2020-2021学年度甘肃省兰州市高三一诊数学(理)试题及答案

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甘肃省兰州市2021届高三下学期第一次诊断性考试(一模) 数学(文) Word版含答案

2021年高三诊断考试数学(文科)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。

2.本试卷满分150分，考试用时120分钟。

答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|y＝lg(1－x)}，则M∪N＝A.[0，1)B.[0，1]C.(－∞，1)D.(－∞，1]2.已知复数z满足(1－i)(3＋z)＝1＋i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为A.3－iB.3＋iC.－3－iD.－3＋i3.某学校高一开展数学建模活动，有3位教师负责指导该活动，若甲、乙两名同学分别从这三位教师中选择一位作为自己的指导教师，则他们选择同一位教师的概率是A.12B.13C.14D.164.若双曲线22214x ya-=(a>2)的一条渐近线经过点P(2，1)，则双曲线的焦距是A.5B.25C.43D.455.下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图，s12，s22分别表示甲、乙两组数据的方差，则s12，s 22大小关系正确的是A.s12>s22B.s12＝s22C.s12<s22D.无法确定6.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若S5＝3a4，a1＝－2，则S10＝A.150B.160C.190D.2007.正方形ABCD边长为4，点E为BC边的中点，点F为CD边的一点，若2 AF AE AE⋅=，则CF＝A.5B.3C.2D.18.函数f(x)＝xe x的图象如图所示，则函数f(1－x)的图象为9.《九章算术·商功》有如下叙述：斜解立方，得两堑堵。

斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。

阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。

”(阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓)。

取一个长方体，按下图所示将其一分为二，得两个一模一样的三棱柱，均称为堑堵。

甘肃省兰州市2019届高三一诊数学(理)试题

甘肃省兰州市2019届高三一诊数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）2．A. B. C. D.2．设为虚数单位，，若是纯虚数，则A. 2B.C. 1D.3．已知条件：，条件：，则是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．已知是锐角，若，则A. B. C. D.5．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（）A. B. C. 或 D. 或6．设向量满足，则 ( )A. 6B.C. 10D.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 64B. 32C. 96D. 488．已知随机变量服从正态分布，且，（）A. B. C. D.9．《九章算术》上有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”假设墙厚尺，现用程序框图描述该问题，则输出（）A. B. C. D.10．函数的图象大致为（）A. B.C. D.11．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足b=c，=，若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2，OB=1，则平面四边形OACB面积的最大值是（）A．B．C．3 D．12．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为（）A. B. C. D.1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数f（x）=x﹣alnx在点（1，1）处的切线方程为y=1，则实数a=．14．已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为．15．若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）dx=．16．α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；①AC与α，β所成的角相等；①AC与CD在β内的射影在同一条直线上；①AC ∥EF．其中能成为增加条件的序号是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{a n}中，已知a n＞0，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．18．为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．分数（分数段）频数（人数）频率[60，70）9x[70，80）y0.38[80，90）160.32[90，100）z s合计p1（1）求出上表中的x，y，z，s，p的值；（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛．已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD 为矩形，PA=PB，O为AB的中点，OD⊥PC．（1）求证：OC⊥PD；（2）若PD与平面PAB所成的角为300，求二面角D﹣PC﹣B的余弦值．20．已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．21．已知函数f（x）=+ax，x＞1．（①）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（①）若a=2，求函数f（x）的极小值；（①）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（①）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（①）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．甘肃省兰州市2019届高三一诊数学（理）试题参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C2．C3．A4．D5．C6．D7．A8．C9．D10．C11．B12．C【解析】试题分析：设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则212,2.,23p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()222max 22,,21123633,122212,,233OM OM p p p p p x t x t t k t k pt pt t t t y y t ⎧⎧-=-=+⎪⎪⎪⎪∴∴∴==≤=∴⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩当且仅当时取等号，，故选C.【考点】抛物线的简单几何性质，平面向量的线性运算【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率k 用参数t 表示出后，可根据表达式形式选用函数或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数f （x ）=x ﹣alnx 在点（1，1）处的切线方程为y=1，则实数a= 1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，由条件可得a 的方程，即可得到所求值．【解答】解：函数f （x ）=x ﹣alnx 的导数为f′（x ）=1﹣，由在点（1，1）处的切线方程为y=1，可得在点（1，1）处的切线斜率为1﹣a=0，解得a=1．故答案为：1．14．已知变量x ，y ，满足：，则z=2x +y 的最大值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，根据可行域移动目标函数，根据直线的截距得出最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z．由图形可知当直线y=﹣2x+z经过B点时，直线的截距最大，即z最大．解方程组，得B（1，2）．∴z的最大值为z=2×1+2=4．故答案为：4．15．若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）dx=．【考点】定积分．【分析】对已知等式两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，利用已知等式求出c，得到所求．【解答】解：对f（x）+∫01f（x）dx=x两边求导，得到f'（x）=1，所以设f （x）=x+c，由已知x+c+（x2+cx）|=x，解得c=﹣，所以=（）|=；故答案为：．16．α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；①AC与α，β所成的角相等；①AC与CD在β内的射影在同一条直线上；①AC∥EF．其中能成为增加条件的序号是①或①．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】将每一个条件作为已知条件进行分析证明，得出结论．【解答】解：①因为AC⊥α，且EF⊂α，所以AC⊥EF．又AB⊥α且EF⊂α，所以EF⊥AB．因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD，所以BD⊥EF．所以①可以成为增加的条件．①AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以①不可以成为增加的条件．①AC与CD在β内的射影在同一条直线上因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．所以EF与CD在β内的射影垂直，AC与CD在β内的射影在同一条直线上所以EF⊥AC，因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．所以①可以成为增加的条件．①若AC∥EF，则AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．所以①不可以成为增加的条件．故答案为：①①．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{a n}中，已知a n＞0，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其性质可得a n．再利用等比数列的通项公式即可得出b n．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设设等差数列的公差为d，则由已知得：a1+a2+a3=3a2=15，即a2=5，又（5﹣d+2）（5+d+13）=100，解得d=2或d=﹣13（舍），a1=a2﹣d=3，∴a n=a1+（n﹣1）×d=2n+1，又b1=a1+2=5，b2=a2+5=10，∴q=2∴．（2）∵，，两式相减得，则．18．为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．分数（分数段）频数（人数）频率[60，70）9x[70，80）y0.38[80，90）160.32[90，100）z s合计p1（1）求出上表中的x，y，z，s，p的值；（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛．已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意知，参赛选手共有50人，由此能求出表中的x，y，x，s，p的值．（①）由题意随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望．【解答】解：（1）由题意知，参赛选手共有p==50人，∴x==0.18，y=50×0.38=19，z=50﹣9﹣19﹣16=6．s=．（①）由（①）知，参加决赛的选手共6人，随机变量X的可能取值为0，1，2…，，，…随机变量X的分布列为：X012P因为，所以随机变量X的数学期望为l．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD 为矩形，PA=PB，O为AB的中点，OD⊥PC．（1）求证：OC⊥PD；（2）若PD与平面PAB所成的角为300，求二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结OP，推导出OP⊥AB，从而OP⊥平面ABCD，由OP⊥OD，OP⊥OC，得OD⊥OC，再由OP⊥OC，能证明OC⊥PD．（2）设AD=1，则AB=2，推导出∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角，设PC的中点为M，连接DM，则DM⊥PC在Rt△CBP中，过M作NM⊥PC，交PB于点N，则∠DMN为二面角D﹣PC﹣B的一个平面角，由此能求出二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连结OP，∵PA=PB，O为AB的中点，∴OP⊥AB．∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，∴OP⊥OD，OP⊥OC，∵OD⊥PC，∴OD⊥平面OPC，∴OD⊥OC，…又∵OP⊥OC，∴OC⊥平面OPD，∴OC⊥PD．…解：（2）在矩形ABCD中，由（1）得OD⊥OC，∴AB=2AD，不妨设AD=1，则AB=2．∵侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，∴DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，△DPA≌△DPA，∴∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角∴∠DPA=30°，∠CPB=30°，，∴DP=CP=2，∴△PDC为等边三角形，…设PC的中点为M，连接DM，则DM⊥PC在Rt△CBP中，过M作NM⊥PC，交PB于点N，则∠DMN为二面角D ﹣PC﹣B的一个平面角．由于∠CPB=30°，PM=1，∴在Rt△PMN中，，，∵，∴，∴ND2=3+1=4，∴，即二面角D﹣PC﹣B的余弦值﹣．…20．已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（①）由椭圆的离心率为，且经过点，求出a，b，c，由此能求出椭圆方程．（①）设直线l的方程为x=ty﹣1，代入椭圆方程得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、根的判别式、弦长公式、直线与圆相切，结合已知条件能求出圆的方程．【解答】解：（①）∵椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2．∴，a=2c，∴a2=4c2，b2=3c2，将点的坐标代入椭圆方程得c2=1，故所求椭圆方程为．…（①）设直线l的方程为x=ty﹣1，代入椭圆方程得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，判别式大于0恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），△AF2B的内切圆半径为r0，则有，，∴=，而==，∴，解得t2=1，∵所求圆与直线l相切，∴半径=，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=2．…21．已知函数f（x）=+ax，x＞1．（①）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（①）若a=2，求函数f（x）的极小值；（①）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（①）求出函数的导数，通过f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，得到a的不等式，利用二次函数的求出最小值，得到a的范围．（①）利用a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解函数的极值．（①）化简方程（2x﹣m）lnx+x=0，得，利用函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点，结合由（①）可知，f（x）的单调性，推出实数m的取值范围．【解答】（本小题满分13分）解：（①）函数f（x）=+ax，x＞1．，由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；﹣﹣﹣∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵x∈（1，+∞），∴lnx∈（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴时函数t=的最小值为，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（①）当a=2时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，解得或lnx=﹣1（舍），即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当时，f'（x）＜0，当时，f′（x）＞0∴f（x）的极小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（①）将方程（2x﹣m）lnx+x=0两边同除lnx得整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由（①）可知，f（x）在上单调递减，在上单调递增，当x→1时，，∴，实数m的取值范围为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（①）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（①）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（①）先利用两方程相加，消去参数t即可得到l的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程．（①）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（①）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分又由得ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分（①）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=3又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式．【分析】（①）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（①）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得a的值．【解答】解：（①）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5}．…（①）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…。

2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(一)(有答案解析)

