B【解析】整理曲线C 1方程得，(x －1)2＋y 2＝1，知曲线C 1为以点C 1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，知直线l 与x 轴相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m＋－0|m 2＋1<r ＝1，解得m ∈(－33，33)，又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去． 15．（2012江苏，5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 【答案】43【解析】设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max＝43.。
专题07 直线与圆的位置关系(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题07直线与圆的位置关系【知识梳理】1、直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．2、直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l 与圆C 有公共点．有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离．（2）几何法：由圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系判断：当d r <时，直线l 与圆C 相交；当d r =时，直线l 与圆C 相切；当d r >时，直线l 与圆C 相离．3、圆的切线方程的求法（1）点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-．法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．（2）点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=．4、求直线被圆截得的弦长的方法（1）应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．（2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．（3）利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：12||l x x =-．【专题过关】【考点目录】考点1：直线与圆的位置关系考点2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用考点3：切线问题考点4：切点弦问题考点5：弦长问题考点6：面积问题考点7：直线与圆中的定点定值问题【典型例题】考点1：直线与圆的位置关系1．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定【答案】B【解析】圆心坐标为()1,1--，半径为2，圆心到直线的距离为341125-+=，所以直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=相切．故选：B2．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知点(,)P a b 在圆221x y +=上，则直线10ax by +-=与圆的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断【答案】B【解析】由题意得221a b +=，又1d r ===，即直线与圆相切故选：B3．（2021·黑龙江·牡丹江一中高二期中）直线:(1)(1)20()l a x a y a a R ++-+=∈与圆222270C x y x y +-+-=：的位置关系是（）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相交或相切【答案】B【解析】圆222270x y x y +-+-=，即22(1)(1)9x y -++=，表示以(1,1)-为圆心、半径等于3的圆．圆心到直线的距离d =再根据2222248474799221a a a a d a a ++-+-=-=++，而27470a a -+=的判别式∆161961800=-=-<，故有29d >，即3d <，故直线和圆相交，故选：B ．4．（2022·上海市控江中学高二期中）若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =恰有两个不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线:C y 为以(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =．当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离1d ==，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B5．（2021·浙江台州·高二期中）直线0x m +=与圆221x y +=有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A ．22m -≤≤B ．22m -<<C ．2m <-或2m >D ．2m ≤-或2m ≥【答案】B【解析】因为直线0x m +=与圆221x y +=有两个不同的交点所以圆心到直线的距离小于圆的半径圆心为()0,0，半径1r =1<，整理得：2m <解得：22m -<<故选：B ．6．（多选题）（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）已知直线:0l x y +=与圆22:(1)(1)4C x y -++=，则（）A ．直线l 与圆C 相离B ．直线l 与圆C 相交C ．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有2个D ．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有3个【答案】BD【解析】由圆22:(1)(1)4C x y -++=，可知其圆心坐标为(1,1)-，半径为2，圆心(1,1)-到直线:0l x y +=的距离1d ==，所以可知选项B ，D 正确，选项A ，C 错误．故选：BD7．（2021·四川眉山·高二期中）圆222440x y x y +-+-=与直线2140()tx y t t R ---=∈的位置关系为__________．【答案】相交【解析】由2140()tx y t t R ---=∈得(24)10()x t y t R ---=∈，令240,10,2, 1.x y x y -=--=∴==-所以直线过定点(2,1)P -．把(2,1)P -的坐标代入圆的方程的左边得到414440+---<，所以点(2,1)P -在圆内，所以直线和圆相交．故答案为：相交8．（2021·辽宁实验中学高二期中）已知圆22:4C x y +=上至少存在两点．．．．．．到直线0x y b +-=的距离为1，则实数b 的取值范围是___________．【答案】(-【解析】根据题意得圆C 的圆心为()0,0，半径为2r =，因为圆22:4C x y +=上至少存在两点．．．．．．到直线0x y b +-=的距离为1，1r <+3<，解得b -<<所以实数b 的取值范围是(-故答案为：(-9．（2022·全国·高二课时练习）已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是______．【答案】()13,13-【解析】由圆的方程知其圆心为()0,0，半径2r =，设圆心到直线1250x y c -+=的距离为d ，则13c d =；圆上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则1cd =<，解得：1313c -<<，所以实数c 的取值范围是()13,13-．故答案为：()13,13-．考点2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用10．（2021·安徽·马鞍山二中高二期中）已知一个动点P 在圆220432x y y -+=+上移动，它与定点(6,0)Q 所连线段的中点为M ．（1）求点M 的轨迹方程；（2）是否存在过定点(0,3)-的直线l 与点M 的轨迹方程交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，且满足12212x x x x +=，若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）设(,)M x y ，因M 是线段PQ 的中点，而点(6,0)Q ，则有点(26,2)P x y -，因P 在圆：22(2)36x y ++=上，于是得：22(26)(22)36x y -++=，化简得：22(3)(1)9x y -++=，所以点M 的轨迹方程是：22(3)(1)9x y -++=．（2）假定存在符合条件的直线l ，当l 斜率不存在时，直线:0l x =与圆M 相切，不符合题意，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：3y kx =-，由223(3)(1)9y kx x y =-⎧⎨-++=⎩消去y 并整理得：22(1(64))40k x k x +-++=，则()22(64)1610k k ∆=+-+>，解得512k >-，122641kx x k ++=+，12241x x k =+，由2121212212()4x x x x x x x x +=⇔+=，得2226416()11k k k +=++，解得512k =-，与512k >-矛盾，所以不存在过定点(0,3)-的直线l 与点M 的轨迹方程交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，且满足12212x x x x +=．11．（2021·云南大理·高二期中）已知圆C 的圆心C 在直线40x y +-=上，且圆C 经过()2,0M ，()0,2N 两点．（1）求圆C 的方程；（2）已知点()0,P m ，过原点的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且PA PB ⊥．若13m <<，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解析】（1）设(),C a b ，则222240(2)(2)a b a b a b +-=⎧⎨-+=+-⎩，解得2a =，2b =．从而圆C 的半径2r ==，故圆C 的方程为22(2)(2)4x y -+-=（或224440x y x y +--+=）．（2）设直线l ：y kx =，()11,A x y ，()22,B x y ．联立224440y kx x y x y =⎧⎨+--+=⎩，整理得()2214(1)40k x k x +-++=，则1224(1)1k x x k ++=+，12241x x k =+．因为A ，B 两点在直线l 上，所以11y kx =，22y kx =，所以212241ky y k =+，1224(1)1k k y y k ++=+．因为PA PB ⊥，所以1PA PB k k ⋅=-，所以12121y m y mx x --⋅=-，即()21212120x x y y m y y m +-++=，则22222444(1)0111k mk k m k k k ++-+=+++，即24(1)41k k m k m+=++．因为()1,3m ∈，所以[)44,5m m+∈，所以24(1)451k k k +≤<+，解得1k ³．12．（2021·浙江省象山县第二中学高二期中）已知圆G 过点()1,3M -，()6,4N 且圆心G 在x 轴．（1）求圆G 的标准方程；（2）圆G 与x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 作两条直线分别交圆于B ，C 两点，且5AB AC k k ⋅=-，求证：直线BC 恒过定点．【解析】（1）由题意设圆心为(,0)G a=3a =，5r ==，所以圆G 方程为22(3)25x y -+=；（2）在圆方程中令0y =得2x =-或8x =，所以(2,0)A -，BC 斜率存在时，设BC 方程为y kx m =+，设1122(,),(,)B x y C x y ，由()22x 325y kx m y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩得222(1)2(3)160k x km x m ++-+-=，2224(3)4(1)(16)0km k m ∆=--+->，即22166250k m lm --+>（*），1222(3)1km x x k -+=-+，2122161m x x k -=+，12121212()()22(2)(2)AB ACy y kx m kx m k k x x x x ++=⨯=++++2212121212()52()4k x x km x x m x x x x +++==-+++，22222222(16)2(3)5(16)20(3)201111k m km km m km m k k k k ------+=+-++++，化简得223720m km k -+=，(2)(3)0m k m k --=，所以2m k =或3k m =，都满足（*）式．