具有非齐次边界条件的问题

x l
-1
(0 x l, t 0),
v(0,t) 0, v(l,t) 0,
(88)
v(x,0) 0.
应用固有函数法求问题(88)的解。为此，设
v( x, t )
vn (t) sin
n1
n
l
x,
利用2.4.2节中推得公式(64)可知
(89)
t
( na )2 (t )
vn (t) 0 fn ( )e l
矩形域上的泊松方程是适用的。
(5) 圆域上的泊松方程对应的固有函数系为
1,cos,sin,cos2,sin 2, cosn,sin n,
4
小结 固有函数法的解题步骤：
1.将所考虑的定解问题的解按固有函数系展开
2.将非齐次方程中的自由项也按固有函数系展开 如果自由项已经含有固有函数的形式，可直接 进入下一步。
u(0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t),
(80)
u(x,0) (x), ut (x,0) (x).
(81)
通过作一函数变换将边界条件化为齐次的，
为此令 u(x,t) v(x,t) w(x,t),
(82)
并选取辅助函数 w(x,t), 使新的未知函数 v(x,t)
满足齐次边界条件，即
a2w sin 2 x cos 2 x 0.
l
l
w(0,t) 3, w(l,t) 6.
(92) (93)
和
vtt a 2uxx (0 x l, t 0),
v(0,t) 0, v(l,t) 0,
(94)
v( x,0)
3பைடு நூலகம்
x w(x), l
vt (x,0)
sin 4
l
x.
(2)将泊松方程化成拉普拉斯方程
vrr
1 r
vr
1 r2
v
0,
(0 r r0 ),
(Q)
v |rr0 f ( ) w(r0 , ).
可用分离变量法或试探法求解问题(Q)
3
小结 几种常见的固有函数系的形式
(1) u(0,t) 0, u(l,t) 0; (2) u(0,t) 0, ux (l,t) 0;
w(t, x)
x l [u2 (t)
u1(t)] u1(t).
(2) u(0,t) u1(t), ux (l,t) u2 (t); w(x,t) u2 (t)x u1(t).
(3) ux (0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t); w(x,t) u1(t)x u2 (t) lu1(t).
(P1)
v |rr0 0.
1
补充
对于如下泊松方程的边值问题而言：
urr
1 r
ur
1 r2
u
F(r, ),
(0 r r0 ),
(P)
u |rr0 f ( ).
固有函 数法
和
分离变 量法(或 试探法)
vrr
1 r vr
1 r2
v
F (r, ),(0 r r0 ),
(P1)
v |rr0 0.
u1 (0),
1 ( x)
(x)
x l
u2 (0)
u1 (0)
u1 (0).
(79) (80) (81) (85) (86)
10
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
u(0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t),
u(x,0) (x), ut (x,0) (x). vtt a 2vxx f1 (x, t) (0 x l, t 0),
d ,
再利用2.4.2节中推得公式(62)可知
fn (t)
2 l
l 0
f (x,t)sin nxdx
l
2 l
l x 1 sin nxdx 2 .
0 l l
n
14
再将
即得
fn
(t)
vn (t)
2
n
代入 vn (t)
t 0
fn (
2 t ( na )2 (t )
e d l
n 0
v(0,t) 0, v(l,t) 0.
(83)
由(80)(82)容易看出，要使(83)成立，只要
w(0,t) u1(t), w(l,t) u2 (t),
(84)
7
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0), (79)
u(0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t),
u( x, t )
t1
x l
n1
2l 2
(n )3 a 2
( na )2 t e l
1 sin
nx.
l
15
特别值得注意的是，对于给定的定解问题，例如： utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
u(0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t),
l
x cos 2
l
x,
为了将此方程化成齐次的，自然选取 w(x) 满足
a2w sin 2 x cos 2 x 0.
l
l
17
例2 求解下列问题：
utt a 2uxx u(0,t) 3,
sin 2 x cos 2
l
l
u(l,t) 6,
x
(0
x l,
t
0),
(91)
u ( x,0)
31
w(0,t) 3,
w(l,t) 6.
18
utt a 2uxx u(0,t) 3,
sin 2 x cos 2
l
l
u(l,t) 6,
x
(0
x l,
t
0),
(91)
u ( x,0)
31
x , l
ut (x,0)
sin
4
l
x.
这样由代换 u(x,t) v(x,t) w(x),
问题(91)化为下面两个问题：
式，即设
w(x,t) A(t)x B(t),
由条件(84)确定 A(t), B(t) 得
B(t) u1(t),
1 A(t) l [u2 (t) u1(t)],
8
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
u(0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t),
v(0,t) v(l,t) 0,
v(x,0) 1 (x), vt (x,0) 1 (x).
将问题(86)的解代入
u( x, t )
v( x, t )
x l
[u2 (t)
u1(t)]
u1 (t ).
即得原定解问题问题(79)-(81)的解。
(79) (80) (81) (86)
(85)
11
wrr
1 r
wr
1 r2
w
0,
(0 r r0 ),
(P2)
w |rr0 f ( ).
2
补充
对于如下泊松方程的边值问题而言：
urr
1 r
ur
1 r2
u
F(r, ),
(0 r r0 ),
(P)
u |rr0 f ( ).
