最全面弹性力学基本方程和岩石力学介绍(精华版)
弹性力学基础知识
06
弹性力学的有限元法
有限元法的基本概念
有限元法是一种数值分析方法，通过将复杂的 物理系统离散化为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来近似求解复杂的物理问题。
这些简单元在节点处相互连接，形成一个离散 的系统，其行为可以通过物理定律和数学模型 进行描述。
有限元法的核心思想是将连续的求解域离散化， 将复杂的边界条件和应力状态转化为有限个单 元的组合。
弹性力学基础知识
• 弹性力学概述 • 弹性力学的基本假设 • 弹性力学的基本方程 • 弹性力学的基本问题 • 弹性力学的能量原理与变分原理 • 弹性力学的有限元法
01
弹性力学概述
定义与特点
定义
弹性力学是一门研究弹性物体在外力 作用下变形和内力的科学。
特点
弹性力学主要关注物体在受力后发生 的变形，以及这种变形如何影响物体 的内力和应力分布。
在声学领域，有限元法可以用于分析声音的传播、噪音的来源 等。
THANKS
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有限元法的求解步骤
单元分析
对每个单元进行受力分析，建 立单元的刚度方程。
求解方程
使用数值方法（如直接法、迭 代法等）求解整体刚度方程， 得到节点的位移和应力。
分析模型建立
首先需要建立待分析系统的数 学模型，包括对系统进行离散 化、定义节点、建立方程等。
系统组装
将所有单元的刚度方程组装成 整体的刚度方程，同时引入边 界条件和载荷。
弹性力学的能量原理与变分原理
弹性力学的能量原理
总结词
弹性力学的能量原理是描述物体在外力 作用下能量变化的重要理论，它为解决 弹性力学问题提供了基础框架。
VS
详细描述
弹性力学的能量原理指出，一个弹性系统 在外力作用下，其能量变化等于外力所做 的功与物体形变所吸收的功之和。这个原 理在解决弹性力学问题时非常有用，因为 它可以将复杂的物理现象转化为数学上的 能量平衡问题。
第1章 弹性力学基本理论
偏微分方程 困难 宽
5
1.1.1 弹性力学及其基本假设
弹性力学是一门基础理论，把弹性力学理论直接用于工程
问题分析具有很大的困难，其主要原因主要是在于它的基本方
程即偏微分方程边值问题求解通常比较困难。由于经典的解析
方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发
展中的一个重要任务。弹性力学问题的近似求解方法，如差分
（1.11）
17
1.1.4 应变
因此，剪应变 xy 为
应变通常是一个很小的值，而且无量纲
xy
1
2
u y x
ux y
应变分量的矩阵型式
（1.12）
ε yxx
xy y
xz yz
zx yy z
（1.13）
除了上面的两种应变，还有一种体积应变(Volume Starin)。体 积应变表示弹性体体积的扩张或收缩，按线弹性理论，体积应变 的大小等于三个线应变的和，即
x1 y1
cos sin
s in c os
0x 0 y
z1 0
0 1z
（a）
22
1.2.1 应力坐标变换
第二次旋转确定了x’y’z’坐标，它们与 x1y1z1 坐标的关系如下
x' 1
y
'
图 1-3 应变的几何描述
在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元 体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即
x
ux x
相应地，y轴方向的正应变为：
y
弹性力学基础讲解
一、基本物理量应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量的方向。
应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。
3、应变弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ∆，变形后的长度为'l ∆，定义P 点l 方向的正应变为：lll l ll ∆∆-∆=→∆'lim 0ε。
即正应变表示单位长度线段的伸长或缩短。
弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ∆和s l ∆为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。
应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分量，得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。
关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。
4、外力体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。
设V ∆为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ∆，则定义P 点的体积力为：{}Tz y x V V f f f V=∆∆=→∆F f 0lim。
表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。
设S ∆为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ∆，则定义P 点的表面力为：{}Tz y x S S s s s S=∆∆=→∆F s 0lim 。
弹性力学基本方程
03
应变分析基础
应变概念及分类
应变定义
应变是指物体在外力作用下产生的局部 相对变形，描述了物体形状的微小改变 。
VS
应变分类
应变可分为线应变、切应变、体应变等多 种类型，分别描述了物体不同方向的变形 情况。
应变张量表示方法
应变张量定义
应变张量是描述物体变形状态的二阶张量，可用于全面描述物体的应变情况。
几何方程（应变-位移关系）推导
应变定义
应变是描述物体变形程度的物理量，包括线应变、切应变和体应变 等。
位移与应变关系
在弹性力学中，应变可以通过位移来表示。具体来说，线应变可以 通过位移的导数来表示，而切应变则可以通过位移的差分来表示。
推导过程
通过对应变和位移的定义进行分析，可以推导出应变与位移之间的关 系式，即几何方程。
应力状态。
影响分析
03
初始条件对弹性体的动态响应和稳定性有重要影响，
不合理的初始条件可能导致求解结果偏离实际情况。
边界条件和初始条件在求解中作用
确定解的唯一性