2m k =时，方程为2y kx k =+，过定点(2,0)-，舍去，3k m =时，方程为3y mx m =+，过定点1(,0)3-，BC 斜率不存在时，1111(,),(,)B x y C x y -，21152AB ACy k k x ⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，22115(2)y x =+，又2211(3)25x y -+=，12x ≠-，解得113x =-，因此BC 也过点1(,0)3-．综上，直线过定点1(,0)3-．13．（2021·广东外语外贸大学实验中学高二期中）已知过点(0,2)A 且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=交于M ，N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求||MN ．【解析】（1）圆22:(2)(3)1C x y -+-=，圆心(2,3)，半径1r =设直线l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=因为直线l 与圆C 1<，解得403k <<．所以k 的取值范围为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ．联立()()222231y kx x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，整理得()()2212440k x k x +-++=，所以122241k x x k ++=+，12241x x k =+，所以()()()21212121224212481k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=++uuu r uuu r ．由题设得()2428121k k k ++=+，解得12k =，所以直线l 的方程为122y x =+，所以圆心(2,3)C 在直线l 上，所以2MN =．14．（2021·广东·广州市第七十五中学高二期中）已知圆C 经过两点A （2，2），B （3，3），且圆心C 在直线x －y +1=0上．（1）求圆C 的标准方程；（2）设直线l ：y =kx +1与圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若645OM ON ⋅=，求|MN |的值．【解析】（1）设所求圆C 的标准方程为()222()()0x a y b r r -+->=，由题意，有222222(2)(2)(3)(3)10a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩，解得231a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的标准方程为22(2)(3)1x y -+-=；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，将1y kx =+代入22(2)(3)1x y -+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x +-++=，所以1224(1)1k x x k ++=+，12271x x k =+，0∆>，所以21212121224(1)64(1)()1851k k OM ON x x y y k x x k x x k+⋅=+=++++=+=+，解得2k =或3k =，检验3k =时，∆<0不合题意，所以2k =，所以12125x x +=，1275x x =，所以||MN 考点3：切线问题15．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））圆心为C 的圆经过点(4,1)A -和(3,2)B -，且圆心C 在直线:20l x y --=上（1）求圆心为C 的圆的方程；（2）过点(5,8)P 作圆C 的切线，求切线的方程．【解析】（1）因圆心C 在直线:20l x y --=上，则设(,2)C a a -，由||||CA CB =得：，解得0a =，因此，圆心(0,2)C -，半径||5r CA ==，所以圆C 的方程为：22(2)25x y ++=．（2）设过点(5,8)P 的圆C 的切线方程为：(5)(8)0m x n y -+-=，220m n +≠，5=，整理得：2430mn n +=，解得0n =或34m n =-，当0n =时，切线方程为：50x -=，当34m n =-时，切线方程为：34170x y -+=，所以过点(5,8)P 的圆C 的切线方程为50x -=或34170x y -+=．16．（多选题）（2021·湖北·高二期中）设有一组圆()()()22:4k C x k y k k R -+-=∈，下列命题正确的是（）A ．不论k 如何变化，圆心k C 始终在一条直线上B ．存在圆kC 经过点()3,0C ．存在定直线与圆k C 都相切D ．经过点()2,2的圆k C 有且只有一个【答案】AC【解析】根据题意，圆22:()()4()k C x k y k k R -+-=∈，其圆心为(,)k k ，半径为2；依次分析选项：对于A ，圆心为(,)k k ，其圆心在直线y x =上，A 正确；对于B ，圆22:()()4k C x k y k -+-=，将(3,0)代入圆的方程可得22(3)(0)4k k -+-=，化简得22650k k -+=，364040=-=-<，方程无解，B 错误；对于C ，存在直线y x =±0x y -+=或0x y --=，圆心(,)k k 到直线0x y -+=或0x y --=的距离2d =，这两条直线始终与圆k C 相切，C 正确，对于D ，将(2,2)代入圆的方程可得22(2)()42k k -+=-，解得2k =D 错误；故选：AC ．17．（2021·安徽滁州·高二期中）过圆22:4O x y +=上一点(P -作圆O 的切线l ，则直线l 的方程是（）A ．40x -=B ．20x +-=C ．20x +=D ．40x +=【答案】D【解析】由题意点(P -为切点，所以1OP l k k ⋅=-，又OP k =l k =因此直线l 的方程为40x +=．故选：D18．（2021·天津市咸水沽第二中学高二期中）过点(3,1)M 作圆222620x y x y +--+=的切线l ，则l 的方程为（）A ．40x y +-=B ．40x y +-=或3x =C ．20x y --=D ．20x y +-=或3x =【答案】C【解析】根据题意，设圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +2＝0的圆心为C ，圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +2＝0，即()()22138-+-=x y ，其圆心为（1，3），又由点M 的坐标为（3，1），有()()2231138-+-=，即点M 在圆上，则13131-==--MC k ，则切线的斜率k ＝1，则切线的方程为y ﹣1＝（x ﹣3），即x ﹣y ﹣2＝0；故选：C ．19．（2021·山东济宁·高二期中）过点()2,3P -的直线l 与圆222230x y x y ++--=相切，则直线l 的方程是（）A ．2x =-或280x y -+=B ．280x y -+=C ．2x =-或210x y ++=D ．210x y ++=【答案】B【解析】把圆222230x y x y ++--=化为标准方程得：()()22115x y ++-=．因为()2,3P -在圆上，所以过P 的切线有且只有一条．显然过点()2,3P -且斜率不存在的直线：2x =-与圆相交，所以过P 的切线的斜率为k ．因为切线与过切点的半径垂直，所以()13112k -=----，解得：12k =，所以切线方程为：()1322y x -=+，即280x y -+=．故选：B20．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知直线()10ax y a R -+=∈是圆()()22:124C x y -+-=的一条对称轴，过点()2,A a --向圆C 作切线，切点为B ，则AB =（）AB C D ．【答案】C【解析】由圆()()22:124C x y -+-=，可知该圆的圆心坐标为()1,2C ，半径为2，因为直线10ax y -+=是圆()()22:124C x y -+-=的一条对称轴，所以圆心()1,2在直线10ax y -+=上，所以有2101a a -+=⇒=，因为过点()2,1A --向圆C 作切线，切点为B ，所以AC ==所以AB ==故选：C21．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（理））直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ ==，故选：B ．22．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）经过圆22:25C x y +=上一点()4,3A -且与圆相切的直线的一般式方程为__________．【答案】43250x y --=【解析】由题意，圆22:25C x y +=，可得圆心坐标为(0,0)C ，因为()4,3A -，则303404CA k --==--，则过点()4,3A -且与圆相切的直线的斜率为43k =，根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为4(3)(4)3y x --=-，即43250x y --=，即点()4,3A -且与圆相切的直线的一般式方程为43250x y --=．故答案为：43250x y --=23．（2021·湖南·常德市第二中学高二期中）已知圆C ：x 2＋y 2＝20，则过点P （4，2）的圆的切线方程是________．【答案】2100x y +-=【解析】由224220+=知P 在圆C 上，而(0,0)C ，2142PC k ==，所以所求切线斜率为2k =-，方程为22(4)y x -=--，即2100x y +-=．故答案为：2100x y +-=．24．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______．【答案】1x =或3450x y -+=【解析】当直线l 的斜率不存在时，因为过点()1,2，所以直线:1l x =，此时圆心(0,0)到直线1x =的距离为1=r ，此时直线:1l x =与圆221x y +=相切，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，所以:l 2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离1d r ===，解得34k =，所以直线l 的方程为3450x y -+=．综上：直线的方程为1x =或3450x y -+=故答案为：1x =或3450x y -+=25．（2021·四川省叙永第一中学校高二期中（文））过直线34140x y ++=上的动点P 作圆22(1)(2)4x y -+-=的切线，切点为A ，则切线长PA 的最小值为____________．【解析】根据题意，圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，其圆心(1,2)，半径2r =；设圆心为C ，即(1,2)C ；则有2222||||||||4PA PC AC PC =-=-，当||PC 取得最小值时，切线长||PA 最小，因为||PC 5=，则||PA=26．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）已知圆224470x y x y +-++=与直线20x ay --=相切，则=a ___________．【答案】33【解析】()()22224470221x y x y x y +-++=⇒-++=，圆的圆心为（2，－2），半径r ＝1，()()2222311a a a -⋅--=⇒=+-故答案为：33±．考点4：切点弦问题27．（2021·福建宁德·高二期中）过圆221x y +=外一点(2,1)P -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是________．【答案】210x y --=【解析】设切点分别为()()1122,,,A x y B x y ，因为点,A B 在圆221x y +=上，所以以,A B 为切点的切线方程分别为：11221,1x x y y x x y y +=+=，而点()2,1P -在两条切线上，所以112221,21x y x y -=-=，即点P 满足直线21210x y x y -=⇒--=．故答案为：210x y --=．28．（2021·广东·广州市第六十五中学高二期中）过点()5,3P 作圆229x y +=的两条切线，设两切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_________．【答案】5390x y +-=【解析】根据题意，过点(5,3)P 作圆229x y +=的两条切线，设两切点分别为A 、B ，则2||||95PA PO =-，则以P 为圆心，PA 为半径为圆为22(5)(3)25x y -+-=，即圆2210690x y x y +--+=，AB 为两圆的公共弦所在的直线，则有2222910690x y x y x y ⎧+=⎨+--+=⎩，变形可得：5390x y +-=；即直线AB 的方程为5390x y +-=，故答案为：5390x y +-=29．