初中数学数形结合的典型例题讲解,数形结合中考数学解题方法
数形结合,例题解析
利用数形结合思想解题，不但是一种重要的解题方法，更是一种重要的思维方法。
对于应用数形结合思想解题，大家并不陌生，但如何应用却是值得我们深究的问题。
数形结合的主要方法有：图像法、几何法，主要途径是转化，常见转化有：构造函数实现转化、构造图形实现转化。
一、构造函数，实现转化把研究数的问题转化为研究图像的问题，这类方法一般适用于解方程或不等式的问题。
例1：方程x+log2x=2和方程x+log3x=2的根分别是α、β，那么α、β的大小关系是（）a.α＜βb.α=βc.α＞βd.无法确定■分析：由x+log2x=2得log2x=2－x，由x+log3x=2得log3x=2－x，分别构造函数y=log2x，y=log3x及y=2－x，并作出它们的图像，由图易得答案为a。
例2：方程■-|ax|=0（a∈r）解的个数是（）a.4个b.2个c.0个d.与a的取值有关■分析：原方程可化为■=|ax|，分别作函数y＝■与y＝|ax|的图像，由图知，应选b。
二、构造几何图形，实现转化在解题时，我们常通过构造几何图形，实现问题转化，如把a转化为距离，把a2或ab 转化为面积，a2 +b2+ab转化为余弦定理，把sinα转化为直角三角形中边角关系等。
例3：若锐角α、β、γ满足cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，求证tgαtgβtgγ≤2■。
分析：由已知条件可设α、β、γ为一长方形的一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角，从而命题容易得证。
■证明：如图，设长方形体abcd－a1b1c1d1的长、宽、高为a，b，c，∵cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，∴可设∠d1ba=α，∠d1bc=β，∠d1bb1=γ，连结bd1，则tgα＝■，同理tgβ＝■，tgγ＝■，tgαtgβtgγ=■·■·■≤■=2■，当且仅当a＝b＝c时取等号，故命题成立。
例4：设x＞0，y＞0，z＞0，求证：■＋■＞■。
■分析：注意到■＝■表示以x、y为两边，夹角为60°的三角形第三边，另两边也有同样意义。
中考数学——数形结合专题
第九讲数形结合思想【中考热点分析】数形结合思想是数学中重要的思想方法，它根据数学问题中的条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙的结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。
几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握。
【经典考题讲练】例1.（2015衢州）如图，已知直线334y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线21252y x x =-++的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线334y x =-+于点Q ，则当PQ =BQ 时，a 的值是 ．例2.（2014•广州）已知平面直角坐标系中两定点A （-1，0），B （4，0），抛物线（）过点A 、B ，顶点为C ．点P （m ，n ）（n <0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式与顶点C 的坐标． （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围． （3）若，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （）个单位，点P 、C 移动后对应的点分别记为、，是否存在t ，使得首尾依次连接A 、B 、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．解析：（1）待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可．（2）因为AB 为直径，所以当抛物线上的点P 在⊙C 的内部时，满足∠APB 为钝角，所以-1＜m ＜0，或3＜m ＜4．（3）左右平移时，使A ′D+DB ″最短即可，那么作出点C ′关于x 轴对称点的坐标为C ″，得到直线P ″C ″的解析式，然后把A 点的坐标代入即可．答案：(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得:抛物线解析式为顶点横坐标,将代入抛物线得(2)如图,当时,设,则过作直线轴,(注意用整体代入法)解得,当在之间时，或时，为钝角.(3)依题意，且设移动（向右，向左）连接则又的长度不变四边形周长最小，只需最小即可将沿轴向右平移5各单位到处沿轴对称为∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时，设过的直线为，代入∴即将代入，得：，解得：∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。
中考数学总复习《数形结合问题》考点梳理及典例讲解课件
(2)结合函数图象可得，当 y1＞y2 时，x＜1.
例 1：甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活 动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从 乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，
两人之间的距离 s(单位：km)与运动时间 t(单位：h)的
函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是( )
A.两人出发 1 h 后相遇 B.赵明阳跑步的速度为 8 km/h C.王浩月到达目的地时两人相距 10 km D.王浩月比赵明阳提前 1.5 h 到目的地 答案：C
例 2：如图，AB，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直 径，点 P 从点 O 出发，沿 O→C→B→O 的路线匀速运 动，设∠APD＝y(单位：度)，那么 y 与点 P 运动的时
间(单位：秒)的关系图是( )
A
B
C
D
答案：B
例 3：如下图，抛物线 y＝－14 x2－x＋2 的顶点为
A，与 y 轴交于点 B. (1)求点 A，点 B 的坐标； (2)若点P是 x 轴上任意一点，
n＝(BC＋CD＋DE＋EF＋FA )÷2＝(BC＋DE＋AB ＋AF)÷2＝(8＋6＋6＋8＋6)÷2＝17.
(3)解：由图 2 知，点 P 在 BC 上运动时，0≤t≤4， ∴S＝12 ×6×2t＝6t，即 S＝6t(0≤t≤4)； ∵由图 2 知，点 P 在 DE 上运动时，6≤t≤9， ∴S＝12 ×6×(2t－4)＝6t－12，即 S＝6t－12 (6≤t≤9).
当点 P 在 x 轴上又异于 AB 的延长线与 x 轴的交点
时，
在点 P，A，B 构成的三角形中，PA －PB＜AB. 综合上述，PA －PB≤AB.
