酉矩阵和正交矩阵的性质和应用
线性代数中的酉矩阵理论
线性代数中的酉矩阵理论线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间及其线性映射的性质和结构。
其中，酉矩阵是线性代数中的一种特殊类型的矩阵，具有很多重要的性质和应用。
本文将探讨线性代数中酉矩阵的理论。
一、酉矩阵的定义与性质酉矩阵是指一个复矩阵，其共轭转置等于其逆矩阵，即对于一个n 阶酉矩阵U，满足以下条件：U*U^H = I，其中U*表示矩阵U的共轭转置，U^H表示矩阵U的转置。
酉矩阵的定义可以简单表达为U*U = I。
酉矩阵具有以下重要性质：1. 酉矩阵的行列式的模长等于1，即|det(U)| = 1。
这是因为酉矩阵的逆矩阵等于其共轭转置，所以行列式的值为1。
2. 酉矩阵的特征值的模长为1，即|λi| = 1。
这是因为酉矩阵具有正交对角化的性质，特征值对应的特征向量构成一组正交归一的基。
3. 酉矩阵的任意两行（或两列）是正交的。
设酉矩阵A的第i行为ai^T，第j行为aj^T，其中ai和aj分别为列向量，那么ai^T * aj = 0。
4. 酉矩阵的转置也是酉矩阵。
即如果U是酉矩阵，则U^T也是酉矩阵。
二、酉矩阵的应用酉矩阵在量子力学和信号处理等领域有广泛的应用。
1. 量子力学中的酉矩阵：量子力学中的态矢量表示为复向量，而量子系统的演化可以由酉矩阵描述。
在量子计算中，酉矩阵用于表示量子比特的操作。
2. 信号处理中的酉矩阵：信号处理领域中，酉矩阵用于表示信号变换的正交变换矩阵，如傅里叶变换和离散余弦变换等。
3. 几何旋转中的酉矩阵：二维和三维空间中的几何旋转可以由酉矩阵来表示，这是因为酉矩阵具有正交性质。
4. 线性方程组求解中的酉矩阵：酉矩阵用于线性方程组的求解，特别是在正交正交子空间的情况下，酉矩阵可以简化方程组的求解过程。
三、酉相似和酉相等在酉矩阵理论中，有两个重要的概念，即酉相似和酉相等。
1. 酉相似：如果一个矩阵A可以通过酉变换相似地变为矩阵B，即存在酉矩阵U，使得B = U^H * A * U，则矩阵A和B是酉相似的。
正交、正定、幂等矩阵
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正交、正定、幂等矩阵性质总结——马 鹏
第二部分、正定矩阵
在求多远二次实函数以至于一般的多元实函数的极值时， 或者在最小二乘问题、 正则化 问题、优化问题中，正定或负定的二次型起着十分重要的作用，而在实数域范围内，每一个 二次型都对应着一个实对称阵， 那我们有必要弄清楚正定矩阵的性质， 至于负定矩阵以及半 正定矩阵、半负定矩阵的性质类似可以得到，见文献[2]、[7]. 同样，为了更清楚的阐述正定矩阵的性质，我们先给出正定矩阵的定义，值得注意的是 这里仅对对称矩阵给出定义，至于更一般的正定矩阵的定义有兴趣的读者可以参考文献[8] 定义 2.1 设矩阵 A 是 n 级实对称方阵，如果对于任意非零向量
下面的定理表明矩阵论中的三种最重要的矩阵的之间的关系： 定理 1.12 实数域上的一个 n 级矩阵如果具有下列三个性质中的任意两个性质， 那么有 第三个性质：正交矩阵、对称矩阵、对合矩阵. 证明：设 n 级实矩阵 A 是正交矩阵，且是对称矩阵，则
3
正交、正定、幂等矩阵性质总结——马 鹏
A2 AA AA T I
AAT I
那么称 A 是正交矩阵. 从定义 1.1 立即得出： 定理 1.1 实数域上的 n 级矩阵 A 是正交矩阵等价于下面的三条结论中的任意一条： （1） AAT I （2） A 非奇异，并且 A1 AT ； （3） AT A I . 同时，正交矩阵还有如下的性质： （1） I 是正交矩阵； （2）如果 A 和 B 都是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵； （3）如果 A 是正交矩阵，则 A （即 A ）也是正交矩阵；
A = LLT
更一般的我们有下面两个常用的定理： 定理 2.6
n 级实对称矩阵 A 是正定的充要条件是有 n 级实可逆矩阵 C 使得 A = CTC
矩阵的相似变换
设 U C nn , P R nn
酉矩阵 U : U H U I , U H U 1 正交矩阵 P : P T P I , P T P 1
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
矩阵 A , B C nn ( 或R nn ) B U H AU —— 酉变换
即：
u i H
pi
T
u j p j
ij ij
i , j 1, 2,n
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
二、矩阵的相似变换：酉变换和正交变换
1、相似变换
两种重要的相似变换！ 后面用的多！
定义：设 A , B C nn ( 或R nn )
如果存在非奇异方阵 S 0 S C nn (或R nn )
使 B S 1 AS 成立
则称 B 与 A 相似，记 B ~ A
变换矩阵！
A S B 的变换称为相似变换。
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
注：相似变换是一种很实用的矩阵变换！
实用上，是构造一非奇异方阵[S]，进行相似变换， 使变换后[B]比[A]简单（例如：三角阵、三对角 阵等），以便快速求出[A]的特征解。
③若[U]是酉矩阵，[P]是正交矩阵，则[U]H也是酉矩 阵， [P]T也是正交矩阵。
证： U H H U H U U 1 I P T T P T P P 1 I 证毕。
第 2 节
矩 阵 的 相 似 变 换
酉 矩 阵 和 正 交 矩 振
第
一
章基 础 知 识
④若[U]和[V]都是同阶酉矩阵（或正交矩阵）
2011年合工大工程硕士《矩阵理论》考试范围与重要习题
2011年合工大工程硕士《矩阵理论》考试范围与重要习题1、两个子空间的直和例：设1V 和2V 分别是齐次方程组12...0n x x x +++=和12...n x x x ===的解空间，证明12V V V =⊕。
证明：因方程组12...0n x x x +++=和12...n x x x ===，只有零解，故{}120V V = ，从而21V V +=21V V ⊕，且21V V ⊕是V 的子空间，即21V V ⊕≤V 。
又1V 的维数是n-1，2V 的维数是1故21V V ⊕的维数是n 维，所以12V V V ⊕=。
注：任给一个V 的子空间1V ，可以找到子空间2V 使得：12V V V =⊕此式称为V 的一个直和分解，1V ，2V 称为互补空间2、 线性空间中线性变换的象空间与核例题1:证明：线性空间V 的线性变换T 的象空间和核都是V 的子空间 证明：V (),,,,()()()()()V 0k e r ()k e r (),k e r (),0,()0,k e r ()(),k e r ()k e r ()VT V x y V P x y V x V Tx Ty T x y T V Tx T x T V T V T T x y T P Tx Ty T x y Tx Ty x y T T x Tx x T T λλλλλλλλ∀∈∀∈+∈∈+=+∈=∈∈∀∈∀∈==+=+=+∈=∈因为非空，所以非空故是是的线性子空间因为所以非空因为所以非空则于是故故因此是的线性子空间。
