空间点线面位置关系复习
空间点线面位置关系
（1）利用线面垂直的判定定理：a⊥b,a⊥c,b∩c=M,b⊂α,c⊂α⇒a⊥α
（2）利用平行线垂直于平面的传递性:a//b,a⊥α⇒b⊥α
（3）利用面面垂直的性质定理α⊥β,α∩β=l,a⊥l,a⊂β⇒a⊥α
（4）利用面面平行的性质α//β,a⊥β⇒a⊥α
（5）利用面面垂直的性质α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ
(1)DE//平面AA'C'C;
（2）BC'⊥AB'.
例2如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
(1)证明：PB//平面AEC;
（2）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD= ，
求三棱锥E-ACD的体积.
直线、平面垂直的判定与性质
【知识清单】
一、线面垂直的判定和性质
平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3，BC=5.
（1）求证：AA1⊥平面ABC;
（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；
（3）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求BD/BC1的值。
3.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例；
4.同一条直线与两个平行平面所成角相等。
平行问题的转化：线线平行 线面平行 面面平行 线面平行
方法1 证明线面平行的方法
（1）利用线面平行的定义（一般用于反证法）；
（2）利用线面平行的判定定理；（3）利用面面平行的性质.
方法2 平面与平面平行的判定方法
AB和A 的中点.
求证：（1）E、C、 F、四点共面；
（2）CE, F,DA三线共点.
方法2 异面直线所成角的求解方法
1、平移直线（线段）法（定义法）：
点线面间的位置关系知识点总结(含题)(
点线面间的位置关系知识点总结一、三个公理公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么_________________________________________公理2:过________________________ 的三个点，有且只有一个平面公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_____________________________二、空间两条直线间的位置关系分类为：______________ ， ______________ ，_______________ ；其中__________ ， _________ 合称为______________三、空间直线与平面间的位置关系分类为：__________________ ，____________ ，__________________ ；其中__________ ， _________ 合称为______________四、空间平面与平面间的位置关系分类为：______________ ，当两个平面成90。
时，属于____________ 关系常用证明技巧一、线面平行列1 （2IH1年怀化楓蝌）如图所示*已知几0是单位止方WABCn-A^.C^的面A^BA和面』肮2＞的中心*求证：卩总〃平面ncr^n.练习1. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q且AP = DQ. 求证：PQ//平面BCE.2・妇匿，四棱链/一乩噸一平面所裁*截面为平厅四边形吕他求证，m/zz面日捌3* （加10年彌考■陕丙雜）如图’在四棱饰P ABCD中.底血ABCD^矩形「只4 丄平SLUJC/h .lP-.Ltf, BP-IiC-1, E, F分别&l f B T PC 的中点.门）证明* EF//平血知"；卩）求二棱锥E—.【号「的休枳匚（2）1/3二、线面垂直1、(2006年北京卷)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，AB 点E是PD的中点•(I)求证：AC PB ； (n)求证：PB〃平面AEC ；2、( 2006年浙江卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形BAD=90 ° ,PA丄底面ABCD，且PA= AD=AB=2BC,M、N 分别为PC、PB 求证：PB丄DM;3、(2006年福建卷)如图，四面体ABCD中，0、E分别是BD、BC的中点，CA(I)求证：AO 平面BCD;AC , PA 平面ABCD，且PA AB , CB CD BD 2, AB AD . 2.,AD // BC, /的中点•ADOE4、( 2006年重庆卷)如图，在四棱锥P—ABCD中，PA 底面ABCD, PC、DAB 为直角，AB II CD,AD=CD=24B,E、F 分另U为CD的中点.(I)试证：CD 平面BEF;5、(全国H ?理？9题)如图，在四棱锥SCS-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD丄底面ABCD , E、F分别是AB、的中点。
空间点线面位置关系(复习)-PPT
【知识梳理】 1.平面的性质 填一填
表示 基本性质
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上 的两点在一个平 面内,那么：
这条直线上的所有 点都在这个平面内
Al
Bl A
l
B
表示 基本性质
(√ )
一记
外一点有(
)条直线与已知直线平行.
外一点有(
)个平面与已知直线垂直.
外一点有(
)个平面与已知平面平行.
外一点有(
)条直线与已知平面垂直.
