运筹学第1章 线性规划(2015.8)
运筹学讲义_1线性规划
第一章 线性规划【教学内容】线性规划模型，图解法，可行区域的几何结构，基本可行解及线性规划的基本定理，单 纯形方法，单纯形表，两阶段法，关于单纯形方法的几点说明，对偶线性规划，对偶理论， 对偶单纯形法，求解线性规划问题的几个常用软件。
【教学要求】要求学生理解线性规划的标准形式，能熟练的将一般的线性规划问题化为标准形式；掌 握图解法，能用单纯形法求解线性规划问题；掌握灵敏度分析方法，能够建立线性规划模型 及用常用软件求解线性规划问题。
【教学重点】线性规划模型，图解法，单纯形方法，单纯形表，两阶段法，对偶线性规划，对偶单纯 形法，灵敏度分析。
【教学难点】基本可行解及线性规划的基本定理，单纯形方法，对偶线性规划，对偶理论，对偶单纯 形法。
第一节 线性规划模型线性规划(Linear Programming ， 简记为 LP )问题研究的是在一组线性约束条件下一个线 性函数最优问题。
§1．1 线性规划问题举例例 1.1.1 某工厂用 3 种原料 3 2 1 , , P P P 生产 3 种产品 3 2 1 , , Q Q Q 。
已知单位产品所需原 料数量如表 1.1.1 所示，试制订出利润最大的生产计划。
453 单位产品的利润（千元）20005 2 800 4 2 0 P 2 1500 0 3 2 P 1 原料可用量Q 3Q 2 Q 1 单位产品所需产品原料数量(kg)原料3P 3表 1.1.1分析 设产品 j Q 的产量为 j x 个单位， 3 , 2 , 1 = j ，它们受到一些条件的限制。
首先， 它们不能取负值，即必须有 3 , 2 , 1 , 0 = ³ j x j ；其次，根据题设，三种原料的消耗量分别不 能超过它们的可用量，即它们又必须满足：1223 123 231500 24800 3252000 x x x x x x x +£ ì ï+£ í ï ++£ î我们希望在以上约束条件下，求出 3 2 1 , , x x x ，使总利润 3 2 1 4 5 3 x x x z + + = 达到最大， 故求解该问题的数学模型为：123 12 23 123 max 354 231500 24800 .. 3252000 0,1,2,3j z x x x x x x x s t x x x x j =++ +£ ì ï +£ ï í++£ ï ï ³= î 类似这样的问题非常多。
运筹学第一章线性规划
0
X1
约束条件所组成的可行 域为空集，无可行解。
《运筹学》 第一章 线性规划
Slide 19
二、线性规划的标准形式
1、目标函数：max z c1x1 c2x2 cnxn
a x11 1 a x12 2 a x1n n b1 a x21 1 a x22 2 a x2n n b2
《运筹学》 第一章 线性规划
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方案 根数
ABC
下料
3m 2 3 0
4m 1 0 2
合计 (m)
10
9
8
料头 (m)
0
1
2
P70 习题1－1： 设按这三种方案下料的原材料
根数分别为x1、x2、x3 。 min x1+x2+x3 S.t. 2x1+3x2>=90 x1+2x3>=60 Xi>=0
minz=2X1＋3X2＋5X3
s.t. X1＋X2－X3>=－5 －6X1＋7X2－9X3=15 ︱19X1－7X2＋5X3︱<=13
X1>=0, X2>=0
令X3=X3`－X3`` -X1－X2＋X3 `－X3`` ＋X4=5 －6X1＋7X2－9X3`＋9X3``=15 19X1－7X2＋5X3`－5X3``+X5=13 －19X1＋7X2－5X3 `＋5X3``＋X6=13 maxz=－2X1－3X2－5X3 `＋5X3`` ＋0X4+0X5+0X6 X1,X2,X3`,X3``,X4,X5,X6>=0 三、线性规划的解的概念（参考P12例1.7） 1、可行解和最优解：满足约束条件的解（X1，X2， …，Xn）T称为线性规划的可行解。而使得目标函数达到 最优值的可行解称为最优解。 2、基：（注意课本P15的定义对“基”的定义有误） 设A是约束方程组m×n维的系数矩阵，其秩为m，B是 矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵（B的行列式│B│≠0），则 称B是线性规划问题的一个基。
《运筹学》第一章 线性规划
③
约束方程②的系数矩阵
2 2 1 0 0 0
A 1 4
2 0
0 0
1 0
0 1
0 0
p1
p2
p3
p4
p5
p6
0 4 0 0 0 1
确定初始基B
1 0 0 0
产量分别为 x1、x2
项目
Ⅰ
设备 A（h） 0
设备 B（h） 6 调试工序（h） 1 利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
问：应如何安排生产计划，才 能使总利润最大？
2.目标函数：设总利润为z，则
max z = 2 x1 + x2 3.约束条件：
5x2 ≤ 15
s.t.