例题2:线性空间V 中的线性变化T 的象空间和核的维数之和等于V 的维数 dim(T(V))+dim(ker(T))=dim(V)证明：设dim(V)=n dim(ker(T))=s 只需证明dim(T(V))=n-s 即可取ker(T)的一组基12s ,,...,x x x 再添加n-s 个向量将这组向量扩充为V 的一组基12s 122,,...,,,,...,,s s s x x x y y y +++112211n n112211n n11n n111...............(){,,...,}s s s s s s s s s s s s s x V x x x x y y Tx Tx Tx Tx Ty Ty Ty Ty T V Span Ty Ty Ty λλλμμλλλμμμμ+++++++++∀∈=++++++=++++++=++=对则现在只需证明12,,...,s s n Ty Ty Ty ++线性无关。
酉矩阵——精选推荐
正交矩阵、正规矩阵和酉矩阵在数学中，正规矩阵是与自己的共轭转置交换的复系数方块矩阵，也就是说，满足其中是的共轭转置。
如果是实系数矩阵，那么条件简化为其中是的转置矩阵。
矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法：任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵。
在复系数矩阵中，所有的酉矩阵、埃尔米特矩阵和斜埃尔米特矩阵都是正规的。
同理，在实系数矩阵中，所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。
两个正规矩阵的乘积也不一定是正规矩阵酉矩阵n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。
一个简单的充分必要判别准则是：方阵U的共扼转置乘以U等于单位阵，则U是酉矩阵。
即酉矩阵的逆矩阵与其伴随矩阵相等。
酉方阵在量子力学中有着重要的应用。
酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。
若一n 行n 列的复矩阵U满足其中为n阶单位矩阵，为U的共轭转置，为酉矩阵或译幺正矩阵。
即，矩阵U为酉矩阵，当且仅当其共轭转置为其逆矩阵:。
若酉矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。
与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似，幺正矩阵U不改变两个复向量的内积：若为n阶方阵，则下列条件等价：1.是酉矩阵2.是酉矩阵3.的列向量构成内积空间C n上的一组正交基4.的行向量构成内积空间C n上的一组正交基酉矩阵的特征值都是绝对值为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，因此酉矩阵行列式的值也为1。
酉矩阵是正规矩阵，由谱定理知，幺正酉矩阵U可被分解为其中V是酉矩阵，Σ是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。
对任意n，所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个群。
性质∙U可逆∙U−1 = U*∙|det(U)| = 1∙U*是酉矩阵∙正交变换最初来自于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.用质量加权坐标表示的分子内部运动的动能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,由力常数的数学表达式可以知道fij = fji因而矩阵为一个正交变换通过酉变换可以把矩阵变形成为对角矩阵的形式：。
酉矩阵与酉变换的性质与应用
酉矩阵与酉变换的性质与应用在数学中，酉矩阵和酉变换是重要的概念，它们在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍酉矩阵及其性质，酉变换的定义及其应用，并探讨它们在量子力学和通信领域的具体应用。
一、酉矩阵的性质酉矩阵是指n阶复方阵U，满足U^H * U = I，其中U^H表示U的共轭转置，I表示n阶单位矩阵。
酉矩阵具有以下重要性质：1. 酉矩阵的行列式的模长为1，即|det(U)|=1。
这意味着酉矩阵的行列式既不会扩大也不会缩小空间的体积。
2. 酉矩阵的逆矩阵也是酉矩阵，即U的逆矩阵U^-1也满足U^-1 = U^H。
3. 两个酉矩阵的乘积仍然是酉矩阵，即若U1和U2都是酉矩阵，则U1 * U2也是酉矩阵。
二、酉变换的定义及性质酉变换是指通过酉矩阵将一个向量或一个矩阵转换为另一个向量或矩阵的线性变换。
设有一个n维向量x和一个n阶酉矩阵U，酉变换可以表示为y = Ux。
酉变换具有以下性质：1. 酉变换保持内积不变，即对于任意向量u和v，有(u, v) = (Uu, Uv)，其中(u, v)表示向量的内积。
2. 酉变换保持长度不变，即对于任意向量u，有||u|| = ||Uu||，其中||u||表示向量的范数。
三、酉矩阵与量子力学的应用在量子力学中，酉矩阵和酉变换被广泛应用于描述量子态的演化和变换过程。
量子态是用复数表示的，而酉矩阵正好能够保持复数模长的不变性，因此可以用来描述量子态的变换。
酉矩阵在量子力学中的具体应用包括：1. 描述量子比特的变换：量子比特是量子力学中最基本的信息单元，酉矩阵可以通过酉变换来描述量子比特的状态的演化和变换。
2. 量子门操作：量子门是一种特殊的酉矩阵，用于在量子计算中实现特定的操作，如位翻转、位移和比特之间的相互作用等。
3. 量子纠缠和量子密钥分发：酉矩阵在描述量子系统的纠缠态和量子密钥分发协议中起到重要作用，通过酉变换可以实现量子态之间的转换和相互作用。
四、酉矩阵与通信的应用在通信领域，酉矩阵和酉变换也有重要的应用，主要体现在信号传输和编码方面。
酉矩阵的应用 -回复
酉矩阵的应用-回复酉矩阵的应用是一项广泛而重要的数学领域，它在各个学科中都有着广泛的应用。
本文将逐步阐述酉矩阵的概念、性质和应用，并介绍一些相关的实际应用案例。
首先，我们来了解什么是酉矩阵。
酉矩阵是指一个复数域上的方阵，其共轭转置等于其逆矩阵。
换句话说，一个方阵U是酉矩阵，当且仅当U的共轭转置矩阵U*满足以下条件：U*U=UU*=I，其中I是一个单位矩阵。
接下来，我们来详细探讨酉矩阵的性质。
首先，酉矩阵的行列式的模长等于1，即det(U) =1。
其次，酉矩阵的特征值具有单位模长，即酉矩阵U 的特征值λ满足λ=1。
此外，酉矩阵的特征向量正交归一，即酉矩阵U 的特征向量对应于不同特征值的特征向量是正交且归一的。
最后，酉矩阵可以分解为单位模长的特征向量与特征矩阵的乘积，即U=VDV*，其中V 是酉矩阵的特征向量组成的酉矩阵，D是对角矩阵，对角线上的元素是酉矩阵U的特征值。
接下来，我们来看一些酉矩阵的应用案例。
首先，酉矩阵在量子力学中起着重要的作用。
量子力学是研究微观领域中粒子的行为和相互作用的理论框架，而酉矩阵则是描述量子力学系统中的态演化的数学工具。
量子态的演化可以用酉矩阵来表示，而量子测量可以通过酉矩阵的特征向量和特征值来描述。
其次，酉矩阵在信号处理中也有广泛应用。
例如，在正交频分复用系统中，酉矩阵可以用来进行信号的正交化处理，从而实现多个信号的同时传输。
在多输入多输出（MIMO）系统中，酉矩阵可以用来进行信号的空间预编码和信号的空间解码，从而提高系统的信号传输速率和可靠性。
此外，酉矩阵还在图像处理和机器学习等领域中广泛应用。
在图像处理中，酉矩阵可以用来进行图像的变换和压缩。
在机器学习中，酉矩阵可以用来进行特征提取和数据降维，从而改善机器学习算法的性能。
总之，酉矩阵的应用十分广泛，涉及到数学、物理、工程等多个学科领域。
通过了解酉矩阵的概念、性质和应用，我们可以更好地理解和应用酉矩阵，发挥其在各个领域的作用。
酉(正交)变换
P = PL
2 L
Department of Mathematics
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化成正交向量组 β 1 , β 2 ,L , β m .