且只有一 且只有一 且只有一 且只有一
真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2013·安徽高考)在下列命题中,不是公理的是 ( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都 在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该 点的公共直线 【解析】选A.因为B,C,D是经过人类长期反复的实践检验是真实的,不 需要由其他判断加以证明的命题和原理,是公理.而A平行于同一个平 面的两个平面平行是性质定理而不是公理.
[提醒]
(1)三点不一定确定一个平面．当三点共线时，可有无数个平
面．
(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”，
“有且只有”有时也说成“确定”．
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
（5）异面直线所称的角
(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
点线面位置关系(知识点加典型例题)+大一高数知识点-重难点整理
点线面位置关系(知识点加典型例题)+大一高数知识点-重难点整理2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点重点：空间直线、平面的位置关系。
难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A ∈LB ∈L => L α ，A ∈α ，B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈LLA ·α C ·B·A· α P· αLβ公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
空间点线面位置关系(复习)ppt课件
[提醒]
(1)三点不一定确定一个平面．当三点共线时，可有无数个平 面．
(2)公理与推论中“有且只有”的含义是“存在且唯一”， “有且只有”有时也说成“确定”．
（5）异面直线所称的角
(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
B)
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重
合;
②两条直线可以确定一个平面; ③空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内; ④若M∈α ,M∈β ,α ∩β =l,则M∈l. A.1 B.2 C.3 D.4
5．(2014· 广东高考)若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满 足 l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是 A．l1⊥l4 B．l1∥l4 ( )
A,B,C三点不共线 ⇒有且只有一个平 面α,使A∈α, B∈α,C∈α
公理3
如果不重合的两 个平面有一个公 共点,那么它们 有且只有：
P ⇒ P
α∩β=l, 且P∈l
一条过这个点的公 共直线
• 2空间两条直线的位置关系:
①位置关系分类:
相交 平行 任何一个平面 ②基本性质4和等角定理:
2．(2015·江苏高考)已知 l，m 是两条不同的直线，α，β 是两 个不同的平面，下列命题： ①若 l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则 α∥β； ②若 l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则 l∥m； ③若 α∥β，l∥α，则 l∥β； ④若 l⊥α，m∥l，α∥β，则 m⊥β. 其中真命题________( ②④ 写出所有真命题的序号)．
空间点线面的位置关系知识点归纳
空间点、线、面之间的位置关系知识点归纳1. 平面的表示法概念几何里的平面是_________, 常用平行四边形表示平面。
表示法平面一般用一个希腊字母α、β、γ…来表示，也可以用平行四边形的对角线上两个点的字母来表示。
若A、B、C三点不共线，则可称平面ABC。
2．平面的基本性质公理1如果一条直线的_______在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
公理2 过______________________的三点，有且只有一个平面。
推论1过一条直线和______________一点，有且只有一个平面。
推论2 经过两条________直线，有且只有一个平面。
推论3经过两条________直线，有且只有一个平面。
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_______________。
学法指导①公里1可证明直线在平面内，只要证明直线上有两个点在平面内即行。
②公里2体现了平面无限延展的性质。
利用公里2可证明两个平面相交（只需证明一个点同时在两个平面内），也可证明若干个点共线（证明若干个点同时在两个平面内，则这若干个点在两个平面的交线上，即共线）。
③公里3及三个推论是确定平面的条件，是将空间几何转化为平面几何的理论基础。
公里3中已知的三点不能在同一条直线上，推论1中已知的点不能在直线上，这些条件都不可以削弱，否则就有无数个平面。
3．异面直线__________________一个平面内的两条直线叫做异面直线。
即空间内既不平行又不相交的直线。
为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托（如课本第45页的图）4.空间直线间、平面间的位置关系（1）两条直线的位置关系①相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；②平行直线：同一平面内，没有公共点；③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
相交直线和平行直线也称共面直线（2）两个平面的位置关系①两个平行平面：没有公共点；②两个相交平面：有一条公共直线。
空间点线面之间位置关系知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。
重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+④圆台的表面积22Srl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π=⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积①柱体的体积 V S h =⨯底 ②锥体的体积 13V S h =⨯底③台体的体积1)3V S S h =+⨯下上（ ④球体的体积343V R π=第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
