三次函数的对称中心与切线条数

三次函数的对称中心与切线条数问题
证明：三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。

提示：可根据奇函数图像的平移得到。

分析：我们知道奇函数的图像关于原点对称，所以要证结论成立，只需证任意一个三次函数都可以由关于原点对称的三次函数（奇函数）平移得来，也即任意的三次函数都可以写成3()()y a x m k x m n =-+-+的形式，因为上述函数图像可以看成奇函数3y ax kx =+按向量(,)m n 平移之后的结果，一定是中心对称图形 展开得：32233(3)()y ax amx am k x n km am =-+++--
与32y ax bx cx d =+++比较系数得：23
33am b am k c n km am d
-=⎧⎪
+=⎨⎪--=⎩
容易发现，上述方程组一定是有解的，解得：3b m a
=- 故三次函数一定是中心对称图形，且对称中心为(,())33b b f a a
-
- 问题：过三次函数图像上一点00(,)P x y 能作三次函数图像多少条切线？
分析：由于三次函数有对称中心，可假设其对称中心在原点，设3()f x ax bx =+，则2()3f x ax b '=+ 设11(,)Q x y 为函数图像上任意一点，则以Q 为切点的切线为21111(3)()y y ax bx x x -=+-
将点00(,)P x y 代入得：201101(3)()y y ax b x x -=+-，即3
320
011101()(3)()ax bx ax bx ax b x x +-+=+- 整理得：3231010
230x x x x -+=，问题转化为关于1x 的方程323
1010230x x x x -+=有几个实根的问题 为了看起来习惯，我们将上述方程中的1x 换成x ，即323
00
230x x x x -+= ① 显然当00x =时，方程①即为30x =，解得：0x =，故过(0,0)能作函数图像的一条切线 当00x ≠时，由方程①解得：0x x =或0
2
x -
，故过00(,)x y 能作函数图像的两条切线 问题：过三次函数图像外任意一点能作三次函数图像多少条切线？
分析：根据三次函数中心对称的特征，我们知道一定可以将函数图像平移至关于原点对称，而本问题的结论显然只与点P 与三次函数图像的相对位置有关，故可简单地考虑三次函数对称中心在坐标原点的情形，设三次函数的解析式为3()f x ax bx =+，并且不妨设0a >，这两个假设并不会影响本结论的一般性。

设点00(,)P x y 为平面上任意一点，易求得函数在坐标原点（对称中心）处的切线方程为y bx = 设3111(,)x ax bx +为()y f x =上任意一点，则该点处的切线方程为：321111()(3)()y ax bx ax b x x -+=+- 将点P 代入得：32011101()(3)()y ax bx ax b x x -+=+-
问题转化为讨论方程3200()(3)()y ax bx ax b x x -+=+-有几个解的问题 将上述方程化简得：32000230ax ax x y bx -⋅+-= 令32000()23g x ax ax x y bx =-⋅+-，则：0()6()g x ax x x '=-
注意到000()()g x y f x =-，00(0)g y bx =-，下面讨论函数()g x 的零点个数
（i ）若0()(0)0g x g ⋅<，则()g x 有三个零点，即过点00(,)P x y 能作函数图像三条切线
此种情况下点P 位于图中的区域I ，也即夹在三次函数对称中心处切线和三次函数图像之间的区域
)
（ii ）若0()(0)0g x g ⋅=，则要分00x =和00x ≠讨论
当00x =时，显然2()60g x ax '=≥，故()g x 在R 上递增，()g x 仅有一个零点 此时P 恰为三次函数的对称中心，只能作函数图像的一条切线
当00x ≠时，由0()(0)0g x g ⋅=知()g x 有两个零点，即过点00(,)P x y 能作函数图像两条切线 同时，由000()()0g x y f x =-=或00(0)0g y bx =-=得：00()y f x =或00y bx =
此种情况下点P 位于三次函数对称中心处的切线上，或者三次函数图像上且不与三次函数的对称中心重合 （iii ）若0()(0)0g x g ⋅>，()g x 仅有一个零点，即过点00(,)P x y 能作函数图像一条切线
此种情况下点P 位于图中的区域II ，也就是同时处在三次函数对称中心处切线和三次函数图像之上或同时 位于两者下方的区域
)
至此，过平面上任意一点处作三次函数切线条数的问题已经完全解决了，点P 所处位置与过该点能作三次 函数图像切线条数示意图如下：
1条。