笔记-数学分析选讲
大一数学分析知识点笔记
大一数学分析知识点笔记一、实数与数系1. 实数的定义与性质实数由有理数和无理数组成，满足以下性质：- 实数集是一个完备的、有序的数系。
- 实数满足加法和乘法封闭性。
- 实数满足交换、结合和分配律。
2. 有理数与无理数有理数是可以表示为整数之间的比值的数，无理数是不能表示为有理数的比值的数。
3. 数系和数轴数系包括自然数、整数、有理数和实数，而数轴则是一种图示实数的工具。
二、极限与连续性1. 函数极限函数极限是函数在某一点上的趋近值。
常用的极限定义包括：- 函数极限的$\epsilon-\delta$定义。
- 函数极限的无穷小定义。
2. 无穷大与无穷小无穷大是指函数在某一点上无限趋近于正无穷或负无穷，无穷小则是指函数在某一点上无限趋近于零。
3. 连续性与间断点函数在某一点上连续是指函数在该点上既有左极限又有右极限，并且两者相等于函数值。
间断点则是指函数在某一点上不连续的点。
三、导数与微分1. 导数的定义与性质导数是函数在某一点上的变化率或斜率。
常用的导数定义包括：- 函数导数的极限定义。
- 函数导数的差商定义。
导数具有以下性质：- 可导函数一定连续，但连续函数不一定可导。
- 导数可以表示为函数的斜率。
- 函数的和、差、积、商的导数公式。
2. 高阶导数与微分高阶导数是指导数的导数，微分则是函数在某一点上的变化量。
3. 函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲程度，拐点则是指函数曲线变曲率的点。
四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质不定积分是函数的一个原函数集合，具有以下性质：- 不定积分的线性性质。
- 常用的基本积分公式。
2. 定积分的概念与性质定积分是函数在一定区间上的面积或曲线长度，具有以下性质：- 定积分的可加性与线性性质。
- 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法。
3. 定积分的应用定积分在几何、物理和经济等领域有广泛的应用，包括计算曲线下的面积、求解几何体的体积以及计算函数的平均值等。
大学考研数学分析笔记
大学数学学习提高群398643171大学《数学分析》笔记笔记：目标院校目标专业本科生笔记或者辅导班笔记讲义：目标院校目标专业本科教学课件期末题：目标院校目标专业本科期末测试题2-3套模拟题：目标院校目标专业考研专业课模拟测试题2套复习题：目标院校目标专业考研专业课导师复习题真题：目标院校目标专业历年考试真题，本项为赠送项，未公布的不送！目录第二模块笔记 (3)第一部分实数集与函数 (3)第二部分数列极限 (8)第三部分函数极限 (10)第四部分函数连续性 (15)第五部分导数与微分 (30)第六部分微分中值定理及其应用 (36)第八部分不定积分 (51)第九部分定积分 (54)第十部分定积分的应用 (60)第十一部分反常积分 (68)第十二部分数项级数 (72)第十三部分函数列与函数项级数 (90)第十四部分幂级数 (101)第十五部分傅里叶级数 (116)第十六部分多元函数的极限与连续 (131)第十七部分多元函数微分学 (136)第十八部分隐函数定理及其应用 (148)第十九部分含参量积分 (152)第二十部分曲线积分 (163)第二十一部分重积分 (166)第二十二部分曲面积分 (175)第二模块笔记第一部分实数集与函数§1实数数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概念一．实数及其性质：回顾中学中关于有理数和无理数的定义.有理数：若规定：则有限十进小数都能表示成无限循环小数。
例如：记为；0记为；记为实数大小的比较定义1给定两个非负实数其中为非负整数，。
若由1）则称与相等，记为2）若存在非负整数，使得，而，则称大于（或小于），分别记为（或）。
规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数，若按定义1有，则称实数的有理数近似表示定义2设为非负实数，称有理数为实数的位不足近似值，而有理数称为的位过剩近似值。
对于负实数的位不足近似值规定为：；的位过剩近似值规定为：比如，则1.4,1.41,1.414,1.4142,称为的不足近似值；1.5,1.42,1.415,1.4143,称为的过剩近似值。
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(导数的应用)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第8章导数的应用8.1复习笔记一、判断函数的单调性1．定理若f在〈a，b〉上连续，在〈a，b〉上可微且则2．推论在上述定理的全部条件下加上集不包含任何正长度的区间，则f严格二、极值和最值1．极值的充分判别法（1）判别法1设f在上连续，在上可微．如果当时，当时，那么必是f的极大值点．若判别法1中的不等号反向，则是f的极小值点．（2）判别法2若是ｆ的驻点且存在，则在时，必是f的极小（大）值点．2．f∈Ｃ[a，b]时的最值求法（1）区间[a，b]上最值的存在性若有限，则有界闭区间[a，b]上的连续函数必存在最大（小）值．（2）最值的可能点①设是f的最值点，如果，则必是它的极值可疑点，否则就是区间的端点a，b．②定理设的极值可疑点的全体为则3．任意区间上的函数最值求法（1）在任意区间〈a，b〉（开的或闭的，有界的或无界的）上，f的最值不一定存在，如果f在（a，b）上的确界能被f取到时，则确界就是最值．（2）设f在〈a，b〉上连续，有极值可疑点，且f（a＋）和f（b－）存在（有限或±∞）．当a＝－∞时，这里的f（a＋）由f（－∞）来代替．同样，当b＝＋∞时，f（b－）改为f（＋∞），记则三、函数的凸性1．凸函数（1）凸函数定义①设f在〈a，b〉上有定义，如果对一切及0＜λ＜1，成立不等式则称f是〈a，b〉上的下凸函数，简称为凸函数．如果不等式严格成立，则称f是〈a，b〉上的严格凸函数．②若－f是下凸函数，则称f是上凸函数．（2）凸函数的判别法①定理设f于〈a，b〉上可微，则f严格下凸严格②推论a．若f在〈a，b〉上二阶可微且，则f于（a，b）上严格下凸．b．若f在〈a，b〉上二阶可微且，则f于（a，b）上严格上凸．2．凸函数的性质（1）性质1（a，b）上的凸函数f（x）必连续且点点存在有限左右导数（2）性质2设f在〈a，b〉凸，则过任意点必存在直线使得f（x）的图形在该直线上方若f（x）严格凸，则上述不等式当且仅当时等号成立．（3）性质3设f在〈a，b〉凸，则对一切及正数列，成立不等式如果f严格凸，则上述不等式当且仅当时变成等式．3．0.618方法（黄金分割搜索法）（1）黄金分割法的用途0.618方法适用于求凸函数的最小值的数值解，同时对函数没有可微性要求．（2）命题设若则最小值点必在之中；若则最小值点必在之中．（3）黄金分割法求[a，b]上的严格下凸连续函数f的近似最小值点的算法：①取并求出及；②a．若，则取新区间为，为进一步提高精度，可取并求出而已不用另求了．b．若，则取新区间为，并求出，而已求出．反复以上过程，直到将最小值点定位在指定小的区间上为止．注：每次定位，区间长度缩短到原来的0.618倍，因此n次定位可将最小值点定在长度为的区间之中．四、函数作图1．渐近线（1）垂直渐近线若（或）为∞，则称x＝a为f的垂直渐近线．（2）斜渐进线和水平渐近线设f在（a，＋∞）上有定义，如果存在直线Y＝kx＋b，满足称该直线为f（x）在x→＋∞时的渐近线．若＝0，则称渐近线为水平渐近线，否则是斜渐近线．（3）渐近线的求法有两个求f在x→±∞的渐近线方法．①方法1若f（x）＝kx＋b＋ （1），其中（或则Y＝kx＋b是f在x→＋∞（或x→－∞）时的渐近线．②方法2Y＝kx＋b是f在x→＋∞的渐近线下列极限均存在2．y＝f（X）作图的一般步骤作f（x）图形的一般步骤：（1）确定函数f（x）的定义域、奇偶性及周期性．（2）求出f所有的极值可疑点（包括不连续点），记为，这里是f（x）的定义域的两个端点．（3）求出（在连续点，即为，是f的单调区间，这是因为在内不变号．若与不全存在，则可从的符号来确定f的单调情况．（4）求出它的渐近线．（5）求f的凸性区间．3．极坐标方程r＝r（θ）的作图设r（θ）是周期函数，周期为T＝απ且α是有理数．由于极坐标关于θ是以2π为周期进行循环的，故要得到r＝r（θ）的完整图形，θ应取在[0，2nπ]上，这里区间[0，2nπ]恰由整数个长为απ且互不重叠的子区间构成，即2n／α是整数．4．隐函数及参数方程的作图要作由F（x，y）＝0所决定的隐函数的图形，一般是先将方程F（x，y）＝0化成参数方程或极坐标方程的形式后再来作图的．五、向量值函数1．向量值函数（1）向量值函数的定义参数方程x＝x（t），y＝y（t），t∈〈α，β〉可写成向量形式：r＝r（t）＝（x（t），y（t））这里r＝（x，y）是起点在原点的向量，映射t→r（t）称为（二维）向量值函数．（2）向量值函数r（t）的极限、连续、导数及微分的定义①若都存在，则定义即向量值函数的极限等于各个分量的极限；②若x（t），y（t）在〈α，β〉上连续，则称r（t）＝（x（t），y（t））于〈α，β〉上连续；。
《数学分析选讲》教学大纲
《数学分析选讲》课程教学大纲一、《分析选讲》课程说明课程代码：0741123110课程英文名称：Selective Lectures of Mathematic Analysis开课对象：数学与应用数学本科生课程的性质：考试学时：72数学分析选讲是数学与应用数学专业重要的选修课,它是学生进一步学习分析数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识, 同时也可使其他理科专业学生进一步了解微积分学知识，是报考对数学要求较高的硕士学位研究生同学的必修课程。
本课程的前导课程为数学分析。
教学目的：通过本课程的教学，使学生系统拓展和加深数学分析中的基本技能、基本思想和方法,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和科学研究的初步能力.教学内容：本课程主要系统拓展和加深学习极限理论, 实数的连续性, 微分中值定理的及其应用, 常数项级数和广义积分,与“一致性”有关的几个概念及判别法, 多元函数微分学,多元函数积分学，两个极限过程的换序这八个核心内容。
教学时数教学时数：７2学时学分数：学分教学方式课堂讲授,课外习作及批改. 考核方式和成绩记载说明 考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。
二、讲授大纲与各章的基本要求第一章 函数与极限教学要点：本章主要研究内容为函数性质的确定；通过实例总结求数列与函数极限的方法，以及如何确定极限的存在性等。
教学时数：8学时。
教学内容： 第一节 函数1.1 求函数的定义域与值域1.2 由已知函数关系求函数)(x f 的表达式1.3 确定函数的性质 1.4 函数方程第二节 极限2.1 极限的概念 2.2 求极限的方法2.3 确定极限存在性的方法 考核要求：通过本章的学习，学生应能理解函数的定义，准确地确定函数的性质；熟练掌握极限的概念及耱极限的各种常用方法；掌握判断极限存在性的常用方法。
现代数学选讲(分析)一讲
物理应用
导数在物理学中也有许多应用， 如描述物体的运动状态（速度、 加速度等）、求解力学问题（如 牛顿第二定律）等。
经济应用
微分在经济学中有着广泛的应用， 如边际分析、弹性分析等。通过 微分可以研究经济变量之间的变 化关系，为经济决策提供科学依 据。
05
积分学基础
定积分概念及性质
01
定积分的定义