β 1 = α1 , β 2 = α 2 − ( β 1 , α 2 ) β 1
(β1 , β1 ) (β1 ,α 3 ) (β 2 ,α 3 ) β3 = α3 − β1 − β2 (β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
M
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二. 正交投影 定义: 设酉（欧氏） 定义 设酉（欧氏）空间 V = L ⊕ M , L ⊥ M , 的线性变换， ∀x ∈ V , x = x1 + x 2 , T 为 V 的线性变换， x1 ∈ L, x2 ∈ M , 有：T ( x ) = x 1 正交投影,记为 则称 T 为 V 到 L 的正交投影 记为 PL 性质1 性质 性质2 性质 正交投影是线性变换 是酉（欧氏） 设 PL 是酉（欧氏）空间 V 到 L 的正交 投影， 投影，则：
5, n维欧氏空间V的子空间 满足 的子空间W满足 维欧氏空间 的子空间 满足: i) (W ⊥ )⊥ = W
dimW + dimW ⊥ = dimV = n ii)
iii) W ⊕ W = V 必是W的余子空间 的余子空间. ⅳ) W的正交补 W ⊥必是 的余子空间 的正交补
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2． 维欧氏空间 的每个子空间 V1 都有 ． 维欧氏空间V的每个子空间 n 唯一正交补. 唯一正交补 3. 两两正交的子空间的和必是直和． 两两正交的子空间的和必是直和．
(2021年整理)酉矩阵和正交矩阵的性质和应用
(完整版)酉矩阵和正交矩阵的性质和应用编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)酉矩阵和正交矩阵的性质和应用）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整版)酉矩阵和正交矩阵的性质和应用的全部内容。
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2 正交矩阵的定义和性质 (4)1。
2。
1 正交矩阵的定义和判定 (4)1.2。
2 正交矩阵的性质 (5)2正交变换的定义和性质 (14)2.1正交变换定义的探讨 (14)2.2正交变换的判定 (17)2。
3正交变换的性质 (17)3正交矩阵的应用 (20)3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (20)3。
2利用正交矩阵化二次型为标准形 (24)3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 (25)3。
2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 (26)3.2。
3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程.. 283.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 (29)3。
正交矩阵
正交矩阵正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。
尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。
正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。
目录定义 1n阶实矩阵 A称为正交矩阵，如果：A×A′=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。
）若A为正交阵，则下列诸条件是等价的:1) A 是正交矩阵2) A×A′=E（E为单位矩阵）3) A′是正交矩阵4) A的各行是单位向量且两两正交5) A的各列是单位向量且两两正交6) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R正交矩阵通常用字母Q表示。
举例：A=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。
恒等变换。
旋转16.26°。
针对x轴反射。
旋转反演(rotoinversion): 轴 (0,-3/5,4/5)，角度90°。
置换坐标轴。
编辑本段基本构造低维度最简单的正交矩阵是1×1 矩阵 [1] 和 [−1]，它们可分别解释为恒等和实数线针对原点的反射。
如下形式的2×2 矩阵它的正交性要求满足三个方程矩阵性质实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。
假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是MM = D，D是对角矩阵。
任何正交矩阵的行列式是 +1 或−1。
这可从关于行列式的如下基本事实得出:反过来不是真的；有 +1 行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。
对于置换矩阵，行列式是 +1 还是−1 匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。
比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值 1。
酉矩阵的特征性质
1 B ij = Eij = eiej′ , ei = ei , i , j = 1 , 2 , …, n 1
A = ( a 1 , a 2 , …, a n ) , 且 ai = A ・ ei , i = 1 , 2 , …, n 1 A B ij A ′ = A eiej′ A′ = A ei ej′ A′ = ( A ei ) ( A ej ) ′ = a i a j′ 1
(ⅲ )1
θ θ r ( cos 1 + i sin 1)
θ 1 - r2 ( cosθ 2 + i sin 2)
1
是二阶酉矩阵 , 于是 A ′ A = A A′ = I ,即
a 12 a 22
=
a 11 a 21
a 12 a 22
a 11 a 12
a21 a22
=
1 0
0 1
1
展开得
| a11 | 2 + | a21 | 2 = | a12 | 2 + | a22 | 2 = | a 11 | 2 + | a 12 | 2 = | a 22 | 2 + | a 21 | 2 = 11
① 收稿日期 :2002 - 11 - 04 基金资助 : 本文得到国家自然科学基金 (No . 19801024) 和广东省自然科学基金 (NO. 984112) 的部分资助
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高等数学研究 2004 年 1 月
2 上式两边取行列式并注意到| A ′ | = | A | , 得 ‖A ‖ = ‖A ‖n 1 但由 A 的非奇异性知 : ‖A ‖ > 01 从而 ‖A ‖n - 2 = 11 注意到 n > 2 及 ‖A ‖> 0 , 可得 ‖A ‖= 11 于是有 A A ′ = ‖A ‖I = I 1 由引 理 5 即知 A 为酉矩阵 。 定理 2 二阶矩阵 A 为酉矩阵的充分必要条件是 A 为下列三种形式之一 : α cosα 0 1 + i sin 1 (ⅰ )1 ; α 0 cosα 2 + i sin 2 β 0 cosβ 1 + i sin 1 (ⅱ )1 ; β cosβ 0 2 + i sin 2
酉矩阵与HERMITE矩阵性质总结
酉矩阵与Hermite矩阵的浅谈韦龙 201131402摘要科学在发展，社会在进步，人们对于数学的理解越来越深刻，数学应用于日常生活生产越来越广泛。
在数学的很多分支和工程实际应用中, 都涉及到一些特殊的矩阵的性质及构造. 本文讨论两类特殊的矩阵——酉矩阵和Hermite矩阵. 酉矩阵和Hermite矩阵作为两类特殊的矩阵, 有很多良好的性质, 在矩阵理论中具有举足轻重的作用。
本文通过对正交矩阵和酉矩阵关系的概述、酉矩阵的性质和酉矩阵的构造来初步认识酉矩阵，为以后的深入学习奠定基础。
本文主要从Hermite矩阵的性质，判定定理，正定性和Hermite矩阵不等式四个方面讨论Hermite矩阵。
关键词: 酉矩阵；Hermite矩阵；正交矩阵；特征值。
The study of Unitary matrix and Hermite matrixWei Long 201131402AbstractWith the development of science and society, people get a deeper understanding of math , and the use of math becomes more and more widely. In many branches of mathematics and engineering applications, are related to some special nature and structure matrix. This paper discusses a special kind of matrix - unitary matrix and Hermite matrix. The two kinds of matrix as two specials kind of matrix, there are many good properties. In the matrix theory plays an important role in the study of this topic could be more perfect matrix theory. In this paper , we use the knowledge of the unitary matrix and Orthogonal matrix ,the nature of the unitary matrix, the construction of the unitary matrix to get a first impression of the unitary matrix, and make a basement to farther study. And we study the Hermite matrix by the knowledge of the nature of Hermite matrix，determined theorem ，positive definite matrix and the Hermite matrix inequality.Key words: unitary matrix ；Hermite matrix ；Orthogonal matrix;Characteristic value第一章 酉矩阵第一节 酉矩阵的概念及等价条件1.1.1 正交矩阵和酉矩阵定义1.1.1满足E A A AA ==**的n 阶实矩阵A 称为正交矩阵.