5章培优2 导数与零点、不等式的综合运用(精讲)(原卷版)

5章培优2导数与零点、不等式的综合运用

考点一零点问题

1．（2020·河南高三月考（文））已知函数()32

2312f x x x x m =--+.（1）若1m =，求曲线()y f x =在()()

1,1f 处的切线方程；

（2）若函数()f x 有3个零点，求实数m 的取值范围.【一隅三反】

1．（2020·山西运城·）已知函数()()ln 21f x x ax a =-+∈R .

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

2．（2020·陕西安康·高三三模（理））已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>.

（1）证明：函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点；

（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值.

3．

（2020·甘肃武威）设函()()1f x x a nx x a =+-+，a R ∈．（1）设()()g x f x ='，求函数()g x 的极值；

（2）若1e

a ，试研究函数()()1f x x a nx x a =+-+的零点个数．考点二导数与不等式

【例2】．（2021·湖南湘潭·月考（理））已知函数ln 1()x

x f x e +=

．（1）求()f x 的最大值；

（2）当1≥x 时，2(ln 1)x ax x e +<恒成立，求a 的取值范围．不等式恒成立求解参数范围的方法：

（1）分离参数并构造函数解决问题；

（2）采用分类讨论的方式解决问题.

【一隅三反】

1．（2019·广东湛江·高二期末（文））已知函数()(1)ln ()a f x x a x a R x

=-

-+∈．（1）当01a <≤时，求函数()f x 的单调区间；

（2）是否存在实数a ，使()f x x ≤恒成立，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．2．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高二期末（文））已知函数()ln (0)f x x x x =>.

（1）求()f x 的单调区间和极值；

（2）若对任意23(0,),()2

x mx x f x -+-∈+∞≥恒成立，求实数m 的最大值.3．（2020·安徽省含山中学月考（理））已知函数211()ln (,0)22

f x x a x a R a =--∈≠.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；

（2）求函数()f x 的单调区间；

（3）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围.

5章培优2导数与零点、不等式的综合运用

考点一零点问题

1．（2020·河南高三月考（文））已知函数()32

2312f x x x x m =--+.（1）若1m =，求曲线()y f x =在()()

1,1f 处的切线方程；

（2）若函数()f x 有3个零点，求实数m 的取值范围.

【答案】（1）12y x =-；（2）()7,20-.

【解析】（1）由题意，()26612f x x x '=--，故()112f '=-，又当1m =时，()12312112f =--+=-，

故所求的切线方程为()12121y x +=--，即12y x =-.

（2）由题意，()()

()()22661262612f x x x x x x x '=--=--=+-，令()0f x '=，得1x =-或2x =，

故当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>，当()1,2x ∈-时，()0f x '<，当()2,x ∈+∞时，()0f x '>故当1x =-时，函数()f x 有极大值()()()121311217f m m -=⨯--⨯-⨯-+=+，

当2x =时，函数()f x 有极小值()2283412220f m m =⨯-⨯-⨯+=-.

若函数()f x 有3个零点，实数m 满足70200m m +>⎧⎨

-<⎩

，解得720m -<<，即实数m 的取值范围为()7,20-.

【一隅三反】1．（2020·山西运城·）已知函数()()ln 21f x x ax a =-+∈R .

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）102

a <<.【解析】（1）函数()ln 21f x x ax =-+，定义域为()0,∞+，()12f x a x '=

-，当0a ≤时，()0f x '>.

故()f x 在定义域()0,∞+上单调递增，此时无减区间.

当0a >时，令()120f x a x

'=-=，得102x a =>；当10,2x a ⎛

⎫∈ ⎪⎝⎭

时，()0f x '>，故()f x 单调递增；当1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭

时，()0f x '<，故()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增，此时无减区间；

当0a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭

上单调递减.（2）由（1）知，0a ≤时，()f x 至多一个零点，不符合题意；

当0a >时，()f x 在10,2x a ⎛

⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭

上单调递减.()f x 要有两个零点，需满足102f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即102a <<.此时021a <<，112a

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