二次函数的应用第二课时 教案.doc
《二次函数的图象(第二课时)》参考教案
26.1.3 二次函数2()y a x h k=-+的图象第一课时教学目标1．知识与技能会作函数y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们的异同；理解a，c对二次函数图象的影响．能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．了解抛物线y=ax2上下平移规律．2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2＋c的图象的画法和性质的过程，增强对二次函数图象的理解，体会数形结合的思想与方法．.3．情感、态度与价值观进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，体会知识的转化、图象移动的理会，感受到数学数形之间转换的魅力．教学重点难点1．重点作出函数y=ax2和y=ax2＋c的图象，比较它们的异同，了解它们的性质．2．难点函数y=ax2＋c的图象与性质的理解，掌握抛物线的上下平移规律．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆二次函数y=ax2的图象与性质．从而导人探求函数y=ax2＋c的图象导语二一个长方形的长为x（cm)，宽为12x（cm)，则这个长方形的面积s(cm2）与它的长x (cm）的关系如何？你能作出它的函数图象吗？这个图象与y=ax2的图象有哪些区别？【答案】y=12x2（x>0）它的图象只是抛物线的一部分，而y=x2的图象是一条抛物线.导语三比较函数y=x2与y=x2＋l中的系数有什么异同？猜想它们的图象有何关系？从而引人新课.（二）合作交流解读探究1．二次函数y=ax2+c的图象与性质【做一做】，在同一坐标系中，画出函数y=x2-1和函数y=x2+1的图象．教师在学生做完以后，可提供如下解答过程． 解：先列表x…-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x 2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 … y=x 2+1 …83-138…然后描点画图，如图26-1-5【想一想】抛物线y=x 2+1，y=x 2， y=x 2-1有哪些相同点和不同点 相同点：①开口方向相同，它们的开口都向上 ②对称轴相同，它们都关于y 轴对称 ③形状大小相同.不同点：顶点的位置不同，抛物线的位置也不同结合【议一议】三个函数的形状相同，从哪些方向可以看出？①用幻灯片展示，将抛物线y=x 2向上平移1个单位后抛物线y=x 2+1完全重合. ②观察两个图象中各5个点的特殊位置，在①的展示上可以看出这5个点可以通过平移重合情况，从而可推断出抛物线y=x 2与y=x 2+1完全重合③从解析式和表格中数据也可以看出以上平移情况，从而可以肯定抛物线y=x 2，y=x 2+1的形状、大小完全相同.【议一议】抛物线y=ax 2与y=ax 2±c 有何联系？【答案】①抛物线y=ax 2±c 的形状与y=ax 2的形状完全相同，只是位置不同.②抛物线y=ax 2c −−−−→向上平移个单位y=ax 2+c. y=ax 2c −−−−→向下平移个单位y=ax 2-c 【练一练】教科书P7练习 【答案】①它们的图象略 ②见下表③抛物线2y=x 2向上平移k(k>0)个单位后抛物线2y=x 2+k 完全重合.（三）应用迁移巩固提高类型之一函数y=ax 2+c 的图象特征与性质的运用例1 抛物线y=ax 2+c 与y=-5x 2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0,3),则其表达式为 y=-5x 2+3 ，它是由抛物线y=-5x 2向上平移 3 个单位得到的.【分析】根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a 的值，再根据顶点坐标（0，3），可确定c 的值，从而可判断平移方向.解：抛物线y=ax 2+c 与y=-5x 2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a=-5. 又∵其顶点坐标为（0，3）. ∴c=3.∴y=-5x 2+3.它是由抛物线y=5x 2向上平移3个单位得到的.【点评】①解这类题，必须根据二次函数y=ax 2+c 的图象与性质来解.a 确定抛物线的形式及开口方向，c 确定顶点的位置.②抛物线平移多少个单位，主要看两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位.（有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长）类型之二求二次函数的解析式例2若抛物线y=ax 2+c 经过点（-1，2），（0，4），求该抛物线的解析式【分析】抛物线经过点（-1，2），（0，4），那么这两点坐标满足函数关系式，故列方程组可求.解：由已知条件得22a (1)c 2a 0c 4⎧-+=⎪⎨+=-⎪⎩，解得a 6c 4=⎧⎨=-⎩∴所求解析式为y=6x 2-4.【点评】二次函数y=ax 2+c 中有两个待定系数a 、c ，故通常需至两足对应值或图象上的两个点的坐标，列方程组可求出a 、c 的值例3 已知抛物线y=ax 2+c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x 2+2.试求a 、c 的值【分析】这里a 、c 值可利用抛物线的特征和平移规律来求出.解：根据题意知，a 3c 22=-⎧⎨-=⎩，解得a 3c 4=-⎧⎨=⎩，【点评】可根据规律直接求出a 、c. （四）总结反思拓展升华【总结】本节所学知识是函数y=ax 2+c 的图象与性质以及抛物线y=ax 2上下平移规律. 所学的思想方法图象法、数形结合的思想.【反思】若将抛物线y=2x 2+3绕其顶点旋转1800，所得抛物线的解析式为y=-2x 2+3 【拓展】若抛物线y=ax 2+c 与y=-2x 2+5关于x 轴对称.求a 、c 的值. 【答案】a=2,c= -5.草图如26-1-6【点评】此类题通常画出草图，利用对称关系求出顶点坐标.进而求出a 、c 的值 （五）当堂检测反馈1.抛物线y=-2x 2-5的开口方向向下，对称轴是 y 轴，顶点坐标（0，-5）. 【分析】根据抛物线y=ax 2+c 的特征解答即可.2. 抛物线y=ax 2+c 与y=3x 2的形状相同，且其顶点坐标为（0，1），则其表达式 为 y=3x 2+1或y=-3x 2+1.解：∵抛物线y=ax 2+c 与y=3x 2的形状相同，故a=±3, 又∵其顶点坐标为（0，1），∴c=1. ∴所求抛物线y=3x 2+1或y=-3x 2+1【注意】两抛物线的形状相同时，它们的二次项系数的绝对值相等，故有两种情况3. 抛物线y=-212x +7向下平移 10 个单位后得到抛物线y=-212x -34. 下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是（ D ）A.y=2x 2与y=3x 2B. y=212x +2与y=2x 2+12C.y=2x 2与y=x 2+2D.y=x 2+2与y=-x 2-2， 【分析】根据a 的值相同判断即可5．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（B ）解：根据图象知，只有B中两个函数解析式中系数a 和c 的正、负情况保持一致.故选择B6．若抛物线y=ax 2+c 经过点A(-3,2),B(0,1).求该抛物线的解析式解：由已知得222(3)10a c a c ⎧=-+⎪⎨-=+⎪⎩，解得131a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. ∴所求抛物线的解析式为y=13x 2-1ABD。
二次函数的图象第二课时教案
二次函数的图象第二课时教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点的概念；（2）学会如何通过二次函数的系数判断开口方向和对称轴的位置；（3）能够熟练运用二次函数的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳二次函数图象的性质；（2）利用数形结合的方法，理解二次函数图象与系数的关系。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点的判断方法；（2）运用二次函数的性质解决实际问题。
2. 教学难点：（1）开口方向与对称轴的判断；（2）二次函数图象与实际问题的结合。
三、教学过程1. 复习导入：（1）回顾一次函数图象的性质；（2）引导学生思考二次函数图象的特点。
2. 新课讲解：（1）介绍二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点的概念；（2）讲解如何通过二次函数的系数判断开口方向和对称轴的位置；（3）举例说明二次函数图象与系数的关系。
3. 课堂练习：（1）让学生绘制几个二次函数的图象，观察开口方向、对称轴和顶点的位置；（2）引导学生分析二次函数图象与系数的关系。
四、课后作业2. 选取几个实际问题，运用二次函数的性质进行解答。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对二次函数图象的理解和运用能力。
关注学生在课堂上的参与度和思维发展，激发学生的学习兴趣。
六、课堂实践1. 案例分析：分析实际问题，将其转化为二次函数形式；利用二次函数的性质，解答实际问题。
2. 分组讨论：学生分组，讨论如何将实际问题转化为二次函数；每组选取一个实际问题，展示解题过程和答案。
七、拓展与延伸1. 探讨二次函数图象在其他领域的应用；引导学生思考二次函数在物理学、经济学等领域的应用；举例说明二次函数在其他领域的实际应用。
2. 课堂小结：强调二次函数图象在实际问题中的应用价值。
2.4 二次函数的应用 第2课时(教案)-北师大版数九年级下册
第2课时利用二次函数解决利润问题1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.1.经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.2.发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.1.体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和人类发展的作用.【重点】1.探索销售中最大利润问题,从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.2.引导学生将简单的实际问题转化为数学问题,并运用二次函数知识求出实际问题的最大(小)值,从而得到解决某些实际生活中最大(小)值问题的思想方法.【难点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大(小)值问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习关于销售的相关量之间的关系及二次函数最值的求法.导入一:【引入】如果你是某企业老总,你最关心的是什么?是的,当然是利润,因为它是企业生存的根本,并且每个企业都想在限定条件内获得更大利润.本节课我们就来探究形如最大利润的问题.[设计意图]开门见山,直入正题,让学生对本节课所要了解的知识一目了然,使他们的学习更有针对性.导入二:请同学们思考下面的问题:某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000x-10000,则产量是多少时总利润最大?最大利润是多少?学生分析数量关系:求总利润最大就是求二次函数L=-x2+2000x-10000的最大值是多少.即L=-x2+2000x-10000=-(x2-2000x+10002-10002)-10000=-(x-1000)2+990000.∴当产量为1000件时,总利润最大,最大利润为99万元.【引入】显然我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润,你能利用这种思路求解下面的问题吗?[设计意图]让学生通过对导入问题的解答,进一步强化将实际问题转化为数学模型的意识,使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内,此二次函数何时取得最大值问题.服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?思路一教师引导学生思考下面的问题:1.