现代数学选讲(分析)一讲
目
CONTENCT
录
• 引言 • 实数与函数 • 极限与连续 • 导数与微分 • 积分学基础 • 级数理论初步 • 总结与展望
01
引言
课程目的与意义
加深对现代数学理论的理解
通过选讲现代数学中的核心概念和理论，帮助学生 更深入地理解现代数学的思想和方法，提高数学素 养。
拓展数学视野
定积分可以用来计算总收益、总成本、消费 者剩余、生产者剩余等。
06
级数理论初步
数项级数概念及性质
数项级数定义
由无穷多个数列项按一定顺序 排列而成的表达式，形如
$sum_{n=1}^{infty} a_n$。
收敛与发散
若数项级数的部分和数列有极 限，则称该级数收敛；否则称
该级数发散。
绝对收敛与条件收敛
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对未来学习的建议
深入学习相关课程
对于有兴趣在现代数学分析领域 深造的学生，建议他们继续学习 相关的高级课程，如实变函数、 复变函数、泛函分析等，以进一 步巩固和扩展他们的知识体系。
关注前沿研究领域
鼓励学生关注现代数学分析领域 的最新研究进展和前沿问题，参 加学术研讨会和阅读相关学术论 文，以培养他们的学术视野和研 究能力。
不定积分的性质
[0088]《数学分析选讲》资料
![[0088]《数学分析选讲》资料](https://img.taocdn.com/s3/m/29d69f57763231126edb1172.png)
[0088]《数学分析选讲》 第一次作业[论述题]1346658460111.doc 《数学分析选讲》 第一次 主观题 作业一、判断下列命题的正误1. 若数集S 存在上、下确界，则inf su p S S ≤.2. 收敛数列必有界.3. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. 4．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷.5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. 二、选择题 1．设2,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩, 则 [(1)]f f =( ) .A 3- ；B 1- ；C 0 ；D 22．“对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有2||2n x a ε-≤”是数列}{n x 收敛于a 的（ ）.A 充分必要条件；B 充分条件但非必要条件；C 必要条件但非充分条件；D 既非充分又非必要条件 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；C 必定有无穷多个 ；D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ ）．A 收敛；B 发散；C 是无穷大；D 可能收敛也可能发散 5．设a x n n =∞→||lim ，则 （ ）A 数列}{n x 收敛；B a x n n =∞→lim ；C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散；D a x n n -=∞→lim ；6．若函数)(x f 在点0x 极限存在，则（ ） A )(x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值； B )(x f 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值； C )(x f 在0x 的函数值可以不存在；D 如果)(0x f 存在的话必等于函数值7．下列极限正确的是（ ） A 01lim sin1x x x →=； B sin lim 1x x x →∞=； C 1lim sin 0x x x→∞=； D 01lim sin 1x x x →=8． 1121lim21xx x→-=+（ ）A 0；B 1 ；C 1- ；D 不存在三、计算题1．求极限 902070)15()58()63(lim --++∞→x x x x .2．求极限 211lim()2x x x x +→∞+-. 3．求极限2n n →∞+++ .4．考察函数),(,lim )(+∞-∞∈+-=--∞→x n n n n x f xxxx n 的连续性.若有间断点指出其类型. 四、证明题设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，且b a <. 证明：存在正整数N ，使得当N n >时，有n n b a <.参考答案：1346658460112.doc《数学分析选讲》第一次主观题作业答案一、判断题 1．（正确） 2．（ 正确 ） 3．（错误 ） 4．（ 正确 ） 5．（ 正确） 二、 选择题1、A2、A3、B4、B5、C6、C7、D8、D 三、计算题解 1、902070902070902070583155863lim )15()58()63(lim⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--++∞→+∞→x x x x x x x x2、211lim()2x x x x +→∞+=-21111lim 2211x x x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭211lim 21xx x x →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭2(4)21[(1)]lim 2[(1)]x x x x x→∞--+- 264e e e-==. 3、解：因2n ≤++≤+1n n==， 故 21n n →∞++=+。
数学分析选讲教案精选全文完整版
是 的聚点，
聚点是对数集而言，极限是对数列而言。聚点不一定是极限点，极限点也不一定是聚点。当收敛数列有无穷项相异时，则极限点比为聚点。
， 不是 的聚点，但数列有极限。
有聚点但不是没有极限点
20m
第3页共页
讲稿部分
教学过程
时间分配
聚点的等价定义： 是 的聚点，以下三个定义等价：
I 含有 的无穷多个点
而有限覆盖定理得作用与区间套定理相反，它是把函数在每点某邻域的性质拓展为函数在闭区间上所共有的性质。例如函数在闭区间上逐点连续推出函数在闭区间上一致连续。区间套与有限覆盖定理是同一事物的两个方面，可以相互转化，从反证法的观点来看，局部点的反面变成了整体，，反之亦然。
若函数 在 上有定义恒取正值，
= 则 在[a, b]上必有正的下界。
重点与难点
重点：函数的性质和实数理论。
难点：实数理论
教学方法
手段（教具）
讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合
参考资料
数学分析，高等数学，2005年数学研究生考题
2006年高等数学考试测试题
课后作业与
思考题
作业1.2.3.4.5.6
思考题：六个实数完备性定理的相互证明。
教学后记
讲稿部分
教学过程
时间分配
20m
第4页共页
讲稿部分
教学过程
时间分配
并记 显然 再由
这与 为 的唯一最值点矛盾。
4．多种方法证明
设函数 在 上只有第一类间断点（可以有无穷多个），证明
在 上有界
1． ：（致密性定理）反证，若 在 上无界，存在 ，可找出 ， 有界，必有收敛的子列
时 在 上无界。
小结：掌握函数的各种性质，理解初等函数的概念及复合运算。
数学分析专题选讲教案
数学分析专题选讲教案一、第一章：极限与连续性1.1 极限的概念定义：函数f(x)当x趋近于某一值a时，如果存在一个实数L，使得f(x)趋近于L，称f(x)在x=a处极限为L。
性质：保号性、传递性、三角不等式性质。
1.2 极限的计算极限的基本性质：0.9^n→0（n→∞）、(1+1/n)^n→e（n→∞）。
极限的运算法则：lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x)、lim (cf(x)) = c lim f(x)、lim (f(g(x))) = lim f(t) lim g(x)。
1.3 连续性的概念定义：函数f(x)在点x=a处连续，如果满足f(a)=lim f(x)（x→a）且对于任意ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε。
1.4 连续性的性质与判定连续函数的基本性质：保号性、可积性、可微性。
连续函数的判定：函数在某一点的极限存在且等于函数在该点的函数值，则函数在该点连续。
二、第二章：导数与微分2.1 导数的定义定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在x=a 处的瞬时变化率。
导数的几何意义：函数图像在点x=a处的切线斜率。
2.2 导数的计算基本求导法则：常数倍法则、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导。
高阶导数：f''(x)、f'''(x)等。
2.3 微分的概念与计算概念：微分表示函数在某一点的切线与x轴之间的距离，记为df(x)/dx|_{x=a}。
微分的计算：dx表示自变量的增量，微分的结果为切线的斜率乘以dx的值。
三、第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与计算概念：泰勒公式是一种将函数在某一点展开成多项式的公式，用于逼近函数在某一点的值。
泰勒公式：f(x)在某一点a处的泰勒公式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2++f^n(a)(x-a)^n+R_n(x)。
数学分析第一册讲义
么呢？事实上，自然数的定义是和加法联系在一起的，换言之，自然数可以用第一个数 1， 和后继这两个说清楚。自然数集合的严格定义如下（皮亚诺 Peano）：
（P1）有数 1； （P2）每一个数 m 都有一个后继，记为 m+1； （P3）1 不是任何数的后继； （P4）若 m+1=n+1，则 m=n； （P5）（归纳公理）若一个子集合满足（P1）（P2），则它就是自然数集。 其实这里定义了一个以 1 为首的一列“数字”队伍，我们依次称它们为 2，3，4，…。 这就解释了省略号的意思。 加法来自于我们解释后继为加 1，具体地说，n 的后继为 n+1，而 m+n 可以定义为 ( ((m 1) 1) ) 1；或者递归定义 m+(n+1)=(m+n)+1。可以证明（试一试！）这样定义的 加法满足： 交换率 m n n m ； 结合率 (m n) p m (n p) 。 因为自然数集合通过后继来定义，我们就得到了数与数之间的一种“序”的关系，大于、 等于和小于的意思于是就知道了。任给两个自然数 m 和 n，必有 m n, m n, m n 三种关 系中的一种出现，而且只有一种。这就是说，自然数可以比较大小。一会儿我们将看到，实 数比较大小要困难许多。 自然数这个定义对于微积分来说，非常重要的是第一次清晰、准确地刻画了一个无穷的 概念。我们没有定义任何一个数是无穷大，事实上，任给一个自然数 n，都存在比它更大的 数，如 n+1；但是，自然数逐渐加大的这样一个无穷的过程，定义了一个无穷。我们今后会 不断看到，这样一个作为过程的“无穷”。
说到这里，上面所有的内容并不涉及自然数的记法。有了乘法，就可以有数的进制。
数学分析选讲
数学分析选讲
数学分析是一门重要的数学学科，在科学研究、工程设计、商业应用等各个领域都有着深远的影响。