2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|-1＜x＜4}，则集合A中的元素个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 62.（-1+i）（2i+1）=（）A. 1-iB. 1+iC. -3-iD. -3+i3.若双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，离心率为，则其虚轴长为（）A. 8B. 4C. 2D.4.已知向量，的夹角为，，，则（）A. B. -3 C. D. 35.某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是（）A. B. C. D.6.朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1，3，6，10，…，现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为（）A. 50B. 55C. 100D. 1107.已知函数f（x）=x•ln，a=f（-），b=f（），c=f（），则以下关系成立的是（）A. c＜a＜bB. c＜b＜aC. a＜b＜cD. a＜c＜b8.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的n是（）A. 168B. 169C. 336D. 3389.若点P是函数y=图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l斜率的范围是（）A. （-∞，1）B. [0，1]C. [1，+∞）D. （0，1]10.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，AB=1，PD=2，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.11.已知点F1，F2是椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的动点，动点Q在射线F1P的延长线上，且||=||，若||的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=x2+ln（|x|+1），若对于x∈[1，2]，f（ax2）＜f（3）恒成立，则实数a的范围是（）A. B. -3＜a＜3 C. a D. a＜3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}中，a n+1=2a n对∀n∈N*成立，且a3=12，则a1=______．14.若实数x，y满足约束条件，则z=-2x-y必有最______值（填“大”或“小”）．15.已知sinα+cosα=，sinα＞cosα，则tanα=______．16.已知函数f（x）=a ln x+，当a∈（-）时，函数的零点个数为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b+c=10，a=，5b sin A cos C+5c sin A cos B=3a．（1）求A的余弦值；（2）求b和c．18.“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑不大于2天3天或4天不少于5天调练天数人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计附：k2=（n为样本容量）P（k2≥k0）0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.已知曲线C上的任意一点到直线l：x=-的距离与到点F（）的距离相等．（1）求曲线C的方程；（2）若过P（1，0）的直线与曲线C相交于A，B两点，Q（-1，0）为定点，设直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，直线AB的斜率为k，证明：为定值．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△PCD为正三角形，∠BAD=30°，AD=4，AB=2，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC中点．（1）证明：BE⊥PC；（2）求多面体PABED的体积．21.已知函数f（x）=x3-（a2+a+2）x2+a2（a+2）x，a∈R．（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）的极值点．22.已知曲线E的极坐标方程为4（ρ2-4）sin2θ=（16-ρ2）cos2θ，以极轴为x轴的非负半轴，极点O为坐标原点，建立平面直角坐标系．（1）写出曲线E的直角坐标方程；（2）若点P为曲线E上动点，点M为线段OP的中点，直线l的参数方程为（t为参数），求点M到直线l的距离的最大值．23.已知a＞0，b＞0，a+b=4，m∈R．（1）求+的最小值；（2）若|x+m|-|x-2|≤+对任意的实数x恒成立，求m的范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】用列举法写出集合B．本题考查了集合中元素个数的判断，属于基础题．【解答】解：集合A={x∈N|-1＜x＜4}={0，1，2，3}．即集合A中的元素个数是4．故选：B．2.答案：C解析：【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：（-1+i）（2i+1）=-2i-1+2i2+i=-3-i．故选：C．3.答案：B解析：【分析】根据题意，由双曲线的实轴长可得a的值，进而由离心率公式可得c的值，计算可得b 的值，由双曲线的虚轴长为2b，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的实轴长为2a．【解答】解：根据题意，若双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，即2a=4，则a=2，又由双曲线的离心率e=，则有e==，则c=a=2，则b==2，则该双曲线的虚轴长2b=4；故选：B．4.答案：D解析：【分析】根据条件即可得出，从而求出．考查向量数量积的计算公式，向量夹角和长度的定义．【解答】解：∵，的夹角为，=-3，||=2；∴；∴．故选：D．解析：解：某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n==10，A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中，则A或B被选中的概率是p=1-=．故选：D．基本事件总数n==10，A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中，由此能求出A或B被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：B解析：【分析】本题考查数列在实际问题中的运用，考查等差数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．由题意可得从上而下每层的个数为1+2+3+…+n，由等差数列的求和公式，计算可得所求值．【解答】解：由题意可得每层果子数分别为1，3，6，10，…，即为1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…，其最底层每边果子数为10，即有该层的果子数为1+2+3+…+10=×10×11=55．故选：B．7.答案：A解析：解：，，；∵；∴；∴c＜a＜b．故选：A．根据f（x）的解析式，可以求出，，容易看出，从而得出c＜a＜b．考查已知函数求值的方法，对数的运算，以及对数函数的单调性．解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出1到2019中满足条件sin=1的k的个数n的值，由sin=1，又正弦函数的性质可知函数的取值周期为12，且2019=12×168+3，可得：n=168．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，利用正弦函数的周期性即可得解．本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．9.答案：C解析：解：∵y=，∴y′==．∵-1＜sin2x≤1，∴0＜1+sin2x≤2，∴，则y′=．∴直线l斜率的范围是[1，+∞）．故选：C．求出原函数的导函数，进一步求得导函数的值域得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查三角函数值域的求法，是中档题．10.答案：D解析：【分析】本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．由题意建立空间直角坐标系，求出的坐标，由两向量所成角的余弦值求解，注意异面直线所成角的范围为（0°,90°]．【解答】解：由题意，建立如图的空间直角坐标系，∵底面ABCD为正方形，AB=1，PD=2，PD⊥底面ABCD，∴点A（1，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（1，1，0），则，，∴cos＜＞=．∴异面直线PA与BD所成角的余弦值为．故选：D．11.答案：C解析：解：因为||=||，||的最小值为1，最大值为9，∴|PF2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1∴a=5，c=4．∴椭圆的离心率为e=，故选：C．可得|PF2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1求得a，c．即可得椭圆的离心率．本题考查了椭圆的离心率，属于基础题．12.答案：A解析：解：函数f（x）=x2+ln（|x|+1）的定义域为R，且f（-x）=（-x）2+ln（|-x|+1）=x2+ln（|x|+1）=f（x），所以f（x）为R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数；所以对于x∈[1，2]，f（ax2）＜f（3）恒成立，等价于|ax2|＜3在x∈[1，2]上恒成立；即|a|＜在x∈[1，2]上恒成立，所以|a|＜，解得-＜a＜；所以实数a的范围是（-，）．故选：A．判断函数f（x）是定义域R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数；把问题转化为|ax2|＜3在x∈[1，2]上恒成立，即|a|＜在x∈[1，2]上恒成立，由此求出实数a的范围．本题考查了利用函数的单调性求不等式恒成立应用问题，是中档题．13.答案：3解析：解：∵12=a3=2a2，∴a2=6，∵6=a2=2a1，∴a1=3．故答案为：3．先求a2，再求a1．本题考查了数列的递推公式，属基础题．14.答案：大解析：解：实数x，y满足约束条件的可行域如图：则z=-2x-y如图中的红色直线，可知目标函数结果A时截距取得最小值，此时在取得最大值，故答案为：大．画出约束条件的可行域，判断目标函数的几何意义，然后推出结果．本题考查线性规划的简单应用，画出目标函数的可行域是解题的关键．15.答案：解析：解：∵sinα+cosα=，∴1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=．又cos2α+sin2α=1，且sinα＞cosα，∴sinα=，cosα=，tanα=．故答案为：．由sinα+cosα=，两边平方可得2sinαcosα=，又cos2A+sin2A=1，且sinα＞cosα，解得cosα，sinα的值，则tanα可求．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，是基础题．16.答案：1解析：解：函数f（x）=a ln x+，可得f′（x）=-x，a∈（-）时，f′（x）＜0，函数是减函数，f（1）=-=，f（）=1-+＞0，所以函数函数f（x）=a ln x+，当a∈（-）时，函数的零点个数为1．故答案为：1．通过导函数的符号判断函数的单调性，通过零点判断定理转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的零点判断定理的应用，是简单的综合题目．17.答案：解：（1）∵5b sin A cos C+5c sin A cos B=3a，∴由正弦定理可得：5sin B sin A cos C+5sin C sin A cos B=3sin A，∵sin A≠0，∴5sin B cos C+5sin C cos B=3，可得：sin（B+C）=，∵B+C=π-A，∴sin A=，∵A∈（0，），∴cos A==；（2）∵a2=b2+c2-2bc cos A=（b+c）2-2bc（1+cos A），又∵b+c=10，a=，∴解得：bc=25，∴解得：b=c=5．解析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理可得sin A=，结合范围A∈（0，），利用同角三角函数基本关系式可求cos A的值．（2）由已知利用余弦定理即可解得b，c的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者“的人数约为：20000×=4000．（2）热烈参与者非热烈参与者合计男35105140女55560合计40160200K2=≈7.292＞6.635，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关．解析：（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者“的人数约为：20000×=4000．（2）先得2×2列联表，再根据表中数据计算K2，结合临界值表可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.答案：（1）解：由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线，，p=1．∴抛物线的方程为y2=2x；（2）证明：根据已知，设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），由，可得ky2-2y-2k=0．设A（），B（），则，y1y2=-2．∵，．∴====．∴．解析：（1）直接由抛物线定义可得曲线C的方程；（2）设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），联立直线方程与抛物线方程，利用斜率公式求得，即可证明为定值．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：证明：（1）∵BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos∠BAD=4，∴BD=2，∴∠ABD=90°，∴BD⊥CD，∵面PCD⊥面ABCD，面PCD∩面ABCD=CD，∴BD⊥面PCD，∴BD⊥PC，∵△PCD是正三角形，E为PC的中点，∴DE⊥PC，∴PC⊥面BDE，∴BE⊥PC．解：（2）作PF⊥CD，EG⊥CD，F，G为垂足，∵面PCD⊥面ABCD，∴PF⊥面ABCD，EG⊥面ABCD，∵△PCD是正三角形，CD=2，∴PF=3，EG=，∴V P-ABCD==4，=，∴多面体PABED的体积V=V P-ABCD-V E-BCD=4=3．解析：（1）推导出BD⊥CD，从而BD⊥面PCD，进而BD⊥PC，推导出DE⊥PC，从而PC⊥面BDE，由此能证明BE⊥PC．（2）作PF⊥CD，EG⊥CD，推导出多面体PABED的体积V=V P-ABCD-V E-BCD，由此能求出结果．本题考查线线垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.答案：解：（1）当a=-1时，．∵f′（x）=x2-2x+1=（x-1）2≥0，故函数在R内为增函数，单调递增区间为（-∞，+∞）．（2）∵f′（x）=x2-（a2+a+2）x+a2（a+2）=（x-a2）[x-（a+2）]，①当a=-1或a=2时，a2=a+2，∵f’（x）≥0恒成立，函数为增函数，无极值；②当a＜-1或a＞2时，a2＞a+2，可得当x∈（-∞，a+2）时，f’（x）＞0，函数为增函数；当x∈（a+2，a2）时，f’（x）＜0，函数为减函数；当x∈（a2，+∞）时，f’（x）＞0，函数为增函数．当x=a+2时，函数有极大值f（a+2），当x=a2时，函数有极小值f（a2）．③当-1＜a＜2时，a2＜a+2．可得当x∈（-∞，a2）时，f’（x）＞0，函数为增函数；当x∈（a2，a+2）时，f’（x）＜0，函数为减函数；当x∈（a+2，+∞）时，f’（x）＞0，函数为增函数．当x=a+2时，函数有极小值f（a+2）；当x=a2时，函数有极大值f（a2）．解析：（1）首先求得导函数，然后结合导函数的符号求解函数的单调区间即可；（2）首先求得导函数，然后结合函数的解析式分类讨论确定函数的极值点即可．本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22.答案：解：（1）由4（ρ2-4）sin2θ=（16-ρ2）cos2θ得4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=16，利用互化公式可得x2+4y2=16；所以曲线E的直角坐标方程为：x2+4y2=16．（2）直线l的普通方程为：x-2y+3=0，设P（4cosα，2sinα），则M（2cosα，sinα）点M到直线l的距离d==≤=解析：（1）利用互化公式ρcosθ=x，ρsinθ=y，可得E的普通方程；（2）先l的参数方程化普通方程，再利用E的参数方程设出P点，利用中点公式得M，用点到直线距离公式求得M到直线l的距离，再求最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）∵a＞0，b＞0，a+b=4，∴+=（+）•（a+b）=（2++）≥（2+2）=1，当且仅当a=b=2时取“=”；∴+的最小值为1；（2）若|x+m|-|x-2|≤+对任意的实数x恒成立，则|x+m|-|x-2|≤对任意的实数x恒成立，即|x+m|-|x-2|≤1对任意的实数x恒成立；∵|x+m|-|x-2|≤|（x+m）-（x-2）|=|m+2|，即|m+2|≤1，∴-1≤m+2≤1，解得-3≤m≤-1，∴m的取值范围是-3≤m≤1．解析：（1）由题意，利用基本不等式求出+=（+）•（a+b）的最小值；（2）把问题等价于|x+m|-|x-2|≤对任意的实数x恒成立，即|x+m|-|x-2|≤1对任意的实数x恒成立，利用绝对值不等式转化为关于m的不等式，求出解集即可．本题考查了含有绝对值的不等式应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题．。