边界条件和初始条件是弹性力学 问题有定解的必要条件，只有给 定合适的边界条件和初始条件， 才能保证解的唯一性。
影响解的精度和稳定性
边界条件和初始条件的处理直接 影响求解精度和稳定性，不合理 的边界条件和初始条件可能导致 求解结果失真或不稳定。
目前，弹性力学已经广泛应用于各种工程领域，如机械、土木、航空、航天等 。同时，随着计算机技术的发展，数值计算方法在弹性力学中的应用也越来越 广泛。
弹性力学在工程领域应用
机械工程
土木工程
在机械工程中，弹性力学被广泛应用于机 构工程中，弹性力学被用于分析建筑 结构的稳定性、承载能力以及地震响应等 问题。
弹性力学基础讲解
弹性力学基础讲解一、基本物理量应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量的方向。
应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。
3、应变弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ?，变形后的长度为'l ?，定义P 点l 方向的正应变为：lll l ll ??-?=→?'lim 0ε。
即正应变表示单位长度线段的伸长或缩短。
弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ?和s l ?为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。
应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分量，得：=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。
关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。
4、外力体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。
设V ?为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ?，则定义P 点的体积力为：{}Tz y x V V f f f V=??=→?F f 0lim。
表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。
设S ?为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ?，则定义P 点的表面力为：{}Tz y x S S s s s S=??=→?F s 0lim 。
第三章 岩石力学基本知识介绍
p r0 t
c
P A
t
抗剪试验
抗弯试验
P s A
3Pl b 2bh 2
表 1-4 岩石的抗压、抗拉、抗剪和抗弯强度
岩石 粗粒砂岩 中粒砂岩 细粒砂岩 页 岩 泥 岩 石 膏 含膏石灰岩 安山岩 白云岩 石灰岩 花岗岩 正长岩 辉长岩 石英岩 辉绿岩 抗压强度 σ cMpa 142 151 185 14－61 18 17 42 98.6 162 138 166 215.2 230 305 343 抗拉强度 σ tMpa 5.14 5.2 7.95 1.7－8 3.2 1.9 2.4 5.8 6.9 9.1 12 14.3 13.5 14.4 13.4 抗剪强度 τ sMpa － － － － － － － 98 118 145 198 221 244 316 347 抗弯强度 σ rMpa 10.3 13.1 24.9 36 3.5 6 6.5
d dt
弹性
塑性
粘性
材料的变形性质
弹性：一定的应力范围内，物体受外力作用产生变形，而 去除外力后能够立即恢复其原有的形状和尺寸大小的性质
产生的变形称为弹性变形 具有弹性性质的物体称为弹性介质
弹性按其应力和应变关系又可分为两种类型
应力和应变呈直线关系—即线弹性或虎 克型弹性或理想弹性 应力应变呈非直线的非线性弹性
l
xx
xx l x
xx
o
xx l x
xy
xy x
l
yx
yx y
l
yy
yy y
l
一点应力状态——剪应力互等定理
xy xy 2 2 M oz xy l 2l l xy l 2l l x x yx yx 2 2 yx l 2l l yx l 2l l y y
第一章 弹性力学的基本理论
学习弹性力学的目的
理解和掌握弹性力学的基本理论、基本概念、基本 方程、基本解法。 能够阅读弹性力学相关文献，并应用已有解法为工 程服务。 能够将所学的弹性力学知识应用于近似解法－变分 法、差分法和有限单元法的理解。 为进一步学习固体力学的其它分支学科打下基础。
v v y dy dy v dy v y dy y
y
同样，可以列出另两个力矩平衡方程。得出
yz zy , zx xz , xy yx
机自学院安全断裂分析研究室
应力张量
是对称的二阶张量
x xy xz yx y yz zx zy z
过一点任意截面上的应力分量，完全由该点的应 力张量唯一地确定。即一点的应力状态是用该点的应 力张量表示的。
机自学院安全断裂分析研究室
弹性力学的发展史 自学
机自学院安全断裂分析研究室
弹性力学中的几个基本概念
外力 体积力：分布在物体体积内的力，如重力和惯性力 表面力：作用在物体表面的力，可以是分布力，也 可以是集中力
z
Q Z V X P
X
z
Q Z F Y P S
F Y
o
Q F V 0 V lim
x
y
o
Q F S 0 S lim
x
y
机自学院安全断裂分析研究室
内力、应力及应力张量
物体在外力的作用下，伴随变形而同时在物体内
产生抵抗变形的力，称为内力。
Ⅱ
F2
F1 — Ⅱ部分物体对Ⅰ部分物体的作用力
F1
F2 — Ⅰ部分物体对Ⅱ部分物体的作用力 F1 和F2 大小相等，方向相反。
弹性力学
即:σ x
3) 平衡方程 因为平面应变问题独立分量只有σx ,σy ,τxy,而
σ z = (σ x + σ y ) ,它们都是x,y的函数与z无关,
且体力Z=0,故有:
σ x τ yx + +X =0 x y τ xy σ y + +Y = 0 x y
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Байду номын сангаас
二,平面应力问题 1. 特点: 特点: 1) 长,宽尺寸远大于厚度 2) 沿板面受有平行板面的面力,且沿厚度均布,体力 沿板面受有平行板面的面力,且沿厚度均布, 平行于板面且不沿厚度变化, 平行于板面且不沿厚度变化,在平板的前后表面上 无外力作用. 无外力作用. 例如: 例如: y x
注意:平面应力问题σz =0,但 ε z ≠ 0 ,这恰与平面应变 问题相反.