此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?生审题后回答:批发价为自变量,所获利润为因变量.2.此题的等量关系是什么?3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题:(1)销售量可以表示为;(2)每件T恤衫的销售利润可以表示为;(3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为.4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?【师生活动】教师启发学生依次探究问题,根据引导要求学生独立解答后,小组交流,共同解决所发现的问题.解:设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元.由题意得y=(x-10)=(70000-5000x)(x-10)=-5000(x-12)2+20000.∴当x=12时,y=20000.最大∴厂家批发价是12元时可以获利最多.思路二【思考】此题还有其他的解法吗?可以不直接设批发价吗?【师生活动】学生进行小组讨论,师巡视并参与到学生的讨论之中去.组长发言,师生共同订正.解:设降价x元,该服装厂获得的利润为y元.则y=(13-10-x)=(5000+5000x)(3-x)=-5000(x-1)2+20000,=20000.∴当x=1时,y最大13-1=12.∴厂家批发价是12元时可以获利最多.【教师点评】在利用二次函数解决利润的问题时,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.[设计意图]让学生回顾列一元二次方程解决“每件商品的销售利润×销售这种商品的数量=总利润”这种类型的应用题,做好知识的迁移,为下一环节的教学做好准备,以便降低学生接受知识的(教材例2)某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?〔解析〕此题的等量关系是:客房日租金总收入=提价后每间房的日租金×提价后所租出去的房间数.如果设每间房的日租金提高x个10元,那么提价后每间房的日租金为(160+10x)元,提价后所租出去的房间数为(120-6x)间.解:设每间房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元,则y=(160+10x)(120-6x),即y=-60(x-2)2+19440.∵x≥0,且120-6x>0,∴0≤x<20.=19440,当x=2时,y最大这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元),因此,每间客房的日租金提高到180元时,客房总收入最高,最高收入为19440元.[设计意图]让学生通过对例题的解答,进一步熟悉和掌握本课所学知识,拓宽知识面,使其解题能力和应用能力得到进一步提升.二、利用二次函数图象解决实际问题课件出示:【议一议】还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.请同学们在课本第49页图2-11中画出二次函数y=-5x2+100x+60000的图象.要求:同伴合作,画出图象.师课件出示函数图象,供学生参考.问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?看一看:从图象中你们可以发现什么?增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?请同学们开始小组讨论交流.学生积极思考,合作交流.请代表展示他们的讨论成果:结论1:当x<10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x=10时,橙子的总产量最大;当x>10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.结论2:由图象可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上.能力提升:在分析的过程中,用到了什么数学思想方法?学生迅速得出:用到了数形结合的数学思想方法.[设计意图]让学生绘制该二次函数图象,并利用图象进行直观分析,体会数形结合的思想方法,并感受自变量的取值范围.用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956.则获利最多为()A.3144元B.3100元C.144元D.2956元解析:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,∴y=-(x-12)2+3100.∵-1<0,∴当x=12时,y有最大值,为3100.故选B.2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高()A.4元或6元B.4元C.6元D.8元解析:设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元,根据题意得y=(10+2x)(100-10x)=-20x2+100x+1000=-20+1125.∵x取整数,∴当x=2或3时,y最大,当x=3时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少,∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.故选C.3.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为.解析:设应涨价x元,则所获利润为y=(100+x)(500-10x)-90×(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x2-40x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见当涨价20元,即单价为100+20=120元时获利最大.故填120元.4.(2014·沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为元.解析:设最大利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25.∵20≤x≤30,x为整数,∴当x=25时,w 有最大值,为25.故填25.5.每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,由题意,得y·k(1-5%)≥(5+0.7)k.∵k>0,∴95%y≥5.7,∴y≥6.∴水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90,∵a=-10<0,∴当x=9时,w有最大值.∴当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.第2课时用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.一、教材作业【必做题】1.教材第49页随堂练习.2.教材第50页习题2.9第1,2题.【选做题】教材第50页习题2.9第3题.二、课后作业【基础巩固】1.学校商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2(x-2)2+48,则下列叙述正确的是()A.当x=2时,利润有最大值48元B.当x=-2时,利润有最大值48元C.当x=2时,利润有最小值48元D.当x=-2时,利润有最小值48元2.一件工艺品进价为100元,按标价135元售出,每天可售出100件.若每降价1元出售,则每天可多售出4件.要使每天获得的利润最大,每件需降价()A.5元B.10元C.12元D.15元3.某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元,则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是元.4.(2015·营口中考)某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为元时,该服装店平均每天的销售利润最大.【能力提升】5.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y (单位:万元)与销售量x (单位:辆)之间分别满足:y 1=-x 2+10x ,y 2=2x ,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元6.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元,为了减少库存,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低()A.0.2元或0.3元B.0.4元C.0.3元D.0.2元7.某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系.(1)求出y与x之间的函数关系式;(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式.若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大?最大利润是多少?8.(2015·汕尾中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:售价/(元/100110120130件)…月销量/200180160140件…已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润;②月销量.(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?【拓展探究】9.(2015·舟山中考)某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x 满足下列关系式:y=(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?(2)设第x天粽子的成本是p元/只,p与x之间的关系可用如图所示的函数图象来刻画.若李明第x 天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?【答案与解析】1.A(解析:在y=-2(x-2)2+48中,当x=2时,y有最大值,是48.)2.A(解析:设每件降价x元,利润为y元,每件的利润为(135-100-x)元,每天售出的件数为(100+4x)件,=3600.)由题意,得y=(135-100-x)(100+4x)=-4x2+40x+3500=-4(x-5)2+3600,∵a=-4<0,∴当x=5时,y最大3.160(解析:设每张床位提高x个20元,每天收入为y元.则有y=(100+20x)(100-10x)=-200x2+1000x+10000.当x=-==2.5时,可使y有最大值.又x为整数,则当x=2时,y=11200;当x=3时,y=11200.故为使租出的床位少且租金高,每张床收费100+3×20=160(元).)4.22(解析:设定价为x 元,根据题意得平均每天的销售利润y =(x -15)·[8+2(25-x )]=-2x 2+88x -870,∴y =-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98.∵a =-2<0,∴抛物线开口向下,∴当x =22时,y 最大值=98.故填22.)5.D (解析:设在甲地销售x 辆,则在乙地销售(15-x )辆,根据题意得出:W =y 1+y 2=-x 2+10x +2(15-x )=-x 2+8x +30=-(x -4)2+46,∴最大利润为46万元.)6.C (解析:设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元.根据题意,得(3-2-x )-24=200.解这个方程,得x 1=0.2,x 2=0.3.∵要减少库存,且200+>200+,∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元.)7.解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b (k ≠0),由所给函数图象可知解得故y 与x 的函数关系式为y =-x +180.(2)∵y =-x +180,∴W =(x -100)y =(x -100)(-x +180)=-x 2+280x -18000=-(x -140)2+1600.