4.3,4二次型与合同变换(第十五次)

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合同变换二次型标准型

合同变换二次型标准型在数学中，二次型是一种非常重要的数学对象，它在许多领域都有着广泛的应用。

而将一个二次型转化为标准型，则是解决二次型问题中的一项重要任务。

本文将介绍如何通过合同变换的方法将一个二次型转化为标准型，并给出详细的步骤和示例，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来回顾一下什么是二次型。

二次型是指n个变量的二次齐次多项式，通常可以表示为一个对称矩阵的形式。

具体而言，对于n元二次型，可以表示为一个n维向量x和一个n×n的对称矩阵A的乘积，x^TAX，其中x^T表示x的转置。

在实际问题中，我们通常会遇到需要对二次型进行变换的情况，而合同变换就是一种常用的变换方法。

接下来，我们来介绍如何通过合同变换将一个二次型转化为标准型。

设有二次型Q(x)=x^TAx，其中A是一个对称矩阵。

我们的目标是找到一个非奇异矩阵P，使得通过合同变换P^TAP=I，其中I是单位矩阵，从而将二次型Q(x)转化为标准型。

具体的步骤如下：1. 首先，求出对称矩阵A的特征值和对应的特征向量。

2. 将特征向量按列排成一个矩阵P，使得P的第i列为A的第i个特征向量。

3. 计算P的逆矩阵P^{-1}。

4. 则通过合同变换P^TAP=I，可以得到A=P^{-1}IP=(P^{-1})^TIP=diag(λ_1,λ_2,...,λ_n)，其中diag(λ_1,λ_2,...,λ_n)表示一个对角矩阵，对角线上的元素为A的特征值。

通过以上步骤，我们就可以将二次型Q(x)=x^TAx通过合同变换转化为标准型。

这样一来，我们就可以更方便地对二次型进行研究和应用。

下面，我们通过一个具体的例子来说明合同变换二次型标准型的过程。

设有二次型Q(x)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3，我们要将其转化为标准型。

首先，求出对称矩阵A的特征值和对应的特征向量，得到特征值λ_1=0，λ_2=2，λ_3=4，对应的特征向量分别为(1,1,0)^T，(0,0,1)^T，(1,-1,1)^T。

4.3,4二次型与合同变换(第十五次)

0 0 0 B = 0 1 0, 0 0 4 0 0 0 y1 f ( y1 , y2 , y3 ) = ( y1 , y2 , y3 ) 0 1 0 y2 , 0 0 4 y 3
因r(B)=2, 故二次型的秩等于2. 故二次型的秩等于
2 2 f ( x1 , x2 ,L , xn ) = d1 x12 + d 2 x2 + L + d n xn .
二次型的矩阵形式
f ( x1 , x2 ) = x
2 1
+ 4 x1 x2 +x
2 2
f ( x1 , x2 ) = x
f ( x1 , x2 ) = X T AX
2 1
+ 2 x1 x2
3 −2 −4 A = −2 6 −2 , −4 −2 3
3 −2 −4 x1 f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 , x2 , x3 ) −2 6 −2 x2 , −4 −2 3 x 3
2 2 f = x12 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
1 1 1 解：二次型的系数矩阵为 A = 1 2 3 1 3 5 1 1 1 1 0 1 1 1 2 3 0 1 2 0 A 1 3 5 1 3 5 c2 −c1 1 r2 − r1 = → → E 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0
4.4 合同变换与二次型的标准形

合同变换法

0 1 1
解： f ( x1, x2 , x3 ) 的矩阵为
A

1 1
0 3
3 0

1 1 0
令
C1

1 0
1 0
0 1

,
1 1 00 1 1 1 1 0
A1

CA
C1

1 0
1 0
0 1

1 1
第五章二次型 §2 标准形
一、二次型的标准形 1、任意二次型的化简（配方法）定理1 数域P上任一二次型都可经过非退化线性替换化成平方和的形式.
证明：对二次型变量个数n作归纳法. n=1时，f ( x1) a11x12, 结论成立. 假定对n－1元二次型结论成立. 下面考虑n元二次型 f ( x1, x2 , , xn ).

a11 0
G
0
A1 a111
G

a11 0
0 D

为对角矩阵.
令 C C1C2 , 则C可逆，且 C AC 为对角矩阵.
第五章二次型 §2 标准形
2) a11 0, 但有一个 aii 0, i 1 令 C1 P(1, i), 显然 C1 P(1, i)
2 y12 2 y22 4 y1 y3 8 y2 y3 2( y1 y3 )2 2 y32 2 y22 8 y2 y3
第五章二次型 §2 标准形
再令

z1 z2

y1 y2
y3
或

y1 y2

z1 z2

z3
z3 y3

二次型及其标准形

例1 求一个正交变换x Py,把二次型
f x12 2x22 x32 2x1 x3 化为标准形.
解
1 (1)A 0
0 1 2 0
1 0 1
(2)A的特征值1 2 2,3 0.
当1 2 2时，特征向量为：
p1 (0,1,0)T , p2 (1,0,1)T .
当3 0时，特征向量为：p3 (1,0,1)T .
定理1 对于实二次型 f xT Ax, 总存在正交变换 x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1，2，,n为A的特征值.
用正交变换化二次型为标准型的步骤： (1)写出二次型的矩阵; (2)求 A的全部特征值,特征向量并正交化、单位化; (3)求正交矩阵P; (4)写出正交变换和标准形.
(3)将p1，p2，p3单位化：q1 (0,1,0)T , q2 (1/ 2,0,1/ 2)T ,q3 (1/ 2,0,1/ 2)T .
0
令Q
1
0
1 2
0 1
2
1
2 0 1
2
,
(4)作正交变换
0
x 1
0
1 2
0 1
2
1 2
0 y,
1
2
标准形为 f 2 y12 2 y22 .
定义2 设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B CT AC, 则称矩阵A与B合同. congruent
合同是方阵间又一个特殊的等价关系, 因此具有以下性质: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性;
(4) 合同变换不改变矩阵的秩;
(5) 合同变换不改变矩阵的对称性;
4.4.3 二次型的标准化的方法
称为二次型.

二次型和矩阵合同

⼆次型和矩阵合同1. ⼆次型含有n个变量x_{1},x_{2},...,x_{n}的⼆次齐次函数f(x_{1},x_{2},...,x_{n})称为n元⼆次型，即在⼀个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每⼀项的次数都为2的多项式，如f(x) = ax^{2} \\ f(x,y) = ax^{2} + by^{2} + cxy \\ f(x,y,z) = ax^{2} + by^{2} + cz^{2} + dxy + exz + fyz它起源于⼏何学中⼆次曲线⽅程和⼆次曲⾯⽅程化为标准形问题的研究。

⼆次型中每⼀项都是⼆次的，没有⼀次项和常数项，之所以不研究包含⼀次项和常数项的⼆次⾮齐次多项式，是由于：⼀次项与常数项的改变不会影响函数图像的⼤致形状。

⼀个⼆次型可以⽤⼀个矩阵表⽰成如下的形式：f(x) = x^{T}Ax其中x是⾃变量组成的列向量。

⼀定都会找到⼀个对称的矩阵A来表⽰表⽰这个⼆次型，假如A不对称，那么必然有对称矩阵B = (A + A^{T}) / 2满⾜x^{T}Ax = x^{T}Bx因为实对称矩阵具有许多特别的性质，为了⽅便研究，规定⼆次型矩阵就是⼀个实对称矩阵。

更为关键的是：如果⼆次型矩阵是对称的，那么它将是唯⼀的。

⼆次型的图形：为了⽅便研究⼆次型，我们代⼊具体的函数值，研究⼀个具体的图形：x^{T}Ax = C这样就表⽰成⼀个曲线或者曲⾯，这个图形由取具体函数值的⾃变量全体构成的。