（2021·安徽·合肥一中高二期中）已知圆22:4O x y +=，过动点(),4P a a +分别做直线PM 、PN 与圆O 相切，切点为M 、N ，设经过M 、N 两点的直线为l ，则动直线l 恒过的定点坐标为__________．【答案】()1,1-【解析】设点()00,Q x y 为圆O 上一点，当OQ 的斜率存在且不为零时，直线OQ 的斜率为0y x ，此时，圆O 在点()00,Q x y 处的切线方程为()0000x y y x x y -=--，即2200004x x y y x y +=+=，当OQ 与x 轴重合时，00y =，204x =，此时切线方程为0x x =，满足004x x y y +=，当OQ 与y 轴重合时，00x =，204y =，此时切线方程为0y y =，满足004x x y y +=．综上所述，圆O 在其上一点()00,Q x y 处的切线方程为004x x y y +=．设点()11,M x y 、()22,N x y ，则直线PM 的方程为114x x y y +=，直线PN 的方程为224x x y y +=，由题意可得()()11224444ax a y ax a y ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，所以，点M 、N 的坐标满足方程()440ax a y ++-=，故直线MN 的方程为()440ax a y ++-=，即()()440a x y y ++-=，由0440x y y +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，因此，直线l 恒过的定点坐标为()1,1-．故答案为：()1,1-．30．（2021·安徽·屯溪一中高二期中）已知直线:10()l x ay a +-=∈R 是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴．过点(4,)A a -作圆C 的两条切线，切点分别为B 、D ，则直线BD 的方程为（）A ．350x y +-=B ．250x y +-=C ．350x y -+=D ．250x y +-=【答案】A【解析】根据题意，圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=，即圆心为C （2，1），半径为2．∴点（2，1）在直线10x ay +-=上，即2101a a +-=∴=-∴点A 的坐标为（-4，-1）AC ∴==∴过点A 作圆C 的切线所得切线长为6=∴以点A 为圆心，6为半径的圆A 的方程为()()224136x y +++=圆A 与圆C 的方程作差得350x y +-=，即直线BD 的方程为350x y +-=故选：A ．31．（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）过点()1,1P 作圆C ：224470x y x y +--+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（）A ．30x y +-=B ．10x y --=C ．10x y -+=D ．10x y +-=【答案】A【解析】224470x y x y +--+=，即()()22221x y -+-=，圆心为()2,2，半径1r =．当斜率不存在时，直线1x =与圆相切，切点为()1,2；当斜率为0时，直线1y =与圆相切，切点为()2,1．故直线方程为斜率21112k -==--，直线方程为()12y x =--+，即30x y +-=．故选：A ．32．（2020·安徽·六安市城南中学高二期中（理））过原点 O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P 、 Q ，则线段PQ 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由题意，2268200x y x y +--+=可化为22(3)(4)5x y -+-=，∴圆心(3,4)C ，半径r =，则有5OC =，故切线段长l ==若线段PQ 的长为x ，则2xOC l r ⋅=⋅，得4x =．故选：B ．考点5：弦长问题33．（2021·广东·化州市第三中学高二期中）过点M （2，2）的直线l 与圆x 2+y 2﹣2x ﹣8＝0相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为_____；此时直线l 的方程为_______．【答案】4260x y +-=【解析】∵圆x 2+y 2﹣2x ﹣8＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝9，圆心C （1，0），半径为3，点M （2，2）在圆内，20221MC k -==-，要使|AB |的值最小，则MC ⊥AB ，此时|MC |=|AB |＝4=；直线l 的斜率为12-，则直线l 的方程为y ﹣2＝12-（x ﹣2），即x +2y ﹣6＝0．故答案为：4；260x y +-=．34．（2021·湖北黄冈·高二期中）已知直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，则t 的取值范围为______，所有的弦中，最长的弦的长度为______．【答案】403t <≤【解析】由于直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，所以220403t t t ⎧->⇒<≤≤；又弦长==23t =时，有最大值，其最大值为故答案为：403t <≤35．（2021·广东·潮州市湘桥区南春中学高二期中）已知三点(2,0),(1,3),(2,2)A B C 在圆C 上，直线:360l x y +-=，（1）求圆C 的方程；（2）判断直线l 与圆C 的位置关系；若相交，求直线l 被圆C 截得的弦长．【解析】（1）设圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，由题意得：24031002280D F DEF D E F ++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，消去F 得：362D E D E -=⎧⎨-+=-⎩，解得：02D E =⎧⎨=-⎩，∴F =-4，∴圆C 的方程为：22240x y y +--=．（2）由（1）知：圆C 的标准方程为：22(1)5x y +-=，圆心(0,1)C，半径r =；点(0,1)C 到直线l的距离2d r ==<，故直线l 与圆C 相交，故直线l 被圆C截得的弦长为=36．（2021·广东·新会陈经纶中学高二期中）已知圆22:240C x y y +--=，直线()10l mx y m m -+-∈R ：＝．（1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长．【解析】（1）由题设知圆C ：()2215x y +-=，∴圆C 的圆心坐标为C ()0,1，半径为r 又直线l 可变形为：()11y m x -=-，则直线恒过定点()1,1M ，∵()2211115+-=<，∴点M 在圆C 内，故直线l 必定与圆相交．（2）由题意知0m ≠，∴直线l 的斜率k m =tan120=︒=，∴圆心C ()0,1到直线l 10y +=的距离d ==，∴||AB ===．37．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点1,0,()(,2)1A B -．（1）求线段AB 的垂直平分线方程；（2）求圆C 的标准方程；（3）若过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于M N 、两点，且MN =，求直线l 的方程．【解析】（1）设AB 的中点为D ，则(0,1)D ．由圆的性质，得CD AB ⊥，所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-．所以线段AB 的垂直平分线的方程是1y x =-+．（2）设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为()0r r >，由（1）得直线CD 的方程为1y x =-+，由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =，所以圆心()1,0C ，||2r CA ==，所以圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=．（3）由（1）设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||FM FN ==圆心C 到直线l的距离||1d CF ==，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程0x =，此时||1CF =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设l 的方程2y kx =+，即20kx y -+=，由题意得d =34k =-；故直线l 的方程为324y x =-+，即3480x y +-=；综上直线l 的方程为0x =或3480x y +-=．38．（2021·湖北宜昌·高二期中）已知圆M 过点(1,2),(1,4),(3,2)A B C -．（1）求圆M 的方程；（2）若直线:340l x y b +-=与圆M相交所得的弦长为b 的值．【解析】（1）设圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因为圆M 过(1,2),(1,4),(3,2)A B C -三点，则1420,11640,94320,D E F D E F D E F +-++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩解得2,4,1D E F =-=-=，所以圆M 的方程为222410x y x y +--+=，即22(1)(2)4x y -+-=；（2）由题意，得圆心(1,2)到直线l的距离1d =，1=，即|11|5b -=，解得6b =或16．故所求b 的值为6或16．39．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）直线10x y +-=被圆()()229114x y -+-=所截得的弦长为__________【解析】圆()()229114x y -+-=的圆心为()1,1，半径为32圆心()1,1到直线10x y +-=2=则直线10x y +-=被圆()()229112x y -+-=所截得的弦长为40．（2021·福建·晋江市第一中学高二期中）已知()3,0M 是圆228280x y x y +--+=内一点，则过点M 最短的弦长为（）A ．B C ．6D ．8【答案】A【解析】圆228280x y x y +--+=，即()()22419x y -+-=，则该圆的半径为3，圆心为()4,1，M∴过点M 最短的弦长为．故选：A41．（2022·全国·高二期中）若直线20x y --=与圆()224x a y -+=所截得的弦长为则实数a 为（）．A ．1-B ．1或3C ．3或6D ．0或4【答案】D【解析】圆()224x a y -+=的圆心坐标为(,0)a ，半径为2，圆心(,0)a 到直线20x y --=的距离为d =，又直线20x y --=被圆()224x a y -+=所截的弦长为故，即2(2)4a -=，解得0a =或4a =．故选：D ．42．（2022·江苏·淮阴中学高二期中）已知直线0x y m -+=与圆22:40C x y y ++=相交于A 、B 两点，若CA CB ⊥，则实数m 的值为（）A ．4-或0B ．4-或4C ．0或4D ．4-或2【答案】A【解析】圆C 的标准方程为()2224x y ++=，圆心为()0,2C -，半径为2r =，因为CA CB ⊥且2CA CB ==，故ABC 为等腰直角三角形，且AB ==则圆心C 到直线AB 的距离为12d AB ==由点到直线的距离公式可为d ==4m =-或0．故选：A ．43．（2022·广东·仲元中学高二期中）已知直线l ：y kx =与圆22:20C x y y +--=相交于M ，N两点，若MN =k 的值为（）AB ．2CD ．3【答案】C【解析】圆22:20C x y y +--=，可化为(()2214x y -+-=，∴圆心C的坐标)，半径为21=，又圆心到直线的距离d =1=，解得0k =（舍去）或k 故选：C考点6：面积问题44．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）过直线:2l y x =-上任意点P 作圆22:1C x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，当切线长最小时，切线长为_________；同时PAB △的面积为_______．【答案】112【解析】依据题意，作出图形，如下图：因为直线l 过点P 且与圆221x y +=相切于点A ，所以PA OA ⊥，所以PA ==要使得PA 最小，则OP 要最小，由题可得：OP 的最小值就是点O 到直线:2l y x =-的距离d ==此时，min 1PA =，所以4OPA π∠=由切线的对称性可得：,12BPA PB π∠==所以PAB △的面积为111122PABS =⨯⨯=，故答案为：1；12．45．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）已知点()3,2A ，点()3,6B ，直线l 过定点()1,0．