巧用数形结合思想解答初中数学题
数学篇数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”的方法使复杂的问题简单化，抽象的数学问题直观化，从而达到优化解题途径、简化解题过程的目的.下面简单介绍数形结合思想在解题中的具体应用方法.一、运用数形结合思想解答数与式问题数与式是实践生活中抽象出来的数量关系.数形结合思想在解答数与式问题中的应用主要表现在数轴与实数的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.借助实数在数轴上的位置关系可以求解各类问题，比如去绝对值、比较大小、开根号等，从而把隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，达到快速有效解题的目的.例1实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图1所示，化简|a +b |-|c -b |的结果是（）.A.a +cB.-a -2b+cC.a +2b-cD.-a -c 0a cb 图1解：根据数轴知a 、c 都在原点0的左边，故而a <0且c <0，但c 离原点的距离比a 离原点的距离远，所以|a |<|c |，进而c <a <0；同理，b 在原点0的右侧，故而b >0.从数轴上可以看出b 点离原点0的距离比c 点还远，故而|b |>|c |.综合以上分析可知，c <a <0<-c <b .此时可以借助于数轴进一步明确a 、b 、c 三点及其相反数在数轴上的位置如图2所示，即-b <c <a <0<-a <-c <b .0a c b-a -c -b 图2据此数轴可以去绝对值如下：因为a <0,b >0且|b |>|a |，所以a +b >0，故|a +b |=a +b ，因为c -b =c +(-b )，c <0且-b <0，所以c -b <0，故而有|c -b |=b -c ，所以|a +b |-|c -b |=(b+a )-(b-c)=b+a -b+c=a +c.故选A 项.评注：对于选择题，我们可以借助数形结合思想给部分代数式或字母赋值，快速得到答案.对于解答题，我们可以多次利用数形结合的方法“正过来、逆过去”实现问题的简化，从而解题.二、运用数形结合思想解答方程与不等式问题解答方程与不等式问题需要较强的计算能力.当用代数方法求解比较繁杂时，可以利用数形结合思想将方程或不等式转化为几何问题，比如转化为交点问题、最大（小）值问题.利用几何图形的特征和直观性解题，可以使解题更便捷.例2方程组{y =2x -1,y =-x -1,的解是______.解：方程组的解一定都适合每一个方程，那么借助于数形结合思想来观察，方程组的解一定在每一条直线上，所以方程组的解一定是两直线的交点，即交点的坐标.将方程的图象在坐标系中表示出来，如图3所示，由图可知两条直线相较于点（0，-1），所以方程组的解就是{x =0，y =-1.例3若不等式组{3x +a <0，2x +7>4x -1，的解集为x <0，则a 的取值范围为（）.A.a >0B.a =0C.a >4D.a =4解：解不等式2x +7>4x -1得解集为x <4①.巧用数形结合思想解答初中数学题甘肃省张掖市山丹育才中学韩永年图3学思导引30数学篇化简不等式3x +a <0得x <-a 3②,借助数轴画出①的解集如图4：图4由题目条件知不等式组的解集为x <0，故不等式组的解集可以进一步细化，如图5所示：图5可以确定阴影部分的区域就是不等式3x +a <0的解集，所以x <-a 3与x <0是等价的.从而有-a 3=0，即a =0.所以选择B 项.评注：无论是方程（组）还是不等式（组），都可以借助数轴或直角坐标系实现数和形的转化.三、运用数形结合思想解答函数问题平面直角坐标系把有序实数对(x ,y )与点一一对应起来，使数与形有了统一.一个函数也就因此可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析函数的一些性质和特点.运用数形结合思想解答函数问题就要充分挖掘图象中的各种信息以及信息之间的内在联系，利用获取的信息解题.例4某班“数学兴趣小组”对函数y =x 2-2|x |的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x y ……-33-5254-2m -1-1001-120525433……直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出函数的两点性质.（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有个交点，所以对应的方程x 2-2|x |=0有个实数根；②方程x 2-2|x |=2有个实数根；③关于x 的方程x 2-2|x |=a 有4个实数根时，a 的取值范围是．图6图7解：（1）根据函数的对称性可得m =0，故答案为：0；（2）如图7所示；（3）由函数图象知：①函数y =x 2-2|x |的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；（4）①由函数图象知：函数图象与x 轴有3个交点，所以对应的方程x 2-2|x |=0有3个实数根；②如图7，∵y =x 2-2|x |的图象与直线y =2有2个交点，∴x 2-2|x |=2有2个实数根；③由函数图象知：∵关于x 的方程x 2-2|x |=a 有4个实数根，∴a 的取值范围是-1＜a ＜0，故答案为：3，3，2，-1＜a ＜0．评注：本题考查了抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质.正确的识别图象并根据题意画出图形，利用数形结合思想解题是关键．“数形结合”有两个方面，即“以形助数”或“以数解形”.我们不可以偏废其一，要灵活掌握数形之间互化的方法.既要学会让图说学思导引。
例谈数形结合在初中数学解题中的应用
例谈数形结合在初中数学解题中的应用数形结合是指将数学问题与几何图形结合起来，通过画图、建模等方式将问题形象化，从而更加直观地理解问题和分析解题思路，提高解题效率。
1. 已知等边三角形ABC的顶点A在圆O上，点D在弧BC上，连接AD，证明$∠BAC=∠BDC$。
解法：首先根据等边三角形ABC的性质可知，$∠BAC=60^\circ$。
接着连接BD并作DE⊥AC于E点，连接CE。
根据圆心角与弧长的关系可知，$∠BOC=2∠BDC$，又$∠BEC=90^\circ-∠BAC/2=45^\circ$，因此$∠CBD=180^\circ-∠BCE-∠BDC=75^\circ$。
再根据三角形BDE的性质可知$∠BDE=45^\circ$，因此$∠BAC=∠BDE+∠BDC=75^\circ$，即$∠BAC=∠BDC$。
通过画图和建立几何模型，我们更加清晰地理解了问题和解题思路。
2. 已知矩形ABCD中，$AB=6$，$BC=3$，点E在线段CD上且满足$CE:ED=2:1$，连接AE并交BC于F点，求$AF$的长。
3. 某废旧品回收中心的货车要把三个物品箱A、B、C，每个箱的尺寸分别为3米×2米×1.5米、4米×3米×2米、2米×2米×1米，运到物流园区，货车的车厢的尺寸为5米×2.5米×1.5米，问能否在不拆卸箱子的情况下，将三个箱子全部放入车厢？解法：我们可以将问题转化为对三个物品箱的体积和车厢的体积进行比较。
首先计算三个物品箱的体积分别为$V_A=3×2×1.5=9m^3$，$V_B=4×3×2=24m^3$，$V_C=2×2×1=4m^3$，因此三个物品箱的总体积为$V=V_A+V_B+V_C=37m^3$。
又因为车厢的体积为$V_c=5×2.5×1.5=18.75m^3$，因此无法同时将三个物品箱全部放入车厢中。
初中数学，中考数形结合思想与实例
初中数学，中考数形结合思想与实例
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数学大师华罗庚说过：“数形结合百般好，数形分离万事难”，图形是研究数学的重要工具。
今天我们就来说说数形结合思想，数形结合解题思想是初中数学解题中最常用且最方便的解题方法之一。
与其它解题方法相比数形结合解题方法有着直观、形象、易接受的优点。
解题方法指导