在矩阵理论中, 经常利用矩阵来描述变换. 在实空间中正交变换保持度量不变, 而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵, 所以对正交矩阵的研究就显得格外重要. 同样道理, 想要得到复空间中保持度量不变的线性变换, 就应该对正交变换进行推广, 将其推广到复数域上, 那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域就是酉矩阵.1.1.2 酉矩阵的等价条件先给出酉矩阵的以下定义.定义1.1.2 若n 阶复方阵U 满足H U U E =则称U 为酉矩阵. 定义1.1.3 若n 阶复方阵U 满足H UU E =则称U 为酉矩阵. 定义1.1.4 若n 阶复方阵U 满足1H U U -=则称U 为酉矩阵. 注:H U 表示矩阵U 的共轭转置，即H U =-U '.定义1.1.5 若n 阶复方阵U 的n 个行(列)向量是两两正交的单位向量, 则称U 为酉矩阵.易知定义1.1.2—定义1.1.5是相互等价的. 从定义1.1.2或定义1.1.3或定义1.1.4知, 酉矩阵是可逆矩阵.根据定义1.1.5可得, n 阶酉矩阵U 的n 个行(列) 向量构成nC 的标准正交基.引理1.1.1[3]酉矩阵的行列式的模为1引理1.1.2[4] 对任意的n 阶矩阵A 有E A AA =*.引理1.1.3[5]对任意的n 阶矩阵A 和n 阶可逆矩阵P , 有)()(1A Tr PAP Tr =-引理1.1.4[6]对任意的n m ⨯阶矩阵A 和m n ⨯阶矩阵B , 有)()(BA Tr AB Tr = 引理1.1.5[6]n 阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是：'=A A I 或者'AA E =定理1.1.1 阵)(ij a A =为酉矩阵的充分必要条件是.,,2,1,n j a AA A ij ='=这里A 表示行列A 的模, 表示ij a 的共轭复数.定理1.1.2 二阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是A 为下列三种形式之一 :(i) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2211sin cos 00sin cos ββi a i a(ii) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++0sin cos sin cos 02211ββββi i (iii) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+)sin (cos )sin (cos 1)sin (cos 1)sin (cos 4433222211θθθθθθθθi r i r i r i r这里123401,2r k θθθθππ<<+--=+且,k 为整数.定理1.1.3 n 阶矩阵A 为酉矩阵的充要条件是: 对任意n 阶矩阵B, 有:)()(B Tr A AB Tr ='第二节 酉矩阵的性质1.2.1 运算性质1.2.1 酉矩阵的转置与伴随矩阵定理1.2.1 设U 为酉矩阵，则-1U U U '，和都是酉矩阵.证明 因为HH U U =U U =U U =E =E '''（）（）（）所以U 是酉矩阵.因为HH H U U =U U =UU =E =E '''''（）（）（）（）（）所以U '是酉矩阵.因为-1H -1H HH H U U =U U =UU =E （）（）（）（）所以-1U 是酉矩阵.定理1.2.2 设U 为酉矩阵, 则U 的伴随矩阵*U 也是酉矩阵. 证明 因为,*-1U =detUgU2*H *-1H -1H -1(U )U =detU U detUU =detU UU =E （）（）（），所以*U 为酉矩阵.定理1.2.3 设1U 和2U 是酉矩阵，则12U U , 21U U 也是酉矩阵.证明 因为1212()()HU U U U1212H H U U U U = 22H U EU E =所以12U U 是酉矩阵, 同理可证，21U U 也是酉矩阵. 推论1.2.1 设U 是酉矩阵，则k U （k 为正整数）是酉矩阵.推论1.2.2 设1U ，2U 是酉矩阵，则12U U ，21U U ；21'U U ，12'U U ；112U U -，112U U -；1121U U U -，1212U U U -也是酉矩阵.推论1.2.3 设1U ，2U 是酉矩阵，则*12U U ，*21U U 也是酉矩阵.推论1.2.4 设1U ，2U 是酉矩阵，则k 12U U ，k 21U U ，k m12U U （k , m 为正整数）也是酉矩阵.定理1.2.4 设1U ，2U 是酉矩阵，若1212U U +E 是反Hermite 矩阵, 则12U U +也是酉矩阵, 因此1111212---U +U =U +U （）证明 因为12121221HH H U +U U +U =E +U U +U U +E （）（）（）12211122H H =E +U U +E +U U +E （）（）E =因此，当1212U U +E 是是反Hermite 矩阵时,1212HU +U U +U =E （）（），记12U +U 也是酉矩阵，从而-112U +U （）1212H H H =U +U =U +U （）-1-112=U +U注: 定理2.4表明, 酉矩阵的和未必是酉矩阵.1.2.2 酉矩阵的行列式定理1.2.5 设U 是酉矩阵，则其行列式的模等于1，即det 1U =，其中det U 表示U 的行列式.证明 由E H U U =得)(1U U det detE H==detU detU H = gdetU U det = gdetU detU =2detU =从而1detU =.定理1.2.6 设1U , 2U 是酉矩阵，则12U 00U ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1111U U -U U ⎤⎥⎦也是酉矩阵.证明 因为HH 11H 22U 0U 0=0U 0U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-1-111-122U 0U 0=0U 0U ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以12U 00U ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是酉矩阵. 因为H11111111U U U U -U U -U U ⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦⎦12HH H 1111HH H1111U -U 2U U 0U U 02U U ⎡⎤⎡⎤==⎥⎢⎥⎦⎣⎦ H 11H11E0U U 0==0E 0U U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111U U -U U ⎡⎤⎥⎦是酉矩阵. 定理1.2.7 设U 是酉矩阵, 则对U 的任一行(列)乘以模为1的数或任两行(列)互换, 所得矩阵仍为酉矩阵.证明 设,1i j n U u u u u =（，，，，，）其中,1i j nu u u u ，，，，，是U 的两两正交单位向量. 显然,1i j n u u u u λ，，，，， (1λ=)以及,1i j nu u u u ，，，，，也都是U 的两两正交的单位向量. 由定义1.1.5知结论成立.1.2.3 酉矩阵的特征值与对角化定理1.2.8 设U 是酉矩阵, 则U 的特征值的模为1, 即分布在复平面的单位圆上. 证明 设Ux =x,x 0λ≠, 则由,H H H H U U E x U x λ==可得H x H H H x x x U U x xλλ==于是0H x x λλ=（1-）而0H x x ≠, 故1λλ=即1λ=定理1.2.9 设U 为酉矩阵, λ是U 的特征值, 则1λ是H U 的特征值, 而1λ是U 的特征值.证明 设λ是U 的特征值, 则由定理1.2.1知0λ≠于是-1H U =U 的特征值, 而又可知λ是U 的特征值, 但U 与H U =U '的特征值全部相同,因此λ是H U 的特征值, 所以1λ是H -1U =U （）的特征值.定理1.2.10 设U 是酉矩阵, 则属于U 的不同特征值的特征向量正交.证明 设ξ是U 的属于特征值λ的特征向量, η是U 的属于特征值μ的特征向量, 由,,H U U U U =E ξλξημη==可得=()()=()()=H H H H H H U U U U ξηξηξηλξμηλμξη=所以(1)0H λμξη-=而λη≠从而21λλλλμ==≠故0Hξη=, 即ξ与η正交.定理1.2.11 设U 是酉矩阵, 且为Hermite 矩阵, 则U 必为对合矩阵()2U =E , 从而U 的特征值等于1或-1. 证明 由E UUU U HH==),(得2U =E又因Hermite 矩阵的特征值为实数, 所以根据定理1.2.8得,U 的特征值等于-1或1.引理2.1设是n A M (R)∈, 则A 为正交矩阵的充要条件是存在酉矩阵U , 使=(,,)H U AU diag λλ, 其中()i i =1,n λ，的模为1.引理1.2.2 [9]设n A M (R)∈,则A 为正交矩阵的充要条件是A 有n 个两两正交的单位特征向量n A C ∈, 且特征值的模为1.定理1.2.12 任一个n 阶酉矩阵U 一定正交相似于分块对角矩阵1111cos sin cos sin ,,,1,1,,1,1sin cos sin cos kk k k D diag θθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，其中0K ≥,cos sin j j j i λθθ=+,cos -sin j j j i λθθ=,cos -sin ;1,.j j j i j k λθθ==，是U 的所有不同的复特征值.证明 U 的所有特征值全为1±, 由引理1.2.1和引理1.2.2知U 一定正交相似于对角矩阵diag(1,,1-1,,-1)，若U 有复特征值111cos +isin λθθ=则111cos -isin λθθ=也是U 的特征值. 