返回
由于σz =0,平面应力问题的物理方程为:
εx =
1 σ x σ y E 1 ε y = σ y σ x E 2(1 + ) γ xy = τ xy E 或写成: σ x 1 0 0 ε x E {σ } = σ y = 1 ε y = [D ] {ε } (1 2 ) τ 1 γ 0 0 xy xy 2 0 1 0 [D] = E 2 1 ——平面应力的弹性矩阵 其中 (1 ) 1 0 0 2
弹性力学基本理论回顾
1 弹性力学的几个基本假定 2 弹性力学中的基本力学量和方程 3 弹性力学的平面问题
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第一节
弹性力学的几个基本假定
大量的工程问题都涉及到应力,应变及位移的分 大量的工程问题都涉及到应力,应变及位移的分 应力 析计算,弹性力学(又称弹性理论)就是研究物体在 析计算,弹性力学(又称弹性理论) 外部因素(如外力,温度变化等)作用下产生的应力, 外部因素(如外力,温度变化等)作用下产生的应力, 应变及其位移规律的一门科学,它是固体力学的一个 应变及其位移规律的一门科学, 分支.弹性力学的基本任务就是针对各种具体情况, 分支.弹性力学的基本任务就是针对各种具体情况, 确定弹性体内应力与应变的分布规律.也就是说,当 确定弹性体内应力与应变的分布规律.也就是说, 已知弹性体的形状,物理性质, 已知弹性体的形状,物理性质,受力情况和边界条件 时,确定其任一点的应力,应变状态和位移.弹性力 确定其任一点的应力,应变状态和位移. 学所研究的对象是理想弹性体, 学所研究的对象是理想弹性体,其应力与应变之间的 关系为线性关系,即符合虎克定律.所谓理想弹性体, 关系为线性关系,即符合虎克定律.所谓理想弹性体, 理想弹性体 是指符合下述四个假定的物体, 是指符合下述四个假定的物体,即 :
弹性力学基础知识
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29
静力（面力）边界条件
➢ 静力边界条件：结构在边界上所受的面力与应力分量之间 的关系 。
➢ 由于物体表面受到表面力，如压力和接触力等的作用， 设
单位面积上的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz ，物体外表面法线n 的方向余弦为l，m，n。参考应力矢量与应力分量的关系，
可得
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19
微分体的应力分量和应变分量
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20
位移
弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置变化，质点位置 的改变称为位移（displacement）。位移可分解为x、y、z 三个坐标轴上的投影，称为位移分量。沿坐标轴正方向的 位移分量为正，反之为负。
位移的矩阵表示为
弹性体发生变形时，各质点的位移不一定相同，因此位移 也是x、y、z的函数。
σy
应力
应力分量
符号规定： 图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元 体面的应力称为正应力。 正应力记为 ,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴 的方向。
平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx 、τyz表示，其
第一下标y表示所在的平面，第二下标x、y分别表示沿坐
标轴的方向。如图示的τyx、τyz
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14
应力
其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在 截面上分布力的合力。
取截面的一部分，它的面积为ΔA，
ΔQ
作用于其上的内力为ΔQ，
ΔA
平均集度为ΔQ/ΔA，其极限
S lim Q A
为物体在该截面上ΔA点的应力。
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15
应力
通常将应力沿垂直于截面和平行于截面两个方向分解为
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弹性力学----基本方程
ji, j Fbi 0
位移与应变几何方程 6个
ij
1 ui 2 x j
u j xi
应力与应变物理方程 6个
σ= Dε
第一节 基本方程
待解未知函数:
空间问题 应力分量 6个 应变分量 6个
未知函数15个，方程数 也为15个。位移和应力 还应该满足单值条件