∵a =-1<0,∴当x =140时,W 最大=1600,∴售价定为140元/件时,每天获得的利润最大,最大利润为1600元.8.解:(1)①销售该运动服每件的利润是(x -60)元.②设月销量w 与x 的关系式为w =kx +b ,由题意得解得∴w =-2x +400.∴月销量为(-2x +400)件.(2)由题意得y =(x -60)(-2x +400)=-2x 2+520x -24000=-2(x -130)2+9800,∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.9.解:(1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只,由题意可知30n +120=420,解得n =10.答:第10天生产的粽子数量为420只.(2)由图象得当0≤x ≤9时,p =4.1;当9≤x ≤15时,设p =kx +b ,把点(9,4.1),(15,4.7)代入,得解得∴p =0.1x +3.2.①当0≤x ≤5时,w =(6-4.1)×54x =102.6x ,当x =5时,w 最大=513(元);②当5<x ≤9时,w =(6-4.1)×(30x +120)=57x +228,∵x 是整数,∴当x =9时,w 最大=741(元);③当9<x ≤15时,w =(6-0.1x -3.2)×(30x +120)=-3x 2+72x +336,∵a =-3<0,∴当x =-=12时,w 最大=768元.综上所述,第12天的利润最大,最大利润为768元.(3)由(2)可知m =12,m +1=13,设第13天每只粽子提价a元,由题意得w=[6+a-(0.1×13+3.2)](30×13+120)=510(a+1.5),∴510(a+1.5)-768≥48,解得a≥130.1.答:第13天每只粽子至少应提价0.1元.本节课设计了以生活场景引入问题,通过探索思考解决问题的教学思路.由于本节课较为抽象,学生直接解决比较困难,因此,在导入问题中,让学生初步接触“何时获得最大利润”这一问题,引导学生分析问题,初步掌握数学建模的方法,然后再放手给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以“兵教兵”的方式突破难点.在教学过程中,重点关注了学生能否将实际问题表示为函数模型,是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释,加强了学生在教师引导下的独立思考和积极讨论的训练,并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励,收到了非常好的教学效果.对学情估计不足.原本认为学生的计算能力不错,但实际在解题过程中却出现了很多问题.今后还要在计算方法和技巧方面对学生多加以指导,加强学生建立函数模型的意识.随堂练习(教材第49页)解:设销售单价为x元(30≤x<50),销售利润为y元,则y=(x-20)[400-20(x-30)]=-20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500.当x=35时,y=4500.所以当销售单价为35元时,半月内可以获得的利润最大,最大最大利润为4500元.习题2.9(教材第50页)1.解:设旅行团的人数是x人,营业额为y元,则y=[800-10(x-30)]x=-10x2+1100x=-10(x-55)2+30250,当x=55时,y=30250.答:当旅行团的人数为55人时,旅行社可以获得最大的营业额,为30250元.最大值2.解:设销售单价为x(x≥10)元,每天所获销售利润为y元,则y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10x2+280x-=360.答:将销售单价定为14元,才能使每天所获销售利润1600=-10(x-14)2+360,所以当x=14时,y最大值最大,最大利润为360元.3.解:y=x2-13x+42.25+x2-11.8x+34.81+x2-12x+36+x2-13.4x+44.89+x2-9x+20.25=5x2-59.2x+178.2=5(x2-11.84x+35.64)=5[(x-5.92)2+0.5936]=5(x-5.92)2+2.968,当x=5.92时,y的值最小,所以大麦穗长的最佳近似长度为5.92cm.利润问题之前已经有所接触,所以学生课前要熟练掌握进价、销售价、利润之间的关系.找出实际问题中的等量关系是前提,会把二次函数的一般式转化为顶点式是保障,而能熟练运用转化的数学思想方法把实际问题转化为数学问题是运用二次函数解决实际应用问题的关键,所以在解题的过程中要及时总结归纳出用二次函数知识解决实际问题的基本思路,并总结出销售利润问题的数学模型,提高解决此类问题的综合能力.某班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:时间x/天1≤x<5050≤x≤90售价/(元/x+4090件)每天销量/200-2x件已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)销售该商品第几天时,当天销售利润最大?最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.〔解析〕(1)根据(售价-进价)×数量=利润,可得答案.(2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案.(3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于4800,可得不等式组,然后解不等式组,可得答案.解:(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000.当50≤x≤90时,y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000.综上所述,y=(2)当1≤x<50时,二次函数的图象开口向下,二次函数图象的对称轴为直线x=45,=-2×452+180×45+2000=6050.当x=45时,y最大当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,=6000.当x=50时,y最大综上所述,销售该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元.(3)当20≤x≤60时,即共41天,每天销售利润不低于4800元.。
二次函数的图象第二课时教案
二次函数的图象第二课时教案一、教学目标：1. 让学生理解二次函数的图象特征，掌握二次函数图象的顶点、开口方向等基本概念。
2. 培养学生利用二次函数图象解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索二次函数图象的性质。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：二次函数的图象特征，如何利用二次函数图象解决实际问题。
2. 教学难点：二次函数图象的顶点、开口方向等概念的理解与应用。
三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生自主探究二次函数图象的性质。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数图象的特点。
3. 采用案例分析法，培养学生运用二次函数图象解决实际问题的能力。
四、教学准备：1. 教师准备二次函数图象的PPT、案例素材等教学资源。
2. 学生准备笔记本、笔等学习用品。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾上一课时内容，引出本课时的主题——二次函数的图象。
2. 自主学习：让学生自主探究二次函数图象的性质，引导学生观察、分析、归纳。
3. 课堂讲解：结合PPT，讲解二次函数图象的顶点、开口方向等基本概念，并通过案例进行分析。
4. 练习巩固：布置一些有关二次函数图象的练习题，让学生独立完成，检验学习效果。
5. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调二次函数图象在实际问题中的应用。
6. 课后作业：布置一些有关二次函数图象的课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
7. 课后反思：鼓励学生反思本节课的学习过程，总结收获，发现不足，为下一节课做好准备。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习巩固等环节，评价学生对二次函数图象的基本概念和性质的掌握程度。
2. 观察学生在解决实际问题时的表现，评价其运用二次函数图象的能力。
3. 结合课后作业，评价学生对课堂所学知识的巩固情况。
七、教学反思：1. 教师在课后对自己的教学进行反思，分析教学过程中的优点和不足，为下一节课的教学做好准备。
2. 学生对自己的学习进行反思，总结在本节课中的收获，发现存在的问题，制定改进措施。
二次函数的图象第二课时教案
二次函数的图象第二课时教案一、教学目标：1. 理解二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点等特征。
2. 学会通过观察二次函数图象来判断函数的单调性、极值等性质。
3. 能够运用二次函数图象解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容：1. 复习一次函数和反比例函数的图象性质。
2. 学习二次函数图象的性质，包括开口方向、对称轴、顶点等。
3. 分析二次函数图象的单调性和极值。
4. 运用二次函数图象解决实际问题。
三、教学重点：1. 二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点的确定。
2. 二次函数图象的单调性和极值的判断。
四、教学难点：1. 理解二次函数图象的性质，并能灵活运用。
2. 解决实际问题时，如何正确运用二次函数图象。
五、教学方法：1. 采用直观演示法，通过展示二次函数图象，让学生直观地理解其性质。
2. 运用实例讲解法，结合具体例子，让学生学会分析二次函数图象的性质。
3. 运用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数图象的性质，提高解决问题的能力。
4. 小组合作学习，让学生在讨论中互相学习，共同提高。
教案一、导入（5分钟）1. 复习一次函数和反比例函数的图象性质。
2. 提问：同学们，你们认为二次函数的图象会有哪些特殊的性质呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点等性质。
2. 分析二次函数图象的单调性和极值。
3. 通过实例，讲解如何运用二次函数图象解决实际问题。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师选取部分学生的练习题，进行讲解和分析。
四、课堂小结（5分钟）1. 总结本节课所学内容，强调二次函数图象的性质及其运用。
2. 提醒学生在解决实际问题时，注意灵活运用二次函数图象。
五、课后作业（课后自主完成）1. 完成课后练习题，巩固二次函数图象的知识。
2. 结合生活实际，寻找一个可以用二次函数图象解决的问题，并尝试解决。
教学反思：在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对二次函数图象的理解和运用能力。
二次函数的应用(生活中的抛物线)教案
二次函数的应用----生活中的抛物线主备人：王新龙一、课程名称：21.4二次函数的应用---生活中的抛物线二、课时：共2个课时，第2课时三、课型：新授课四、教学方法：先学后教，讲练结合五、教学目标：1、知识与技能通过建模学会用二次函数的知识解决有关的实际问题2、过程与方法掌握数学建模的思想，体会数学来源于生活，又服务于生活3、情感、态度与价值观培养学生的独立思考能力和合作学习的精神，在动手、交流中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的提高。
六、重点与难点重点：根据情境建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中的点难点：如何根据情境建立合适的平面直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。
七、教学过程（一）新课引入思考：（1）用待定系数法设函数解析式有哪几种形式？分别为？（2）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，当水面宽度为8米时，桥洞顶部离水面的距离为米。
