平行线与三角形内角和的综合应用(讲义)

平行线与三角形内角和的综合应用（讲义）
➢ 课前预习
1. 如图，在△ABC 中，如果∠C =90°，∠A =30°，那么∠B =_____，∠A +∠B =_______，
也就是∠A 与∠B ________（填“互余”、“互补”）．
A
B
C
2. 如图，已知∠AOC =∠BOD =90°，求证：∠AOD =∠BOC ．
D
C
B O
A
证明：如图，
∵∠AOC =∠BOD =90° （_______________________） ∴∠AOD =∠BOC （_______________________）
➢ 知识点睛
1. 三角形的内角和等于__________．
已知：如图，△ABC ．
求证：∠BAC +∠B +∠C =180°．
A M
B
C
1
2
N
证明：_______，___________________________． ∵MN ∥BC （ 已作 ） ∴∠B =∠1，∠C =∠2
（_______________________）
∵∠BAC+∠1+∠2=180°（_______________________） ∴∠BAC +∠B +∠C =180°（_______________________）
2. 直角三角形两锐角___________．
➢ 精讲精练
1. 如图，在△ABC 中，∠A =50°，∠C =72°，BD 是△ABC 的一条角平分线，则∠
ABD=__________．
D
A
C F
E
D C B
A
第1题图 第2题图
2. 如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，E 是AC 上一点，ED ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别
为D ，F ．若∠AED =140°，则∠C =_____，∠BDF =______，∠A =______．
3. 如图，AE ∥BD ，∠1=110°，∠2=30°，则∠C =______．
21E
D
C
B A F
D
A
E
B
第3题图 第4题图
4. 如图，AD ∥BC ，AB ∥CD ，E 在CB 的延长线上，EF 经过点A ，∠C =50°，∠FAD =60°，
则∠EAB =_______．
5. 如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于
点E ．若∠A =75°，∠ADE =35°，则 ∠EDC =_________．
6. 如图，在△ABC 中，∠B =40°，∠BAC =68°，AD ⊥BC 于点D ，求∠DAC 的度数．
解：如图，
在△ABC 中，∠B =40°，∠BAC =68°（已知） ∴∠C =180°-______-______ =180°-_____-_____
=______（_______________________） ∵AD ⊥BC （已知）
∴∠ADC =90°（垂直的定义） ∴∠C +_____=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠DAC =90°-______
=90°-______
=______（_______________________）
7. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．
求证：∠A =∠BCD ．
证明：如图， ∵∠ACB =90°（已知）
∴∠A +_____=90°（直角三角形两锐角互余） ∵CD ⊥AB （已知）
A
B
D
A
B
C
D
E
D
C
B
A
∴∠CDB =90°（垂直的定义）
∴_____+∠B =90°（______________________） ∴∠A =∠BCD （______________________）
8. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 是边AC 上一点，DE ∥BC ，∠1=60°，求
∠A 的度数．
A
D
E
1B
C
9. 如图，BD ∥AE 交△ABC 的边AC 于点F ，∠CAE =95°，
∠CBD =30°，求∠C 的度数．
A
B C
D
E
F
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于
点E，交BC于点F．
求证：∠1=∠2．
【参考答案】
➢课前预习
1.60°，90°，互余
2.已知，同角的余角相等➢知识点睛
1.180°
如图，过点A作MN∥BC
两直线平行，内错角相等
平角的定义
等量代换
2.互余
➢精讲精练
1.29°
2
1F
E
D
C
B A
2.50°，40°，80°
3.40°
4.70°
5.35°
6.解：如图，
在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=68°（已知）
∴∠C=180°-∠B-∠BAC
=180°-40°-68°
=72°（三角形的内角和等于180°）∵AD⊥BC（已知）
∴∠ADC=90°（垂直的定义）
∴∠C+∠DAC=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠DAC=90°-∠C
=90°-72°
=18°（等式的性质）
7.证明：如图，
∵∠ACB=90°（已知）
∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）
∵CD⊥AB（已知）
∴∠CDB=90°（垂直的定义）
∴∠BCD+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠A=∠BCD（同角的余角相等）
8.解：如图，
∵DE∥BC（已知）
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=60°（已知）
∴∠B=60°（等量代换）
∵∠C=90°（已知）
∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠A=90°-∠B
=90°-60°
=30°（等式的性质）
9.解：如图，
∵BD∥AE（已知）
∴∠CFD=∠CAE（两直线平行，同位角相等）∵∠CAE=95°（已知）
∴∠CFD=95°（等量代换）
∴∠CFB =180°-∠CFD
=180°-95°
=85°（平角的定义）
在△CBF 中，∠CBD =30°，∠CFB =85°（已知） ∴∠C =180°-∠CBD -∠CFB =180°-30°-85°
=65°（三角形的内角和等于180°） 10. 证明：如图，
∵∠ACB =90°（已知）
∴∠CAF +∠2=90°（直角三角形两锐角互余） ∵CD ⊥AB （已知）
∴∠EDA =90°（垂直的定义）
∴∠DAE +∠AED =90°（直角三角形两锐角互余） ∵AF 平分∠CAB （已知）
∴∠CAF =∠DAE （角平分线的定义） ∴∠2=∠AED （等角的余角相等） ∵∠1=∠AED （对顶角相等） ∴∠1=∠2（等量代换）
平行线与三角形内角和的综合应用（随堂测试）
1. 已知：如图，AB ∥CD ，∠ABF =120°，CE ⊥BF ，垂足为E ，则∠ECF =___________．
A
B
C D E
F
2. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =40°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ∥BA 交
AC 于点E ，∠ADE =40°，求∠C 的度数．
E
D
C B
A
【参考答案】
1.30°
2.解：如图，
∵DE∥BA（已知）
∴∠BAD=∠ADE（两直线平行，内错角相等）∵∠ADE=40°（已知）
∴∠BAD=40°（等量代换）
∵AD平分∠BAC（已知）
∴∠BAC=2∠BAD
=2×40°
=80°（角平分线的定义）
在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=80°（已知）
∴∠C=180°-∠B-∠BAC
=180°-40°-80°
=60°（三角形的内角和等于180°）。