甘肃省兰州市2021届高考数学诊断试卷(理科)(3月份)(一模)(含答案解析)

甘肃省兰州市2021届高考数学诊断试卷(理科)(3月份)(一模)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={1,3,5,7}，B={1,3,5,6,7}，则集合∁U(A∩B)是()A. {2,4,6}B. {1,3,5,7}C. {2,4}D. {2,5,6}2.已知复数z=2−3i2+i(i是虚数单位)，则z的实部和虚部的比值为()A. −18B. 18C. −8D. 83.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗⋅b⃗ =10，|a⃗+b⃗ |=5√2，且a⃗=(2,1)，则|b⃗ |=()A. 3√2B. 5C. 2D. √24.等轴双曲线x2−y2=1上一点P与两焦点F1，F2连线互相垂直，则△PF1F2的面积()A. 12B. 2C. 1D. 45.2个人分别从3部电影中选择一部电影购买电影票，不同的购买方式共有()A. 6B. 9C. 8D. 276.已知函数y=f(x)的大致图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式可能为()A. f(x)=cosx⋅ln x−11+xB. f(x)=cosx⋅ln x+1x−1C. f(x)=sinx⋅ln x−11+xD. f(x)=sinx⋅ln x+1x−17.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的表面积为27π，△A1DB与A1DC1的重心分别为E，F，球O与该正方体的各条棱都相切，则球O被EF所在直线截的弦长为()A. √172B. 2√3C. 3√2D. √178.机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器.它可以辅助甚至替代人类完成某些工作，提高工作效率，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范畴.某公司为了研究M、N两个机器人的销售情况，统计了2020年2月至7月M、N两店每月的营业额(单位：万元)，得到如图折线图，则下列说法中错误的是()A. N店营业额的平均值是29B. M店营业额的平均值在[34,35]内C. N店营业额总体呈上升趋势D. M店营业额的极差比N店营业额的极差大9.设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()．A. x∈R，f(x)≤f(x0)B. −x0是f(−x)的极小值点C. −x0是−f(x)的极小值点D. −x0是−f(−x)的极小值点10.已知命题p：若θ=150°，则sinθ=12，则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 311.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为12，点P为椭圆上一点，且△PF1F2的周长为12，那么C的方程为()A. x225+y2=1 B. x216+y24=1 C. x225+y224=1 D. x216+y212=112.方程2x+x=0的根为a，方程log3x+x=0的根为b，那么()A. a>bB. a<bC. a=bD. 不确定二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为______．14. 已知，实数满足约束条件，若的最小值为，则的值为．15. 已知正方体的棱长为a ，该正方体的外接球的半径为√3，则a = ______ ．16. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，BC =1，∠ABC =120°，P 是AC 上一点，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 7=7，S 15=75，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =S n n ，求证数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n ．18. 如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 为AB 的中点．(Ⅰ) 求证：CD ⊥平面ABB 1A 1；(Ⅱ) 求证：BC 1//平面A 1CD ．19. 某校高三年级组为了缓解学生的学习压力，举办元宵猜灯谜活动。

2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科) (含答案解析)