老师：要解决此题，需要求出抛物线的函数解析式，而求抛物线的解析式，离不开建立平面直角坐标系，求出关键点的坐标，那么如何建立合适的平面直角坐标系呢？不同的直角坐标系中，点的坐标不同，用待定系数法该设定何种形式的函数解析式呢？给一定时间让学生相互讨论，让学生思考再由老师予以总结和说明。
.（二）讲授新课1、总结如下：建立平面直角坐标系的方法有如下几种：A 为坐标原点，以AB 所在直线为X 轴建立平面直角坐标系此时A(0,0),B(12,0),顶点为（6,4），此时三种设函数解析式的方法是否均可？让学生将三种设法都表示出来，并求出函数解析式。
（方法一）（方法二）B 为坐标原点，以AB 所在直线为X 轴建立平面直角坐标系此时A(-12,0),B(0,0),顶点为（-6,4），此时三种设函数解析式的方法是否均可？让学生将三种设法都表示出来，并求出函数解析式。
AB 中点为坐标原点，以AB 所在直线为X 轴建立平面直角坐标系此时A(-6,0),B(6,0),顶点为（0,4），此时三种设函数解析式的方法是否均可？让学生将三种设法都表示出来，并求出函数解析式。
二次函数的应用优秀教案
二次函数的应用【第一课时】【教学目标】1．经历数学建模的基本过程。
2．会运用二次函数求实际生活中的最值问题。
3．体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。
【教学重点】二次函数在最优化问题中的应用。
【教学难点】从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。
【教学过程】一、创设问题情境，引入新课。
由课文中的问题1引入。
例1：在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？问题分析：这是一个求最值的问题。
要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。
二、讲授新课。
在前面的学习中我们已经知道S=-x2+20x，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式。
通过配方，得到S=-（x-10）2+100。
由此可以看出，这个函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是（10，100）。
所以，当x=10m时，函数取得最大值，为S最大值=100（m²）。
所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100m²。
总结得出解这类题的一般步骤：（一）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（二）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
三、例题讲解。
例3：上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：，其中h 是物体上升的高度，v 0是物体被上抛时的初始速度，g 表示重力加速度，通常取g ＝10m/s ²，t 是舞台抛出后经过的时间。
在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s 。
（一）问排球上升的最大高度是多少？（二）已知某运动员在2.5m 高度是扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（精确到0.1s ）。
分析：学生容易把这个问题中排球的运动路线想象成抛物线，这一点需要首先说明，球是竖直上抛，在球上升或下降的过程中运动员完成击球。
《二次函数的应用》(第2课时)示范公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】
第二章二次函数2.4二次函数的应用第2课时一、教学目标1．经历计算最大利润问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学是应用价值．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力．二、教学重点及难点重点：1．探索销售中的最大利润问题．2．能分析并表示实际问题中变量之间的二次函数关系，运用二次函数的相关知识解决实际问题中的最大（小）值，提高解决实际问题的能力．难点：运用二次函数的知识解决实际问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源《生产服装》动画，，.五、教学过程【情境导入】【情景演示】生成服装，描写工厂生产服装的场景。
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？同学们，你们能解决这个问题吗？这就是我们今天要研究的内容——何时获得最大利润．师生活动：教师出示问题，引出本节课所学内容．设计意图：通过问题情境引出本节课要研究的内容，激发学生的学习兴趣．【探究新知】教师引导学生分析问题中的数量关系，设出未知数，将销售量、销售额、获得的利润用含未知数的式子表示出来，然后利用二次函数模型确定获得的最大利润．设厂家批发单价是x元时可以获利最多，获得的最大利润为y元．那么销售量可表示为1350005000.1x-⎛⎫+⨯⎪⎝⎭件．所以销售额为1350005000.1xx-⎛⎫+⨯⎪⎝⎭；所获利润135000500(10)0.1xy x-⎛⎫=+⨯-⎪⎝⎭．整理，得y=-5000(x-14)(x-10)=-5000(x2-24x+140)=-5000(x-12)2+20000．∵a=-5000＜0，∴二次函数有最大值．当x=12时，y最大值=20000．答：厂家批发单价是12元时可以获利最多．设计意图：培养学生把文字语言转化为数学符号的能力．议一议在本章开始“种多少棵橙子树”的问题中，我们得到表示增种橙子树的数量x （棵）与橙子总产量y（个）的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000．（1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？师生活动：教师出示问题，学生画出函数的图象并回答问题．解：（1）列表：描点、连线，如下图所示，由图象知，当0≤x≤10时，橙子的总产量随橙子树的增种而增加；当x≥10时，橙子的总产量随橙子树的增种而减少．（2）由图象知，当增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵时，都可以使橙子的总产量在60400个以上．设计意图：进一步用图象刻画橙子的总产量与增种橙子树之间的关系，并利用图象解决问题.通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值，通过建模学会用函数的观点认识问题，解决问题，体会数形结合思想，激发学生的探索精神，并提高学生解决问题的自信心．【典例精析】例某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满．经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？旅馆的客房师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，师生共同完成解题过程．解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间．设客房日租金总收入为y元，则y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440．∵x≥0，且120-6x＞0，∴0≤x＜20．当x=2时，y最大=19440．这时每间客房的日租金为160+10×2=180（元）．因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元．设计意图：培养学生分析问题和解决问题的能力．【课堂练习】1．某民俗旅游村为接待游客住宿，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位每天可全部租出，若每张床位每天的收费每提高2元，则相应地每天就减少了10张床位的租出．如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使每天租出的床位少且总租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（）．A．14元B．15元C．16元D．18元2．某产品进货单价为90元，按每个100元售出时，每周能售出500个，如果这种商品的销售单价每上涨1元，其每周的销售量就减少10个，那么为了获得最大利润，其销售单价应定为（）．A．130元B．120元C．110元D．100元3．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？4．某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．（1）请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？5．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y= -10x+500．（1）设李明每月获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．参考答案1．C．2．B．3．销售单价为35元时，半月内可以获得最大利润4500元．4．解：（1）因为单价上涨x元后，每件商品的利润是(80+x-60)元，每月售出的件数为(300-10x)件，所以y与x之间的函数关系式为y=(x+20)(300-10x)=-10x2+100x+6 000．（2）将y=-10x2+100x+6 000配方，得y=-10(x-5)2+6250．因为a=-10＜0，所以y有最大值．因为300-10x≥0，且x≥0，所以0≤x≤30．所以当x=5时，y有最大值，最大值为6 250．所以当单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6 250元．5．解：（1）由题意，得w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+500)= -10x2+700x-10 000．当x=7003522(10)ba-=-=⨯-时，w有最大值，符合题意，所以当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得-10x2+700x-10 000=2 000．解这个方程，得x1=30，x2=40．答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．六、课堂小结利用二次函数解决实际问题的一般步骤：（1）根据题意，列出二次函数表达式，注意实际问题中自变量x的取值范围；（2）将二次函数表达式配方为顶点式的形式；（3）根据二次函数的图象及其性质，在自变量的取值范围内求出函数的最值．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计2.4二次函数的应用（2）1．一般步骤。
《二次函数》第二课时参考教案
26.1 二次函数（2）教学目标：1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。
2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.重点难点：重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。
难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。
教学过程：一、提出问题1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?二、范例例1、画二次函数y=ax2的图象。
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。
提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。
抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。
顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．三、做一做1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。
