2第三章 静磁场解析
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第三章
流激发的基本理论应用到静磁场的情况，即研究恒定电 在恒定电流情况下，电场也同时存在，电源及导线表面上 都带有一定的电荷，但由于电场和磁场与时间无关，因而电场 和磁场可以分开研究。根据麦克斯韦方程组，恒定电流激发的 磁场满足：
H J B 0 与静电场的标势相对应，静磁场的矢势是一个重要概念。
A2t A1t
(1)
( A 0)
S
A2 n A1n
（１）、（２）两式合算，得到
般情况下不能用标势描述。
但由于 B 0 ,所以B可以表为另一矢量场的旋度，即 A称为磁场的矢势。 (P277 附录 I.17) 2. 矢势A的物理意义 为了看出矢势A的意义，我们考察上式的积分形式。把B对任 一个以回路L为边界的曲面S积分，得
B A
B dS A dS
S S
L
A dl
这就是通过曲面S的磁通量。
设S1和S2是两个有共同边界L的曲面，则
S1
B dS A dl B dS
L S2
这正是B的无源性的表现。
因为是无源的，在S1和S2所包围的区域内没有磁感应线
发出，也没有磁感应线终止，B线连续地通过该区域，因而 通过曲面S1的磁通量必须等于通过曲面S2的磁通量。这磁通
对于线电流情形，设I为导线上的电流强度，作代换 JdV→Idl，得
Idl r B 4 r 3
这就是毕奥－萨伐尔定律给出的结果。
三、矢势边值关系
由前面知，当全空间的电流分布J给定时，可以计算磁 场。对于电流和磁场互相制约的问题，则必须解矢势 微分方程的边值问题，必然要用到矢势的边值关系。 在两介质分界面上磁场的边值关系为
其中B0为常量。
Bz B0
由定义式:
Ax B0 x y Az Ay Ax Az 0 y z z x 我们不难看出有解：
Ay
Az Ay 0,
Ax B0 y
同时还可以看出有另一解：
Az Ax 0,
Ay B0 x
3. 确定A的辅助条件
可以证明上式满足规范条件，因此，该式确实是微分方程 的解。式中x’是源点, x为场点，r为由x’到x的距离。若讨
论真空情形，令μ=μ0即可。
3. 根据A求B
J ( x)dV B A 4 r 1 ( ) J ( x)dV 4 r J r dV 3 4 r
可以用较简单的形式A1=A2代替。 将矢势沿闭合回路积分，当回路短边长度趋于零时 由于回路面积趋于零，有
L
A dl ( A2t A1t )l
L
A dl B dS 0
S
因此
( A2t A1t )l 0
另外，若取 A 0 ，利用高斯公式，推导，可得
§3.1 矢势及其微分方程
一、矢势 1. 矢势的概念 恒定电流磁场的基本方程是 上两式结合物质的电磁性质方程是解磁场问题的基础。 磁场的特点和电场不同： 静电场是有源无旋场，电场线从正电荷出发而止于 负电荷，静电场线永不闭合，可以引入标势来描述。
Η J
B 0
静磁场是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线。一
( A) 2 A J
若取A满足规范条件∇⋅A = 0 ，得矢势的微分方程
2 A J
2
( A 0)
A的每个直角分量Ai满足泊松方程
Ai J i , (i 1,2,3)
2. 若J已知，求A 的解 ( x ) 1 ( x)dV . 2 对比 4 r 方程 2 Ai J i , (i 1,2,3) 的解应为： J i ( x)dV Ai ( x ) . 4 r 所以方程 2 A J 的解为： J ( x)dV A( x ) . 4 r
证明：在所有的可以描述磁场的矢势中，必存在
一个矢势A，满足 A 0 证：设有一个A，满足 B A ，但
A u 0 我们另取一个矢势 A A 显然 A’可以描述磁场，即 B A 现在 A A 2 u 2
因为任意函数 ，其梯度的旋度恒为零，故有
( A ) A.
