《最短路径问题---将军饮马问题》教学PPT课件【初中数学】公开课

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人教版八年级数学上册教学课件- 课题学习最短路径问题-PPT

x=2
B·
M
A·
·C
Hale Waihona Puke PB··M
· · ┐
A
C
2、（2017年乌鲁木齐）如图，点A（a,3),B（b,1）都在双曲线 C,D分别是X轴，y轴上的动点，则四边形ABCD的周长最小值为
y
（
x
3
上,点）
y
·
A'
┐ AA（9，3）
DD
· BB（3,1）
┐
o CC
x
B'
y
· ·A' ┐ A
·C
o
· ·┐B · D
l
C点就是所求作的点。
B
（三）难点突破
问题1： No Image
若点A、B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决
所走路径最短的问题？
B
A
l
No Image
（四）指导作法作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C,
则点C 即为所求．
A C
B
┐ l
B′
B'
x
15 、能做的只有站在自己的位置，扮演好各自的角色。 7 、自卑的人，总是在自卑里埋没的自己，记住，你是这个世界上唯一的。 9 、每个人在成功之初都会遇到各种困难。但失败是成功之母，只有经历失败的洗礼，才能有丰富的成功。要珍惜每个人的态度，再平凡的人也有自己的主见，也会决定你的质量。
15、伟大的梦想让成就随之成长，渺小的希望让你永落人群之后，相信自己，就必然会做到;一切都由意识掌控。如果自认高人一等，就一定出类拔萃。
B B 抽象成 A A
l
实际问题

《最短路径-将军饮马问题》教学课件ppt

• A2
AB+BC+CA的和
为什么是最小呢？
·
M
A
两点之间
N
线段最短
反思验证
将军饮马问题
为什么AB+BC+CA的和最小？Fra bibliotek情节1：
O
B
C
• A2
A1 •
C′
B′ ·
M
A
N
两点之间线段最短
反思验证
将军饮马问题
为什么AB+BC+CA的和最小？
情节2： A1 •
O
C
B
·
M
A
• A2
两点之间线段最短
N
y
4
A′• 3 2 1•P
-4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 -4
•A
2 3•P 4 x
•B
若换成y 轴呢？
一题多变
将军饮马问题
探究3 若将军要先让马到草地OM吃草，再到河边ON喝水，最后回到出发点A，你能画出最短路径吗？
O
A
M
N
探究新知
将军饮马问题
分析：1、建模：点在两直线的内部 2、在OM上找点B，在ON上找点C，使AB+BC+CA的和最小。
O
B
·
M
A
考虑对称点的作用
C
1.将直线同侧两点问题转化为直线异侧两点问题；
2.利用轴对称的性质可以将相等线段转化。
N
方法揭晓
将军饮马问题
作法：
1、作点A关于直线OM的对称点A1，点A关于直线ON的对称点A2 ， 2、连接A1，A2，交OM于B，交ON于C,
则路径A-B-C-A是最短路径。

《13-4 课题学习最短路径问题》课件(共21张ppt)

线．
· A·
B
l 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河流l边饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）．
·
B
l
B′
思考：证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？ A
·
B
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
·
C′ C
l
B′
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小呢？思考1：如何将点B转“移” 到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与 CB′的长度相等？思考2：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？ A
C
山 A Q P 河岸
大桥
B
2.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
a A b M
A′
N B
问题2
a M′ A M A′ N N′ b
证明:取不同于,M，N的另外两