两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。
交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。
九年数学下册第二章二次函数4二次函数的应用第2课时利用二次函数解决利润问题教案北师大版
第2课时利用二次函数解决利润问题【知识与技能】能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关系式和图象特点，确定二次函数的最大（小）值，从而解决实际问题.【过程与方法】经历探究二次函数最大（小）值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想方法.【情感态度】积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值.从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣.【教学重点】探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.【教学难点】从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大（小）值问题一、情景导入，初步认知问题：某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是20元.根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件.若设销售单价为x(20＜x＜35的整数)元，该商店所获利润为y元.请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？你能运用二次函数的知识解决这个问题吗？【教学说明】用生活中的事例，更贴近实际生活，帮助学生理解题意，激发学生的学习热情.二、思考探究，获取新知1.教师提问：（1）此题主要研究哪两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）销售量可以表示为；销售额(销售总收入）可以表示为；所获利润与销售单价之间的关系式可以表示为 .（3）当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是元.2.在解决第（3）问中，先引导学生观察得出此函数为二次函数，再引导学生探索思考“何时获得最大利润”的数学意义.【教学说明】在本章前面的学习中，学生已初步了解求特殊二次函数最大(小)值的方法.鼓励学生大胆猜想、探索求此二次函数最大值的方法.【归纳结论】求二次函数最大（小）值的方法：（1）配方化为顶点式求最大（小）值；（2）直接带入顶点坐标公式求最大（小）值；（3）利用图象找顶点求最大（小）值.三、运用新知，深化理解1.见教材P48例2.2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(为10的正整数倍). （1）设一天订住的房间数为y，直接写出 y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与 x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？分析：当每天的房价增加x 元时，就会有10x 个房间空闲.∴一天订住的房间数为（50-10x ），每间房可获利（180 + 2-20)，从而可列出函数关系式.答：一天订住34个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是10880元.3.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0. 1元， 其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？分析：先写出函数关系式，再求出函数的最大值解:设每件商品降价x 元（0＜x ＜2)，该商品每天的利润为y 元.商品每天的利润y 与x 的函数关系式是：y=（10-x-8）（100+100x ）即y=-100x 2+100x+200配方得21-100+2252y x =-（）因为x=1/2时，满足0≤x ≤2.所以当x=1/2时，函数取得最大值，最大值y=225.答：将这种商品的售价降低1/2元时，能使销售利润最大4.某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件.为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验，每年投入的广告费是x(十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式;（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10?30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？【教学说明】通过练习，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型.四、师生互动，课堂小结求二次函数最大(小)值的方法：（1）配方化为顶点式求最大(小)值；（2）直接带入顶点坐标公式求最大(小)值；（3）利用图象找顶点求最大(小)值.1.布置作业：教材“习题2.9”中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释;课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论.并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励.。
《二次函数的应用》第二课时教案 (1)
5.7二次函数的应用(２)教材分析：本节课的主要内容是通过解决学生熟悉的生活中的实际问题，加深对二次函数性质的应用．本节课的内容综合建立直角坐标系、二次函数图象、二次函数的最大（小）值和解一元二次方程等知识．通过一个富有鲜活的生活气息，综合运用多方面数学知识解决的问题，体现了数学知识之间的内在联系．教学设想：对于二次函数的图象与性质的应用，学生通过上一节课的学习已经掌握了一定的思路，对于二次函数图象和性质更深层次的应用，学生通过理性分析后，基本上能够找到相应的解题思路，然后通过小组交流，大部分问题能够得到解决，对于难度较大的地方，教师进行点拨或讲解．学习目标：知识与技能：1．利用二次函数建立数学模型，并利用二次函数的有关性质来解决实际问题，在实际问题中，渗透数学建模的．2．能分析和表示不同背景下变量之间二次函数关系，并解决简单问题中与二次函数有关的问题，增强学生应用意识和创新意识．过程与方法：经历二次函数的图象和性质解决实际问题中的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力.情感态度和价值观：使学生在数学应用中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感．学习重难点：重点：熟练运用二次函数的图象与性质解决实际问题.难点：从实际问题中抽象出二次函数的模型.课前准备教具准备教师准备PPT课件教学过程：知识回顾：利用二次函数解应用题的一般步骤：1．设未知数(确定自变量和函数);2．找等量关系,列出函数关系式;3．化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等);4．求自变量取值范围；5．利用函数知识，求解（通常是最值问题）；6．写出结论.【设计意图】：通过对列方程解应用题的一般步骤复习为本节课的学习奠定基础．例题讲解:例3:运动员掷一枚铅球，铅球抛出时离地面的高度为5/3m，抛出后，铅球行进的路线是一抛物线，行进时里离地面的最大高度是3m，此时铅球沿水平方向行进了4m.求铅球从抛出到落在地面走过的水平距离？解：以铅球出手点A所在铅垂线为y轴，铅垂线与地面的交点为O点，射线OA的方向为y轴正方向.铅球的落地点为B点，直线OB为x轴，射线OB的方向为x轴的正方向,x轴,y轴均匀1m为单位长度,建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，抛物线的顶点C 的坐标是(4,3). 设抛物的表达式为：y=a(x-4)²+3.由题意知，当x=0时，y=5/3，所以5/3=a(0-4)²+3，解得a=-1/12.所以，抛物线的表达式为：y=-1/12(x-4)²+3.令y=0，得-1/12(x-4)²+3=0.解之得x1=-2，x2=10代入实际问题中检验，x1=-2(m)不符合题意，舍去；x2=10符合题意.所以，铅球从抛出到落地走过的水平距离为10m.例4:右图是龙泉镇最近5年的财政总收入情况的折线统计图.图中点A,B,C,D,E的横坐标分别代表年度，纵坐标代表该年度的财政总收入(单位：亿元).试根据折线图的发展趋势，预测该镇第6年的财政总收入?解：设图像过A,C,D三点的二次函数表达式为y=ax²+bx+c.将这三点的坐标(1,2.6)(3,3.8)(4,5)分别代入上式，得2.6=a×1²+b×1+c3.8=a×3²+b×3+c5=a×4²+b×4+c解得a=0.2b=-0.2c=2.6所以，经过A,C,D三点的二次函数的表达式为y=0.2x²-0.2x+2.6当x=2时，代入y=0.2x²-0.2x+2.6，得y=3，与B点纵坐标相等，这说明点B在经过A,C,D三点的二次函数的图像上，即这条抛物线上相应的点的纵坐标反映了该镇第2年的财政收入.当x=5时，代入y=0.2x²-0.2x+2.6，得y=6.6，E点纵坐标为6.9，相差0.3(亿元)，这说明点E虽不在经过A,C,D三点的抛物线上，但比较接近，即这条抛物线上相应的点的纵坐标可以近似的反映该镇第5年的财政收入.由此可知，二次函数y=0.2x²-0.2x+2.6可以近似的反映该镇最近5年的财政收入情况发展趋势，因此可以利用前5年的发展趋势预测第6年的财政收入.当x=6时，代入y=0.2x²-0.2x+2.6，得x=8.6，所以，可以预测2010年该镇的财政收入约为8.6亿元.归纳：1、恰当的建立平面直角坐标系，构造出符合题意的二次函数(一次函数、反比例函数)是解决此类问题的关键.2、此类问题进一步体现了数学建模思想方法的应用，同学们要认真掌握.【设计意图】：对于例题要先让学生自己独立思考，然后小组之间进行交流，最后在教师的指导下形成解决问题的思路，应规范解题过程.当堂检测：1．如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求：(1)以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；(2)有一辆宽2.8米，高1米的农用货车(货物最高处与地面AB的距离)能否通过此隧道？2．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分.（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．课堂小结:本节课利用二次函数建立数学模型，并利用二次函数的有关性质来解决实际问题．作业:课本 P.55第1题板书设计:5.7二次函数的应用(２)知识回顾：例3例4归纳：。
2.4 二次函数的应用(2)——抛物线形问题 教案 2021—2022学年北师大版数学九年级下册
2.4 二次函数的应用（2）——抛物线形问题教案一、教学目标1.理解抛物线形问题的概念及其应用背景；2.掌握通过二次函数求解抛物线形问题的方法；3.能够运用二次函数解决实际问题。
二、教学重点1.理解抛物线形问题的概念；2.掌握通过二次函数求解抛物线形问题的方法。
三、教学难点1.运用二次函数解决实际问题；2.分析问题中所给条件，建立数学模型。
四、教学过程1. 引入•引导学生思考下面的问题：–什么是二次函数？–二次函数有什么特点？•解答学生的问题，简要介绍二次函数。
2. 了解抛物线形问题•通过实际例子，引入抛物线形问题的概念。
•解释抛物线形问题与二次函数的关系。
3. 运用二次函数求解抛物线形问题•通过示例，详细讲解如何运用二次函数解决抛物线形问题。
•引导学生思考步骤，并进行示范。
4. 实践练习•给学生提供一些实际问题，并要求他们运用二次函数解决。
•分组讨论，学生之间相互交流思路。
•点名让各组发表他们的解题思路和答案。
5. 拓展延伸•引导学生思考更复杂的抛物线形问题，并让他们自己尝试解决。
•鼓励学生进行积极思考和探索，提高问题解决能力。
6. 小结•对本课所学内容进行总结和归纳。
7. 作业布置•布置作业：要求学生完成课本上的相关练习题，并要求写出详细解题思路。