空间点线面位置关系、线面平行、面面平行
空间点线面位置关系、线面平行、面面平行1.位置关系：线与线：相交、平行、异面；线与面：线在面内、相交、平行；面与面：相交、平行。
2.异面直线夹角：范围(0,]2π；计算：一做、二证、三计算。
3.线面平行证明： ；4.面面平行证明： ；5.常考知识点：（1）平行于同一直线的两直线 ；（2）平行于同一直线的两平面 ；（3）平行于同一平面的两直线 ； （4）平行于同一平面的两平面 ；（5）垂直于同一直线的两直线 ；（6）垂直于同一直线的两平面 ； （7）垂直于同一平面的两直线 ；（8）垂直于同一平面的两平面 ； 知识点1.位置关系判断例1. 已知m 、n 表示两条直线，γβα,,表示三个平面，下列命题中正确的个数是 ； ①若,,m n αγβγ⋂=⋂=//m n ，则//αβ；②若m,n 相交且都在βαβαβαβα//,//,//,//,//则外n n m ，m 、③若n m n n m m l //,//,//,//,//,则βαβαβα=⋂；④若m//α，n//n m //,则α 例2. ,m n 是不重合的直线，,αβ是不重合的平面：①m α⊂，n ∥α，则m ∥n ；②m α⊂，m ∥β，则α∥β；③n αβ=，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β，上面结论正确的有 ； 例3. a 、b 、c 表示直线，M 表示平面，可以确定a ∥b 的条件是（ ）.A.a ∥M ,b M ⊂B.a ∥c ,c ∥bC.a ∥M ,b ∥MD.a 、b 和c 的夹角相等 例4. 下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 例5. 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=例6. 若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交 例7. 下列命题中，假命题的个数是 ；① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行 线面平行例8. 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB ，M 、N 在对角线AC 、FB 上，且FN AM =， 求证：//MN 平面BCE例9. 如图，四边形ABCD 是矩形，,E F 是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥面PCE .面面平行例10. 如图，正方体中，,,,M N E F 分别是棱A B ''，A D ''，B C ''，C D ''的中点，求证：平面AMN ∥平面EFDB .ABDCEFMNFM NB 'C 'A ' DCBAD ' EA BC DDC 1B 1A 1 例11. 如图，设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、面1111ABCD 的中心，证明： ⑴PQ ∥平面11AA B B ；⑵面1D PQ ∥面1C DB .线面、面面平行综合应用.例12. 如图，空间四边形ABCD 的对棱AD 、BC 成o60的角，且2B C AD ==，平行于AD 与BC 的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于,,,E F G H ．（１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；（２）E 在AB 的何处时截面EGFH 的面积最大？最大面积是多少？借助面面平行 线面平行例13. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是菱形，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点， 证明：直线MN OCD 平面‖例14. 如图,S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SMAM =NDBN, 求证：//MN 平面SBC点的存在性问题例15. 直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90o BAD ADC ∠=∠=，222AB AD CD ===． （1）在11A B 上是否存一点P ，使得DP 与平面1BCB 与平面1ACB 都平行？证明你的结论． （2）试在棱AB 上确定一点E ，使1A E ∥平面1ACD ，并说明理由．例16. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．N M SCBA D AEBHFDG CM A D CO。
空间中点线面的位置关系复习课件
即 BA1 与 AC1 成 60° 的角．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
解
(1)不是异面
直线．理由如 下：连接MN、 A1C1、AC.
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点， ∴MN∥A1C1.
(1)AM和CN是否是异面直线？ 说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？ 说明理由．
基础知识 题型分类
又∵A1A綊C1C， ∴A1ACC1为平行四边形， ∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，
∴假设不成立，即D1B与CC1是 异面直线．
思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 空间两直线的位置关系
思维启迪 解析 探究提高
【例2】 如图所示，正方体 ABCD—A1B1C1D1中，M、N分 别是A1B1、B1C1的中点．问：
(1)证明直线异面通常用反证 法；(2)证明直线相交，通常用 平面的基本性质，平面图形的性 质等．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 平面基本性质的应用
思维启迪 解析 探究提高
【例1】在正方体ABCD— A1B1C1D1中，对角线A1C与平 面BDC1交于点O，AC，BD交 于点M，求证：点C1，O，M 共线．
如 图 所 示 ， ∵A1A∥C1C，
∴A1A，C1C 确 定平面 A1C.