1．转换数与形的三条途径
①：通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。
②：转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平
面上两点间的距离等。
③：构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。
2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法
①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何
图形内在的属性。
②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关
系，提示出数与式的本质特征。
③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式
的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。
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数形结合的典型例题初中
数形结合的典型例题初中示例文章篇一：哎呀，一提到数形结合，这可真是初中数学里超级有趣又超级重要的一部分呢！就说那次，老师在黑板上出了一道题：已知一个二次函数图像经过点（1，0）、（3，0）和（0，3），求这个二次函数的解析式。
我一开始看着题目直发懵，心里想着：“这可咋整啊？”同桌小明倒是很快有了思路，他悄悄跟我说：“你看，这几个点不就是关键线索嘛！”我还是一脸茫然。
老师看到大家都有点不知所措，就笑着说：“同学们，咱们来画画图呀，这不就是数形结合嘛！”于是，我们在纸上画出了坐标系，把那几个点标了上去。
这一标，我好像突然开窍了！这不就像是在地图上找宝藏的标记一样嘛，这些点就是我们寻找函数解析式这个“宝藏”的线索。
我赶紧和旁边的小红讨论起来：“你说，这几个点连起来像不像一个三角形？”小红白了我一眼说：“别瞎想啦，咱们得正经解题。
”经过一番琢磨，我发现通过这几个点的位置关系，可以设出二次函数的一般式y = ax² + bx + c ，然后把点的坐标代进去，就能算出a、b、c 的值啦！这就好像是搭积木，每个点就是一块积木，我们得把它们巧妙地组合起来，才能搭出完整的“函数大厦”。
还有一次，有道题是比较两个数的大小，一个是根号5，一个是2。
这可把我难住了，这两个数看起来没啥直接的联系呀！这时候，老师又提醒我们：“画画图呀！”我恍然大悟，在数轴上把根号5 的大概位置标了出来，一下子就看出来它比2 大啦！数形结合就像是给我们开了一扇神奇的窗户，让原本抽象的数学变得清晰可见。
它能让我们在数学的世界里畅行无阻，就像有了导航一样，再也不怕迷路啦！总之，数形结合在初中数学里可太重要啦，它能帮我们轻松解决好多难题，让数学变得有趣又简单，难道不是吗？示例文章篇二：哎呀，说到数形结合，这在咱们初中数学里可太重要啦！就比如说，有这么一道题，让咱们求一个函数图象与坐标轴围成的面积。
光看数字和公式，是不是觉得脑袋都大啦？可要是把数和形结合起来，那就完全不一样喽！老师在黑板上画出那个函数图象的时候，就好像给我们打开了一扇神奇的大门。
中考经典考题：数形结合掌握这些几何解题技巧压轴题不再丢分
中考经典考题：数形结合掌握这些几何解题技巧压轴题不再丢分解决数学中考压轴题一般都会用到数形结合等思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
题型分析本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形和三角形的中位线。
第（1）题：顶点C的坐标为（1,2）。
第（2）题：F的坐标为（-3，-6）。
数形结合思想利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决途径，或用数量关系研究几何图形的性质，解决几何问题，将数量关系和几何图形巧妙地结合起来，以形助数，以数辅形，使抽象问题直观化，复杂问题简单化，从而使问题得以解决的一种数学思想。
数形结合思想常见的四种类型1、实数与数轴实数与数轴上的点具有一一对应关系,因此借助数轴观察数的特点,直观明了。
2、在解方程(组)或不等式(组)中的应用利用函数图象解决方程问题时，常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决；还有曲线与方程的对应关系；利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观，形象，易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。
讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解。
3、在函数中的应用函数与图像的对应关系；借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。
4、在几何中的应用以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；对于几何问题，我们常通过图形,找出边、角的数量关系，通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。
初一数形结合的典型例题
初一数形结合的典型例题
例题1，一个正方形的边长为5cm，求它的周长和面积。
解答，正方形的周长等于四条边的长度之和，即周长 = 5cm +
5cm + 5cm + 5cm = 20cm。
正方形的面积等于边长的平方，即面积
= 5cm × 5cm = 25cm²。
例题2，一个长方形的长为12m，宽为8m，求它的周长和面积。
解答，长方形的周长等于两倍的长加两倍的宽，即周长= 2 × 12m + 2 × 8m = 40m。
长方形的面积等于长乘以宽，即面积 = 12m × 8m = 96m²。
例题3，一个圆的半径为3cm，求它的周长和面积（取π ≈
3.14）。
解答，圆的周长等于2πr，其中r为半径，即周长= 2 ×
3.14 × 3cm ≈ 18.84cm。
圆的面积等于πr²，即面积 = 3.14
× 3cm × 3cm ≈ 28.26cm²。
例题4，一个三角形的底边长为6cm，高为4cm，求它的面积。
解答，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = 6cm × 4cm ÷ 2 = 12cm²。
这些例题涵盖了常见的数形结合题型，通过计算周长和面积，能够帮助我们理解几何形状的特征和计算方法。
当然，在实际应用中，还有更多复杂的数形结合问题需要解决，但这些例题可以作为初步的练习和基础知识的巩固。
希望这些例题能对你有所帮助。
2025年中考数学思想方法复习系列 【数形结合】几何图形中的数形结合思想(解析版)
几何图形中的数形结合思想知识方法精讲1．完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）2．平方差公式的几何背景（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．3．七巧板（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形．（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号．（3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了．4．轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．5．坐标与图形变化-对称（1）关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数．（3）关于直线对称①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）6．旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．7．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）8．简单组合体的三视图（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．9．由三视图判断几何体（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．10.数形结合思想1.数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
