二次规划起作用集方法

《非线性规划》课程设计

题目：二次规划起作用集方法院系：数理学院应用数学系

专业：数学与应用数学

姓名学号：119084112 数112

指导教师：

日期：2014年6月19日

摘要

二次规划（QP）是指目标函数为决策变量x的二次函数，而约束函数是线性函数的非线性规划.二次规划规划问题是最简单的一类非线性约束优化问题，并且某些非线性规划可以转化为求解一系列二次规划问题，因此二次规划的求解方法也是求解非线性规划的基础之一.

关键词：二次规划；起作用集；乘子向量

Abstract

Quadratic programming (QP) refers to the objective function for the quadratic function of the decision variables x, and the constraint function is a linear function of nonlinear programming, quadratic programming problem is the simplest nonlinear constraint optimization problems, and some nonlinear programming can be transformed into solving a series of quadratic programming problem, so the solving methods of quadratic programming is also one of the basis of solving nonlinear programming.

Keywords: Quadratic programming; Work set; Multiplier vector

目录

一、二次规划的概念与性质

1.1模型一

1.2模型二

二、一般正定二次规划的起作用集方法及计算步骤

2.1方法

2.2计算步骤

三、算例

总结

一、二次规划的概念与性质 1.1模型一

⎩⎨

⎧+=≥==+=.

,,1,,,,2,1,.;

2

1)(min L m j b x a m i b x a t s x c Hx x x f j j i i T T

(1) 式中H 为n 阶对称正定矩阵，c,x 均为n 维列向量；i a （i=1,2,···,m),j a (j=m+1,···,L)均为n 维行向量.另

L m m b b b b b ,,,,,,121 +都是已知实数，且m ≤n(L ≥m).

定理一 设*x 是上式正定二次规划的最优解，且在点*x 处的起作用约束集为*J ，则*x 是下述等式约束问题的唯一解：

.

,.2

1)(min *

J i b x ta s x

c Hx x x Q i i T T

∈=+=

1.2模型二

只含有等式约束的二次规划：

.

,,2,1,.;21)(min m i b x ta s x c Hx x x f i i T T

==+=

（2）

式中H 为n 阶对称正定矩阵，c,x 均为n 维列向量；i a （i=1,2,···,m)为n 维行向量.

定理二 规划（2）式的K-T 对),(**Λx 是存在唯一的，且),(**Λx 为（2）式的K-T 对的充要条件是它们满足方程组：

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--b c x A

A H T 0

二、一般正定二次规划的起作用集方法及计算步骤

2.1方法

对于一般正定二次规划（1)式，由定理一可知，只要能找到*x 所满足的起作用约束指标集*J ，就可以通过求解等式约束（2）式二次规划化问题得到*x .

但是*x 未知，*J 不能一下求出，可采用逐步改进的方法：先求出问题（1）式的一个可行点)(k x ，计算点)(k x 处有起作用约束指标集k J ，并

求解相应的等式约束的二次规划问题(2)式.设其最优解为)

(ˆk x ，乘子

向量为k Λ.令k P =)

(ˆk x

－)

(k x

，即认为k P 是从点)

(k x

出发至)

(ˆk x

的方

向，如求出了k P 也就找到了)(ˆk x ，)(ˆk x =)

(k x +k P .因此求解（2）式

可以化成求解：

.

,0.)(2

1)(21)(min )()(1k k i k T k k T k k

T k k T

k J i P a t s P x f HP P P c Hx HP P x f ∈=∇+=++= （3)

设)(ˆk x 的起作用约束指标集为1+k J ，则根据)(ˆk x 与)(k x 之间不同关系

来调整k J （当然要使目标函数值不断减少）.按照这种思路继续，就有可能得到*J ，从而求得（1）式的最优解*x . 2.2步骤

第1步：选定初始可行点)1(x 及相应的起作用约束指标集1J ，使

)(1J i a i ∈线性无关.令k:=1.

第2步：求解含有等式约束的正定二次规划问题(3)，设其解为k P .

第3步：若k P =0（即)

(ˆk x

=)

(k x

），则计算相应的乘子向量k Λ，转第

4步.若k P ≠0，转第5步.

第4步：若),,2,1(\m J j k ∈∀；都有0)(≥k j λ成立，则)

(k x

为规划（1）

式的最优解，计算结束；否则求出)},,2,1(\|min{)()(m J j k k j k q ∈=λλ，令)1(+k x =)

(k x

，1+k J =k J \{q}, k:=k+1,返回第2步.

第5步：若)(ˆk x =)

(k x +k P （k P ≠0）满足i i b x a ≥，

k J L m m i \},,2,1{ ++∈（即)(ˆk x 也满足规划（1）的可行域），则

令)1(+k x =)

(k x

，计算)1(+k x 处的起作用约束指标集1+k J ，令k:=k+1，返

回第2步.否则（即)1(+k x 不是规划（1）式的可行解）转第6步.

第6步：从)(ˆk x 点出发沿方向k P 进行一维搜索.记)1(+k x =)

(k x +k k P α，

计算步长：

}0,\),,2,1(|min{ˆ)

(<++∈-=k i k k

i k i i k P a J L m m i P a x a b α

易见k a

ˆ为正数.因此对每个k J L m m i \},,2,1{ ++∈，