描述它的参考系(少了函数值那个维度)不同，⼆次型矩阵也不同，这涉及到合同的概念。

2. 矩阵合同在线性代数，特别是⼆次型理论中，常常⽤到矩阵间的合同关系。

定义：设A和B是两个n阶⽅阵，若存在可逆矩阵C，使得C^{T}AC = B则⽅阵A与B合同，A到B的变换C称为合同变换。

那矩阵A和B合同到底有什么意义呢？我们已经知道相似是相同的线性变换在不同基下的表⽰，那合同呢？下⾯针对⼀个⼆次型的图形来表述，即代⼊具体函数值之后的曲线或曲⾯。

4.3,4二次型与合同变换(第十五次)解析

2 a22 x2 2a23 x2 x3
2a1n x1 xn 2a2 n x2 xn
2 ann xn

叫做n元二次型，当二次型的系数aij ( i, j=1,2, …,n)都是实数时, 称为实二次型. 特别地, 只含有平方项的n元二次型称为n元二次型的标准形.
f ( x1, x2 ,
注：n阶矩阵A与对角矩阵 Ldiag(l1 , l2 , , ln) 相似的充
分必要条件是 A特征方程的每个 k重根l对应k个线性无关的特征向量，即齐次线性方程组 (lE-A)X=o 的基础解系是否有 k 个解，亦即系数矩阵lE-A的秩r(lE-A)=n-k.
推论若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则 A与对角矩阵 Ldiag(l1 , l2 , , ln) 相似.
5 x 4 y , 6 x - 6 4 y
-1 1 ①求x , y的值；得其基础解系x1= 1 ,x2= 0 . ②求可逆矩阵P，使P-1AP=B. 0 1
对于特征值l36，解线性方程组(6E-A)Xo，
解得
x 5 . y 6
1 得其基础解系x3= -2 ， 3
2 , xn ) d1x12 d2 x2
2 dn xn .
二次型的矩阵形式
f ( x1 , x2 ) x
2 1
4 x1 x2 x
2 2
f ( x1 , x2 ) x
f ( x1 , x2 ) X T AX
2 1
2 x1 x2
2 2
2 x1 x2 x
1 f ( x1 , x2 ) ( x1 x2 ) 2
2 dn xn ,
T f ( x , x , , x ) X LX ,其中则 f 的矩阵形式为 1 2 n

二次型的可逆变换和合同变换

二次型的可逆变换和合同变换二次型的可逆变换和合同变换在线性代数中，二次型是一个非常重要的概念。

它在数学、物理、工程以及计算机科学等领域中都有着广泛的应用。

在本文中，我们将深入探讨二次型的可逆变换和合同变换，并按照从简到繁的方式来讲解，以便读者能够更好地理解和应用这两个概念。

1. 二次型的基本概念让我们回顾一下二次型的基本概念。

二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，通常可以表示为q(q)=q^qqq，其中q是一个n维列向量，q是一个对称矩阵。

二次型在矩阵和向量的运算中有着重要的作用，因此对二次型的可逆变换和合同变换的理解至关重要。

2. 可逆变换可逆变换是指通过一系列的矩阵运算，将原始的二次型转化为一个新的二次型，并且这个过程是可逆的。

具体来说，如果存在一个非奇异矩阵q，使得新的二次型q′(q)=q^q(q^qqq)q，那么我们称这个变换是可逆的。

这种变换可以帮助我们简化原始二次型的计算，或者将其转化为更易处理的形式。

3. 合同变换与可逆变换类似，合同变换也是通过一系列的矩阵运算来改变二次型的形式。

不同的是，合同变换并不要求转化矩阵是非奇异的。

具体来说，如果存在一个矩阵q，使得q′(q)=q^q(q^qqq)q，那么我们称这个变换是合同的。

合同变换保持了二次型的惯性和正负惺度等重要性质，因此在二次型的研究中有着重要的地位。

4. 个人观点和理解对于二次型的可逆变换和合同变换，我个人认为它们为我们处理复杂的二次型问题提供了非常有力的工具。

通过合适的矩阵变换，我们可以简化二次型的计算，获取更多有用的信息。

而合同变换则保持了二次型的重要性质，在研究中也有着广泛的应用。

总结通过本文的讲解，我们不仅对二次型的基本概念有了复习和加深理解，同时也深入探讨了二次型的可逆变换和合同变换。

这些概念对于矩阵和向量的运算有着重要的应用，并且在实际问题中也起着至关重要的作用。

希望本文能够帮助读者更好地理解和应用二次型的可逆变换和合同变换，从而在相关领域取得更多的成就。

合同变换的定义及性质

合同变换的定义及性质一、图形的一一变换如果按照某种法则，使图形F上的点与图形F＇上的点建立了一一对应关系，我们就把这种法则叫做图形F到图形F＇的一一变换．如果P是F上的点，P＇是F＇上P的对应点，我们就称P＇是P的像点，F＇是F的像，F是F＇的原像，记作F＇=f(F)．因为两个图形的一一变换是可逆的，所以称F＇到F的变换为f的逆(变换)，记作F=f-1(F＇)．如果一个平面图形经过f1与f2两次一一变换，所得到的像与经过一一变换fa所得到的像完全相同，我们就说f3是f1与f2的积，记作f3=f2·f1．经过一一变换，没有变动位置的点和直线，称为这个变换的二重点(不变点)和二重线(不变线)．二、合同变换由两个图形的一一变换的定义可知，如果对应点间的对应法则不同，那么图形的一一变换也就不同．我们看下面几个例．例1等．那么当点M在△ABC上变动一周时，M＇便形成了△A＇B＇C＇．显然△ABC与△A＇B＇C＇的点与点之间建立了一一对应关系，因此可以说△ABC到△A＇B＇C＇的变换是一一变换．下面我们给具有上述特点的变换下一个一般的定义．定义两个具有一一变换关系的图形，如果每对对应点所确定的线段都同向平行且相等，则称这种变换为平移交换，简称平移．例2 在平面上取一点O，以O为端点，通过位于该平面上的△ABC的顶点引三条射线OA、OB、OC，让这三条射线以O为中心，向同一方向(例如逆时针方向)转动同一个角度θ，于是上述三条射线分别转动到了射线OA＇、OB＇、OC＇的位置，如果OA＇=OA，OB＇=OB，OC＇=OC，那么显然△ABC就转动到了△A＇B＇C＇的位置(图3－2)．不难看出，这时△ABC与△A＇B＇C＇的点与点之间建立了一一对应关系，因此，△ABC到△A＇B＇C＇的变换是一一变换．定义两个具有一一变换关系的图形，如果每对对应点到某一定点的距离相等，从该点向每对对应点所引射线所成的角都相等且同向，则称这种变换为旋转变换，定点称为旋转中心，旋转之有向角称为旋转角．旋转角为180°时的旋转变换称为中心对称(或点对称)，如图3－3．例3 如果由△ABC的三个顶点分别向直线l作垂线，设垂足分别为O1、O2、O3．分别延长AO1、BO2、CO3至A＇、B＇、C＇，使O1A＇=O1A、O2B＇=O2B、O3C＇=O3C．连结A＇B＇、B＇C＇、C＇A＇．这时，若以直线l为界把△ABC所在的半平面翻折过来，那么△ABC 必与△A＇B＇C＇重合(图3－4)．容易证明△ABC与△A＇B＇C＇的点与点之间建立了一一对应关系．事实上，若P点是△ABC上之任一点，则必有△A＇B＇C＇上一个P＇点与之对应，反之亦然．如果在△ABC上取两个不同的点P1、P2，那么根据上述作图法，必在△A＇B＇C＇上得到两个不同的点P＇1、P＇2与之对应(否则若P抇1=P抇2，则将引出过直线外一点可作两条直线与已知直线垂直的矛盾)．因此，△ABC到△A＇B＇C＇的变换是一一变换．这种变换叫做轴对称变换．下面给出一般定义．定义两个图形具有一一变换的关系，如果以每对对应点为端点的线段都和同一条直线垂直且被平分，则称这种变换为轴对称(或直线反射)，每对对应点互称对称点，垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴．上面所说的平移、旋转、轴对称等变换的共同特征是像与原像是合同图形，所以这些变换统称为合同变换．下面我们给合同变换一个明确的定义．定义如果两个图形F和F＇间具有一一变换的关系，并且F上每两点所确定的线段与F＇上与之对应的两点所确定的线段总相等，则称F到F＇的变换为合同变换．关于合同变换，具有以下一些性质：1°在合同变换下，对应线段相等．2°在合同变换下，直线上的点的顺序不变．3°在合同变换下，两个图形合同．证明设F＇是F经过合同变换后的像，假定A、B、C是F上任意不共线三点，它们在F＇上的像点分别是A＇、B＇、C＇．我们必然重合．此时可能有(1)B与B＇重合在这种情况下，C与C＇可能在直线A＇B＇的同侧，也可能在异侧，如果在异侧，我们使C以A＇B＇为轴作轴对称变换，则C与C＇必在直线A＇B＇同侧(图3－5)．这时，由于A＇C=A＇C＇、B＇C＇=B＇C，C与C＇必然重合．否则，△A＇CC＇和△B＇CC＇都是等腰三角形，作∠CA＇C＇的平分线交CC＇于O，由轴对称定义，易知A＇O为C与C＇的对称轴，所以A＇O垂直平分CC＇，B＇O也垂直平分CC＇，这样，线段CC＇的垂直平分线就有两条了，这就引出矛盾．因此，C与C＇只能重合，所以△ABC≌△A＇B＇C＇．由于A、B、C三点的任意性，所以图形F与F＇的对应点能够完全重合，所以F 与F＇合同．(2)B与B＇不重合B＇重合，再重复(1)之证明，则F与F＇合同．4°在合同变换下，对应角相等．5°图形F总与自己合同；图形F1若与F2合同，则F2也与F1合同；若图形F1合同于F2，F2合同于F3，则F1合同于F3．定义如果两个平面合同图形F和F＇的任何一对对应角都同向，那么就称F和F＇为第一种合同(本质合同)，由F到F＇的变换称为第一种合同变换．如果F和F＇的任何一对对应角都反向，那么就称F和F＇为第二种合同(镜照合同)，F到F＇的变换称为第二种合同变换．在图3－6中，△ABC与△A＇B＇C＇是第一种合同图形，△ABC与△A″B″C″是第二种合同图形．6°以两条平行直线为轴的两次轴对称的积是一个平移．证明设直线l1∥l2，P是任意原像点，由P作l1、l2的垂线垂足分别为P1和P2(图3－7)．设P＇为P关于l1的对称点，P″为P＇关于l2的对称点．不论P点在平面上的什么位置，应用有向线段的加法总有：所以关于两条平行线l1和l2的两次轴对称之积等于一个平移．平移的方向是直线l1、l2的法线方向，平移的距离为l1和l2之间距离的两倍．应当指出，性质6°的逆命题也成立．7°以相交两直线为轴的两次轴对称的积是一个旋转．其逆命题也成立．推论以相交成直角的两条直线为轴的两次轴对称的积是一个中心对称．上面我们简单地介绍了合同变换的概念及其性质．如果我们注意到对同一个图形作上述各种合同变换(平移、对称、旋转等)时的方向，便可得到下面简要的表(表3－1)．平面上如果有任意位置的两个合同图形，我们利用表按下列程序(图3－8)可以把这两个图形完全重合．按上述程序，根据合同图形的性质可知，平面上任何两个不同位置的合同图形，最多通过三次轴对称，便可使其中一个图形和另一个图形重合．。