2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知A ={x|x 2−2x ≤0}，B ={x|y =lgx}，则A ∪B =( )A. RB. (0,+∞)C. [0,+∞)D. [1,+∞)2. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 已知平面向量a ⃗ =(k,3),b ⃗ =(1,4)，若a ⃗ ⊥b⃗ ，则实数k 为( ) A. −12 B. 12C. 43D. 344. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 作斜率为k 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=3p ，则k =( )A. √2B. −√2C. ±√2D. ±25. 函数f(x)=x4x 2−1的部分图象大致是( )A.B.C.D.6. 已知圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,√3)B. (1,2)C. (√3,+∞)D. (2,+∞)7. 具有线性相关关系的两变量x ，y 满足的一组数据如表，若y 与x 的回归直线方程为y ̂=3x −32，则m 的值为( )x0123y−11m7A. 4B. 92C. 5D. 68.若m，n是两条不同的直线，m⊥平面α，则“m⊥n”是“n//α”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)是定义在上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=log 2(1−x).若f(a2−1)<1，则实数a的取值范围是()A. (−√2,0)∪(0,√2)B. (−√2,√2)C. (−1,0)∪(0,1)D. (−1,1)10.将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π6个单位，所得函数的一个对称中心可以是()A. (0,0)B. (π6,0) C. (π3,0) D. (π2,0)11.在(1+x)6(1−2x)展开式中，含x5的项的系数是A. 36B. 24C. −36D. −2412.已知函数f(x)=a(2a−1)e2x−(3a−1)(x+2)e x+(x+2)2有4个不同的零点，则实数a的取值范围为( )A. (12,e) B. (12,e+12)C. (12,1)∪(1,e) D. (12,1)∪(1,e+12)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．14.某班星期二的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要安排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理各1节，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则共有___________种安排方法(用数字作答)．15.在ΔABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若ccosB+bcosC=2acosA，M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是________．16.类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a的正四面体的内切球半径为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.若一个数列的奇数项与偶数项分别都成等比数列，则称该数列为“亚等比数列”，已知数列{a n}：a n=2 [n2]，n∈N∗其中[x]为x的整数部分，如[5.9]=5，[−1.3]=−2(1)求证：{a n}为“亚等比数列”，并写出通项公式；(2)求{a n}的前2014项和S2014．18.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．(1)求直线EC与AF所成角的余弦值．(2)求二面角E−AF−B的余弦值．19.在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A，B，C，D四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务．(1)若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(2)设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．20.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆C所截线段的长及中点坐标21.函数f(x)=−lnx+12ax2+(a−1)x−2(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a>0，求证：f(x)≥−32a．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．(1)求证：直线l与圆C必有两个公共点；(2)已知点M的直角坐标为(1,0)，直线l与圆C交于A，B两点，若||MA|−|MB||=1，求cosα的值．23.已知函数f(x)=|x+1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x−1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m，且2a+b=m(a>0,b>0)，求2a +1b的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}， B ={x|y =lgx}={x|x >0}，则A ∪B ={x|x ≥0}=[0,+∞)．故选：C ．化简集合A 、B ，根据并集的定义写出A ∪B ．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z =4+i4−i =(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ．故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得k 的值．解：∵平面向量a ⃗ =(k,3)，b ⃗ =(1,4)，a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ·b⃗ =k +12=0，解得k =−12，故选A ．4.答案：C解析：本题考查了抛物线的定义，性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．依题意，设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得x 1+x 2=k 2p+2p k 2，根据|AB|=x 1+x 2+p ，即可求得结果．解：设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，联立方程{y =k (x −p2)y 2=2px ，消y 得k 2x 2−(k 2p +2p )x +k 2p 24=0，Δ>0恒成立，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=k 2p+2p k 2，因为|AB|=x 1+x 2+p ，所以k 2p+2p k 2+p =3p ，解得k 2=2⇒k =±√2．故选C ．5.答案：A解析：本题主要考查函数图象的识别，利用函数奇偶性和特殊值进行排除是解决本题的关键．属于基础题．判断函数的奇偶性，判断函数的对称性，利用特殊值法进行排除判断即可．解：由4x 2−1≠0，得x 2≠14，得x ≠±12，所以函数f(x)的定义域为{x |x ≠±12}，关于原点对称，函数f(−x)=−x4(−x)2−1=−x4x 2−1=−f(x)，则函数为奇函数，可排除C ，D ，当x =1时，f(1)=14−1=13>0，排除B ．故选：A ．6.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．先求出切线的斜率，再利用圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，可得ba >√3，即可求出双曲线C 的离心率的取值范围．解：由题意，圆心到直线的距离d =√k 2+1=√32， ∴k =±√3，∵圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，∴ba >√3， ∴1+b 2a 2>4，即c 2a 2>4，∴e >2，故选：D ．7.答案：C解析：本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．由表中数据计算x −、y −，把样本中心点代入线性回归方程中，求得m 的值．解：由表中数据，计算x −=14×(0+1+2+3)=1.5， y −=14×(−1+1+m +7)=m+74，把样本中心点(1.5,m+74)代入线性回归方程y ̂=3x −32中，得m+74=3×1.5−32，解得m =5．故选C ．8.答案：B解析：解：∵m ，n 是两条不同的直线，m ⊥平面α， ∴“m ⊥n ”推不出“n//α”， “n//α”⇒“m ⊥n ”，∴“m⊥n”是“n//α”的必要不充分条件．故选：B．“m⊥n”推不出“n//α”，“n//α”⇒“m⊥n”．本题考查命真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．9.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性、函数的单调性，一元二次不等式的解法，属于中档题．当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数，结合偶函数f(x)满足f(−1)=1，可得答案．解：当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数．令f(x)=1，即log2(1−x)=1，解得x=−1．又函数f(x)是定义在上的偶函数，若f(a2−1)<1，则a2−1∈(−1,1)，解得a∈(−√2,0)∪(0,√2).故选A．10.答案：D解析：解：将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得y=sin(x+π3)的图象；再向左平移π6个单位，可得y=sin(x+π6+π3)=cosx的图象，故它的一个对称中心可以是(π2,0)，故选：D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得平移后函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：D解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．把(1+x)6按照二项式定理展开，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数．解：∵(1+x)6展开式中，x 4系数为C 64，x 5系数为C 65，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数为1×C 65+(−2)×C 64故展开式中含x 5的系数为6−30=−24，故选D ．12.答案：D解析：本题考查了函数零点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，属于中档题．由题意可得a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，求导，利用导数可得g(x)max =g(−1)=e ，可得，解不等式即可．解：由得即a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，g′(x)=−(x+1)e x，所以g(x)在(−∞, −1)上单调递增，在(−1, +∞)上单调递减，g(−2)=0，所以g(x)max =g(−1)=e ，当x >−2, g(x)>0.x →−∞, g(x)→−∞，x →+∞, g(x)→0+，要使方程有4个不同的零点，则{0<a <e,0<2a −1<e, 2a −1≠a ⇒12<a <1+e2, a ≠1, 即实数a 的取值范围为(12,1)∪(1,e+12)．故选D ．13.答案：−72解析：作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72．故答案为：−72．14.答案：408解析：本题考查排列组合的综合应用，属基础题目．对数学是否排在上午第一节进行分类即可．解：上午第一节排数学，有A 55=5×4×3×2×1=120种排法，上午第一节不排数学，也不排体育，数学又必须在上午，所以有A 41×A 31×A 44=4×3×4×3×2×1=288．所以共有120+288=408种方法．故答案为408种．15.答案：4√33解析：本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于综合题，先由正弦定理和ccosB +bcosC =2acosA ，求得，再由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，b 2+c 2=2+a 22消去a 得(b +c)2=4+bc ，再利用基本不等式可得．解：∵ccosB +bcosC =2acosA ，，，解得，在ΔABC 中，由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，①在ΔAMC 中，，在ΔAMB 中，，∴b 2+c 2=2+a 22，②由①②消去a 得(b +c)2=4+bc ， ∴(b +c)2=4+bc ≤4+(b+c)24，当且仅当b =c 取“=”，∴b +c ≤4√33，即b +c 的最大值是4√33．故答案为4√33． 16.答案：√612a解析：本题考查了类比推理，平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，证明时连接球心与正四面体的四个顶点，把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．解：设正四面体的内切球半径为r ，各面面积为S ，正四面体的高为h ，所以13×ℎ×S =4×13×r ×S ，．故答案为√612a ．17.答案：解：(1)若n 为偶数，不妨设n =2k ，k ∈Z ，则[n2]=[k]=k =n2，此时a n =2 [n2]=2n2．此时a n+2a n =2n+222n 2=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 2=2的等比数列．若n 为奇数，不妨设n =2k −1，则[n 2]=[2k−12]=k −1=n+12−1=n−12，则a n =2[n2]=2n−12．此时a n+2a n=2n+2−122n−12=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 1=1的等比数列．即{a n }为“亚等比数列，且a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z．(2)∵a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z，奇数项是公比为2，首项a 1=1的等比数列，偶数项是公比为2，首项a 2=2的等比数列， ∴{a n }的前2014项和S 2014=S 奇+S 偶=1×(1−21007)1−2+2×(1−21007)1−2=3⋅21007−3．解析：(1)根据条件求数列的通项公式，利用{a n }为“亚等比数列的条件分别证明奇数项和偶数项是等比数列即可得，(2)利用分组求和和将数列分为奇数项和偶数项，然后利用等比数列的求和公式即可求{a n }的前2014项和S 2014．本题主要考查等比数列的通项公式以及数列求和，根据定义求出数列的通项公式是解决本题的关键．18.答案：解：(1)如图建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，F(0,1，0)，C(0,2，0)，E(2,1，2)， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,2)． ∴cos <AF,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CE⃗⃗⃗⃗⃗ >=22222=−√53，故直线EC 与AF 所成角的余弦值为√53．(2)平面ABCD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)．设平面AEF 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，∴{−2x +y =0y +2z =0, 令x =1，则y =2，z =−1⇒n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−1)， ∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4+1=−√66．由图知二面角E −AF −B 为锐二面角，所以其余弦值为√66．解析：本题考查利用空间向量求异面直线夹角及二面角的余弦值，属于中档题．(1)通过建立空间直角坐标系，得到AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用它们的夹角公式即可得到异面直线EC 与AF 所成角的余弦值；(2)利用线面垂直的性质及空间向量求出平面ABCD 与平面AEF 的一个法向量，利用法向量的数量积公式即可得到二面角的余弦值．19.答案：解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件M ，则P(M)=A 44C 52A 44=110，所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P(M)=1−P(M)=910，答：甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是910； (2)ξ的可能取值为ξ=0,1,2,3,4,5， P(ξ=0)=3545=(34)5， P(ξ=1)=C 51⋅3445=5⋅3445， P(ξ=2)=C 52⋅3345=10⋅3345， P(ξ=3)=C 53⋅3245=10⋅3245，P(ξ=4)=C 54⋅3145=1545，P(ξ=5)=C 55⋅3045=145，ξ的分布列为：所以E (ξ)=∑i ⋅P i 5i=0=54．解析：本题考查离散型随机变量的期望的求解及古典概型．(1)利用古典概型求出甲、乙两人同时承担同一项任务的概型，然后利用对立事件的概率公式求解即可；(2)分析ξ的取值，求出各自的概率，得出分布列，再求期望．20.答案：解：(1)由题意得：b =4,c a =35，又因为a 2=b 2+c 2，解得a =5，椭圆C 的方程为x 225+y 216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)，设直线被椭圆C 所截线段的端点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，中点为M(x 1+x 22,y 1+y 22)，y =45(x −3)与x 225+y 216=1联立消元得：x 2−3x −8=0，△=41>0，x 1+x 2=3，x 1x 2=−8，x 1+x 22=32,y 1+y 22=45(32−3)=−65，所以，直线被椭圆C 所截线段中点坐标为(32,−65)； |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+1625)(x 1−x 2)2=√415√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，|AB|=√415√9+32=415，直线被椭圆C 所截线段长为415．解析：本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点，转化求解椭圆方程即可．(2)求出直线方程，利用椭圆方程联立通过中点坐标，弦长公式转化求解即可．21.答案：解：(1)f′(x)=−1x +ax +(a −1)=ax 2+(a−1)x−1x=(ax−1)(x+1)x(x >0).①当a ≤0时，f ′(x)<0，则f(x)在(0,+∞)上单调递减；②当a >0时，由f ′(x)>0解得x >1a ，由f ′(x)<0解得0<x <1a ．即f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增；综上，a ≤0时，f(x)的单调递减区间是(0,+∞)，没有单调递增区间； a >0时，f(x)的单调递减区间是(0 , 1a )，f(x)的单调递增区间是(1a ,+∞)． (2)由(1)知f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增，则f(x)min =f(1a )=lna −12a −1．要证f(x)≥−32a ，即证lna −12a −1≥−32a ，即lna +1a −1≥0，构造函数μ(a)=lna +1a −1，则μ′(a)=1a −1a 2=a−1a 2，由μ′(a)>0解得a >1，由μ′(a)<0解得0<a <1，即μ(a)在(0,1)上单调递减；μ(a)在(1,+∞)上单调递增； ∴μ(a)min =μ(1)=ln1+11−1=0，即lna +1a −1≥0成立．从而f(x)≥−32a 成立．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道中档题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出f(x)的最小值，问题转化为lna +1a −1≥0，构造函数μ(a)=lna +1a −1，根据函数的单调性证明即可．22.答案：解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0．法一：将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0，得t 2−2tcosα−8=0，(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0， ∴方程(∗)有两个不等的实数解． ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内， ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．(2)记A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由(1)可知t1+t2=2cosα，t1t2=−8<0，∴||MA|−|MB||=|t1+t2|=2|cosα|=1，∴cosα=±12．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2，因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，解得1≤x≤2或2<x≤4．故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]．(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3．因为2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13×(2×2+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，故2a +1b的最小值是3．解析：(1)将函数f(x)化为分段函数的形式，再分类讨论去掉绝对值，解不等式组后取并集即可得到解集；(2)由(1)知，2a+b=3，再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值．本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题．。

2020届甘肃省兰州市高三一诊数学(理)模拟试题有答案

兰州市高三诊断考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =I （）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 的实部为5B ．复数z 的虚部为12iC ．复数z 的共轭复数为512i +D ．复数z 的模为133.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()a a =（）A ．．．4.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A ．54B ．5C ．4D 5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r ，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 等于（）A ．49-B ．43-C ．43D ．496.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i i b a =，*()i N ∈，则122018b b b ++⋅⋅⋅+=（）A ．20171009B ．20172018C ．20182019D ．403620197.若1(1)n x x ++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n 内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（）A ．11π- B ．21π- C ．31π- D ．128.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A．3π B．3π C．3π D．4π9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是（）A．1008 B．2017 C．2018 D．302510.设p：实数x，y满足22(1)[(22)]x y-+-322≤-；q：实数x，y满足111x yx yy-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件11.已知圆C：22(1)(4)10x y-+-=和点(5,)M t，若圆C上存在两点A，B使得MA MB⊥，则实数t 的取值范围是（）A．[2,6]- B．[3,5]- C．[2,6] D．[3,5]12.定义在(0,)2π上的函数()f x，已知'()f x是它的导函数，且恒有cos'()sin()0x f x x f x⋅+⋅<成立，则有（）A．()2()64fππ> B3()()63fππ> C．()3()63fππ> D．()3()64fππ>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+=．14.已知样本数据1a，2a，……2018a的方差是4，如果有2i ib a=-(1,2,,2018)i=⋅⋅⋅，那么数据1b，2b，……2018b 的均方差为． 15.设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2πϕ<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ=． 16.函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =r ，(3,1)b =r ，函数()f x a b m =⋅+r r .（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =I ，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C o ）的相关数据，如下表：x 11 9 8 5 2y 7 8 8 1012 （1）试求y 与x 的回归方程y bxa =+；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C o ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温2(,)X N μσ:，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.附：参考公式和有关数据$1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑$$3.2≈1.8≈，若2(,)X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P .（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）. ①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值.21.已知函数1()1x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①1，②1x e x ->；（2）证明：对任意1x >，1t >-，有1()ln )2f x x >+. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；（2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.兰州市高三诊断考试数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题 1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC 二、填空题 13. 25- 14. 2 15. 3π 16. 10 三、解答题17.（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =(3,1)m ⋅+3cos 2sin 2x x m =++2sin(2)3x m π=++，所以()f x 的最小正周期为T π=.（2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++，当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈. 所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为3m -+. 又∵()f x 的最小值为5，∴35m -+=，即53m =+.18.（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥，又//BC AD ，所以BC AE ⊥.因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥.又BC BF B =I ，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF CE ⊥，又BC BE =，所以F 为CE 中点，在DEC ∆中，22DE CE CD ===DF CE ⊥，BFD ∠为二面角B CE D --的平面角，222cos 2BF DF BD BFD BF DF +-∠=⋅⋅3226==⋅⋅∴平面BCE 与平面CDE所成角的余弦值为3. 方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ，(0,2,2)D ，设平面BCE 的法向量1n u r ，平面CDE 的法向量为2n u u r ，易知1(0,1,0)n =u r ，令2(,,)n x y z =u u r ，则2200n EC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ，故220220x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得111x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，2(1,1,1)n =-u u r ，于是，12cos ,n n <>u r u ur 1212n n n n ⋅==u r u u r u r u ur =此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.（1）由题意，7x =，9y =，1n i i i x y nx y =-∑28757928=-⋅⋅=-， 221n i i x nx =-∑22955750=-⋅=，280.5650b =-=-$，$a y bx =-$9(0.56)712.92=--⋅=. 所以所求回归直线方程为$0.5612.92y x =-+.（2）由0.560b=-<$知，y 与x 负相关.将6x =代入回归方程可得， $0.56612.929.56y =-⋅+=，即可预测当日销售量为9.56kg .（3）由（1）知7x μ≈=， 3.2σ≈=，所以(3.813.4)P X <<(2)P X μσμσ=-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=.20.解：（1）设动圆半径为r ，由于D 在圆内，圆P 与圆C 内切，则PC r =，PD r =，PC PD +=2CD >=，由椭圆定义可知，点P 的轨迹E是椭圆，a =1c =，1b ==，E 的方程为2212x y +=. （2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<.②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2.若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ，则1l 的方程为1(1)y k x =+，解方程组122(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =，同理得RT = ∴12QSRT S QS RT =⋅2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4k k +≥+169=，当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立.综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169. 21.解：（1）令()ln1)m x =，则1'()2m x x =-1)0=<，()m x 为(1,)+∞上的减函数，而(1)0m =，所以()ln1)0m x =<，1<成立；令1()x n x e x -=-，则1'()10x n x e -=->，()n x 为(1,)+∞上的增函数，而(1)0n =，所以1()0x n x ex -=->，1x e x ->成立. （2）1()ln )2f x x >+，即11x x t e x -+-1ln )2x >+ln =+，由（1）1<，所以1+<，ln+x <=，所以，只需证11x x t x e x -+<-，即12()x x t e x x -+>-，由（1）1x e x ->，所以只需证2()x x t x x +>-，只需证1x t x +>-，即1t >-，上式已知成立，故原式成立，得证.22.解：（1）∵ρθθ=，∴2cos sin ρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即22((122x y -++=，∴圆心直角坐标为22-.（2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥， ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5++=， ∴直线l 上的点向圆C=23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+，所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤，解集为(,1][3,)-∞+∞U .（2）3,(),x a x a f x x a x a -≥⎧=⎨+<⎩，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立，又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可，所以2a ≥.。