巧用数形结合,助力问题解决
巧用数形结合，助力问题解决
数形结合是一种将数学问题和图形问题相结合的方法，通过将数学问题转化成图形问题，可以更好地理解和解决问题。
下面将通过几个例子来说明如何巧用数形结合来解决问题。
例1：矩形面积
问题：一个矩形的长度是5厘米，宽度是3厘米，求矩形的面积。
解法：我们可以将矩形的长度和宽度都用线段表示，在纸上画出一个5厘米长的线段
和一个3厘米长的线段，并将它们相连，就可以得到一个矩形。
然后使用尺子或直尺测量
该矩形的长度和宽度，即可得到面积为15平方厘米。
例2：圆的周长和面积
问题：一个半径为4厘米的圆，求圆的周长和面积。
解法：我们可以使用一个图钉和一根绳子来画圆。
首先将图钉固定在纸上，然后将绳
子绕在图钉上，再将绳子的另一端拉直，并用铅笔固定住。
然后用尺子或直尺测量绳子的
长度，这个长度就是圆的周长。
将测量的周长值记为L=8π厘米。
然后使用公式C=2πr，将半径的数值代入公式，即C=2π×4=8π厘米。
同样，我们可以使用尺子或直尺测量绳子的宽度，这个长度就是圆的直径，将直径的数值代入公式A=πr²，即A=π×2²=4π平方
厘米。
通过巧用数形结合的方法，我们可以更好地理解和解决问题。
无论是几何问题还是代
数问题，数形结合都能提供一种可视化的方法，将抽象的数学问题转化成具体的图形问题，使问题更加直观，更容易解决。
通过数形结合，我们还可以培养对图形的观察和分析能力，提升数学思维的综合性和创造性。
所以，巧用数形结合，可以助力问题的解决。
例谈数形结合在初中数学解题中的应用
例谈数形结合在初中数学解题中的应用
数形结合在初中数学解题中的应用主要体现在几何图形的面积、体积、相似和全等等
方面。
通过数形结合的方法，可以简化问题，提高解题效率。
下面将从几何图形的面积、
体积和相似全等三个方面进行具体说明。
首先是几何图形的面积。
在初中数学中，我们经常需要计算各种几何图形的面积。
矩
形的面积可以通过数形结合的方法得到，即可以将矩形分割成若干个小矩形，然后计算小
矩形的面积之和。
同样地，三角形的面积可以通过数形结合的方法得到，即可以将三角形
分割成若干个小三角形，然后计算小三角形的面积之和。
通过这种数形结合的方法，计算
几何图形的面积变得简单而直观。
最后是几何图形的相似和全等。
在初中数学中，我们经常需要判断两个几何图形是否
相似或全等。
通过数形结合的方法，我们可以通过观察和比较两个几何图形的形状、边长、角度等特征来判断它们是否相似或全等。
两个三角形的对应边长比例相等且对应角度相等，则可以判断它们相似；两个三角形的对应边长相等且对应角度相等，则可以判断它们全等。
通过这种数形结合的方法，判断几何图形的相似和全等变得简单而直观。
数形结合在初中数学解题中的应用主要体现在几何图形的面积、体积、相似和全等等
方面。
通过数形结合的方法，我们可以简化问题，提高解题效率。
数形结合不仅是解题的
一种方法，也是培养学生观察和分析问题的能力的有效手段。
在初中数学教学中，应当加
强数形结合的学习和训练，提高学生的解题能力和数学思维能力。
例谈数形结合在初中数学解题中的应用
例谈数形结合在初中数学解题中的应用数形结合指的是将数学问题通过图形的方式来呈现，进而实现更加简洁和直观的解题方式。
在初中数学中，数形结合被广泛应用于各种类型的数学题目中，尤其是图形题与实际问题，如代数式、几何题、函数图像等。
下面我们将就其中几个具体的例子来谈谈数形结合在初中数学解题中的应用。
1. 代数式代数式是初中数学的重点之一，相信许多同学都会有这样的困扰：看到一大长串的数字和符号，不知道该怎么下手。
这时，我们可以借助一些图形来进行解题。
例如，有一道题目：已知(a+b)²=a²+2ab+b²，请证明(a-b)²=a²-2ab+b²。
我们可以利用一个正方形来帮助我们理解。
(a+b)²表示正方形面积，而(a+b)²中心对称点(a-b)则可视为两个比这个正方形较小的正方形的面积相等。
则有(a-b)²=a²-2ab+b²。
2. 几何题几何题一般都会涉及到图形的位置关系，这里我们就可以充分发挥出数形结合的作用。
例如，下面这道题目：已知AB//DE, AC//DF，若AB=DE=5cm，AC=6cm，EF=8cm，则求DF的长度。
我们可以通过画一张图来解决。
我们可以将AD、BE两条线段连接起来，得到两个等腰梯形。
由于EF已知，故可以利用几何条件得出DF的长度为13cm。
3. 函数图像在初中数学中，函数图像不仅仅是一个区间上数值与自变量的关系图形，还可以通过它来更好地理解数学概念。
例如：已知y=x²，画出它的图像，并求解y=2x+1与y=x²的交点坐标。
可以发现它们的交点坐标为(-1, -1)和(2, 5)。
综上所述，数形结合在初中数学解题中的应用涵盖了各个领域，可以帮助我们更好地理解各种数学知识，提升解题效率。
初二数形结合题解题技巧
初二数形结合题解题技巧
1. 观察图形特点：首先要仔细观察数形结合题中的图形，寻找图形的特点和规律。
例如，图形的对称性、重复性、变化规律等。
2. 运用数学知识：根据题目所给条件和图形的特点，运用基本的几何知识和数学公式进行推理和计算。
如长度、面积、角度的计算等。
3. 利用图形的辅助线：当图形较为复杂时，可以尝试画一些辅助线来辅助解题。
通过引入辅助线，可以将问题转化为更简单的几何问题或代数问题解答。
4. 运用逻辑思维：通过分析题目中的条件和信息，利用逻辑推理思维，找到图形之间的联系和规律，从而推导出答案。
5. 多角度思考：解题时不要固守一种思维方式，可以尝试从不同角度思考问题，寻找多种可能性和解题思路。
6. 锻炼空间想象力：数形结合题通常涉及到对图形的空间变换和投影等概念，因此锻炼空间想象力能够帮助更好地理解和解决问题。
总之，解答数形结合题需要考虑到数学知识的应用，观察和分析图形特点，灵活运用解题技巧和思维方式，以及锻炼创造性和逻辑思维能力。
例谈数形结合在初中数学解题中的应用
例谈数形结合在初中数学解题中的应用
数形结合是指通过数学问题中的图形和几何概念来解决数学问题的一种解题方法。
在初中数学中，数形结合常常用于解决与图形和几何有关的问题，如面积、周长、相似等方面的问题。
下面我将以几个常见的例子来说明数形结合在初中数学解题中的应用。
第一个例子是关于面积和周长的问题。
题目如下：一个矩形的长是宽的3倍，如果周长是64，求面积。
这道题可以用数形结合的思想来解答。
设矩形的长为3x，宽为x，则2(3x+x)=64，解得x=8，那么长就是24，宽就是8，面积就是24×8=192。
通过以上几个例子可以看出，数形结合在初中数学解题中有着广泛的应用。
它通过将数学问题转化为几何图形，利用图形的性质和关系来解决数学问题，不仅可以加深学生对数学知识的理解和记忆，还可以培养学生的几何直观思维和解决问题的能力。
在初中数学教学中，教师应该重视数形结合的教学，引导学生从图形中去寻找问题的线索和解决问题的方法，从而提高学生解题的效率和准确性。
中考冲刺：数形结合问题--知识讲解(基础)