位移分量 3个 边界条件 应力边界条件：在边界上给定外力，应力应满足 应力边界条件。
第四章 基本方程
弹性静力学的问题构成了偏微分方程组 的边值问题，根据应力或位移为求解的未知 函数进行简化，得到基本方程。直接求解一 般是十分困难的，还需要进一步简化为平面 问题和对称问题。基本方程还为弹性力学的 数值解法奠定了基础。
第一节 第二节
基本方程 基本方程的意义
第一节 基本方程
求解方程: 应力平衡方程 3个
2 2x
1 1
(
2
)
Fb x
x
Fb y y
Fb z z
(1 )2 y
2 2 y
1 1
(2
)
Fb y
y
Fb z z
Fb x x
(1 )2 z
2 2z
1 1
(2
)
Fb z
z
Fb x x
Fb y y
(1 )2 yz
2 yz
(1
)
Fb y
z
Fb y z
(1 )2 zx
2 zxBiblioteka (1 ) 2y
2v Fby
0
E 2(1
)
1
1
2
z
2
w
Fbz
0
其中 x y z 称为体积应变。
弹性力学-岩石力学复习资料
弹性力学基本知识考试一、 基本概念：（1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。
（3） 弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。
（4） 平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。
同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。
这时，0,0,0zzx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于xy 面的三个平面应力分量，即,,xy xy yxσσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。
设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zxzy ττ==，根据切应力互等，0,0xzyz ττ==。
由胡克定律，0,0zxzy γγ==，又由于z方向的位移w 处处为零，即0zε=。
因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,xy xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。
（5） 一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。
（6） 圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。
（7） 轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。
这种问题称为空间轴对称问题。
二、 平衡微分方程： (1)平面问题的平衡微分方程；yx x x xy yy f x y f xyτστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂（记）(2)平面问题的平衡微分方程（极坐标）；10210f f ρρϕρϕρϕρϕρϕϕ∂σ∂τσσ∂ρρ∂ϕρ∂σ∂ττρ∂ϕ∂ρρ-+++=+++=1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。
弹性力学基本理论回顾
例如：受内压的圆柱管道和长水平巷道等。
P y
P
x
2. 平面应变问题的基本方程 1) 几何方程 对于平面应变问题：w = 0 ， u（x，y），v（ x，y ）对于 z轴的偏导数为0，故有εz=γyz =γzx=0 ， 所以有：
εx {ε } = ε y = γ xy ∂ ∂ v ∂ u + x ∂ y
2. 物理方程（应力与应变的关系） 物理方程（应力与应变的关系） 用应力表示应变
1 σ x − µ (σ y + σ z ) E 1 ε y = σ y − µ (σ z + σ x ) E 1 ε z = σ z − µ (σ x + σ y ) E 1 γ xy = τ xy G 1 γ yz = τ yz G 1 γ zx = τ zx G
[
]
[
]
或
E (1 − µ )ε x + µε y σx = (1 + µ )(1 − 2 µ ) E σy = µε x + (1 − µ )ε y (1 + µ )(1 − 2 µ ) E τ xy = γ xy 2(1 + µ )
[
] ]
[
1− µ 0 0 ε x 简写成： E {σ } = [D ]⋅ {ε } µ {σ } = σ y = µ ε y 1− µ τ (1 + µ )(1 − 2 µ ) 1 − 2 µ γ 平面应变问题的弹性矩阵 0 xy 0 xy 2 返回
弹性力学基本理论回顾