二次型化为标准型合同变换的方法

二次型化为标准型合同变换的方法二次型是高等代数学中一个重要的概念，它在数学、物理学和工程学中都有广泛的应用。

将二次型化为标准型是解决二次型问题的关键一步。

本文将介绍二次型化为标准型的方法。

一、二次型的定义和性质在进入具体方法之前，我们先明确二次型的定义和性质。

二次型是一个关于n个变量的多项式，形如：Q(x_1, x_2, ..., x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + ... + a_{nn}x_n^2 +2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + ... + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n其中，a_{ij}表示系数，x_i表示变量。

性质：1. 二次型的值域为实数域。

2. 二次型可通过矩阵形式表示，即Q(x) = x^TAx，其中A为二次型的系数矩阵。

3. 二次型的阶数即为变量的个数，也就是n。

二、合同变换的定义为了将二次型化为标准型，我们需要使用合同变换。

合同变换是指根据特定的矩阵相似变换，将一个二次型转化为另一个与之相似的二次型，但其特点是标准化。

合同变换的定义：设A、B为n阶实对称矩阵，若存在非奇异矩阵P，使得 P^TAP = B，则称A与B合同。

合同变换具有以下性质：1. 两个合同的二次型有相同的秩。

2. 两个合同的二次型有相同的正负惯性指数。

3. 如果存在某个合同变换能够将一个二次型化为对角型，那么它就是标准型。

三、合同变换的方法下面介绍将二次型化为标准型的方法：1. 对称阵的合同变换方法若A为n阶对称矩阵，可以通过正交变换将其化为对角阵。

具体步骤如下：a) 求A的特征值和特征向量，特征向量组成的矩阵为P。

b) 计算P^{-1}AP，得到对角阵D。

这里的P为正交矩阵，满足P^TP = I，所以 A = PDP^T。

2. 一般阵的合同变换方法对于一般的矩阵A，可以通过两步变换将其化为标准型。

具体步骤如下：a) 求A的特征值和特征向量，特征向量组成的矩阵为P。

化二次型的方法

化二次型为标准形的方法探讨刘墨德（三明学院数学与计算机科学系，福建三明 365004）摘要：文章提供了四种化二次型为标准形的方法，即配方法、正交变换法、合同变换法、Jacobi 方法.关键词：对称矩阵; 二次型; 正交变换;合同变换Some Discusses of Turn Quadratic Form Into Standard FormLIU Mo-de（Department of Mathematics & Computer Scince,Sanming College, Sanming 365004,China ）Abstract ：This paper provides four kinds of methods for the transforming quadratic form into standard form ，namely,the method of completing square ，orthogonal transformation method ,contragradient transformation method and Jacobi method. Key words: symmetry matrix ；quadratic form ；orthogonal transformation ；contragradient transformation任何一个二次型都可以通过非退化的线性变换化为标准形,这个问题不仅在数学上,而且在物理学、工程学、经济学等领域中都是一个重要的问题.本文将探讨化二次型为标准形的常用方法. 1 预备知识定义 1.1[1]设P 是数域,系数属于P 的n 个未知量12,,,n x x x 的二次齐次多项式2221211112121122222(,,,)222n n n n n nn nf x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++,1nij i j i j a x x ==∑ ()ij ji a a =称为数域P 上的n 元二次型.任何一个二次型12,1(,,,)nn ij i j i j f x x x a x x ==∑ ()ij ji a a = (11)-都可以写成如下形式1211111221(,,,)()n n n f x x x x a x a x a x =++++ 22112222()n n x a x a x a x +++++ 1122()n n n nn n x a x a x a x +++ ，f 的系数可以确定一个n 阶矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，由于ij ji a a =(,1,2,)i j n = ,所以TA A =,即矩阵A 是对称矩阵.定义1.2[4]矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为二次型 12,1(,,,)nn ij i j i j f x x x a x x ==∑ ()ij ji a a =的矩阵，A 的秩叫做二次型12(,,,)n f x x x 的秩.由于n 阶对称矩阵()ij n n A a ⨯=与二次型12,1(,,,)nn ij iji j f x x x a x x==∑ ()ij ji a a =一一对应,因此可以通过对二次型的矩阵的研究来研究二次型.若记()12,,,Tn x x x X = ，则式(11)-可用矩阵的记号写成如下形式：1111221211222212121122(,,,)(,,,)n n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x f x x x x x x a x a x a x +++⎛⎫ ⎪+++ ⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭ 12(,,,)n x x x = 111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 12n x x x ⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭T X AX =在本文中，将一个n 元二次型表为12(,,,)n f x x x = TX AX 时,都要求A 是对称矩阵. 定义1.3[4]二次型2221122n n f y y y λλλ=+++ (12)- 叫做数域P 上n 元二次型的标准形.显然标准形(12)-的矩阵是对角矩阵1212(,,,)n n diag λλλλλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 定义1.4[4]P 是数域,12,,,n x x x 和12,,,n y y y 是两组未知量,线性关系式11111221221122221122n n n nn n n nn nx c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ (13)- 叫做由未知量12,,,n x x x 到12,,,n y y y 的一个线性变换.系数矩阵111212122212n n n n nn c c c c c c C c c c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭称为变换(13)-的矩阵.如果0C ≠,那么称(13)-式为非退化线性变换.利用矩阵相乘与相等的概念,变换(13)-可写作12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ =111212122212n n n n nn c c c c c c c c c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭12n y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 或X CY =其中X 12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,Y =12n y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,C =111212122212n n n n nn c c c c c c c c c ⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭研究如何通过非退化线性变换X CY =将二次型12(,,,)n f x x x 化为标准形2221122n n y y y λλλ+++ 是本文主旨.引理1.1[16]设12(,,,)n f x x x TX AX =是数域P 上一个n 元二次型.那么,二次型12(,,,)n f x x x 经非退化线性变换(13)-后,可化为关于12,,,n y y y 的二次型12(,,,)T n g y y y Y BY = 并且TB C AC =定义1.5[1]设A ,B 是数域P 上两个n 阶方阵,如果存在P 上一个n 阶可逆矩阵C ,使B =TC AC ,那么称A 合同于B .引理1.2[1](1)A 合同于A .(2)如果A 合同于B ,那么B 合同于A .(3)如果A 合同于B ,B 合同于C ,那么A 合同于C .(4)如果A 合同于B ,那么秩()A =秩()B .定义1.6[2] 如果矩阵A 经一系列初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 是等价的.引理 1.3[2]矩阵A 与B 等价的充要条件是有一系列初等矩阵12,,,s P P P 与12,,,r Q Q Q ,使得2112s r P P PAQQ Q B = .引理1.4[2]n 阶方阵A 为可逆矩阵的充要条件是A 可表为有限个初等矩阵的乘积.引理1.5[2]设,P Q 是可逆矩阵,A 是任一矩阵,,PA AQ 有意义,那么秩()PA =秩()AQ =秩()A .由引理1.4可知,任何可逆矩阵都可表为初等矩阵的乘积.因此,合同关系是矩阵间的等价关系，经过非退化线性变换,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.下面讨论用非退化线性变换化二次型为标准形的方法问题. 2 用配方法化二次型为标准形定理2.1[2]数域P 上的任一个n 元二次型12(,,,),T n f x x x X AX = ()ij n n A a ⨯=均可以经过非退化线性变换化为标准形.证明对二次型的变量个数n 作数学归纳法.当1n =时,二次型21111()f x a x =即为标准形,假设结论对1n -成立,下面证明结论对n 也成立.