2021届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学（理）试题Word版含答案

2021届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学（理）试题Word版含答案2021届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =（）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 的实部为5B ．复数z 的虚部为12iC ．复数z 的共轭复数为512i +D ．复数z 的模为133.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()aa =（）A ． C ．-． 4.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A ．54B ．5CD 5.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ?+等于（）A ．49-B ．43-C ．43D ．496.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i i b a =，*()i N ∈，则122018b b b +++=（）A ．20171009 B ．20172018 C ．20182019 D ．403620197.若1(1)n x x ++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n 内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（）A ．11π- B ．21π- C ．31π- D ．128.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A ．3π B ．32π C ．3π D ．4π 9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 的值是（）A ．1008B ．2017C ．2018D ．302510.设p ：实数x ，y 满足22(1)[(22)]x y -+-322≤-；q ：实数x ，y 满足111x y x y y -≤??+≥??≤?，则p 是q的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件11.已知圆C ：22(1)(4)10x y -+-=和点(5,)M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是（）A ．[2,6]-B ．[3,5]-C ．[2,6]D ．[3,5]12.定义在(0,)2π上的函数()f x ，已知'()f x 是它的导函数，且恒有cos '()sin ()0x f x x f x ?+?<成立，则有（）A ．()2()64f f ππ> B ．3()()63f f ππ> C ．()3()63f f ππ> D ．()3()64f f ππ> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+= ． 14.已知样本数据1a ，2a ，……2018a 的方差是4，如果有2i i b a =-(1,2,,2018)i =，那么数据1b ，2b ，……2018b 的均方差为．15.设函数()sin(2)f x x ?=+()2π<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则?= ．16.函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =，(3,1)b =，函数()f x a b m =?+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，ACBD G =，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C ）的相关数据，如下表：（1）试求y 与x 的回归方程y bx a =+；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温2(,)XN μσ，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.附：参考公式和有关数据1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx ====?---??==??--??=-??∑∑∑∑3.2≈ 1.8≈，若2(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P . （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R，T 两点，且12ll ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）.①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<；②求四边形QRST 的面积的最小值.21.已知函数1()1x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①ln1<，②1x e x ->；（2）证明：对任意1x >，1t >-，有1()ln )2f x x >+. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是22x y ?==+??（t 是参数），圆 C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；（2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.2021届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC二、填空题 13. 25- 14. 2 15. 3π 16. 10 三、解答题 17.（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =(3,1)m ?+3cos 2sin 2x x m =++2sin(2)3x m π=++，所以()f x 的最小正周期为T π=.（2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++，当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈. 所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为3m -+. 又∵()f x 的最小值为5，∴35m -+=，即53m =+.18.（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥，又//BC AD ，所以BC AE ⊥.因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥.又BC BF B =，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ?面ACE ，所以BF CE ⊥，又BC BE =，所以F 为CE 中点，在DEC ?中，22DE CE CD ===DF CE ⊥，BFD ∠为二面角B CE D --的平面角，222cos 2BF DF BD BFD BF DF +-∠=??3226==??.∴平面BCE 与平面CDE所成角的余弦值为3. 方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ，(0,2,2)D ，设平面BCE 的法向量1n ，平面CDE 的法向量为2n ，易知1(0,1,0)n =，令2(,,)n x y z =，则2200n EC n ED ??==??，故220220x z y z +=??+=?，令1x =，得111x y z =??=??=-?，2(1,1,1)n =-，于是，12cos ,n n <>12121n n n n ?==?3=. 此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.（1）由题意，7x =，9y =，1ni ii x y nx y =-∑28757928=-??=-，221n i i x nx =-∑22955750=-?=，280.5650b =-=-，a y bx =-9(0.56)712.92=--?=. 所以所求回归直线方程为0.5612.92y x =-+.（2）由0.560b =-<知，y 与x 负相关.将6x =代入回归方程可得，0.56612.929.56y =-?+=，即可预测当日销售量为9.56kg. （3）由（1）知7x μ≈=，3.2σ≈=，所以(3.813.4)P X <<(2)P X μσμσ=-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=. 20.解：（1）设动圆半径为r ，由于D 在圆内，圆P 与圆C 内切，则PC r =，PD r =， PC PD +=2CD >=，由椭圆定义可知，点P 的轨迹E是椭圆，a =1c =，1b ==，E 的方程为2212x y +=. （2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<. ②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2.若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ，则1l 的方程为1(1)y k x =+，解方程组122(1)12y k x x y =++=??，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =同理得RT =，∴12QSRT S QS RT =?2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4k k +≥+169=，当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立.综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169. 21.解：（1）令()1)m x =-，则1'()2m x x =1)0=<，()m x 为(1,)+∞上的减函数，而(1)0m =，所以()ln1)0m x =<，1<成立；令1()x n x e x -=-，则1'()10x n x e -=->，()n x 为(1,)+∞上的增函数，而(1)0n =，所以1()0x n x e x -=->，1x e x ->成立.（2）1()ln )2f x x >+，即11x x t e x -+-1ln )2x >+=+，由（1）1，所以1ln +<，+x <=，所以，只需证11x x t x e x -+<-，即12()x x t e x x -+>-，由（1）1x e x ->，所以只需证2()x x t x x +>-，只需证1x t x +>-，即1t >-，上式已知成立，故原式成立，得证.22.解：（1）∵ρθθ=，∴2cos sinρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即22((1x y -+=，∴圆心直角坐标为. （2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥，∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5++=，∴直线l 上的点向圆C=.23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+，所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤，解集为(,1][3,)-∞+∞.（2）3,(),x a x a f x x a x a -≥?=?+，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立，又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可，所以2a ≥.。

2020-2021学年甘肃省兰州市高三诊断考试数学(理)模拟试题及答案解析

高考数学模拟试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。

2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。

答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|||1}A x x =<，{|21}xB x =>，则AB =A ．(1,0)-B ．(1,1)-C ．)21,0(D ．(0,1) 2．复数11i-（i 是虚数单位）的虚部是 A ．1 B ．i C ．12 D ．12i 3．设||1a =，||2b =，且a ，b 夹角3π，则|2|a b += A ．2B ．4C ．12D ．34．从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为 A ．15B ．25 C ．35 D ．455．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = A ．18 B ．36 C ．54 D ．726．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是正视图侧视图xA ．2B ．92C ．32D ．37．如图，程序输出的结果132S =, 则判断框中应填 A ．10?i ≥ B ．11?i ≥ C ．11?i ≤ D ．12?i ≥8．设a ，b 是两条不同的直线，α，βa b ⊥的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件9．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为是 A ．[3,3]-B ．11(,][,)33-∞-+∞ C ．(,3][3,)-∞-+∞D ．11[,]33-10．在直角坐标系xoy 中，设P 是曲线C ：)0(1>=x xy 上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A ,B 两点，则以下结论正确的是 A ．OAB ∆的面积为定值2 B ．OAB ∆的面积有最小值为3 C ．OAB ∆的面积有最大值为4D ．OAB ∆的面积的取值范围是[3,4]11．已知抛物线1C ：y x 22=的焦点为F ，以F 为圆心的圆2C 交1C 于,A B 两点，交1C 的准线于,C D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆2C 的标准方程为 A ．221()42x y +-=B ．221()42x y -+= C ．221()22x y +-=D ．221()22x y -+=12．己知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()xf x e <的解集为A ．(2,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2021年甘肃省兰州市高考数学诊断试卷(理科)(一模)

2021年甘肃省兰州市高考数学诊断试卷（理科）（一模）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则M∩N＝（）A．[0，1）B．（0，1]C．（﹣∞，1）D．[0，1]2．（5分）已知复数z满足＝（为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣i B．﹣1C．i D．13．（5分）已知向量，满足＝（4，0），＝（m，1），且|•，则，的夹角大小为（）A．B．C．D．4．（5分）点P为双曲线＝1（a＞0）右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝7，|PF2|＝3，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．2x+3y＝0B．4x+9y＝0C．3x﹣2y＝0D．9x﹣4y＝0 5．（5分）2019年9月1日兰州地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢（）A．15种B．30种C．36种D．64种6．（5分）函数f（x）＝xlnx的图象如图所示，则函数f（1﹣x）（）A．B．C．D．7．（5分）《九章算术》卷五《商功》中有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高四丈．”意思是：今将粟放在平地，高4丈．将该谷堆模型看作一个圆锥，π取近似值3（）A．55平方丈B．75平方丈C．110平方丈D．150平方丈8．（5分）一组数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为，现定义这组数据的平均差为D＝．如图是甲、乙两组数据的频率分布折线图．根据折线图，可判断甲、乙两组数据的平均差D1，D2的大小关系是（）A．D1＞D2B．D1＝D2C．D1＜D2D．无法确定9．（5分）已知函数f（x）＝﹣bx（a＞0，b＞0），则ab的最大值为（）A．1B．C．D．10．（5分）下列四个命题：①已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，a⊥b，则a∥α．②命题“∀x＞0，x（x﹣2）＞0”的否定是“∃x0＞0，x0（x0﹣2）≤0”③函数f（x）＝sin（2x+）的对称中心为（kπ+，0）（k∈Z）．④函数f（x）＝为R上的增函数．其中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．（5分）已知P（2，﹣2）是离心率为的椭圆（a＞b＞0）外一点，经过点P的光线被y轴反射后，则此条切线的斜率是（）A．﹣B．﹣C．1D．12．（5分）已知奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝，则f（x﹣1）（﹣4≤x≤6）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．0B．9C．11D．17二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