思路2 (1)找出此泊松方程的一个特解 w(r, ), 令
u(r, ) v(r, ) w(r, ),
3.将步骤1、2中的形式代入非齐次方程中化简， 并比较待定系数得到一个常微分方程
4.将利用初值条件得到步骤3中常微分方程的附 加条件。然后求解常微分方程的初值问题。
注意：若是泊松方程则需借助有界性和边界条件
5
2.5 具有非齐次边界条件的问题
本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题 的求解方法。处理这类问题的基本原则是：
(79) (80) (81) (82)
(85)
9
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
u(0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t),
u(x,0) (x), ut (x,0) (x).
x u(x,t) v(x,t) l [u2 (t) u1(t)] u1(t).
补充
对于如下泊松方程的边值问题而言：
urr
1 r
ur
1 r2
u
F(r, ),
(0 r r0 ),
(P)
u |rr0 f ( ).
思路1 将问题(P)的解看成两部分， 令
u(r, ) v(r, ) w(r, ),
v(r,) 和 w(r, ) 分别满足
vrr
1 r vr
1
r2
v
F (r, ),(0 r r0 ),
x , l
ut (x,0)
sin
4
l
x.
解
u(x,t) v(x,t) w(x),
(92)
再把(92)代入问题(91)中的定解条件，得
v(0,t) w(0) 3, v(l,t) w(l) 6,
v(x,0) w(x) 31 x , l
vt (x,0)
sin
4
l
x.
为了将 v(x,t) 的边界条件也化成齐次，则 w(x)满足
(87)
u(x,0) 0,.
解 选取辅助函数 w(x,t) t x t. 令
l
u(x,t) v(x,t) t x t,
则问题(87)化成
l
vt
a 2vxx
x l
-1
(0 x l, t 0),
v(0,t) 0, v(l,t) 0,
(88)
v(x,0) 0.
13
vt
a 2vxx
19
a2w sin 2 x cos 2 x 0.
l
l
w(0,t) 3, w(l,t) 6.
u(x,0) (x), ut (x,0) (x).
u(x,t) v(x,t) w(x,t),
于是可得
w(t, x)
x l
[u
2
(t
)
u1(t)] u1(t).
因此，令
u( x, t )
v( x, t )
x l
[u2 (t)
u1(t)]
u1 (t ).
则问题(79)-(81)可化成 v(x,t) 的定解问题
(4) ux (0,t) u1(t),
ux (l,t) u2 (t);
w( x, t )
u2
(t) 2l
u1 (t)
x2
u1 (t)x.
以上4种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。
12
例1 求解下列问题： ut a 2uxx (0 x l, t 0),
u(0,t) t, u(l,t) 0,
无论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅 助函数 w(x,t), 通过函数代换 u(x,t) v(x,t) w(x,t),
使得对于新的未知函数v(x,t) 而言，边界条件是
齐次的。 我们以下面的问题为例，说明选取函数代换
的方法。（也可称为辅助函数法）
6
考察定解问题：
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0), (79)
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0), (79) 若边界条件不全是第一类的，也可采用类似方法 把非齐次边界条件化成齐次的。 我们就下列几种
非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数
w(x,t) 的表达式：
(1)
u(0,t) u1(t),
u(l,t) u2 (t);
sin
nx
l
(n
1,
2,
);
sin
(2n
1)x
2l
(n
1,
2,
);
(3) ux (0,t) 0, u(l,t) 0;
cos
(2n
1)x
2l
(n
1,
2,
);
(4) ux (0,t) 0, ux (l,t) 0;
cos
nx
l
(n
0,
1,
2,
);
以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和
sin 2 x cos 2
l
l
u(l,t) 6,
x
(0
x l,
t
0),
(91)
u ( x,0)
31
x , l
ut (x,0)
sin
4
l
x.
解 设问题的解为
u(x,t) v(x,t) w(x),
(92)
将(92)代入问题(91)中的方程，即得
vtt
a 2 (vxx
w(x)) sin 2
( na )2 (t
)e l
)
d
,
2l 2
(n )3 a 2
( na )2 t e l
1,
(90)
把(90)代入(89)v(
x,
t
)
n1
vn
(t
)
s
in
n
l
x,
可得
v( x, t )
n1
2l 2
(n )3 a 2
( na )2 t e l
1 sin
nx.
l
因此，原问题(87)的解为
vtt a 2vxx f1 (x, t) (0 x l, t 0),
v(0,t) v(l,t) 0,
v(x,0) 1 (x), vt (x,0) 1 (x).
f1 ( x, t )
f (x,t)
x l
u
2(t
)
u1(t
)
u1(t
),
其中
1 ( x)
(x)
x l
u2
(0)
u1 (0)
(80)
u(x,0) (x), ut (x,0) (x).
(81)
u(x,t) v(x,t) w(x,t),
(82)
w(0,t) u1(t), w(l,t) u2 (t),
(84)
其实满足(84)中两个条件的函数 w(x,t) 是很多的，
为了以后计算方便起见，通常取w(x,t) 为 x 的一次
u(x,0) (x), ut (x,0) (x). 如果方程中的自由项 f 和边界条件中的 u1, u2
都与自变量 t 无关，在这种情形下，我们可以选取
辅助函数 w(x), 通过函数代换 u(x,t) v(x,t) w(x), 使方程与边界条件同时化成齐次的。
16
例2 求解下列问题：
utt a 2uxx u(0,t) 3,