（1）求以线段AB 为直径的圆的标准方程；（2）记（1）中求得的圆的圆心为C ，（i ）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（ii ）若直线l 与圆C 交于，PQ 两点，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【解析】（1）依题可知线段AB 的中点为()3,4是圆心，半径122r AB ===．∴所求圆的标准方程为：()()22344x y -+-=；（2）（i ）由（1）知：圆心()3,4C ，半径2r =，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，是圆的切线，满足题意；当直线l 斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离2d =，解得：34k =，∴l ：3430x y --=；综上所述：直线l 的方程为1x =或3430x y --=；（ii ）由直线l 与圆C 交于P ，Q 两点知：直线l 斜率存在且不为0，设其方程为：()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离d ==，∵()2222222144222CPQd d S PQ d d r d d d⎡⎤-+=⋅=-=-≤=⎢⎥⎣⎦△（当且仅当224d d -=，即22d =时取等号），由22d=得：()222421k k -=+，解得：1k =或7k =，∴CPQ 面积的最大值为2，此时l 方程为：10x y --=或770x y --=．46．（2020·四川省成都高新实验中学高二期中）已知直线:250l x y --=与圆22:50C x y +=相交于A ，B 两点，求：（1）交点A ，B 的坐标（2）AOB 的面积．【解析】（1）直线:250l x y --=与圆22:50C x y +=的交点，由2225050x y x y --=⎧⎨+=⎩，可得55x y =-⎧⎨=-⎩，71x y =⎧⎨=⎩所以交点A ，B 的坐标为()5,5--，()7,1（2）设直线:250l x y --=与x 轴的交点为E ，则()5,0E 所以AOBAOEEOBSSS=+11||22A B y OE y OE =+‖()1||2A B y y OE =+1652=⨯⨯15=47．（2020·湖北·高二期中）直线:1l y x =+与圆22:430C x y y +-+=交于A 、B 两点，则ABC 的面积是_________．【答案】12【解析】圆()22:21C x y +-=，()0,2C 到直线l 的距离021222d -+=，∴22122AB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭∴111222ABC S AB d =⋅==△故答案为：1248．（2021·广东·佛山一中高二期中）已知圆的方程为222440x y x y +---=，设该圆过点()2,3M 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 面积为（）A ．6B ．C ．D ．【答案】C【解析】圆的标准方程为()()22129x y -+-=，圆心为()1,2E ，半径为3r =，()()2221329-+-<，故点M 在圆()()22129x y -+-=内，如下图所示：则ME 过点M 的弦过圆心时，弦长取最大值，即26AC r ==，当过M 的弦与ME 垂直时，弦长取最小值，即BD =此时AC BD ⊥，此时，四边形ABCD 的面积为11622S AC BD =⋅=⨯⨯=故选：C ．49．（2021·福建龙岩·高二期中）设直线20ax y ++=与圆()22:24C x y +-=相交于A 、B 两点，且ABC 的面积为2，则=a （）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由三角形的面积公式可得212sin 22ABC S ACB =⨯⨯∠=△，可得sin 1ACB ∠=，0ACB π<∠<，故2ACB π∠=，则ABC 为等腰直角三角形，所以，圆心C 到直线20ax y ++=的距离为2sin4d π==由点到直线的距离公式可得d=，解得a=故选：D．50．（2021·江西南昌·高二期中（理））已知圆的方程为222440x y x y+---=，设该圆过点()1,3M的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（）AB．C．8D．13【答案】B【解析】圆的方程为222440x y x y+---=，化为标准方程：()()22129x y-+-=，圆心为()1,2N，半径为3r=，当过点()1,3M的直线与NM垂直时，弦长最短，且AC==当过点()1,3M的直线且过圆心时，弦长最长，且26BD r==，此时，AC BD⊥，所以四边形ABCD面积为11622S AC BD=⋅=⨯=故选：B考点7：直线与圆中的定点定值问题51．（2021·山东潍坊·高二期中）已知圆M的圆心与点()1,4N-关于直线10x y-+=对称，且圆M与y轴相切于原点O．（1）求圆M的方程；（2）过原点O的两条直线与圆M分别交于,A B两点，直线,OA OB的斜率之积为12-，,OD AB D⊥为垂足，是否存在定点P，使得DP为定值，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）（1）设M（a，b）．则411141022baa b-⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩．解得3ab=⎧⎨=⎩．所以该圆的半径为3，．所以圆M的方程为()2239x y-+=；（2）设OA所在直线方程为()0y kx k=≠，联立()2239x y y kx ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得226611A Ak x y k k =⋅=++，同理把k 换做－12k ，可得222412,1414B Bk kx y k k-==++所以AB 所在直线方程为222636(1121k k y x k k k -=-+-+）．当0y =时，可得4x =，故直线AB 过定点C （4，0）．由于OC 为定值，且△ODC 为直角三角形，OC 为斜边，所以OC 中点P 满足22OC DP ==为定值，由于O （0，0），C （4，0），故由中点坐标公式可得P （2，0），故存在点P （2，0），使得|DP |为定值．52．（2021·全国·高二期中）已知圆C经过点(0,，(及()3,0．经过坐标原点O 的斜率为k 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点()3,0P -，分别记直线PM ､直线PN 的斜率为1k ､2k ，求12k k +的值．【解析】（1）设圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，由圆C过(0,，(及()3,0．∴23030330F F D F ⎧+=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩可得203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴圆C 的方程为：22230x y x +--=，其标准方程为()2214x y -+=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 为y kx =，与圆C ：()2214x y -+=联立得：()221230k x x +--=，∴()22443112160k k ∆=+⨯⨯+=+>，则12221x x k +=+，12231x x k =-+，∴12121212123333y y kx kx k k x x x x +=+=+++++()()()1212122333k x x x x x x ++⎡⎤⎣⎦=++()()22126611033k k k x x -⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==++．53．（2020·浙江温州·高二期中）已知圆C ：2280x x y ++=，直线l ：20mx y m ++=．（1）当直线l 与圆C 相交于A ，B两点，且AB =l 的方程．（2）已知点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上是否存在两个定点M ，N ，使得12PM PN=？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）由已知可得圆心()4,0C -，4r =．圆心C 到直线l的距离d =因此AB ===．22421m m =+，解得1m =±，直线l 的方程为2y x =+或2y x =--．（2）设(),P x y ，()1,0M x ，()2,0N x 由已知可得228x y x +=-12=，化简得211222821824x x x x x x x x -+-=-+-．即()()221221241240x x x x x -++-=恒成立所以122221412040x x x x -+=⎧⎨-=⎩，解得12612x x =-⎧⎨=-⎩，或1224x x =-⎧⎨=⎩所以满足题意的定点M ，N 存在，其坐标为()6,0M -，()12,0N -或()2,0M -，()4,0N ．54．（2020·辽宁·大连八中高二期中）已知圆22:1O x y +=与x 轴的正半轴交于点P ，直线:30l kx y k --+=与圆O 交于不同的两点A ，B ．（1）求实数k 的取值范围；（2）设直线PA ，PB 的斜率分别是12,k k ，试问12k k +是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；【解析】∵圆221O x y +=：与x 轴的正半轴交于点P ，∴圆心00O (，)，半径1r =，()10，P ．（1）∵直线30l kx y k --+=：与圆O 交于不同的两点,A B ，∴圆心O 到直线l 的距离1d =<，即3k -43k >．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y 联立22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩，可得2222(1)(26)680k x k k x k k +--+-+=，∴2122261k k x x k -+=+，2122681k k x x k-+=+，∴121212121212(1)3(1)3332111111y y k x k x k k k x x x x x x -+-++=+=+=++------221222212123(2)3[262(1)]22()168(26)1x x k k k k k x x x x k k k k k +---+=+=+-++-+--++1862293k k --=+=-为定值．∴12k k +是定值，定值为23-．55．（2021·吉林·长春外国语学校高二期中）已知圆1O过点P ，且与圆2222:(2)(2)(0)O x y r r ++-=>关于直线20x y -+=对称．（1）求圆1O 、圆2O 的方程；（2）过点Q 向圆1O 和圆2O 各引一条切线，切点分别为C ，D ，且2QD QC =，则是否存在一定点M ，使得Q 到M 的距离为定值λ？若存在，求出M 的坐标，并求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设圆1O 的圆心1(,)O a b ，因为圆1O 与圆2222:(2)(2)O x y r ++-=关于直线20x y -+=对称，可得2112222022b a a b -⎧⋅=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得0,0a b ==，设圆1O 的方程为222x y r +=，将点P ，代入可得2r =，所以圆1O 的方程为224x y +=，圆2O 的方程为22(2)(2)4x y ++-=．（2）由2QD QC ==设()00,Q x y ，则()()()2222000022444x y x y ++--=+-，化简得22002268339x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在定点22,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭使得Q 到M．56．（2021·湖南·怀化五中高二期中）已知圆C 的圆心坐标为(3,0)C ，且该圆经过点(0,4)A ．（1）求圆C 的标准方程；（2）直线n 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线n 过一个定点，并求出该定点坐标．（3）直线m 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之和为0，求证：直线m 的斜率是定值，并求出该定值．【解析】（1）依题意，圆C 的半径22||345CA =+，所以圆C 的标准方程是：()22325x y -+=．（2）当直线n 的斜率不存在时，设(,),(,)M a b N a b -，由直线AM ，AN 的斜率之积为2，得442b b a a ---⋅=，即22162b a =-，又由点M ，N 在圆C 上得()22325a b -+=，消去b 得：260a a +=，而0a ≠，则6a =-，此时20b <，因此，无解，当直线n 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，由22(3)25y kx t x y =+⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得：222(1)2(3)160k x kt x t ++-+-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则1222(3)1kt x x k --+=+，2122161t x x k -=+，直线AM 斜率114AM y k x -=，直线AN 斜率224AN y k x -=，则()()221212121212444·4AM ANt kx t kx t x xk k k k t x x x x x x -+-+-+==+-⋅+2222222226(1)(4)(4)26(1)(4)(4)16164kt k t k t k t k k t k k t t t t -++-+-+++-=+-⋅+=--+6424k t t +-==+，整理得612t k =-，此时直线n ：(6)12y k x =+-过定点()6,12--，所以直线n 过一个定点，该定点坐标是()6,12--．（3）设直线AM 方程为：4y rx =+，由224(3)25y rx x y =+⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得：22(1)2(43)0 r x r x++-=，则有点22268464(,)11r r rMr r--++++，而直线AN：4y rx=-+，同理22268464(,)11r r rNr r+--+++，于是得直线MN的斜率2222224644643116868411MNr r r rr rk r rr r-++--+-++==--+-++，所以直线m的斜率是定值，该定值为3 4-．。