初中数学华东师大七年级下册轴对称平移与旋转最短路径问题(将军饮马问题)PPT

3、【一次函数中的将军饮马】
如图，在平面直角坐标系中，点 A（－2，3），B（4，5），点 P 是 x 轴上一动点，求：①PA＋PB 的最小值及此时点 P 的坐标； ②| PA－PB|的最大值及此时点 P 的坐标．
3、【一次函数中的将军饮马】
如图，在平面直角坐标系中，点 A（－2，3），B（4，5），点 P 是 x 轴上一动点，求：①PA＋PB 的最小值及此时点 P 的坐标； ②| PA－PB|的最大值及此时点 P 的坐标．
A' M
C
A
B
O
N
D
B'
C【一定两动之点与线】
例3：在OA、OB上分别取点M、N，使得PM+MN最小
1、正方形中的将军饮马
【关于对角线对称】
例4：如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1,N是AC 边上的一动点，则△DMN周长的最小值是多少？
【隐身的正方形】
（2017辽宁营口）4、如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上， BD=3,DC=1,P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）
A、4 B、5 C、6 D、7
2、三角形中的将军饮马
【等边系列】
例5：如图，在等边三角形△ABC中，AB=6,N为AB上一点，且AN=2,BC
的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM,MN,则BM+MN的最小
值是
。
3、【一次函数中的将军饮马】
如图，在平面直角坐标系中，点 A（－2，3），B（4，5），点 P 是 x 轴上一动点，求：①PA＋PB 的最小值及此时点 P 的坐标； ②| PA－PB|的最大值及此时点 P 的坐标．

人教版数学八年级上册初中数学《最短路径(将军饮马)》公开课课件

分析问题
新知一两点一线型问题2 如图，A，B是直线l同侧的两点，在直线l上作一
点C，使AC+BC最小．
A
问题难在哪里？怎么办？
l
C
如点A，B在直线两侧． B
依据：“两点之间，线段最短”
分析问题
问题2 如图，A，B是直线l同侧的两点，在直线l上作一点C，使AC+BC最小．
能否把点B变到直线l的另一侧？要求？方法？对于直线上任一点C有BC=B′C．作点B关于直线l的对称点B′．
△AMN的周长最小.
作法：过点A分别作关于直线l1，
A2 N
l2
l2的对称点A1，A2，连接A1A2分
A
别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.
M
l1
A1
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得
△AMN的周长最小. 解析：通过轴对称的原理，把周长最小值转化为两点间距离
为两条直线.
l1
A
B l2
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四
边形AMNB的周长最小.
A1
l1
作法：分别作点A，B关于直
线l1，l2的对称点A1，B1，连接A1B1分别交直线l1，l2于点 M，N，则点M，N即为所求.
M
A
B
N
l2
巩固新知
如图,A,B两个小镇在河的同侧,现要在笔直的河边a 上修建一个自来水厂分别向两个镇供水,如何选择自来水厂的位置,可使用的水管最短？ A
解：如图,作点B关于河边a的对称点 B′,连接AB′交河边a于点P,则点P所在的位置为所求的自来水厂的位置.

将军饮马课件ppt

05
将军饮马问题的扩展和挑战
变种问题
01
02
03
04
障碍物问题
在路径上设置障碍物，求最短路径时需要避开障碍物。
多点折返问题
在路径上设置多个折返点，求最短路径时需要多次折返。
限制条件问题
在求最短路径时加入限制条件，如步数限制、时间限制等。
动态变化问题
路径长度会随时间或其他因素变化，需要求最短路径时考虑
这些变化。
计算复杂度
最坏情况下的时间复杂度
在最坏情况下，算法的时间复杂度可能较高，需要优化算法以降低时间复杂度。
空间复杂度
并行计算
为了提高算法的效率，可以考虑使用并行计算来加速计算过程。
算法的空间复杂度也需要考虑，以评估算法的内存消耗。
实际应用中的限制和优化
数据精度
在实际应用中，需要考虑数据精度对算法的影响，以避免误差累积导致结果不准确。
在车辆调度方面，将军饮马问题同样适用。通过优化车辆的出发时间和行驶路线，物流公司可以最大化利用车辆资源，提高运输效率。
计算机算法
图论算法
将军饮马问题作为图论中的经典问题，可以应用于计算机算法领域。通过解决将军饮马问题，可以开发出更高效的图论算法，用于解决其他相关问题。
最短路径算法
最短路径算法是计算机算法中的重要组成部分。将军饮马问题可以作为最短路径算法的参考模型，帮助开发人员找到图中两点之间的最短路径。
03
04
几何法是利用几何知识解决将军饮马问题的方法。
它通过将问题转化为几何图形，利用几何定理和性质来找到
最短路径。
几何法适பைடு நூலகம்于具有明显几何特征的问题，如两点之间的最短距离、三角形中的最短路径等