6x1+ 2x2 ≤ 24 x1+ x2 ≤ 5
凸集
顶点
凸集
不是凸集
顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1， X2，使X成为这两个点连线上的一个点。
（三）基本定理
定理1 若线性规划问题存在可行解，则问题的 可行域是一个凸集。
定理2 线性规划的基可行解对应线性规划问题 可行域（凸集）的顶点。
定理3 若线性规划问题有最优解，一定存在一个 基可行解是最优解。
(2)常数项bi＜0的转换：约束方程两边乘以（－1）。 (3) 约束方程的转换：由不等式转换为等式 。
aij xj bi aij xj bi
aij x j xni bi
xni 0 称为松弛变量
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
(4) 变量的变换
若存在取值无约束的变量 x，j可令
2x1
《运筹学》课件 第一章 线性规划
10
解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0
第一章 线性规划
第1章线性规划Chapter 1 Linear Programming本章内容提要线性规划是运筹学的重要内容。
本章介绍线性规划数学模型、线性规划的基本概念以及求解线性规划数学模型的基本算法——单纯形法。
学习本章要求掌握以下内容：⏹线性规划模型的结构⏹线性规划的标准形式，非标准形式转化为标准形式⏹线性规划的图解以及相应的概念。
包括：约束直线，可行半空间，可行解，可行域，凸集，极点，目标函数等值线，最优解⏹线性规划的基本概念。
包括：基，基础解，基础可行解，基变量，非基变量，进基变量，离基变量，基变换⏹单纯形法原理。
包括：基变量和目标函数用非基变量表出，检验数，选择进基变量的原则，确定离基变量的方法，主元，旋转运算⏹单纯形表。
包括初始单纯形表的构成，单纯形表运算方法⏹初始基础可行解，两阶段法⏹退化的基础可行解§1.1 运筹学和线性规划1.1.1 运筹学运筹学（Operations Research）是二十世纪三十年代二次大战期间由于战争的需要发展起来的一门学科。
当时，英国组织了一批自然科学和工程科学的学者，和军队指挥员一起，研究大规模战争提出的一些问题。
如轰炸战术的评价和改进、反潜艇作战研究等，研究结果在战争实践中取得了明显得效果。
这些研究当时在英国称为Operational Research，直译为作战研究。
战争结束以后，这些研究方法不断发展完善，并逐步形成学科理论体系，其中一些主要的理论和方法包括：线性规划，网络流，整数规划，动态规划，非线性规划，排队论，决策分析，对策论，计算机模拟等。
这些理论和方法在经济管理领域也得到了广泛应用，Operations Research也转义成为“作业研究”。
我国将Operations Research译成“运筹学”，非常贴切地将Operations Research这一英文术语所包含的作战研究和作业研究两方面的涵义都体现了出来。
现在，运筹学已经成为管理科学重要的基础理论和应用方法，是管理科学专业基本的必修课程之一。
第一章_线性规划
第 一 节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的数学模型
线性规划问题主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人 力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、 使用他们，使完成的任务最多。
在生产管理和经济活动中，经常会遇到线性规划问 题，如何利用线性规划的方法来进行分析，下面举例 来加以说明。
表1－2
成分
产品来源
分析：很明显，该厂可以有多种不同的方案从A，B 两处采购原油，但最优方案应是使购买成本最小的一 个，即在满足供应合同单位的前提下，使成本最小的 一个采购方案。
解：设分别表示从A，B两处采购的原油量（单位：万 吨），建立的数学模型为：
m in S 200 x1 290 x2
3. 若存在无非负要求的变量。即有某一个变 量 xj 取正值或负值都可以。这时为了满足标准型 对变量的非负要求，可令 xj = xjˊ- xj〞, 其中： xjˊ、 xj〞 0 ，由于xjˊ可能大于也可能小于xj〞，故 xj 可以为正也可以为负。
上述的标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7
x13x1x2
x4 x2
x5 2x4
x7 2 2x5 5
x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排 生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的 设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件 可获利润见表所示：
运筹学第1章-线性规划
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学-1、线性规划
则：
x1 x2 100
x1 ( x3 ) x4 x2 2
设x3为第二年新的投资； x4为第二年的保留资金；
则：
18