数学分析的核心在于对实数、复数的认识，以及对函数的理解与分析。
在数学分析中，有很多有趣的知识，值得我们深入学习。
以下是关于数学分析选讲的介绍：
一、函数分析
函数分析是数学分析中最基础、最重要的知识，它涉及函数的概念、性质、解法，广泛应用于各种科学领域。
函数分析的具体内容包括：函数定义、函数增减性、函数的导数、极限、微分、积分、曲线的拐点及分类等。
二、线性代数
线性代数是研究线性方程组、矩阵及其变换的数学学科，它是复杂问题分析的基础，具有重要的应用价值。
线性代数的内容包括：矩阵的运算、线性方程组的解法、向量空间及其子空间、矩阵特征值等。
三、微积分
微积分是探索连续变化与瞬时变化规律的数学理论，是数学分析的重要内容。
微积分的内容涉及微分、积分、微分方程以及各种解析和数值计算的方法。
四、概率论
概率论是研究不确定性随机事件、概率变量等概念及其运算的数学理论。
概率论的内容包括：随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、概率分布、条件概率等。
以上就是关于数学分析选讲的介绍。
通过数学分析，我们可以更好地掌握数学知识，运用数学原理解决复杂问题，从而为我们日常生活、科学研究、工程设计等提供有力的帮助。
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(集合)【圣才出品】
称为点 a 的δ闭邻域. ③去心邻域 设 a∈R，δ＞0．集合
则称为点 a 的δ去心邻域．
2．上界与下界
（1）上界
设 A 是一给定的数集，若存在数 M，使得
有 x≤M，则称 M 为集合 A 的一个
上界．
（2）下界
设 A 是一给定的数集，若 数 m，使得
有 x≥m，则称数 m 为集合 A 的一个
下界．
A－B 表示由在 A 中但不在 B 中的元素所组成的集，即 A－B＝{x|x∈A 且 x∉ B}．
（4）补集
设 A 是 X 的一个子集，A 的补集（又称余集） 定义为
，即属于 X 但
不属于 A 的元素的全体组成的集合．
6．集合运算公式
7．无限个集合的运算 （1）可列多个集合
的并集
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若 B 不是 A 的子集，则记为
．
（2）命题
A 是任意一个集合，必有
4．若干逻辑记号
（1）设 P，Q 是两个命题．
表示命题 P 成立时命题 Q 也成立，俗称从 P 可推
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出 Q．
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（2）
表示
且
即 P 成立的充要条件是 Q 成立．
为 infA．上、下确界统称确界．
（2）确界定理
上（下）有界的非空数集必存在（惟一）上（下）确界．
（3）上下确界常用的等价定义
①上确界等价定义
设 A 是一个数集，若数β（包括＋∞与－∞）满足以下两个条件：
a．
有 x≤β；
b．β的任一邻域
中都含集合 A 的元素，
则称β是 A 的上确界．
《数学分析选讲》考研很有用的参考资料(共15章)第11章
∑ ∑ ∑ ∞
(−1) n−1
n=1
2n + n
1x
2n
∞
= 2 (−1)n−1 x 2n
n=1
+
∞
(−1) n
n−1
x
2
n
n=1
= 2x2 1+ x2
+ ln(1 + x2 ) ．
（2）易求其收敛域为 (0, 2) ，记其和函数为 S (x) ，则由幂级数的逐项可微性可得
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ S (x) = (x −1) n(x −1)n−1 = (x −1) [(x − 1)n ]′ = (x −1)[ (x −1)n ]′
{ } (1 + n−1 )n+1 严格单调递减收敛于 e）．
（2）由于 lim n n→∞
3n + 2n n
= 3 ，所以收敛半径为 3−1 ．当 x = 3−1 时，
∑ ∑ ∑ ∑ ∞
n=1
3n
+ n
2n
xn
=
∞ 3n + 2n n
n=1
1 3n
=
∞ n=1
1 n
+
∞ n=1
2n n ⋅3n
，
右端第一个级数发散，第二个级数收敛，所以原级数发散．当 x = −3−1 时，
n =1
n =1
n =1
=
(x
−
1)⎢⎣⎡
x 2
− −
1 x
⎤′ ⎥⎦
=
x −1 (2 − x)2
．
（3）由比式判别法易知其收敛半径为 1，且当 x = ±1时，级数收敛，所以收敛域为
陈纪修数学分析笔记-1.1集合
陈纪修数学分析笔记-1.1集合近来打算趁着事情较少，学习⼀下数学分析，毕竟数学这东西，越早越学，越早养成思维，越有益处。
反复选择，最后来B 站看了陈纪修的数学分析课程，⽤ipad 写了笔记（也不知道能学多久）。
前⼏年见过有⼤神⽤LA T E X 边上课边做笔记，于是我便打算试试Markdown 来做⼀下，先把⾃⼰⼿写的打出来。
结论就是，⼤神就是⼤神，我连集合的符号都要不停地百度。
算了，还是⼿写⽅便，更加专注于思路，毕竟y (t )=1−e −ζωn t√1−ζ2sin(ωn √1−ζ2t +θ)和$y(t)=1 - \frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}t+\theta)$相⽐，前者⼿写快多了。
所以下⽂应该是第⼀篇笔记，也可能是最后⼀篇。
1 集合与元素§1 集合集合概念集合（集）： 具有某种特定性质，具体或抽象的对象汇集的总体。
集合的表⽰：1. 枚举法光基⾊的集合：{R, G, B}N +=1,2,3,...,n Z ={0,±1,±2,...,±n ,...}2. 描述法S ={x |x 满⾜性质P }Q ={x |x =qp ,p ∈N +且q ∈Z}[注]：集合表⽰⽆次序关系，重复的也没有意义{a ,b }={b ,c }={a ,b ,c }空集概念C ={x |x ∈R 且x 2+1=0}=∅⼦集：若S 的所有元素都居于T ，则S 是T 的⼦集，记为S ⊂TS ⊂T 表述x ∈S ⇒x ∈TS ⊄: 若S \subset T ，T 中⾄少有⼀个元素不属于S ，则S 不是T 的⼦集，记为S \not \subset TS \not \subseteq T ： 若S 属于T ，T 中存在⼀元素x 不居于S ，责任S 是T 的真⼦集S = T : 若S 、T 所有蒜素相同，则集合相同集合的运算并、交、差、补S 与T 的并：S 与T 汇集所成的集合S \cup T=\{ x|x \in S 或 x \in T \}S 与T 的交：S 与T 公共元素所组成S \cap T=\{ x|x \in S 且 x \in T \}S 与T 的差：居于S 但不居于T 的元素的集合S \setminus T=\{ x|x \in S 且 x \not \in T \}S 与T 的补集：设在X 集合中讨论问题，S\subset T ,则S 关于X 的补集S_X^C=\{ x|x \in X 且 x \not \in S \} = X \setminus S定律：交换律S \cup T = T \cup S, S \cap T= T \cap S结合律A \cup (B \cup D) = (A \cup B )\cup DA \cap (B \cap D) = (A \cap B )\cap D分配律A \cup (B \cap D) = (A \cup B )\cap (A \cup D)A \cap (B \cup D) = (A \cap B )\cup (A \cap D)对偶律(De Morgan)(A\cup B)^C = A^C \cap B^C(A\cap B)^C = A^C \cup B^C[证明]思路：左边包含于右边，右边包含于左边，互相包含证明A \cup (B \cap D) = (A \cup B )\cap (A \cup D)1 设x\in A\cup (B\cap D)则x\in A \quad 或者\quad x \in B且x \in D则x \in A \cup B \quad且\quad x\in A \cup D\therefore x \in (A\cup B) \cap (A\cup D) \Rightarrow A \cup (B \cap D) \subset (A\cup B) \cap (A\cup D)2 设x \in (A \cup B)\cap (A \cup D)则x \in A \cup B 且 x \in A \cup D可知x\in A 或 x \in B \cap D则x \in A \cup (B \cap D) \Rightarrow (A \cup B) \cap (A \cup D) \subset A \cup (B \cap D)证毕有限集合⽆限集有限集： S由n个元素组成（n是⾮负整数），则S是有限集。
《数学分析选讲》考研很有用的参考资料(共15章)第9章
第六章 级数理论§1 数项级数I 基本概念一 数项级数及其敛散性定义1 给定一个数列{，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式}n u ""++++n u u u 21 （1）称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为，其中称为数项（1）的通项． ∑∞=1n nun u 数项级数（1）的前项之和，记为，称之为（1）的前项部分和，简称为部分和．n ∑==nk kn uS 1n 定义2 若级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于（即S S S n n =∞→lim ），则称级数（1）收敛，并称为（1）的和，记为．若S ∑∞==1n nuS {}n S 是发散数列，则称级数（1）发散．二 收敛级数的基本性质1 收敛级数的柯西收敛准则级数（1）收敛的充要条件是：0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，，有+∈∀Z p ε<++++++p n n n u u u "21．2 级数收敛的必要条件：若级数∑收敛，则∞=1n na0lim =∞→n n a ．3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性．4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数亦如此），即收敛级数满足结合律．5 若级数适当加括号后发散，则原级数发散．6 在级数中，若不改变级数中各项的位置，只把符号相同的项加括号组成一新级数，则两级数具有相同的敛散性．7 线性运算性质若级数与都收敛，是常数，则收敛，且∑∞=1n nu∑∞=1n nvd c ,(∑∞=+1n n ndv cu)()∑∑∑∞=∞=∞=±=±111n n n n n n nv d u c dv cu．三 正项级数收敛性判别法1 正项级数收敛的充要条件是部分和数列∑∞=1n nu{}n S 有界．2 比较判别法 设与是两个正项级数，若存在正整数，当时，都有，则∑∞=1n nu∑∞=1n nvN N n >n n v u ≤（1）若收敛，则∑收敛；∑∞=1n nv∞=1n nu（2）若发散，则∑发散．∑∞=1n nu∞=1n nv3 比较原则的极限形式 设和是两个正项级数，且∑∞=1n n u ∑∞=1n n v l v u nnn =∞→lim，则（1）当+∞<<l 0时，和∑具有相同的敛散性；∑∞=1n nu∞=1n nv（2）当时，若∑收敛，则收敛；0=l ∞=1n nv∑∞=1n nu（3）当时，若发散，则发散．