2022-2023学年人教版高二数学阶段复习精练专题2-5 直线与圆,圆与圆位置关系(解析版)
d=rrd专题2.5 直线与圆，圆与圆之间的位置关系1.直线与圆的位置关系：1. 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-，圆心到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=（1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ； （2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；（3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ；弦长|AB|=222d r - 2.还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；2. 两圆的位置关系1.设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2222222)()(:r b y a x C =-+-，圆心距221221)()(b b a a d -+-= ① 条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； ② 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ； ③ 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ； ④ 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ； ⑤ 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离 外切 相交 内切 内含3.切线问题1. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立①k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即：⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101k x a k y b R x x k y y(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x -a )2+(y -b )2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，设切线方程上某点坐标为),(y x ，10000-=--⋅--ax by x x y y则过此点的切线方程为：0))(())((0000=--+--y y b y x x a x22020)()(r a x b y =-+- ， 则过此点的切线方程也可为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+. 2.切点弦过①C ：222)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作①C 的两条切线，切点分别为B A 、，则切点弦AB 所在直线方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--3.切线长：若圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2，则过圆外一点P (x 0，y 0)的切线长为 d =22020b)(+)(r y a x --- 4.圆心的三个重要几何性质：① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上；① 圆心在某一条弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
直线与圆的位置关系—知识讲解
直线与圆的位置关系—知识讲解【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系；2.理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.2．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．3．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，（1）d＜r直线l与⊙O相交；（2）d=r直线l与⊙O相切；（3）d＞r直线l与⊙O相离.要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的性质定理和判定定理1．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.2．切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴AC BC34CD===2.4AB5∙⨯(cm)，（1）当r=2cm时，CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离【答案】B.类型二、切线的判定与性质2．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．【思路点拨】作垂直，证半径．【答案与解析】证明：过D作DF⊥AC于F．∵∠B＝90°，∴DB⊥AB．又AD平分∠BAC，∴ DF＝BD＝半径．∴ AC与⊙D相切．【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可．3.（2015•黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．【思路点拨】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．【答案与解析】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．【总结升华】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．4．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．【思路点拨】（1）连接OD，证明OD∥AD即可；（2）作DF⊥AB于F，证明△EAD≌△FAD，将DE转化成DF来求.【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝EAD．∴EA∥OD．∵DE⊥EA，∴DE⊥OD．又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．（2）如上图，作DF⊥AB，垂足为F．∴∠DFA＝∠DEA＝90°．∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD．∴AF＝AE＝8，DF＝DE.∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．在Rt△DOF中，DF4．∴DE＝DF＝4．【总结升华】本题综合考察了平行线的判定，全等三角形的判定和勾股定理的应用，是一道很不错的中档题.举一反三：【变式1】（2015•盐城）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．【答案与解析】（1）解；∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°，（2）证明：连接OE．在△EAO与△EDO中，，∴△EAO≌△EDO，∴∠EDO=∠EAO，∵∠BAC=90°，∴∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切．C B举一反三：【变式2】如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B，则AC 等于( )AC．．【答案】因为以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B ，所以∠ABC ＝90°，在Rt△ABC中，AC==C ．类型三、三角形的内切圆5．如图，已知O 是△ABC 的内心，∠A=50°，求∠BOC 的度数.【思路点拨】O 是△ABC 的内心，∠A=50°，根据内切圆的性质可求∠OBC+∠OCB=11(180)=(18050)=6522A ︒-︒-︒︒∠ ，在△BOC 中，根据三角形内角和求出∠BOC 的度数. 【答案与解析】解：∵O 是△ABC 的内心，∠A=50°，∴∠OBC+∠OCB=11(180)=(18050)=6522A ︒-︒-︒︒∠， ∴∠BOC=180°-65°=115°.【变式】如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O内切与△ABC，则△ABC去除⊙O剩余阴影部分的面积为（）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【答案】D.C B。
专题11 直线与圆(解析版)
专题11 直线与圆【要点提炼】1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝ －1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r . (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.考点考向一 直线的方程【典例1】 (1)(2020·西安检测)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A.1B.－2C.1或－2D.－32(2)已知直线l 1：kx －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋ky －3＝0(k ≠0)分别过定点A ，B ，又l 1，l 2相交于点M ，则|MA |·|MB |的最大值为________.解析 (1)由题意知m (1＋m )－2×1＝0，解得m ＝1或－2，当m ＝－2时，两直线重合，舍去；当m ＝1时，满足两直线平行，所以m ＝1.(2)由题意可知，直线l 1：kx －y ＋4＝0经过定点A (0，4)， 直线l 2：x ＋ky －3＝0经过定点B (3，0)，注意到直线l 1：kx －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋ky －3＝0始终垂直，点M 又是两条直线的交点，则有MA ⊥MB ，所以|MA |2＋|MB |2＝|AB |2＝25.故|MA |·|MB |≤252(当且仅当|MA |＝|MB |＝522时取“＝”). 答案 (1)A (2)252探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【拓展练习1】 (1)(多选题)光线自点(2，4)射入，经倾斜角为135°的直线l ：y ＝kx ＋1反射后经过点(5，0)，则反射光线还经过下列哪个点( ) A.(14，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98 C.(13，2)D.(13，1)(2)已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________.