因此可设有k 2复特征值.j j j cos +isin λθθ=, j j j cos -isin λθθ=,1,.j j j cos -isin j =,k λθθ=设j a 是属于j λ的单位特征向量, 则j a 属于λ的单位特征向量. 根据酉矩阵属于不同特征值的向量两两正交. 于是12k 12k ,,,,,,λλλλλλ互不相同, ,12k 12k a ,a ,a ,a ,a ,,a 两两正交, 令1),),12.j j j j j a +a r a -a j =,k β==易知j β与j r 为相互正交的实向量. 设2k+12k 2n a ,a ,,a +为U 的属于特征值1±的相互正交的单位实特征向量, 则1122k k 2k+12k 2n =(,r ,,r ,,,r ,a ,a ,,a )U βββ+为一个酉矩阵. 因为1(+)j j U a a β+)j j j j j j cos isin a cos isin )a θθθθ+-jjj j j a +a a a cos sin cos r sin θθβθθ-==-j ()a )rj j j j j j j j j j j j U a -a cos +isin cos -isin a sin +r cos θθθθβθθ= 所以AU =UA , 即A 正交相似于D .定理表明, 如果酉矩阵的特征根都是虚根, 则它在负数域上一定可对角化.1.2.4. 酉矩阵的其它性质定理1.2.13设U 为上(下) 三角的酉矩阵, 则U 必为对角矩阵, 且主对角线上元素的模等于1.证明 不妨设U 为上三角的酉矩阵, 则其逆-1U (上三角)等于其共轭转置H U (下三角),所以U 只能是对角矩阵, 又HU U =E , 故可得U 的主对角线上元素的模等于1.定理1.2.14设U =P+iQ 是酉矩阵, 其中P ,Q 为实矩阵, 则P Q '为实对称矩阵,且P P+Q Q =E ''.证明 由H H U U =(P+iQ)(P+iQ)=E可得P P+Q Q+i(P Q -Q P)=E ''''从而P P+Q Q =E ''及P Q =Q P ''即P Q '为实对称矩阵.酉矩阵与正交矩阵均有许多良好的性质, 它们在线性代数理论、优化理论、计算方法等方面都占有重要的地位.最近,研究了两个偶数阶正交矩阵之和是正交矩阵的充要条件问题, 并指出当A ,B 是奇数阶正交矩阵时, A+B 不可能是正交矩阵. 然而, 对酉矩阵来说, 结果有所不同. 下面我们将证明, 对给定的n 阶酉阵A , 一定存在n 阶酉阵B , 使A+B 是酉阵, 并给出酉阵B 的表达式. 用n U 表示全体n 阶酉阵; nn C⨯表示全体n 阶复矩阵.引理1.2.1复方阵A 酉相似于对角阵的充要条件是A 为复正规阵.证明 必要性显然. 充分性由schur 分解定理知, 任意复方阵A 必可酉相似于上三角阵, 即存在n 阶酉阵U , 使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n C C C C C AU U λλλ 2232112121* (1-2-1)由条件**=AA A A 得AU U U A U U UA AU U *****⋅=⋅ (1-2-2) 把(1-2-1)及其共轭转置式代入等式(1-2-2)直接计算可得C 01<ij i j n=≤≤，从而A 酉相似于对角阵. 由于酉阵是复正规阵, 因此根据引理1知, 任一酉阵均酉相似于对角阵, 且对角线上元素的模长都为1.定理1.2.15已知n A M ∈有特征值12n ,,,λλλ那么存在一个酉矩阵U , 使得()H ij U AU =T =t其中,0ij j ij t t i >j λ==，,T 是上三角矩阵. 如果()n A M R ∈且A 的所有特征值都是实数, 那么, 可选择U 为实正交矩阵. 证明 用归纳法证明.设1()(1)(1)()n=A=a ,A =a ，定理成立. 假设n =k 定理也成立, 当n=k +1时. (+1)(+1)()ij k k A a ⨯=成立. 设1λ为A 的特征值, 1q 为它的单位特征向量, 由施密特正交化过程, 存在1321,,,,+k q q q q 使132,,,+k q q q 两两正交且构成k+1C 的标准正交基. 令112k 1=(,,,)U q q q +这是一个U 阵使⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++11211112221211211111k H k H k Hk k HHHk H H H H Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q AU U由于1111,1H H 1j j Aq q ,q q q q j λθ===≠所以11*=0H 1U AU A λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由于1A 为k 阶矩阵, 由归纳假设, 存在k 阶U 矩阵2U , 使H 212U AU =T , 为上三角矩阵,令12100U =U U ⎛⎫⎪⎝⎭显然, U 为由阵且11210*10001H H 2U AU U A U λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11*1001H22U A U λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 12*0H212U U AU λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 121*0U T λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是上三角阵, 由归纳原理可知定理成立, 对于实阵与是正交阵的证明均可用数学归纳法证明.第三节 酉矩阵的构造1.3.1 二阶酉矩阵的构造由定理1.1.2可知二阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是A 为下列三种形式之一 :(i)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2211sin cos 00sin cos ββi a i a(ii)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++0sin cos sin cos 02211ββββi i (iii)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+)sin (cos )sin (cos 1)sin (cos 1)sin (cos 4433222211θθθθθθθθi r i r i r i r这里123401,2r k θθθθππ<<+--=+且, k 为整数.通过上式可以构造二阶的酉矩阵.1.3.2通过运算性质构造酉矩阵由酉矩阵的运算性质知:(1) 若U 为酉矩阵, 则1,,,T U U U U λ-(其中λ的为单位根)都是酉矩阵. (2) 酉矩阵, 则12,U U 11212,U U U U -等也都是酉矩阵.(3) 酉矩阵, 且1212U U E +是反Hermite 矩阵, 则12U U +也是酉矩阵.通过这些运算性质可以构造出新的酉矩阵.1.3.3 利用施密特正交化构造酉矩阵矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简单方法，任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来，所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵都是正规矩阵.在高等代数中，我们知道实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵，并且讨论过，对已知实对称矩阵A , 求正交矩阵T 使得AT T1-为对角矩阵的一般歩骤，类似的我们可以讨论，当A 是正规矩阵时，求酉矩阵U ，使得AU U H 为对角矩阵，具体步骤如下：(1) 根n λλλ,, (21)(2) 求每一个相异特征值i λ的特征向量ii V λ；(3) chur 正交单位化的方法，求ii V λ的标准正交基in i i εεε,,,21 ； (4) 命),,(22111211sn n n U εεεεεε =则酉矩阵U 满足12H n U AU λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦若A 是正规矩阵，则A 能酉相似于对角矩阵，即存在酉矩阵U 使得Bdiag AU U n H ==)(21λλλ则H A UBU =于是()n H n H H H n H A UBU UBU UBU UBU UB U ===而对角矩阵B 的n 次幂是由各对角元素的n 次幂组成，所以通过A 的相似对角矩阵求n A .第二章 Hermite 矩阵为了论述方便，我们给出以下几个定义： 1．定义 矩阵A=[ija ]∈Mn(C)称为Hermite 矩阵，是指A=A*，其中A*=TA =[jia ]。
各种矩阵 三角矩阵 正定矩阵 正交矩阵 伴随矩阵
三对角矩阵在中，一个三对角矩阵是的一种，它“几乎”是一个。
准确来说：一个三对角矩阵的在上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。
例如，下面的是三对角矩阵：性质三对角矩阵是。
尽管一般的三对角矩阵不一定是或，许多解线性代数问题时出现的矩阵却往往有这些性质。
进一步如果一个实三对角矩阵 A 满足a k,k+1 a k+1,k > 0，所以它元素的符号都为正，从而相似于一个埃尔米特矩阵，这样都是实数。
后一个推论如果我们将条件a k,k+1a k+1,k > 0 换为a k,k+1 a k+1,k≥ 0，结论仍然成立。
所有n×n三对角矩阵的组成一个3n-2维。
许多线性代数应用于对角矩阵时所需特别少，这种改进也经常被三对角矩阵继承。
譬如，一个 n 阶三对角矩阵A的能用（）的公式计算：这里是第k个主，即是由A最开始的k行k列组成的子矩阵。
用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性n，然而对于一般的矩阵复杂度是 n 的 3 次方。
计算程序一个将一般矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。
从而，许多运用到厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。
一个三对角矩阵利用特定的比一般矩阵所用的存储空间也少得多。