+∞=l ∑∞=1n nv∑∞=1n nu4 设∑和是两个正项级数，且∞=1n n a ∑∞=1n n b 0>∃N ，N n >∀，有nn n n b b a a 11++≤，则 （1）若收敛，则∑收敛；∑∞=1n nb∞=1n na（2）若发散，则发散．∑∞=1n na∑∞=1n nb5 比式判别法（达朗贝尔判别法） 设是正项级数，若及常数，有∑∞=1n nu00>∃N 0>q（1）当时，0N n >11<≤+q a a n n ，则级数收敛；∑∞=1n n u （2）当时，0N n >11≥+n n a a ，则发散．∑∞=1n n u 6 比式判别法极限形式 设为正项级数，且∑∞=1n n u q u u nn n =+∞→1lim，则（1）当时，收敛；1<q ∑∞=1n nu（2）当若时，∑发散；1>q +∞=q ∞=1n nu（3）当时失效．1=q 当比式极限不存在时，我们有 设为正项级数．∑∞=1n nu（1）若1lim1<=+∞→q u u n n n ，则级数收敛；（2）若1lim1>=+∞→q u u nn n ，则级数发散．7 根式判别法（柯西判别法） 设为正项级数，且存在某正整数及正常数l ，∑∞=1n nu0N （1）若对一切，成立不等式0N n >1<≤l u nn ，则级数收敛；∑∞=1n n u （2）若对一切，成立不等式0N n >1≥n n u ，则级数∑发散．∞=1n nu8 根式判别法极限形式 设为正项级数，且∑∞=1n nul u n n n =∞→lim ，则（1）当时级数收敛； 1<l （2）当时级数发散． 1>l 9 柯西积分判别法设为[上非负递减函数，那么正项级数与反常积分同时收f )∞+,1()∑∞=1n n f ()∫∞+1dx x f敛或同时发散．10 拉贝判别法 设为正项级数，且存在某正整数及常数∑∞=1n nu0N r ，（1）若对一切，成立不等式0N n >111>≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+r u u n n n ，则级数∑收敛；∞=1n n u （2）若对一切，成立不等式0N n >111≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+n n u u n ，则级数发散．∑∞=1n n u 注 拉贝判别法中（1）111>≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+r u u n n n 可转化为nru u n n −≤+11，1>r 收敛； （2）r u u n n n ≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+11可转化为nru u n n −≥+11，1≤r 发散． 11 拉贝判别法极限形式若r u u n n n n =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∞→11lim ，则有 （1）当1>r 时，收敛；∑∞=1n nu（2）当1<r 时，发散．∑∞=1n nu四 一般项级数1 莱布尼兹判别法 若交错级数，，满足下列两个条件：()∑∞=−−111n n n u 0>n u （1）数列{单减； }n u （2），0lim =∞→n n u 则收敛．∑∞=1n nu注 若交错级数满足莱布尼兹判别法，则其余项满足()∑∞=−−111n n n u ()x R n ()1+≤n n u x R ．2 绝对收敛级数及其性质 定义 对于级数，若∑∞=1n nu∑∞=1n nu收敛，则称绝对收敛；若收敛，而∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu发散，则称是条件收敛的．∑∞=1n nu显然，若绝对收敛，则一定收敛，反之不真．∑∞=1n nu∑∞=1n nu绝对收敛级数的性质： （1）重排性：若∑绝对收敛，其和为，则任意重排后所得级数亦绝对收敛，且有相同的和数．∞=1n nuS 此说明：绝对收敛级数满足交换律．对于条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于任何事先指定的数（Riemann ）．（2）级数的乘积 若和都绝对收敛，其和分别为∑∞=1n nu∑∞=1n nvA 和B ，则其乘积按任意方式排列所得的级数也绝对收敛，且其和为∑∞=1n n u ∑∞=⋅1n nvAB （柯西定理）．乘积的排列方式通常有两种：正方形和对角线法．3 一般级数收敛判别法一般级数除应用前面正项级数方法判定其绝对收敛以外，莱布尼兹判别法和下面的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法则是判定其可能条件收敛的主要方法．（1）狄利克雷判别法 若数列{单减收敛于零，的部分和数列有界，则级数收敛．}n a ∑∞=1n nbnn n ba ∑∞=1注 莱布尼兹判别法是狄利克雷判别法的特例，Abel 判别法亦可由狄利克雷判别法推证．（2）阿贝尔判别法：若数列{单调有界，∑收敛，则级数收敛．}n a ∞=1n nbnn n ba ∑∞=1五、常用于比较判别法的已知级数（1）几何级数∑，∞=1n nq1<q 收敛，1≥q 发散；（2）级数−p ∑∞=11n p n ，时收敛，1>p 1≤p 发散； （3）()∑∞=2ln 1n pn n ，时收敛，1>p 1≤p 发散．II 例题选解一 级数敛散性判别例1 讨论下列级数的敛散性． （1）∑∞=+111n nx，； 0>x （2）∑∞=1sinn nx，． R x ∈解（1）10<<x ，，0→n x 0111≠→+nx，发散； 1=x 时，02111≠→+nx，发散； 1>x 时，nn x x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛<+111，∑∞=11n n x 收敛，故∑∞=+111n nx 收敛． （2）当时收敛，当时，发散． 0=x 0≠x 例2 已知∑收敛．∞=12n na（1）判定()∑∞=+−1211n n n n a 的敛散性；（2）证明：∑∞=2ln n n nn a 收敛．（武汉大学）解（1）()222221112111n a n a n a n nn+≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛++≤+⋅−，与∑∞=12n n a ∑∞=121n n 均收敛，从而原级数收敛（绝对收敛）．（2）仿（1），由五（3）知其收敛． 例3 判断下列级数的敛散性． （1）∑∞=+−1)]11ln(1[n n n ；（东北师大）（2）∑++++−)]!1!21!111([n e "；（东北师大） （3）∑∞=142sin3n n n ； （4）∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−1cos 1n pn π，（） 0>p （5）∑∞=1!n n n nn a （）；e a a ≠>,0（6）()∑∞=−−+11312n n n ；（7）∑∞=−>−+111)0()2(n nna aa；（8）∑∫∞=+104411n n dxx ；（9）∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−21111n n n n ； （10）()()∑∞=+2ln ln 1n n nn n ；（11）∑∞=3ln n pnn（）； 0>p （12）()()∑∞=++11ln 11n pn n （）；（0>p 1=p 为大连理工） （13）()∑∞=+++1!2!!2!1n n n "； （14）()∑∞=⎦⎤⎢⎣⎡−+111ln n p n n （）； 0>p （15）()()∑∞=⋅−11!!2!!12n n n n ；（16）()∑∞=1ln ln 1n nn ； （17）∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−2ln 1n nn n p （）； 0>p（18）()()()∑∞=+++12111n nnx x x x "0≥x （）； （19）()∑∞=+−⋅−+211ln1n pn n nn （）； 0>p （20）()∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−110310021n nnn n ；（21）()()∑∞=−+−211n n n n ； （22）∑∞=1cos n pn nx（π<<x 0）； （23）"+−−−+−−+−+2222222222； （24）()[]∑∞=−11n n n；（25）()()∑∞=2ln ln ln 1n qp n n n ；（大连理工1998） （26）∑∞=+−11n nn n；（中科院2002）（27）∑−nnnarctan )1(（北京大学1999）．解（1）由于)(1ln ln 1)1ln(1)]11ln(1[111∞→→++−=+−=+−=∑∑∑===n c n n n k n k k k S nk n k nk n ，其中c 为欧拉常数，所以级数收敛．（2）由于""++++=++++−<)!2(1)!1(1)!1!21!111(e 0n n n ))3)(2)(1(1)2)(1(111(!1"+++++++++=n n n n n n n 22)!1(2))3)(2(1)2)(1(111(!1nn n n n n n n <+=++++++++<"， 由比较原则知其收敛．（3）24342sin 3→⎟⎠⎞⎜⎝⎛nnn⇒ 收敛；（4）21021~cos 12≤<⇒⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−p n n pp ππ发散，21>p 收敛； （5）()()e a n n a n n a n n a nn n n n →⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅=⋅++⋅++1!1!111e a <<⇒0收敛，发散； e a >（6）()131312<→−+n n n⇒收敛；或()()∑∑∑∞=−∞=∞=−−+=−+111113131232n n n n n n n n ，收敛；或()1131312−−≤−+n nn ，收敛；（此乃正项级数）（7）220222121211)ln 2((lim )21()(lim )21()2(lim a x a a na a n a a x x x nnn nnn =−=−=−+−+→−∞→−∞→⇒收敛； 注：利用的Maclaurin 展开式估计分子的阶． x a （8）204421110nxdxdxx a n n n =≤+=<∫∫⇒ 收敛； （9）()nn n nn n n n n n −=−−=−−−111111=n n −231⇒收敛； 或⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−n o n n n n n n 11111111111⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++=23231111n o n n n ⇒⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−−−=2323111111n o n n n n a n （∞→n ）收敛；∑∞=⇒1n n a （10）()()()()nenn n n nn n nn nnnln ln 1ln 11ln ln ln ln +⋅=+=+，而()01ln ln →+⋅nn n ，从而上式极限为零，⇒收敛；（11）当10≤<p 时，nn n p 1ln ≥（）发散； 3>n ⇒ 当时，1>p ()()21211ln 1ln −−+⋅=p p p nnn n n ，当充分大时， n ()1ln 21<−p n n ⇒ ()2111ln −+≤p p nn n ⇒收敛．