【附加15套高考模拟试卷】甘肃省兰州市2020年高三第一次诊断考试数学(理)含答案

A． 3x 2 ， 3s2 2 B． 3x ， 3s2 C． 3x 2 ， 9s2 D． 3x 2 ， 9s2 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．为了在运行下面的程序之后得到输出 y＝25，键盘输入 x 应该是___．
14．正项等比数列{an}中，存在两项 am ， an ，使得
7．设 a R ，函数 f x 在区间 0, + 上是增函数，则（）
A． f
a2 a 2
f
7 4
f
C．
a2 a 2
f
7 4
B． f
a2 a 2
f
7 4
f
D．
a2 a 2
f
7 4
8．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数
.当
时，求不等式
的解集；当不等式
的解集为时，求
实数的取值范围.
18．（12 分）已知函数 f (x) ln(1 x) ln(1 x) k(x3 3x) （ k R ）当 k 3 时，求曲线 y f (x)
4．设函数 f (x) ex x 2 ， g(x) ln x x2 3 若实数 a, b 满足 f (a) 0 ， g(b) 0 则（）
A． g(a) 0 f (b)
B． f (b) 0 g(a)
C． 0 g(a) f (b) D． f (b) g(a) 0
5．已知定义在实数集 R 上的函数 f (x) 的图象经过点 (1, 2) ，且满足 f (x) f (x) ，当 0 a b时不等式 f (b) f (a) 0 恒成立，则不等式 f (x 1) 2 0的解集为（）

2020年兰州市数学高考一模试题(及答案)

2020年兰州市数学高考一模试题(及答案)一、选择题1．123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件2．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（） A ．49B ．29C ．12D ．133．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（） A ．19B ．29C ．49D ．7184．已知非零向量a b ，满足2a b =，且b a b ⊥（–），则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（） A ．7，5，8B ．9，5，6C ．7，5，9D ．8，5，76．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤7．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（） ABCD ．48．设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．8010．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．011．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >⇒> B ．22a b a b >⇒> C ．33a b a b >⇒>D ．22a b a b >⇒>12．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（）A ．{}22x x -≤<B ．{}2x x ≥-C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤<二、填空题13．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则xz y 2=-+的最小值为______．15．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．16．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC 的面积为______．17．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为．18．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为33，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于． 19．计算：1726cos()sin 43ππ-+=_____． 20．()sin 5013tan10+=________________.三、解答题21．如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =23，∠BAD =90°．（Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．22．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，BA BP =.（1）求证：PA BD ⊥；（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.23．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）：①； ②； ③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.24．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --6，求PF 的长度. 25．在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，5π224⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．26．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【解析】试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系2．C解析：C 【解析】【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果. 【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有32212⨯⨯=种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3216⨯⨯=种，所以61(/)122P A B ==，故选C. 【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.3．C解析：C 【解析】试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；164369p == 考点：古典概型的计算.4．B解析：B 【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||122||a bb b a b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．5．B解析：B 【解析】【分析】分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数. 【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为2011005=，故各年龄段抽取的人数依次为14595⨯=，12555⨯=，20956--=.故选：B【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.6．D解析：D 【解析】【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.7．A解析：A 【解析】本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知==，所以应选A ．8．B解析：B 【解析】【分析】【详解】当a=0时，如果b=0，此时0a bi +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a bi +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义9．C解析：C 【解析】分析：写出103152rrr r T C x -+=，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rrr r r rr T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令103r 4-=,则r 2= 所以22552240rr C C =⨯=故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(理科) 含解析

2020年高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{2，3}B．{2，4}C．{3，4}D．{2，3，4，5} 2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣35．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．7．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a8．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份12345羊只数量（万只） 1.40.90.750.60.3草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．39．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．512．对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[a，b]⊆D（a＜b）满足f（x）是[a，b]上的单调函数，且f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，小则称函数f（x）为区间[a，b]上的“保值函数”，[a，b]为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：①函数f（x）＝x2﹣2x是[0，1]上的“保值函数”；②若函数g（x）＝|2x﹣1|是[a，b]上的“保值函数”，则a+b＝1；③对于函数h（x）＝x2e x存在区间[0，m]，且m∈（，1），使函数h（x）为[0，m]上的“保值函数”．其中所有真命题的序号为（）A．②B．③C．①③D．②③二、填空题13．已知函数，则＝．14．已知向量，满足||＝，向量，夹角为120°，且（+）⊥，则向量|+|＝．15．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''＝，则此蠊房的表面积是．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知a＝7，b＝5，c＝3，点I是△ABC的内心，则IB＝．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设（n∈N*），T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．18．如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD上找一点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（I）的条件下，求二面角B﹣AC﹣E的大小．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若|﹣|＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828 20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．21．已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a＝时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C2上，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|﹣|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{2，3}B．{2，4}C．{3，4}D．{2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，∴A∩B＝{2，4}．故选：B．2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．【分析】利用复数的运算法则求出z，再求其模长即可．解：因为复数＝+2＝i（2+i）+2＝1+2i；∴|z|＝＝；故选：A．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由q可得向量同向共线，进而判断出关系．解：由q可得向量同向共线，∴q⇒p，反之不成立．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣3【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．解：若2sin，即2cos•（﹣sin）＝2•，即﹣sin＝＝﹣，∴＝﹣，故tanα＝﹣4，故选：C．5．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可知（2，﹣1）在y＝﹣x上，可得a2＝4b2，即可得到离心率．解：由题可知（2，﹣1）在双曲线的渐近线y＝﹣x上，则a＝2b，即a2＝4b2，所以e＝＝＝，故选：A．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝10，利用列举法求出其正弦值相等包含的基本事件有4个，由此能求出其正弦值相等的概率．解：集合，从A中任选两个角，基本事件总数n＝＝10，sin＝sin，sin，sin，sin，∴其正弦值相等包含的基本事件有4个，∴其正弦值相等的概率为p＝．故选：B．7．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】推导出0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，＝﹣1，由此能比较三个数的大小．解：∵函数的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞），0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，＝﹣1，∵a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，∴b＞c＞a．故选：D．8．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份12345羊只数量（万只） 1.40.90.750.60.3草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据两组数据的相关性，对题目中的命题判断正误即可．解：对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以①错误；对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，因为第一组数据（1.4，1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为r2，其相关性更强，所以|r1|＜|r2|，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，所以③错误；综上知，正确的判断序号是②，共1个．故选：B．9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立直角坐标系．不妨设OB＝1．高和底面的半径相等，得OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB，利用向量夹角公式即可得出．解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB＝1．因为高和底面的半径相等，∴OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB．∵点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，∴AB＝AD＝DB；∴D为的中点则O（0，0，0），B（0，﹣1，0），D（1，0，0），A（0，0，1），E（0，1，0），∴＝（0，﹣1，﹣1），＝（﹣1，1，0），∴cos＜，＞＝＝，∴异面直线AM与PB所成角的大小为．∴异面直线AB与DE所成角的正弦值为．故选：A．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]【分析】先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，再把问题转化为sin（2）＝有三个根，借助于正弦函数的性质即可求解．解：因为函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）＝（1﹣cos2ωx）+sin2ωx＝sin （2）+（ω＞0），∵函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点；即sin（2）+＝1有3个根；∴sin（2）＝有三个根；∵x∈（0，π）；∴2∈（﹣，2ωπ﹣）；∵2π＜2ωπ﹣≤2π+⇒＜ω≤．故选：C．11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．5【分析】画出图形，设出P的坐标，结合抛物线的定义，转化说明|QR|+|MR|的最小值就是MF的距离即可．解：设P（m，），则过P的切线的斜率为：k＝，Q（m，﹣1），k PQ＝，k PQ ＞k＝﹣1，根据抛物线的定义，|PF|＝|PQ|．l1为FQ的垂直平分线，|RF|＝|RQ|，|QR|+|MR|的最小值为|MF|＝＝5，故选：D．12．对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[a，b]⊆D（a＜b）满足f（x）是[a，b]上的单调函数，且f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，小则称函数f（x）为区间[a，b]上的“保值函数”，[a，b]为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：①函数f（x）＝x2﹣2x是[0，1]上的“保值函数”；②若函数g（x）＝|2x﹣1|是[a，b]上的“保值函数”，则a+b＝1；③对于函数h（x）＝x2e x存在区间[0，m]，且m∈（，1），使函数h（x）为[0，m]上的“保值函数”．其中所有真命题的序号为（）A．②B．③C．①③D．②③【分析】①根据函数单调性的定义以及“保值函数“的定义判断即可．②由g（x）＝|2x﹣1|的图象可知其为区间[0，1]上的“保值函数“，进而可得结论．③有题意可得x2e x＝x解得有两个根x1＝0，＝e，构造函数k（x）＝﹣e x，易知k（）＞0，k（1）＜0，由零点存在定理知存在x2＝m∈（，1），使x2e x＝x成立，进而可得结论．解：由“保值函数”定义可知f（x）为区间[a，b]上的“保值函数“，则f（x）在[a，b]上是单调函数且在区间[a，b]时其值于也为[a，b]，那么当函数f（x）为增函数时满足条件x＝f（x）在[a，b]上有两个不同的实数解a，b 的函数f（x）就是“保值函数“，命题①中f（x）＝x2﹣2x，虽满足在[0，1]上单调但值域为[﹣1，0]，不是[0，1]，故①为假命题．②中由g（x）＝|2x﹣1|的图象可知其为区间[0，1]上的“保值函数“故②为真命题，③中h（x）＝x2e x则由h′（x）＝e x（x2+2x）≥0在[0，m]成立，所以h（x）为[0，m]上的增函数，再由x2e x＝x解得有两个根x1＝0，＝e，构造函数k（x）＝﹣e x，易知k（）＞0，k（1）＜0，由零点存在定理知存在x2＝m∈（，1），使x2e x＝x成立，故③为真命题，综上所有真命题的序号为②③，故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数，则＝4．【分析】先求出f（log2）＝＝，从而＝f（），由此能求出结果．解：∵函数，∴f（log2）＝＝，∴＝f（）＝2×．故答案为：4．14．已知向量，满足||＝，向量，夹角为120°，且（+）⊥，则向量|+|＝．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得||•||cos＜，＞＝﹣2，及||的值，而|+|＝展开可求出其值．解：因为（+）⊥，所以（+）•＝0，即+2＝0，因为||＝，向量，夹角为120°，整理可得﹣2＝||•||cos＜，＞＝﹣2，即﹣2＝||•（），所以||＝2，所以|+|＝＝＝＝故答案为：．15．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''＝，则此蠊房的表面积是216．【分析】连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，由OB′C′D′为菱形，可求OC′＝2•＝6，B′C′＝3，进而可求CC′，可求S梯形BB′CC′，即可计算得解S表面积的值．解：连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，∵OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''＝，∴OC′＝2•＝2×＝6，B′C′＝3，∴CC′＝BB′﹣＝4，∴S梯形BB′CC′＝＝27，∴S表面积＝6×+3×＝216．故答案为：216．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知a＝7，b＝5，c＝3，点I是△ABC的内心，则IB＝．【分析】先利用正弦定理求得A以及cos C，进而得到sin，再在△BIC中，结合正弦定理即可求解结论．解：因为在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知a＝7，b＝5，c＝3，∴cos A＝＝﹣⇒A＝120°；同理可得：cos C＝＝1﹣2sin2⇒sin＝；（负值舍）；∵+＝＝30°；∴∠BIC＝150°；在△BIC中，＝⇒IB＝＝．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设（n∈N*），T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．【分析】（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，由等差数列的通项公式，解方程可得公差d，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得＝＝＝﹣，由数列的裂项相消求和，可得T n，解方程可得所求值．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，a1＝﹣8，a2＝3a4．，可得﹣8+d＝3（﹣8+3d），解得d＝2，则a n＝﹣8+2（n﹣1）＝2n﹣10；（Ⅱ）＝＝＝﹣，T n＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝1+﹣﹣＝，化为11n2﹣27n﹣68＝0，解得n＝4（﹣舍去）．18．如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD上找一点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（I）的条件下，求二面角B﹣AC﹣E的大小．【分析】（Ⅰ）点E为PD中点时，连结BD，交AC于点O，则点O为BD的中点，从而OE∥PB，由此能证明PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意⊥PB，PA⊥底面ABCD，从而AC⊥PA，进而AC⊥平面PAB，由V P﹣ACB＝V A﹣PBC，解得AC＝1，由OE∥PB，AC⊥PB，得OE⊥AC，从而AB⊥AC，由此能求出二面角B﹣AC﹣E的大小．解：（Ⅰ）点E为PD中点时，直线PB与平面ACE平行．证明：连结BD，交AC于点O，则点O为BD的中点，∵点E为PD中点，∴OE是△PDB的中位线，则OE∥PB，∵OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意⊥PB，PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则有AC⊥PA，PA∩PB＝P，∴AC⊥平面PAB，设AC＝x，V P﹣ACB＝V A﹣PBC＝＝，解得AC＝1，由（Ⅰ）知OE∥PB，AC⊥PB，∴OE⊥AC，AC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴AB⊥AC，如图，二面角为钝角，则OE，AB所成角为二面角B﹣AC﹣E的补角，∠PBA＝，OE∥PB，∴OE，AB所成角为，∴二面角B﹣AC﹣E的大小为．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若|﹣|＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（I）利用频率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的频率值；（Ⅱ）由频率分布表填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）计算和，求出|﹣|，即可得出结论．解：（I）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的事件为C，则P（C）＝0.08+0.16+0.36＝0.6；（Ⅱ）由频率分布表，填写列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100由表中数据，计算K2＝＝4＞3.841，所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关；（Ⅲ）计算＝0.08×5+0.16×15+0.36×25+0.24×35+0.12×45+0.04×55＝25.8（cm），＝0.04×5+0.12×15+0.24×25+0.32×35+0.20×45+0.08×55＝32.6（cm），且|﹣|＝4.8＜20，所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异．20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．【分析】（Ⅰ）由题意可知，a+c＝3，a﹣c＝1，可求出a，c的值，再利用b2＝a2﹣c2求出b的值，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，所以直线AM的方程为y＝k （x﹣2），直线BN的方程为y＝kx﹣，联立直线AM与椭圆方程求出点M的坐标，联立直线BN与椭圆方程求出点N的坐标，再利用斜率公式分别求出k1，k2，化简k1•k2＝﹣，从而得到k1•k2＝e2﹣1．解：（Ⅰ）由题意可知，，解得，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A（2，0），B（0，﹣），设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，故直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx﹣，由得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，∴，∴，，∴，由得：，∴，，∴，∴＝，＝，∴k1k2＝•＝﹣，又∵，∴k1•k2＝e2﹣1．21．已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a＝时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．【分析】（Ⅰ）因为a＝时，f′（x）＝2﹣﹣x⇒f′（1）＝﹣1，易求f（1）＝2，从而可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）由题意可知f′（x）＝2﹣﹣x＝（x＞0），令﹣x2+2x﹣a ＝0，通过对△＝12﹣4a符号的分析，即可求得函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）依题意，f′（x）＝＝0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）﹣（+）+1＝﹣alna+a+7，利用分析法，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，通过对其导数的分析，存在x0∈（1，2），使得g （x0）＝0，且g（x0）为（1，2）上的最小值，g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0+），利用对勾函数的单调性即可证得结论成立．解：（Ⅰ）因为a＝时，，所以f′（x）＝2﹣﹣x，那么f′（1）＝﹣1，f（1）＝2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），即x+y ﹣2﹣1＝0，（Ⅱ）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝2﹣﹣x＝，由﹣x2+2x﹣a＝0可得：△＝12﹣4a ＞0，即a＜3时，有x1＝+，x2＝﹣，x1＞x2，又当x∈（0，3）时，满足x1＞x2＞0，所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数．又x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，x1）上为增函数．当a＜0时，有x1＞0，x2＜0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a≥3时，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）为减函数，综上所述，当a＜0时，在（0，3+），f（x）为增函数；在（3+，+∞），f （x）为减函数；当0＜a＜3时，f（x）在区间（0，3﹣）和（3+，+∞）上为减函数，在（3﹣，3+），f（x）为增函数；当a≥3时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数．（Ⅲ）因为y＝f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）＝＝0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）﹣（+）+1＝﹣alna+a+7，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则g′（x）＝1+lnx﹣﹣1＝lnx﹣，且在（0，3）上为增函数，又g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln2﹣＞0，所以存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，即lnx0＝，且x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）在（1，2）上有最小值g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0+），又因为x0∈（1，2），则x0+∈（2，），所以g（x0）＞0在x0∈（1，2）上恒成立，即f（x1）+f（x2）＜9﹣lna成立．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C2上，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y ﹣1＝0，曲线C1的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y ＝0，转换为标准式为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，所以圆心（1，﹣1）到直线x+y﹣1＝0的距离d＝，所以弦长|MN|＝2．（Ⅱ）线C2的直角坐标方程为．转换为直角坐标方程为x2+y2＝4，转换为参数方程为（0≤θ≤π）．由于A（1，0），B（0，1），点P在曲线C2上，故P（2cosθ，2sinθ），所以，，（0≤θ≤π），所以＝2，故：，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|﹣|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式，再分类讨论分别解不等式，最后把每种情况的解集取并集即可；（Ⅱ）易知f（x）min＝2，g（x）≥|2a+2|+a，结合题意可知2≥|2a+2|+a，由此求得实数a的取值范围．解：（Ⅰ），∴f（x）＞4即为或或，∴或x∈∅或x＞1，∴不等式的解集为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＝﹣1时，f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a，由题意，对∀x1∈一、选择题，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，故f（x）min≥g（x）min，即2≥|2a+2|+a，解得﹣4≤a≤0，∴实数a的取值范围为[﹣4，0]．。