1 弹性力学的几个基本假定 2 弹性力学中的基本力学量和方程 3 弹性力学的平面问题
弹性力学精品文档
弹性力学在未来的应用前景
添加标题
先进材料：随着新材料的不断涌现，弹性力学 在材料设计、制备和性能优化方面将发挥重要 作用。
添加标题
智能结构与系统：弹性力学在智能结构、智能 交通、智能制造等领域具有广阔的应用前景， 为复杂系统的优化设计提供理论支持。
添加标题
生物医学工程：弹性力学在生物医学工程领域 的应用将进一步拓展，为医疗器械、人体植入 物和组织工程提供更安全、有效的设计方案。
弹性力学的基本假设
连续性假设： 物质是由连续 的物质点构成 的，没有空隙
或裂缝。
均匀性假设： 物质在各个方 向上的性质都 是相同的，没 有局部的或方 向性的变化。
各向同性假设： 在各个方向上， 物质的性质都 是相同的，没
有方向性。
小变形假设： 变形是微小的， 不会引起物质 本身的形状和 大小发生显著
弹性力学在生物医学中可用于研究人体组织的力学性质，如生物组织的弹性和黏弹性等。
弹性力学在生物医学中可用于医疗器械的设计和优化，如人工关节、假肢和矫形器等。
弹性力学在生物医学中可用于药物输送和基因治疗等方面的研究，如利用弹性材料的变形来 控制药物的释放等。
弹性力学的展望
弹性力学的发展趋势
理论创新：随着数学、物理学等基础学科的发展，弹性力学理论将不断得到完善和创新，为工 程实践提供更精确的指导。
的改变。
弹性力学的基本理 论
应力和应变的关系
定义：应力是物体内部相邻部分之间的相互作用力，应变是物体形状的改变
关系：应力与应变之间存在线性关系，即胡克定律
公式：σ=Eε，其中σ为应力，E为弹性模量，ε为应变
意义：应力和应变的关系是弹性力学的基本理论之一，对于理解和预测物体在外力作用下的行 为非常重要
公共基础知识弹性力学基础知识概述
《弹性力学基础知识概述》一、引言弹性力学作为固体力学的一个重要分支，主要研究弹性体在外力作用下的应力、应变和位移。
弹性力学的理论和方法在工程结构设计、材料科学、地球物理学等众多领域都有着广泛的应用。
本文将对弹性力学的基础知识进行全面的阐述，包括基本概念、核心理论、发展历程、重要实践以及未来趋势。
二、基本概念1. 弹性体弹性体是指在外力作用下，能够产生弹性变形，当外力去除后，能够完全恢复到原来形状和尺寸的物体。
弹性体的变形通常是微小的，其应力与应变之间存在着一定的关系。
2. 应力应力是指单位面积上所承受的力。
在弹性力学中，应力通常分为正应力和切应力。
正应力是垂直于作用面的应力，切应力是平行于作用面的应力。
应力的单位是帕斯卡（Pa）。
3. 应变应变是指物体在受力作用下，形状和尺寸的改变量与原来形状和尺寸的比值。
应变通常分为正应变和切应变。
正应变是长度的改变量与原来长度的比值，切应变是角度的改变量。
应变是无量纲的量。
4. 弹性模量弹性模量是衡量材料弹性性质的指标，它表示材料在受力作用下产生弹性变形的难易程度。
弹性模量通常分为杨氏模量、剪切模量和体积模量。
杨氏模量是正应力与正应变的比值，剪切模量是切应力与切应变的比值，体积模量是体积应力与体积应变的比值。
三、核心理论1. 平衡方程平衡方程是弹性力学的基本方程之一，它描述了弹性体在受力作用下的平衡状态。
平衡方程可以表示为：$\sigma_{ij,j}+f_i=0$其中，$\sigma_{ij}$是应力张量，$f_i$是体积力，$j$表示对坐标的偏导数。
2. 几何方程几何方程描述了弹性体在受力作用下的变形情况。
几何方程可以表示为：$\epsilon_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})$其中，$\epsilon_{ij}$是应变张量，$u_i$是位移矢量，$j$表示对坐标的偏导数。
3. 物理方程物理方程描述了应力与应变之间的关系。
弹性力学基础知识
dy
yx
yx
y
dy
注： 这里用了小变形假定。
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22
Fx 0
(
x
x
x
dx)dy 1 xdy 1
(
yx
yx
y
dy)dx 1
yxdx 1
Xdx dy 1 0
x yx X 0
x y
x
O
y yx
x
yx
y
y
P D
xy
B
dy
yxA
X
x
x
x
dx
Y
C
xy
xy
x
dx
y
x
dx
Y
C
xy
xy
x
dx
y
y
y
dy
(
yx
yx
y
dy)dx 1
dy 2
yxdx 1
dy 2
0
xy
1 2
xy
x
dx
yx
1 2
yx
y
dy
当 dx 0, dy 0 时，有 xy yx —— 剪应力互等定理 24
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平面情况的平衡(pínghéng)微分方 程
第二章 弹性(tánxìng)力学的基
本知识
1
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2-1、弹性力学(lì xué)和材料力学(lì xué)