分三种情况来证明:(1) (1,2,)ii a i n = 中至少有一个不为0,不妨设0ii a ≠,则12(,,,)n f x x x 2111112222nnnj j ij i j j i j a x a x x a x x ====++∑∑∑211111111222(2)nn njj ij i j j i j a x x aa x a x x -====++∑∑∑12121111111112222()()nnn njj j j ij i j j j i j a x aa x aa x a x x --=====+-+∑∑∑∑令111111222nj j j n ny x a a x y x y x -=⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑ 即111111222n j j j n nx y a a x x y x y -=⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑ 或11221n n x y x y C x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(14)-其中11111211111010001n a a a a C --⎛⎫-- ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 这是一个非退化线性变换,它使得21211112(,,,)(,,)n n f x x x a y f y y =+其中1212111222(,,)()n n nn j j ij i j j i j f y y aa y a y y -====-+∑∑∑是关于2,,n y y 的一个1n -元二次型,由归纳假设,存在非退化线性变换 222n n y z C y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭使二次型12(,,)n f y y 变为标准形2222233n n d z d z d z +++ . 从而非退化线性变换11222100n n y z y z C y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(15)-可将12(,,,)n f x x x 变为标准形22221112233n n a z d z d z d z ++++由于线性变换(14)-,(15)-均非退化,故从12,,,n x x x 到12,,,n z z z 的线性变换11222100n n x z x z C x z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也非退化,结论成立.(2) (1,2,)ii a i n = 均为0,但至少有一个10(0)j a j ≠>,不妨设120a ≠,令11221233nn x y y x y y x y x y =+⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,即1X C Y =,其中11100110000100001C ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭.它是非退化线性变换,并且使得12(,,,)n f x x x 化为关于12,,,n y y y 的二次型11,2(,,)n f y y y ,且21y 的系数1220a ≠,由情形(1)可得,经过非退化线性变换11222n n y z y z C y z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化11,2(,,)n f y y y 为标准形2221122n n d z d z d z +++ ,从而非退化线性112212n n x z x z C C x z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可将12(,,,)n f x x x 化为标准形2221122n n d z d z d z +++(3) 110,0(1,2,;1,2,)i j a a i n j n ==== 此时1222(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑是一个关于12,,,n x x x 的n 元二次型,由归纳假设,可得经过非退化线性变换可将12(,,,)n f x x x 化为标准形.综上所述,数域P 上的任一个n 元二次型均可以经过非退化线性变换化为标准形.定理得证.定理2.1中化二次型为标准形的方法称为配方法.例 2.1[8]把二次型222(,,)24262f x y z x y z xy yz zx =+++++化为标准形.解在f 中2x 的系数不为零,可先集中含x 的项,利用配方法把f 改写为 222222()()()246f x y z x y z y z y z yz =++++-++++ 222()43x y z y yz z =+++++再在剩下的项中集中含y 的项,配方后得到222()(2)f x y z y z z =++++-于是, 线性变换''2'x x y z y y z z z =++⎧⎪=+⎨⎪=⎩或''''2''x x y z y y z z z =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩把二次型f 化为标准形222'''f x y z =+-例 2.2[12]化二次型123121323(,,)226f x x x x x x x x x =+-为标准形,并写出所用的非退化线性变换.解由于123(,,)f x x x 中没有平方项，故作非退化线性变换11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩即112233*********x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 则 123(,,)f x x x 221122232428y y y y y y =---2221322332()282y y y y y y =---- 222132332()2(2)6y y y y y =--++.令113213332z y y z y y z y =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩, 即113223332y z z y z z y z =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩. 或112233*********y z y z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 则123(,,)f x x x 的标准形为222123226z z z -+. 所用的非退化线性变换为112233110101110012001001x z x z x z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123113111001z z z -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 对于一般的二次型,当平方项的系数ii a 不全为零时,可用例1中的方法;当二次型中不含有平方项,这时ij a 不全为零,可用例2中的方法,先作一变换,把二次型化为含有平方项的情形,然后再用例1中的配方法,这样继续下去就可以把任何一个二次型化为标准形.3 用正交变换方法化二次型为标准形定义3.1[1] 设A 为实n 阶方阵,如果1T AA -=,则称A 为正交矩阵.定义3.2[1] 若变换(13)-的矩阵C 是正交矩阵,则称这个线性变换是正交变换. 定义 3.3[2] 设,A B 为数域P 上两个n 阶矩阵,如果可以找到数域P 上的n 阶可逆矩阵X ,使得1B X AX -=,就说A 相似于B .定义3.4[2] 设A 为n 阶方阵, λ是一个数,如果存在非零向量α,使得A αλα=成立,则称λ是A 的一个特征值,α为A 的属于特征值λ的特征向量.含有未知量λ的矩阵E Aλ-称为A 的特征矩阵,其行列式E A λ-为λ的n 次多项式,称为A 的特征多项式,0E A λ-=称为A 的特征方程.定义3.5[2] 设向量12(,,,)n a a a α= ,12(,,,)n b b b β= ,数量1122n n a b a b a b +++ 1ni i i a b ==∑称为向量α与β的内积,记为(,)αβ.定义3.6[2] 如果两个向量α与β的内积等于0,即(,)0αβ=,则称向量α与β是正交的. 定义3.7[1] 若非零向量组12,,,s ααα 两两正交,即(,)0i j αα=,(,,i j i j ≠=1,2,)s .则称该向量组为一个正交向量组.若一个正交向量组的每一个向量都是单位向量,则称该向量组为一个正交单位向量组.引理3.1[1] 设12,,,s ααα 是一个线性无关向量组(2)s ≥,令11212211132313321221111111111,,,,,,,,,,s s s s s s s s βααββαβββαβαββαββββββαβαββαββββββ----=⎧⎪⎪=-⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪⎪⎪=---⎪⎩（）（）（）（）（）（）（）（）（）（） (3-1). 则12,,,s βββ 是一个正交向量组,并且向量组12,,,s βββ 与12,,,s ααα 等价. 由式(3-1)生成正交向量组的方法称为施密特正交化方法.定理 3.1[4] n 阶矩阵C 是正交矩阵的充分必要条件为C 的n 个列向量是两两正交的单位向量.证明由定义3.1 有T C C E = (3-2),比较式(3-2)两边的对应元素,知TC C E =成立的充分必要条件为C 的元素ij C 满足关系式1nkikjij k C Cδ==∑,(,1,2,i j n = ), (3-3)其中0,1,ij i ji j δ≠⎧=⎨=⎩,而式(3-3)表示矩阵C 的n 个列向量是两两正交的单位向量.定理3.2[2] 如果n 阶矩阵A 与B 相似,则,A B 有相同的特征值. 证明因为A 与B 相似,所以存在n 阶可逆矩阵P ,使得1B P AP -=,而E B λ-()11E P AP P E A P λλ--=-=-1P E A P λ-=⋅-⋅E A λ=-,所以A 与B有相同的特征多项式,于是A 与B 有相同的特征值.定理3.3[4] 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量必正交.证明设A 是实对称矩阵, 12,X X 分别是A 的属于不同特征值12,λλ的特征向量, 由题设知 111AX X λ=,222AX X λ=.于是112T X X λ11212()()T T X X AX X λ==1212()T T T X A X X AX == 122212()T T X X X X λλ==.移项,得1212()0T X X λλ-=,但120λλ-≠, 所以120T X X =,即12(,)0X X =.所以1X 与2X 正交.定理3.4[9] 对于任意一个n 阶实对称矩阵A ,都存在一个n 阶正交矩阵C ,使得121T n C AC C AC λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中12,,,nλλλ 是A 的全部特征值. 证明利用数学归纳法证明. 当1n =时,定理结论显然成立.假设对1n -阶实对称矩阵定理已经成立,下面证明对n 阶实对称矩阵也成立.令A 是一个n 阶实对称矩阵,设1X 是A 的属于特征值1λ的一个单位特征向量,现选1n -个非零向量23,,n Y Y Y ,使得123,,,n X Y Y Y 两两正交.