解析 (1)因为直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ＝－1，设点(2，4)关于直线l ：y ＝－x ＋1的对称点为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －4m －2＝1，n ＋42＝－m ＋22＋1，解得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝－1，所以反射光线经过点(－3，－1)和点(5，0)，则反射光线所在直线的方程为y ＝0－（－1）5－（－3）(x －5)＝18(x －5)，当x ＝13时，y ＝1；当x ＝14时，y ＝98.故选BD.(2)当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1与l 2间的距离最大.由A(1，1)，B(0，－1)得k AB＝－1－10－1＝2.∴两平行直线的斜率k＝－1 2.∴直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案(1)BD(2)x＋2y－3＝0考向二圆的方程【典例2】(1)(2020·石家庄模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”.现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4 km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的3倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：km2)是()A.2 3B.4 3C.3 6D.4 6(2)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x －y－3＝0上截得的弦长为6，则圆C的方程为________.解析(1)以甲、乙两地所在直线为x轴，线段甲乙的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设甲、乙两地的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，丙地坐标为(x，y)(y≠0)，则（x＋2）2＋y2＝3·（x－2）2＋y2，整理得(x－4)2＋y2＝12，可知丙地所在的圆的半径为r＝2 3.所以三角形信号覆盖区域的最大面积为12×4×23＝4 3.(2)∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴设所求圆的圆心为(a，－a).又∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝2|a|2＝2|a|.又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为6，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝|2a－3|2，∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，即（2a －3）22＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案 (1)B (2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2探究提高 1.第(1)题是一道以阿波罗尼斯圆为背景的数学应用问题，解题关键是先利用题设条件给出的关系式，求出阿波罗尼斯圆的方程，即(x －4)2＋y 2＝12，然后应用圆中的几何量求解三角形信号覆盖区域的最大面积.2.求圆的方程主要方法有两种：(1)直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法求圆的方程时，若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，否则选择圆的一般方程. 温馨提醒 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质. 【拓展练习2】 (1)(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A.4B.5C.6D.7(2)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3，4)为C 上一点，则△P AB 的外接圆的标准方程为________.解析 (1)由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为d min ＝（3－0）2＋（4－0）2－1＝4.故选A. (2)∵P (3，4)为C 上一点，9m －162＝1， 解得m ＝1，则B (1，0)，A (－1，0)， ∴k PB ＝4－03－1＝2，BP 的中点为(2，2)，PB 的垂直平分线方程为l 1：y ＝－12(x －2)＋2， AB 的垂直平分线方程为l 2：x ＝0，则圆心是l 1与l 2的交点M ，联立l 1与l 2方程， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3，则M (0，3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10，∴△P AB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 答案 (1)A (2)x 2＋(y －3)2＝10 考向三 直线(圆)与圆的位置关系 角度1 圆的切线问题【典例3】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( ) A.y ＝2x ＋1 B.y ＝2x ＋12 C.y ＝12x ＋1D.y ＝12x ＋12(2)(多选题)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的可能取值是( ) A.1B.2C.3D.4解析 (1)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①，设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0>0)，则y ′|x ＝x 0＝12x 0－12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③，由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x 0－12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去)，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程y ＝12x ＋12.(2)由x 2＋y 2－4x ＝0，得(x －2)2＋y 2＝4，则圆心为C (2，0)，半径r ＝2，过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A ，B ，连接AC ，BC ，所以四边形P ACB 为正方形，即PC ＝2r ＝22，圆心到直线的距离d ＝|2k －0＋k |1＋k 2≤22，即－22≤k ≤22，所以实数k 的取值可以是1，2.故选AB. 答案 (1)D (2)AB探究提高 1.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式. 2.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.【拓展练习3】 (1)(2020·浙江卷)已知直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1和圆(x －4)2＋y 2＝1均相切，则k ＝__________，b ＝__________.(2)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，点A (0，－2)，B (a ，2)，从点A 观察点B ，要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－433，433 解析 (1)直线kx －y ＋b ＝0(k ＞0)分别与圆心坐标为(0，0)，半径为1，及圆心坐标为(4，0)，半径为1的两圆相切， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|b |k 2＋1＝1，①|4k ＋b |k 2＋1＝1，②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33，b ＝－233.(2)易知点B 在直线y ＝2上，过点A (0，－2)作圆的切线. 设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝kx －2， 即kx －y －2＝0. 由d ＝|0－0－2|1＋k 2＝1，得k ＝±3. ∴切线方程为y ＝±3x －2，和直线y ＝2的交点坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫－433，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫433，2. 故要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞. 答案 (1)33 －233 (2)B 角度2 圆的弦长的相关计算【典例4】 在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2， ①y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22， ②又x 22＋mx 2－2＝0，③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用勾股定理来处理.【拓展练习4】 (1)(2020·天津卷)已知直线x －3y ＋8＝0和圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相交于A ，B 两点.若|AB |＝6，则r 的值为__________.(2)(2020·菏泽联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A (2，2)，若|AP |2＋|AQ |2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为________. 解析 (1)依题意得，圆心(0，0)到直线x －3y ＋8＝0的距离d ＝|8|12＋（－3）2＝4，因此r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝25，又r ＞0，所以r ＝5.(2)设点M 为PQ 的中点，则|PM |＝|MQ |，在△APQ 中，由余弦定理易得|AP |2＋|AQ |2＝|AM |2＋|PM |2＋|MQ |2＋|AM |2＝2(|AM |2＋|MQ |2) 又|MQ |2＝|OQ |2－|OM |2＝4－|OM |2，|AP |2＋|AQ |2＝40. ∴40＝2|AM |2＋8－2|OM |2，则|AM |2－|OM |2＝16， 设M (x ，y )，则(x －2)2＋(y －2)2－(x 2＋y 2)＝16. 化简得x ＋y ＋2＝0.当OM ⊥l 时，OM 取到最小值，即|OM |min ＝22＝ 2. 此时，|PQ |＝2|OQ |2－|OM |2＝2 2. 故弦PQ 的长度的最大值为2 2.【专题拓展练习】一、单选题1．一条光线从点()1,1-射出，经y 轴反射后与圆22(2)1x y -+=相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为（ ） A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,04⎛⎫-⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【详解】 如图所示，由题意可设入射光线PQ 的方程为()11y k x +=-， 令0x =，则1y k =--，可得()0,1Q k --. 则反射光线QA 的方程为1y kx k =---.22111k k k ---<+，解得304k -<<.∴入射光线所在直线的斜率的取值范围为3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C .2．方程(6)30x y x y +++-表示的曲线是（ ） A ．两条平行线 B ．一个直线和一条射线 C ．两条射线 D ．一条直线【答案】D 【详解】因为 (6)30x y x y +++-，所以6030x y x y ++=⎧⎨+-≥⎩或30x y +-=，此时6030x y x y ++=⎧⎨+-≥⎩无解，所以曲线表示一条直线：30x y +-=，故选：D.3．过坐标原点O 作圆()()22341x y -+-=的两条切线，切点为,A B ，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( )A ．46B ．26C ．6D ．365【答案】A 【详解】如图所示，设圆()()22341x y -+-=的圆心坐标为(3,4)M ，半径为1r =， 则22345OM =+=,2512426OA =-==，则11222AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯，可得2465OA MA AB OM ⨯⨯==， 故选A.4．