例如，包将一个n-维非对称三对角矩阵存为三个 1-维数列，其中一个长n包含对角元素，其它两个长为n− 1 包含下对角线和上对角线元素。
三对角矩阵方程，能用一种需要O(n)次操作的解出来（Golub and Van Loan）。
正交矩阵概述正交矩阵是实数特殊化的，因此总是。
尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何的矩阵。
正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。
要看出与内积的联系，考虑在n维实数中的关于正交基写出的向量v。
v的长度的平方是v T v。
如果矩阵形式为Q v的线性变换保持了向量长度，则。
所以有限维线性，比如、和它们的组合，都产生正交矩阵。
各种矩阵 三角矩阵 正定矩阵 正交矩阵 伴随矩阵
三对角矩阵高一行的对角线上。
例如，下面的是三对角矩阵：计算：这里是第k个主子式，即是由A最开始的k行k列组成的子矩阵。
用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性n，然而对于一般的矩阵复杂度是 n 的 3 次方。
其它两个长为n− 1 包含下对角线和上对角线元素。
三对角矩阵方程，能用一种需要O(n)次操作的特殊的算法解出来（Golub and Van Loan）。
正交矩阵的平方是v v。
如果矩阵形式为Q v的线性变换保持了向量长度，则。
所以有限维线性等距同构，比如旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。
反过来也下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。
∙恒等变换。
∙旋转16.26°。
∙针对x轴反射。
∙旋转反演（rotoinversion）:轴(0,-3/5,4/5)，角度90°。
∙置换坐标轴。
它的正交性要求满足三个方程。
在考虑第一个方程时，不丢失一般性而设p = cos θ, q = sin θ；因此要么t = −q, u = p要么t = q, u = −p。
我们可以解释第一种情况为旋转θ(θ = 0是单位矩阵)，第二个解释为针对在角θ/2的直线的反射。
旋转反射在45°的反射对换x和y；它是置换矩阵，在每列和每行带有一个单一的1(其他都是0):。
单位矩阵也是置换矩阵。
反射是它自己的逆，这蕴涵了反射矩阵是对称的（等于它的转置矩阵）也是正交的。
两个旋转矩阵的积是一个旋转矩阵，两个反射矩阵的积也是旋转矩阵。
更高维度不管维度，总是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类，但是对于3³3矩阵和更高维度矩阵要比反射复杂多了。
例如，和表示通过原点的反演和关于z轴的旋转反演(逆时针旋转90°后针对x-y平面反射，或逆时针旋转270°后对原点反演)。
旋转也变得更加复杂；它们不再由一个角来刻画，并可能影响多于一个平面子空间。
尽管经常以一个轴和角来描述3³3旋转矩阵，在这个维度旋转轴的存在是偶然的性质而不适用于其他维度。
酉矩阵和正交矩阵
网卡驱动网站/link/44/435505.shtml对称变换且σ的特征根均为±1.证明必要性:因正交变换σ可对角化,所以由引理1可知:σ的特征根均为±1,再由定理1的必要性可知:σ为对称变换.充分性:因对称变换σ的特征根均为±1,所以由文[1]定理8.4.5知:存在V的一个标准正交基,使σ在此基下的矩阵为对称阵 A =diag(-1,…,-1,1,…,1),于是A2= I,由文[1]定理7.3.3知:σ2= l,再由引理3知:σ为正交变换,故σ是一个可对角化的正交变换.例1 设V是一个n维欧氏空间,η是V中的一个单位向量,定义V的变换σ如下:σ(α) =α-2〈η,α〉η, (α∈V).试证:σ2= l且σ是一个可对角化的正交变换.证法1 易证:σ2= l且α,β∈V均有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉,所以由定理3可知:σ是一个可对角化的正交变换.证法2 易证σ2= l且α,β∈V均有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉,于是由定理4可知:σ是一个可对角化的正交变换.证法3 易证α,β∈V均有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉且〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉,于是由定理5可知:σ是一个可对角化的正交变换,再由定理2知:σ2= l. 证法4 易证α,β∈V均有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉且〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉,于是由引理3与定理5可知:σ2= l且σ是一个可对角化的正交变换.证法5 易证α,β∈V均有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉.于是由文[5]中定理1可知:σ为V的对称变换,又由σ的定义易知:σ的特征根均为±1,所以由定理6可知:σ为一个可对角化的正交变换,再由定理2可知:σ2= l. 相应地,关于正交矩阵可对角化的判定条件有:引理4 若n阶正交矩阵A的特征根均为实数±1,则存在n阶正交矩阵T使T’AT = T-1AT =diag(-1,…,-1,1,…,1).证明参见文[2]380~381页此处从略.定理7 设A为n阶正交矩阵,则A可对角化的充要条件是:A的特征根均为实数±1.证明必要性:因为A可对角化,所以由文[1]推论7.6.6知:A的特征根均为实数,又A为正交变矩阵,所以由引理1可知:A的实特征根只能为±1.充分性:由引理4知显然成立.定理8 设A为n阶实矩阵,则A是一个可对角化的正交矩阵的充要条件为:存在n阶正交矩阵T使T’AT = T-1AT =diag(-1,…,-1,1,…,1).证明必要性:因为正交矩阵A可对角化,所以由定理7知:A的特征根均为实数±1,于是由引理4知:存在n阶正交矩阵T使T’AT = T-1AT =diag(-1,…,-1,1,…,1).充分性: 因有n阶正交矩阵T使T’AT = T-1AT =diag(-1,…,-1,1,…,1).所以A可对角化且 A = Tdiag(-1,…,-1,1,…,1)T-1,又由对角阵diag(-1,…,-1,1,…,1)为正交阵及正交阵之逆与正交阵之积均为正交阵可知:A为正交阵,故A是一个可对有化的正交阵.定理8是对文[2]中380页定理2的推论以及对文[3]中定理2(2)的完善与推广.39第18卷第1期袁辉坪:关于正交变换可对角化的充要条件σ(α),σ(β)〉-〈α,β〉=0,由β的任意性,取β=σ2(α)-α,则〈β,β〉=0,所以β=0,即σ2(α) =α,故σ2= l.(i),(iii) (ii):由条件, α,β∈V均有〈σ(α),β〉=〈σ(α),l(β)〉=〈σ(α),σ2(β)〉=〈(α),σ(β)〉.(ii),(iii) (i):由条件, α,β∈均有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,σ2(β)〉=〈α,l(β)〉=〈α,β〉.引理3是文[1]中336页习题1的推广.定理1 设σ为n维欧氏空间V的一个正交变换,则σ可以对角化的充要条件是:σ为对称变换.证明必要性:因正交换σ可对角化,则由引理1,存在V的一个标准正交基{γ1,…,γn},使σ关于此基的矩阵为n阶对角阵A =diag(-1,…,-1,1,…,1),于是A’= A,由文献[1]定理8.4.5知:σ为对称变换.充分性:因σ为正交变换,所以由引理1知:σ的特征根均为±1,又σ为对称变换,故由文[1]定理8.4.5知:σ关于V的某标准正交基的矩阵为对角形矩阵diag(-1,…,-1,1,…,1),即σ可对角化.定理2 设σ为n维欧氏空间V的一个正交变换,则σ可对角化的充要条件是:σ2= l.证明:必要性:因正交变换σ可对角化,所以由引理1知,必有V的一个标准正交基使σ关于此基的矩阵为对角阵A =diag(-1,…,-1,1,…,1)于是A2= I,由文[1]定理7.3.3知:σ2= l.充分性:因σ为正交变换且σ2= l,所以由引理3知:σ为对称变换,故σ可对角化.定理3 n维欧氏空间V的变换σ是一个可对角化的正交变换的充要条件是:σ2= l且α,β∈V均有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉.证明必要性:因正交变换σ可对角化,所以由定理2的必要性知:σ2= l,又由定理1的必要性知:σ为对称变换,即α,β∈V均有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉.充分性:由条件及引理3知: α,β∈V均有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉,于是由引理2可知:σ为正交变换,故由定理2的充分性知:σ是一个可对角化的正交变换.定理3是文[3]中定理1的推广.定理1,定理2分别削弱了文[3]中定理1的条件.定理4 设σ为n维欧氏空间V的变换;则σ是一个可对角化的正交变换的充要条件是:σ2= l且α,β∈V均有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉.证明必要性:因正交变换σ可对角化,所以由定理3知:σ2= l且α,β∈V均有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉,于是由引理3知: α,β∈V均有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉.充分性:由条件及引理3可知: α,β∈V均有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉,再由定理3可知:σ是一个可对角化的正交变换.定理5 设σ为n维欧氏空间V的变换,则σ是一个可对角化的正交变换的充要条件是: α,β∈V均有〈σ(α)、σ(β)〉=〈α,β〉且〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉.证明必要性:因正交变换σ可对角化,所以由正交变换的定义及定理3可知: α,β∈V均有〈σ(x),σ(β)〉=〈α,β〉且〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉. 充分性:由条件及引理3可知:σ2= l,再由定理3可知:σ是一个可对角化的正交变换.