由施密特正交化方法得到n 个两两正交的单位向量12,,n X X X ,再以12,,n X X X 为列向量构成矩阵12(,,)n P X X X = ,P 是一个正交矩阵,即1TP P -=.由于1X 是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,于是1212(,,)(,,)n n AP A X X X AX AX AX == 12(,,)n X AX AX λ=记2233,,,n n AX b AX b AX b === .那么112(,,)n AP X b b λ= .12112(,,,)T T Tn T n X X P AP X b b X λ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=111121121222112T T T n T T T n T T T n n n n X X X b X b X X X b X b X X X b X b λλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1121222200n n n nn b b b b b b λ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.又由于TP AP 是对称矩阵,所以121310,0,,0n b b b === ,且2223232333123n n n n n nn b b b b b b B b b b -⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭是一个1n -阶对称矩阵,由归纳假设,存在一个1n -阶正交矩阵1n Q -,使得121111111T n n n n n n n Q B Q Q B Q λλλ-------⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ . 于是111101000T n n P AP Q Q ---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111110010000T n n n Q B Q λ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111110000T n n n Q B Q λλ---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 111100Tn n n Q B Q λ---⎛⎫= ⎪⎝⎭12n λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ .令1100n Q Q -⎛⎫= ⎪⎝⎭.容易看出Q 是一个n 阶正交矩阵,又,P Q 是两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵.记C PQ =,得121T n C AC C AC λλλ-⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 由于1CA C -与A 相似,由定理 3.2, 它们有相同的特征值,因而,主对角线上的元素12,,n λλλ 就是A 的全部特征值,定理得证.定理3.5[17]实二次型必可由正交变换X CY =化为标准形2221122n n y y y λλλ+++即12(,,,)n f x x x TX AX=X CY==()T T Y C AC Y12T n Y Y λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 21n i i i y λ==∑,其中12,,n λλλ 为A 的特征值.证明由于实二次型对应的矩阵A 是实对称矩阵,根据定理3.4存在n 阶正交矩阵C ,使T C AC 成对角形.设12T n C AC λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 注意到()TT CE A C E C AC λλ-=-=12n λλλλλλ-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 两边取行列式,即得()()()12n E A λλλλλλλ-=--- 可见,12,,,n λλλ 正是A 的全部特征值. 现在,令XCY =,那么12(,,,)n f x x x TX AX=X CY==()T T Y C AC Y12T n Y Y λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2221122n n y y y λλλ+++= 至此,定理得证.从定理 3.5我们可以知道:如果实对称矩阵A 有n 个两两正交的单位特征向量12,,,n C C C .分别对应于特征值12,,,n λλλ ,那么，把12,,,n C C C 作为矩阵C 的列向量,由定理 3.1知矩阵C 就是正交矩阵,从而知道正交变换X CY =可以使二次型T X AX 化为标准形2221122n n y y y λλλ+++ .下面把用正交变换将二次型TX AX 化为标准形的步骤归纳如下: (1) 首先求出实对称矩阵A 的全部特征值12,,,n λλλ (可能有相同的)(2) 求出矩阵A 的属于每一个特征值的线性无关的特征向量(总的个数为n ),即对于各个不同的特征值λ,求出齐次线性方程组()0E A X λ-=的基础解系.(3)因为属于不同特征值的特征向量是相互正交的(定理3.3).所以对于每个重数为1的那些特征值的特征向量只需将其单位化.对于每个重数为(1)r r >的特征值,先求出r 个线性无关的特征向量,然后应用施密特正交化方法,得到属于这r 重特征值的r 个相互正交的单位特征向量.(4)把这n 个相互正交的单位特征向量作为矩阵的列,得到一个正交矩阵C ,X CY =就是使二次型TX AX 化为标准形2221122n n y y y λλλ+++ 的正交变换.例 3[12] 用正交变换化二次型22123121223(,,)244f x x x x x x x x x =+--为标准形.解 (1)写出此二次型的矩阵220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.(2)求出A 的特征值由(1)(2)(4)0E A λλλλ-=-+-=,得1231,2,4λλλ==-=为A 的特征值.(3)求出相应的特征向量当1λ=时,由()0E A X -=,即解齐次线性方程组1212232022020x x x x x x -+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,解得基础解系(即为特征向量)1(2,1,2)T α=-.当2λ=-时,由()0E A X -=,即解齐次线性方程组12123234202320220x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩,解得基础解系(即为特征向量)2(1,2,2)T α=.当4λ=时,由(4)0E A X -=,即解方程组12123232202330240x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩,解得基础解系(即为特征向量)3(2,2,1)T α=-.(4) 正交单位化由于123,,ααα为对应于不同特征值的特征向量，123,,ααα∴正交,只需单位化即可, 令1112311323βαα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,2221312323βαα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,3332312313βαα⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则123(,,)C βββ=为正交矩阵.(5)作正交变换化标准形作正交变换X CY =,即112233212333122333221333x y x y x y ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭,那么222123123(,,)24f x x x y y y =-+ 例4[16] 试求一个正交变换,将二次型121314232434222222f x x x x x x x x x x x x =+--++化为标准形.解 (1)求出A 的特征值f 的矩阵0111101111011110A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，A 的特征方程为1111110111111E A λλλλλ--⎛⎫ ⎪- ⎪-== ⎪-- ⎪---⎝⎭.将上面行列式的第二,三,四列加到第一列上,得到1111111(1)111111E A λλλλλ--⎛⎫⎪-⎪-=- ⎪- ⎪--⎝⎭，然后将第二,三,四行各减去第一行,得到E A λ-11110122(1)02120001λλλλ--⎛⎫ ⎪+- ⎪=- ⎪+- ⎪-⎝⎭22(1)[(1)4]λλ=-+-3(1)(3)λλ=-+，故特征值为12341,3λλλλ====-. （2）求出标准正交特征向量对应于1231λλλ===,解齐次线性方程组()0E A X -=,即12341234123412340000x x x x x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪-++-=⎪⎨-++-=⎪⎪--+=⎩ 求得基础解系: 123101100,,010011ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.施密特正交化后,得到方程组解空间的一个标准正交基,也就是A 的对应于1λ=的三个两两正交的单位特征向量1T η=, 2T η=, 31111(,,,)2222T η=--.对应于43λ=-,解齐次线性方程组(3)0E A X --=或(3)0E A X +=即123412341234123430303030x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪-+++=⎩，此方程组的基础解系只含有一个解向量4(1,1,1,1)T λ=--,单位化以后对应于3λ=-的单位特征向量41111(,,,)2222Tη=--.（3）结论因为对应于不同特征值的特征向量是正交的,所以1234,,,ηηηη是两两正交的单位特征向量,把它们作为矩阵的列,就得到正交矩阵12341102211022(,,,)1102211022C ηηηη⎫⎪⎪⎪--⎪⎪== ⎪- ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭，容易验证1113T C AC ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，故通过正交变换X CY =,即11342134323442341122112211221122x y y y x y y y x y y y x y y y ⎧=++⎪⎪⎪=--⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎪⎪=-+⎪⎩可将原二次型化为标准形222212343f y y y y =++-. 