1、研究(yánjiū)的对 象：
材料力学主要研究弹性杆件(如梁、柱、轴等） 弹性力学主要研究弹性体。（杆、板、壳、块体）
2
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2、研究(yánjiū)的方
法：
已知
外力(wàilì)、边界条件、几何、材料
东北大学岩石力学讲义弹性力学与岩石力学基础弹性力学部分
弹性力学与岩石力学基础弹性力学部分第一章绪论弹性体是理想化的固体，自然界中并不存在。
但大部分工程材料，在屈服以前的一定载荷范围内，都可以看作是弹性体。
弹性力学—研究载荷作用下弹性体变形与应力状态的科学。
弹性体的定义—卸载以后完全恢复初始形状和大小的物体，更加学术性的说法：“应力与应变一一对应”。
弹性与塑性的差别主要在于卸载以后能否恢复变形，或者是否存在永久变形。
理论力学：研究外力作用下刚体的运动。
材料力学：研究具有特殊形状的弹性体（主要是一维杆件）在载荷作用下的变形与应力。
结构力学：研究杆系结构，对于单根秆子，采用材料力学中同样的假设。
秆子之间的连接，符合一定的力学条件。
弹性力学是材料力学和结构力学的继续。
弹性力学分为数学弹性力学和应用弹性力学。
数学弹性力学是用严格的数学分析方法，在相当一般的假设下，首先建立起弹性力学的合理的数学模型，即弹性力学的初边值问题，然后讨论解的性质，即存在性、唯一性、稳定性等，同时寻求适当的数学方法求出其解，供工程部门参考。
对于应用弹性力学，如板壳理论、弹性稳定性理论，虽然也可以采取数学分析的方法寻找具体问题的解，但为了提供实际需要的结果，不得不作出进一步的假定，如板壳理论中的直线法假定。
数学弹性理论和应用弹性力学之间没有明确的界限。
弹性力学与材料力学以及结构力学的差别在于，在更一般的假设下，研究任意形状弹性体，在载荷作用下的变形。
假设更少，比如抛弃了材料力学中梁的平截面假设，忽略横向集中引起的压应力等。
2. 1 弹性力学的基本规律1、运动(或平衡)规律弹性力学研究物体宏观运动和变形，因此，牛顿的三大运动定律，即动量守恒、动量矩守恒、作用力和反作用力定律也是弹性力学中的基本规律。
2、热力学基本定律。
3、几何连续性规律。
4、线性(或非线性)弹性规律。
前三条规律，对所有宏观物体的低速运动和变形都适用，第4条规律是弹性力学与其它变形体力学的本质区别。
弹性力学的理论是围绕以上几个方面的规律建立起来的。
第一章 弹性力学的基本方程
2001年6月1日
图1-7
1-23
斜微分面abc为其边界面的一部分，其外法线N与 各坐标轴夹角的余弦为cos(N,x)=1, cos(N,y)=m, cos(N,z)=n。微分体的其他三个微分面过M点且分 别与三个坐标面相平行。从M点到斜微分面abc的 垂直距离dh，是四面体的高。设斜微分面的面积 为dA，则其他三个微分面的面积为 Mac=dA*1, Mab=dA*m, Mcb=dA*n 1 dV dh dA 四面微分体的体积为 3 由于这些微分面很小，其面上作用的应力也可以 看作均匀分布。假定斜微分大面abc上作用的应力 在三个坐标 轴上的投影分别为 X , Y , Z ，体积分量 为X、Y、Z。整个物体处于平衡状态，这个四面 体也应满足平衡条件。
上式分母中的 可简写为
u x 1 x
，可以略去。从而上式
1
同样可得
2
v x u y
线段AB和AC间的剪应变γxy等于θ1与θ2之和：
xy
v u 1 2 x y
用同样方法在坐标面yoz和xoz上的投影，可得
2001年6月1日
yz
z
w z
其次，求投影ABCD内线段AB和AC间所夹直角 的变化，即该投影面内的剪应力γxy。，由图1-6可 见，这个剪应变由两部分组成，一部分与x轴相平 行的AB向y轴方向的转角θ1;另一部分是与y轴相平 行线段AC向x轴方向的转角θ2。在小变形的情况下
v v v dx v B2 B1 x 1 tg1 x A1 B2 1 u u dx u dx u x x 1-14 2001年6月1日
xy yz
zx
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第二章 弹性力学的基本原理§2.1 应力分析2.1.1 应力与应力张量应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点 设 S 的外法P 的周围取一微元S , 线为 ν ,S 上的力为 T ，如极限 存在，则称 T 为 P 点在该截面上的应力矢量。
lim T / S T S 0(1 )( 2)(3 )考察三个面为与坐标面平行的截面(即以 x 1 , x 2 , x 3 三个坐标轴为法线的三个截面), T , T , T分别表示三个截面上的应力矢量。