五、教学反思通过本节课的教学，学生对抛物线形问题有了更深入的了解，并能够熟练运用二次函数解决相关问题。
课堂上进行了实践练习，有利于学生独立思考和解决问题的能力的培养。
在拓展延伸环节，带领学生探索更复杂的问题，提高了学生的解决问题的灵活性。
整体而言，本节课教学效果良好。
(完整版)二次函数的应用教案.docx
22．5二次函数的应用岑川中学龙小丹一、教学目标1、知与技能：通本学，巩固二次函数y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的象与性，理解点与最的关系，会求解中的最。
2、程与方法：通察象，理解点的特殊性，会把中的最化二次函数的最，通手，提高分析解决的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形合思想、函数思想和数学模型思想。
3、情感度价：通学生之的、交流和探索，建立合作意，提高探索能力，激学的趣和欲望，体会数学在生活中广泛的用价。
二、重点、难点教学重点：利用二次函数y=ax2+bx+c （a≠ 0）的象与性，求最教学点： 1、正确构建数学模型2、函数象点、端点与最关系的理解与用三、教学方法与手段的选择由于本是用，重在通学解决的方法，因而本以“启探究式” 主开展教学活，解决以学生手探究主，必要加以小合作，充分学生学极性和主性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。
了提高堂效率，展示学生的学效果，适当地以多媒体技。
四、教学流程（一）复引入（1）由二次函数 y= -x 2 +20x 的解析式我能想到的象特征和性是⋯？（2）根据同学描述信息，画出函数的示意：（二）讲解新课1、在情境中发现问题[ 做一做 ]1）、你能够画一个周长为40cm 的矩形吗？2）、周长为 40cm 的矩形是唯一的吗？3）、谁画出的矩形的面积最大？4）、有没有一个矩形的面积是最大呢？最大面积为多少？2、在解决问题中找出方法[想一想 ]：某小区想用40m的栅栏围成一个矩形花园，问矩形的长和宽各取多少米，才能使花园的面积最大，最大面积为多少？3、在巩固与应用中提高技能变式一：如果矩形的一面靠墙，（墙的最大利用长度为18m），18m 那么此时用 40m 的栅栏可以围成矩形的面积（1）能够为 202m2吗？（2）能够为 200m2吗？（3）此时还会有最大面积吗？如果有，请说明最大面积为多少？画出示意图。
在（想一想）的基础上，我在此设计了一个条件墙长18 米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图像辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。
九年级数学上册《二次函数的应用》教案、教学设计
-通过动画展示二次函数图像的平移、伸缩等变换，使学生直观地感受图像的性质。
3.设计具有梯度的问题，引导学生逐步深入地掌握二次函数的知识。
-从简单的二次函数图像识别，到求解实际问题中的二次函数，逐步提高问题的难度。
4.采用小组合作、讨论交流的学习方式，促进学生之间的思维碰撞，共同解决难题。
5.学会运用二次函数的知识，解决生活中的实际问题，提高数学应用能力。
（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，学生将通过以下方法培养数学思维与解决问题的能力：
1.通过小组合作、讨论交流，培养学生的合作意识和团队精神。
2.利用数形结合的方法，引导学生观察、分析二次函数的图像，培养学生直观想象和逻辑推理能力。
5.反思与总结：
-请同学们在作业本上写下本节课的学习心得，包括对二次函数的理解、学习过程中的困惑以及解题方法的总结。
-教师在批改作业时，应及时给予反馈，鼓励学生持续反思，不断提高。
4.通过小组合作，培养学生互相尊重、团结协作的品质，增强集体荣誉感。
5.引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要性，培养学生的社会责任感和使命感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了线性方程、不等式等知识，对于函数的概念也有初步的理解。在此基础上，学生对二次函数的学习将面临以下挑战：
-完成课后作业中的基础题，旨在让学生通过实际操作，加深对二次函数图像特征的理解。
2.提高作业：
-选做课本第chapter页的提高题，涉及二次函数在实际问题中的应用，如最值问题、面积计算等，以提升学生解决问题的能力。
-设计一道综合性的应用题，要求学生运用本节课所学知识，结合生活实际，解决实际问题。
《二次函数的应用》教案
《二次函数的应用》教案1教学目标知识与技能1．会利用二次函数的性质解决抛物线型实际问题．2．使学生体验建模思想、数形结合思想．3．培养学生分析实际问题、解决实际问题的能力．数学思考与问题解决经历构建平面直角坐标系解决抛物线型实际问题的过程，在此过程中培养建模思想，共同探究实际问题的解决方法．情感与态度在共同的探究过程中增强用数学的意识，发展应用观点．重点难点重点：建立平面直角坐标系解决抛物线型实际问题．难点：建立函数模型．教学设计导入新课通过多媒体展示生活中的抛物线图片，如喷出的水柱，投出的篮球运动路线，桥拱等．提问：这些图像的形状有什么共同特点？探究新知出示教材第41页例1．问题1：对于例题，你联想到用什么数学知识去解决？答：二次函数．问题2：求篮球运动员出手时的髙度是多少，应用二次函数知识解决时应该求什么？答：求该点的纵坐标．问题3：求坐标的前提是什么？答：在平面直角坐标系中．问题4：对于本题又该怎样解决？答：先建立平面直角坐标系，求出抛物线的表达式，再求篮球运动员出手点的纵坐标．师：同学们回答得非常正确，下面就请同学们独立思考，然后小组讨论，看哪种建坐标系的方法简单可行，并把解题步骤写在练习本上．学生思考、讨论，教师引导，巡回检査．学生建坐标系的方案有如下几种．教师让学生展示每种坐标系下的解题过程，充分发挥生的主体性，最后展示第一种方案的完整答案，并总结解题方法．巩固练习出示教材第42页“做一做”，让学生独立做出答案．教师巡回检査，搜寻发现的问题．展示学生答案，表扬学生的解题过程，在完整答案的基础上，点明个别学生出现的问题，以防学生以后再次犯错．课堂小结学生谈本节的收获．布置作业教材第4243莨习题A组、B组．《二次函数的应用》教案2教学目标知识与技能会利用二次函数解决实际应用的最值问题．数学思考与问题解决在经历探索实际问题中两个变量之间的函数关系的过程中培养数学建模思想．情感与态度在共同探究问题中增强用数学的意识，发展应用观点．重点难点重点：利用二次函数解决实际生活中的最值问题．难点：利用二次函数解决综合性的问题．教学设计一、导入新课如图所示，张伯伯准备利用现有的一面墙和40m长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场，你能算出四个矩形的总面积吗？二、自主探究，合作交流1．如上题：(例1)(1)设毎个小矩形垂直于墙的一边的长为x m，试用x表示小矩形的另一边的长．(2)设四个小矩形的总面积为ycm2，请写出用x表示y的函数表达式．(3)你能利用公式求出所得函数的图像的顶点坐标，并说出：y的最大值？(4)你能画出这个函数的图像并借助图像说出y的最大值吗？2．例2教材第44页例2．3．例3教材第44页例3．分析：设生产x档次的产品，则产品提髙了(x-1)个档次，每提髙一个档次，产品利润增加2元，提髙(x-1)个档次，产品利润增加2(x-1)元，那么产品销量就减少4(x-1)件，现在的销量就变为[80-40(x-1)]件．所求获得的利润是每件获得的利润乘销量．4．例4(教材第44页“做一做”)分析：开关转过的一个角度对应一个所用燃气量，这就相当于一个点的坐标．任选三个点的坐标设二次函数的一般式即可求解．5．课堂练习课本第45页练习．三、课堂小结本节课你有什么收获？有什么困惑？(1)求最值的方法；(2)应注意的问题．四、布置作业必做题：教材第45页习题A组第1，2题．选做题：教材第46页B组第1、2题．《二次函数的应用》教案3教学目标知识与技能1．进—步体会运用函数知识解决问题的步骤．2．能熟练运用二次函数和其他知识相结合解决数学综合性问题．数学思考与问题解决经历一元二次方程和函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待问題的思考方法．情感与态度体会解决问题方法的多样性，形成合作交流的意识及独立思考的习惯．重点难点重点：运用二次函数和其他数学知识解决综合性问题．难点：熟练运用函数和其他数学知识解决综合性问题教学设计创设情境，引人新课前面我们已经学习了二次函数在现实生活中的应用：解决抛物线型的问题，解决最值问题，实际上现实生活中还有许许多多的问题要用二次函数的知识去解决．二次函数和其他知识相联系的问题更是比比皆是．请看下面的图片．出示图片：一个交通事故的现场．探究新知1．出示教材第46页“做一做”．同学们，现在请你作为一名交警，你能解决这两个问题吗？分析：对于s 甲=0．1x +0．01x 2，已知s 甲=12，求x 就是已知二次函数图像上点的纵坐标求横坐标的问题，这里的函数和实际问题联系起来，求出的坐标要进行取舍．解：(1)当s 甲=12m 时，12=0．1x +0．01x 2． 解这个方程得：X 1=-40(舍去)，x 2=30．甲车的行驶速度是30km /h ，小于．40km /h ．所以甲车不违章超速．(2)当纪s 乙=10m 时，10= 14x ．∴x =40．当s 乙=12m 时，12= 1 4x ．∴x =48．即乙车的行驶速度在40km /h<x<48k m /h 范围内，而乙车的限速为40km /h ，所以乙车违章超速．问题：在解决这个问题的时候，用到了什么方法？从这个事例当中，我们可以体会到，当二次函数：y =ax 2+b x +c 的某函数值y =m 时，就可以利用一元二次方程ax 2+b x +c =m 来求对应的值．这样，就把一元二次方程和二次函数联系起来了．2．出示教材第47页例4．本题的图形是三角形相似的一个基本图形，用三角形相似对应边成比例列出表达式是解决本题的第一步．BE AB=.=，即31-x∴x2-x+3解的x=，x=444416第(1)问能求出x的值，则表示CF的值可能等于3解法1：(1)假设CF=34，设BE=x，则EC=1-x．在正方形ABCD中，∠AEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△Rt ABE∽△Rt ECF．∴CF EC x1 4∴x2-x+3=0．4∵=(-1)2-4×1×34=-2<0，33=0无实根．因此假设CF=不成立．即CF的长不可能等于．444(2)结合(1)，x(1-x)=316时，即16x2-16x+3=0．13133．∴当BE=或BE=时，均有CF=．12解法2．教材第47页．这是同学们讨论交流得出的两种解法，第一种是用方程来解决，要先假设CF=34，如果3，现在方程无解，说明不存在CF=；第44二种方法是二次函数和一元二次方程相结合来说明第(1)问中CF能否为34．从本例可以看出，一元二次方程与二次函数联系紧密，用二次函数可以更方便、更广泛地解决一些问题．课堂小结学习本节课后你的收获是什么？布置作业教材第48页A组题，第49页B组题．。
数学北师大九年级下册(2014年新编)《二次函数的应用(2)》教案2