•设x5为第三年新的投资；x6为第三年的保留资金；
则：
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
•设x7为第四年新的投资；第四年的保留资金为x8；
max Z 2 x7 x9 x1 x2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x4 2 x5 2 x6 0 s.t 4 x3 x5 2 x6 2 x7 2 x8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x 0, j 1, 2, , 9 j
13
例3：（运输问题）设有两个砖厂A1 、A2 ，产 量分别为23万块、27万块，现将其产品联合供应三 个施工现场B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万 块、18万块、15万块。各产地到各施工现场的单位 运价如下表： 现场 砖厂 B1 B2 B3
A1 A2
5 6
14 18
7 9
问如何调运才能使总运费最省？
20
例5：（下料问题） 某一机床需要用甲、乙、 丙三种规格的钢轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9,2.1, 1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做，圆 钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多 少根圆钢来生产这些钢轴？
解：第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三 种钢轴的根数分别为y1,y2,y3，则切割方式可用不等 式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表示，求这个不等式的有实 际意义的非负整数解共有8组，也就是有8种不同的 下料方式，如下表所示：
运筹学第一章
27
线性规划图解法例题
（无界解）
max z x 2 y x y 1 2 x 4 y 3 x 0, y 0
OR1
28
线性规划图解法例题
（无解）
min z x 2 y x y 2 2 x 4 y 3 x 0, y 0
第一章 线性规划与单纯形法
重点与难点：
1、线性规划的概念和模型，线性规划问题的标准型，线 性规划问题的标准化； 2、线性规划问题解的概念，图解法(解的几何表示)，基本 可行解的几何意义，线性规划求解思路(单纯形法思想)； 3、单纯形法的一般描述，表格单纯形法，一般线性规划 问题的处理，单纯形迭代过程中的注意事项； 4、线性规划建模，决策变量，约束不等式、等式，目标 函数，变量的非负限制。
某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产 品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗 系数如下表：问题：如何安排生产计划，使得 获利最多？ 产品A 产品B 资源限量 4 360 劳动力 9 5 200 设 备 4 10 300 原材料 3 120 利润元/kg 70
OR1
3
例题1建模
步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg 2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0 综上所述，该问题的数学模型表示为：
OR1
1
第一章 线性规划与单纯形法
1.1 LP(linear programming)的基本概念 LP是在有限资源的条件下，合理分配和 利用资源，以期取得最佳的经济效益的优 化方法。 LP有一组有待决策的变量，（决策变量） 一个线性的目标函数， 一组线性的约束条件。
运筹学 线性规划
运筹学线性规划运筹学是一门研究如何进行最优决策的学科。
它包括了多个数学分支，如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等。
其中，线性规划在运筹学中占有重要地位。
线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定结构的最优化问题。
它的基本思想是在给定的约束条件下，通过构建目标函数和决策变量之间的线性关系，寻找使目标函数达到最优值的决策变量取值。
线性规划的数学模型可以表示为以下形式：最大化（或最小化）目标函数：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... +cₙxₙ所有的约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ... , xₙ ≥ 0其中，c₁、c₂、...、cₙ表示目标函数中的系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为约束条件中的系数，b₁、b₂、...、bₙ为约束条件右侧的常数。
线性规划的解法有多种，其中最常用的是单纯形法。
单纯形法通过逐步进行基变量的选择和替换，不断改进目标函数值，从而找到最优解。
