4.3,4二次型与合同变换(第十五次)

0 1 0 -1 1 0
0 1 2 0 0 0 c3 - 2 c2 1 1 0 0 1 0
0 1 0 -1 1 0
0 0 F3T F2T F1TAF1 F2 F3 0 1 -2 PT P 1 T
记作
X=PY.
问题：如何找一个可逆线性变换X=PY，使得将其代入二次型
后，得到新的二次型只含变量的平方项的形式(标准形) .
现将X=PY代入二次型，得
f ( x1 , x2 , , xn ) X T AX
X PY

( PY )T A( PY ) Y T ( PT AP)Y ,
上式右端是关于变量y1, y2,…, yn的二次型. 设其化成了标准形：
a12 a22 an 2
a1n x1 a2 n x2 ,X . x ann n
实对称矩阵称A为二次型系数矩阵, A的秩称为二次型的秩.
若二次型 f 是标准形 f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) d1x12 d2 x2
3 -2 -4 A -2 6 -2 , -4 -2 3
3 -2 -4 x1 f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) -2 6 -2 x2 , -4 -2 3 x 3
这2步操作相当于
即 P AP=L P=F1F2F3
于是二次型的标准形为 f= y12+y22.
用合同变换化二次型为标准形 由变量y1, y2,…, yn到x1, x2,…, xn的线性变换
x1 p11 x2 p21 x n pn1 p12 p22 pn 2 p1n y1 p2n y2 pnn yn
例2 已知二次型f (x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩
为2，求c
解一：二次型的系数矩阵为
5 -1 3 A -1 5 - 3 3 -3 c
|A|=0, 可推知c=3. 解二：r (A) = 2
5 - 1 3 -1 5 - 3 1 5 3 0 24 12 3 - 3 c 0 12 c - 9
2 dn xn ,
T f ( x , x , , x ) X LX ,其中 则 f 的矩阵形式为 1 2 n
L diag (d1 , d2 ,
, dn ) ,即其系数矩阵是对角阵.
例1. 写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩. 2 2 (1) f ( x1, x2 , x3 ) 3x12 6x2 3x3 - 4x1x2 - 8x1x3 - 4x2 x3 2 2 4 y3 (2) f ( y1 , y2 , y3 ) y2 解: (1)二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 系数矩阵及矩阵形式分别为
2 , xn ) d1x12 d2 x2
2 dn xn .
二次型的矩阵形式
f ( x1 , x2 ) x
2 1
4 x1 x2 x
2 2
f ( x1 , x2 ) x
f ( x1 , x2 ) X T AX
2 1
2 x1 x2
2 2
2 x1 x2 x
1 f ( x1 , x2 ) ( x1 x2 ) 2
2 x1 1 x2
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
2 a22 x2 2a23 x2 x3
2a1n x1 xn 2a2 n x2 xn
2 ann xn


f ( x1 , x2 ,
0 1 2 -1 1 0
1 1 2 0 0 4 c3 - c1 1 0 0 0 1 0
0 1 2 -1 1 0
0 2 4 -1 0 1
1 0 0 r3 - 2 r2 1 0 0
2 a22 x2 2a23 x2 x3
2a1n x1 xn 2a2 n x2 xn
2 ann xn


叫做n元二次型，当二次型的系数aij ( i, j=1,2, …,n)都是实数时, 称为实二次型. 特别地, 只含有平方项的n元二次型称为n元二次型的标准形.
f ( x1, x2 ,
1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 - 1 0 0 0 0 2 - 1 0 2 1 1 0 0 - 1 2 1 1
-1
特征值为l11, l20, l3 -1,
a1, a2, a3是A对应于上述特征
例4. 设矩阵A,B相似，其中
2 0 0 1 -1 1 A 2 4 -2 , B 0 2 0 , 0 0 y -3 -3 x
l1l22, l36 .
对于特征值l1l22, 解线性 方程组(2E-A)Xo，
解：由A和B相似可知，它们 的迹、行列式都相等，即
1 PTAPL

1
-1
-1 0
.

