最全面弹性力学基本方程和岩石力学介绍(精华版)

第二章 弹性力学的基本原理

§2.1 应力分析

2.1.1 应力与应力张量

应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点 设 S 的外法

P 的周围取一微元

S , 线为 ν ,

S 上的力为 T ，如极限 存在，则称 T 为 P 点在该截面上的应力矢量。 lim T / S T S 0

(1 )

( 2)

(3 )

考察三个面为与坐标面平行的截面

(即以 x 1 , x 2 , x 3 三个坐标轴为法线的三个截面

), T , T , T

分别表示三个截面上的应力矢量。每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有

(i )

T

ij

e j

(i,j =1,2,3) (2.1) 这里的张量运算形式满足 “求和约定” ，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，

3

则理解为

对所有同类求和， 即 ij e j ij

e j 应理解为

。这样的求和指标 j 称之为假指标或哑指标。 由此得到

j 1

九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量：

11

12 13 xx

xy xz 或

(2.2)

ij

21 22 23 ij yx yy yz 31

32

33

zx

zy

zz

在本书第一章致第九章，应力分量符号 (正负号 )规定如下：对于正应力，我们规定张应力为

正，压应力为负。对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪 应力为正，反之为负。如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为 负。

2.1.2 柯西 (Cauchy)方程

记 S 为过 P 点的外法向

为

n 的斜截面。外法线 n 的方向可由其方向余弦记为 cos(n , x 1 ),

n1

cos(n , x 3 ) 。 cos(n , x 2 ) , 设此斜截面

坐标面平行的截面 n3 n2

ABC (即以 的面积为 S, 则如图 2.1, 过此点所取的小四面体 OABC 另外三个面为与

x 1 , x 2 , x 3 三个坐标轴为法线的三个截面

其面积分别为

), OBC : S 1 OAC : S 2 OAB : S 3

S S S cos(n , x 1 ) cos(n , x 2 ) cos(n , x 3 ) S S S

n1 (2.3)

n 2 n3

( n)

此截面上的应力矢量记为

即

T

, ( n )

( n)

T

T j e j

T

。

(2.4)

(1)

( 2)

,

(3)

另外三个面上的应力矢量分别为

T

, T

考虑此微元 (四面体 OABC 的平衡，其平衡方程为

1

3

( n)

(1)

( 2 )

( 3 )

T

S T

S 1 T

S 2 T

S 3

f S h 0 (2.5)

1 S 3

其中 f 为作用于此单元上的体力，

h 为 O 点至截面 ABC 的垂直距离， h 为此微元的体积。当

此四面体微元无限缩小时 , 上式中最后一项为更高阶的无穷小量，可略去不计，从而得

( n)

(1 )

( 2)

( 3)

T

T

T

T (2.6) n1

n 2

n 3

将 (2.1)代入 , 就得到

( n)

T

ij ni

e j

(2.7)

( n )

T

的坐标分量与应力分量间的关系为：

与 (2.4)比较就得到 ( n)

T

j

(2.8)

ni ij

这就是柯西 (Cauchy) 公式，写成矩阵形式就是

( n ) ( n ) T

x T 1 l m n

11 12 13 n1 xx xy xz ( n ) ( n )

T y

T 2 或 (2.9)

21 22 23 n 2 yx yy yz ( n ) T

3

( n ) T

z

31

32

33

n 3

zx

zy

zz

斜截面上总应力在法线方向上的分量 (正应力 )为

nj

T

j

(n ) (2.10)

ni nj ij

或将

n1

,

n 2

,

n 3

写成 l, m, n,

2

2

2

l

m

n

2lm

2mn

2nl

(2.11)

11

22

33

12

23

31

切线方向上的分量 (剪应力 )

T

2

2 2 2 ( n ) 2

( n) ( n) (n ) 2

T

1

T

2

T

3

(2.12)

图 2.1

2.1.3 坐标变换

x 1 , x 2 x 2 x 3 , x 1 建立新的正交坐标系 并将上面所述的斜截面作为一个新的坐标面

, 新坐标轴

, x 1 , x 2 , x 3 与原坐标轴 x 1 , , x 3 之间的夹角余弦如下表示：

x 1

x 2

x 3

x 1 x 1 x 3

1 1

1 2

1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

(1 )

则上面的应力矢量成为 o xyz 变换到新坐标系 o x' y' z' ，(2.10)

T 将应力分量从原坐标系 成为

( 1 )

1 j T j

(2.13)

11

1 i

1 j

ij

同理