中考冲刺：数形结合问题—知识讲解（基础）【中考展望】1．用数形结合的思想解题可分两类:(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等.2. 热点内容：在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.【方法点拨】数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.数形结合解题基本思路:“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，a的符号决定抛物线的开口方向,b与a 一起决定抛物线的对称轴的位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线图形的平移，只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的有关变化.在日常的数学学习中应注意养成数形相依的观念，有意识培养数形结合思想，形成数形统一意识，提高解题能力．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”总之，要把数形结合思想贯穿在数学学习中．数与形及其相互关系是数学研究的基本内容．【典型例题】类型一、利用数形结合探究数字的变化规律1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．【思路点拨】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n2+2n．【答案与解析】第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个； 第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（3×4-4）个； 第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（4×5-5）个； 按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n （n+2）.故答案为n （n+2）=n 2+2n.【总结升华】这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n 个图形之间的关系，找规 律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律. 举一反三：【变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n 个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．【答案】解：设第n 个图形的棋子数为n S ．第1个图形，S 1=1； 第2个图形，S 2=1+4； 第3个图形，S 3=1+4+7；第n 个图形，S n =1+4+…+3n -2；第（n-1）个图形，S n-1=1+4+…+[3（n-1）-2]；则第n 个图形比第（n-1）个图形多（3n-2）枚棋子．类型二、 利用数形结合解决数与式的问题2.已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是 （ ）.0a c bA.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c【思路点拨】首先从数轴上a 、b 、c 的位置关系可知：c ＜a ＜0；b ＞0且|b|＞|a|，接着可得a+b ＞0，c-b ＜0，然后即可化简|a+b|-|c-b|可得结果． 具体步骤为：① a,b,c 的具体位置，在原点左边的小于0，原点右边的大于0.②比较绝对值的大小.|a|＜|c|＜|b|.③化简原式中的每一部分，看看绝对值内部（二次根式中的被开方数的底数）的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数.④进行化简计算，得出最后结果. 【答案与解析】解：从数轴上a 、b 、c 的位置关系可知：c ＜a ＜0；b ＞0且|b|＞|a|， 故a+b ＞0，c-b ＜0，即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c ． 故选A ． 【总结升华】此题主要考查了利用数形结合的思想和方法来解决绝对值与数轴之间的关系，进而考察了非负数的 运用.数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．非负数在初中的范围内，有三种形式：绝对值（|a|），完全平方式(a ±b)2，二次根式((0)a a ≥.性质：非负数有最小值是0；几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0. 类型三、利用数形结合解决代数式的恒等变形问题3. 图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）A. 22()()4m n m n mn +--=B.222()()2m n m n mn +-+=C.222()2m n mn m n -+=+D.22()()m n m n m n +-=-【思路点拨】这是完全平方公式的几何背景，用几何图形来分析和理解完全平方公式的实质.是一个很典型的“数形结合”的例子，用图形的变换来帮助理解代数学中的枯燥无味的数学公式.根据图示可知，阴影部分的面积是边长为（m+n ）的正方形的面积减去中间白色的小正方形的面积（m 2+n 2），即为对角线分别是2m ，2n 的菱形的面积．据此即可解答． 【答案】B.【解析】（m+n ）2-（m 2+n 2）=2mn ．故选B ．【总结升华】本题是利用几何图形的面积来验证（m+n ）2-（m 2+n 2）=2mn ，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式． 举一反三:【变式】如图1是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个空心正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长是多少？ （2）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积；（3）观察图2，你能写出下列三个代数式：（m+n ）2、（m-n ）2、mn 之间的关系吗？【答案】 解：（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于（m-n ）；（2）（m-n ）2；（m+n ）2-4mn ；（3）（m-n ）2=（m+n ）2-4mn ．类型四、利用数形结合思想解决极值问题4.我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是 _____.（2）在图2中，相距3km 的A 、B 两镇位于河岸（近似看做直线CD ）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你： ①作图确定水塔的位置；②求出所需水管的长度（结果用准确值表示）. （3）已知x+y=6，求 22925x y +++的最小值？此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：①如图3中，作线段AB=6，分别过点A 、B ，作CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，使得CA= ____DB= ____. ②在AB 上取一点P ，可设AP= _____，BP= _____. ③ 22925x y +++的最小值即为线段___和线段_____长度之和的最小值，最小值为 ___．【思路点拨】（1）利用二次函数的顶点坐标就可得出函数的极值；∴作C点关于线段AB的对称点C′，连接C′D，过C′点作C′E⊥DB，交BD延长线于点E，∵AC=BE=3，DB=5，AB=C′E=6，∴DE=8，'2'210=+=.C D DE C E∴最小值为10．故答案为：①4；②x，y；③PC，PD，10．【总结升华】此题主要考查了函数最值问题与利用轴对称求最短路线问题，结合已知画出图象利用数形结合以及勾股定理是解题关键．作图题不要求写出作法，但必须保留痕迹.最后点题，即“xx即为所求”.类型五、利用数形结合思想，解决函数问题5.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论是（写出正确命题的序号）．【思路点拨】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数，以及x=﹣1，x=2对应y值的正负判断即可．