2021届甘肃省兰州市高三第一次诊断性考试数学(文) 试题Word版含解析

2021届甘肃省兰州市高三第一次诊断性考试数学（文）试题一、选择题1．已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，故选A.2．设复数（为虚数单位），的共轭复数为，则（）A. 1B.C. 2D.【答案】C【解析】因为，所以，，故选C.3．已知等差数列的前项和为，若，，则（）A. 45B. 90C. 120D. 75【答案】B【解析】因为是等差数列，设公差为，在，解得，，故选B.4．已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：2456830405060根据表中的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为（）A. 45B. 50C. 55D. 60【答案】D【解析】，因为回归线必过样本中心点，将此点代入，可解的。

故D正确.5．下列命题中，真命题为（）A. ，B. ，C. 已知为实数，则的充要条件是D. 已知为实数，则，是的充分不必要条件【答案】D【解析】A. ，，故A不正确；B.当，时，故B不正确；C.充分性：当时，可能，此时不成立，所以充分性不成立，故C 不正确；D.当，时，成立，所以充分性成立；当时，可能为复数，故必要性不成立.正确故选D.6．某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可以知道这是一个圆柱,上面挖去一个小圆锥的几何体,圆柱的底面积为,圆柱的侧面积为,圆锥的母线长为,侧面积为 ,所以总的侧面积为.所以A选项是正确的.7．设变量满足不等式组，则目标函数的最小值是（）A. 5B. 7C. 8D. 23【答案】B【解析】根据已知，可先画出约束不等式组所表示的区域，如下图所示：由于目标函数图象越往右上越大，且其斜率绝对值小于斜率绝对值，作图可知，在点取到最小值，点坐标可通过联立直线方程求解，解得，代入目标函数，故目标函数的最小值为。

故本题正确答案为B。

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 8．如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算法》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的值分别为，则输入的（）A. B. C. D.【答案】B【解析】模拟执行程序框图,可得:,,不满足,不满足，满足，满足,，不满足,满足,输出的值为的值为.所以B选项是正确的.9．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设点的坐标为，，，即所以.答案：D.10．函数，如果，且，则（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】根据图象可知，，所以，所以，所以，因为图象经过，所以代入解析式可得，解得，所以。

兰州一中2020—2021年高三期中数学试题及答案

兰州一中2020—2021年高三期中数学试题及答案数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时刻120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{|0}1xA x x =≤-,2{|2}B x x x =<,则A B = （） A.{|01}x x << B.{|01}x x ≤< C.{|01}x x <≤ D.{|01}x x ≤≤ 2.已知复数12312z bi z i =-=-，,若12z z 是实数，则实数b 的值为（） A ．0 B ．32-C ．6-D ．63.若定义在R 上的函数()f x 满足()3+2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()1=1f ，则()2017f 等于（） A. 1 B. 1- C.2 D. 2-4. 执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①()sin f x x =，②()cos f x x =， ③1()f x x =， ④1()lg 1x f x x-=+，则输出的函数是 ( ) A.()sin f x x = B.()cos f x x = C.1()f x x =D.1()lg 1x f x x-=+ 5.以下判定正确的是 ( )A.函数()y f x =为R 上可导函数，则()0f x '=是0x 为函数()f x 极值点的充要条件B.命题“存在2,10x R x x ∈+-<”的否定是“任意2,10x R x x ∈+->” C.“()2k k Z πϕπ=+∈”是“函数()sin()f x x ωϕ=+是偶函数”的充要条件 D.命题“在ABC ∆中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为假命题C M NOBA6.一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为A.120 cm 3B.100 cm 3C.80 cm 3D.60 cm 37.若数列n a 的通项公式为221n n a n ，则数列n a 的前n 项和为（）A.221nn B.1221n n C.1222n n D.22n n8. 设31log 2ln 22a b c ，，===，则 ( ) A.a b c << B. b c a << C. c a b << D. c b a << 9.函数sin(2),()y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移4π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+ 的图象重合，则ϕ的值为 ( ) A. 56π-B. 56πC. 6πD. 6π-10.如图所示,两个不共线向量,OA OB 的夹角为，,M N 分别为,OA OB 的中点,点C 在直线MN 上,且(,)OC xOA yOB x y R =+∈,则22x y +的最小值为（）A.24B.18C.22D.1211.椭圆C : 22221(0)+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为12,F F ,焦距为2c .若直线y =()3+x c 与椭圆C 的一个交点M 满足12212MF F MF F ,则该椭圆的离心率为（）A.22B. 21-C.32D. 31-12.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范畴是 ( ) A ．(,0)-∞ B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知曲线012)0,1(1=+--=y x x y n处的切线与直线在点平行，则实数=n .14.已知向量()()()()1,1,2,2,,==+=++⊥-m n m n m n λλλ若则 . 15.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-= . 16.已知点P (x ,y )满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，点M (3,1), O 为坐标原点, 则OM OP ⋅的最大值为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题12分）已知函数2()2sin 23sin cos 1f x x x x =-++.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称中心；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值. 18.（本小题12分）某校高三文科学生参加了9月的模拟考试,学校为了了解高三文科学生的数学、外语成绩,抽出100名学生的数学、外语成绩统计,其结果如下表: (1)若数学成绩优秀率为35%,求,m n 的值; (2)在外语成绩为良的学生中,已知12,10m n ,求数学成绩优比良的人数少的概率. 19.（本小题12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,11CAABB A 平面, 四边形11ABB A 为菱形,1160AA B , E 为1BB 的中点,F 为1CB 的中点.(1)证明:平面AEF 平面11CAA C ;(2) 若12,4,CAAA 求1B 到平面AEF 的距离.20.（本小题12分）已知圆C 通过点(1,3)A ,(2,2)B ,同时直线:320m x y 平分圆C .（1）求圆C 的标准方程；（2）若过点(0,1)D ,且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的交点,M N . ①求实数k 的取值范畴；②若12OM ON，求k 的值.外语数学优良及格优 8 m 9 良 9 n 11 及格8911B 1FC 1CA 1EBA21. （本小题12分）设函数()xf x e x =-，()()ln h x f x x a x =+-. (1)求函数()f x 在区间[1,1]-上的值域； (2)证明：当a >0时，()2ln h x a a a ≥-. 四.选考题（本小题10分）请从下列两道题当中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分，请在答题卡上注明题号。