《二次函数的应用（2）》教案2一、学生知识状况分析通过本章前三节的学习，学生已对二次函数的概念、二次函数的图像及其性质、如何确定二次函数的解析式等问题有了明确的认识.二次函数应用的第一课时是“何时面积最大”，学生初步感受到数学模型思想及数学的应用价值.本节课将进一步利用二次函数解决实际问题.二、教学任务分析“何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴.二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值.而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题.因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践.即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释.教学目标(一)知识与技能1、经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力.(二)过程与方法经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.(三)情感态度与价值观1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值.增进对数学的理解和学好数学的信心.2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值三、教学过程分析本节课以探究活动一、探究活动二及议一议这三个环节为主体，展开对二次函数应用的研究与探讨.第一环节 探究活动一活动内容：（有关利润的问题）服装厂生产某品牌的T 恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？回顾:在学习一元二次方程的应用时遇到过有关销售利润的问题，常用相等关系是：销售利润=单件利润×销售量若设批发单价为x 元，则：单件利润为 ； 降价后的销售量为 ； 销售利润用y 元表示，则)14024(5000-2+-=x x20000)12(50002+--=x∵-5000＜0∴抛物线有最高点，函数有最大值.当x ＝12元时，y 最大= 20000元.答：当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20000元．若设每件T 恤衫降a 元，则：单件利润为 ；降价后的销售量为 ； 销售利润用y 元表示，则)32(5000-2--=a a20000)1(50002+--=a∵-5000＜0∴抛物线有最高点，函数有最大值.当x ＝1元时，即批发单价是12元时，y 最大= 20000元.答：当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20000元．想一想：解决了上述关于服装销售的问题，请你谈一谈怎样设因变量更好？活动目的：）元（10-x 件)5001.0-135000(⨯+x )5001.0135000)(10(⨯-+-=x x y ）元（1013--a 件)5001.05000(⨯+a ）（5001.05000)(1013⨯+--=a a y通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容.第二环节 探究活动二活动内容：某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？分 析：相等关系是客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数解：设每间客房的日租金提高x 个10元，则每天客房出租数会减少6x 间，若客房日租金的总收入为y 元，则：=19440)260-2+-x （∵06-120,0>≥x x 且∴200<≤x当x ＝2时，y 有最大值 19440.这时每间客房的日租金为180210160=⨯+元，客房总收入最高为19440元.随堂练习：课本P49随堂练习某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？解：设销售单价提高x 元，销售利润为y 元，则y=(30-20+x)(400-20x)＝-20x 2+200x+4000＝-20(x-5)2+4500.答：当销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．第三环节 议一议活动内容：解决本章伊始，提出的“橙子树问题”本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数关系是：二次函数表达式y ＝(600-5x)(100+x)＝-5x 2+100x+60000.(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）)6120)(10160(x x y -+=实际教学效果：学生可以顺利解决这个问题，答案如下(1)当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小.(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上.课堂小结:请你结合本节课的内容谈谈你对二次函数应用的认识.。
《二次函数的应用》教案
《二次函数的应用》教案教学目标一、知识与技能1．巩固并熟练掌握二次函数的性质．2．能够运用二次函数的性质解决实际问题．3．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．增强解决问题的能力．二、能力目标建立二次函数模型，进一步体会如何应用二次函数的有关知识解决一些生活实际问题，进而提高理解实际问题、从数学角度抽象分析实际问题和运用数学知识解决实际问题的能力．三、情感态度与价值观1．从实际生活中认识到：数学来源于生活，数学服务于生活．2．培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成．3．经历求最大面积的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．教学重点能利用实际问题列出二次函数的解析式，并能利用二次函数的性质求出最大值和最小值．教学难点能利用几何图形的有关知识求二次函数的解析式．教学过程一、相关知识回顾1．函数223y x x =+-的最值是，是最（填“大”或者“小”）值．2．说说你是如何做的？3．将函数2245y x x =+-化成顶点式，并指出顶点坐标，对称轴．二、新课引入1．合作讨论，解决问题：如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角的边上． （1）如果设矩形的一边AB =x m ，那么AD 边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？解：（1）设AD 的长度为a m ，则：BC =a mBC ∥AD （已知） ∴403040a x -= ∴3304a x =- 即3304AD x =-（2）∵223(30)433043(20)300(040)4y x ax x x x x x =⋅=⋅-=-+=--+<< 当20300x y ==最大时，2．变式训练，灵活运用议一议：如果把上题中的矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？小组成员之间相互讨论．解：由勾股定理可得，这个三角形的斜边长为50m易求得斜边上的高为24m ．设矩形的一边 m AD x =，另一边AB =a m ，则有242450a x -= 解得：122425a x =-所以2212242512(25)300(050)25y x ax x x x =⋅=-=--+<< 因此，当25=x 时，300=最大y3．归纳总结解决问题的路和方法整理（1）数据（常量、变量）提取；（2）自变量、因变量识别；（3）构建函数解析式，并求出自变量的取值范围；（4）利用函数（或图像）的性质求最大（或最小）值．4．迁移运用，培养能力例1、某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m .当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01m ），此时，窗户的面积是多少？解： 74π 15x y x ++= ∴4715x x y π--= 015x <<且1570154x x π--<< ∴0 1.48x <<设窗户的面积是S m 2.则：22+ππx 22221π221157ππ22471522715225()21456S x xy x x x x x x x =+--=+⋅=-+=--+ ∴当15 1.0714x =≈时，225 4.0256S =≈最大 因此，当x 约为1.07 m 时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为4.02m 2.例2、某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件.根据销售经验，提高单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量会减少10件.当销售单价为多少时，该店能在一个月内获最大利润？5．归纳总结，探索规律．（1）对问题情景中的数量（提取常量、变量）关系进行梳理；（2）建立函数模型（求出解析式及相应自变量的取值范围等）（3）建立函数模型（求出解析式及相应自变量的取值范围等），解决问题用字母（参数）来表示不同数量（如不同长度的线段）间的大小联系；6．变式与拓展，灵活掌握练习1、如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周长为16米．（1）求截面积S （米2）关于底部宽x （米）的函数解析式，及自变量x 的取值范围？ （2）试问：当底部宽x 为几米时，隧道的截面积S 最大（结果精确到0.01米）？练习题2、已知，直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长．1．解：∵隧道的底部宽为x ，周长为16，则隧道下部矩形的高为π284x +-故当48.4432≈+=πx 米时，S 有最大值 答：当隧道的底部宽度为4.48米时，隧道的面积最大2．解：设其中的一条直角边长为x ，则另一条直角边长为（2－x ），又设斜边长为y ，则：所以：当x =11练习3、如课本图，抛物线形悬索桥，已知悬索桥两端主塔高150m ，主塔之间的距离为900m ，是建立适当的直角坐标系，求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式.练习4、小妍想将一根72cm 长的彩带剪成两段，分别为成两个正方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和是多少？归纳小结：1．本节课我们主要学习了哪些知识？利用几何图形的性质，列出二次函数的解析式，并求最大（小）值y =。
二次函数的图象第二课时教案
二次函数的图象第二课时教案教学目标：1. 理解二次函数的图象特征，掌握抛物线的开口方向和位置。
2. 学会利用二次函数的图象解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 二次函数的图象特征2. 抛物线的开口方向和位置3. 利用二次函数的图象解决实际问题教学重点：1. 二次函数的图象特征2. 抛物线的开口方向和位置教学难点：1. 利用二次函数的图象解决实际问题教学准备：1. 教学课件或黑板2. 练习题教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习一次函数和指数函数的图象，引导学生思考二次函数图象的特点。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0）。
2. 讲解二次函数的图象特征：抛物线形状，开口方向和位置。
3. 举例说明二次函数的图象特征，让学生观察并理解。
三、课堂练习（10分钟）1. 布置练习题，让学生绘制二次函数的图象，并分析其特点。
2. 引导学生思考实际问题中的应用，如抛物线形物的运动等。
四、课堂小结（5分钟）2. 强调二次函数在实际问题中的应用。
五、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，巩固二次函数的图象知识。
2. 鼓励学生思考生活中遇到的二次函数问题，提高解决实际问题的能力。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了二次函数的图象特征和开口方向位置的关系。
在课堂练习中，学生能够独立绘制二次函数的图象，并分析实际问题中的应用。
但在解决复杂实际问题时，部分学生仍存在困难，需要在今后的教学中加强训练。
六、案例分析：抛物线在实际生活中的应用1. 教学目标：理解抛物线在实际生活中的应用。
学会将实际问题转化为二次函数问题。
培养学生的实际问题解决能力。
2. 教学内容：抛物线在物理学中的应用，如抛物线运动、声波传播等。
抛物线在工程学中的应用，如设计抛物线形状的建筑物、桥梁等。
3. 教学重点：抛物线在实际生活中的应用。
将实际问题转化为二次函数问题。
二次函数运用第二课时教案
二次函数运用第二课时教案第二课时教案，二次函数的运用。
一、教学目标。
1. 知识与技能。
（1）掌握二次函数的基本概念和性质；（2）能够应用二次函数解决实际问题；（3）能够画出二次函数的图像，并分析图像的特点。
2. 过程与方法。
（1）通过实例引入，激发学生的学习兴趣；（2）采用启发式教学方法，引导学生主动探究；（3）结合生活实际，培养学生的数学建模能力。
3. 情感态度价值观。
（1）培养学生的数学思维能力和解决问题的能力；（2）激发学生对数学的兴趣，树立正确的学习态度。
二、教学重点与难点。
1. 重点。
（1）二次函数的基本概念和性质；（2）二次函数的图像特点及其应用。
2. 难点。
（1）二次函数的实际问题应用；（2）二次函数图像的分析。
三、教学过程。
1. 导入新课。
老师通过一个生活实际问题引入二次函数的概念，比如一个抛物线运动的问题，让学生在实际问题中感受二次函数的存在和应用。