【答案与解析】解：由二次函数图象开口向上，得到a＞0；与y轴交于负半轴，得到c＜0，∵对称轴在y轴右侧，且﹣=1，即2a+b=0，∴a与b异号，即b＜0，∴abc＞0，选项①正确；∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，选项②错误；∵原点O与对称轴的对应点为（2，0），∴x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，选项③错误；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，把b=﹣2a代入得：3a+c＞0，选项④正确，故答案是：①④．【总结升华】此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．举一反三：【变式】（2015•黔东南州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C.【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，∴c=0，∴abc=0∴①正确；∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x=﹣，∴﹣，b＜0，∴b=3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b 2﹣4ac ＞0，4ac ﹣b 2＜0， ∴④正确；综上，可得正确结论有3个：①③④． 故选：C ．中考冲刺：数形结合问题—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、 选择题1．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论： ①abc=0，②a+b+c ＞0，③a ＞b ，④4ac ﹣b 2＜0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。
例谈数形结合在初中数学解题中的应用
例谈数形结合在初中数学解题中的应用数形结合在数学解题中是一种常见的策略，它能够帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。
在初中数学学习中，数形结合不仅可以帮助学生更直观地理解数学问题，而且还可以提高他们的解题能力和逻辑思维能力。
本文将以具体的例子介绍数形结合在初中数学解题中的应用。
1. 长方形面积问题在初中数学学习中，计算长方形的面积是一个基本的数学问题。
传统的做法是通过公式S=长×宽来计算长方形的面积。
通过数形结合的方法，我们可以更生动地理解长方形的面积。
假设有一个长方形，长为3，宽为4，我们可以将这个长方形分成3行4列的小正方形，然后计算出其中小正方形的个数，即12个。
这样，我们就可以通过数形结合的方法更直观地理解长方形面积的计算过程。
2. 图形的相似性在初中数学学习中，图形的相似性是一个重要的概念。
通过数形结合的方法，我们可以更好地理解和应用图形的相似性。
有两个相似三角形，它们的对应边长比为3:4，我们可以通过数形结合的方法来证明它们是相似的。
我们可以用尺子测量两个三角形对应边的长度，然后比较它们的比值，如果两个比值相等，就可以得出这两个三角形是相似的结论。
3. 直角三角形的斜边长度假设有一个直角三角形，已知两条直角边的长度分别为3和4，我们可以通过画图的方式来计算斜边的长度。
我们可以在一个平面上画出两条互相垂直的线段，分别代表两条直角边，然后连接这两条线段的端点，就可以得到一个直角三角形。
通过这种方式，我们可以更直观地理解直角三角形的斜边长度。
4. 利用数形结合解决应用题5. 利用数形结合推导数学公式通过数形结合的方法，我们还可以更好地理解和推导各种数学公式。
我们可以通过数形结合的方法来推导直角三角形的勾股定理。
我们可以画出一个直角三角形的图形，然后利用几何的方法来证明勾股定理。
通过这种方法，我们可以更生动地理解和推导这个重要的数学公式。
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专题48 中考数学数形结合思想(解析版)
专题48 中考数学数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
1.数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
2.数形结合思想应用常见的四种类型（1）实数与数轴。
实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。
（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。
利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。
（3）在函数中的应用。
借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。
（4）在几何中的应用。
对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。
3.数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.【例题1】（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A ．√2+1B ．√2−1C ．√2D ．12 【答案】B【分析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，根据tan22.5°=ACCD 计算即可．【解析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，∴tan22.5°=AC CD =11+√2=√2−1 【对点练习】（2019•湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B．C．D．【答案】C【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2【例题2】（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15【答案】A【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．【解析】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）∴直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P为x＝20．【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．【答案】4【解析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，∵△ABC的面积为4，∴OA•OB+=4，∴+=4，解得：b1﹣b2=4．【例题3】（2020通化模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE 的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】见解析。
例谈数形结合在初中数学解题中的应用
例谈数形结合在初中数学解题中的应用数形结合是指在解决数学问题时，通过图形化表达问题，利用几何图形的性质进行问题分析和解决的方法。
数形结合在初中数学解题中的应用十分广泛，下面我们就分几个方面进行讲解。
一、初中数学中的平面几何平面几何是初中数学中的重要内容之一，其中很多知识点和概念都可以通过数形结合的方法进行更直观的理解和记忆。
比如：1.相似三角形的判定对于两个三角形，判断它们是否相似，可以通过计算它们的角度和边长比值，但也可以通过绘制它们的图形，通过观察其中的角度和边长比值是否相等来得出答案。
2.勾股定理的应用通过勾股定理，我们可以求解直角三角形的边长，而数形结合可以让我们更直观的理解勾股定理的几何意义。