或当时，1>p 0ln 1ln 1ln 121<−=⋅−⋅=′⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−p p p pp x x p x xpx x x x x （），即单减．由柯西积分判别法知原级数收敛．3>x （12）()()()pn n n u 1ln 11++=单减，故可用柯西积分判别法，令()()()1ln 11++=x x x f p ，，易知当1≥x 1=p 时，发散，时亦发散，而时收敛．()∫∞+1dx x f 10<<p 1>p （13）()()()2121!2!!2!!2!1+≤⋅≤+++n n n n n n "（）收敛； 3≥n ⇒（14）由泰勒公式（皮亚诺余项形式）得：()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+p p n p n p n n o n n n 221121111ln ()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅−−=p p p nn o n n 2211211，当绝对收敛，1>p 121≤<p 条件收敛，210≤<p 发散． 注 能否利用()()p np n n n 1~11ln −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⇒()∑∞=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+111ln n p n n 收敛？（此法仅用于正项级数）．（15）()()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=+⋅++=⋅−+⋅++=+1112211122121!!2!!1211!!22!!121n n n n n n nn n n n n a a n n()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=+++−=11123112112312n o n n n 由拉贝判别法知其收敛．（16）+∞→n ln ，则当较大时，，n 2ln e n >()()2ln 2ln 11ln 1n en n n =<⇒收敛； （17）根式判别法失效．先估计它的阶，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=n n p n nn e n n p u ln 1ln ln 1，n npn n p ln ~ln 1ln −⎟⎠⎞⎜⎝⎛−（）， ∞→n 从而可以估计，于是可讨论pn nu −~n p p nu n nu =的极限，为此()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∞→∞→∞→n n p n n p n n p n u n n np n n pn ln 1ln ln lim ln 1ln lim ln lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−=−∞→n n p n p n n n 1ln 1ln 1ln 11lim1()[]x px x px xx ln ln 1ln 1lim0−+=→ ()0ln 1ln ln lim 220=++−=→xpx x x x x p x 故，，所以当时收敛，当1lim =∞→n pn u n p n n u −~1>p 1≤p 时发散．（18）当时级数显然收敛； 0=x 当时，，故收敛；10<<x n n x u <当时，1=x nn u ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=21，收敛；当时，1>x ()()()112111111−−<+<+++=n n n nn x x x x x x u "，收敛．（19）()()())(12121~1112∞→⋅=++=−+n nn nn nn p p ppp， )(2~12~121ln 11ln∞→−+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=+−n n n n n n ， 所以，211121~p p n n a +−⋅−)(∞→n ，由此易得：时收敛，0>p 0≤p 时发散． 注 等价无穷小替换法仅适用于同号级数．（20）()132103100210310021<→++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−n n n n n nn，绝对收敛． （21）()()()()()111111111−+−−=−−−−=−+−=n n n n n n u nnnnn n ， ()()()0121112112221<−−−=−−−⋅=′⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−x x x x x x xx x （） 1>x 由莱布尼兹判别法，()∑∞=−−211n nn n 收敛，而∑∞=−111n n 发散，故原级数发散． （22）当，发散，，绝对收敛，当0≤p 1>p 10≤<p 时，由狄利克雷判别法知其收敛．事实上，212sin 21sin cos 3cos 2cos cos −⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=++++x xn nx x x x "，()π,0∈x ，有界．（23）法一：212sin24sin24cos22πππ====a ，322sin 24cos 1222ππ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=a ，4332sin 22cos 224cos 122222πππ=−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=−−=a ，……12sin2+=n n a π，……于是原级数可表为∑∞=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++21322sin 22sin 2sin 2sin 2n n n ππππ""，收敛．法二：记21=A ，222+=A ，2223++=A ，……则，于是2→n A 121222lim 222lim 222lim lim 22111<=−+−=−+−=−+−=→→−−∞→+∞→x x x x A A a a x x n n n nn n ，收敛．（24）将级数中相邻且符号相同的项合并为一项，得一新级数()()∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−++++−12221111111n nn n n " 注意到通项中共有项，其中前项之和和后12+n n 1+n 项之和分别夹在11+n 与n1之间， n n n n n n n n n n n n n 11111122222=<−+++<−+<+=" ()nn n n n n n n n n n n n n 11211211122222=++<++++<+<+=+" 因此()nn n n n 211111112222<−+++++<+" 由此得其单减，从而为收敛级数，而原级数的部分和总是夹在新级数某相邻的二部分和之间，所以原级数也收敛．（25）当时，则当时收敛，1=p 1>q 1≤q 时发散，此时级数的敛散性等同于无穷积分()∫∞+2ln ln ln qx x x dx的敛散性．由无穷积分立得 ()∫∞+2ln ln ln q x x x dx ()∫+∞→=A q A x x x dx2ln ln ln lim ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞+>−=+∞==−+∞→+∞→1,1,ln ln 11lim 1,ln ln ln lim 212q q x q q x A qAA A 收敛， 当时发散，时收敛，事实上，1<p 1>p 当时，1<p ()()()()n n n n n n n n n q pqp ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln ln 11>⋅=−（n 充分大） 当时，1>p ()()()()()()()2121211ln 1ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln 1+−−+<⋅=p q p p q p n n n n n n n n n ． （26）由 及发散知级数发散．∑−1n（27）由于{单调有界，}n arctan ∑−nn)1(收敛，由阿贝尔判别法知其收敛．思考题1 判别下列级数的敛散性： （1）∑∞=+−−++122)11(1n n n n n n ；（复旦大学1997） （2）∑∞=123ln n nn；（复旦大学1998） （3）∑∞=122sinn nn π；（复旦大学1999）（4）∑∞=−122sin)53(n n n n π；（复旦大学1999）（5）)0()1()2ln(1>++∑∞=a n a n n n；武汉理工大学2004） （6）∑∞=−11sin 1(n n n α．（南京理工2004） 提示：（1）分子有理化，发散； （2）收敛；（3）仿上例（3），收敛；（4）当为偶数时，通项为0，去掉这些为0的项以后所得级数为交错级数，收敛，n从而原级数收敛（考察它们部分和数列之间的关系）．（5）由级数收敛的必要条件知当1≤a 时发散；当由比式判别法知其收敛； 1>a （6）利用的Taylor 公式讨论． x sin 例4 讨论级数∑∞=11n pn的敛散性．分析：，柯西准则，发散；1=p 1>p ，柯西积分判别法，收敛； 1<p ，比较判别法，发散．例5 证明 （1）若级数收敛，则∑∞=12n n a ∑∞=1n nn a 收敛；（淮北煤师院2004） （2）若，则发散，而∑收敛；（南开大学2001）0lim ≠=a na n n∑∞=1n na∞=12n na（3）若是收敛的正项级数，则当∑∞=1n n a 21>p 时，级数∑∞=1n p n na 收敛（中科院2002）． 分析：（1）⎟⎠⎞⎜⎝⎛+≤22121n a n a n n ； （2）01≠→=a na na n n ，发散，而∑收敛； ∑∞=1n n a ∞=12n na （3）同（1）．或：由Cauchy 不等式211221111⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤∑∑∑===nk p nk k nk pk k a k a ； 知其部分和有界，从而收敛．例6（兰州大学2000）设是单调递减数列，试证明： 0>n u （1）若0lim ≠=∞→c u n n ，则∑∞=+−11)1(n nn u u 收敛； （2）若0lim =∞→n n u ，则∑∞=+−11)1(n nn u u 发散． 