即 A 与 A对应于同一个磁场B。 A的这种任意性是由于只有A的环量才有物理意义，
而每点上的A本身没有直接的物理意义。 由于A的这种任意性，要确定A ，必须加一个辅助
条件。最常用的办法就是令
A 0
量由矢势A对S1或S2的边界的环量表示。
因此，矢势A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代
表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有A的环量才
有物理意义，而每点上的值没有直接的物理意义。 由矢势 A 可以确定磁场 B ，但是由磁场 B 并不能唯一地 确定矢势A。 例如：有沿Z 轴方向的均匀磁场:
Bx By 0
n ( B2 B1 ) 0 n ( H 2 H1 ) α
将场量用矢势A表示出来，即可得到矢势的边值关系。
矢势的边值关系为
n ( A2 A1 ) 0
n( 1
2
A2
1
1
A1 ) α
若取规范条件∇⋅A = 0 ，
n ( A2 A1 ) 0
2 取 为泊松方程 u 的一个解，问题得证。
当加上辅助条件 A 以后，A就可以确定下来。 对A所加的辅助条件称为规范条件。
二、矢势微分方程
1. A的微分方程 在均匀线性介质内，B=∇×A=μH，代入方程 ∇×H = J 得矢势A的微分方程
( A) J
由矢量分析公式 ( A) ( A) 2 A. 得
流激发的基本理论应用到静磁场的情况，即研究恒定电 在恒定电流情况下，电场也同时存在，电源及导线表面上 都带有一定的电荷，但由于电场和磁场与时间无关，因而电场 和磁场可以分开研究。根据麦克斯韦方程组，恒定电流激发的 磁场满足：
H J B 0 与静电场的标势相对应，静磁场的矢势是一个重要概念。
A2t A1t
(1)
( A 0)
S
A2 n A1n
（１）、（２）两式合算，得到
般情况下不能用标势描述。
但由于 B 0 ,所以B可以表为另一矢量场的旋度，即 A称为磁场的矢势。 (P277 附录 I.17) 2. 矢势A的物理意义 为了看出矢势A的意义，我们考察上式的积分形式。把B对任 一个以回路L为边界的曲面S积分，得
B A
B dS A dS
S S
L
A dl
这就是通过曲面S的磁通量。
设S1和S2是两个有共同边界L的曲面，则
S1
B dS A dl B dS
L S2
这正是B的无源性的表现。
因为是无源的，在S1和S2所包围的区域内没有磁感应线
发出，也没有磁感应线终止，B线连续地通过该区域，因而 通过曲面S1的磁通量必须等于通过曲面S2的磁通量。这磁通
对于线电流情形，设I为导线上的电流强度，作代换 JdV→Idl，得
Idl r B 4 r 3
这就是毕奥－萨伐尔定律给出的结果。
三、矢势边值关系
由前面知，当全空间的电流分布J给定时，可以计算磁 场。对于电流和磁场互相制约的问题，则必须解矢势 微分方程的边值问题，必然要用到矢势的边值关系。 在两介质分界面上磁场的边值关系为
其中B0为常量。
Bz B0
由定义式:
Ax B0 x y Az Ay Ax Az 0 y z z x 我们不难看出有解：
Ay
Az Ay 0,
Ax B0 y
同时还可以看出有另一解：
Az Ax 0,
Ay B0 x
3. 确定A的辅助条件
可以证明上式满足规范条件，因此，该式确实是微分方程 的解。式中x’是源点, x为场点，r为由x’到x的距离。若讨
论真空情形，令μ=μ0即可。
3. 根据A求B
J ( x)dV B A 4 r 1 ( ) J ( x)dV 4 r J r dV 3 4 r
可以用较简单的形式A1=A2代替。 将矢势沿闭合回路积分，当回路短边长度趋于零时 由于回路面积趋于零，有
L
A dl ( A2t A1t )l
L
A dl B dS 0
S
因此
( A2t A1t )l 0
另外，若取 A 0 ，利用高斯公式，推导，可得
§3.1 矢势及其微分方程
一、矢势 1. 矢势的概念 恒定电流磁场的基本方程是 上两式结合物质的电磁性质方程是解磁场问题的基础。 磁场的特点和电场不同： 静电场是有源无旋场，电场线从正电荷出发而止于 负电荷，静电场线永不闭合，可以引入标势来描述。
Η J
B 0
静磁场是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线。一
( A) 2 A J
若取A满足规范条件∇⋅A = 0 ，得矢势的微分方程
2 A J
2
( A 0)
A的每个直角分量Ai满足泊松方程
Ai J i , (i 1,2,3)
2. 若J已知，求A 的解 ( x ) 1 ( x)dV . 2 对比 4 r 方程 2 Ai J i , (i 1,2,3) 的解应为： J i ( x)dV Ai ( x ) . 4 r 所以方程 2 A J 的解为： J ( x)dV A( x ) . 4 r
证明：在所有的可以描述磁场的矢势中，必存在
一个矢势A，满足 A 0 证：设有一个A，满足 B A ，但
A u 0 我们另取一个矢势 A A 显然 A’可以描述磁场，即 B A 现在 A A 2 u 2
因为任意函数 ，其梯度的旋度恒为零，故有
( A ) A.
即 A 与 A对应于同一个磁场B。 A的这种任意性是由于只有A的环量才有物理意义，
而每点上的A本身没有直接的物理意义。 由于A的这种任意性，要确定A ，必须加一个辅助
条件。最常用的办法就是令
A 0
量由矢势A对S1或S2的边界的环量表示。
因此，矢势A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代
表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有A的环量才
有物理意义，而每点上的值没有直接的物理意义。 由矢势 A 可以确定磁场 B ，但是由磁场 B 并不能唯一地 确定矢势A。 例如：有沿Z 轴方向的均匀磁场:
Bx By 0
n ( B2 B1 ) 0 n ( H 2 H1 ) α
将场量用矢势A表示出来，即可得到矢势的边值关系。
矢势的边值关系为
n ( A2 A1 ) 0
n( 1
2
A2
1
1
A1 ) α
若取规范条件∇⋅A = 0 ，
n ( A2 A1 ) 0
2 取 为泊松方程 u 的一个解，问题得证。
当加上辅助条件 A 以后，A就可以确定下来。 对A所加的辅助条件称为规范条件。
二、矢势微分方程
1. A的微分方程 在均匀线性介质内，B=∇×A=μH，代入方程 ∇×H = J 得矢势A的微分方程
( A) J
由矢量分析公式 ( A) ( A) 2 A. 得