定理6 设σ为n维欧氏空间V的变换,则σ是可对角化的正交变换的充要条件是:σ38四川师范学院学报(自然科学版) 1997年正交变换是欧氏空间中一类重要的线性变换,也是高等代数的重要研究对象之一.它在解析几何与高等几何中经常应用.因而探究正交变换何时可以对角化,便是一项很有意义的工作.张远达教授、张慧敏、张宪君等先生对此都曾作过一些研究,笔者在此基础上作了进一步的探索,又获得了一些新的结果.本文术语及符号同文献[1].引理1[3] 正交变换的特征根等于±1.引理2[4] 设σ为欧氏空间V的一个变换,若α,β∈V均有〈σ(α),σ(β)〉= c〈α,β〉(c为实数),则σ为V的线性变换.特别,当c =1时,σ为V的正交变换.引理3 设σ为欧氏空间V的一个变换,若α满足下列3个条件中的任意两个,那么它必然满足第3个:(i) α,β∈V均有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉;(ii) α,β∈均有〈σ(α),β〉=〈α,σ(β)〉;(iii)σ2= l(l为V中的单位变换,下同).证明(i),(ii) (iii):因为α,β∈V均有〈σ2(α)-α,β〉=〈σ2(α),β〉-〈α,β〉=收文日期1996-04-20.定理9 设A为n阶正交矩阵,则A可对角化的充要条件是:A为实对称矩阵.证明必要性:因为n阶正交矩阵A可对角化,所以由定理8知:存在n阶正交矩阵T使T’AT = T-1AT =diag(-1,…,-1,1,…,1),所以由T’AT = (T’AT)’= T’A’T有A’= A,即A为实对称矩阵.充分性:显然成立.定理10 设A为n阶正交矩阵,则A可对角化的充要条件为:A2= I. 证明必要性:因n阶正交矩阵A可对角化,所以由定理8知:存在n 阶正交矩阵T使T’AT = T-1AT =diag(-1,…,-1,1,…,1),于是T-1A2T =(T-1AT)(T-1AT)= I,故A2= I.充分性:因A为正交阵,所以A-1= A’,又A2= I,因而A = A-1= A’,即A为实对称阵,故A可对角化.定理11 设A为n阶实矩阵,则A是一个可对角化的正交矩阵的充要条件为:A’= A且A2= I.证明必要性:因为n阶正交矩阵A可对角化,所以由定理9的必要性知:A’= A,又由定理10的必要性可知:A2= I.充分性:因为A为实对称矩阵,所以A可以对角化,又由A’= A且A2= I知:A-1=A = A’,即A为正交矩阵,故A是可对角化的正交矩阵.定理9~11是对文[3]中定理2(1)的修正与推广.定理12 设A为n阶实矩阵,则A是一个可对角化的正交矩阵的充要条件为:A’= A且A的特征根均为实数±1.证明必要性:因为n阶正交矩阵A可对角化,由定理8知:存在n阶正交矩阵T使T’AT = T-1AT =diag(-1,…,-1,1,…,1),于是T’AT = (T’AT)’= T’A’T且A~diag(-1,…,-1,1,…,1),因而A’= A且A的特征根均为±1.充分性:因为n阶实对称矩阵A的特征根均为实数±1,所以由文[1]定理8.4.6知:存在n阶正交矩阵T使T’AT = T-1AT =diag(-1,…,-1,1,…,1),于是T-1A-1T =(T-1AT)-1= T-1AT = (T’AT) = (T’AT) = T’A’T = T-1A’T,从而A-1= A’,即为A的正交矩阵,故A是一个可对角化的正交矩阵.关于可对角化的正交矩阵的特征向量有定理13 设n阶正交矩阵A的特征根均为1或-1,其重数分别为t1,t2,则I-A(或-I- A)中任意t2(或t1)个线性无关的列向量便是A的属于特征根-1(或1)的极大无关的特征向量组.证明因为n阶正交矩阵A的特征根均为1或-1,其重数分别为t1,t2,所以t1+t2= n,且由定理7知:A可对角化,于是由文[1]推论7.6.6有:n-秩(I-A) = t1,n-秩(-I-A)= t2且由定理10有:A2= I,因而秩(I-A)+秩(-I-A)n且(I-A)(-I-A)=0,所以n阶矩阵-I- A的列向量均为n元齐次线性方程组(I- A)X =0的解向量,故-I-A中t1= n-秩(I-A) =秩(-I-A)个线性无关的列向量便是正交矩阵A的属于特征根1的极大无关的特征向量组.同理可证:I-A中t2个线性无关的列向量便是A的属于特征根-1的极大无关的特征向量组.定理1的证明1) (必要性)设2阶正交矩阵A=a11 a12a21 a22, 由AA′=E2=E′2=A′A得a112+a122=a112+a212=a212+a222=a122+a222= 1 (1)由(1)得a112=a222,a122=a212, (2)-1 aij 1,i,j=1, 2令a11=a,由(1)和(2)得a12=±1-a2,a22=±a,由引理1知 A =a11a22-a12a21= 1或-1,1°当 A =1时,a22=a,a12=-a21= 1-a2或a22=a,a12=-a21=- 1-a2,A为型(i)或(ii).2°当 A =-1时,a22=-a,a12=a21=1-a2或a22=-a,a12=a21=- 1-a2,A为型(iii)或(iv).(充分性)无论A为型(i), (ii), (iii),(iv)中何型,均有AA′=E2,因此A为正交矩阵.2) (必要性)A是正交矩阵,由引理1知 A=1或-1,由引理2得AA*=±En=±AA′,因此A*=±A′,所以Aij=aij(或Aij=-aij).(充分性) 1°当Aij=aij时,A*=A′,由引理2AA′=AA*= A En,∑nj=1aijakj=A i=k0 i≠k,i,k=1, 2,…,n,于是 a =∑nj=1aij2,i=1, 2,…,n,由A非零知至少有一aij ≠0,因此 A >0,由AA′= A En两边取行列式并注意到 A′ = A 得 A 2= A n,从而 A n-2=1,由n>2和 A >0得 A =1,于是有AA′=En,A为正交矩阵.2°当Aij=-aij时,A*=-A′,与1°同理可得A =-1,于是有AA′=-AA*=- A En=En,A为正交矩阵.定理1证毕.定理2的证明(必要性)A是n阶正交矩阵,由AA′=En得A′=A-1,由引理3知对任意n阶矩阵B,Tr (ABA′) =Tr(B).(充分性)取Bij=Eij,Eij为位于第i行第j列位置上的元素为1,其余元素为零的n阶矩阵,那么Tr(Bij) =1 i=j0 i≠j,i,j=1, 2,…,n. 记n×1矩阵1┇=e1,1┇=e2,…,┇1=en,那么Bij=Eij=eie′j,i,j=1, 2,…,n.记A的n个列为α1,α2,…,αn,则A按列分块为A= (α1,α2,…,αn),且αi=Aei,i=1,2,…,n,此时ABijA′=Aeie′jA′= (Aei) (Aej)′=αiα′j,Tr(ABijA′) =Tr(αiα′j)由引理4知Tr(αiα′j) =Tr(α′jαi),由α′jαi是1阶矩阵得Tr(α′jαi) =α′jαi.α′jαi=Tr(ABijA′) =Tr(Bij) =1 i=j0 i≠j,i,j=1, 2,…,n.A′A=α′1α′2┇α′n(α1,α2,…,αn)=1 0 00 1 0……………0 0 (1)=En因此A-1=A′,AA′=En,A为正交矩阵.定理2证毕.注:如在定理1的(1)中采用三角式,记a=sinθ,则1-a2= cosθ ,由sinθ=sin (π-θ)和-cosθ=cos (π-θ)可得:推论2阶矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A=sinαcosα-cosαsinα或A= 32数学通报1997年第8期。
酉矩阵的特征向量
酉矩阵的特征向量在线性代数中，酉矩阵是一类非常重要的矩阵，它具有许多特殊的性质和应用。
其中之一便是其特征向量的研究。
本文将围绕酉矩阵的特征向量展开讨论，探究其定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、酉矩阵的定义与性质酉矩阵是指一个复数域上的方阵，满足其转置矩阵的共轭转置等于其逆矩阵。
换句话说，酉矩阵的共轭转置和逆矩阵是相等的。
对于一个n阶酉矩阵U，其特征向量u满足以下条件：Uu = λu其中，λ为复数，表示特征值。
特征向量是指在矩阵作用下，只改变其长度而不改变方向的非零向量。
二、酉矩阵特征向量的性质1. 酉矩阵的特征值一定是单位模长的复数，即|λ| = 1。
2. 酉矩阵的特征向量是正交的，即不同特征值对应的特征向量之间是正交的。
3. 酉矩阵的特征向量构成一组完备基，即可以用特征向量表示酉矩阵的任意向量。
三、酉矩阵特征向量的应用酉矩阵特征向量的研究在量子力学、信号处理和密码学等领域都有重要的应用。
1. 量子力学中的酉矩阵特征向量在量子力学中，酉矩阵特征向量的研究与量子态的演化密切相关。
量子态的演化可以通过酉矩阵进行描述，而酉矩阵的特征向量则对应着量子态的特征态。
量子态的特征态是在测量中保持不变的态，因此酉矩阵特征向量的研究对于理解量子态的演化和测量具有重要意义。
2. 信号处理中的酉矩阵特征向量在信号处理中，酉矩阵特征向量的研究与信号的正交分解和频谱分析密切相关。
通过酉矩阵的特征向量分解信号，可以将信号分解成不同频率的正交分量，从而实现对信号的频谱分析和滤波处理。
3. 密码学中的酉矩阵特征向量在密码学中，酉矩阵特征向量的研究与加密算法和解密算法的设计密切相关。
通过酉矩阵的特征向量来进行加密和解密操作，可以实现高效且安全的信息传输和保护。
总结：酉矩阵的特征向量是研究酉矩阵的重要内容之一。
特征向量不仅具有丰富的性质，还在许多领域中得到广泛应用。
量子力学、信号处理和密码学等领域的研究者们通过对酉矩阵特征向量的研究，不断推动着相关领域的发展和创新。