证（1）由单调有界定理知，再由极限的柯西收敛准则知：0>≥c u n 0,0>∃>∀N ε，当，有+∈∀>Z p N n ,εc u u p n n <−+，又单调递减，所以，当时，有n u +∈∀>Z p N n ,ε<−≤−++−+−+−+++++np n n p n p n n n n n u u u u u u u u u )1()1()1(1121"，由级数的柯西收敛准则知其收敛．（2）由于1)1()1()1(1121−=−≥−++−+−+++−+++++pn n p n p n n p n p n n n n n u uu u u u u u u u u "，令得上式右端的极限为，由柯西准则知∞→p ∞+∑∞=+−11)1(n nn u u 发散． 例7（华东师大1997）设级数∑∞=1n nn a收敛．试就∑n a 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明：级数n n an n+∑∞=1也收敛．证 当为正项级数时，∑na1lim=+∞→nn a n a n n n ，由比较判别法知n n an n+∑∞=1收敛．当∑∞=1n n n a 为一般项级数时，nn a n n a n n n n 1111+=+∑∑∞=∞=，由阿贝尔判别法知它是收敛的．思考题2（华东师大1998）已知为发散的一般项级数，试证明∑∞=1n n a ∑∞=+1)11(n n n a 也是发散级数．提示：用反证法．假设∑∞=+1)11(n n n a 收敛，则∑∑∞=∞=++=11)1)(11(n n n n n n n a a ，由阿贝尔判别法知收敛，矛盾．∑∞=1n na例8（北京工业大学2000）设和正项数列{}n a 单调减少，且级数发散．令n n na ∑∞=−1)1(nn a a a u ++⋅+=11111121"，.,2,1"=n试问级数∑是否收敛，并说明理由．∞=1n nu证 级数收敛．这是因为：由级数发散和正项数列单调减少知，且由单调有界定理知，于是∑∞=1n nun n na ∑∞=−1)1({}n a 0lim >=∞→a a n n a a n ≥nn n n aa a a a u )11()1(111111121+=+≤++⋅+="， 由比较原则知收敛．∑∞=1n nu例9（北方交通大学1999）已知.,2,1,,01"=≤>+n a a a n n n 讨论级数"""++++na a a a a a 21211111 的敛散性．解 由单调性假设知存在极限0lim ≥=∞→a a n n ，则a a a a n n n =∞→"21lim ，由柯西根式判别法知，当时收敛，当时发散，当1>a 1<a 1=a 时，例10（中国矿大北研部）设，0>n a n n a a a S +++="21，级数．试证：∞=∑∞=1n na（1）∑∞=1n nnS a 发散；（武汉大学） （2）∑∞=12n nnS a 收敛．（东北师大） 证 （1），，于是0>n a ↑n S pn n p n pn n k kpn n k k k S S S a S a ++++=++=−=≥∑∑111． 而，故，从而当充分大时，∞=∑∞=1n n a +∞=++∞→p n p S lim p 21<+pn n S S ， 211≥∑++=pn n k kk S a ．由柯西收敛准则知其发散．（2）11211211122121111a S S S S a S S a a S a n nk k k n k k k k nk kk ≤−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=+≤∑∑∑=−=−=，部分和有界，故收敛．例11（华中科技大学） 若0lim 1=+∞→n n a ，()0lim 21=+++∞→n n n a a ，…，()0lim 21=++++++∞→p n n n n a a a "，…，试问是否一定收敛？为什么？∑∞=1n n a 解 不一定．如级数∑∞=11n n，有 )(01121110∞→→+<++++++<n n p p n n n "； 但∑∞=11n n 发散．例12（上海交大） 若 1lim 1sin 2=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅∞→n nn n a n ，则级数是否收敛？试证之．∑∞=1n n a 解 由于11sin2→−nn n na （∞→n ），而()432sin 21sin2110−⋅−−≤=<−−nnn n n nn （n 充分大），由比较判别法知∑∞=−11sin2n nn n收敛，再由比较判别法知收敛．∑∞=1n na例13 设且单减，试证与同时敛散．0>n a ∑∞=1n na∑∞=122n nn a 证 因为对正项级数任意加括号不改变敛散性，因此由∑∞=1n na()()()""++++++++++=1587654321a a a a a a a a a∑∞==++++≤02232221222232n n n a a a a a "和∑∞=1n na()()()"""++++++++++=169854321a a a a a a a a∑∞=+=+++++≥02116842122121842n nn a a a a a a a "知两级数具有相同的敛散性．例14 若正项级数收敛，且（∑∞=1n nan n nb a n a e a e++=",2,1=n ）．证明 （1）∑收敛；（华东师大）∞=1n nb（2）∑∞=1n nna b 收敛．（北京理工大学2003）证 解出得：n b ()0ln lim >−=∞→n a n n a eb n，而收敛，故当n 充分大时，∑∞=1n n a nnn a b b <，从而（2）收敛立得（1）收敛．由收敛的必要条件得)(0∞→→n a n ．又因为()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++++=−n nn n n a a a a a a e n"!3!21ln ln 32()n n n a o a a =++"32!3121~， 即 0lim=∞→nn n a b ，由级数收敛得∑∞=1n n a ∑∞=1n nn a b收敛． 例15 研究级数∑∞=121n nx 的敛散性，这里是方程n x x x tan =的正根，并且按递增的顺序编号．解 解方程得：()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+∈ππππn n x n 2,12，()22111−<n x n ，，收敛． 1>n 例16 设，，11=u 22=u 21−−+=n n n u u u （）．问收敛吗？3≥n ∑∞=−11n nu解 由于03323233211211111<−=−=−=−+−−+−+++n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u （）； 3>n 所以 321111≤=+−−+n n n n u u u u （由的前若干项预测）；由比式判别法知其收敛． n u 例17 设，证明级数 0>n a ()()()∑∞=+++121111n nna a a a " 收敛． 解 由于()()()()()()()()n n n a a a a a a a a a a a a a S +++++++++++++=<111111111021321321211""()()()()()()()"""++++++++−=+++++=321321212121111111111a a a a a a a a a a a a()()()()()()n n a a a a a a a ++++++++−=1111111121321"" ()()()1111121<+++−=n na a a a "即部分和有界，所以收敛．例18（上海师大）证明：级数："+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−4131211713121151211311是收敛的．解 这是交错级数，且()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=n n n n n n a n 12111212121211121""111121112112111221121+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++++>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−++=n a n n n n n n ""， ()()0ln 1211211121→++−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=n n n c n n n a ε"． 由莱布尼兹判别法知收敛．∑∞=1n na例19（合肥工大2001）已知正项级数∑na 和∑nb 都发散，问下列级数收敛性如何？（1）∑； （2）),min(nnb a ∑),max(nnb a ．解（1）可能收敛，也可能发散，例如，取，则1−==n b a n n ∑),min(nn b a 发散；若取，，则n n a )1(1−+=1)1(1+−+=n n b 0),min(≡n n b a ，∑),min(nn b a 收敛．（2）一定发散，这是因为． n n n a b a ≥),max(思考题3（复旦大学1997）证明：如果任意项级数∑nu和∑nv都收敛，且成立.1,≥≤≤n v w u n n n则收敛．∑nw提示：利用柯西收敛准则．思考题4（上海交大2004）设.,2,1,1,11212"+==∫+−n dx x x n x n nn n 证明收敛．∑∞=−−11)1(n nn x 提示：12212111−+=<<+=n n n x n x n x ，应用Leibniz 判别法即可．例20（华东师大2000）设收敛，∑∞=1n na0lim =∞→n n na ．证明：．∑∑∞=∞=+=−111)(n n n n na a an 证 记级数的前n 项和为，则∑∞=−−11)(n n na an n S 12113221)()(2)(++−+++=−++−+−=n n n n n na a a a a a n a a a a S ""，而0])1(1[lim lim 11=+⋅+=+∞→+∞→n n n n a n n nna ，所以∑∑∞=∞=+=−111)(n n n n na a an ．思考题5（合肥工大2000）设数列{}n a 单调，且级数收敛于A ．证明：级数收敛，并求其和．∑∞=1n na∑∞=+−11)(n n na an 思考题6（北京工业大学2001）设数列{}n na 收敛，00=a ，级数收敛，证明：级数收敛．∑∞=−−11)(n n na an ∑∞=1n na思考题7（安徽大学2003）若级数满足：∑∞=1n na（1）；0lim =∞→n n a （2）∑收敛，∞=−+1212)(n n n a a证明：收敛．∑∞=1n na思考题8（华东师大2003）若级数满足：∑∞=1n na（1）；0lim =∞→n n a （2）∑收敛，∞=−−1212)(n n n a a证明：收敛．∑∞=1n na例21（吉林大学）证明级数"+−++−++−+611119141715121311发散到正无穷．证 记.,2,1,141241341"=−−−+−=n n n n a n 则nnna n 1)331(3142−=−>，而∑n1发散到正无穷，所以，+∞=∞→n n S 3lim ．又因为，故．n n n S S S 31323>>+++∞=∞→n n S lim 注（1）若要证明级数发散，则只需证明+∞=∞→n n S 3lim 即可．