每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有(i )Tije j(i,j =1,2,3) (2.1) 这里的张量运算形式满足 “求和约定” ，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，3则理解为对所有同类求和， 即 ij e j ije j 应理解为。
这样的求和指标 j 称之为假指标或哑指标。
由此得到j 1九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量：1112 13 xxxy xz 或(2.2)ij21 22 23 ij yx yy yz 313233zxzyzz在本书第一章致第九章，应力分量符号 (正负号 )规定如下：对于正应力，我们规定张应力为正，压应力为负。
对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪 应力为正，反之为负。
如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为 负。
2.1.2 柯西 (Cauchy)方程记 S 为过 P 点的外法向为n 的斜截面。
外法线 n 的方向可由其方向余弦记为 cos(n , x 1 ),n1cos(n , x 3 ) 。
cos(n , x 2 ) , 设此斜截面坐标面平行的截面 n3 n2ABC (即以 的面积为 S, 则如图 2.1, 过此点所取的小四面体 OABC 另外三个面为与x 1 , x 2 , x 3 三个坐标轴为法线的三个截面其面积分别为), OBC : S 1 OAC : S 2 OAB : S 3S S S cos(n , x 1 ) cos(n , x 2 ) cos(n , x 3 ) S S Sn1 (2.3)n 2 n3( n)此截面上的应力矢量记为即T, ( n )( n)TT j e jT。
(2.4)(1)( 2),(3)另外三个面上的应力矢量分别为T, T考虑此微元 (四面体 OABC 的平衡，其平衡方程为13( n)(1)( 2 )( 3 )TS TS 1 TS 2 TS 3f S h 0 (2.5)1 S 3其中 f 为作用于此单元上的体力，h 为 O 点至截面 ABC 的垂直距离， h 为此微元的体积。
当此四面体微元无限缩小时 , 上式中最后一项为更高阶的无穷小量，可略去不计，从而得( n)(1 )( 2)( 3)TTTT (2.6) n1n 2n 3将 (2.1)代入 , 就得到( n)Tij nie j(2.7)( n )T的坐标分量与应力分量间的关系为：与 (2.4)比较就得到 ( n)Tj(2.8)ni ij这就是柯西 (Cauchy) 公式，写成矩阵形式就是( n ) ( n ) Tx T 1 l m n11 12 13 n1 xx xy xz ( n ) ( n )T yT 2 或 (2.9)21 22 23 n 2 yx yy yz ( n ) T3( n ) Tz313233n 3zxzyzz斜截面上总应力在法线方向上的分量 (正应力 )为njTj(n ) (2.10)ni nj ij或将n1,n 2,n 3写成 l, m, n,222lmn2lm2mn2nl(2.11)112233122331切线方向上的分量 (剪应力 )T22 2 2 ( n ) 2( n) ( n) (n ) 2T1T2T3(2.12)图 2.12.1.3 坐标变换x 1 , x 2 x 2 x 3 , x 1 建立新的正交坐标系 并将上面所述的斜截面作为一个新的坐标面, 新坐标轴, x 1 , x 2 , x 3 与原坐标轴 x 1 , , x 3 之间的夹角余弦如下表示：x 1x 2x 3x 1 x 1 x 31 11 21 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3(1 )则上面的应力矢量成为 o xyz 变换到新坐标系 o x' y' z' ，(2.10)T 将应力分量从原坐标系 成为( 1 )1 j T j(2.13)111 i1 jij同理(1 )2 j T j12 1 i 2 j ij (2.14)(1 ) 3 j Tj131 i3 jij一般地，有(i )j j T j(2.15)i ji ij jij上式为应力张量坐标变换式用矩阵表示为, 1'1 ' 1'2 ' 1'3 ' 1 1 1 2 13 11 12 13 1 1 2 1 3 1 (2.16)2'1 ' 2'2 ' 2'3' 2 1 22 2 3 21 22 23 12 2 2 32 3'1'3'2 '3'3 '3 132333132331 32 33 3上式用在具体计算时比较方便。
在理论推导中，用应力张量的变换符号表示比较方便： 其中i 'i 为新坐标中x i ’与旧坐标中 x i 之间夹角的方向余弦。
剪应力互等定理 :设体积微元 (小长方体 )的三个边长各为 力 )对于任一轴的矩的代数和必然为零。
因而得dx 1、 dx 2、 dx 3, 作用于此体积元上所有的力(包括惯性(2.17)ijji这就是剪应力互等定理。