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正交矩阵与酉矩阵的性质和应用0 前言 (1)1 欧式空间和正交矩阵 (2)1.1 欧式空间 (2)1.2 正交矩阵的定义和性质 (2)1.2.1 正交矩阵的定义和判定 (2)1.2.2 正交矩阵的性质 (3)2正交变换的定义和性质 (12)2.1正交变换定义的探讨 (12)2.2正交变换的判定 (14)2.3正交变换的性质 (15)3正交矩阵的应用 (17)3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (17)3.2利用正交矩阵化二次型为标准形 (22)3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 (22)3.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 (23)3.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程 (25)3.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 (26)3.4正交矩阵在方程组的求解中的应用 (35)4 酉空间和酉矩阵 (38)4.1 酉空间 (38)4.1.1 酉空间的定义 (38)4.1.2 酉空间的重要结论 (38)4.2 酉矩阵 (40)4.2.1 酉矩阵的定义 (40)4.2.2 酉矩阵的性质 (40)5酉矩阵的应用 (48)5.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用 (48)5.2 利用酉矩阵化正规矩阵为对角形矩阵 (54)6 正交矩阵与酉矩阵 (57)7结论 (60)参考文献 (62)致谢 (63)0前言正交矩阵是一类特殊的实方阵,酉矩阵是一类重要的复矩阵,它们的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展. 随着科学技术的迅速发展,特别是计算机的广泛应用,矩阵问题特别是特殊矩阵的性质及其构造越来越受到科学工作者以及工程人员的重视.它不仅局限于一个数学分支,而且许多理工方法和技术的发展就是矩阵理论的创造的应用与推广的结果.在矩阵理论的研究中,正交矩阵与酉矩阵在线性代数、优化理论、计算方法等方法都占有重要的地位.戴立辉等(2002)对正交矩阵进行了详细的研究,得到了正交矩阵的若干性质；2005年,雷纪刚在《矩阵理论与应用》中给出了正交矩阵和酉矩阵的关系并证明了酉矩阵就是等距变换；2006年,苏育才在《矩阵理论》中介绍了酉矩阵的概念的推广和酉矩阵的一系列性质；2008年,吴险峰在《正交矩阵的进一步探究》中给出了正交矩阵和酉矩阵的一些性质定理,这些都为正交矩阵和酉矩阵的应用奠定了基础.在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域──酉矩阵.下面将通过矩阵理论的深入研究,对正交矩阵与酉矩阵进行比较,得到了酉矩阵的若干结果.1 欧式空间和正交矩阵1.1 欧式空间设V 是实数域上一个线性空间,在V 上定义了一个二元实函数称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1) (,)(,)αββα=（对称性）;2) ),(),(βαβαk k =（线性）;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+（线性）;4) ),(αα是非负实数,且),(αα当且仅当0=α（正定性）.这里,,αβγ是V 中任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间称为欧式空间.1.2 正交矩阵的定义和性质在欧式空间中,由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来,如果第一组基是标准正交基,同时过渡矩阵是正交矩阵,那么第二组基一定也是标准正交基.1.2.1 正交矩阵的定义和判定正交矩阵有以下几种等价定义及其判定定义1.1 A 为n 阶实矩阵,若A A E '=,则称A 为正交矩阵.定义1.2 A 为n 阶实矩阵,若AA E '=,则称A 为正交矩阵.定义1.3 A 为n 阶实矩阵,若1A A -'=,则称A 为正交矩阵.定义1.4 A 为n 阶实矩阵,若A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量,则称A 为正交矩阵.由正交矩阵的定义可以推出几个重要的关于正交矩阵的判定定理：判定定理 1 A 为正交矩阵1-='⇔A A .判定定理 2 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的行向量组满足1,0,i j ij i j i j γγδ=⎧'==⎨≠⎩其中n j i ,,2,1, =且ij δ是)ker(克朗内克Kronec 记号.即A 的行向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.证明 A 为正交矩阵E AA =⇔'()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='''⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔10000100001,,,21n 21 n γγγγγγ ⇔1,,1,2,,0,i j ij i j i j n i j γγδ=⎧'===⎨≠⎩,其中.判定定理 3 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的列向量组满1,0,i j ij i j i jααδ=⎧'==⎨≠⎩.其中n j i ,,2,1, =且ij δ是ker Kronec 记号.即A 的列向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.证明 A 为正交矩阵E A A ='⇔()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''⇔10000100001,,,2121 n n αααααα ⇔1,1,2,...0,i j ij i j i j n i jααδ=⎧'====⎨≠⎩,其中.例1.1 判断矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A (其中θ是实数)是否是正交矩阵. 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθθθθθcos sin sin cos cos sin sin cos 'AA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001. 因此A 是正交矩阵.1.2.2 正交矩阵的性质性质1 设A 为正交矩阵,则 1) 1A =±；2) A 可逆,即1A -存在,其逆1A -也是正交矩阵；3) ,A '*A 也是正交矩阵.并且当A 为)2(>n n 阶正交矩阵时,当1=A 时,*A A =',即ij ij A a =;当1-=A 时,,*A A -='即ij ij A a -=.证明 1) 由AA E '=,可知21A =,则1A =±.对正交矩阵A ,当1A =时,我们称A 为第一类正交矩阵；当1A =时,则称A 为第二类正交矩阵.2) 由,E A A ='可知A 可逆且.1A A '=-又111)()()(---==''='A A A A ,故1A -是正交矩阵.3) 由1)知1A A -'=,A '是正交矩阵.而由*11A A AA --==±,可以得出 ()()()1*1*A A A A --''=±=±=,故*A 是正交矩阵.由*11,A A A A A -'=±==,当1A =时,*A A '=,即ij ij a A =;当1A =-时,*A A -=',即ij ij a A =-.性质2 设,A B 都是n 阶正交矩阵,则1) AB ,m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA -等都是正交矩阵.2) 00A A A B A A ⎛⎫⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎭也是正交矩阵. 3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵.证明 1)由11,A A B B --''==可知111)()(---==''='AB A B A B AB ,所以AB 为正交矩阵.从而再由性质1可推知m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA-等均为正交矩阵.2) 因为11100000000A A A A B B B B ---''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 及A A A A A A A A '⎡⎤⎡⎤⎫⎫⎥⎥⎪⎪--⎭⎭⎦⎦A A A A A A A A ''-⎫=⎪''-⎭20010202A A E A A E '⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭故00A A A B A A ⎛⎫⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎭是正交矩阵. 3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵⇔()()()E A A A A A A s s =',,,diag ,,,diag 2121s i E A A i ,,1, =='⇔s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵.()iv a a ⎡⎥-⎦. 其中11a -≤≤;性质5 )1设,A B 为n 阶正交矩阵,且A B =-,则A B +必不可逆,即0A B +=； )2设,A B 为奇数阶正交矩阵,且A B =,则必A B -不可逆,即0A B -=； )3设A 是第二类正交矩阵,则E A +必不可逆；)4设A 是奇数阶第一类正交矩阵,则E A -必不可逆.证)1A B BB A BA A B B A A ''''+=+=+B A B A A B B +-='+-='+'-=)(2, 得0A B +=,即A B +不可逆.)2A B BB A BA A B B A A ''''-=-=-B A B A A B B n --='--='-'=)1()(2知当n 为奇数时,A B A B -=-- ,即0A B -=.从而A B -不可逆.充分性. 设对任意的n 阶矩阵B 错误!未找到引用源。
,()()Tr ABA Tr B '=. 特别地我们可选取),,2,1,(n j i E B ij ==错误!未找到引用源。
.这里ij E 错误!未找到引用源。
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列交叉位置上的元素为1,其余元素均为零的n 阶矩阵.记n e e e =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100,,010,00121 ，那么,j i ij e e E B '==错误!未找到引用源。
,1,2,,.i j e e i n == 错误!未找到引用源。
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