4 用初等变换方法化二次型为标准形定义4.1[1]对单位矩阵E 施行一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.因为初等变换有3种,所以初等矩阵也有3类,每个初等行变换都有一个初等矩阵与之对应.(1)单位矩阵E 的第i 行与第j 行互换后,得(,)P i j . (2)用非零常数c 乘单位矩阵E 的第i 行 ,得(())P i c .011(,)11P i j ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,11(())11P i c c ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭. (3)把单位矩阵的第j 行的k 倍加到第i 行上,得11(,())11P i j k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.同样可以得到与列变换相应的初等矩阵.并且容易看出对E 作一次初等列变换所得到的矩阵也包括在上述这三类矩阵中,其中(,())P i j k 即是把E 的第i 列的k 倍加到第j 列上而得到的矩阵 ,因此上述三类矩阵也就是全部的初等矩阵.定义4.2[4]数域P 上矩阵的下列初等变换称为矩阵合同变换. (1)换法合同变换:交换矩阵的第,i j 列,再交换所得矩阵的第,i j 行.(2)倍法合同变换:用P 中的非零数k 乘矩阵的第i 列 ,再用k 乘所得矩阵的第i 行. (3)消法合同变换:把第i 列的k 倍加到第j 列,再把所得矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行.引理4.1[16] 初等矩阵具有以下性质:(1)三类初等矩阵的行列式: (,)1,(())0,(,())1P i j P i c c P i j k =-=≠=. 由此可见三种初等矩阵均可逆,并且易知其逆为:111(,)(,),(())[()],P i j P i j P i c P i c--==1(,())(,())P i j k P i j k -=-.(2)三类初等矩阵的转置矩阵:(,)(,),(())(()),T T P i j P i j P i c P i c ==(,())(,())T P i j k P j i k =由此可见,三种初等矩阵的逆及其转置还是初等矩阵,并且其类型也不变.引理 4.2[8]对一矩阵A 施行初等行变换,相当于用相应的初等矩阵左乘A ;而对A 施行初等列变换,相当于用相应的初等矩阵右乘A .引理4.3[8] n 阶方阵可逆的充分必要条件是A 可表示称若干个初等矩阵之积.由于二次型与其标准形等价,而标准形的矩阵是对角矩阵,从而用矩阵语言可将定理2.1表述为：引理4.4[3]数域P 上的任一个n 阶对称矩阵均合同于一个对角矩阵.下面讨论利用矩阵的初等变换将二次型化为标准形的方法.设A 是数域P 上的一个n 阶对称矩阵,由引理 4.4可知,存在一个n 阶可逆矩阵C ,使12(,,,)T n C AC diag d d d = .由C 可逆,故C 可以表示成一些初等矩阵12,,,t P P P 的乘积,即12t C PP P = ,故1212()()T t t PP P A PP P 2112T T T t t P P P APP P = 12(,,,)n diag d d d = . (41)-这说明,A 经过一系列初等变换可化成对角矩阵12(,,,)n diag d d d .由于初等矩阵有三种类型(,),(()),(,())P i j P i c P i j k ,且(,)(,),(())(()),T T P i j P i j P i c P i c ==(,())(,())T P i j k P j i k =，于是我们有(,)(,)(,)(,)T P i j AP i j P i j AP i j =,这相当于把A 的第,i j 列互换 ,再把所得矩阵的第,i j 行互换；而(())(())(())(())T P i k AP i k P i k AP i k =，相当于把A 的第i 列乘上非零数k ,再把所得矩阵的第i 行乘上数k .又(,())(,())(,())(,())T P i j k AP i j k P i j k AP i j k =，相当于把A 的第i 行的k 倍加到第j 行,再把所得矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行.综上所述,若i P 是一个初等矩阵,则式(41)-相当于对A 进行一次初等列变换,再对所得矩阵进行一次同样类型的初等行变换.定理 4.1[3] 设A 为数域F 上的n 阶矩阵,若对2n n ⨯阶矩阵A E ⎛⎫⎪⎝⎭的前n 行,n 列进行合同变换化为B C ⎛⎫⎪⎝⎭,则C 可逆,且TB C AC =. 证明由条件可知,存在n 阶可逆矩阵12,,...,t P P P ,且令12t P PP P = ,使.TT T A B P O P A P AP P P E C O E E P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故TB P AP =,且C P =可逆.由定理 4.1可知,若A 为二次型的矩阵,用合同变换将A E ⎛⎫⎪⎝⎭化为D C ⎛⎫⎪⎝⎭,其中12(,,...,)n D diag d d d =,则相当于用非退化线性变换X C Y =,将二次型12(,,...,)T n f x x x X AX =,化成标准形2221122...n n d y d y d y +++. 这种方法我们称为化二次型为标准形的初等变换方法.操作方法是：将二次型矩阵A 写在单位矩阵E 的上面，构成分块矩阵2n nA E ⨯⎛⎫⎪⎝⎭，先对分块矩阵2n nA E ⨯⎛⎫⎪⎝⎭的列作初等变换，然后对A 的行作相同内容的初等行变换，当二次型的矩阵A 化为对角矩阵时，单位矩阵E 就化为可逆矩阵C .例 5[16] 用初等变换方法化二次型222123123121323(,,)364410f x x x x x x x x x x x x =++--+为标准形,并写出所用的非退化线性变换.解 123(,,)f x x x 的矩阵为122235256A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,构造分块矩阵63A E ⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭，先对此矩阵作初等列变换，然后对A 的行作相同内容的初等行变换：122100100100100235211011010010256212012013003100122122124124010010010011011001001001001001A E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎪⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ --⎛⎫=→→→→⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭.故123(,,)f x x x 的标准形为2221233y y y -+,所作的非退化线性变换为X CY =, 其中124011001C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.注：此例题的第一次初等列变换是先把矩阵的第一列乘2，然后分别加到第二列、第三列上，相同内容的行变换也就是把第一行乘2然后分别加到第二行、第三行上；第二次初等列变换是先把矩阵的第二列乘1，然后加到第三列上，相同内容的行变换也就是把第二行乘1然后加到第三行上. 5 Jacobi 方法引理5.1[18]设二次型12,1(,,,)nn ij iji j f x x x a x x==∑ 矩阵的1n -个顺序主子式11121,121212,111121112121221,11,21,1,,,n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a -------∆=∆=∆=均不为零，则二次型可化为标准形2222121121121n n n n n n f y y y y ----∆∆∆=∆++++∆∆∆ .例 6[18] 用Jacobi 方法化二次型22123412121323(,,,)8228f x x x x x x x x x x x x =--+-为标准形.解二次型的矩阵111184140A -⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪-⎝⎭，A 的顺序主子式123111111,9,184018140--∆=∆==-∆=---=---， 2222232112212129f y y y y y ∆∆∴=∆++=-∆∆ 6 讨论在实际应用中，我们要根据要求选用不同的方法解题，配方法的优点是方法初等，易于接受，但是当元数较多时，由于计算过于复杂，往往不被采用；矩阵初等变换法比较简单而实用，且适用于元数较多情形；正交变换法算法科学、有序、稳定，最大的优点是某个问题经正交变化为标准形后，其几何图形保持不变；Jacobi 方法简单，易于操作，但没有给出相应的非奇异线性变换.对于二次型的标准形我们还要注意两点：1）：一个二次型的标准形不是唯一的；2）：任何一个二次型的标准形中含的总项数就是该二次型的秩数，而且，当限定变换为实可逆线性变换时，标准形中的正系数的个数与负系数的个数不变.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1998[2] 张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1998[3] 上海交通大学线性代数编写组.线性代数[M](第三版).上海高等教育出版社,2002[4] 陈志杰.高等代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社,2000[5] 丘维声.高等代数(上、下) [M].北京:高等教育出版社,1996[6] 刘深泉等译.线性代数及其应用[M].北京:机械工业出版社,2004[7] 杨子胥.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1990[8] 谢国瑞.线性代数[M].北京:高等教育出版社,1999[9] 王萼芳.高等代数教程(上、下) [M].北京:清华大学出版社,1997[10] 杨永根等.线性代数方法与应用[M].北京:科学出版社,2001[11] 杨家骐等.高等代数在初等数学中的应用[M].济南:山东教育出版社,1992[12] 王品超.高等代数新方法[M].济南:山东教育出版社,1989[13] 电子科技大学应用数学系.线性代数与空间解析几何[M].北京:高等教育出版社,2000[14] 王向东.高等代数常用方法[M].北京:科学出版社,1989[15] 白述伟.高等代数选讲[M].哈尔滨:黑龙江教育出版社,1996[16] 杨子胥.高等代数习题解(上、下) [M].济南:山东科学技术出版社,1982[17] 王文省.高等代数[M].济南:山东大学出版社,2004[18] 胡海清. 线性代数题解分析[M].湖南:湖南科学技术出版社,1985。