数学
北(理)
§8.3 空间点、直线、平面 之间的位置关系
第八章 立体几何
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1．公理的作用 公理1的作用是判断直 线是否在某个平面内； 公理2及其推论给出了 确定一个平面或判断 “直线共面”的方法；公 理3的作用是如何寻找 两相交平面的交线以及 证明“线共点”的理论依 据；平行公理是对初中 平行线的传递性在空间 中的推广．
空间点线面的位置关系及四个公理(4)
高考专题：空间点、直线、平面的位置关系及四个公理一．空间点、直线、平面的位置关系 1．空间点、直线、平面之间的位置关系2．异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的 锐角(或直角) 叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．即，异面直线的平行线的夹角就是两异面直线所成的角。
(2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．异面直线判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线，与这个平面内不经过该点的直线是异面直线．即，若l B l B A ∉⊂∈∉,,,ααα 则AB 与l 异面。
4.异面直线所成的角的求解方法：方法一，定义法： 异面直线所成的角，根据定义，以“运动”观点，用“平移转化”的方法，使之成为两相交直线所成的角，当异面直线垂直时，应用线面垂直定义或三垂线定理及逆定理判定所成的角为。
90，也是不可忽视的方法。
其求解步骤为：做平移找出或做出有关的角-----证明它符合定义即认定----通过解三角形求角。
简言之，“一做，二证，三算”注意：第二步认定的表述为：Λ∠或其补角就是异面直线----与----所成的角。
方法二，三弦公式法：如图，已知PA 与PB 分别是平面α的垂线和斜线，在平面α内过斜足B 任意引一直线BC ，设θθθ=∠=∠=∠PBC ABC PBA ,,21，有21cos cos cos θθθ⋅=。
【真题再现】1.（2014全国二）:正方体1111D C B A -ABCD 中，若E 、F 分别为11B A 和1BB 的中点，则AE 与CF 所成角的余弦值是 .2.(2017理科全国三)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；其中正确的是 ________ .(填写所有正确结论的编号)推论：最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角（即，线面角）是这条斜线和平面内所有直线所成的一切角中的最小角。
知识讲解_空间点线面的位置关系(基础)
空间点线面的位置关系【考纲要求】（1）理解空间直线、平面位置关系的定义；（2）了解可以作为推理依据的公理和定理；（3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
【知识网络】空间点线面位置关系【考点梳理】考点一、平面的基本性质1、平面的基本性质的应用（1）公理1 :可用来证明点在平面内或直线在平面内；（2）公理2:可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面;（3）公理3:可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。
2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。
3、公理2的推论：（1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面；（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。
4、点共线、线共点、点线共面（1） 点共线问题证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3证明这些点都在这两个平面的交线上。
（2） 线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上。
要点诠释：证明点线共面的常用方法① 纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内； ② 辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面a, 再证明其余元素确定平面最后证明平面a 、B 重合。
考点二、直线与直线的位置关系（1）位置关系的分类异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（2）异面直线所成的角①定义：设a,b 是两条异面直线， 经过空间中任一点 0作直线a // a,b // b,把a 与b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 与b 所成的角（或夹角）.②范围：0,—2要点诠释：证明两直线为异面直线的方法：1、 定义法（不易操作）2、 反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发, 经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。
此法在异面直线的判定中经 常用到。
考点：空间点线面之间的关系(完整版)
理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.·公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.·公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.·公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.·公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.·定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.一、平面的基本性质及应用1．平面的基本性质名称图形文字语言符号语言公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α公理2的推论推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面若点A∉直线a，则A和a确定一个平面α推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a b P=⇒有且只有一个平面α，使aα⊂，bα⊂推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面∥a b ⇒有且只有一个平面α，使a α⊂，b α⊂公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，且P ∈β⇒α∩β=l ，P ∈l ，且l 是唯一的公理4———l 1———l 2———l平行于同一条直线的两条直线互相平行l 1∥l ，l 2∥l ⇒l 1∥l 22．