它表明，应力张量是对称张量。
2.1.4 主应力与应力张量不变量如果在某一截面上剪应力为零，则该截面的法向称为主方向，相应的截面称为主平面。
主平 面的正应力为主应力。
设方向n 为主方向，其方向余弦为(n 1、n 2、 n 3 ) , 此面上的主应力为, 则( n)T 1 n 1 n 2 n 3( n) T2 (2.18)( n)T 3将上式代入柯西公式 (2.7), 得() n 1 12n2) n 2 13 n3 23n3)n 3 0 011 21n2 31 n 1((2.20)22 32n 2(33上式写成张量形式就是：(2.21)ijiji其中为克罗耐克尔 (Kroneker) 符号：1iji i j jij因为 n 、n 、n 不能同时为零，所以 (2.20)的系数行列式必须为零。
得 1 2 3 (i ) 111213(i ) 0 (2.22)12 2223()313222i上式写成张量形式就是：det(2.23)ij ij将 (2.22) 的行列式展开后得3 i2I 1I 2 I 3(2.24)方程 (2.13)称为应力状态特征方程，其三个系数分别为I 1 11 22 33 11 12 22 23 33 31 I 2212232331311(2.25)1112 13 I 321 22 23 313233特征方程 (2.24) 在坐标变换时保持不变， 即它的三个系数 I 2, I 3 不随坐标系的变化而改变， I 1, I 1, I 2 , I 3 通常取分别称之为应力张量的第一、第二、第三不变量。
解特征方程求得三个实根就是主应力, 22 2 n1n2n31联立3。
将其值代入方程组 (2.20), 并和条件 , 即可求得对应于每一个主12应力(i 1,2,3) 的主方向i1 H(i 1,2,3)n in 1 ,n 2 , n 3w 1, w 2 , w 3(2.26)其中w 1 w 2 23, 13,13 i 22 12 23 2 i1112( i 1,2,3) (2.27)2 12w 3 H11 ,i1122 i12222w w w 21 3上述过程在数学上实际就是求应力张量矩阵的特征值和特征向量。
x 1, x 2, x 3 , I 1 I 2 I 3如果选择主方向为坐标轴则应力张量不变量 (2.25) 可化简为1 23 (2.28)1 2 233 1123 2.1.5 最大剪应力可以证明，三个最大剪应力分别为1 2 ( 2 ( 2) 3 )1)12 1 1 (2.29)23 2 1 2(313这些剪应力所在的截面平行某一主轴面而与另外两个主轴成 45°夹角。
模型中会用到。
最大剪应力在塑性力学的屈服准则和断裂力学的Dugdale 2.1.6 应力圆 (Mohr 圆)平面上的一个圆，记为某一截面上的正应力， 为该截面上的剪应力。
Mohr 圆为NN22 1211 2211 22这个圆的圆心 C 的坐标为,0 。
圆上的一点表示某一截面, 半径为22上的应力。
该点的横坐标表示该截面上的正应力，纵坐标表示该截面上的剪应力。
这个圆用方程表示就是：2222 1211221122(2.30)N2 2图 2.2 显示了 Mohr 圆，其中 A 点代表以 x 1 轴为法线的截面上的应力 (11,12) 。
该截面的法线与' 。
延长 第一主方向的夹角为AC 交 Mohr 圆于 D 点。
D 点代表以 x 1 轴为法线的截面上的应力0 , (22,21) 。
令 从 (2.17) 式可以得出 圆与横轴的两个交点的横坐标为Mohr 21 21211221122(2.31)2 22AC 这正是两个主应力， 和解特征方程 (2.24) 得到的结果是一致的。
规定 和横轴的夹角为 2 ' ,211 2 22CB12CB12， tg 2 'cos2 'sin 2 '(2.32)11221212OC CB cos2 'cos2 '1122221cos '2sin '1212OC CB cos2 'cos2 '222 222sin' 'cos '12CB sin 2 ( 2) s in 'cos '121图 2.2 平面应力的应力圆(Mohr 圆)这个结果和用坐标变换的方法求得的结果一致。
从 A 点 顺时针 沿圆周移动， 扫过圆心角 2 后至 BB 点的坐标 (N, ) 的值。
点。
现在我们来计算 OC CF CEcos2 22OC CBcos(2 ' 2 )NOCcos(2 ' 2 )'111122(cos 2 ' cos2sin 2 ' sin 2 ) 22 cos2 '112211221122cos2 tg 2 ' sin 222211221122cos2sin 2122 2CB sin(2 ' 2 )11 22 (sin 2 ' cos2 cos2 ' sin 2) 2 cos2 '11 22 sin 212 cos22上述结果中的与和坐标变换方法结果比较，可以看出， B 点正代表图 2.3 中HK 面逆时N针转过角后的LM 截面上的应力情况。