它的基本思想是通过基变量的变换，使目标函数值不断减小，直到达到最小值或者无法继续改进为止。
线性规划的应用十分广泛。
它可以用于生产计划、资源分配、物流管理、投资组合等多个领域。
例如，在生产计划中，线性规划可以帮助企业合理分配生产资源，降低成本，提高效益。
在物流管理中，线性规划可以优化货物的调度方案，减少运输成本。
在投资组合中，线性规划可以帮助投资者选择合适的投资组合，以获得最大的收益。
总之，运筹学中的线性规划是一种重要的决策优化方法。
通过构建数学模型，并应用单纯形法等求解方法，可以在给定的约束条件下寻找最优解，从而提高决策的效果。
随着计算机技术的发展，线性规划的应用领域和规模将会进一步扩大，为各行各业提供更好的决策支持。
第1章线性规划
(0,6)
3x1+2x2=18 x1=4
(2,6) (4,6)
2x2=12
(4,3)
3x1+5x2=50
(0,0)
(4,0) (6,0)
x2=0 x1
无可行解
若线性规划问题的决策变量超过2个时， 应用图解法求解时便会显得很困难。这里需 要解决线性规划问题的更一般的代数的方 法——单纯形法。
单纯形法可以解决成千上万个变量或约 束条件的线性规划问题。
x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，x5 ≥ 0
需要指出的是：线性规划问题的标准形 式与其原始形式是等价的，即一个线性规划 问题的最优解与其标准形式的最优解的值是 一样的。一个问题的标准形式并不改变问题 的本质，它只是改变对问题约束条件的写法。
我们已经说过，单纯形法需要标准形式。但对 于单纯形法，我们不做深入探讨，这里只给出几个 必要的基本概念。
在使用单纯形法解决问题中，必须对线 性规划的一般形式进行变形，化为标准形式。
线性规划的标准形式： n
max z = c j x j
j 1
s.t.
n j 1
aij x j
bi
(i 1,2, m)
x j 0
( j 1,2, n)
①目标函数取极大化， ②约束条件全为等式，
③约束条件右端常数项均为非负值，④变量
令非基变量x1＝x2＝0，解得x3＝4， x4＝12， x5＝18，则x＝(0,0,4,12,18)T是一个基解。因该基解 中所有变量取值为非负，满足线性规划问题的所有 约束条件，故也是基可行解。
1.2 对偶问题
例1.3（委托加工）对于例1.1的产品组合问 题，公司从交易市场上得到另一信息：某中 间商得到一笔生产与公司相同产品的合同。 但该中间商并没有生产这些产品的设备，欲 委托该公司为其加工产品。现在的问题是公 司应该让中间商至少付出多少代价，才能放 弃这两种新产品的生产，为中间商委托生产？
运筹学A-第1章线性规划
8 6 300
x1 0，x2 0
租赁费 C (元/天)
10
250
20
350
700
例1-4 见教材第6页，例【1.2】人员分配问题
2024/1/17 7
OR:SM
思考题：（下料问题）
某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴 的规格分别是2.9、2.1和1.5m，这些轴需要用同一种圆钢切割 而成，圆钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，问：最少要 用多少圆钢来生产这些轴？(切割损失不计)
300
700
2024/1/17 6
OR:SM
【解】设租赁机械甲x1天、机械乙x2天，则该线性规划问 题的数学模型为：
min Z 250x1 350x2
5x1 6 x2 250 构件
A
B
s.t
.
180xx1 162x02
x2
300 700
机械 甲（根/天） 乙（根/天） 任务（根）
5 6 250
注意本题条件：有钱就会用于投资，即： 可利用的资金 = 投资金额，据此建立约束等式。
2024/1/17 17
OR:SM
二、线性规划问题的数学模型3.30
• 线性规划问题的数学模型包括三大要素：
• （1）一组决策变量（x1 , x2 , … , xn），是模型中需要首 确定的未知量。
• （2）一组约束条件，是模型中决策变量受到的约束限制， 包括两个部分：不等式或等式；非负取值（实际问题）。
第3年，可用于项目1和4投资，投资额x21和x12有关： x31 + x34 = 1.2 x21 + 1.5 x12 投资限额： x12 ≤ 150000; x23 ≤ 200000; x34 ≤ 100000 非负约束： xij ≥ 0 ( i = 1,2,3; j = 1,2,3,4 ) 对于目标函数，只需考虑第3年末的收益：
运筹学 第01章 线性规划问题
非标准形式的转换(2)
第i个约束为型
在不等式左边加上一个非负的变量xn+i ，称为 松弛变量；同时令cn+i =0
第i个约束为型
在不等式左边减去一个非负的变量xn+i ，也称 为松弛变量；同时令cn+i =0
若xj 0
令xj=-xj ，代入非标准型，则有xj 0
x2
10 9 8 7 6 5 4 3
2
F
E A B G C
3
图解法一般只用有 于1-3个决策变量的 线性规划
f(x )= 1 2 f(x )= 0
1 2 3
2 1
1
D 4 5 6 7
H 8
O
x1
作业(2)
书上70页1-3的②
线性规划问题的单纯形解法
为了使线性规划问题的解法标准，就要把 一般形式化为标准形式
s.t.