等角定理（1）自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. （2）符号语言： 如图（1）、（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，,OA O A OB O B ''''∥∥，则AOB A O B ∠=∠'''或180AOB A O B ∠+∠'''=︒.图（1） 图（2）二、空间两直线的位置关系 1．空间两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线【注意】异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（2）异面直线所成角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是π(0,]2. （3）两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系 1．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 （1）直线和平面位置关系的分类 ①按公共点个数分类：⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点 ②按是否平行分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内③按直线是否在平面内分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行（2）平面和平面位置关系的分类两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有一条公共直线.2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示图形语言符号语言公共点α=1个直线a与平面α相交a A∥0个直线a与平面α平行aα⊂无数个直线a在平面α内aα∥0个平面α与平面β平行αβαβ=无数个平面α与平面β相交l3．常用结论（1）唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（2）异面直线的判定方法经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．考向一平面的基本性质及应用（1）证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；学#②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.（2）证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.（3）证明点或线共面问题，主要有两种方法：①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.典例1（1）在下列命题中，不是公理的是A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（2）给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.其中正确命题的个数是A．0 B．1C．2 D．3【答案】（1）A （2）B1．如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求证：（1）E,C,D1,F四点共面；（2）CE,D1F,DA三线共点.考向二 空间线面位置关系的判断两条直线位置关系判断的策略：(1)异面直线的判定常用到的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直． (3)对于异面直线的条数问题，可以根据异面直线的定义逐一排查. 学@典例2 如图，在正方体1111ABCD A BC D 中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论： ①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为 A ．③④ B ．①② C ．①③D ．②④【答案】A故选A ．2．若直线l与平面α相交，则A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交典例3如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:（1）AM和CN是否是异面直线?说明理由.（2）D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.3．如图，平面,,,a b b a A c αβαβ=⊂=⊂平面,且c a ∥，求证:b ,c 是异面直线.考向三 异面直线所成的角求异面直线所成的角的常见策略： (1)求异面直线所成的角常用平移法．平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．(2)求异面直线所成角的步骤①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； ③三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. (3)判定空间两条直线是异面直线的方法①判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线． ②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．典例4 如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A ．90B ．75C ．60D ．45【答案】A则222AG GH AH =+，所以90AEF ∠=，故选A. #网【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几何体的结构特征，把空间中异面直线CD 和PB 所成的角转化为平面角AEF ∠，放置在三角形中，利用解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.4．如图,已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,设M,N分别是A1B1,BC的中点.（1）求MN与A1C1所成角的正切值;（2）求B1D与A1C1所成角的大小.1．在正方体中，与成异面直线的棱共有A．条B．条C．条D．条2．下面四个条件中，能确定一个平面的条件是A．空间中任意三点B．空间中两条直线C．一条直线和一个点D．两条平行直线3．已知直线平面,直线平面,则A．B．异面C．相交D．无公共点4．若直线a α,给出下列结论：①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a平行的直线其中成立的个数是A．0 B．1C．2 D．35．如图,在四面体中,若直线和相交,则它们的交点一定A ．在直线上B ．在直线上C ．在直线上D ．都不对6．在空间中,下列命题正确的是A ．若平面内有无数条直线与直线l 平行,则l α∥B ．若平面内有无数条直线与平面平行,则αβ∥C ．若平面内有无数条直线与直线l 垂直,则l α⊥D ．若平面内有无数条直线与平面垂直,则αβ⊥ 7．给出下列四种说法:①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； ②一条直线和一个点确定一个平面； ③若四点不共面, 则每三点一定不共线； ④三条平行线确定三个平面． 