2021兰州一诊理数答案

6
，距离最小值为 2 7 .............................10 分
7
7
23．【解析】
（Ⅰ）已知 f (x) | x a | | x 3 | ，当 a
函数的解析式可化为：
2x 4，x 3， f (x) 2， 1 x 3，
1 时，
2x 4，x 1，
故函数图象如图..........................5 分
3
（Ⅱ）因为点 D 是 BC 的中点，所以 AD 1 ( AB AC) ， 2
2
所以 AD
1 (b2 c2 bc)
3 bc ，又因为 S
1 bc sin A 2 3 ，所以 bc 8 即 AD
6.
4
4
2
所以 BC 边中线 AD 的最小值为 6 ..............................12 分 18．【解析】（Ⅰ）由题可知 A 是 CD 的中点， AB = AC ， BCD 中
19．【解析】（Ⅰ）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件 A，该考生报考乙大学恰好通过一
微信公众号《试卷答案》门笔试科目为事件;，根据题意可知：
P( A)
C31
(
1 2
)(
1 2
)2
3 ， P(B) 8
1 (1)2 63
5 212 633
21 54
7 ....................5 分 18
18 3 9 3 6
6
23
20．【解析】（Ⅰ）证明：当 a 2 时， f (x) x 对 x (0, ) 都成立 sin x x cos x 0 对 x (0, ) 都
成立，令 g(x) sin x x cos x ，则 g (x) cos x cos x x sin x x sin x 0

2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析

2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。

2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。

4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

甘肃省兰州市第一中学2021届高三上学期期中考试数学(理)

兰州一中2020-2021-1学期期中考试试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( ) A.0B.1C.2D.32.已知z ＝11＋i ＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝( )A.12B.22C.32D.2 3.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于( ) A.12B.18C.24D.364.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6B.5C.4D.35.已知向量a ,b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( ) A.2 2B.17C.15D.2 56. ( )A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<7.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且q ⌝的充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( ) A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]8.函数y ＝2|x |·sin 2x 的图象可能是( )212(),52xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩9.函数若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c ),则2a ＋2b ＋2c 的取值范围是( ) A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)10.函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在 [a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 11.已知函数f (x )＝kx ＋1，g (x )＝e x ＋1(－1≤x ≤1)，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线y ＝1对称，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－e ，1e C.[－e ，＋∞) D.(]－∞，－e ∪⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ 12.已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有()'()ln 2f x f x >成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x－1的解集为( )A.(－2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(－∞，－2)第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ()2log 013.30x x x f x x >⎧=⎨≤⎩已知函数，则18f f ⎡⎤⎛⎫=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ________．()22214.4=x x dx --+⎰定积分________.15.若,,a b c 均为正数, 且346a b c ==, 则2c ca b+的值是_______________． ()()1123116.21x a x a x f x R a x -⎧-+<=⎨≥⎩已知函数的值域为，则实数的取值范围是______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足 (a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值.18.(本题满分12分)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形， AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点. (1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值.序号分组（分数段）频数（人数）频率 1 [0, 60) a 0.1 2[60, 75)15b19.(本题满分12分)为迎接我校建校120周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，成绩均为整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：（1）求,,,a b c d 的值；（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P 的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X ，求X 的分布列以及X 的数学期望.20.(本题满分12分)已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.21.(本题满分12分)已知函数f (x )＝－a ln x ＋x ＋1－ax .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝e x ＋mx 2－2e 2－3，当a ＝e 2＋1时，对任意x 1∈[1，＋∞)，存在x 2∈[1，＋∞)，使g (x 2)≤ f (x 1)，求实数m 的取值范围.选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号.）22.(本题满分10分)平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |的值.23.(本题满分10分)已知函数()|21||23|f x x x =++-. (1)求不等式6)(≤x f 的解集；(2)若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围.兰州一中2020-2021学年度高三第一学期期中数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( C ) A.0B.1C.2D.32.已知z ＝11＋i ＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝( B )A.12B.22C.32D.23.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于( D ) A.12B.18C.24D.364.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( C ) A.6B.5C.4D.35.已知向量a ,b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( A ) A.2 2B.17C.15D.25.6.6.设123log 2,ln 2,5a b c -===，则 ( C )A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<7.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( A ) A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]8.函数y ＝2|x |·sin 2x 的图象可能是( D )9.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x ≤2，－x ＋5，x >2.若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则2a ＋2b ＋2c 的取值范围是( B ) A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)10.函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在 [a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( B ) A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫－12，12 11.已知函数f (x )＝kx ＋1，g (x )＝e x ＋1(－1≤x ≤1)，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线y ＝1对称，则实数k 的取值范围是( D ) A.⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－e ，1eC.[－e ，＋∞)D.(]－∞，－e ∪⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ 12.已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有f (x )>f ′（x ）ln 2成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x－1的解集为( C )A.(－2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(－∞，－2)第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数()2log ,0,3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则18f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 127． 14.定积分⎠⎛－22(4－x 2＋x )d x ＝___2π._____.15．若,,a b c 均为正数, 且346a b c ==, 则2c ca b+的值是___2____________． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是_0≤a <12.___.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值. 解 (1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ，∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc . ∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C .∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C .∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C ).故当B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B cos C 取得最大值 3.18.（本题满分12分）如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点. (1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值. (1)证明如图，连接B 1C ，ME .因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME ＝12B 1C .又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D .由题设知A 1B 1∥DC ，可得B 1C ∥A 1D ，故ME ∥ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，所以MN ∥ED . 又MN ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ，所以MN ∥平面C 1DE .(2)解由已知可得DE ⊥DA ，以D 为坐标原点，DA →，DE →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (2，0，0)，A 1(2，0，4)，M (1，3，2)，N (1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →＝(0，－3，0).设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，可取m ＝(3，1，0).设n ＝(p ，q ，r )为平面A 1MN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0，可取n ＝(2，0，－1).于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝232×5＝155，则sin 〈m ，n 〉＝105，所以二面角A －MA 1－N 的正弦值为105. 19.（本题满分12分）为迎接我校建校110周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，分数为均匀整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：（Ⅰ）求,,,a b c d 的值；（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P 的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X ，求X 的分布列以及X 的数学期望.解：(Ⅰ(Ⅱ)X 的可能取值为2，3，4.12(2)0.20.20.04,(3)0.20.80.20.064,P X P X C ==⨯===⨯⨯=1233(4)0.20.80.80.896P X C ==⨯+=所以分布列为：()20.0430.06440.896 3.856E X =⨯+⨯+⨯=20.（本题满分12分）已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.解 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0).设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎨⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y ＝kx －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*) 因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>34. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，所以OM →·ON →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0，又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4>0，解得k 2<4，综上可得34<k 2<4，则32<k <2或－2<k <－32. 则满足条件的斜率k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－32∪⎝⎛⎭⎫32，2. 21.（本题满分12分）已知函数f (x )＝－a ln x ＋x ＋1－a x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)＝e x＋mx2－2e2－3，当a＝e2＋1时，对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，求实数m的取值范围.解(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax＋1＋a－1x2＝（x－1）（x－a＋1）x2，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1.当a≤1时，a－1≤0，由f′(x)<0得0<x<1，由f′(x)>0得x>1，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.当1<a<2时，0<a－1<1，由f′(x)<0，得a－1<x<1，由f′(x)>0得0<x<a－1或x>1，所以函数f(x)在(a－1，1)上单调递减，在(0，a－1)和(1，＋∞)上单调递增. 当a＝2时，a－1＝1，可得f′(x)≥0，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当a>2时，a－1>1，由f′(x)<0得1<x<a－1，由f′(x)>0得0<x<1或x>a－1，所以函数f(x)在(1，a－1)上单调递减，在(0，1)和(a－1，＋∞)上单调递增.(2)当a＝e2＋1时，由(1)得函数f(x)在(1，e2)上单调递减，在(0，1)和(e2，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(e2)＝－e2－3.对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，即存在x 2∈[1，＋∞)，使g (x 2)的函数值不超过f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值－e 2－3.由e x ＋mx 2－2e 2－3≤－e 2－3得e x ＋mx 2≤e 2，m ≤e 2－e xx 2. 记p (x )＝e 2－e xx 2，则当x ∈[1，＋∞)时，m ≤p (x )max . p ′(x )＝－e x x 2－2（e 2－e x ）x （x 2）2＝－e x x ＋2（e 2－e x ）x 3，当x ∈[1，2]时，显然有e x x ＋2(e 2－e x )>0，p ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，e x x ＋2(e 2－e x )>e x x －2e x >0，p ′(x )<0，故p (x )在区间[1，＋∞)上单调递减，得p (x )max ＝p (1)＝e 2－e ，从而m 的取值范围为(－∞，e 2－e].四．选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号.）22. （本题满分10分）坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |的值.解 (1)将直线l 的极坐标方程ρ(cos θ－sin θ)＝1化为直角坐标方程为x －y －1＝0.将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程为x 2＋y 2＝9. (2)由(1)知点M (0，－1)，故直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝－1＋22t(t 为参数)，代入圆的方程为t 2－2t －8＝0，设A ，B 对应的参数为t 1和t 2，所以t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝－8.故⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝28. 23．（本题满分10分）已知函数()|21||23|f x x x =++-. （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）原不等式等价于即不等式的解集为}21|{≤≤-x x .，解此不等式得53>-<a a 或.。

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