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C 【详解】圆221:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =， 圆222:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，圆心距2212(12)(22)5C C =--+--=1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.故选:C.5．设点P 为圆22:(1)4C x y -+=上的任意一点，点(2,3)Q a a -()a R ∈，则线段PQ 长度的最小值为（ ） A2 BC2 D1【答案】C 【详解】设点(),Q x y ，则2,3x a y a ==-，化简可得：260x y --= 即点Q 在直线260x y --=上，圆C 的圆心()1,0到直线260x y --=的距离为d ==则线段PQ2 故选：C6．已知直线:10l x by ++=与圆()()22:28C x b y +++=相交于A 、B 两点，且ABC 是顶角为23π的等腰三角形，则b 等于（ ） A ．1 B ．17C ．1-D ．1或17-【答案】D 【详解】因为A 、B 两点在圆()()22:28C x b y +++=上，所以AC BC r === 又ABC 是顶角为23π的等腰三角形，则6B C π==，BC边上的高6h π==，即圆心(),2C b --到直线:10l x by ++=上距离d h ===27610b b --=，解得1b =或17b =-.故选：D.7．与圆()2215x y +-=相切于点()2,2的直线的斜率为（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】A 【详解】可设圆心与切点的连线斜率为1k ，切线斜率为2k ，由()2215x y +-=可知圆心为()0,1点，切点为()2,2点，则1211202k -==-，根据题可知圆心与切点的连线和切线垂直， 所以121k k ，则22k =-.所以切线斜率为-2. 故选：A8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+= 上，则ABP △面积的取值范围是（ ）A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．【答案】A 【详解】圆心(2,0)到直线的距离d ==所以点P 到直线的距离1d ∈.根据直线的方程可知,A B 两点的坐标分别为(2,0),(0,2)A B --，所以AB =,所以ABP △的面积1112S AB d ==， 所以[2,6]S ∈, 故选：A.9．过点()4,1A --作圆()22(214):C y x -+-=的一条切线AB ，切点为B ，则三角形ABC的面积为（ ）A ．B ．C ．12D ．6【答案】D 【详解】因为圆心C 坐标为()2,1，所以AC ==所以224046AC r AB =-=-=，因此1162622ABCSAB CB =⋅=⨯⨯=． 故选：D ．10．在平面直角坐标系中，点A ，B 分别是圆()2221x y -+=与直线()0y x t t =+>上的动点，若AB 的最小值为221-，则t 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】圆心()2,0到直线y x t =+的距离为222t +=， 可得AB 的最小值为12212-=-，解得2t =. 故选：B.11．已知22:1O x y +=，直线:20+-=l x y ，P 为l 上的动点，过点Р作O 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则OP AB ⋅最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．22【答案】C 【详解】 如图所示：圆心为()0,0O ，半径1r =，因为OA OB =，PA PB =，所以AB OP ⊥. 所以12PAOB S OP AB =⋅， 又1222PAOBPOA S S OA PA PA ∆==⨯⨯⨯=所以2OP AB PA ⋅=．要使OP AB ⋅取到最小值即PA 取到最小值．由勾股定理得PA =即要使OP AB ⋅取到最小值即OP 取到最小值.当直线OP 与直线20x y +-=垂直时，OP 取到最小值.所以min OP ==min1PA ==.所以OP AB ⋅最小值为2． 故选：C ．12．已知直线:30l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于A ，B 两点.且A ，B 在x 轴同侧，过A ，B 分别做x 轴的垂线交x 轴于C ，D 两点，O 是坐标原点，若||3CD =，则AOB ∠=（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B 【详解】因为直线的方程:30l mx y m ++=化为()30m x y ++=，所以直线l 恒过点(3-，而点(-满足2212x y +=，所以点(3-在圆2212x y +=上，不妨设点(3A -，又||3CD =，所以点(B 0，所以||AB ==又圆2212x y +=的半径为所以AOB 是等边三角形，所以AOB ∠=3π． 故选：B ． 二、解答题13．已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点. （1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长. 【详解】（1）已知圆C ：()2219x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为20221k -==-，直线l 的方程为y=2(x-1)，即 2x -y -2=0． （2）当直线l 的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l 的方程为y -2=x -2 ,即 x-y =0. 所以圆心C 到直线l 的距离为d =．因为圆的半径为3，所以，弦AB 的长AB ==． 14．已知点(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----，点P 在圆22:4E x y +=上运动.（1）求过点C 且被圆E 截得的弦长为（2）求222||||||PA PB PC ++的最值.【详解】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点C 且被圆E 截得的弦长为所以圆心到直线的距离设直线方程为2(4)y k x +=-,即420kx y k ---=,=解得17k =-或1k =-所以直线方程为7100x y ++=或20x y +-=.(2)设P 点坐标为(),x y 则224x y +=.222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++()223468804x y y y =+-+=-因为22y -≤≤,所以7280488y ≤-≤,即222||||||PA PB PC ++的最大值为88,最小值为72.15．已知点(4,0),(2,0)A B -，动点P 满足||2||PA PB =.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）求经过点(2,2)M -以及曲线C 与224x y +=交点的圆的方程.【详解】(1)设(,)P x y ,因为(4,0),(2,0)A B -,||2||PA PB =,所以=整理得2280x y x +-=,所以曲线C 的方程为2280x y x +-=.(2)设所求方程为()2222480x y x y x λ+-++-=,即22(1)(1)840x y x λλλ+++--=,将(2,2)M -代入上式得22(1)2(1)(2)8240λλλ+⋅++⋅--⋅-=,解得12λ=, 所以所求圆的方程为2288033x y x +--=.。
直线与圆的位置关系复习 (解析版)
直线与圆的位置关系复习一、选择题1．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心C [易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．]2．点M 在圆x 2＋y 2－10x －6y ＋25＝0上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( ) A ． 9 B ． 8 C ． 5 D ． 2 D 由圆,整理得圆心坐标，圆的半径；圆心到直线距离，直线与圆相离；圆上的点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离. 故选D.3．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角是( ) A ．0° B ．45° C ．0°或45°D ．0°或60°D [设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线与圆相切知|3k －1|1＋k 2＝1，解得k＝0或k ＝3，故直线l 的倾斜角为0°或60°.]4．圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2B [圆的方程化为标准方程得：(x －1)2＋(y －3)2＝10， 则圆心坐标为(1,3)，半径为10，如图：由图可知：过点E 最长弦为直径AC ，最短弦为过点E 且与AC 垂直的弦．则AC ＝210，MB ＝10，ME ＝(1－0)2＋(3－1)2＝ 5. 所以BD ＝2BE ＝2(10)2－(5)2＝2 5.又AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积S ＝12AC ·BD＝12×210×25＝10 2. 选B.]5．若直线l ：kx －y －2＝0与曲线C ：1－(y －1)2＝x －1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤43，2B ．⎝⎛⎭⎫43，4 C ．⎣⎡⎦⎤－2，－43∪⎝⎛⎦⎤43，2 D ．⎝⎛⎭⎫43，＋∞ A [直线l ：kx －y －2＝0恒过定点(0，－2)，曲线C ：1－(y －1)2＝x －1表示以点(1,1)为圆心，半径为1，且位于直线x ＝1右侧的半圆(包括点(1,2)，(1,0))．当直线l 经过点(1,0)时，l 与曲线C 有两个不同的交点，此时k ＝2，直线记为l 1；当l 与半圆相切时，由|k －3|k 2＋1＝1，得k ＝43，切线记为l 2.分析可知当43＜k ≤2时，l 与曲线C 有两个不同的交点，故选A.]6．P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是( )A ． 2B ．2 2C ． 3D ．2 3C [圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，半径r ＝1.根据对称性可知四边形P ACB 的面积等于2S △APC ＝2×12×|P A |×r ＝|P A |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1.要使四边形P ACB的面积最小，则只需|PC |最小，|PC |的最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离，即为|3－4＋11|32＋(－4)2＝105＝2，所以四边形P ACB 面积的最小值为4－1＝ 3.]二、填空题7．过点P (－1,2)且与圆C ：x 2＋y 2＝5相切的直线方程是________．x －2y ＋5＝0 [法一：∵点P (－1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，直接代入圆上一点的切线方程得：－x ＋2y ＝5，即x －2y ＋5＝0.法二：∵圆心为(0,0)，∴k CP ＝2－1＝－2，所求直线的斜率为k ＝12.所以所求切线方程是y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.]8．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________. 【导学号：07742299】(x －2)2＋(y －1)2＝4 [设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.]3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________. 【导学号：07742301】(－13,13) [由题意知，若圆上有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d ＜1.因为d ＝|c |122＋52＝|c |13，所以0≤|c |13＜1，即0≤|c |＜13.解得－13＜c ＜13.]4．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.4±15 [由题意可知圆的圆心为C (1，a )，半径r ＝2，则圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝|2a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝r ＝2.