人教A版高中数学必修一课件2.4.1反函数
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如果对于y在C中的任何一个值，通过 x (y) ，
x在A中都有唯一的值和它对应，
那么 x (y) 就表示y是自变量，x是自变量y的函数，
这样的函数 x (y)（y∈C）叫做函数 y f (x) (x A) 的反函数. 记作：x f 1(y) （y∈C）
对调 x f 1(y) 中的字母x, y, 把它改写成：y f 1(x)
3、函数与y f (x) 互为y反 函f 数1(x. )
4、 x f 1( y), y C与 y f 1(x), x C.
是同一个函数吗？
5、函数与y f (x) y f的1定(x义) 域与值域的关系.
y f (x) y f 1(x)
定义域
A
C
值域
C
A
6、 f 1(f (x)) x, (x A) f (f 1(x)) x, (x C)
① f (x) 2x
x
y
②f (x) x2 ③ f (x) x2 (x 1)
x
y
xy
1
2
2
4
3
6
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f : x y 2x
0
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1
·-1
1 ·
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f : x y x2
-1
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f : x y x2
① f (x) 2x
x
y
1
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解：∵ y=ax+b ,
∴ x yb.
a
∴ y=ax+b 的反函数是 y x b .
a
∵ y=ax+b 的反函数就是它本身
∴ ax b x b , a
∴
ba1aba, .
∴
a b
1 0
或
a 1,
b
R.
六、课堂小结：
1、构成函数的映射是一一映射时，这个函数才 有反函数；
·
·
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·
f : x y 2x
f 1 :y x y 2
② f (x) x2
x
y
0
0
1
·-1
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f : x y x2
③ f (x) x2 (x 1)
x
y
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f : x y x2
f 1: y x y f 1: y x y
四剖析定义:
y f (x), x A, C { f (x) | x A}
解方程
x ( y), y C
记作
x f 1( y), y C
X, y互换
y f 1(x), x C
思考: 1、哪些函数有反函数？ 2、单调函数一定有反函数吗？有反函数的函数一定为单调吗?
解：∵y = 2x 3 , x2
∴x =
y3
.
y2
∴
f 1 (x)
x x
3 2
（x≠2).
(2) f (x) x 1, (x 0).
解： ∵ y x 1, ∴ x (y 1)2.
∴ f 1(x) (x 1)2 (x 1)
(3) f (x) x2 4x 3, (x 3).
Βιβλιοθήκη Baidu
若确定一个函数的从定义域到值域的映射，它的逆对
应也是一个映射（称这个映射为原映射的逆映射），则由 逆映射所确定的函数称为原来函数的反函数.
三、新授课
反函数定义： 反函数： 函数 y f (x) (x A) 中，设它的值域为C， 根据这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到 x (y)
2、反函数的定义域、值域分别是原函数的值 域、定义域；
3、求反函数的一般步骤是： ①解方程； ②x，y互换； ③写出反函数的定义域．
七、课后思考：
1、 若 f (x) x2 2x 5 (x 0) , 求 f 1(0)
2、 若 y f (x) 存在反函数，求 y f (x 1) 的反函数.
xy f f1
f 1
xyf
求反函数的步骤：
1、反解： y f (x)
x f 1 (y)
2、互换： x f 1 (y)
y f 1 (x)
3、求原函数值域，即为反函数的定义域.
五、例题
例1：已知下列函数都有反函数，试求出它们 的反函数.
(1) f (x) 2x 1. x 1
：∵
y x2 4x 3 (x 2)2 1,
∴ (x 2)2 y 1, ∵ｘ＞３,
∴ x 2 1,
∴ x 2 y 1.
∴ x 2 y 1,
∴ f 1(x) 2 x 1 (x 0).
例2： 若函数y=ax+b（a≠0）的反函数就 是它本身，求a，b应满足的条件.
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
反函数
古蔺中学
一、复习旧知
映射：设A、B是两个集合，如果按照某种 对应法则f ，对于集合A中的任何一个元素， 在集合B中都有唯一的元素和它对应， 那么这样的对应叫做集合A到集合B的映 射.