线性代数二次型的合同

线性代数二次型的合同宝子们，今天咱们来唠唠线性代数里二次型的合同这个超有趣的事儿。

二次型呢，就像是一个有自己独特性格的小怪兽。

而合同这个概念啊，就像是给这个小怪兽找到了它的同类小伙伴。

那啥是二次型的合同呢？简单来说啊，就是在一定的规则下，两个二次型有着相似的性质和表现。

我们从矩阵的角度来看哈。

假如有两个矩阵，它们对应的二次型要是合同的话，就意味着存在一个可逆矩阵，这个可逆矩阵就像是一个魔法变换阵。

这个魔法变换阵呢，能够把其中一个矩阵变成另一个矩阵，就好像是给一个东西换了一身新衣服，但本质上它还是有着相似的特性的。

比如说啊，我们有二次型f(x)=x^TAx和二次型g(x)=x^TBx，如果它们合同，那就存在可逆矩阵C，使得B = C^TAC。

这个关系可太神奇啦。

这就好比你有两个不同的玩具，但是通过一个特殊的模具（就是那个可逆矩阵C），你能把一个玩具变成另一个玩具的样子，虽然外形变了，但是它们内在的一些玩法（对应的二次型的一些性质）还是很相似的。

那这个合同有啥用呢？宝子们，用处可大了去了。

在很多实际的问题里，像是工程计算啊，物理中的一些模型分析啊，我们可能会遇到各种各样的二次型。

如果我们能找到它们之间合同的关系，就可以把复杂的二次型转化成我们熟悉的、简单的二次型去研究。

就像走迷宫一样，你要是找到了正确的路线（合同关系），就可以轻松地从复杂的迷宫（复杂的二次型）走到简单的出口（简单的二次型）。

而且啊，合同还有一个很有意思的性质。

它保持了二次型的一些正定性之类的重要特性。

就像两个好朋友，不管他们怎么变，他们之间一些好的品质（正定性等性质）是不会变的。

如果一个二次型是正定的，那么和它合同的二次型也是正定的。

这就像是你有一个乐观向上的朋友，不管他换了什么发型（通过可逆矩阵变换），他还是那个乐观向上的他。

在判断两个二次型是否合同的时候呢，我们有一些小技巧。

我们可以通过看它们的矩阵的特征值之类的。

如果两个矩阵的正、负特征值的个数相同，那它们就很有可能是合同的。

二次型的可逆变换和合同变换

二次型的可逆变换和合同变换二次型的可逆变换和合同变换1. 引言在高中数学课程中，我们学习了二次型的概念和性质。

二次型在数学和工程学科中有着广泛的应用，而了解可逆变换和合同变换在二次型中的作用和意义，则能更好地理解和应用这一概念。

本文将通过深入探讨二次型的可逆变换和合同变换，从而全面理解它们在数学中的重要性及实际应用。

2. 二次型的定义和性质回顾让我们回顾一下二次型的基本定义和性质。

二次型是指一个关于n个变量的二次多项式，且其中各项系数均为实数。

在二次型中，我们将其表示为一个n维列向量x乘以一个对称矩阵A再乘以x的转置。

记作Q(x) = x^T · A · x，其中x为列向量。

具体来说，二次型的系数矩阵A是一个n×n的对称矩阵。

回顾二次型的性质，我们知道它与矩阵的特征值和特征向量密切相关。

特征值和特征向量是矩阵A的重要性质，而它们也为我们理解和分析二次型提供了有力的工具。

3. 可逆变换与二次型接下来，我们将讨论可逆变换在二次型中的作用。

可逆变换是指能够将一个向量空间中的向量一一对应地映射到另一个向量空间中的向量的变换。

在二次型中，可逆变换能够保持二次型的主要性质不变，例如二次型的正定性、半正定性等。

具体而言，如果我们对二次型中的自变量进行一个可逆变换，即将自变量x替换为y，那么原二次型的表达式Q(x)将变为Q(y)。

而通过适当的变换，我们可以使得新的二次型满足一些特定的性质，比如对角化，从而更容易进行分析和计算。

4. 合同变换与二次型除了可逆变换，合同变换也在二次型中发挥着重要的作用。

合同变换是指通过一个正规矩阵（即实对称可逆矩阵）将一个二次型转化为另一个等价的二次型，从而保持二次型的本质特征不变。

合同变换的实质是将二次型所在的向量空间进行旋转、缩放和反射等操作，进而得到一个新的二次型。

新的二次型与原二次型在性质上是相似的，但表达形式可能不同。

通过合同变换，我们可以将原二次型化简为最简形式，即只有对角线上有非零元素，而其他位置都为零。

二次型转化为标准型合同变换的例子

二次型转化为标准型合同变换的例子合同编号：____________________________合同签订日期：____________________________合同生效日期：____________________________合同有效期：____________________________甲方信息：甲方名称：____________________________甲方代表姓名：____________________________甲方地址：____________________________乙方信息：乙方名称：____________________________乙方代表姓名：____________________________乙方地址：____________________________合同内容：合同目的1.1. 本合同的目的是：____________________________。

工作范围合同金额3.1. 本合同的总金额为：。

3.2. 付款方式及时间安排：。

工期4.1. 合同的开工日期为：。

4.2. 合同的竣工日期为：。

质量标准安全与保密6.1. 乙方应采取适当的安全措施，确保工作环境的安全。

6.2. 乙方在执行合同过程中获得的甲方信息应严格保密，未经授权不得泄露给第三方。

合同变更7.1. 本合同的任何变更必须经双方协商一致，并签署书面变更协议。

变更协议与原合同具有同等法律效力。

合同解除8.1. 合同解除的条件包括但不限于：____________________________。

8.2. 解除合同的一方应提前通知另一方，并协商处理相关事宜。

争议解决9.1. 双方在合同履行过程中发生争议，应通过友好协商解决。

9.2. 如协商无果，争议应提交至指定仲裁机构进行仲裁。

仲裁结果为终局裁定，对双方具有法律效力。

其他条款10.1. 本合同的任何附加条款或补充协议应与原合同具有同等法律效力。

合同变换法化二次型为标准型

合同变换法化二次型为标准型合同变换法是一种将二次型化为标准型的方法，通过对二次型进行适当的正交变换，可以消去交叉项，将二次型化为一组只包含主对角线上的常数的形式。

本文将介绍合同变换法的基本原理和步骤，以及应用合同变换法化简二次型的示例。

合同变换法是基于以下基本原理：任意n阶实对称矩阵可以通过正交变换相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵Λ。

这个正交变换可以通过求解矩阵A的特征值和特征向量来实现。

下面是合同变换法化简二次型为标准型的步骤：步骤1：写出原始的二次型。

假设有一个n元二次型Q(x1, x2, ..., xn) = x^TAx，其中x = (x1, x2, ..., xn)为n维列向量，A为n阶实对称矩阵。

步骤2：计算A的特征值和特征向量。

求解A的特征值λ1, λ2, ..., λn和对应的线性无关的特征向量v1, v2, ..., vn。

可以通过求解特征方程det(A - λI) = 0来得到特征值λi，进而求解方程组(A - λiI)v = 0得到对应的特征向量vi。

步骤3：构造正交矩阵P。

将特征向量v1, v2, ..., vn按列排列得到矩阵P = [v1, v2, ..., vn]，即P的每一列是一个特征向量。

步骤4：计算合同变换矩阵PTAP。

计算合同变换矩阵PTAP = Λ，其中Λ为对角矩阵，对角线上的元素为A的特征值。

步骤5：标准型化。

令y = P^T x，则y = (y1, y2, ..., yn)与x一样都是n维向量。

将二次型Q(x) = x^TAx表示为Q(y) = y^TPTAPy。

由于P为正交矩阵，P^T = P^(-1)，所以有Q(y) = y^TPTAPy = (Py)^TA(Py)= z^TΛz，其中z = Py。

最后得到的标准型为z^TΛz = λ1z1^2 + λ2z2^2 + ... + λnz^2，其中λi为A的特征值，z1, z2, ..., zn为新的变量。

第五讲-二次型标准形规范形化简与定性判别

T
a12 a22 an 2
a1 n x1 a2 n x2 ann xn
由 aij a ji ，故 A 为对称矩阵，即 A A ．称对称矩阵 A 为该二次型的矩阵．二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型．对称矩阵 A 的秩 r ( A) 称为二次型的秩．在这种情况下，二次型 f 与对称矩阵 A 之间通过 f ( x ) x Ax 就建立起一一对应关系，故往往用对称矩阵 A 的性质来讨论二次型 f 的性质．当 aij 为复数时, f 称为复二次型；当 aij 为实数时， f 称为实二次型．
T T T T T
定理 1
若 A 为对称矩阵， C 为可逆矩阵，则 B C AC 仍为对称矩阵，且 r ( A) r ( B ) （请读者自己证明）．
T T
T
从 Cy 后，其秩不变，但二次型 f 的矩阵 A 变为 B C AC ；在本节最后给出矩阵的等价、相似、合同三种关系的逻辑关系： ① A 经过若干次行列变换得到 B ，则 A 与 B 等价，即 A 与 B 等价存在可逆阵 P, Q
T T 1 1 T T T
(C 1 )T B(C 1 ) A 即 B 与 A 合同．
③ 传递性若 A 与 B 合同， B 与 C 合同，则 A 合同于 C ；因为 B C1 AC1 , C C2 BC2 得 C C2 (C1 AC1 )C2 (C1C2 ) A(C1C2 ) ，故 A 与 C 合同．
T
例1
设 f x1 2 x1 x2 2 x1 x3 3x2 x3 ，求 f 的矩阵，并求 f 的秩．解 f x Ax x1 2x1x 2 2x1x3 3x 2 x3 对应的对称矩阵是