图形中，斜边的平方等于两直角边平方和，也很容易理解。
3.中点定理的证明中点定理是一个非常简单而重要的定理，它的证明可以通过数形结合，绘制出一个平行四边形来完成。
在平行四边形中，对角线交点的连线恰好平分对角线，从而证明中点定理。
函数在初中数学中也是一个非常重要的概念，数形结合也可以为我们更好地理解函数的概念和性质提供帮助。
1.函数的定义函数可以看做是一种映射关系，图形中的坐标系就是一种很好的示例。
我们可以通过绘制坐标系、在坐标系中标出点、绘制函数图像等方式，帮助初学者更好地理解函数的定义。
2.函数图像的性质函数图像的性质也可以通过数形结合的方式来理解。
比如，对于一个一次函数，它的图像就是一条直线，通过观察这条直线的斜率和截距，我们就可以简单地推导出这条直线所对应的函数。
三、初中数学中的统计与概率统计与概率在初中数学中也是一项重要的内容。
这方面的问题可以用数形结合的方式解决。
1.频率分布直方图频率分布直方图是一个常用的图表来表示数据分布的情况。
通过绘制直方图，我们可以简单地看出数据的分布情况，例如是否呈现正态分布，均值与中位数是否接近等等。
2.概率树概率树可以帮助我们更直观地理解概率的计算过程。
通过绘制概率树，我们可以清楚地看出每个事件的发生概率，从而更好地计算该事件的概率。
方法技巧专题32 数形结合(解析版)
方法技巧专题32 数形结合 解析篇【一】函数图象数形结合法1.例题【例1】设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为2π的偶函数，)(x f '是)(x f 的导函数．当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，0)(2>'-x f x ）（π.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．8【解析】∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，f (x )是最小正周期为2π的偶函数，∴当x ∈[－3π，3π]时，0≤f (x )≤1. ∵当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎫x －π2f ′(x )>0，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )为单调减函数； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，f (x )为单调增函数，∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝f (x )的草图如图，由图知y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C.【例2】在R 上定义的函数()f x 是偶函数,且()(2)f x f x =-,若()f x 在区间[12]，上是减函数,则()f xＡ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数 【解析】 f （x ）= f （－x ）= f （2－x ），故f （x ）的草图如图：由图可知，B 正确。
2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解之和为( ) A ．－7 B ．－6 C ．－3 D ．－1答案 A【解析】因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设7个解中x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A.【练习2】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1(x ≤0)，f (x －1)(x ＞0)，若方程f(x)＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)答案 C【解析】函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1(x ≤0)，f (x －1)(x ＞0)的图象如图所示，当a<1时，函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f(x)＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．【二】几何意义数形结合法—线性规划问题1.例题【例1】如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，则yx的最大值为()A.12 B.33 C.32 D.3【解析】方程(x－2)2＋y2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M(2,0)，半径为r＝3(如图)，而yx ＝y－0x－0则表示圆M上的点A(x，y)与坐标原点O(0，0)的连线的斜率．所以该问题可转化为动点A在以M(2,0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值．由图可知当∠OAM在第一象限，且直线OA与圆M相切时，OA的斜率最大，此时OM＝2，AM＝3，OA⊥AM，则OA＝OM2－AM2＝1，tan∠AOM＝AMOA＝3，故yx的最大值为3，故选D.答案D【例2】已知实数x，y满足不等式组2435y xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z=y﹣mx取得最大值时有唯一的最优解（1，3），则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．0＜m＜1C．m＞1D．m≥1【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，由z=y -mx ,得y=mx+z ,即直线的截距最大，z 也最大 当m=0,此时y=z ,不滴足条件；当m>0,直线y=mx+z 的斜率k=m>0,要使目标函数最大时有唯一的最优解（1，3）， 则直线y=mx+z 的斜率m>1当m<0,目标函数y=mx+z 的斜率k=m<0,不滿足題意. 综上，m>1.故选：C. :2.巩固提升综合练习【练习1】设点P (x ，y )满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+110103y x y x y x ，则y x －x y的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－32，32C.⎣⎡⎦⎤－32，1 D ．[－1,1] 答案 B【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2,1)，B (1,2)，令t ＝y x ，f (t )＝t －1t ，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －xy的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，32.【练习2】若函数f （x ）=x 2+ax+2b 在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，则31a b a +--的取值范围是 A ．（14，1） B ．（34，32） C ．（14，54） D ．（54，2） 【答案】D【解析】∵函数f （x ）=x 2+ax+2b 在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，∴(0)20(1)120(2)4220f b f a b f a b =>⎧⎪=++<⎨⎪=++>⎩，求得012020b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩， 它所表示的区域为△ABC 内的部分，【三】圆锥曲线数形结合法1.