然后引出二次函数的定义和性质。
2. 概念讲解。
（1）二次函数的定义，y=ax^2+bx+c，其中a≠0；（2）二次函数的图像特点，开口方向、顶点、对称轴等；（3）二次函数的性质，顶点坐标、对称轴方程等。
3. 例题讲解。
老师通过一些例题，让学生掌握二次函数的基本应用和解题方法，比如求解二次函数的顶点、对称轴方程等。
4. 练习。
让学生进行一定数量的练习，巩固所学知识，提高解题能力。
5. 拓展。
老师可以结合实际生活中的问题，引导学生应用二次函数解决实际问题，比如抛物线运动、建筑物的设计等。
6. 总结。
总结本节课的重点内容，让学生对二次函数的基本概念和应用有一个清晰的认识。
四、教学反思。
本节课采用了启发式教学方法，通过生活实际问题引入，让学生更容易理解和接受二次函数的概念和应用。
同时，通过大量的例题练习，让学生掌握了二次函数的解题方法和技巧。
在拓展环节，结合实际问题进行应用拓展，培养了学生的数学建模能力。
但是在教学过程中，也需要注意引导学生主动思考和解决问题，培养他们的数学思维能力。
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二次函数的应用第二课时教案2.4二次函数的应用(2) 教学目标： 1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。
2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。
3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。
难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂。
教学过程：一、复习： 1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。
(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。
2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题。
出示上节课的引例的动态图形（在周长为8米的矩形中）（多媒体动态显示）设问：（1）对角线（l）与边长（x）有什何关系？（2）对角线（l）是否也有最值？如果有怎样求？ l与x 并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于x 的二次函数，并且有最小值。
引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小）。
指出：当被开方数取最小值时，对角线也为最小值。
二、例题讲解例题2：b船位于a船正东26km处，现在a、b两船同时出发，a船发每小时km的速度朝正北方向行驶，b船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？多媒体动态演示，提出思考问题：（1）两船的距离随着什么的变化而变化？ (2)经过t小时后，两船的行程是多少？两船的距离如何用t来表示？设经过t小时后ab两船分别到达a’，b’，两船之间距离为a’b’=ab’2+aa’2=(26-5t)2+(t)2 =169t2-260t+676 。
（这里估计学生会联想刚才解决类似的问题）因此只要求出被开方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出两船之间的距离s的最小值。
解:设经过t时后，a，b ab两船分别到达a’，b’，两船之间距离为s=a’b’=ab’2+aa’2 =(26-5t)2+(t)2 =169t2-260t+676 = 169（t-1013 ）2+576 （t>0）当t=1013 时，被开方式169（t-1013 ）2+576有最小值576。
所以当t=1013 时，s最小值=576 =24（km）答：经过1013 时，两船之间的距离最近，最近距离为24km 练习：直角三角形的两条直角边的和为2，求斜边的最小值。
三、课堂小结应用二次函数解决实际问题的一般步骤四、布置作业见作业本2.4二次函数的应用(2) 教学目标： 1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。
2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。
3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。
难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂。
教学过程：一、复习： 1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。
(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。
2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题。
出示上节课的引例的动态图形（在周长为8米的矩形中）（多媒体动态显示）设问：（1）对角线（l）与边长（x）有什何关系？（2）对角线（l）是否也有最值？如果有怎样求？ l与x 并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于x 的二次函数，并且有最小值。
引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小）。
指出：当被开方数取最小值时，对角线也为最小值。
二、例题讲解例题2：b船位于a船正东26km处，现在a、b两船同时出发，a船发每小时km的速度朝正北方向行驶，b船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？多媒体动态演示，提出思考问题：（1）两船的距离随着什么的变化而变化？ (2)经过t小时后，两船的行程是多少？两船的距离如何用t来表示？设经过t小时后ab两船分别到达a’，b’，两船之间距离为a’b’=ab’2+aa’2=(26-5t)2+(t)2 =169t2-260t+676 。
（这里估计学生会联想刚才解决类似的问题）因此只要求出被开方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出两船之间的距离s的最小值。
解:设经过t时后，a，b ab两船分别到达a’，b’，两船之间距离为s=a’b’=ab’2+aa’2 =(26-5t)2+(t)2 =169t2-260t+676 = 169（t-1013 ）2+576 （t>0）当t=1013 时，被开方式169（t-1013 ）2+576有最小值576。
所以当t=1013 时，s最小值=576 =24（km）答：经过1013 时，两船之间的距离最近，最近距离为24km 练习：直角三角形的两条直角边的和为2，求斜边的最小值。
三、课堂小结应用二次函数解决实际问题的一般步骤四、布置作业见作业本2.4二次函数的应用(2) 教学目标： 1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。
2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。
3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。
难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂。
教学过程：一、复习： 1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。
(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。
2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题。
出示上节课的引例的动态图形（在周长为8米的矩形中）（多媒体动态显示）设问：（1）对角线（l）与边长（x）有什何关系？（2）对角线（l）是否也有最值？如果有怎样求？ l与x 并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于x 的二次函数，并且有最小值。
引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小）。
指出：当被开方数取最小值时，对角线也为最小值。
二、例题讲解例题2：b船位于a船正东26km处，现在a、b两船同时出发，a船发每小时km的速度朝正北方向行驶，b船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？多媒体动态演示，提出思考问题：（1）两船的距离随着什么的变化而变化？ (2)经过t小时后，两船的行程是多少？两船的距离如何用t来表示？设经过t小时后ab两船分别到达a’，b’，两船之间距离为a’b’=ab’2+aa’2=(26-5t)2+(t)2 =169t2-260t+676 。
（这里估计学生会联想刚才解决类似的问题）因此只要求出被开方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出两船之间的距离s的最小值。
解:设经过t时后，a，b ab两船分别到达a’，b’，两船之间距离为s=a’b’=ab’2+aa’2 =(26-5t)2+(t)2 =169t2-260t+676 = 169（t-1013 ）2+576 （t>0）当t=1013 时，被开方式169（t-1013 ）2+576有最小值576。
所以当t=1013 时，s最小值=576 =24（km）答：经过1013 时，两船之间的距离最近，最近距离为24km 练习：直角三角形的两条直角边的和为2，求斜边的最小值。
三、课堂小结应用二次函数解决实际问题的一般步骤四、布置作业见作业本2.4二次函数的应用(2) 教学目标： 1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。
2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。
3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。
难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂。
教学过程：一、复习： 1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。
(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。
2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题。
出示上节课的引例的动态图形（在周长为8米的矩形中）（多媒体动态显示）设问：（1）对角线（l）与边长（x）有什何关系？（2）对角线（l）是否也有最值？如果有怎样求？ l与x 并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于x 的二次函数，并且有最小值。
引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小）。
指出：当被开方数取最小值时，对角线也为最小值。
二、例题讲解例题2：b船位于a船正东26km处，现在a、b两船同时出发，a船发每小时km的速度朝正北方向行驶，b船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？多媒体动态演示，提出思考问题：（1）两船的距离随着什么的变化而变化？ (2)经过t小时后，两船的行程是多少？两船的距离如何用t来表示？设经过t小时后ab两船分别到达a’，b’，两船之间距离为a’b’=ab’2+aa’2=(26-5t)2+(t)2 =169t2-260t+676 。
（这里估计学生会联想刚才解决类似的问题）因此只要求出被开方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出两船之间的距离s的最小值。
解:设经过t时后，a，b ab两船分别到达a’，b’，两船之间距离为s=a’b’=ab’2+aa’2 =(26-5t)2+(t)2 =169t2-260t+676 = 169（t-1013 ）2+576 （t>0）当t=1013 时，被开方式169（t-1013 ）2+576有最小值576。
所以当t=1013 时，s最小值=576 =24（km）答：经过1013 时，两船之间的距离最近，最近距离为24km 练习：直角三角形的两条直角边的和为2，求斜边的最小值。