合同变换二次型

合同变换二次型合同变换是线性代数中一个重要的概念，特别在二次型的研究中起着重要的作用。

本文将详细介绍合同变换的概念和性质，并阐述合同变换与二次型之间的关系。

首先，我们来了解一下合同变换的定义。

定义：对于一个n维向量空间V和其上的一个非退化对称二次型Q，如果存在一个可逆线性变换T：V→V，使得对于任意向量x∈V，都有Q(x)=Q（T(x)），那么称T为合同变换。

接下来，我们来研究合同变换的性质。

首先，合同变换保持二次型的符号：具体来说，如果二次型Q是正定（或负定）的，那么经过合同变换T后，新的二次型Q'也是正定（或负定）的。

其次，合同变换保持二次型的秩和惯性指数不变。

换句话说，合同变换不改变二次型的非零特征值的个数，并且二次型的秩在合同变换下保持不变。

最后，合同变换是可逆的，即存在逆变换T^-1，使得T(T^-1(x))=x。

接下来，我们来探讨合同变换与二次型之间的关系。

事实上，合同变换可以将一个复杂的二次型变换为一个更加简单和易于研究的形式。

具体来说，通过合同变换，我们可以将二次型化简为对角形式，即只有主对角线上存在非零项的形式。

这样一来，我们可以更加方便地对二次型进行分析和计算。

同时，合同变换还可以将二次型的矩阵表示变换为一个特殊的形式，即合同矩阵。

合同矩阵是一个对称矩阵，且具有特殊的性质，使得对于任意向量x，都有x^TAX=Q(x)，其中A是合同矩阵。

利用合同矩阵的性质，我们可以更加方便地计算二次型的特征值、秩和惯性指数等重要性质。

在应用方面，合同变换在线性代数的各个领域都有重要的应用。

首先，在矩阵理论中，合同变换可以用来简化矩阵的计算和分析。

例如，在对称矩阵的特征值问题中，我们可以通过合同变换将对称矩阵化简为对角矩阵，从而更加方便地求解特征值和特征向量。

其次，在几何学中，合同变换可以用来描述平面、曲线和曲面的变换规律。

例如，在二次曲线的研究中，我们可以通过合同变换将一般的二次曲线化简为标准形式，从而更加方便地描述和分析二次曲线的性质。

线性代数4.4 二次型

例
解
求下列平面图形所围图形的面积：
3x 2 xy 3 y 1 f ( x, y) 3x2 2xy 3 y 2
2 2
3 1 A I 2 6 8 ( 2)( 4) 1 3
A 的特征值为
3 1 A 1 3
可顺次求得单位特征向量
0.6 0.6 0.8 e1 令 P 0.8 e2 0.6 0.8 则经正交变换 x Py，可得标准形
0.8 0.6
f 10 y 15 y
2 1
2 2
例、试用正交变换化二次型
解:
3 2 x1 求二次型 f ( x1 , x2 ) x1 x2 x 经过线性变换 2 6 2 x1 2 y1 y2 之后的表达式。 x2 y1 2 y2 2 1 T T 令 x x1 x2 , y y1 y2 , 有 x y, 则 1 2 3 2 x1 f x1 x2 x 2 6 2 2 1 3 2 2 1 y1 y1 y2 y 1 2 2 6 1 2 2 10 0 y1 y1 y2 10 y12 35 y22 0 35 y2
换x=Hy变成y的二次型
2 2 f (Hy) d1 y12 d2 y2 dn yn
就称此二次型为原来二次型的标准形。
如例4.17
f ( x1 , x2 ) x1
3 2 x1 x2 2 6 x2
x1 2 y1 y2 2 f 10 y12 35 y2 经线性变换化得标准形 x2 y1 2 y2

二次型的合同变换不改变几何结构

一、二次型的合同变换在线性代数中，二次型是指一个包含二次项但没有线性项和常数项的多项式。

在向量空间中，我们可以通过矩阵表示二次型，形式为$\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$，其中$\mathbf{x}$是n维列向量，$\mathbf{A}$是一个对称矩阵。

当我们进行矩阵的合同变换时，实际上是进行了线性变换，并且保持了矩阵的对称性。

合同变换的性质如下：1. 如果存在一个可逆矩阵$\mathbf{P}$，使得$\mathbf{B}=\mathbf{P}^T\mathbf{A}\mathbf{P}$，那么我们称$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$是合同的，记作$\mathbf{A}\cong\mathbf{B}$。

2. 合同矩阵具有相同的秩和特征值。

这意味着它们所代表的二次型具有相同的正惯性指数和负惯性指数，即它们的正特征值和负特征值的个数相同。

二、合同变换不改变几何结构的证明接下来我们将证明：二次型的合同变换不改变其所代表的二次曲线的几何结构。

我们知道二次型$\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$所代表的二次曲线可以通过矩阵$\mathbf{A}$的特征值和特征向量来描述。

具体来说，对称矩阵$\mathbf{A}$可以进行正交对角化，即存在正交矩阵$\mathbf{P}$和对角矩阵$\mathbf{\Lambda}$，使得$\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^T$。

其中$\mathbf{\Lambda}$的对角元素为$\mathbf{A}$的特征值。

二次型可以被表示为$\mathbf{x}^T\mathbf{P}\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^T\math bf{x}$。

现在，我们考虑二次型$\mathbf{x}^T\mathbf{B}\mathbf{x}$，其中$\mathbf{B}=\mathbf{P}^T\mathbf{A}\mathbf{P}$，由于$\mathbf{P}$是可逆矩阵，根据合同矩阵的性质，$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$具有相同的特征值。

矩阵合同变换

矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。

在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。

关键词：矩阵秩合同对角化定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ≅定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B =那么就说，在数域F 上B 与A 合同。

以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。

定理1：合同变换与相似变换都是等价变换证明：仅证合同变换，相似变换完全相似因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12m P Q Q Q =。

此时711T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积若111T T TT mn m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。

所以A B ≅，从而知合同变换是等价变换。

定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩证明：由知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩定理3：相似矩阵有相同特征多项式证明：共1AB B P AP -=1||det ||del I B I P AP λλ--=-又因为I λ为对称矩阵所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=-1||||||P I A P λ-=-||I A λ=-注①合同不一定有相同特征多项式定理4：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与B 相似且合同论：设A ，B 为特征根均为12,n λλλ，因为A 与B 实对称矩阵，所以则在n 阶正矩阵，,Q P 使得112[]Q AQ λλ-=11[]n P BP λλ-=从而有11Q AQ P BP --=11PQ AQP B -=由11Q Q E PP E --==从而有1111PQ QP PEP PP E ----=== 从而111()PQ QP ---=又由于1111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -= T QQ =1QQ -=E =1QP -∴为正交矩阵所以A B 且A B ≅定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质证明：A B ≅即T P AP B =，若对称阵，则T A A =()T T T B P AP =T T P A P =T P AP = B =所以B 边为对称阵[注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？引理6：对称矩阵相似于对角阵⇔A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.证明：任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ，以其重数以秩||I A r λ-=，则||r n s n r s I A λ=-⇔-=⇔-12000n x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，线性无关的解向量个数为n r -个，即5个又因属不同特征根的特征向量线性无关⇔n 阶对称阵A 有n 个线性无关的特征向量 ⇔n 阶对称阵可对角化从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点，如对二次型应用例求一非线性替换，把二次型123122313(,,)262f x x x x x x x x x =-+二次型`23(,,)f x x x 矩阵为011103130A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦对A 相同列与行初等变换，对矩阵E ，施行列初等变换212103230A -⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦→200020006⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦100111110111001101E ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦112233113111001x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 可把二次型化为标准型222123123(,,)226f x x x y y y =-+解法（2）212103230A -⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦210102022⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦2001022022⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦2001002006⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦此时2221231231(,,)262f x x x z z z =-+ 此时非线性退化替换为11223311321112001x z x z x z ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？例3．用可逆性变换化二次型222123123123123(,,)(2)(2)(2)f x x x x x x x x x x x x =-+++-+++-解：222112132233:666666f x x x x x x x x x --+-+对二次型矩阵为633363336A --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦1006006000109996330000002223639900033601221100111121010102210100101021001001A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→→→⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦E B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥标准形2212f y y =+，则11223310101x y x y x y ⎤⎥⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦PTA B =[注]当P 改变两行的位置交换后，发现00016 3 310003631010336000001111⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎡⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥--=⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦定理2：在A 为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有T P AP B =，则调整P 的任意两行，对角阵形式不变。