人员安排问题(1)
医院护士24小时值班，不同时段需要的护 士人数不等（见下表）。每个护士每天连 续值班8小时，在各时段开始时上班。问最 少需要多少护士？
序号 1 2 3 4 时段 06—10 10—14 14—18 18—22 最少人数 60 70 60 50
5 6
22—02 02—06
配料问题(1)
养海狸鼠，饲料营养要求：VA每天至少700克， VB每天至少30克，VC每天刚好200克。现有五 种饲料，搭配使用，饲料成分如下表。问如 何购买饲料，使得花费最少？
饲料 I(kg) II(kg) III(kg) IV(kg) V(kg) 营养要求(g) Va(g) 3 2 1 6 18 700 Vb(g) 1 0.5 0.2 2 0.5 30 Vc(g) 0.5 1 0.2 2 0.8 200 价格(元/kg) 2 7 4 9 5
运筹学第1章 线性规划
... am2
....本.. 课件a.m的..n版权属b于=熊义杰b┋m
j 1
n
s.t. aij x j bi j 1
(i 1,2, , m)
7
矩阵形式的主要优点是便于进一步. 研究
任何一个非标准的线性规划都可以通过以下三个方面的途径转 化为标准型：
1.将最小化的目标函数转化为最大化的目标函数，即：
x1 - 2x2 5x3 10
s.t.
2
x1 3x1
x2 -
- 3x3 5x2
20 18
Click mouse to show Answers
x1 0, x2 0 - Max(-Z ) -3x1 - y - 4u 4v
x1 2 y 5u - 5v - s1 10
3.限制决策变量取值的非负约束。
线性规划的一般形式为：
线性规划的一般式
max z c1 x1 c2 x2 cn xn
s.t a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a2…1 x1
a…22 x2
…
a
2n
x
n
…
b2
(1.1)
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
max. z=50x1+30x2 3.确定约束方程：
木工约束： 4x1+3x2≤ 120
油漆工约束： 2x1+x2≤ 50
本课件的版权属于熊义杰
3
一个最小化问题
4.变量取值限制：x1≥ 0, x2≥ 0 把以上四个部分合起来，有：
max. z=50x1+30x2
运筹学第01章线性规划
经济学家要关注线性规划。其中阿罗、萨谬尔逊、西蒙、多夫
曼和胡尔威茨等都获得了诺贝尔奖。
3
在中国，最早的运筹学思想有战国时期的田忌赛马，它是对 策论的一个典型例子，北宋时期的丁渭造皇宫，它是统筹规划 的一个例子。
50年代中期，钱学森、许国志等教授在国内全面介绍和推广 运筹学知识，1956年，中国科学院成立第一个运筹学研究室， 1957年运筹学运用到建筑和纺织业中，1958年提出了图上作 业法，山东大学的管梅谷教授提出了“中国邮递员问题”， 1970年，在华罗庚教授的直接指导下，在全国范围内推广统筹 方法和优选法。
规划问题的可行解。全部可行解的集合称为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。
基解：对于某个特定的基B，非基变量均取0时的解，称为基 解。由于在基解中变量取非零的个数不大于方程数 m，所以基 解的总数不超过 C个nm 。
基可行解：满足非负条件（1.2）的基解，称为基可行解。
可行基：与基可行解相对应的基，称为可行基。
(2)目标函数，是决策变量的函数，按问题的目标不同分别在 这个函数前加上max或min；
(3)约束条件，由一组含决策变量的等式或不等式组成，表 明决策变量取值时所受到的各种资源条件的限制。
假定线性规划问题中含有 n 个决策变量 xj (j＝1，…，n)，
在目标函数中 xj 的系数为 cj (cj 通常称为价值系数)； 有m 种资源的限制，每种资源数量用 bi(i=1,...m)表示； 用 aij表示变量 xj 取值为1个单位时所消耗或含有的第 i 种资 源的数量，通常称 aij 为技术系数或消耗系数。
n
aij x j bi
(i 1,, m)
(1.1)
j1
运筹学 010线性规划
第1章 线性规划第一节 线性规划问题及数学模型一、引例例1：生产计划问题工厂可生产A 、B 两种产品。
