《最短路径问题---将军饮马问题》教学PPT课件【初中数学】公开课

最短路径问题 ——将军饮马
看图思考： 为什么有的人会经常践踏草地呢？
爱护草坪
禁止践踏
绿地里本没有路，走的人多了… …
两点之间，线段最短
将军饮马问题
传说古希腊有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一 天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其 解的问题：
将军每天骑马从城堡A出发，先到河边饮马，然后再去 河岸同侧的城堡B开会，应该怎样走才能使路程最短？
F
两点之间，线段最短。
FA+FB>AB
来自百度文库
化同图侧1为异侧——轴对称变换
图2
化折线为直线——“两点之间、线段最短”
如图1，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2， N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为 10 ．
[想一想] 如果把这道题看成“将军 饮马”的问题，你觉得图中 哪条线段可以看成河流，哪 两个点可以看成A和B呢？
途中马要到河边饮水一次， 问：这位将军怎样走路程最短？
A
B
河
例2作法： （1）作点B关于直线 MN 的对称点 B’ （2）连结B’A，交直线MN于点 C；
则点C即为所求．
A
B
M
C
N
B’
例2证明：在直线MN 上任取异于点C的点C’，
连结BC、BC’、 AC’ 、 B’C’ ．
B
∵ 直线MN是点B、B’的对称轴， M 点C、C’在对称轴上，
10
6
8 图1
如图2，MN是⊙O的直径，MN=2，点
A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN
上一动点，则PA+PB的最小值为
．
图2
谢谢
A B
河
从此，这个问题被称为“将军饮马问题”而广为流传。 这个问题其实并不难，据说海伦稍加思索就解决了。
探索：1、两定点在一条直线的异侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边 饮水一次。问将军怎样走路程最短？
A
最短路线：
C
ACB
依据：两点之间线段最短
河
B
探索：2、两定点在一条直线同侧 例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，
C
∴BC=B’C，BC’=B’C’
B'
∴BC+AC = B’C+AC = B’A
BC ’ +AC ’ = B’C ’ +AC ’
在△AB ’ C’中，B ’A < AC’+B ’ C’
∴ BC+AC < BC ’ +AC ’ ，即BC+AC最短
A
N C'
“将军饮马” 基本模型（2条线段和最小）
转化思想