例题【例1】已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A.⎝⎛⎭⎫14，－1 B.⎝⎛⎭⎫14，1C．(1,2) D．(1，－2)【解析】点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F，过点P作准线的垂线，垂足为S，则|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故当S，P，Q三点共线时取得最小值，此时P，Q的纵坐标都是－1，设点P的横坐标为x0，代入y2＝4x得x0＝14，故点P的坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1，故选A.答案A【例2】设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为()A. 2B. 3C.2D.5答案D【解析】如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，1.圆锥曲线数形结合法：是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点：①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等；②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解；③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．2.破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种：①通过数形结合建立相应的关系式；②通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点， 所以|PF 1|＝2|OQ |＝2a .又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝4a .在Rt △F 1PF 2中，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，得4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2，即e ＝ca ＝ 5.2.巩固提升综合练习【练习1】已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－2，12 【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12.【练习2】如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1，圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），与抛物线的焦点重合，且半径r＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝y A+1，|AB|＝y B﹣y A，∴三角形ABF的周长＝2+y A+1+y B﹣y A＝y B+3，∵1＜y B＜3，∴三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）．【四】数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用1.例题【例1】函数f(x)＝2x－1x的零点个数为()A.0B.1C.2D.3答案B【解析】在同一平面直角坐标系下，作出函数y1＝2x和y2＝1x的图象，如图所示.函数f(x)＝2x－1x的零点个数等价于2x＝1x的根的个数，等价于函数y1＝2x和y2＝1x图象的交点个数.由图可知只有一个交点，所以有一个零点.故选B.【例2】方程lgx = sinx 的实根的个数为 （ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】画出y = lgx 和y = sinx 在同一坐标系中的图象，如图所示，两函数图象有3个交点，选C.2.巩固提升综合练习【练习1】若关于x 的方程||x x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎭⎫14，＋∞由图可得0<1k <4， 解得k >14. 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 【练习2】已知函数f (x )⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋1，x ≤1，ln x ，x >1，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎭⎫14，1e 【解析】画出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，要使直线y ＝ax 与函数f (x )有两个交点，当y ＝ax 与y ＝x 4＋1平行时，显然有两个交点，此时a ＝14.当a >14时，只需求出当直线y ＝ax 和曲线y ＝ln x 相切时的斜率即可.由于相切时交点只有1个，故结合图象知，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，1e .【五】数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用1.例题【例1】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0) 答案 D④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0). 故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示.由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x . 此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x ). 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0).故选D. 【例2】若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12解析 作出y 1＝|x －2a |和y 2＝12x ＋a －1的简图，如图所示.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤2－2a ，a －1<0，故a ≤12.2.巩固提升综合练习【练习1】设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________.答案 [2－1，＋∞)【解析】集合A 是圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是[2－1，＋∞).【练习2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2ax ，x ≥1，2ax －1，x <1，若存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a的取值范围为________. 答案 [0，＋∞)解析 根据题意知f (x )是一个分段函数，当x ≥1时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为x ＝a ；当x <1时，是一个一次函数.当a >1时，如图(1)所示，符合题意；当0≤a ≤1时，如图(2)所示，符合题意；当a <0时，如图(3)所示，此时函数在R 上单调递减，不满足题意.综上所述，可得a ≥0.【六】数形结合思想在圆与直线问题中的应用1.例题【例1】已知实数x 、y 满足x 2＋y 2=3（0y ≥），求（1）13y m x +=+，（2）b=2x+y 的取值范围。