每生产一吨A 产品需用煤9吨，耗电4千瓦，用工时3个；每生产一吨B 产品需用煤4吨，耗电5千瓦，用工时10个。
每生产一吨A 产品工厂可获得利润700元，一吨B 产品可获利润1200元。
工厂的煤、电力和工人均为有限，分别为煤：360吨，电：200千瓦时，工时：300个。
在这种情况下，问：为获得最大利润，工厂应分别生产A 、B 两种产品各多少吨？该问题中的数据可归纳为下表：产品 A B 资源限制 煤 9 4 360 电 4 5 200 工时 3 10 300 利润 700 1200 下面列出该问题的数学模型。
首先设变量，x 1为产品A 的生产量，x 2为产品B 的生产量。
可列出问题中煤、电、工时三种资源的消耗和限制情况： 煤： 3604921≤+x x电：2005421≤+x x工时： 30010321≤+x x再列出获得最大利润这一目标：211200700max x x z +=最后列出变量的有效取值范围：0,21≥x x上面这些表达式用数学形式反映出了问题中的各种因素，即称为该问题的数学模型，整理如下：, 300103 20054 36049 1200700max 2121212121≥≤+≤+≤++=x x x x x x x x x x z该数学模型即是一个线性规划模型。
二、问题的特征引例中的问题可表示为一个线性规划模型，该问题也就相应地称为是一个线性规划问题。
下面结合该例题明确线性规划问题所具有的几个特征：(1) 目标性。
问题中存在一个趋向性的目标，要求某个指标尽可能大或者尽可能小。
如要求利润尽可能大。
(2) 约束性。
问题中存在一定的限制条件，如煤、电、工时的消耗量不能超过一定的限量。
(3) 矛盾性。
是指不论如何调整解决问题的方案，都会对问题的目标同时产生有利和不利两方面的影响。
或者说，对模型中所设定的每一个变量，不管是增大还是减小变量的取值，都会从不同的方面导致目标值的增大和减小。
管理运筹学讲义 第1 章 线性规划
(3)约束条件：产量之和等于销量之和,故要满足：
供应平衡条件
x11+x12+x13+x14=50 x21+x22+x23+x24=20 x31+x32+x33+x34 =30
x11+x21+x31=20 x12+x22+x32=30 x13+x23+x33=10 x14+x24+x34=40
xij≥0 (i=1,2,3；j=1,2,3,4)
决策变量对目标函数和约束方程的影响是独立于其他变量的。 目标函数值是决策变量对目标函数贡献的总和。
（4）连续性假定
决策变量取值连续。
（5）确定性假定
所有参数都是确定的，不包含随机因素。
9 OR:SM
第一节 线性规划的一般模型
三、线性规划模型的特征
2、一般数学模型
• 用一组非负决策变量表示的一个决策问题； • 存在一组等式或不等式的线性约束条件； • 有一个希望达到的目标，可表示成决策变量的极值线性函数。
4 2 6
8
O
2
4
6
8
x1
OR:SM
23
• 当决策变量是三维的，如何求解？ • 当维数再高时，又如何求解？
24
OR:SM
第二节 线性规划的一般模型
一、线性规划的标准型式
1、标准型表达方式
1）代数式
max Z c j x j
j 1 n
2）向量式
max Z CX
i 1,2,, m j 1,2,, n
20
OR:SM
第一节 线性规划的一般模型
运筹学第一章线性规划
线性规划解的概念 ——[3]基可行解
[3.1.2]基变量XB和非基变量XN
线性代数: 被表示变量 表示变量
2 x2 x4 x1 2 x2 x3 2 x4 1 x1 2 基变量： 2 x x x1 x 2 x1 4 x2 x3 x4 5 2 x3 41 待解的 4 2 1 x4 变量 x3
X=αx1+βx2 或C=αA +βB y=αy1+βy2
类似的我们有凸组合的概念
线规几何意义: 凸组合
设X1,X2,…XK为n维空间中的k个
点。若下式成立， 显然， X X 1 X例：阴影中任 原点,Q1,Q4的凸 2 ... K X K 类似的，上面X1,X2,…XK的 1 2 C=αA 组合则表示三角 +βB 一点，可表示 0 i 1, i 1 （ 0≤α,β≤1，α+β=1） 凸组合X，则表示由它们圈定 为：原点、 形(O,Q1,Q4)内 则称X为X1,X2,…XK的凸组合。 的封闭空间中任意一点。 是凸组合的一个特例，同时AB的凸 Q1、Q2、Q3、 的任一点 组合C表示AB连线上任一点。 Q4的凸组合