正确说法的个数为 A ．1 B ．2 C ．3D ．48．已知,m n 为异面直线,平面平面，直线满足,则A ．αβ∥且l α∥B ．且C ．与相交,且交线垂直于D ．与相交,且交线平行于9．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定 10．在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中分别是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A ．147 B ．57C ．105D ．25511．已知在正方体1111ABCD A BC D -中（如图），l ⊂平面1111A B C D ，且l 与11B C 不平行，则下列一定不可能的是A ．l 与AD 平行B ．l 与AB 异面C ．l 与CD 所成的角为30°D ．l 与BD 垂直12．在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点.若AC BD a ==，且AC 与BD所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为A ．238a B ．234a C ．232a D ．23a13．我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中尺，尺，尺，间的距离为尺，间的距离为尺，则异面直线与所成角的正弦值为A ．B ．C ．D ．14．如图是正四面体的平面展开图，分别是的中点，在这个正四面体中：①与平行；②与为异面直线；③与成60°角；④与垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．415．若直线和平面平行,且直线,则两直线和的位置关系为 _____ .16．如图所示，1111ABCD A BC D 是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，给出下列结论：①A 、M 、O 三点共线；②A 、M 、O 、A 1不共面；③A 、M 、C 、O 共面；④B 、B 1、O 、M 共面． 其中正确结论的序号为____________．17．已知m ,n 是两条不同的直线，,β是两个不同的平面,给出下列命题:①若⊥β,∩β=m ,n ⊥m ,则n ⊥α或n ⊥β; ②若α∩β=m ,n //α,n //β,则n //m ;③若m 不垂直于平面α,则m 不可能垂直于α内的无数条直线; ④若m ⊥α,n ⊥β, α//β,则m //n .其中正确的是__________.(填上所有正确的序号) 18．在四面体中,分别是的中点,若所成的角为,且,则的长度为__________. 19．如图，已知四棱锥中，底面为菱形，分别是的中点，在上，且13PG PD.证明:点四点共面.20．已知空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.(1)求证:BC与AD是异面直线;(2)求证:EG与FH相交.21．如图,等腰直角三角形ABC中,∠A＝90°,BC＝,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA＝1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.1．（2018新课标全国Ⅱ理科）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B 5C 5D 2 2．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．32B ．155C ．105D ．333．（2015安徽理科）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是 A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 4．（2016新课标全国Ⅰ理科）平面α过正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，α平面ABCD =m ，α平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A 3B ．22C 3D ．135．(2017新课标全国Ⅲ理科) a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）6．（2015浙江理科）如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．7．（2016上海理科）将边长为1的正方形11AAOO （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为2π3，11A B 长为π3，其中1B 与C 在平面11AAOO 的同侧.（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.1．【解析】（1）如图,连接EF ,CD 1,BA 1.因为E ,F 分别是AB ,AA 1的中点,所以EF ∥BA 1. 又BA 1∥CD 1,所以EF ∥CD 1. 所以E ,C ,D 1,F 四点共面.（2）因为EF ∥CD 1,EF <CD 1,所以CE 与D 1F 必相交,设交点为P ,如图所示.2．【答案】A【解析】当直线l 与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A 正确；该平面内不存在与直线l 平行的直线，故B 错误；该平面内有无数条直线与直线l 垂直，所以C 错误；平面α内的直线与l 可能异面，故D 错误，故选A ． 学@ 3．【解析】反证法：若b 与c 不是异面直线,则或b 与c 相交.①若,∵,∴,这与矛盾. ②若b ,c 相交于点B ,则.∵,∴，∴AB β⊂,即b β⊂,这与矛盾.∴b ,c 是异面直线.变式拓展4．【解析】（1）如图,取B1C1的中点Q,连接MQ,∵M是A1B1的中点,∴MQ//A1C1,∴MQ与MN所成的角为MN与A1C1所成的角,即∠NMQ.连接QN,则QN⊥平面A1B1C1D1,而MQ⊂平面A1B1C1D1,∴QN⊥MQ.在Rt△MQN中,QN=a,MQ =a,∴tan∠NMQ =.即MN与A1C1所成角的正切值为.（2）如图,连接BD,B1D1.∵DD1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,∴DD1⊥A1C1.又A1C1⊥B1D1,DD1∩B1D1=D1,∴A1C1⊥平面BDD1B1.∵B1D⊂平面BDD1B1,∴A1C1⊥B1D,∴B1D与A1C1所成角的大小为90°.考点冲关1．【答案】A【解析】如图，与成异面直线的棱有、、、，共4条.故选A.2．【答案】D3．【答案】D【解析】若直线平面,直线平面,则或异面,即无公共点.故选D．4．【答案】A【解析】∵直线a α,∴a∥α或a∩α=A.如图,显然①②③④都有反例,所以应选A.【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑问题要全面，即注意发散思维.5．【答案】A【解析】根据条件可知,和的交点都在平面ABD与平面BCD中,故和相交于两平面的交线BD上.故选A.6．