函数：建立在两个非空数集上的映射.
二、引入新课
考察确定下列函数的映射, 记函数的定义域 为A, 值域为C, 哪些映射的逆对应能构成从 C到A的映射?
x在A中都有唯一的值和它对应，
那么 x (y) 就表示y是自变量，x是自变量y的函数，
这样的函数 x (y)（y∈C）叫做函数 y f (x) (x A) 的反函数. 记作：x f 1(y) （y∈C）
对调 x f 1(y) 中的字母x, y, 把它改写成：y f 1(x)
3、函数与y f (x) 互为y反 函f 数1(x. )
4、 x f 1( y), y C与 y f 1(x), x C.
是同一个函数吗？
5、函数与y f (x) y f的1定(x义) 域与值域的关系.
y f (x) y f 1(x)
定义域
A
C
值域
C
A
6、 f 1(f (x)) x, (x A) f (f 1(x)) x, (x C)
① f (x) 2x
x
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②f (x) x2 ③ f (x) x2 (x 1)
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解：∵ y=ax+b ,
∴ x yb.
a
∴ y=ax+b 的反函数是 y x b .
a
∵ y=ax+b 的反函数就是它本身
∴ ax b x b , a
∴
ba1aba, .
∴
a b
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或
a 1,
b
R.
六、课堂小结：
1、构成函数的映射是一一映射时，这个函数才 有反函数；
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f : x y 2x
f 1 :y x y 2
② f (x) x2
x
y
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f : x y x2
③ f (x) x2 (x 1)
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f : x y x2
f 1: y x y f 1: y x y
四剖析定义:
y f (x), x A, C { f (x) | x A}
解方程
x ( y), y C
记作
x f 1( y), y C
X, y互换
y f 1(x), x C
思考: 1、哪些函数有反函数？ 2、单调函数一定有反函数吗？有反函数的函数一定为单调吗?
解：∵y = 2x 3 , x2
∴x =
y3
.
y2
∴
f 1 (x)
x x
3 2
（x≠2).
(2) f (x) x 1, (x 0).
解： ∵ y x 1, ∴ x (y 1)2.
∴ f 1(x) (x 1)2 (x 1)
(3) f (x) x2 4x 3, (x 3).
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若确定一个函数的从定义域到值域的映射，它的逆对
应也是一个映射（称这个映射为原映射的逆映射），则由 逆映射所确定的函数称为原来函数的反函数.
三、新授课
反函数定义： 反函数： 函数 y f (x) (x A) 中，设它的值域为C， 根据这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到 x (y)
2、反函数的定义域、值域分别是原函数的值 域、定义域；
3、求反函数的一般步骤是： ①解方程； ②x，y互换； ③写出反函数的定义域．
七、课后思考：
1、 若 f (x) x2 2x 5 (x 0) , 求 f 1(0)
2、 若 y f (x) 存在反函数，求 y f (x 1) 的反函数.
xy f f1
f 1
xyf
求反函数的步骤：
1、反解： y f (x)
x f 1 (y)
2、互换： x f 1 (y)
y f 1 (x)
3、求原函数值域，即为反函数的定义域.
五、例题
例1：已知下列函数都有反函数，试求出它们 的反函数.
(1) f (x) 2x 1. x 1
：∵
y x2 4x 3 (x 2)2 1,
∴ (x 2)2 y 1, ∵ｘ＞３,
∴ x 2 1,
∴ x 2 y 1.
∴ x 2 y 1,
∴ f 1(x) 2 x 1 (x 0).
例2： 若函数y=ax+b（a≠0）的反函数就 是它本身，求a，b应满足的条件.
高中数学课件
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反函数
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一、复习旧知
映射：设A、B是两个集合，如果按照某种 对应法则f ，对于集合A中的任何一个元素， 在集合B中都有唯一的元素和它对应， 那么这样的对应叫做集合A到集合B的映 射.
函数：建立在两个非空数集上的映射.
二、引入新课
考察确定下列函数的映射, 记函数的定义域 为A, 值域为C, 哪些映射的逆对应能构成从 C到A的映射?