线性规划解的概念
——[3]基可行解 根据基解的定义，我们有：
在基解中
基变量 非零分量（待求变量） 非基变量 零分量（自由变量）
线性规划解的概念
——[3]基可行解
基可行解的定义：
定义1：可行的基解。 定义2：各分量均大于零的基解。
基可行解（m个方程，n个变量） 基可行解 基变量 正分量（待求变量） 正分量个数=m=方程个数=R(A) 非基变量 =n-m 零分量个数 零分量（自由变量）
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可行域
OR课件
LP
例1.4 现有两个变量的LP模型
x2
§4 LP 问 题 图 解 法
Z 10 x 8x 3x 2 x 120 非 30 x 基 本 45 x 解 , x x 0
max 1 1 2 1 2 1 2
2
80 60
(10,45) Z=460
约束条件
非负约束
OR课件
LP
§1 LP 问题 及其 数学 模型
例、某工厂用三种原料生产三种产品，已 知的条件如下表所示，试制订总利润最大 的生产计划。
单位产品所需原 料数量（公斤） 产品 Q1 1
x
2 0 3 3
产品 2 Q2
x
3 2 2 5
产品 Q33
x
原料可用量 （公斤/日）
原料P1
原料P2 原料P3
OR课件
LP
§1 LP 问题 及其 数学 模型
例2 运输问题：甲乙两地分别有货物80t和 100t，要运送到a，b，c三个地方，数量分 别是70，60和50t，它们之间的单位运价 （元/T· km）如下表，现在要制订出最佳运 输方案，使总的运输费用达到最小。
收点 发点
a 5 8 70
b 4 6 60
OR课件
LP
LP问题标准形式
§2 LP 问题 的标 准型 及其 转化
MaxZ c x Ax b s.t. x 0
特征：
目标取极大（MaxZ) 约束条件取等式（＝） 变量取非负（0）（另外：b0)
OR课件
LP问题模型转换
LP
§2 LP 问题 的标 准型 及其 转化
原料 P3 ： 3x1 2 x2 5x3 2000
非负约束：产量为非负数
x1,x2,x3 ≥0
OR课件
LP
§1 LP 问题 及其 数学 模型
max 3 x1 5 x2 4 x3 2 x1 3 x 2 1500 s.t. 2 x 2 4 x 3 800 3 x1 2 x 2 5 x 3 2000 x1 , x 2 , x 3 0
约束条件
OR课件
LP
其中：
§2 LP 问题 的标 准型 及其 转化
x j ; j 1,2,...,n
为待定的决策变量，
c ( c 1 , c 2 , , c n ) 为价值向量，
c j ; j 1,2,...,n 为价值系数，
b ( b1 , b 2 ,...,b m ) 为右端向量，
0 4 5 4
1500 800 2000
单位产品的利润 （千元）
OR课件
LP
解：设
决策变量：每天生产三种产品的数量，分别设为
§1 LP 问题 及其 数学 模型
x1 , x2 , x3
目标函数：每天的生产利润最大
MaxZ 3x1 5x2 4 x3
约束条件： 每天原料的需求量不超过可用量： 原料 P1 ： 2 x1 3x2 1500 原料 P2 ： 2 x2 4 x3 800
例1、某工厂生产A、B两种产品，都需使 用铜和铝两种金属材料，有关资料如下表 所示。问如何确定A,B产品的产量，使工厂 获取的总利润最大？
原 料 铜 铝 单位产品的利润 （万元） A产品单 1 耗（吨）
x
B产品单 2 耗（吨）
x
原料可用量 （吨）
2 x1 + 1 x2 ≤ 1 x1 + 3 x2 ≤ 3 x1 4 x2
剩余变量
பைடு நூலகம்
OR课件
不等式变不等式
§2 LP 问题 的标 准型 及其 转化
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
或
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
max 1 2
2 2 1 2 1
最优目标值： Z=120
最优解为AB线段上所有点 －－称为多重解