【答案】D【解析】由题可得,要使直线与平面平行,则直线应平行于平面内的一条直线,且该直线在平面外,由此可得,选项A错误;要使平面与平面平行,则只需平面内两条相交直线与平面平行即可,选项B中,没说明直线是否相交,所以结论不一定成立,所以选项B错误;要使直线垂直平面,则直线垂直于平面内的任意一条直线,而无数条直线不能代表任意条,所以选项C错误,所以正确的选项是D．7．【答案】A8．【答案】D【解析】若，则由平面，知平面，而平面，所以，与为异面直线矛盾，所以平面与平面相交.由平面，且，可知,，同理可知，所以与两平面的交线平行.故选D ． 9．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l .若取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；若取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；若取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA10．【答案】D【解析】取DD 1的中点G ,连接BG,FG ,易知四边形BED 1G 是平行四边形,则BG //ED 1,则∠FBG 是异面直线与所成的角或其补角,令正方体的棱长为2,则BF =FG =BG =3,cos ∠FBG 255235=⨯⨯. 11．【答案】A【解析】假设l AD ∥，则由11AD BC B C ∥∥，可得11l B C ∥，这与“l 与11B C 不平行”矛盾，所以l 与AD 不平行． 12．【答案】A13．【答案】B【解析】过点作，如图：根据题意知，所以是异面直线与所成的角，又因为尺，尺，且侧面为等腰梯形，则尺，间的距离为尺，故尺，由勾股定理得尺，所以,故选B.14．【答案】C【解析】将正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，如图：15．【答案】平行或异面【解析】由条件可知直线和没有公共点,故直线和的位置关系为平行或异面. 学……16．【答案】①③【解析】连接A1C1、AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O、A在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线，故①正确．由①易知②错误，③正确．易知OM与BB1为异面直线，故④错误．17．【答案】②④【解析】若,则与的位置关系不确定,即①错误;由线面平行的性质和平行公理可得②正确;若不垂直于平面,则可垂直于内的无数条直线,即③错误;若,则,又,所以,即④正确.故填②④.18．【答案】19．【解析】在平面内,连接并延长，交的延长线于点,则有, 在平面内,连接并延长，交于点．取中点,连接,AF，20．【解析】(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为,则.所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾. @网所以BC与AD是异面直线.(2),因此;同理,则EFGH为平行四边形.又EG,FH是平行四边形的对角线,所以EG与HF相交.21．【解析】取AC的中点F,连接BF、EF,1．【答案】C【解析】用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1=5DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得222111115455cos 2545DB B P DP DB P DB PB +-+-∠===⋅.故选C.2．【答案】C直通高考【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A BC D -， 则所求角为21111,2,21221cos 603,5BC D BC BDC D AB ∠==+-⨯⨯⨯︒===，易得22211C D BD BC =+，因此111210cos 55BC BC D C D ∠===，故选C ．【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； 学@④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 3．【答案】D4．【答案】A【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为α∥平面11CB D ，所以','m m n n ∥∥，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角. 过1D 作11D E B C ∥，交AD 的延长线于点E ,连接CE ，则CE 为'm . 连接1A B ，过B 1作111B F A B ∥，交1AA 的延长线于点1F ，则11BF 为'n .连接BD ，则111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，为60 ， 故,m n 所成角的正弦值为32，选A.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补. 5．【答案】②③【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.6．【答案】87【解析】如下图，连接DN，取DN中点E，连接EM，EC，则可知EMC∠即为异面直线AN，CM 所成角（或其补角），易得122EM AN==22213EC EN CN+=+2222=-=AMACCM，∴7 cos82222EMC∠==⨯⨯，31 即异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为87. 7．【解析】（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =．由11A B 长为π3，可知111π3ΑΟΒ∠=． 111111111113sin 24ΟΑΒS ΟΑΟΒA ΟΒ=⋅⋅∠=△， 11111113312C O A B ΟΑΒV S h -=⋅=△．【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.。
点线面之间的位置关系的知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。
2 公理4：平行于 c ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；D CBAα LA ·α C ·B·A · α P· αLβ 共面直线=>a ∥c2⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019/12/29
2．空间直线关系
(1)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．( ) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( ) (3)若a与b相交，b与c相交，则a与c相交．( ) (4)若a，b与c成等角，则a∥b. ( )
大小．
成的角就是 AC 与 A1D 所成的角．
A、B
a
“线面关系”
公理2 ：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
•B •A •C α
点A、B、C不共线 A、B、C可 以确定一个平面
“确定平面”
公理3 ：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线.