（2）在证明{收敛或发散时，有时通过求其子列的敛散性而使问题变得简单． }n S 思考题9（武汉大学1999）级数""+−−+++−+−nn 21)12(1514131211222 是否收敛？为什么？提示：考察． n S 2例22 证明：级数收敛的充分必要条件是：对于任意的正整数序列{和正整数数任意子序列{，都有∑∞=1n na}k p }k n .0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a "证 必要性．设级数收敛，则由柯西收敛准则得：∑∞=1n na,0,0>∃>∀N ε当时，，都有N n >+∈∀Z p ε<++++++p n n n a a a "21，从而当时，，于是对于任意的正整数序列N k >N n k >{}k p ，有ε<++++++k k k k p n n n a a a "11，即 .0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a "充分性．反证法．若发散，则，使得∑∞=1n na+∈∃>∃>∀>∃Z p N n N ,,0,00ε021ε≥++++++p n n n a a a "，特别地，分别取,,1,1111+∈∃>∃=Z p n N 使得 0211111ε≥++++++p n n n a a a "，{}+∈∃>∃>Z p N n n N 22212,,,2max ，使得 0212222ε≥++++++p n n n a a a "，如此下去，得一正整数子序列{和正整数序列}k n {}k p ，恒有011ε≥++++++k k k k p n n n a a a "，这与已知条件矛盾．二 绝对收敛与条件收敛例23 判别下列级数是条件收敛，还是绝对收敛： （1）()∑∞=+−−1111n np n n（南京师大2002，1=p 为武汉大学1995）；（2）∑∞=−1sin)1(n nnx（内蒙古大学）； （3）)0()23()1(12>−+−∑∞=x n n n xn（复旦大学1997）． 解（1）当时，不趋于0，发散； 0≤p n u 当时，原级数绝对收敛； 1>p 当时，10≤<p ()∑∞=−−1111n p n n收敛，nn 11单调有界，由阿贝尔判别发知其收敛，但 ()1111→−−+−p np n n n（∞→n ）；故原级数条件收敛．（2）当时绝对收敛，当0=x 0≠x 时，不妨设，则0>x 0>∃N ，当时，有N n >20π<<x ，且nxsin关于单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛． n 又因为)(1sin)1(∞→→−n nx n xn ，而∑∞=1n n x发散，故原级数条件收敛．（3）当时，数列0>x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+x n n )23(12单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛．又因为 ，所以222423n n n n <−+<xx n x x nn n n 2221)23()1(41≤−+−<，从而，当21>x 时，绝对收敛，当21≤x 时，条件收敛． 思考题10（武汉大学2005）判别级数∑∞=2sin ln ln ln n n nn是否绝对收敛或条件收敛． 思考题11（南京大学2001）设1,0,1,111≥>>++=+n x k x x k x nnn ．（1）证明：级数绝对收敛；∑∞=+−01)(n n n x x（2）求级数之和．∑∞=+−11)(n n n x x例24（北京大学1999,中国矿大1999，安徽大学2000，2001）设()x f 在的某邻域内有二阶连续导数，且0=x ()0lim 0=→x x f x ．证明：级数∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛11n n f 绝对收敛．证 由()0lim=→xx f x 得，()00=f ()00=′f ，()x f 在0=x 某邻域内的二阶泰勒展式为()()()()()22212100x x f x x f x f f x f θθ′′=′′+′+=，10<<θ 由连续知，，有()x f ′′0>∃M ()M x f ≤′′，从而有2121nM n f ⋅≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 故∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛11n n f 绝对收敛． 思考题12 证明：（1）（华南理工大学2005）设是偶函数，在)(x f 0=x 的某个领域中有连续的二阶导数， 则级数.2)0(,1)0(=′′=f f ∑∞=−1)11((n n f 绝对收敛．（2）（浙江大学2004）设函数在区间)(x f )1,1(−内具有直到三阶的连续导数，且，0)0(=f .0)(lim 0=′→x x f x 则∑∞=2)1(n n nf 绝对收敛．例25 设（）单调，且级数0>n a ",2,1=n ∑∞=11n n a 收敛，讨论级数()∑∞=++−111n nn a a n"是条件收敛还是绝对收敛．解 由于且单调，故0>n a 01→na ↑⇒n a ()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++<++++⋅−=<+++⋅−++,2112121,22211221122212n n n n nn n n a a n n a a a n a na n a a a n "" 由已知条件，∑∞=12n na 收敛，故原级数绝对收敛． 例26 （哈尔滨工大2000）证明：若级数∑收敛，且级数绝对收敛，则级数收敛．∞=1n nb(∑∞=−−11n n na a)∑∞=1n nn ba 证 设n nb b b S +++="21，则1−−=n n n S S b ，于是由收敛知：，∑∞=1n nb0>∃M M S n ≤，．由收敛知：",2,1=n (∑∞=−−11n n n a a )0>∀ε，01>∃N ，1,N m n >∀，有ε<−++−+−−+−111m m n n n n a a a a a a "，又收敛，对上述{}n S 0>ε，，02>∃N 2N n >∀，，有2N m >ε<−m n S S ，取{}1,max 21+=N N N ，于是，当时，N m n >,m m n n n n b a b a b a +++++"11()()()1111−++−−++−+−=m m m n n n n n n S S a S S a S S a "[]()11121−−+++−+−+−++−+−≤n m n n m m m n n n n S S a a a M a a a a a a M "εM 3<．由柯西收敛准则知级数∑收敛．∞=1n nn ba 另证收敛⇒∑∞=1n nb0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，，有+∈∀Z p ε<∑++=pn n k kb1．记，，则∑++==in n k ki bS 1p i ,,2,1"=ε<i S ，p i ,,2,1"=．由绝对收敛得其部分和有界，即，有(∑∞=−−11n n na a)0>∃MM a aS mn n nm ≤−=′∑=−11，",2,1=m ．由阿贝尔定理得p n p p n p n p n n n n pn n k kk a S a a S a a S a a S ba ++−+−++++++=+−++−+−≤∑113222111"p n p a S M ++≤ε又M a a a a a a a p n p n p n +<−++−+=−+++01010"，从而()012a M ba pn n k kk +≤∑++=ε．由柯西收敛准则知其收敛．例27（华东师大2001）证明：若级数绝对收敛，则级数也绝对收敛．∑∞=1n na∑∞=+++121)(n n na a a a"证 记，则由绝对收敛知收敛，所以{有界，即，有n n a a S ++="1∑∞=1n na∑∞=1n na}n S 0>∃M .,2,1,"=≤n M S n 于是有n n n a M a a a a ≤+++)(21"，由绝对收敛知级数∑也绝对收敛．∑∞=1n na∞=+++121)(n n na a a a"思考题14（华中科技2004）设，求级数之和．)(),1(,010∞→→≥==∑=n b x n ax x n nk kn ∑−+)(1n n nx x a提示：1−−=n n n x x a ．例28 证明：若对任意收敛于0的数列{}n x ，级数∑都收敛，则级数绝对收敛．∞=1n n nx a∑∞=1n n a 分析 问题等价于：若级数∑na发散，则至少存在一个收敛于0的数列{，使得级数发散，于是问题转化为：从}n x ∑n nx a∑+∞=n a 出发，构造出满足条件的数列{．联想例10中（1）的结论立明．}n x证 假设∑∞=1n n a 发散，记其前项和为，则n n S +∞=∞→n n S lim ．取210=ε，，，由0>∀N N n >∃+∞=∞→n n S lim 得 210lim<=∞→mn m S S ，从而当充分大（）时，有m n m >21<m n S S ，于是0221121ε=>−≥+++++=++m n m m m n n n n S S S S a S a S a "， 由柯西收敛准则知级数 ∑∞=1n n n S a 发散，取1,1≥=n S x nn ，则0lim =∞→n n x ，且发散，这与题目的条件矛盾，故命题成立．∑∞=1n n n x a 思考题15（中国人民大学2000）若正项级数发散，则存在收敛于0的正数序列，使得级数发散．∑∞=1n na{}n b ∑∞=1n n n b a 例29 研究级数∑∞=1sin n n n的收敛性．记其前n 项和为，将其分成两项 n S −++=nn n S S S ， 其中分别表示前n 项和中所有正项之和与负项之和．证明：极限−+nnS S ,−+∞→nnn S S lim 存在，并求其值．证 由Dirichlet 判别法知其收敛．又因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=−=≥111212cos 21121sin sin n n n n n n n n n n ，右端第一个级数发散，第二个级数收敛（利用Dirichlet 判别法），从而∑∞=1sin n n n非绝对收敛． 由于)(sin 2122)(1∞→−∞→−=−−+=∑=−+−+−n k k S S S S S S n k n n n n n n，所以，1)1(lim lim lim −=−=−+=−∞→−−−+∞→−+∞→nnn n n n n n n n n S S S S S S S S ． 注 此例给出了条件收敛与绝对收敛的一个本质区别，且这个结论对一切条件收敛级数都成立．三 构造级数例30 试构造一级数，使它满足：∑∞=1n na（1）∑收敛； （2）∞=1n na ⎟⎠⎞⎜⎝⎛≠n o a n 1． 解 ∑∞=121n n ，∑∞=11n n 满足（2），将两者结合起来，构造级数如下： "+++++=∑∞=22221514131211n n a 即当n 是整数平方时，n a n 1=，否则21n a n =，显然⎟⎠⎞⎜⎝⎛≠n o a n 1，同时 +∞<≤+≤=∑∑∑∑=≤==nk n k nk nk k n k kk a S 12212112112故此级数收敛．例31 举出一个发散的交错级数，使其通项趋于零． 分析 交错级数""+−++−+−−n n a a a a a a 2124321 （）0>n a 部分和为，可见只要构造一个级数，使得，同时使和一个收敛，另一个发散即可．为此可构造级数如下：∑∑==−−=n k k nk k n a aS 121122∑∞=1n n a 0→n a ∑∞=−112k k a∑∞=12k ka()""+−−+−+−+−nn 21121514131211222． 例32（南开大学1999）已知级数收敛，问级数和是否必收敛？说明理由．∑∞=1n na∑∞=12n na∑∞=13n na解 未必收敛．如级数∑∞=−1)1(n nn收敛，但发散．令∑∞=12n na"+−−−+−−+−=∑∞=33333331331331331312212212111n n a""+−−−−+项k k k k k k k k k k k11113。