又|AB |＝2r 2－d 2，所以222－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a －2|a 2＋1 2＝2，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15.] 三、解答题10．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值.[解] 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 由OP ⊥OQ ，得k OP ·k OQ ＝－1， 即y 1x 1·y 2x 2＝－1，x 1x 2＋y 1y 2＝0.① 又(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的实数解，即x 1，x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0②的两个根，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275.③因为P ，Q 在直线x ＋2y －3＝0上， 所以y 1y 2＝12(3－x 1)·12(3－x 2)＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]． 将③代入，得y 1y 2＝m ＋125.④将③④代入①，解得m ＝3.代入方程②，检验Δ＞0成立， 所以m ＝3.5．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对任意的m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点；(2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. [解] (1)法一：由已知可得直线l ：(x －1)m －y ＋1＝0， ∴直线l 恒过定点P (1,1)． 又12＋(1－1)2＝1＜5， ∴点P 在圆内，∴对任意的m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点．法二：圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋1－m |m 2＋1＝|m |m 2＋1＜|m ||m |＝1＜5，∴直线l 与圆C 相交，∴对任意的m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点． (2)直线l 恒过定点P (1,1)，且直线l 的斜率存在．又M 是AB 的中点，当直线l 的斜率不为0时，CM ⊥MP ， ∴点M 在以CP 为直径的圆上．又C (0,1)，P (1,1)，∴以CP 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝14， 当直线l 的斜率为0时，点M 与点C 重合，也满足上式． 又直线l 的斜率存在，∴x ≠1，∴点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝14(x ≠1).。
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直线与圆的位置关系班级：____________ 姓名：__________________一、选择题(每小题5分，共40分)1.如果a2+b2=c2，那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.相交或相切2.设直线过点(a，0)，其斜率为-1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为()A.±B.±2C.±2D.±43.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为()A.1B.2C.4D.44.过点P(-2，4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m间的距离为()A.4B.2C.D.5.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是()A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-x6.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a 等于()A. B.2-C.-1D.+17.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为()A.1B.2C.D.38.过点P(-，-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是()A.0°<α<30°B.0°<α≤60°C.0°≤α≤30°D.0°≤α≤60°二、填空题(每小题5分，共10分)9.过点A(1，)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k=________.10.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=.三、解答题(每小题10分，共20分)11.已知圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1，P点坐标为(2，3)，求圆的过P点的切线方程以及切线长.12.已知过点A(-1，0)的动直线l与圆C：x2+(y-3)2=4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当|PQ|=2时，求直线l的方程.【选做题】13.已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标.(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.(3)是否存在实数k，使得直线L：y=k(x-4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.解析：一、选择题(每小题5分，共40分)1.如果a2+b2=c2，那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.相交或相切【解析】选 C.圆的半径r=1，圆心(0，0)到直线ax+by+c=0的距离d===>1.2.(2018·德州高三模拟)设直线过点(a，0)，其斜率为-1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为( )A.±B.±2C.±2D.±4【解析】选B.因为切线的方程是y=-(x-a)，即x+y-a=0，所以=，a=±2.3.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( )A.1B.2C.4D.4【解题指南】由圆的半径、弦心距、半弦长组成直角三角形，利用勾股定理即可求得半弦长.【解析】选C.由(x-1)2+(y-2)2=5得圆心(1，2)，半径r=，圆心到直线x+2y-5+=0的距离d==1，在半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形中，弦长l=2=2=4.4.(2018·天水高三模拟)过点P(-2，4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m间的距离为( )A.4B.2C.D.【解析】选A.根据题意，知点P在圆上，所以切线l的斜率k=-=-=.所以直线l的方程为y-4=(x+2).即4x-3y+20=0.又直线m与l平行，所以直线m的方程为4x-3y=0.故直线l与m间的距离为d==4.5.(2018·汉中高三模拟)过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-x【解析】选C.设切线方程为y=kx，圆的方程化为(x+2)2+y2=1，而圆心(-2，0)到直线y=kx的距离为1，所以=1.所以k=±.又因为切点在第三象限，所以k=.【补偿训练】圆x2+y2-4x=0在点P(1，)处的切线方程是( ) A.x+y-2=0 B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x-y+2=0【解析】选D.圆心为C(2，0)，则直线CP的斜率为=-，又切线与直线CP垂直，故切线斜率为，由点斜式得切线方程为：y-=(x-1)，即x-y+2=0.6.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆CA. B.2-C.-1D.+1【解析】选C.因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为，所以圆心到直线的距离为1，即=1，解得a=±-1，因为a>0，所以a=-1.7.(2018·长沙高三模拟)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为( )A.1B.2C.D.3【解析】选C.设圆心为C(3，0)，P为直线上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，所以(PN)min=()min=，又(PC)min==2，所以(PN)min=.8.过点P(-，-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )A.0°<α<30°B.0°<α≤60°C.0°≤α≤30°D.0°≤α≤60°【解题指南】求出直线与圆相切时的直线的斜率，数形结合即可得到直线l的倾斜角的取值范围.【解析】选D.设过点P与圆相切的直线方程为y+1=k(x+)，则圆心到该直线的距离d==1，解得k1=0，k2=，画出图形可得直线l 的倾斜角的取值范围是0°≤α≤60°.二、填空题(每小题5分，共10分)两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=________.【解析】点A(1，)在圆(x-2)2+y2=4内，当劣弧所对的圆心角最小时，l垂直于过点A(1，)和圆心M(2，0)的直线.所以k=-=-=.答案：10.(2018·全国卷Ⅲ)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B 两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|= .【解析】取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离d=,所以在Rt△OBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d==3,得m=-,又在△CDF中,∠FCD=30°,所以CD==4.答案:4三、解答题(每小题10分，共20分)11.(2018·广州高三模拟)已知圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1，P点坐标为(2，3)，求圆的过P点的切线方程以及切线长.【解析】如图，此圆的圆心C为(1，1)，CA=CB=1，则切线长|PA|===2.(1)若切线的斜率存在，可设切线的方程为y-3=k(x-2)，即kx-y-2k+3=0，则圆心到切线的距离d==1，解得k=，故切线的方程为3x-4y+6=0.(2)若切线的斜率不存在，切线方程为x=2，此时直线也与圆相切.综上所述，过P点的切线的方程为3x-4y+6=0和x=2.12.(2018·杭州高三模拟)已知过点A(-1，0)的动直线l与圆C：x2+(y-3)2=4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当|PQ|=2时，求直线l的方程.【解析】(1)因为l与m垂直，且k m=-，所以k l=3，故直线l的方程为y=3(x+1)，即3x-y+3=0.因为圆心坐标为(0，3)满足直线l的方程，所以当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x+1)，所以|CM|==1，则由|CM|==1，得k=，所以直线l：4x-3y+4=0.故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.【能力挑战题】(2017·广东高考)已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标.(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.(3)是否存在实数k，使得直线L：y=k(x-4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4，所以圆C1的圆心坐标为(3，0).(2)设M(x，y)，则因为点M为弦AB的中点，所以C1M⊥AB，所以·k AB=-1即·=-1，所以线段AB的中点M的轨迹的方程为+y2=.(3)由(2)知点M的轨迹是以C为圆心，r=为半径的部分圆弧EF(如图所示，不包括两端点)且E，F，又直线L：y=k(x-4)过定点D(4，0)，当直线L与圆C相切时，由=得k=±，又k DE=-k DF=-=-，k DF=，结合图形可知当k∈∪时，直线L：y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.。