αα β p• l
“面面相交”
P P
b
Pc
（2）等角定理
注意区别：平面几何是在同一个 平面内，空几是在不同平面内
相等或互补
2019/12/29
3、异面直线
（1）定义：不同在任何一个平面内，没有公共点；既不相交也不平行
（2）图形：（平面衬托）
b
•P α
a
αα a
βb
（3）判断或论证异面直线（用图形法判断，用反证法论证）
（4）异面直线所成的角
题型分类·深度剖析
例2
异面直线所成的角
【例 1】 正方体 ABCD—
思维启迪
解析
探究提高
A 1B1C1D1 中，
解 (1)如图所示，连
(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小； 接 B1C，由 ABCD—
(2)若 E、F 分别为 AB 、AD 的 A1B1C1D1 是正方体，
中点，求 A1C1 与 EF 所成角的 易知 A1D∥B1C，从而 B1C 与 AC 所
A．点A
B．点B
图1 C．点C但不过点M
D．点C和点M
2019/12/29
答案：
∴截面为六边形PQFGRE.
2019/12/29
变式题 (1)不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面；若相交于两点， 最多能确定________个平面；若相交于三点，最多能确定________个平面．
例2
异面直线所成的角
【1】 正方体 ABCD— A 1B1C1D1 中， (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小； (2)若 E、F 分别为 AB 、AD 的 中点，求 A1C1 与 EF 所成角的 大小．
思维启迪
解析
探究提高
(1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D 所成的角，再计算．(2)可证A1C1 与EF垂直．
落木志 是实志 。消气 失迎气
沉太 望不太 ，小 烦上大 结， 闷头， 果因 ；来理 就循 ，想 必苟 结过 至且 果多 于， 自， 堕麻 然事
课题： 空间点、线、面的位置关系复习
一、平面的基本性质（平面三公理）
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
A• B• α
A、B a
2019/12/29
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× [解析] (1)由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，因为
若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾. (2)由平行公理知正确． (3)当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故(3)不正确． (4)当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故(4)不正确．
(2)如图2所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点 共面的图形是________．
2019/12/29
图2
[解析] (1)三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图①；三条直线相交于
两点，最多可确定2个平面，如图②；三条直线相交于三点，最多可确定1个 平面，如图③.
2019/12/29
2019/12/29
例1
(1)[2012·兰州一模] 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P，Q，R分别是AB，AD， B1C1 的中
点，那么，正方体的过P，Q，R的截面图形是( )
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
(2)如图1，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C ∉l，直线AB∩l＝M，过A， B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
—— 疑 难 辨 析 ——
(1)空间中不同三点确定一个平面．( )
(2)空间中两两相交的三条直线确定一个平面．( )
(3)一条直线和一个点能确定一个平面．( )
(4)梯形一定是平面图形．( )
2019/12/29
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)空间中不共线的三点确定一个平面．
直线a与平面平行
α
a P
没有公共点
2019/12/29
注意：直线与平面平行不包含直线在平面内，直线与 平面平行和直线在平面内是两种不同的位置关系
两平面平行 两平面相交
四、平面与平面的位置关系
α β
β α
l
P
0个公共点
I l 无数个公共点（均在交线l上）
2019/12/29
1．平面的基本性质
定义： a
b 求法：按定义 平移→相交→归面
•b
P a
异面直线所成角的范围： 0,
2
（解三角形求角）
异面直线所成角不可能为零， 否则就不异面了
2019/12/29
三、直线与平面的位置关系
直线a在平面内
a
α
a
无数个公共点
直线a与平面相交
Байду номын сангаас
a
•A α
aI A
一个公共点
a
2019/12/29
二、直线与直线的位置关系
1、位置关系：
平行
aα b
相交 异面
P•
b a
α
b
•P α
a
共面直线
“两者必居其一，或三者 必居其一”
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公 共点
2019/12/29
2、平行直线的性质（平面→空间）
（1）公理4：（平行线的传递性）
a a
Pb
Pc
唯一的直线l，使得
I
=l, P l
2019/12/29
公理2有三个推论
推论1：
A• α B• C•
经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面。
推论2：
A• B • •C
α
经过两条相交直线，可以确定一个平面。
推论3：
A• B• C•
α 经过两条平行直线，可以确定一个平面。
公理2及其推论主要用于确定平面；证明点线共面