条件概率绝对经典

例3、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可 从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次 就按对的概率。
解：设第i次按对密码为事件Ai ( i 1， 2) 则A A1 ( A1 A2 )表示不超过 2次就按对密码。
但因为最后一名中奖的情况只有一种{NNY} 故概率会发生变化
二、内涵理解:
为什么上述例中P(B|A) ≠ P(B)？
样本空间不一样
P(B)以试验下为条件,样本空间是 P(B|A)以A发生为条件,样本空间缩小为A
Ω
B A
P(B |A)相当于把Ａ看作 新的样本空间求ＡＢ 发生的概率
分析：求P(B|A)的一般思想 因为已经知道事件A必然发。
用B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，
一般地，n(A)表示 由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的 事件A包含的基本 事件的个数 n( B ) 1
则B { NNY }
概率为：P ( B )
n( )

3
思考：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券， 你知道第一名同学
的抽奖结果为什么 那么最后一名抽到中奖奖券的概率又是多少？ 会影响最后一名同 分析： 学的抽奖结果吗？
3 P( AB) 10 1 P( B A) 3 2 P( A) 5
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率； （3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题 的概率。
解法二：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB. （1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为
n( ) A 20
2 5
根据分步乘法计数原理，n( A) A A 12
1 3 1 4
n( A) 12 3 P ( A) n( ) 20 5
n( AB) 6 1 P( B A) n( A) 12 2
解法三：第一次抽到理科题，则还剩下两道理科、 两道文科题 故第二次抽到理科题的概率为1/2
练习：甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象 记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％ 和18％，两地同时下雨的比例为12％，问： （1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？ 解：设A={甲地为雨天}， B={乙地为雨天}， 则P(A)=20%，P(B)=18%，P(AB)=12%，
概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系 联系：事件A，B都发生了 区别：
样本空间不同： 在P(B|A)中，事件A成为样本空间； 在P(AB)中，样本空间仍为。
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
若抽到中奖奖券用"Y " 表示，没有抽到用" N " 表示，
不妨设“第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A，
则A { NYN , NNY }
用B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件， 则B { NNY }
n( B ) 1 最后一名同学抽到奖券的概率为P ( B | A) n( A) 2
结构如下表：
数量 厂别
甲厂
乙厂
合计
等级 合格品
475 25 500
644 56 700
1 119
次 品
合 计
81
1 200
（1）从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是 27 次品的概率是_________； 400 （2）在已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好 1 是次品的概率是_________； 20
（1）因为事件Ai与事件 A1 A2互斥，由概率的加法公式得
1 91 1 P ( A) P ( A1 ) P ( A1 A2 ) 10 10 9 5
例3、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可 从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次 就按对的概率。
注：P(B|A)表示在事件A发生的条件下B发生的概率
思考：你知道第一名同学的抽奖结果为什么会影响
最后一名同学的抽奖结果吗？ 分析： 若不知道第一名同学的抽奖结果，则样本空间为、
{YNN , NYN , NNY }
若知道了第一名同学的抽奖结果，则样本空间变成
A { NYN , NNY }
小结：
1、条件概率的定义： 设A，B为两个事件，则在事件A发生的条件下， 事件B发生的概率就叫做的条件概率 2、条件概率的计算公式
n( AB ) P ( AB ) P ( B A) n( A) P ( A)
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
（2） n( AB ) A 6
2 3
条件概率的定义：
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
在原样本空间 的概率
称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。 一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率。 注意： （1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A) ≤1 （2）如果B和C是互斥事件，则 P(B∪C |A)= P(B|A)+ P(C|A) （3）要注意P(B|A)与P(AB)的区别，这是分清条件概率 与一般概率问题的关键。
解：设第i次按对密码为事件Ai ( i 1， 2) 则A A1 ( A1 A2 )表示不超过 2次就按对密码。
（2）用B表示最后一位按偶数的事件，则
1 41 2 P ( A B) P ( A1 B) P ( A1 A2 B) 5 5 4 5
练习1： 一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品
n( AB ) 6 3 P ( AB ) n( ) 20 10
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率； （3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题 的概率。 （3）解法一：由（1）（2）可得，在第一次抽到理科题 的条件下，第二次抽到理科题的概率为
（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P ( AB ) 12% 2 P( A B) P ( B ) 18% 3 （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P ( AB ) 12% 3 P ( B A) P ( A) 20% 5
练习：甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象 记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％ 和18％，两地同时下雨的比例为12％，问： （3）甲乙两市至少一市下雨的概率是多少？ 解：设A={甲地为雨天}， B={乙地为雨天}， 则P(A)=20%，P(B)=18%，P(AB)=12%， ∵{甲乙两市至少一市下雨}=A∪B 而P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) =20%+18%-12% =26% ∴甲乙两市至少一市下雨的概率为26%
条件概率
探究：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学
一般地，我们用来 无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是 表示所有基本事件的 集合，叫做基本事件 否比其他同学小？ 空间（或样本空间）
分析：
若抽到中奖奖券用"Y " 表示，没有抽到用" N " 表示， 那么所有可能的抽取情况为 {YNN , NYN , NNY }
因为在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事 件A和事件B同时发生，即AB发生。 故其条件概率为
n( AB ) P ( B | A) n( A)
为了把条件概率推广到一般情形，不妨记原来的 样本空间为，则有
n( AB ) / n( ) P ( AB ) P ( B | A) n( A) / n( ) P ( A)