将军饮马专题ppt课件

第8题图
返回
1 综合训练
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为AB的中点，M、N是CD上的两动点，且MN＝1，则EM＋EN的最小值为____。
1 综合训练
2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是 ____。
之
间
，
线
段
最
短
2
用模型战试题
每一个试题都是模型，每一种模型都有方法
综合训练
针对训练1
2
1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB 边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为( B ) A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 2
第1题图
返回
2 针对训练2
两动一定型 2
例7
在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长
最短．
在 OM上找一点C，在 ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．
例9
在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB ＋BC最短．
【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．
从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
A. 3 B. 2 3 C. 3 1 D. 3 2

将军饮马问题ppt课件

B 根据：两点之间线段最短.
5
将军饮马：
例1变式1：已知美羊羊在A地玩耍，这时喜羊羊在小溪的对面C玩耍，并且AC两地是关于小溪的对称点，它俩在小溪的任意一点E 处汇合，再一起回家的最短路线是什么？
A
M C
N
B
6
(二)一次轴对称：两点在一条直线同侧
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马, 然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.
A′ C
D
B′
A B
15
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4变式1：已知： MON和 MON内两点A、B。求作：点C和点D,使得点C在OM上，点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。
M
N
C
C'
∵ 直线MN是点B、B’的对称轴，点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BB' C’=B’C’．
∴BC+AC = B’C+AC = B’A．
∴BC ’ +AC ’ = B’C ’ +AC ’
在△AB ’ C’中，AB ’ < AC’+B ’ C’，
∴ BC+AC < BC ’ +AC ’ ，即AC+BC最小．
将军饮马问题
1
2
看图思考：为什么有的人会经常践踏草地呢？
禁爱止护践草踏坪绿地里本没有路，走的人多了… …
两点之间，线段最短
3
将军饮马问题：
两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：

初中数学-将军饮马问题-公开课课件课件全文

抽象：如图，在直线MN上找一点P, 使得PA+PB最小？
A
M
B
P
N
思考:在前面研究几何问题的过程中，你是否遇到过与此相类似求线段的距离最短或者线段和最小的问题？请举例说明.
垂线段最短 m
思考:在前面研究几何问题的过程中，你是否遇到过与此相类似求线段的距离最短或者线段和最小的问题的问题？请举例说明.
使AC+CD+BD+AB最短。
问题特征：两线两定两动
解决方法：依据两点之间，线段最短,通过两次轴对称, 将三条折线段化为一条直线段.
8/25/ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ024
联系中考
(2019中考) 如图，∠AOB=30°,角内有一点P，PO=10cm，两边上各有一点Q、R（均不同于点O），则 △PQR的周长的最小值是＿＿
Q A
P
O
B
R
如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A和B，表示两个工厂．要在铁路上建一货站，使
´
它到两厂距离之和最短，这个货站应建在何处？
P´ P
方法:在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常转化为“两点之间线段最短”
问题:如图,另一位将军也骑马从城堡A到城堡B，途中马也要到小溪边饮水一次.问这位将军怎样走路程最短？
M
P
连接AP, 则PA´=PA，
A´
则PA+ PB= PA ´+ PB= A´B
在直线MN上任意取一点P´ 连接AP´,BP´,A´P´,
则AP´=A´P´，则AP´+BP´= A´P´+ BP´
△BA´P´中，A ´B < BP´+A´P´，

13.4 课题学习最短路径问题课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册

迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马在这个情境中我们再回到营地，饮马点在什么位分别把烽火台，营置，可使将军所走的路径最短？地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点得最短
A
l P
B
两点之间线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边饮马再回到营地，饮马点在什么位置，可使将军所走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.

人教版八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题((共24张PPT)

问：这位将军怎样走路程最短？
M 草地
O
.驻地A
N 河边
(三)：一点在两相交直线内部
例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？
（四）：两点在两相交直线内部
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。202 1年8月下午9 时38分 21.8.1 021:3 8Augu st 10, 2021
16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。202 1年8月 10日星期二9 时38分 34秒2 1:38:3 410 August 2021
河
B/
问题
为什么这样做出的线段是最短的呢？你能用所学的知识证明吗？
B
·
A
·
l C
B′
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2 1.8.10 21.8.1 0Tues day, August 10, 2021
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。21 :38:34 21:38: 3421: 388/1 0/202 1 9:38:34 PM
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19