X = XA + (1-)XB
0
20
40
60
80 x1
OR课件
LP
§4 LP 问 题 图 解 法
例1.6 某LP问题的可行域如下图：
MaxZ
OR课件
LP
LP问题模型转换
§2 LP 问题 的标 准型 及其 转化
例 把问题转化为标准形式
min S x1 x 2 2 x1 x2 2 x 2x 2 1 2 s.t. x1 x2 5 x1 0
MaxZ x1 ( x3 x4 ) 2 x1 ( x3 x4 ) x5 2 x 2( x x ) x 2 1 3 4 6 s.t. x1 ( x3 x4 ) x7 5 xi 0; i 1,3,4,5,6,7
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
OR课件
LP
§3 LP 问 题 解 的 概 念
可行解：满足LP问题所有约束条件的解。 最优解：满足目标函数的可行解。
MaxZ CX AX b X 0
OR课件
LP
§3 LP 问 题 解 的 概 念
基、基变量、非基变量：
X x1 x2 xm xm1 xn a11 a12 a1m a1m1 a1n A am1 am2 amm amm1 amn a11 a12 a1m B a a a mm m1 m2
40 20
不 可 行 解
x
2
= Z/8 － 5/4 x1
0 可行域
20
40
60
80 x1
若Z=160, x2=20－5/4x1 等值线
最优解: x1=10, x2=45, Z=460 (唯一最优解)
OR课件
LP
§4 例1.5 若将上例的目标函数改为： x LP Z 3x 2x 问 约束条件不变，其最优 80 题 解会发生什么变化？ 60 不 可 图 A(10,45) Z=120 行 x = Z/2 － 3/2 x 解 40 解 法 若Z=60, x =30－3/2x 20 B(30,15) Z=120
变量转换
负变量化为正变量
令自由变量 x j x ，其中 x x j j j , x j 为非负变量
目标转换
求最大可以等价成求负的最小
MinS c x MaxZ c x
约束转换
OR课件
LP问题约束转换
等式变不等式
§2 LP 问题 的标 准型 及其 转化
退化基本解：非零基变量的个数小于m的 基本解。
OR课件
LP
LP问题解集
§3 LP 问 题 解 的 概 念
非 基 本 解
基本解
可行解
不 可 行 解
其交集为基本可行解
OR课件
§3 LP 问 题 解 的 概 念
1． 基本可行解不一定都是最优解， 最优解也不一定都是基本解 2． 如果有两个基本可行解是最优解， 则两解的凸组合也都是最优解。 3． 如果最优解不唯一，则会有多个基本可行解是最优解，它们必然在 同一个面上。 4．基本可行解个数有限，可以在基本可行解中寻找最优解。
矩阵
a 11 a 21 A a m1 a 12 a 22 am2 a1n a 2n a mn
为系数矩阵。
OR课件
LP
§2 LP 问题 的标 准型 及其 转化
LP问题规范形式
min c x Ax b s.t. x 0
40 30
利润（Z）=3x1
+ 4x2
OR课件
LP
决策变量
解：设A、B两种产品的产量分别为x1、x2， 则使工厂获取的总利润最大的数学模型如下：
§1 LP 问题 及其 数学 模型
Max z=3x1 + 4x2
2x1＋x2 ≤ 40 （铜） x1＋3x2 ≤ 30（铝） x1, x2 ≥ 0
目标函数
OR课件
运 筹 帷 幄 之 中 Linear Programming-----LP
决 胜
线性规划基础
（第1章）
千 里 之 外
OR课件
导 学
重 点 与 难 点 -----
重点
掌握什么样的问题是线性规划问题，即
线性规划问题的数学模型的特点、标准型
的建立和图解法的基本思想。
难点
线性规划问题解的概念和标准型的转化。
OR课件
导 学
主 要 内 容 -----
§ 1 LP问题及其数学模型
§ 2 LP的标准型及其转化
§ 3 LP解的概念 § 4 LP的图解法
OR课件
LP
§1 LP 问题 及其 数学 模型
线性规划实例
生产计划问题 运输问题 线性规划模型 模型特征 建模步骤
OR课件
LP
§1 LP 问题 及其 数学 模型
（4）每一问题要求目标函数实现最大化（Max） 或者最小化（Min）。