《数学分析》讲稿
《数学分析》讲稿
复旦大学 陈 纪 修
一、 《数学分析》这门课程
《数学分析》是一门对数学系的学生讲授微积分的课程。 微积分是人类思维最伟大的成果之一，是人类文明史上一颗光辉 灿烂的明珠。 任何一门学科的产生与发展，都离不开外部世界的推动。任何科 学技术的发展都与时代的发展密切相关。微积分的产生也是受到了物 理学、天文学、几何学等学科发展的推动。 牛顿与莱布尼兹的最大贡献在于发现了微分与积分之间的深刻 联系，从而使微积分成为一门学科。 科学技术的发展历史告诉我们，人类的任何一个伟大的发明与创 造，都是站在巨人的肩膀上取得的。 通过学习《数学分析》，希望做到： （1）掌握微积分的思想与原理、掌握微积分的核心内容与精髓； （2）加强逻辑思维能力的训练与培养，提高数学推理与论证的能力； （3）通过严格的训练，具备熟练的运算能力与技巧； （4）重视微积分的应用，掌握数学模型的思想与方法，提高应用微 积分这一有力的数学工具分析问题、解决问题的能力。
合 B 是“对等”的，或称它们的势是相等的，记为 A ～ B 。
Bernstein 定理 设 A 与 B 是两个集合，如果 A 对等于 B 的一个子
集， B 又对等于 A 的一个子集， 则 A 与 B 对等。
（2）可列集的概念。
一个无限集中的元素可以按某种规律排成一个序列，或者说，这
个集合可表示为
{ a1，a2 ，L ，an ，L} ， 则称其为可列集。即可列集可以与正整数集合建立一一对应。
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卓里奇数学分析上册笔记【精选】
1.一些通用的数学符号Z : 整数N : 自然数Q: 有理数R: 实数C: 复数2.实数2.1.数的上确界与下确界：(sup ):(()(''('')))s X x X x s s s x X s x ==∀∈≤∧∀<∃∈<也就是说，大于等于X 的都叫上界，但是supx 是所有上界里最小的，叫上确界，对于开集，上确界是集合收敛的极限，在收敛过程中,当n 为无穷时，上确界等于开集中最大的数(当然是永远无法达到的)；当集合为闭集时，上确界等于集合中最大的数。
(inf ):(()(''('')))i X x X i x i i x X x i ==∀∈≤∧∀<∃∈<这是下确界的定义, 小于等于X 的都叫下界，但是infx 是所有下界里最大的，叫下确界，对于开集，下确界是集合收敛的极限，在收敛过程中,当n 为无穷时，下确界等于开集中最小的数(当然是永远无法达到的)；当集合为闭集时，下确界等于集合中最小的数。
2.2.有理数形如的数叫有理数mn2.3.无理数不是有理数的叫无理数2.3.1.代数无理数一个实数, 如果它是某个有理系数代数方程的根, 则x 为代数数10110n n n n a x a x a x a --++++= 2.3.2.超越数反之, 就叫超越数2.4.阿基米德原理自然数集的任何不空有界集中有最大元自然数集没有上界整数集合的任何上有界不空子集有极大元自然数集的任何上有界不空子集有极大元整数集既没有上界又没有下界如果h 是任意一个固定正数,那么对于任何实数x,必能找到唯一的整数k, 使得(k-1)h x<kh≤对于任意的正数,存在着自然数n 使得.ε10nε<<如果,且对于任何有,那么=0,0x x ∈≥A n ∈A 1x n<x对于满足a<b 的任意数a,b ,存在有理数,使得a<r<b∈A r ∈A对于任何,存在唯一的整数,使得x ∈A k ∈A 1k x k ≤<+,对于任何a>0成立. 当0< a <1时, 开n 方的数值无限递增逼近1点,当a>1时,开n 方的数值无限递减逼近于1.2.5.位置计数法:p p pp p q x q q αα≤<+取值{1….q-1}p α...p p nn p p n r q q αα--=++叫做x 的q 进位记法, 为记号.p α2.6.集合论:如果集合A 与集合B 之间即是单射又是满射, 则集合A 与B 等势, 记作: cardA=cardB一个集合能与自己的部分等势, 这个集合则为无穷集. 否则为有穷集如果某集合与自然数集合N 等势 ,则这个集合称为可数集1)CardZ =CardN2)2card card =A A3)card card =A A4)card card <A A3.极限3.1.柯西准则:数列{}叫做基本列: 如果对于任何数, 存在号码, 使得由n>N,m>N, 有.n x 0ε>N ∈A ||m n x x ε-<3.2.调和级数111...2n x n=+++这个数列没有极限. n x →+∞3.3. 一些公式1)q>1,lim0nx nq →∞=2)lim1x →∞=3)对于任何a>0, lim1x →∞=4), , lim 0!nx q n →∞=q ∈A n ∈A 3.4.数e1lim(1)nx e n→∞=+3.5.级数收敛柯西准则: 级数a1+a2+…+an+…收敛的充要条件是对于任何,存在着,使得m n>N0ε>N ∈A ≥时, |an+…am|<ε3.6.等比数列:计算数列的一般方法是使用构造一个等式中和掉数列中间的所有项, 而得到数列中最后一个数的值1111...1n nn q s q q q q+-=++++=-计算方法: =(1)n q s -11n q +-3.7.数列==11(1)nk k k =+∑1111nk kk =-+∑111n -+当n 为无穷时, 此数列收敛于1级数绝对收敛, 因为21sin n n n∞=∑22sin 1n n n ≤3.8.级数收敛(柯西根值检验法)设是给定的级数 ,1nn a∞=∑a =1)如果<1.则绝对收敛;a 1nn a∞=∑2)如果>1, 则发散;a 1nn a∞=∑3)当a=1, 则即有可能发散,又有可能收敛;1nn a∞=∑3.9.级数收敛(达朗贝尔比值检验法)设是给定的级数, 极限1nn a∞=∑存在1limn x na a a +→∞=1)当<1.则绝对收敛;a 1nn a∞=∑2)当>1.则发散;a 1nn a∞=∑3)当a=1, 则即有可能发散,又有可能收敛;1nn a∞=∑3.10.如果,那么级数收敛的充要条件是12...0a a ≥≥1n n a ∞=∑ 收敛1248202248...k kk a a a a a ∞==++++∑3.11.推论当p>1时级数收敛;而当p 1时发散.11p n n ∞=∑≤3.12.设f(x)= 1sinx x=001lim sinx x x→ 没有极限01limsin x x→3.13.如果在点a 的某个去心领域中lim (),lim ()E x aE x af x Ag x B →→==∋∋a)满足,那么()()f x g x >A B≥b)满足,那么()()f x g x ≥A B≥c)满足,那么()f x B >A B≥d),那么()f x B ≥A B≥3.14.两个重要的极限1)0sin lim1x xx→=3.15.对数公式log ()x a a x=log a yy a =log ()log a a a b a b=log lima x xx→+∞=3.16.小o 定义:对于基B,函数f 与函数g 是无穷小,并记作,如果关系对于基B 最终被()f o g =()()()f x a x g x =A 满足,其中是对基B 的无穷小函数.()a x ,当时, lim 0nx x x a→+∞=x →+∞()n x x o a =n ∈A10limxx ax α+-∈→=A ,0α>log lima x xx α→+∞=, 0α>0lim log 0a a x x x +∈→=A 3.17.大o 定义两个函数f 与g,对于基B 最终满足记作或对基B,,其中()()()f a x g x β=()f O g =()f O g =是关于B 最终有界的函数()x β , 这是素数分布的渐进规律()(ln ln x xx o x xπ=+0ln(1)lim1x x x→+=,01lim 1x x e x→-=1()x e x o x =++, 0(1)1lim x x xαα→+-=(1)1()x x o x αα+=++1)limlimlim 2x x x x x →∞-====使用22()()a b a b a b +-=-3.18.重要的公式231231...1!2!3!!x n ne x x x x n =++++24211(1)cos 1...2!4!2!k kx x x xk -=-+++32111(1)sin ...1!3!21!k k x x x xk +-=-+++12311(1)ln(1)...,12!3!!n nx x x x x x n --+=-+++<政治。
关于数学分析的读书笔记
关于数学分析的读书笔记经过一个半学期的《数学分析》的学习，我基本上对其学习方法有了肯定的把握。
了解到《数学分析》与高中的数学既有联系又有差别。
一方面在很多思想与分析中运用了高中数学的基础学问；另一方面它将很多东西微小化，一步步探究深层次的东西。
它使我们对很多东西有了进一步的了解而不是只停留在理解表面。
下面对我目前已学习的学问进行理解与分析：一、实数集与函数。
实数分有理数和无理数，有理数可用既约分数的形式表示，而无理数则不能用一个确定式表示。
人们先发觉有理数，再运用Dedekind分割划分出一些不属于有理数的数。
全部这些数的集合就是实数集。
用同样的方法分割，却得不到非实数，这证明白实数具有完备性。
关于实数完备性有一些基本定理，如：区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理和有限掩盖定理。
对于任何一个包含于实数集的集合，还有闻名的确界原理。
函数的定义是一个具有某种结构的集合到一个数集的对应关系。
有基本函数和特别的函数，如：符号函数、Heaviside函数、Riemann函数和Dirichelet函数。
二、极限分为数列极限和函数极限。
对于极限，重在理解它的定义。
函数极限是数列极限的推广，所以理解了数列极限，函数极限问题就不大了。
收敛的数列有很多特别性质，如:有界性、唯一性、保1/ 5号保序性和迫敛性，且满意线性组合运算。
既然有这么多很好的性质，我们就想弄清哪些数列收敛或收敛数列需满意的条件。
人们发觉，单调有界数列和满意柯西收敛准则的数列肯定有极限。
三、函数的连续性。
函数在某一点X。
连续的定义是在X。
的某邻域内有定义且满意当X趋于X。
时，函数F(X)趋于F(X。
).而在某区间上的连续可由在某点推广。
对一闭区间上连续的函数有一些性质，如：有界性、最值、介值性和全都连续性。
对于函数连续性，重在理解定义的内容。
四、导数与微分。
导数在中学已学过，而微分是一个新概念。
微分的核心思想是对一件事物，当对整体无法解决或难以解决时，可以将它分成很多细小的部分来解决。