0
例1.用合同变换化二次型为标准形
2 2 f x12 2x2 5x3 2x1x2 2x1x3 6x2 x3
1 1 A 1 1 E 0 0
1 2 3 0 1 0
1 1 1 0 1 3 0 1 2 0 5 1 3 5 c2 -c1 1 r2 - r1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0
思考题：
0 0 1 问x取何值时，矩阵A可对角化。 设 A 1 1 x ， 1 0 0
解：由A的特征方程 l 0 -1 | l E - A | -1 l - 1 - x (l - 1)2 (l 1) 0, -1 0 l
得
l1 -1, l2 l3 1.
由于A和B相似，且B是一个 对角阵，可得A的特征值为
-1 1 1 所以 P 1 0 2 . 0 1 3
例5. 设3阶方阵A满足Aa1a1，Aa2o，Aa3-a3，其中 a1(1,2,2)T, a2(0,-1,1)T, a3(0,0,1)T, 求A和A5. 解：由所给条件知矩阵A的 取P＝(a1, a2, a3)， 则有P-1 A P L ，所以 A = P L P -1
, xn ) ( x1 x2
源自文库
a11 a12 a21 a22 xn ) an1 an 2
a1n x1 a2 n x2 (注：aij a ji ) ann xn
f ( x1, x2 ,
a11 a21 T , xn ) X AX ，其中 A a n1
注：n阶矩阵A与对角矩阵 Ldiag(l1 , l2 , , ln) 相似的充
分必要条件是 A特征方程的每个 k重根l对应 k个线性无关的特征 向量，即齐次线性方程组 (lE-A)X=o 的基础解系是否有 k 个解， 亦即系数矩阵lE-A的秩r(lE-A)=n-k.
推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则 A与对角矩阵 Ldiag(l1 , l2 , , ln) 相似.
-1 1 0 0 0 x 1 0 0 0
于是，x= -1.
4.3 二次型的概念
一、二次型 二、二次型的秩
1. 二次型的定义
定义1 含有n个变量的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
5 x 4 y , 6 x - 6 4 y
-1 1 ①求x , y的值； 得其基础解系x1= 1 ,x2= 0 . ②求可逆矩阵P，使P-1AP=B. 0 1
对于特征值l36，解线性方 程组(6E-A)Xo，
解得
x 5 . y 6
1 得其基础解系x3= -2 ， 3
因r(A)=3, 故二次型的秩等于3.
例1. 写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩. 2 2 (1) f ( x1, x2 , x3 ) 3x12 6x2 3x3 - 4x1x2 - 8x1x3 - 4x2 x3 2 2 4 y3 (2) f ( y1 , y2 , y3 ) y2 解: (2)二次型 f ( y1 , y2 , y3 )系数矩阵及矩阵形式分别为
于是c-9=-6, 可推知c=3.
2. 实对称矩阵的性质
定理1 实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的 k重特征值
li 对应 k个线性无关的特征向量.
实对称矩阵一定可以找到n个线性无关的特征向量， 即一定可以对角化 定理2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的.
4.4.2 合同变换与二次型的标准形
0 0 0 B 0 1 0, 0 0 4 0 0 0 y1 f ( y1 , y2 , y3 ) ( y1 , y2 , y3 ) 0 1 0 y2 , 0 0 4 y 3
因r(B)=2, 故二次型的秩等于2.
值的特征向量. 容易验证a1, a2, a3是3阶方阵
A的3个线性无关的特征向量，
所以A相似于对角阵 L＝diag(1, 0, -1).
1 0 0 2 0 0 6 - 1 - 1
A 5= PL 5P -1 PL P-1=A .
定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 Ldiag(l1 , l2 , , ln) 相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.
1. 合同 2. 用合同变换化二次型为标准形
定义4 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 PTAPB 成立，则称矩阵A与B合同，记为 A B 合同关系具有如下性质： • 自反性 • 对称性 • 传递性 • 合同变换不改变矩阵的秩 • 对称矩阵经合同变换仍化为对称矩阵
定理4 任何一个实对称矩阵A都合同于对角矩阵. 即对于一个n 阶实对称矩阵A，总存在可逆矩阵P，使得
0 1 2 -1 1 0
1 2 5 0 0 1
上述2步操作相当于F1TAF1
1 0 1 1 0 0
0 1 2 -1 1 0
1 1 2 0 5 r3 - r1 0 0 1 0 0 1 0
矩阵A可对角化的充分必要条件是二重根1，有2个
线性无关的特征向量，即齐次线性方程组(E-A)X=0有2 个线性无关的解，亦即系数矩阵的秩r(E-A)=1. 因为
1 0 0 0 0 1 1 0 - 1 E - A 0 1 0 - 1 1 x -1 0 - x 0 0 1 1 0 0 -1 0 1